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• arthur5927

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LA RECTA EN EL ESPACIO Introducción. En el capítulo anterior hicimos un estudio del plano como la más sencilla de todas las superficies. Podríamos continuar nuestro trabajo estudiando superficies más complicadas antes de considerar las curvas en el espacio. Pero la línea recta en el espacio, considerada como la intersección de dos planos diferentes, se presenta tan naturalmente después del estudio del plano, que dedicamos completo el presente capítulo a su estudio. El siguiente capítulo lo reservaremos para tratar el problema general de las superficies. 123. Forma general de las ecuaciones de la recta. Sea l la recta de intersección de dos planos diferentes cualesquiera, cuyas ecuaciones, en la forma general, son

A 1 x + B1 y+ c 1 z+ D1=0 A2 x+ B2 y+ C2 z+ D 2=0 ( 1 ) Cualquier punto cuyas coordenadas satisfagan ambas ecuaciones del sistema (1) está sobre cada uno de los planos y, por lo tan to, esta sobre su intersección Z. Recíprocamente, cualquier punto que este sobre l debe estar sobre cada uno de los planos, y sus coordenadas deben satisfacer, por lo tanto, ambas ecuaciones. Según esto, las dos ecuaciones del sistema (1) , consideradas simultáneamente, son las ecuaciones de una recta en el espacio. El sistema (1) es llamado, apropiadamente, forma general de las ecuaciones de la recta. En seguida observemos el hecho importante de que las ecuaciones de cualquier recta particular en el espacio no son únicas. En efecto, podemos considerar, como en el Articulo 121, que la recta l, representada por el sistema ( 1 ) , es la arista del haz de planos

A 1 x + B1 y+ c 1 z+ D1+ k ( A 2 x + B2 y+C 2 z+ D 2 ) =0 ( 2 ) en donde el parámetro k puede tomar todos los valores reales. Por tanto, las ecuaciones de dos planos diferentes cualesquiera de la familia (2) pueden servir como ecuaciones de la recta l. Geométricamente, también, una recta está completamente determinada por dos planos diferentes cualesquiera que pasen por ella. 124. Forma simétrica de las ecuaciones de la recta; ecuación de la recta que pasa por dos puntos , y ecuaciones paramétricas de la recta. Para muchos problemas, la forma general de las ecuaciones de una recta no es tan conveniente como otras ciertas formas que vamos a deducir a continuación. Vamos a basarnos en que una recta queda perfectamente determinada por uno de sus puntos y su dirección, o por dos cualesquiera de sus puntos. La deducción de las ecuaciones se basara en lo dicho en el Artículo 25 sobre la ecuación de una r esta, dado uno de sus puntos y la pendiente. Definiremos a la línea recta como una curva del espacio caracterizada

por la propiedad de que sus números directores sean idénticos a (o proporcionales a) los números directores correspondientes de cualquier segmento de la recta. Sea

p1 ( x 1 , y1 , z1 ) un punto dado cualquiera de la recta l cuyos números directores son [ a , b , c ]. Sea

P ( x , y , z) un punto cualquiera de l diferente de p1. Entonces, por el corolario 2 del teorema 5 , Artículo 111, un sistema de números directores para l está dado por

[ x−x 1 , y− y 1 , z−z 1 ] . Por tanto, por nuestra definición de línea recta, las coordenadas de P deben satisfacer las relaciones

x−x 1=ka , y− y 1 =kb , z−z 1=kc , (1 ) por tan to , las ecuaciones de la recta l que pasa por un punto dado y tiene una dirección dada. Si los números directores [ a , b , c ] de l son todos diferentes de cero, se acostumbra escribir las ecuaciones (1 ) en la forma simétrica

x−x 1 y− y 1 z −z1 = = (2 ) a b c

Si

α, β ,γ

, son los ángulos directores de l , entonces (Art. 111) la forma simétrica (2 ) puede escribirse

tambien en la forma

x−x 1 y− y 1 z −z1 = = (3 ) cos α cos β cos γ

Siempre que ningún coseno director sea igual a cero Si L es perpendicular a uno de los ejes de coordenadas, la ecuación toma una de las formas siguientes:

x=x 1 ,

y− y 1 z− z1 = b c

(Perpendicular al eje x).

y= y 1 ,

x−x 1 z− z1 = a c

(Perpendicular al eje y).

z=z 1 ,

x−x1 y− y 1 = a b

(Perpendicular al eje z).

RECTA QUE PASA POR DOS PUNTOS. Las ecuaciones de la recta que pasa por los puntos

p1 ( x 1 , y1 , z1 ) , p2 ( x2 , y 2 , z 2 ) son

x−x 1 y− y 1 z−z 1 = = x 2−x 1 y 2− y 1 z 2−z 1 PARALELISMO Y PERPENDICULARIDAD ENTRE RECTAS Y PLANOS. Una recta de componentes a, b, c, y un plano Ax + By + Cz + D = O son (1) paralelos si se verifica la relación Aa + Bb + Cc = O, y recíprocamente, (2) perpendiculares si se verifican las relaciones

A B C = = a b c

y recíprocamente.

PLANOS QUE PASAN POR UNA RECTA. Dadas las ecuaciones

A 1 x + B1 y+C 1 z + D1=0 A 2 x + B2 y+ C2 z+ D2 =0 La ecuación

A 1 x + B1 y+C 1 z + D1 +k ( A 2 x +B 2 y +C 2 z + D 2 )=0

Siendo K un parámetro, representa el haz: de planos que pasan por la recta de intersección de los dos dados, es decir la de todos los planos que pasan por dicha recta.

EJERCICIOS DE LA RECTA 1) Hallar las coordenadas del punto de la recta

4 x −3 y+ 2 z−7=0 ; x+ 4 y −z−5=0 para y =2

2) Hallar las coordenadas del punto de la recta

x−2 y + 4 z−1 = = para x=3 3 −2 2

3) Hallar los puntos de intersección con los planos coordenados de las rectas siguientes. Dibujar estas uniendo dos de los puntos de intersección.

x−2 y+ z=0 y 3 x + y +2 z=7

4) Hallar los puntos de intersección con los planos coordenados de las rectas siguientes. Dibujar estas estas uniendo dos de los puntos de intersección.

x−1 y +3 z−6 = = 2 1 −1

5) Hallar las componentes y los cosenos directores de las rectas:

2 x −3 y+ 9=0 y 2 x − y+ 8 z+11=0

6) Hallar las componentes y los cosenos directores de las rectas:

x− y +2 z−1=0 y 2 x−3 y −5 z−7=0

7) Hallar el ángulo agudo formado por las rectas

x−1 y +2 z−4 x +2 y−3 z+ 4 = = y = = 6 −3 6 3 6 −2 8) Hallar las ecuaciones de la recta que pasa por el punto ( 1 , 4, -2) y es paralela a los planos

6 x+ 2 y +2 z+ 3=0 y 3 x−5 y−2 z−1=0 9) Hallar las ecuaciones de la recta que pasa por los puntos ( 1 , -2, 3) y es paralela a los planos

2 x −4 y + z−3=0 y x+2 y−6 z + 4=0 10) Hallar el punto de intersección de la recta x + 2y + 4z - 2 = 0, 2x + 3y - 22 + 3 = 0 con el plano 2x - y + 42 + 8 = 0

11) Hallar las coordenadas del punto de intersección de la recta 2x - y – 2z - 5 = 0, 4x + y + 3z- 1 = 0 con el plano 8x-y + z-5 =0. 12) Hallar las ecuaciones de la recta que pasa por el punto (2, 1, -2) y es perpendicular al piano 3x 5y + 2z + 4 = 0 13) . Hallar las ecuaciones de la recta que pasa por el punto (2, 0, -3) y es perpendicular al plano x 3y + 6 = 0 14) . Hallar las ecuaciones de la recta que pasa por los puntos (2, -3, 4) y (5, 2, -1). 15) Hallar las ecuaciones de la recta que pasa por los puntos (-2, 2, -3) y (2, -2, 3) 16) Hallar la distancia del punto P ( 6 , — 3, 3) a la recta l: 2x + 2y + z = 0, 4x — y — 3z — 15 = 0. 17) Hallar la distancia más corta entre las dos rectas cruzadas L1: 2x — y + z + 3 = 0, x + y + 2z + 3 = 0; L2: x — y — z — 1 = 0 , 3x — z — 7 = 0

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