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• Aaron Alberto Padilla

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ACOPLAMIENTO DE IMPEDANCIAS Transformador de λ/4 Anteriormente se demostró que una sección de línea de transmisión de longitud λ/4 se comporta como un transformador de impedancias: Supongamos que deseamos acoplar una línea de transmisión con impedancia característica Z1 a otra con Zc = Z3 que termino con ZL = Z3 y queremos usar un transformador de λ/4. a

b

Z1

Z2

Z3

a’

Z3

b’ λ/4

l

Para que la línea este acoplada es necesario que en la discontinuidad a-a’ la ZIN(a-a’) = Z1 . Esto se logra si

Z 2 = Z1 xZ3 si es que Z3 es la impedancia de entrada de b-b’. ZIN(b-b’) = Z3 Es evidente entonces que este tipo de adaptación solo sirve para impedancias reales y es perfecto solo si el transformador es exactamente λ/4 de longitud. En forma general la impedancia de entrada en a-a’

Z IN (a − a ' ) = Z 2

Z 3 + jZ 2tanβl Z 2 + jZ 3tanβl

El coeficiente de reflexión en a-a’ será:

Γ(a − a' ) =

Z IN (a − a ' ) − Z1 Z 3 − Z1 = Z IN (a − a' ) + Z1 ( Z 3 + Z1 ) + j 2 Z 2tanβl

Por lo que su modulo

Γ(a − a ' ) = ρ a − a '

ρa − a' = Conociendo que

( Z3 + Z1 ) 2 + 4Z1Z3tan 2 βl

tan 2 βl = sec2 βl − 1 se tiene:

ρa − a' =

STUBS

Z 3 − Z1

1 4 Z1Z 3 1+ sec 2 βl ( Z 3 − Z1 ) 2

Otra forma de acoplar impedancias en una línea de transmisión es utilizando los llamados STUBS. Un STUB es una porción de línea de transmisión que termina en corto o en circuito abierto l

ZIN

l

Zo

ZIN

en corto En un Stub en corto ZL = 0 , por lo que:

Zo

abierto

Z IN = jZc × tanβl

para Stub en corto circuito

En un stub en circuito abierto, ZL = ∞, entonces

Z IN = − jZc × cot βl para Stub en circuito abierto Es decir que los Stubs son realmente elementos reactivos puros a frecuencias altas. Un stub en corto: reactancia inductiva Un stub abierto: reactancia capacitiva Para acoplar impedancias en una línea de transmisión estos elementos se los usa en paralelo. d

Zc

ZL

Zc

l

En esta situación, para el acoplamiento es necesario conocer los valores de l y d que deben ser valores fijos para un acoplamiento a una frecuencia determinada. En otras ocasiones, se utilizan 2 stubs en paralelo como se muestra: d2

d1

Zc

Zc

ZL

l2

Zc

l1

En este caso, las distancias d1 y d2 pueden ser fijas, necesitándose conocer las longitudes de los stubs, l 1 y l2.

Para realizar estos cálculos es necesario utilizar la carta de SMITH. Veamos un ejemplo de acoplamiento: Ejemplo: Se tiene una línea de transmisión que se desea acoplar, tal como se muestra en la figura. Se conoce que ZL = 300 - j600 Ω y Zc = 300 Ω . Además se desea que el voltaje en la zona acoplada de la línea sea de 8V. Encuentre la impedancia característica del transformador λ/4 y dibuje el patrón de onda estacionaria a lo largo de toda la línea de transmisión. λ/4

Zc

lo

Z’c

Zc

Como se sabe, Z’c tiene que ser real y como

ZL

Z ' c = Zc × Z IN (lo) es necesario que ZIN(lo) sea

también real. Ya que ZL es compleja, lo no puede ser nλ/2. Adicionalmente sabemos que Z(l) es real justo en V MAXo VMIN, por lo que utilizando el diagrama fasorial sabremos la longitud lo al primer máximo o mínimo de voltaje (el que se encuentre primero).

ΓL =

Z L − Zc 300 − j 600 − 300 −j = = = 0.707∠ − 48O Z L + Zc 300 − j 600 + 300 1 − j ROE =

1 + ρ L 1.707 = = 5.83 1 − ρ L 0.293

0.707 λ/2

-45O

O

360 lo

135O

lo

135O λ lo = × = 0.18λ 360O 2

En este punto, se tiene una ZMIN

VMIN Zc 300 = = = 51.43Ω I MAX ROE 5.83

Z MIN = entonces

Z 'c = (51.46)(300) = 124.25Ω impedancia característica del transformador de λ/4.

Pasamos ahora a construir el patrón de onda estacionaria de voltaje:

Vi

lo λ/4 Zc

VL

Vi’ Z’c

Zc

ZL

VL MAX 18V 8V

V’i MAX

No hay reflexión (acoplamiento)

V’iMIN

VL MIN

λ/4

Vi = 8 = V ' iMAX ROEZ 'c =

1 + ρ (lo) 1 − ρ (lo)

por lo que

V ' iMIN =

0.18λ

V ' iMIN = Γ(lo) =

ROEZ 'c =

3.35V

V ' iMAX ROEZ 'c

Z MIN − Z ' c = 0.41∠180O Z MIN + Z ' c

1.41 = 2.39 0.59

8 = 3.35V 2.39

Del patrón de onda se observa que V’i MIN = VLMIN , entonces el VLMAX sería VLMINxROEL = (3.35)(5.83) = 19.5V . Pero el voltaje en la carga es un poco más bajo (debido a que no se encuentra a λ/4 del mínimo). Sabemos que

V (lo) = V + 1 + ΓL e −2 jβl

V (lo ) = 3.35 = V+ 1 + 0.707 ∠ − 45 e O

V+ =

−2 j

3.35 = 11.43V 1 − 0.707

En la carga l = 0

V (l = 0) = 11.43(1 + 0.707∠ − 450 V (l = 0) = 11.43 1 + 0.707∠ − 450 V (l = 0) = 18V

2π

λ

0.18 λ