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ANTONY ESCORCIA

Actividad 1 Guía 6 1. En un viaje organizado por Europa para 120 personas, 48 de los que van saben hablar inglés, 36 saben hablar francés, y 12 de ellos hablan los dos idiomas. Escogemos uno de los viajeros al azar. a. ¿Cuál es la probabilidad de que hable alguno de los dos idiomas? b. ¿Cuál es la probabilidad de que hable francés, sabiendo que habla inglés? c. ¿Cuál es la probabilidad de que solo hable francés? Solución: Hablan francés

No hablan francés

Total

Hablan inglés

12

36

48

No hablan inglés

24

48

72

Total

36

84

120

Consideramos los sucesos siguientes: F: “Hablan francés”

I:” Hablar inglés”

a. Probabilidad de que hable alguno de los dos idiomas: Tenemos que hallar P (F U I) P ( F U I ) =P ( F )+ P ( I )−P(F ∩ I )=

36 48 12 72 3 + − = = =0,6 120 120 120 120 5

b. Probabilidad de que hable francés, sabiendo que habla inglés: 12 P ( F ∩ I ) 120 12 1 P ( F / I )= = = = =0,25 48 48 4 P(I) 120

c. Probabilidad de que solo hable francés: P ( Solo hable francés )=

24 1 = =0,2 120 5

2. Suponga que tiene un espacio muestral con cinco experimentales que son igualmente posibles: 𝑬𝟏, 𝑬𝟐, 𝑬𝟑, 𝑬𝟒 y 𝑬𝟓. Sean 𝑨= {𝑬𝟏, 𝑬𝟐}, 𝑩= {𝑬𝟑, 𝑬𝟒} y 𝑪= {𝑬𝟐, 𝑬𝟑, 𝑬𝟓} a. Halle 𝑷 (𝑨), 𝑷 (𝑩) y 𝑷 (𝑪). b. Calcule 𝑷 (𝑨 ∪ 𝑩). ¿A y B son mutuamente excluyentes? c. Estime 𝑨𝑪, 𝑪𝑪, P (𝑨𝑪) y P (𝑪𝑪). d. Halle 𝑨 ∪ 𝑩𝑪 y 𝑷 (𝑨 ∪ 𝑩𝑪) e. Halle P (𝑪 ∪ 𝑩).

resultados

ANTONY ESCORCIA

Solución: Como todos los eventos tiene la misma probabilidad, entonces:

E 1=

20 20 20 20 20 ;E = ;E = ;E = ;E = 100 2 100 3 100 4 100 5 100

a. P ( A )=E 1+ E 2=

20 20 40 + = =O, 4 100 100 100

P ( B )=E3 + E 4=

20 20 40 + = =O , 4 100 100 100

P ( C ) =E2+ E3 + E5=

20 20 20 60 + + = =O , 6 100 100 100 100

b. P ( A U B )=P ( A ) + P ( B )=0 , 4 +0,4=0,8 Si, son mutuamente excluyentes c. AC =0,6 C C =0 , 4 P( AC )=1−P ( A )=1−0,4=0,6 P(C C )=1−P ( C )=1−0,6=0 , 4

d. 𝑨 ∪ 𝑩𝑪 y 𝑷 (𝑨 ∪ 𝑩𝑪) ( A U B C )=1

P ( A U BC ) =P ( A )+ P ( BC ) =0,4+ 0,6=1

e. P (𝑪 ∪ 𝑩). P ( C U B )=P (C ) + P ( B )=0,6+0,4=1

3. Suponga que se tiene el espacio muestral S = {𝑬𝟏, 𝑬𝟐, 𝑬𝟑, 𝑬𝟒, 𝑬𝟓, 𝑬𝟔, 𝑬𝟕}, donde 𝑬𝟏, 𝑬𝟐,..., 𝑬𝟕 denotan puntos muéstrales. La asignación de probabilidades es la siguiente: 𝑷(𝑬𝟏)=𝟎,𝟎𝟓, 𝑷(𝑬𝟐)=𝟎,𝟐𝟎, 𝑷(𝑬𝟑)=𝟎,𝟐𝟎,

ANTONY ESCORCIA

𝑷(𝑬𝟒)=𝟎,𝟐𝟓, 𝑷(𝑬𝟓)=𝟎,𝟏𝟓, 𝑷(𝑬𝟔)=𝟎,𝟏𝟎 y 𝑷(𝑬𝟕)=𝟎,𝟎𝟓. Sean 𝑨={𝑬𝟏,𝑬𝟒,𝑬𝟔}, 𝑩={𝑬𝟐,𝑬𝟒,𝑬𝟕} y 𝑪={𝑬𝟐,𝑬𝟑,,𝑬𝟓,𝑬𝟕} a. Encuentre 𝑨 ∪ 𝑩 y 𝑷 (𝑨 ∪ 𝑩). b. Halle 𝑨 ∩𝑩 y 𝑷 (𝑨 ∩𝑩). c. ¿Los eventos A y B son mutuamente excluyentes? d. Halle 𝑩𝑪 y 𝑷 (𝑩𝑪) Solución: P ( A )=P( E ¿¿ 1)+ P(E¿¿ 4)+ P(E¿¿ 6)=0,05+0,25+0,10=0,40 ¿ ¿ ¿ P ( B )=P(E¿¿ 2)+ P(E¿¿ 4 )+ P ( E¿¿ 7)=0,20+ 0,25+0,05=0,50¿ ¿ ¿

a. 𝑨 ∩𝑩 y 𝑷 (𝑨 ∪ 𝑩). A U B={ E1 , E 4 , E6 , E 2 , E7 }

P ( A U B )=P ( E¿¿ 1)+ P(E ¿¿ 4)+ P( E ¿¿ 6)+ P( E¿¿ 2)+ P( E ¿¿ 7)=¿ ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ P ( A U B )=0,05+0,25+0,10+ 0,20+ 0,05=0,65

b. 𝑨 ∩𝑩 y 𝑷 (𝑨 ∩𝑩) A ∩ B= { E 4 } P ( A ∩ B )=P ( A )+ P ( B )−P ( A U B )=0,40+0,50−0 , 6 5=0 ,2 5

c. Los eventos A y B no son mutuamente excluyentes ya que podemos observar que hay eventos en A que están en B.

d. 𝑩𝑪 y 𝑷 (𝑩𝑪) BC = { E 1 , E3 , E 5 , E6 } P( BC )=1−P ( B )=1−0 ,50=0 , 5 0

4. La probabilidad de que Julio salga con Carla es 𝟎, 𝟕𝟓, y la probabilidad de que salga con Marisol es de 𝟎, 𝟓𝟎. Si la probabilidad de que salga con Carla o Marisol es 𝟎, 𝟖𝟓; calcular la probabilidad de que salga con ambas a la vez.

ANTONY ESCORCIA

Solución: Sean los eventos: A: Julio sale con Carla

B: Julio sale con Marisol

Tenemos que: P(A) = 0.75

P (B) = 0.50

P (AUB) = 0.85

P ( A ∩ B )=P ( A )+ P ( B )−P ( A U B )=0 , 75+0,50−0 , 85=0 , 40

5. Un chef observó que el 𝟔𝟓 % de todos sus clientes consume mayonesa, el 𝟕𝟎 % consume kétchup y el 𝟖𝟎 % consume mayonesa o kétchup. ¿Cuál es la probabilidad de que un cliente consuma las dos salsas al mismo tiempo? Solución: Sean los eventos: A: El cliente consume mayonesa

B: El cliente consume kétchup

Tenemos que: P(A) = 0.65

P (B) = 0.70

P (AUB) = 0.80

P ( A ∩ B )=P ( A )+ P ( B )−P ( A U B )=0 , 6 5+0 , 7 0−0,8 0=0 , 55

Respuesta: La probabilidad de que un cliente consuma las dos salsas al mismo tiempo es de 0.55

6. En un colegio, la probabilidad de que a un alumno le guste la mayonesa es de 𝟔𝟓 %, la probabilidad de que le guste el kétchup es de 𝟕𝟎 %, y la probabilidad de que le guste la mayonesa y el kétchup es de 𝟓𝟓 %. ¿Cuál es la probabilidad de que a un alumno le guste la mayonesa, dado que le gusta el kétchup?

ANTONY ESCORCIA

Solución: Sean los eventos: A: Le gusta la mayonesa

B: le gusta el kétchup

Tenemos que: P(A) = 0.65 P ( A /B )=

P (B) = 0.70

P (𝑨 ∩ 𝑩) = 0.55

P ( A ∩B) 0,55 = =0,78571428571429 0,70 P( B)

Por lo tanto la probabilidad de que un estudiante consuma mayonesa dado que consume kétchup es de 0,78571428571429. 7. Sabiendo que 𝑷 (𝑨) = 𝟎,𝟎; 𝑷(𝑩) = 𝟎,𝟏𝟎; y además, 𝑷(𝑨∩𝑩)=𝟎,𝟎𝟖; determinar si son eventos independientes o no. Solución: En los eventos independientes, se cumple que: P ( A ∩ B )=P ( A ) x P ( B )

En este caso: P ( A ∩ B )=0,4 0 P ( A ) x P ( B ) =0,80 x 0,10=0,08

Podemos ver que 0,40 es diferente de 0,08; entonces: P ( A ∩ B )≠ P( A ) x P ( B)

Podemos concluir que no son eventos independientes, es decir, son eventos dependientes. 8. En una caja hay 3 latas de Pepsi, 2 de Coca-Cola, 4 de Sprite y 1 lata de Colombiana. Calcular la probabilidad de seleccionar una lata al azar que sea de Pepsi, Sprite o Colombiana. Solución: 3+2+4+1=10 P (Pepsi)=3/10 P (Sprite)=4/10 P (Colombiana)= 1/10 P ( Pepsi o Sprite o Colombiana ) =

3 4 1 8 + + = =0,8=80 % 10 10 10 10