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6.59 Si 2 muestras aleatorias independientes de tamaño n1=9 y n2=16 se toman de una población normal, ¿Cuál es la probabilidad de que la varianza de la primera muestra será al menos 4 veces mayor que la varianza de la segunda muestra? Si S12 y S22 son las varianzas de las muestras aleatorias independientes de tamaño n1 y n2, respectivamente, tomados de dos poblaciones normales con la misma varianza, entonces, F = S 12 / S 22 En una variable aleatoria que tiene la distribución F con los parámetros v1= n1 – 1 y v2= n2-1. La distribución F se relaciona con la distribución beta, por lo que sus dos parámetros, v1 y v2, se les llama numerados y grados de libertad del denominador. Por lo que para este ejercicio: Queremos conocer la probabilidad de que S22 sea al menos 4 veces S12, entonces S12 = 4S22. Al

despejar nos queda S12 / S22 = 4. Entonces buscamos el valor 4 en las tablas. v1 = 9-1 = 8 (numerador) v2 = 16-1 = 15 (grado s de libertad del denominador) En las tablas se interceptan v1 y v2. Para F 0.01

Y observamos que corresponde. Por lo que la probabilidad es de 1%.

6.60 Si 2 muestras aleatorias independientes de tamaño n1=26 y n2=8 se toman de una población normal, ¿Cuál es la probabilidad de que la varianza de la segunda muestra será al menos 2.4 veces la varianza de la primera muestra? Basándonos en el ejercicio anterior, tenemos que: Queremos conocer la probabilidad de que S22 sea al menos 2.4 veces S12, entonces 2.4S12 = S22. Al despejar nos queda S22 / S12 = 2.4. Entonces buscamos el valor 2.4 en las tablas. v2= 8-1 = 7 (numerador) v1 = 26-1 = 25 (grado s de libertad del denominador) En las tablas se interceptan v1 y v2. Para F 0.01

Observamos que no corresponde.

Para F 0.05

Y observamos que corresponde. Por lo que la probabilidad es de 5%. 6.61 Cuando se toman muestras de una población infinita, ¿Qué ocurre con el error estándar de la media si el tamaño de la muestra. 𝜎 Error estándar de la media σ = 𝑛 √

a) aumenta de 100 a 200; Supongamos σ = 0.25 para evaluar el error estándar en ambos tamaños de muestra. n σ σ 100 200

0.25 0.25

0.0250 0.0177

La razón de los errores estándares es 0.7071, por lo que podemos concluir que el error disminuye un 29.29% b) aumenta de 200 a 300; Supongamos σ = 0.5 para evaluar el error estándar en ambos tamaños de muestra. n σ σ 200 300

0.5 0.5

0.0354 0.0289

La razón de los errores estándares es 0.8165, por lo que podemos concluir que el error disminuye un 18.35% c) disminuye de 360 a 90? Supongamos σ = 0.75 para evaluar el error estándar en ambos tamaños de muestra. n σ σ 360 90

0.75 0.75

0.0395 0.0791

La razón de los errores estándares es 2, por lo que podemos concluir que el error aumenta un 100%. 6.62 Un ingeniero de tráfico recolecta datos acerca del flujo de tráfico en una intersección congestionada, durante la hora de mayor afluencia, al registrar el número de automóviles que se dirigen hacia el oeste que esperan una luz verde. Las observaciones se hacen para cada cambio de luz. Explique porque esta técnica de muestreo no conducirá a una muestra aleatoria. Se considera una muestra aleatoria, aquella muestra en la que se seleccionan elementos que tienen la misma probabilidad de ser elegidos. En este caso, se trata de evaluar el flujo de tráfico de una intersección congestionada por lo que para considerar una muestra aleatoria se debería considerar automóviles que vayan en cualquier sentido de la intersección. El muestreo que se propone no conducirá a una muestra aleatoria ya que solo se toma en cuenta los automóviles que van en un sentido (hacia el oeste) dejando sin probabilidad de ser elegidos los que vayan hacia el norte, este o sur.

Bibliografía Johnson, Richard A. (2012). En Probabilidad y estadística para ingenieros. México: Pearson educación. Página 176.