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Pub~icaciones ~

Aeroelasticidad

ít

11

1

Cuarto Curso Intensificación "A1" (2-º Semestre)

J. López Díez P. García-Fogeda Núñez

Madrid, Junio 1992

11111111111111111 1 o o 4 2 o 5 o 1 *

* o

INDICE SECCION I: INTRODUCCION A LA AEROELASTICIDAD Cap. 1. Introducción .. .. .. ............ .. .... .. ...... .. .... .... .. ........ ...... .......... .......... .... ..

1

SECCION II: AEROELASTICIDAD DEL PERFIL

"ht'

Cap.2. Aeroelasticidad estática...................................................................

5

Cap. 3. Aeroelasticidad dinámica. Flameo.................................................. Cap. 4. Teoría del perfil oscilante en corriente incompresible.

11

Función de Theodorsen . ........ .. .. .. .. .. .. .. ... ... .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .... .. .. .. .. Cap. 5. Cálculo de flameo y fuerzas oscilatorias sobre un perfil en una corriente supersónica....................................................................... Cap. 6. Aeroelasticidad dinámica. Ráfagas................................................. Cap. 7. Bataneo y flameo en separación......................................................

25 39 57 77

Cap. 8. Aeroelasticidad de turbomáquinas ..................................................

91

SECCION III: ESTRUCTURAS UNIDIMENSIONALES Cap. 9. Estructuras unidimensionales. Introducción................................... Cap. 10. Aeroelasticidad estática de estructuras unidimensionales.

105

Alas en flecha.................................................................................. Cap. 11. Aeroelasticidad dinámica de estructuras unidimensionales............ Cap. 12. Flujo incompresible no estacionario alrededor de alas

125 135

deformables. Método del vórtex-lattice ..........................................

155

SECCION IV: ESTRUCTURAS BIDIMENSIONALES Cap. 13. Estructuras bidimensionales............................................................

163

Cap. 14. Flujo subsónico no estacionario alrededor de alas deformables.....

173

SECCION V: AEROELASTICIDAD EXPERIMENTAL Cap. 15. Determinación experimental de las velocidades críticas.................

183

BIBLIOGRAFIA Y REFERENCIAS.......................................................................

191

SECCIONI.

INTRODUCCION A LA AEROELASTICIDAD

1

CAPITULO 1 INTRODUCCION

La Aeroelasticidad es la ciencia que estudia el comportamiento de un vehículo elástico en ~wrJ•,~~~~,r~i complejos conjugados, donde m1 y a>i son las frecuencias naturales del sistema con acoplamiento. Si aumentamos U

00

lentamente ambas frecuencias w1 y a>i se aproximan, y coinciden cuando U = U""'F' 00

Para veocidades U > U 00

00

p

aparecen dos raíces complejas conjugadas, una convergente y

otra divergente demostrando que en el punto de flameo ambas frecuencias coinciden. Cuando se incluyen completamente los efectos no estacionarios en las fuerzas aerodinámicas se observa que ambas frecuencias no se unen exactamente sino que tienden a un valor asintótico común pero una por arriba y otra por abajo de la asíntota. Efectos de algunos parámetros en el flameo Vamos a continuación a ver el efecto de algunos parámetros que aparecen en el caso del sistema bidimensional en el que se considera la inestabilidad por flameo. i) Efecto de

Xa·

Aumentando

Xa

las frecuencias naturales del sistema acoplado se

separan más. De los argumentos dados antes se desprende que al estar más separadas será más difícil que se unan y como consecuencia que aparezca flameo. Por lo tanto, separar el eje elástico del centro de gravedad de la sección es beneficioso para que no aparezca flameo, principalmente cuando el centro de gravedad está por delante del eje elástico. Si Xa < O se dice que el sistema está equilibrado dinámicamente. ii) Efecto de mhfma. Cuando mh

= ma la velocidad

de flameo es mínima. Las razones

23

son similares a las del caso anterior. iii) Efecto del parámetro másico

µ. La velocidad de flameo, U

po depende casi

00

linealmente deµ hasta que se alcanza un mínimo (en el intervalo 2 < µ < 15), que es seguido para valores de µ < 2 por un crecimiento casi exponencial indicando que en un medio muy denso no hay velocidad de flameo. Sólo aviones muy ligeros vuelan en el intervalo de valores deµ comprendidos entre 2 y 15. iv) Efecto del número de Mach. A medida que aumenta el número de Mach aumenta la altura mínima a la que podemos volar, alcanzándose un pico cerca de Mach igual a 1, que representa la condición más exigente para flameo. Este pico transónico hay que verificarlo experimentalmente por no disponerse en la actualidad de ningún método de cálculo de la velocidad de flameo válido para este régimen de vuelo, donde los efectos no lineales son importantes. v) Efectos del espesor. El aumento del espesor disminuye la velocidad de flameo, como se puede demostrar para números de Mach altos.

25

CAPITUL04 TEORIA DEL PERFIL OSCILANTE EN CORRIENTE INCOMPRESIBLE FUNCION DE THEODORSEN

Para una determinación correcta de la velocidad de flameo es esencial que las fuerzas aerodinámicas generalizadas sean válidas en todo el dominio de la frecuencia. Existen muy pocos casos en los que la determinación de estas fuerzas no haya que obtenerla numéricamente. Uno de los casos en los que se puede obtener analíticamente se debe a Theodorsen (Ref. 4) para un perfil que oscila armónicamente como sólido rígido en un flujo incompresible. Sin duda su solución es una de las que más ha contribuido al entendimiento del fenómeno de flameo y por ello se presenta aquí en detalle. Para alas de gran alargamiento todas las características importantes desde el punto de vista aerodinámico se pueden predecir con gran exactitud mediante el uso de la teoría de perfiles delgados. Consideremos el flujo bidimensional de una corriente incompresible e ideal (efectos de la viscosidad y conducción de calor despreciables) alrededor de un perfil delgado de cuerda 2b oscilando armónicamente con valores pequeños de la amplitud de oscilación. Si la verticidad inicialmente es nula permanecerá nula y el movimiento del fluido será potencial. Dicha función potencial satisface la-~~~ación~~e Laplace,

V2 =O

(4.1)

donde es importante observar que el tiempo t solo aparece como un parámetro en la ecuación diferencial, significando esto que las perturbaciones en el contorno se transmiten instantáneamente al resto del fluido.

Condiciones de contorno: a) Sobre el perfil. En cada instante t, el perfil es una línea de corriente. Tomando un sistema de coordenadas crutesiano con el eje x paralelo a la corriente incidente y siendo

Za=

za(x,t) la ecuación que describe la posición del perfil en cada instante, la

condición de que la velocidad normal de las partículas fluidas relativa al perfil es cero se expresa como

26

(4.2)

con o bien en

Supongamos que el perfil tiene espesor y curvatura, y que oscila respecto a un cierto ángulo de ataque CAD· La ecuación del perfil se puede expresar como (4.3)

donde z0 (x) es la función que representa los efectos estacionarios del espesor, curvatura y ángulo medio de ataque CAD· y z1 representa el movimiento no estacionario de una placa plana con una amplitud 80 m(x,t) (para el álabe m). Haremos además la hipótesis de que los álabes han estado oscilando armónicamente durante tanto tiempo que los efectos transitorios han desaparecido y la distribución de torbellinos ligados al álabe y la de los arrojados a la estela es armónica. Además, aunque en general el movimiento entre álabes llevará un desfase O'm que es parte de la solución (una vez acopladas las fuerzas aerodinámicas con las dinámicas y elasticas) para este desarrollo vamos a suponer que es constante, CJ,n

= a, y conocido.

De las hipótesis anteriores se desprende que i) la intensidad de los torbellinos ligados al álabe m se puede expresar como -

Ya m (x,t) == Ya m (x)e donde

ioJI

(8.3)

Ya m (x) es el módulo de la intensidad del torbellino en el álabe m situado en

x y es un número complejo.

102

yªm (x) está relacionado con Ya o (x) por la ecuación

ii)

_

)

-

) imCJ

Ya m (xm =Ya o (Xº e donde Xm

(8.4)

= X + mssen8 0

Asimismo, para los torbellinos en la estela también se cumplirá que

yOJ (x,t) =yOJ (x)eiwt m

(8.5)

m

y

(8.6)

A continuación vamos a determinar la velocidad normal inducida por todos los torbellinos que forman la cascada sobre un punto x cualquiera del álabe m =O; dicha velocidad vale

\"¡,(X,0)~-2irÍ., I

-

e

1

-

oo

m=-=

Ya0 (S) { _ X

5= "' -Y (A) 2rc L-J wº =

__ 1

eimCJ ( X _

(

e m=-=

(

Sm

)2

;; ) '?m

)

2 dS

+ T/m

eimCJ( x- ?i, m ) ) d?i, (x-Am) 2 + T/m2

(8.7)

donde

Sm =mssen8+ s ;t,m

= ms sen e+ ;t

T/m

= mscos e

Sustituyendo obtenemos que

-

'Pi

( 0)=--1z

X,

e-

2nfo

Ya

(;;) ( o

'::>

;; 8) ) d;; eimCJ( x-'?-mssen 2 2 2 '? +m s -2(x-s)mssene

m~(x-s) ""

00

__l_

2n

J oo

e

_

Ywº

(A.) (

e imCJ( x -

ms sen 8)

m~(x-A.) 2 +rn 2 s 2 -2(x-A.)mssen8 1 /1,

) dA

(8.8)

103

las dos series que aparecen en esta ecuación son convergentes y sumables y su suma vale

~ eimcr(x-c;-mssen8) _ 1 exp{-(rr-a)(cos8+isen8)(x-c;)/s+i8} 2 2 2 m~ (x- c;) + m s -2(x- Omssen e - 4s senh{n(cos e+ isen 8)(x- ~> 1s} .l__ exp{ (rr- a)(cos 8-i sen 8)(x - e;)/ s -i8} + 4s senh{n(cos8-isen8)(x-s)/s}

= K( x

_ J:., ) 8 '=',a,s,

(8.9)

la ecuación anterior se puede expresar en función de K como

2

Jr

1 J,cr (c;)K(x-~;a,s,8)dc;-1 IE~~~ ~"obre las demás y por ello podemos despreciar completamente la

presencia del resto del avión. Si la deformación de la estructura se prevé que va a ser sencilla, sin duda el método más rápido es el de modos ficticios sobre todo en las fases de diseño, si la forma de deformación se prevé que va a ser complicada es más conveniente utilizar modos normales. En este último caso los modos se obtienen empleando métodos de elementos finitos en las fases de diseño y ensayos en tierra de vibración sobre modelos

150

reales. Aunque no existe ninguna regla general sobre la elección del número de modos en cada caso se pueden seguir los siguientes principios: i) Separar ios modos simétricos de ios antisimén·icos (en el caso de considerar ei aia como una esnuctura libre y no empotrada) porque no puede ocurrir flameo por acoplamiento de ambos. ii) Todos los coeficientes del determinante de flameo deben ser del mismo orden.

Esto es equivalente a decir que los grados de libertad que componen el flameo están fuertemente acoplados. En el caso de los modos normales 20 ó 30 suelen ser suficientes para determinar con precisión los límites del flameo. Si se utilizan los ficiticios, el número total puede ser muy superior a éste, incluyendo siempre los modos más bajos de flexión y torsión, ya que es conocido que contribuyen notablemente al modo de flameo. En cualquiera de los casos,_~!~!1:1Q~~e:~-~~l1Ye11i~r:it~ incluir alg_Qn modo de oscilación de_l~~--~1:1P~tficies

de control porque, por experiencia, se sabe que aparecen en la mayoría de los

casos de flameo. Para disminuir la contribución de estos elementos al modo de flameo es importante realizar un buen equilibrado de masas del mismo (equivalente a hacer el término

Sp en el caso bidimensional tan próximo a cero como sea posible). Esto se consigue concentrando masas que con su inercia modifiquen los valores de Sp para los distintos modos de oscilación del ala en flexión y torsión. Hay que tener especial cuidado con dónde se colocan estas masas, porque si se hace cerca de un nodo son ineficaces mientras que si se hacen al lado incorrecto del nodo desequilibran en lugar de equilibrar el sistema. Efecto de la flecha Como dijimos anteriormente para alas con flecha es mejor utilizar el método de estructuras bidimensionales que veremos en el capítulo 13. Baste aquí indicar que se ha comprobado que E~-~~~s-~~ flec~~ p_()sitiva la velocidad de flameo aumenta. La aplicación del método de las rebanadas ha demostrado ser excesivamente conservativo para este tipo de alas, por lo que su utilización no es recomendable en casos prácticos. Un análisis similar al presentado para el cálculo de flameo por ecuaciones diferenciales

151

puede hacerse empleado coeficientes de influencia y la ecuación integral, tal y como hicimos en el caso de aeroelasticidad estática. El método, sin embargo, no es tan popular como el de superposición modal, dado que al igual que sucede con los coeficientes de influencia los modos propios también pueden obtenerse experimentalmente sobre la estructura real evitando así las limitaciones que tenía la eéuación diferencial en el caso de

aeroelasticidad estática.

Respuesta de un avión deformable en flexión a una ráfaga discreta Suponemos que el avión puede desplazarse libremente como sólido rígido en la dirección vertical como consecuencia de la acción de la ráfaga y deformarse en flexión pero no en torsión. Utilizando los modos normales del ala las ecuaciones del movimiento de la misma se pueden expresar como "

2

M.J:.. + M.m. J:.. = ¡':!¡ 1 1 ':!¡

z.1M + z.1D

i = 1,2, ... ,n

(11.43)

donde m¡ son las frecuencias propias del ala (mi == O por el movimiento vertical como sólido rígido) y

Z1~ y Z¡D

son las fuerzas generalizadas debidas al movimiento del ala y a la ráfaga

respectivamente. Si los modos propios de deformación son f¡(y) estas fuerzas generalizadas se pueden expresar en función de la sustentación para una sección como

D_fl LGf(y)dy

Z. ¡

Z.M = 1

_-1

J'

(11.44)

1

(11.45)

LMf(y)dy

-/

donde Le y LM

1

1J fueron

adimensional s = b°"

definidas en el caso de perfiles. Tomando como variable

donde br es la semicuerda de referencia, la ecuación (11.43) se

puede expresar comó

U~ MF(s)+M.m 2. .i:.(s)-Z. _ M +z.lD ¡':i¡ 1 1 '::i¡ 1 11

-b 2

(i = 1,2... n)

(11.46)

r

En el cálculo de las fuerzas aerodinámicas para perfiles vimos que la variable independiente de interés era la distancia que el ala se hab1ia introducido dentro de la ráfaga dividida por la mitad de la cuerda del perfil. La cuerda ahora variará a lo largo de la envergadura. Al objetp

152

de mantener una sola variable independiente la cuerda en cada sección la relacionamos a una de referencia br como b(y)

= a(y )br , donde a(y) es adimensional

Supongamos que el avión se encuentra una ráfaga discreta de intensidad W G(s) en la di_rección de vuelo y uniforme a lo largo de la envergadura. Supondremos ademas que el ala es esbelta de manera que se puede aplicar la teoría de las rebanadas. La fuerza por unidad de envergadura debido a la ráfaga vale LG(y,s) = 2n:p U a(y)b fs WG(S)l/f'(s- a)da oo

(11.47)

J

r 0

eo

La sustentación LM representa la fuerza por unidad de longitud debido al movimiento como sólido rígido y de flexión del ala. Se puede expresar como

Sustituyendo La(y,s) y LM(y,s) en la ecuación (1 i.46) obtenemos " ít.~.(s)+ít ..Q 2. .r::.(s)+ 1 1

1

1 ';! 1

Ln " Ln is AIJ.. ':¡.r::.(s)+2 J

j=l

= 2brCi

i

BIJ.. O';!.r:.(a),¡,(s-a)da J o/

j=l

swc(ci) ' U l/f (s - a)da

o

i = 1,2.. . n ,

m1 =O

(11.49)

00

fl

b A..= _Sr a2(y)f.(y)f.(y)dy IJ

W -1

J

1

fl

b B.. = _Sr a(y)f(y)f.(y)dy IJ

W -1

f'

¡

J

C.= _Sr b a(y)f(y)dy ¡

w

-l

¡

Soluciones de las ecuaciones (11.49) se puede obtener por transformada de Laplace, como vimos para el caso de perfiles, o por diferencias finitas. En este caso de ráfagas es un

153

problema de vibraciones forzadas y nuestro objetivo es calcular las deformaciones para a partir de ellas obtener la distribución de esfuerzos sobre el ala como por ejemplo los esfuerzos de cortadura o el momento flector. Hay que observar que el método aquí presentado tiene una validez limitada dado que no se han incluido efectos de torsión que pueden ser importantes así como los efectos de variación del perfil de la ráfaga a lo largo de la envergadura del ala. Para alas con flecha el método de las rebanada es poco preciso por lo que habría que utilizar métodos tridimensionales. El problema de la respuesta del avión flexible a la turbulencia atmosférica seria muy similar al presentado para perfiles y con un desaiTollo muy parecido al empleado en la sección anterior y por eso no va a ser presentado aquí. Las normas de Aviación Civil recomiendan algunas fórmulas estimativas de la aceleración normal que adquiere el avión cuando encuentre una ráfaga de intensidad constante WG por ejemplo como

(11.50)

donde W es el peso del avión, .1n es

een muestra notación y FA es un factor empírico por

el que se multiplica la relación anterior para estimar el pico máximo de aceleración que se alcanza a lo largo del tiempo. La formula es poco precisa, puesto que no tiene en cuenta la deformación elástica del vehículo, y supone que el aumento de sustentación sucede instantáneamente y además no incluye el efecto de variación de sustentación debido al movimiento del avión. Sin embargo, se suele utilizar en las fases de diseño debido a que produce resultados conservativos.

155

CAPITULO 12 FLUJO INCOMPRESIBLE NO ESTACIONARIO ALREDEDOR DE ALAS DEFORMABLES. METODO DEL VORTEX~LATTICE

En este capítulo se va a generalizar el método del vortex-lattice que se vio en Aerodinámica al caso de alas deformables en movimiento armónico con amplitud de oscilación pequeña. En el caso estacionario dividimos el ala en N secciones a lo largo de la cuerda y en Malo largo de la envergadura teniendo un total de N x M paneles. En cada panel colocábamos una herradura de torbellino que se cerraba en el infinito y de intensidad I' en 1/4 de la cuerda del panel. La condición de contorno la imponíamos en el punto 3/4 de la cuerda del panel obteniéndose así un sistema de N x M ecuaciones con otras N x M incógnitas que son las intensidades de los torbellinos. La velocidad normal inducida por una herradura de torbellinos de intensidad I' situado entre (~¡, 171) y (~2' 172) en el punto x,y es:

q¡0 ,

~ {-Y~ r¡J1 +x ~ªSi)+ Y~ r¡2(i +x~bS2 )+ ~ (coseª-coseb)} {,,

donde

d'?i

=

(x- ~1)2 + (Y-111)2

d't = (x- ~1) + (Y-112) 2 2

d

=(Y -

seneb =

17 ) L1x 1 Lls

í

b

sen

ea = _fÍ:__ d a

(x - ~ 1)Lly Lls

(12.1)

156

Como la ecuación diferencial para flujos incompresibles no cambia de estacionario a no estacionario la expresión anterior ( 12.1) sigue siendo válida para el problema no estacionario con la salvedad de que la intensidad de los torbellinos

r

dependerá del tiempo

y que oz habrá que sustituirlo por