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Unidades de Aprendizaje FÍSICA MECÁNICA Disciplinas Básicas: Física

MANUAL FÍSICA MECÁNICA

Autores: Guillermo Concha V. Ricardo Montecino R. Manuel A. Torres R. 1 Autores: Guillermo Concha – Manuel Torres – Ricardo Montecino

Unidades de Aprendizaje FÍSICA MECÁNICA Disciplinas Básicas: Física

INDICE

Contenido BIBLIOGRAFÍA ...................................................................................................................................... 7 INTRODUCCIÓN ................................................................................................................................... 9 RUTA DE ESTUDIO MANUAL DE FÍSICA: ............................................................................................ 10 ESQUEMA GUÍA UNIDAD I................................................................................................................. 11 UNIDAD 1: CONCEPTOS FUNDAMENTALES, UNIDADS DE MEDIDAS Y VECTORES ..................... 11 MAGNITUDES FUNDAMENTALES: MAGNITUDES FÍSICAS................................................................. 13 CONCEPTO DE MAGNITUD Y MEDIDA .............................................................................................. 14 UNIDADES BÁSICAS DEL SISTEMA INTERNACIONAL ......................................................................... 15 UNIDAD DE LONGITUD (METRO) ...................................................................................................... 15 UNIDAD DE MASA (KILOGRAMO)...................................................................................................... 15 UNIDAD DE TIEMPO (SEGUNDO) ...................................................................................................... 16 UNIDAD DE LA CORRIENTE ELÉCTRICA (AMPERE) ............................................................................ 16 UNIDAD DE TEMPERATURA TERMODINÁMICA (KELVIN) ................................................................. 16 UNIDAD DE CANTIDAD DE SUSTANCIA (MOL) .................................................................................. 17 UNIDAD DE INTENSIDAD LUMINOSA (CANDELA) ............................................................................. 17 MAGNITUDES FUNDAMENTALES Y DERIVADAS ............................................................................... 18 MULTIPLOS Y SUBMULTIPLOS ........................................................................................................... 20 CIFRAS SIGNIFICATIVAS (C.S.) ............................................................................................................ 22 CONVENIO ......................................................................................................................................... 22 CRITERIOS A CONSIDERAR EN LA DETERMINACIÓN DE CIFRAS SIGNIFICATIVAS. ............................ 23 Transformación o conversión DE UNIDADES .................................................................................. 24 NOTACIÓN CIENTÍFICA ...................................................................................................................... 26 ¿QUÉ ES "REDONDEAR"? .................................................................................................................. 26 MAGNITUDES ESCALARES Y VECTORIALES…………………………………………………………………………………...27 MAGNITUD FÍSICA ESCALAR…………………………………………………………………………………………………………27 ALGUNAS CONSIDERACIONES ACERCA DE LOS VECTORES……………………………………………………………28 A)

MÉTODO DEL POLÍGONO……………………………………………………………………………………………….28 2

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Unidades de Aprendizaje FÍSICA MECÁNICA Disciplinas Básicas: Física B)

MÉTODO DEL PARALELÓGRAMO…………………………………………………………………………………….29

VECTOR POSICIÓN………………………………………………………………………………………………………………………..29 PROYECCIÓN DE UN VECTOR………………………………………………………………………………………………………..30 COMPONENTES DE UN VECTOR……………………………………………………………………………………………………30 VECTORES UNITARIOS………………………………………………………………………………………………………………….30 MAGNITUD DE UN VECTOR………………………………………………………………………………………………………….31 COSENOS DIRECTORES…………………………………………………………………………………………………………………31 PRODUCTO ESCALAR……………………………………………………………………………………………………………………31 PRODUCTO VECTORIAL………………………………………………………………………………………………………………..32 PRODUCTO MIXTO……………………………………………………………………………………………………………………….32 APLICACIONES DE OPERATORIA CON CIFRAS SIGNIFICATIVAS………………………………………………………33 PROCEDIMIENTO DE APLICACIÓN PARA TRANSFORMACIÓN DE UNIDADES…………………………………36 Guía 1: TRANSFORMACIÓN DE UNIDADES FÍSICAS ......................................................................... 45 Guía 2: CONVERSIÓN DE UNIDADES FÍSICAS .................................................................................. 49 Guía 3:NOTACIÓN CIENTÍFICA - CIFRAS SIGNIFICATIVAS ................................................................ 50 GUÍA 4: EJERCICIOS DE USO DE LA CALCULADORA CIENTÍFICA ....................................................... 51 EVALUACIÓN FORMATIVA 1: MAGNITUDES FUNDAMENTALES .................................................... 52 EVALUACIÓN FORMATIVA 2: CONVERSIÓN DE UNIDADES FÍSICAS .............................................. 57 EVALUACIÓN FORMATIVA 3: EJERCICIOS DE NOTACIÓN CIENTÍFICA y USO DE CALCULADORA 58 PROBLEMAS RESUELTOS DE VECTORES………………………………………………………………………………………..61 Guía 5: EJERCICIOS DE VECTORES. APLICACIONES ......................................................................... 64 Guía 6: EJERCICIOS DE VECTORES. APLICACIONES ......................................................................... 68 Guía 7: APLICACIONES DE VECTORES ............................................................................................. 70 Guía 8: EJERCICIOS DE VECTORES................................................................................................... 74 Guía 9: VECTORES............................................................................................................................. 76 Guía 10: EVALUACIÓN SUMATIVA DE VECTORES............................................................................ 78 Unidad 2: CINEMÁTICA..................................................................................................................... 83 3 Autores: Guillermo Concha – Manuel Torres – Ricardo Montecino

Unidades de Aprendizaje FÍSICA MECÁNICA Disciplinas Básicas: Física 1.

PUNTO DE REFERENCIA ......................................................................................................... 86

2.

SISTEMA DE REFERENCIA ...................................................................................................... 86

3.

POSICIÓN ............................................................................................................................... 86

4.

MOVIMIENTO ........................................................................................................................ 86

5.

VECTOR POSICIÓN ................................................................................................................. 86

6.

TRAYECTORIA ........................................................................................................................ 87

7.

DESPLAZAMIENTO ................................................................................................................. 87

8.

DISTANCIA ............................................................................................................................. 87

9.

DISTANCIA RECORRIDA ......................................................................................................... 87

10.

VELOCIDAD MEDIA ............................................................................................................ 88

11.

RAPIDEZ MEDIA ................................................................................................................. 88

12.

VELOCIDAD INSTANTÁNEA................................................................................................ 88

13.

ACELERACIÓN MEDIA ........................................................................................................ 88

12.

ACELERACIÓN .................................................................................................................... 89

MOVIMIENTO UNIFORME ................................................................................................................. 90 MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORMEMENTE ACELERADO (MRUA) ............................................... 91 CAÍDA LIBRE………………………………………………………………………………………………………………………………….92 MOVIMIENTO VERTICAL.................................................................................................................... 92 MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORME…………………………………………………………………………………………...93 ECUACIÓN DE TRANSMISIÓN DEL MOVIMIENTO ............................................................................. 95 MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORMEMENTE ACELERADO (MCUA) .................................................. 96 MOVIMIENTO DE PROYECTILES ...................................................................................................... 978 EJERCICIOS DESARROLLADOS PARA ACLARAR EL MRU…………………………………………………………………99 EJERCICIOS DESARROLLADOS PARA ACLARAR MRUA, CAÍDA LIBRE Y LANZAMIENTOS VERTICALES…………………………………………………………………………………………………………………………………105 EJEMPLOS RESUELTOS DE MOVIMIENTO CIRCULAR……………………………………………………………………121 EJEMPLOS DESARROLLADOS PARA ACLARAR LANZAMIENTO DE PROYECTILES…………………………..126 EJERCICIOS PROPUESTOS DE CINEMÁTICA ..................................................................................... 133 Evaluación Formativa 1Unidad Cinemática…………………………………………………………………………………141 EVALUACIÓN FORMATIVA 2 .......................................................................................................... 142 4 Autores: Guillermo Concha – Manuel Torres – Ricardo Montecino

Unidades de Aprendizaje FÍSICA MECÁNICA Disciplinas Básicas: Física MOVIMIENTO CIRCULAR ................................................................................................................ 142 EVALUACIÓN FORMATIVA 3 .......................................................................................................... 146 PROYECTILES ................................................................................................................................... 146 EVALUACIÓN FORMATIVA 4 .......................................................................................................... 151 CINEMÁTICA .................................................................................................................................... 151 Unidad 3:DINÁMICA ....................................................................................................................... 153 LAS LEYES DEL MOVIMIENTO DE NEWTON..................................................................................... 155 PRIMERA LEY DEL MOVIMIENTO .................................................................................................... 155 MASA ............................................................................................................................................... 155 SEGUNDA LEY DEL MOVIMIENTO ................................................................................................... 156 PESO y MASA ................................................................................................................................... 157 TERCERA LEY DEL MOVIMIENTO ..................................................................................................... 158 FUERZA DE ROCE. ROCE ESTÁTICO Y CINÉTICO.............................................................................. 158 FUERZAS ELÁSTICAS ........................................................................................................................ 159 FUERZAS EN EL MOVIMIENTO CIRCULAR ....................................................................................... 160 FUERZA TANGENCIAL (FT) ............................................................................................................... 160 EJERCICIOS DESARROLLADOS DINÁMICA……………………………………………………….................. ............163 EJERCICIOS PROPUESTOS DE DINÁMICA………………………… ……………………………………………… ………..175 EVALUACIÓN FORMATIVA 1 .......................................................................................................... 182 EVALUACIÓN FORMATIVA 2 DINÁMICA Y PRINCIPIOS DE NEWTON…………………………… …………....187 EVALUACIÓN FORMATIVA 3 FUERZA ELÁSTICA ............................................................................ 190 Unidad 4:TRABAJO Y CONSERVACIÓN DE ENERGÍA ................................................................... 191 CONCEPTO DE TRABAJO (W) ........................................................................................................... 192 UNIDADES DE TRABAJO................................................................................................................. 1932 CONCEPTO DE POTENCIA MECANICA (P) ........................................................................................ 194 UNIDADES DE POTENCIA ................................................................................................................. 194 RENDIMIENTO MECÁNICO .............................................................................................................. 195 CONCEPTO DE ENERGÍA .................................................................................................................. 195 UNIDADES DE LA ENERGÍA .............................................................................................................. 196 ENERGÍA CINÉTICA .......................................................................................................................... 196 5 Autores: Guillermo Concha – Manuel Torres – Ricardo Montecino

Unidades de Aprendizaje FÍSICA MECÁNICA Disciplinas Básicas: Física ENERGÍA POTENCIAL ....................................................................................................................... 196 CONSERVACIÓN DE LA ENERGÍA ..................................................................................................... 197 EJEMPLOS DESARROLLADOS DE TRABAJO - POTENCIA Y ENERGÍA…………………………………………….198 Guía 1:ENERGÍA, TRABAJO & POTENCIA ..................................................................................... 212 Guía 2:ENERGÍA .............................................................................................................................. 215 Guía 3: EVALUACIÓN ENERGÍA MECÁNICA, TRABAJO MECÁNICO, CONSERVACIÓN DE LA ENERGÍA MECÁNICA....................................................................................................................... 219 Guía 4:TRABAJO, ENERGÍA & POTENCIA. .................................................................................... 223 CONSERVACIÓN DE LA ENERGÍA .................................................................................................. 223 Guía 5: TRABAJO, ENERGÍA & POTENCIA..................................................................................... 231 CONSERVACIÓN DE LA ENERGÍA .................................................................................................. 231 Unidad 5: DINÁMICA DE ROTACIÓN............................................................................................. 239 CONSIDERACIONES ACERCA DE LA DINÁMICA DE ROTACIÓN ........................................................ 241 CENTRO DE GRAVEDAD ................................................................................................................... 241 TORQUE O MOMENTO DE UNA FUERZA......................................................................................... 243 EQUILIBRIO ...................................................................................................................................... 244 Momento de inercia ........................................................................................................................ 244 TEOREMA DE STEINER ..................................................................................................................... 246 EJEMPLOS DESARROLLADOS DE ROTACIÓN………………………………………………………………………………..246 EJEMPLOS DESARROLLADOS TEOREMA DE STAINER…………………………………………………………………..255 EJEMPLOS DESARROLLADOS DE ROTO-TRASLACIÓN……………………………… ………………………………….258 GUIA N°1 DINÁMICA DE ROTACIÓN ................................................................................................ 266 EVALUACIÓN: DINÁMICA DE ROTACIÓN ....................................................................................... 269 Glosario ........................................................................................................................................... 274

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BIBLIOGRAFÍA Básicas: Sears, F. Zemansky, M. Young, H. , 2004: Física Universitaria. 11° edición. México.Pp.2, 4, 5,6, 63, 64, 65, 79, 80, 90, 91, 93, 110, 132, 135, 138, 143, 144, 161. Serway, R. A., 2001, Física, 5° edición. Mc. Graw Hill, México .Pp.7 a 13, 26 a 29, 46, 47 , 66, 67, 80 a 85, 99, 100, 112 a 117. Tipler, P. A. , 2005: Física para Ciencia y T ecnología, Vol. 1, 5° edición. Reverté Barcelona. Pp. 7 a 15, 35 a 42. Larozze, L. Porras, N. Fuster, G. 2012: Conceptos y Magnitudes en Física. Ed. Preliminar . Pp. 34, 41, 42, 61, 62, 64, 65. Complementaria: • Halliday, D. Resnick, K. S. 1994: Física para Ciencias e Ingeniería, Vol 1. Cecsa, México. • Mc. Kelvey y Groht. 2001: Física para Ciencias e Ingeniería. Mc. Graw Hill. México. Electrónica: http://www.monlau.es/btecnologico/fisica/magnitudes/mag1.htm Consulta30 de junio 2014 http://www.monla u.es/btecnologico/fisica/magnitudes/mag2.htm Consulta 30 de junio 2014 http://www.monlau.es/btecnologico/fisica/magnitudes/mag3.htm Consulta 30 de junio 2014 http://www.aplicaciones.info/decimales/siste01.htm Consulta 30 de junio 2014 www.heurema.com/TetF/TestF4/Cinemática2S.pdf Consulta: Julio 29 de 2014.

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http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/unidades/simbolos/simbolos1.htm Consulta 30 de junio 2014 http://www.ieslaasuncion.org//fisicaquimica/sistema4.html Consulta 30 de junio 2014 http://jersey.uoregon.edu/vlab/units/Units.html Consulta 30 de junio www.proyectosalonhogar.com/Enciclopedia.../ Movimiento_Circular.htm Fecha de consulta: Ju nio 21 de 2014 www.heurema.com/TestF/TestF4/Cinemática2S.pdf Fecha de consulta: Junio 21 de 2014 .

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INTRODUCCIÓN Se ha planificado este documento como una ayuda para el alumno, cuyo objetivo, será permitir una mejor concentración en las explicaciones del profesor al liberarlo, al menos parcialmente, de la actividad de “tomar apuntes”, como también para que el estudiante adquiera habilidades de análisis y técni cas de resolución de problemas. Este Manual está organizado en cinco unidades, d etalladas de la siguiente forma: Páginas de inicio de la unidad, donde se entregan páginas web , cuyo objetivo es despertar tu interés y motivar tu aprendizaje. Páginas de contenidos, donde se precisan los aspectos más importantes de los contenidos a tratar en la unidad respectiva, se destacan conceptos importantes produciendo link hacia el manual como a páginas Web recomendadas. Páginas de aplicaciones, entregadas por se t de problemas tipo, relacionados con los conceptos más importantes de la unidad y se explican todos los pasos de la resolución , además de guías de problemas propuestos con sus respectivas soluciones. Páginas de evaluaciones en proceso para medir avances en tu estudio de la unidad y evaluaciones sumativas se dicha unidad. Es aconsejable que en el estudio y lectura comprensiva del texto, anote o subraye las palabras, ideas o conceptos que no le queden claros, para presentarlos a discusión en clases siguientes, junto a sus compañeros y profesor de asignatura .

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Ruta de estudio Manual de Física: Mecánica

Suma de vectores

Su operación Principal es

Operaciones vectoriales Su operación es

Vectores

Vectores Cartesianos Producto Punto

Cinemática

Suma de vectores Cartesianos

Movimiento

Movimiento constante Cinematica rectilinea

Movimiento Acelerado

Cinematica proyectiles

Caida LIbre

Cinematica circular Movimiento

Tipos de fuerza Dinámica

Causa del Movimiento

Leyes de Newton Diagrama de cuerpo Libre

Equilibrio de partículas Estática Equilibrio de Cuerpo Rígido

Trabajo Potencia Energía Energía

Conservación de la energía

Conservación de la cantidad de movimiento

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UNIDAD 1: CONCEPTOS FUNDAMENTALES, UNIDADES DE MEDIDAS Y VECTORES Esquema Guía UNIDAD I

Magnitud es Físicas

Para ir a la definición debes hacer click en cada palabra.

Magnitud

Ir a un video explicativo ingresa a la unidad haciendo click en

Concepto de Medida

Ir a la Unidad I

Unidades básicas del sistema internacional Metro

Kilogramo

Segundo

Ampere

Kelvin

Mol

Candela

Son Magnitudes fundamentales

Múltiplos y submúltiplos Y existen Magnitudes Derivadas

Haz los ejercicios resueltos…. Recuerda… La práctica hace al maestro.

Rapidez Aceleración Volumen Energía Fuerza Potencia Carga eléctrica Resistencia eléctrica Capacidad Flujo luminoso Presión

Ejercicios con cifras significativas

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EN ESTA UNIDAD: Conocerás y comprenderás: •

Las diferentes magnitudes fundamentales y derivadas que la Física requiere para su desarrollo.

•

La importancia de medir una magnitud.

•

La importancia de las cifras significativas y redondeos de una medida.

•

Conocer la necesidad de operar en diferentes s istemas de unidades una aplicación de medida de un experimento o situación física.

•

Conocer la importancia de operar magnitudes vectoriales para la aplicación de variables física.

•

El uso de los vectores.

Desarrollarás habilidades para: •

Formular, verificar y desarrollar magnitudes escalares y vectoriales.

•

Analizar resultados para obtener información de ellos.

•

Aplicar factores de conversión de diferentes sistemas de unidades.

•

Identificar y aplicar características de magnitudes vectoriales como necesidad de entender un concepto físico.

Desarrollarás actitudes para: Comprender la necesidad de problemas cotidianos de tu entorno relacionados con magnitudes físicas. Conocer problemas de tu especialidad donde uses adecuadamente los conceptos vectorial es para explicar un fenómeno. Apreciar la importancia de la operatoria con magnitudes fundamentales y derivadas, como además de las vectoriales, en el entendimiento de conceptos físicos.

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Magnitudes Fundamentales: MAGNITUDES FÍSICAS Existen dos tipos de magnitudes; fundamentales y derivadas, para entender el tema, te recomendamos que ingreses a los siguientes link, para iniciarte en el estudio de la unidad correspondiente . Notación Científica http://www.asifunciona.com/ciencia/ke_notacion_cientifica/ke_not acion_cientifica_2.htm Consultada 29 de junio 2014 http://www.youtube.com/watch?v=oZZfalscRWYhttps://youtube.co m/watch?v=EMYTxbpXnJI. Consultada 29 de junio 2014 http://www.monlau.es/btecnologico/fisica/magnitudes/mag2.htm Consultada 30 de junio 2014 También podemos clasificarlas como escalares y vectoriales, esto lo puedo evidenciar en el siguiente enlace: http://www.monlau.es/btecnologico/fisica/magnitudes/mag3.htm Consultada 29 de junio 2014

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CONCEPTO DE MAGNITUD Y MEDIDA

Una cantidad física queda definida cuando se estipulan los procedimientos para medir esa cantidad. Esta manera de definir las cantidades físicas, se llama punto de vista operacional, debido a que la definición de una cantidad física es una serie de operaciones de laboratorio que conducen a un número con una unidad de medida. Dicho número con su unidad de medida recibe el nombre de magnitud de la cantidad física. El número de cantidades físicas consideradas como fundamental es, es el mínimo número que se necesita para definir coherentemente y sin ambigüedades a todas las cantidades físicas restantes. Para definir operacionalmente una cantidad física fundamental , primero se escoge un patrón y después se establecen métodos para obtener múltiplos o submúltiplos de este patrón, es decir, para obtener unidades de la cantidad física fundamental considerada. Un patrón tiene dos características principales: es accesible y es invariabl e. Por lo tanto, una forma de medir una cantidad física es contar el número de veces que una unidad de medida está contenida en ella .

Véase tambi én Si quieres puedes visitar también la siguiente página: http://www.aplicaciones.info/decimales/siste01.htm

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UNIDADES BÁSICAS DEL SISTEMA INTERNACIONAL Si a cada cantidad física fundamental , le asigna una unidad, obtendrá un sistema de unidades. Este sistema permitirá obtener las unidades correspondientes a las cantidades físicas derivadas .

Las definiciones oficiales de todas las unidades básicas SI son aprobadas por la Conferencia General de Pesos y Medidas 1989. Unidad de longitud (metro) El metro es la longitud del trayecto recorrido por la luz en el vacío durante un espacio de tiempo de 1/299.792.458 s. La definición internacional, san cionada por la Conferencia General de Pesos y Medidas celebrada en Parías en 1889, dice: “Es la distancia entre dos trozos grabados sobre una barra de platino e iridio, a la temperatura de 0⁰C y a la presión atmosférica normal, que se encuentra depositado en la oficina Internacional de Pesos y Medidas en la localidad de Sevres, en París”

Unidad de masa (kilogramo) El prototipo internacional del kilogramo de platino iridio está conservado en el Bureau Internacional en las condiciones fijadas por la 1ª CGPM 1889 (CR, 34 38) cuando sancionó este prototipo y declaró: El kilogramo es la unidad de masa; igual a la masa del prototipo internacional del kilogramo.

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Unidades de Aprendizaje FÍSICA MECÁNICA Disciplinas Básicas: Física Nace del griego mencionando que se compone de kil que equivale a “mil” y de gramma que se puede traducir como “piedra par a pesar”

Unidad de tiempo (segundo) El segundo, unidad de tiempo, fue definido en origen como la fracción 1/86.400 del día solar medio. El segundo es la duración de 9.192.631.770 periodos de la radiación correspondiente a la transición entre dos niveles hiperfinos del estado fundamental del átomo de cesio 133.

2x10 - 7

Unidad de la corriente eléctrica (ampere) El ampere es la intensidad de una corriente constante que, mantenida en dos conductores paralelos, rectilíneos, de longitud infinita, de sección circular despreciable y situados a una distancia de un metro uno del otro en el vacío, produciría entre esos conductores una fuerza igual a N·metro de longitud .

Unidad de temperatura termodinámica (kelvin) El kelvin, unidad de temperatura termodinámica, es la fracción 1/273,16 de la temperatura termodinámica del punto triple del agua.

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Unidad de cantidad de sustancia (mol) El mol es la cantidad de sustancia de un sistema que tiene tantas entidades elementales como hay átomos en 0,012 kilogramos de carbono 12; su símbolo es el "mol".

Unidad de intensidad luminosa (candela) La candela es la intensidad luminosa en una dirección dada, de una fuente que emite una radiación monocromática de frecuencia 5 40x10 1 2 Hertz y cuya intensidad de energía en esa dirección es 1/683 vatios por estereorradián.

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MAGNITUDES FUNDAMENTALES Y DERIVADAS Las primeras magnitudes, son aquellas que no dependen de ninguna otra fundamental y que se pueden determinar mediante una medida directa. La Tabla 1 muestra las 7 magnitudes fundamentales . Las magnitudes que se derivan de las fundamentales y se pueden determinar a partir de ellas utilizando definiciones operacionales adecuadas, son las denominadas, magnitudes derivadas, son aquellas que en la combinación de las magnitudes fundamentales se derivan y que se pueden determinar a partir de ellas utilizando las expresiones adecuadas que se señalan en Tabla 2.

TABLA 1 UNIDADES FUNDAMENTALES UNIDAD Longitud Masa Tiempo Temperatura Intensidad de corriente Intensidad luminosa Cantidad de materia

UNIDAD Rapidez (velocidad) Aceleración Volumen Energía Fuerza Potencia Carga eléctrica Diferencia de potencia Resistencia eléctrica Capacidad Flujo luminoso Presión

NOMBRE. DE LA UNIDAD metro kilogramo segundo grado kelvin Ampere candela mol

SÍMBOLO m kg s K A cd mol

TABLA 2 UNIDADES DERIVADAS NOMBRE. DE LA UNIDAD Joule Newton Watt Coulomb Volt Ohm Faradios lux Pascal

SÍMBOLO m/s m/s2 kg/m3 J N W C V Ω F lm Pa 18

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A continuación encontrarás las tablas 3A que muestra equivalencias básicas. TABLA 3 1 km 1m 1 pie 1 p u l gad a 1 mi lla (t )

= = = = =

EQUIVALENCIAS BÁSICAS UNIDAD DE LONGITUD 1.000 m = 10.000 dm = 10.000 cm = 1.000.000 mm 10 dm = 100 cm = 1.000 mm = 39,37 pulgadas = 3,28 pies 0,3 04 8 m = 30 ,4 8 c m = 3 04, 8 m m = 12 p u l gad a s 0,0 25 4 m = 0, 25 4 d m = 2,5 4 c m = 2 5, 4 m m 1. 60 9 m = 1,6 1 k m

1 tonelada 1 kg 1 UTM 1 SLUG 1 libra

= = = = =

UNIDAD DE MASA 1.000 kg = 1.000.000 g 1.000 g 9,8 kg = 9.800 g 14,59 kg = 14.590 g 0,454 kg = 454 g

1 año 1 mes 1 día 1 hora

= = = =

UNIDAD DE TIEMPO 12 meses = 365 días 30 días 24 horas = 1.440 minutos = 86.400 segundos 60 minutos = 3.600 segundos

1 kp 1N 1 lbf 1 kips

= = = =

UNIDAD DE FUERZA 1 Kgf. = 9, 8 N 100.000 Dinas 0,454 Kgf. = 4, 4492 N 1.000 lbf

Unidades definidas a partir de las unidades del S.I. que no son múltiplos o submúltiplos decimales de dichas unidades .

Magnitud Tiempo Ángulo

Nombre de la unidad minuto hora día grados

Símbolo min h d º

Equivalencia 60 s 3.600 s 86.400 s 360º = 2 rad

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Unidades de Aprendizaje FÍSICA MECÁNICA Disciplinas Básicas: Física Otras unidades de uso frecuente : Magnitud Volumen Superficie

Nombre de la unidad litro hectárea

Símbolo lt ha

Equivalencia 1.000 lt = 1 m3 1 ha = 10.000 m2

PARA SABER MÁS http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/unidades/simbolos/simbolos1 .htm Consulta 30 de junio 2014 TRABAJO DE PROFUN DIZACIÓN http://jersey.uoregon.edu/vlab/units/Units.html Consultada 30 de junio 2014

MULTIPLOS Y SUBMULTIPLOS Cuando se requiere una unidad básica para cierta magnitud física , es posible hacer la consideración de elegir unidades más pequeñas o tal vez más grandes dividiendo o multiplicando la unidad básica por potencias de 10. Por lo tanto, si dividimos esta magnitud en 10 partes iguales dará como resultado otra 10 veces más pequeña y agrupando 10 unidades básicas obtenemos una 10 veces mayor. Estas nuevas unidades tienen nombre que derivan de la palabra que designa a la unidad básica, con un prefijo que denota la división o multiplicación que corresponde (Larozze, 2012).

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Los prefijos más usados, de acuerdo internacionales son expresados en Tabla 4-A y 4-B).

a

recomendaciones

TABLA 4-A. TABLA DE PREFIJOS. MÚLTIPLOS Prefijo Deca Hecto Kilo Mega Giga Tera Peta Exa

Símbolo da h k M G T P E

Factor de multiplicación 10 1 = 10 10 2 = 100 10 3 = 1.000 10 6 = 1.000.000 10 9 = 1.000.000.000 10 1 2 = 1.000.000.000.000 10 1 5 = 1.000.000.000.000.000 10 1 8 = 1.000.000.000.000.000.000

TABLA 4-B. TABLA DE PREFIJOS. SUB -MÚLTIPLOS Prefijo deci centi mili micro nano pico femto atto

Símbolo d c m μ n p f a

Factor de multiplicación 10 - 1 = 0,1 10 - 2 = 0,01 10 - 3 = 0,001 10 - 6 = 0,000 001 10 - 9 = 0,000 000 001 10 - 1 2 = 0,000 000 000 001 10 - 1 5 = 0,000 000 000 000 001 10 - 1 8 = 0,000 000 000 000 000 001

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CIFRAS SIGNIFICATIVAS (C.S.) Es importante considerar que en Ciencias todo fenómeno es cuantificable, que debe ser expresado en forma numérica, y por lo tanto son los resultados de mediciones. Considere la siguiente operación “Medir el ancho de una hoja de cuaderno” usando una regla graduada en “centíme tros y milímetros”. Se obtiene el siguiente resultado: L = 18,26 cm Para ello se ha estimado las “´decimas de milímetros”; por lo tanto número “6” es dudoso. Si el resultado de la medición fuese:

el

A = 18,265 cm

Se puede afirmar que el número “5” carece de significado : no representa información del instrumento utilizado. Por lo tanto el número de dígitos significativos de un número , resultado de una medición, y que tengan real significado, transmitiendo información útil, se llama número de cifras significativas. Convenio

Expresar los resultados de una medición mediante un número cuyas cifras reflejan el cuidado o precisión con que se efectuó esa medición. La forma de realizar una medición nos determinará el número de dígitos que emplearemos para expresar el resultad o de ella. Luego, el último dígito expresará la incertidumbre en la medición. (Larozze pág60) Se le presentan una serie de ejemplos donde pueda comparar la forma de expresar las cifras significativas. 22 Guillermo Concha – Manuel Torres – Ricardo Montecino

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Cantidad 8 60 5000 10,08 0,02 0.090 0,00400 18x10 6

Significado en Mediciones 7 --- 9 59 --- 61 4999 --- 5001 10,07 --- 10,09 0,01 --- 0,03 0,089 --- 0,10 0,00399 --- 0,00401 17x10 6 --- 19x10 6

Cifras significativas 1 2 4 4 1 2 3 2

Notación científica 8 6,0x10 1 5,000x10 3 1,00810 2x10 - 2 9,0x10 - 2 4,0x10 - 3 1,8x10 7

Criterios a considerar en la determinación de Cifras Significativas. -

No se permite colocar ceros al final de números relacionados con mediciones, aunque se conserve el orden de magnitud de ellos, a menos que estos ceros están avalados por mediciones o por definiciones.

-

En los números decimales cuyo valor absoluto es menor que la unidad, los ceros a la izquierda no son cifras significativas. (Larozze,2012)

-

El uso de notación científica permite escribir un número como el producto de dos factores: uno contiene las cifras significativas y el otro, la potencia de 10 correspondiente.

23 Guillermo Concha – Manuel Torres – Ricardo Montecino

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TRANSFORMACIÓN O CONVERSIÓN DE UNIDADES

Es de hecho común que los resultados de mediciones de una misma cantidad física se expresan en diferentes unidades. La elección de estas unidades depende del orden de magnitud de las cantidades que se manejen. Por lo tanto, para poder usar datos con soltura, es necesario acostumbrarse a transformar unidades. (Larozze, 2012) Aunque en muchas ocasiones las conversiones entre unidades se hacen en forma intuitiva, en general, resulta conveniente efectuarlas sistemáticamente. A continuación explicaremos un a forma de transformar unidades, el llamado método de cancelación. Para aplicar el método de conversión es necesario conocer algunas equivalencias básicas. Ver tabla 3

Debemos tener presente los siguientes pasos para la resolución de los problemas utilizando el método de cancelación : a) Identificación de datos. b) Estrategia de resolución. c) Resolución. d) Comunicación de resultados.

Para actualizar y mejorar tu conocimiento revisa: Teoría http://newton.cnice.mec.es/materiales_didacticos/factoresconversion/fact oresconversion.html . Revisada 29 de junio 2014 24 Guillermo Concha – Manuel Torres – Ricardo Montecino

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Videos http://www.youtube.com/watch?v=iMCfutY4xOQhttp://www.youtube.com/ watch?v=BJfd7iI1I3Y . Revisada 29 de junio

Ahora, como ejemplo, explicaremos el método de cancelación. Transformar o convertir 30 km/h en m/min. 1.- Las fracciones serán dos, porque hay dos cambios que efectuar : 𝟑𝟎 (

𝒌𝒎 ) 𝒙( ) 𝒙( ) 𝒉

2.- La ubicación que se muestra permitirá la cancelación de ‘ km’ y ‘h’: 𝟑𝟎 (

𝒌𝒎 𝒉 ) 𝒙( ) 𝒙( ) 𝒉 𝒌𝒎

3.- Se han ubicado en el lugar deseado ‘ m’ y ‘min’ y se ha colocado un ‘1’ a la unidad mayor de cada fracción: 𝟑𝟎 (

𝒌𝒎 𝒎 𝟏𝒉 ) 𝒙( ) 𝒙( ) 𝒉 𝟏 𝒌𝒎 𝒎𝒊𝒏

4.- Cada fracción vale ‘1’, ya que se ha completado el numerador y denominador con las cantidades equivalentes: 𝒌𝒎 𝟏. 𝟎𝟎𝟎 𝒎 𝟏𝒉 𝟑𝟎 ( ) 𝒙( ) 𝒙( ) 𝒉 𝟏 𝒌𝒎 𝟔𝟎 𝒎𝒊𝒏 5.- Se efectúan las operaciones indicadas: 𝒌𝒎 𝟏. 𝟎𝟎𝟎 𝒎 𝟏𝒉 𝒌𝒎 𝒎 𝟑𝟎 ( ) 𝒙( ) 𝒙( ) → 𝟑𝟎 ( ) = 𝟓𝟎𝟎 ( ) 𝒉 𝟏 𝒌𝒎 𝟔𝟎 𝒎𝒊𝒏 𝒉 𝒎𝒊𝒏

25 Guillermo Concha – Manuel Torres – Ricardo Montecino

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NOTACIÓN CIENTÍFICA Es una manera rápida de representar un número utilizando potencias de base diez. Esta notación se utiliza para poder expresar muy fácilmente números muy grandes o muy pequeños. Los números se escriben como un producto: a ∙ 10 n Siendo: “a" un número real mayor o igual que 1 y menor que 10, que recibe el nombre de coeficiente. El número entero , recibe el nombre de exponente u orden de magnitud. Para saber más: http://es.wikipedia.org/wiki/Notación_científica Consultada el 30 de junio 2014

¿QUÉ ES "REDONDEAR"? Redondear un número quiere decir reducir el número de cifras manteniendo un valor parecido. El resultado es menos exacto, pero más fácil de usar. Ejemplos: 73 redondeado a la decena más cercana es 70, porque 73 está más cerca de 70 que de 80. 3,1416 redondeado a las centésimas es 3,14 , la cifra siguiente (1) es menor que 5 1,2635 redondeado a las décimas es 1,3, la cifra siguiente (6) es 5 o más 1,2635 redondeado a 3 cifras decimales es 1,264 , la cifra siguiente (5) es 5 o más 26 Guillermo Concha – Manuel Torres – Ricardo Montecino

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MAGNITUDES ESCALARES Y VECTORIALES En el estudio de la Física encontramos cantidades como tiempo, masa, carga eléctrica, temperatura, energía, etc., que quedan completamente expresadas por un número real y una cantidad de medición correspondiente. Al trabajar en el contexto de la Física Clásica, usamos el álgebra de los números reales, lo que está de acuerdo con los experimentos, dichas cantidades son cantidades escalares. Magnitud Física Escalar: También en Física encontramos otras cantidades que sólo quedan determinadas cuando se conoce, además de su magnitud, su dirección, y que obedecen reglas algebraicas determinadas. Al igual que el desplazamiento, la velocidad, la aceleración, fuerza, torque, intensidad de campo eléctrico, etc., gozan de las propiedades de los vectores.(Larozze. 2012) Magnitud Física Vectorial: PARA SABER MÁS http://www.vitutor.com/geo/vec/b_1.html . Revisada 29/06/2014 TRABAJO DE PROFUNDIZACIÓN http://www.educaplus.org/play -115-Magnitudes-escalares-yvectoriales.html Revisada 30 de junio 2014

OPERACIONES CON VECTORES : Para comprender el tema, veremos los siguientes enlaces: http://departamento.us.es/dfisap1/ffi/applets/matematicas/vectores / Revisada 30 de junio de 2014 http://www.vadenumeros.es/cuarto/operaciones -con-vectores.htm Revisada 01 de julio 2014 http://www.roverg.nac.cl/usm/fis110/01_cin ematica/0101_repasovec tores.pdf Revisada 01 de julio 2014 http://www.uantof.cl/facultades/csbasicas/fisica/fi sica%20actual/fisi ca/academicos/fmaass/Laboratorio%20Fis%20I%20UPV/VECTORES.ht m Revisada 01 de julio 2014

27 Guillermo Concha – Manuel Torres – Ricardo Montecino

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ALGUNAS CONSIDERACIONES ACERCA DE LOS VECTORES Un vector es todo segmento de recta dirigido en el espacio. Cada vector posee unas características que son: Magnitud, dirección y sentido.

Definiciones 1. Suma y resta gráfica con vectores: La suma de vectores se puede hacer mediante dos métodos: a)

Método del Polígono, para sumar dos vectores proceda de la siguiente manera: a) dibuje el vector A, b) dibuje el vector B a partir del punto final del vector A, c) dibuje el vector A+B, cuyo punto inicial es el punto inicial de A y el punto final es el punto final de B, ver figura.

28 Guillermo Concha – Manuel Torres – Ricardo Montecino

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b) Método del Paralelogramo, para sumar dos o más vectores proceda de la siguiente forma: a) Dibuje el vector A, b) Dibuje el vector B a partir del punto inicial del vector A, punto que denominaremos O, c) Trace una línea paralela al vector A que pase por el punto final del vector B, d) Trace una línea paralela a l vector B que pase por el punto final del vector A. La intersección entre ambas líneas paralelas será el punto P, e) Dibuje el vector A+B, que es aquel cuyo punto inicial es O y cuyo punto final es P, ver figura.

2.

Vector posición 𝑟⃗ : La posición de un cuerpo se describe a través del vector de posición. La flecha que lo representa parte en origen del sistema de coordenadas y termina en el punto donde se ubica el cuerpo en un instante específico. y P(x,y) 𝑟⃗ x

3.

Sea un vector en dos dimensiones (en el plano) y tres dimensiones (en el espacio), se escribe de la siguiente forma: Sean 𝑨𝑿, 𝑨𝒀 , 𝑨𝒁 son las componentes del vector ⃗𝑨⃗.Donde 29 Guillermo Concha – Manuel Torres – Ricardo Montecino

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A X = Proyección del vector A sobre el eje “X”. A Y = Proyección del vector A sobre el eje “Y”. A Z = Proyección del vector A sobre el eje “Z”. Y

𝐴⃗

𝐴𝑌 α

X

𝐴𝑥

4.

⃗𝑨 ⃗⃗ = 𝑨𝑿 𝒊̂ + 𝑨𝒀 𝒋̂ (Dos dimensiones) ̂ (Tres dimensiones) ⃗⃗ = 𝑨𝑿 𝒊̂ + 𝑨𝒀 𝒋̂ + 𝑨𝒁 𝒌 𝑨 Las componentes del vector 𝐴⃗ en dos dimensiones son:

→ 𝐴

Y

𝑨𝒙 = 𝑨 ∙ 𝐜𝐨𝐬 𝜶

𝐴𝑌

𝑨𝒀 = 𝑨 ∙ 𝐬𝐞𝐧 𝜶

α 𝐴𝑥

X

La dirección queda determinada por: 𝑽𝒀 𝜶 = 𝒕𝒈−𝟏 ( ) 𝑽𝑿 5.

̂ son los vectores (cuya módulo o ̂ 𝒋, ̂ 𝒌 Sean los vectores 𝒊, magnitud es igual a ‘1’) unitarios dirigidos según los ejes coordenados 𝑿, 𝒀 y 𝒁.

30 Guillermo Concha – Manuel Torres – Ricardo Montecino

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6.

El módulo de un vector, se puede determinar por la expresión ⃗⃗| = √𝑨𝑿 𝟐 + 𝑨𝒀 𝟐 |𝑨 o la expresión : ⃗⃗⃗| = √𝑨𝑿 𝟐 + 𝑨𝒀 𝟐 + 𝑨𝒁 𝟐 |𝑨 Respectivamente. Correspondiente a la aplicación del Teorema de Pitágoras.

Revisa enlace Web: http://es.wikipedia.org/wiki/Teorema_de_Pitágoras

7.

Se definen los ángulos directores de un vector o cosenos directores, los ángulos 𝜶, 𝜷 y 𝜸 que forman con los ejes coordenados 𝑿, 𝒀 y 𝒁, respectivamente.

8.

Los cosenos directores se pueden 𝐴 𝐴 𝐴 cos 𝛼 = |𝐴⃗𝑋|, cos 𝛽 = |𝐴⃗𝑌| , cos 𝛾 = |𝐴⃗𝑍|.

9.

Los vectores se pueden sumar y/o restar. Tanto para la suma y la diferencia, el vector resultante se obtiene sumando algebraicamente sus componentes, de acuerdo con la ̂. ⃗⃗⃗ = (𝑨𝑿 ± 𝑩𝑿 ±. . )𝒊̂ + (𝑨𝒀 ± 𝑩𝒀 ±. . )𝒋̂ + (𝑨𝒁 ± 𝑩𝒁 ±. . )𝒌 expresión: 𝑹

obtener

aplicando:

⃗⃗ y 𝑩 ⃗⃗⃗ y, se define como: 10. Producto escalar de dos vectores 𝑨 ⃗⃗ = |𝐴⃗| · |𝐵 ⃗⃗ | · cos 𝜃, 𝐴⃗ ∙ 𝐵 Siendo 𝜽 es el ángulo entre los vectores; donde, se obtiene un escalar (número) y se calcula como: ⃗𝑨 ⃗⃗ ∙ ⃗𝑩 ⃗⃗ = (𝑨𝑿 · 𝑩𝑿 ) + (𝑨𝒀 · 𝑩𝒀 ) + (𝑨𝒁 · 𝑩𝒁 ).

31 Guillermo Concha – Manuel Torres – Ricardo Montecino

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11.

Producto vectorial entre dos vectores se obtiene como resultado un tercer vector, cuya dirección es perpendicular al plano determinado por ambos vectores y, el sentido es el que proporciona la regla de la mano derecha y cuyo módulo se obtiene aplicando: ⃗⃗⃗ 𝒙 𝑩 ⃗⃗⃗| = |𝑨 ⃗⃗| · |𝑩 ⃗⃗⃗| · 𝐬𝐢𝐧 𝜽 |𝑨 ⃗⃗ se procede de la siguiente forma: Donde para obtener ⃗𝑨⃗ 𝒙 ⃗𝑩 𝑖̂ ⃗⃗ 𝒙 ⃗𝑩 ⃗⃗ = |𝐴𝑋 𝑨 𝐵𝑋

𝑗̂ 𝐴𝑌 𝐵𝑌

𝑘̂ 𝐴𝑍 | 𝐵𝑍

Donde el módulo del tercer vector corresponde al área del paralelogramo definido por ambos vectores.

12.

Producto mixto de tres vectores. Sean los define 𝐴𝑋 ⃗𝑨⃗ · (𝑩 ⃗⃗⃗ 𝒙 ⃗𝑪⃗): ⃗𝑨⃗ · (𝑩 ⃗⃗⃗ 𝒙 ⃗𝑪⃗) = |𝐵𝑋 𝐶𝑋

⃗⃗ y ⃗𝑪⃗, se vectores ⃗𝑨⃗, ⃗𝑩 𝐴𝑌 𝐵𝑌 𝐶𝑌

𝐴𝑍 𝐵𝑍 | 𝐶𝑍

Donde el resultado del producto mixto de tres vectores representa el volumen del paralelogramo determinado por ellos. Si el resultado de lo anterior es cero o nulo, los vectores son coplanarios.

32 Guillermo Concha – Manuel Torres – Ricardo Montecino

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APLICACIONES DE OPERATORIA CON CIFRAS SIGNIFICATIVAS Ejemplo desarrollado 1 Debemos sumar las mediciones siguientes: 585,3; 92; 140,28 y 722,4 [m] y determinar las cifras significativas correspondientes.

Datos: 585,3; 92; 140,28 y 722,4 [m] Estrategia de resolución: Aplicar convenio de operación (revise página 20)

Directamente 585,3 92 140,28 722,4 ---------1539,98

con máximos 585,4 93 140,29 722,5 ---------1541,19

con mínimos 585,2 91 140,27 722,3 ----------1538,77

aproximado 585, 92 140, 722 -------1539

Resultado: En este caso, aunque la cifra de las decenas aparece dudosa, damos el resultado con 4 C.S. Comunicación de resultados: 1,540x10 3 [m] con 4 C.S.

Ejemplo desarrollado 2 Sumar los valores 421,2; 83; 644,35 y 126,9 [cm] y determinar las cifras significativas correspondientes. Datos: Medida: 421,2; 83; 644,35 y 126,9 [cm] Estrategia de resolución : Aplicar convenios de C.S.(pág. 21 ) 33 Guillermo Concha – Manuel Torres – Ricardo Montecino

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Directamente Con máximos Con mínimos Aproximado

: : : :

1275,45 1276,66 1274,24 1275

Comunicación de resultados : En este caso la “cifra de las unidades” es la dudosa y el resultado es 1275 [cm] = 3 1,275x10 [cm] con 4 C.S.

Ejemplo desarrollado 3 Multiplicar las siguientes medidas: 8,698x10 - 2 [m] x 7,2x10 7 [m] Estrategia de resolución: Aplicar convenios de cifras significativas (pág. 20) Datos: 8,698x10 - 2 [m]

;

7,2x10 7 [m]

Resultados: Directamente Con máximos Con mínimos Aproximado

: : : :

8,698x7,2 8,699x7,3 8,697x7,1 8,7x7,2

= = = =

62,6256 63,5027 61,4787 62,64

= = = =

6,3x10 6,4x10 6,2x10 6,3x10

Comunicación de resultados: El producto es 6,310 6 [m], tiene 2 Cifras Significativas

34 Guillermo Concha – Manuel Torres – Ricardo Montecino

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APLICACIONES DE OPERATORIA CON NOTACIÓN CIENTÍFICA Ejemplos desarrollados: 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.

2×105+3×105=5×105 3×105-0,2×105=2,8×105 2×104+3×105-6×103=(tomamos el exponente 5 como referencia) =0,2×105+3×105-0,06×105=3,14×105 (4×1012)×(2×105)=8×1017 (48×10-10)/(12×10-1)=4×10-9 (3×106)2=9×1012

Los siguientes ejemplos, exprese el valor en Notación Científica. La distancia media de la tierra al Sol que es de 149.597.870,700 m 1. 2. 3.

El tamaño del átomo de hidrógeno es de 0,0000000001 m El número 15.648.723 El número 0,000000000365478

35 Guillermo Concha – Manuel Torres – Ricardo Montecino

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PROCEDIMIENTO DE APLICACIÓN PARA TRANSFORMACIÓN DE UNIDADES. EJERCICIO N° 1-1:

El siguiente automóvil se desplaza Transforme dicha velocidad en m/s.

a

una

velocidad

1km/h.

Solución: a) Identificación de datos: v = 1 km/h b) Estrategia de resolución: -

Se deberá de recurrir a Tabla 3, para ‘recordar’ equivalencias entre diferentes unidades de medida.

c) Resultados:

las

𝑘𝑚 1.000 𝑚 1 𝑚 =1· = ℎ 3.600 𝑠 3,6 𝑠

1 Y, recíprocamente:

𝑚 𝑘𝑚 = 3,6 𝑠 ℎ d) Comunicación de resultados: 1

De aquí se desprende la sencilla regla que para transformar de km/h→m/s dividir por 3,6 ; y para transformar de m/s→km/h multiplicar por 3,6 . Así, por ejemplo: 90

10

km 90 m = = 25 m⁄s m 3,6 s

m km = 10 · 3,6 = 36 km⁄h s h

36 Guillermo Concha – Manuel Torres – Ricardo Montecino

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Aprendizaje esperado 1.1.- Convierte unidades de magnitudes físicas en el Sistema Internacional, y de un sistema de medidas a otro, en función de multiplicación de fracciones, concepto de proporción y notación científica. Criterios de evaluación: 1.1.1 Distingue entre magnitudes f ísica fundamentales y derivadas, de acuerdo a sus unidades de medida. 1.1.2 Transforma unidades de medida de magnitudes físicas y derivadas en el sistema internacional utilizando prefijos con potencias de 10. 1.1.3 Transforma magnitudes físicas derivadas, usando dimensiones algebraicamente. 1.1.4 Transforma unidades de medida de una magnitud física, de un sistema a otro, en función de multiplicación de fracciones y concepto de proporciones.

Aprovechemos para recordar y tener presente las Tablas 1 y Tabla 2 para la resolución de los problemas adjuntos:

37 Guillermo Concha – Manuel Torres – Ricardo Montecino

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Y AHORA, MUCHA ATENCIÓN REVISEMOS UNA EVALUACIÓN FORMATIVA: EJERCICIO N° 1-2: Dadas las siguientes preguntas tipo Selección Múltiple, marque aquella que corresponda según lo solicitado: Solución: 1

De las siguientes alternativas, subraye aquella unidad que NO corresponde a las magnitudes fundamentales del sistema internacional SI: a) b) c)

metro (m) Pascal (Pa) Ampere (A)

2

¿Qué a) b) c) d) e)

magnitud NO está asociada a su unidad base en el SI? cantidad de sustancia – kilogramo masa – kilogramo tiempo – segundo temperatura – Kelvin intensidad de corriente – Ampere

3

¿Cuál el SI? a) b) c)

de las unidades NO corresponde a una unidad fundamental en

4

A – Ampere mol – mol C – Coulomb

d) e)

d) e)

candela (cd) segundo (s)

kg – kilogramo m –metro

Entre las unidades mencionadas, señala la que pertenece a una unidad base en el SI. a) N – Newton d) A – Ampere b) Pascal (Pa) e) g – gramo c) C – Coulomb Solución: 1-b; 2-a; 3- c; 4- a

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Otras aplicaciones desarrolladas para tu mejor comprensión:

PROBLEMA RESUELTO N° 1 -3:

Transformar para este automóvil la velocidad de 360 km/h → m/s Datos: v = 360 km/h

Estrategia de resolución Revisa: Regla de transformación de unidades en pág.16 y tabla n°2 en pág. 24 Resolución: 360

km km 1.000 m 1h = (360 )x( )x( ) h h 1 km 3.600 s

360

km 360 x 1.000 m =( )( ) h 3.600 s

Comunicación de resultados: v = 360

km m = 100 h s

39 Guillermo Concha – Manuel Torres – Ricardo Montecino

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PROBLEMA RESUELTO N° 1 -4:

Convierta para este automóvil la velocidad 30 m/s → milla/h.

Datos: 30 m/s Considere que 1 milla = 1.609,347 m. Verifíquelo en tabla 3 -a pág. 16.

Estrategia de resolución Revisa: Regla de transformación de unidades en pág.16 y tabla n°2 en pág. 24

Resolución: 30

m m 3.600 s 1 milla = (30 ) x ( )x( ) s s 1h 1.609,347 m

30

m 30 x 3.600 milla =( )( ) s 1.609,347 h

Comunicación de resultados v = 30

m milla = 67,108 s h

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PROBLEMA RESUELTO N° 1 -5: Determine la altura del cerro de la figura, en hectómetros si expresado en metros mide 6.780 m. Datos: Altura del cerro 6.780 m

Estrategia de resolución: Primero debemos de tener en cuenta la equivalencia de acuerdo a la Tabla de Prefijos (Tabla 4-A y/o 4-B) Resolución:

1 Hm 6.780 m = (6.780 m ) x ( ) 100 m Comunicación de resultados x = 6.780 m = 67,80 Hm

PARA TENER PRESENTE Los símbolos de los múltiplos o submúltiplo s se escriben en singular. Todos los nombres de los prefijos se escribirán en minúscula. Los símbolos de los prefijos para formar los múltiplos se escriben en mayúscula, excepto el prefijo kilo que por convención será con la letra k minúscula . En el caso de los submúltiplos se escriben con minúsculas. Al unir un múl tiplo o submúltiplo con una unidad del SI, se forma otra nueva unidad. La escritura, al unir múltiplo o submúltiplo con una unidad del SI es la siguiente: Primero: El número (v alor de la magnitud) Segundo: El múltiplo o submúltiplo (dejando un espacio) Tercero: La unidad del SI (sin dejar espacio) 20x10 3 m = 20 km (20 kilómetros) 36,4x10 - 6 F = 36,4 μF (36,4 microfaradios) 41 Guillermo Concha – Manuel Torres – Ricardo Montecino

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PROBLEMA RESUELTO N° 1 -6: Convierta la distancia 400.320 m a km Datos: Medida: x = 400.320 m Estrategia de resolución: Tener en cuenta la equivalencia de acuerdo a la tabla A Resolución: 400.320 m = (400.320 m ) x (

1 km ) 1.000 m

Comunicación de resultados: x = 400.320 m = 400,320 km PROBLEMA RESUELTO N° 1 -7: Indicar la altura que forman 26 discos en lo que cada uno de ellos tiene un espesor de 2 mm, ver dibujo. Expresar el resultado en nm.

Datos: Altura cada disco: altura= 2 mm Estrategia de resolución: Refiérase a la Tabla 4-B.

42 Guillermo Concha – Manuel Torres – Ricardo Montecino

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Resolución: h = 26 x 2 mm

h = 26 x 2 mm x (

1m ) 1.000 mm

h = 52 x 10−3 m 1 nm h = 52 x 10−3 m x ( −9 ) 10 m Comunicación de resultados: h = 52 x 106 nm PROBLEMA RESUELTO N° 1 -8: Determinar en Em la distancia que existe desde el planeta Tierra a una estrella, siendo dicha distancia equivalente a 2 AL (AL = año -luz, distancia que recorre la luz durante un año de 365 días a la velocidad de 300.000 km/s). Datos: tiempo = 1AL (año luz) Estrategia de resolución: Refiérase a la Tabla 4-A.

Resolución: 𝑑 = 2 𝑎ñ𝑜 − 𝑙𝑢𝑧 1 𝑎ñ𝑜 − 𝑙𝑢𝑧 = 300.000

𝑘𝑚 𝑥 365 𝑑í𝑎𝑠 𝑠 43

Guillermo Concha – Manuel Torres – Ricardo Montecino

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1 𝑎ñ𝑜 − 𝑙𝑢𝑧 = 300.000

𝑘𝑚 ℎ 3.600 𝑠 𝑥 365 𝑑í𝑎 𝑥 24 𝑥 𝑠 𝑑í𝑎 ℎ

1 𝑎ñ𝑜 − 𝑙𝑢𝑧 = 300.000 𝑥 365 𝑥 24 𝑥 3.600 𝑘𝑚 1 𝑎ñ𝑜 − 𝑙𝑢𝑧 = 946.080 𝑥 107 𝑘𝑚 103 𝑚 1 𝐸𝑚 1 𝑎ñ𝑜 − 𝑙𝑢𝑧 = 946.080 𝑥 10 𝑘𝑚 𝑥 𝑥 18 𝑘𝑚 10 𝑚 7

1 𝑎ñ𝑜 − 𝑙𝑢𝑧 = 946.080 𝑥 10−8 𝐸𝑚 Comunicación de resultados : 𝑑 = 2 𝑎ñ𝑜 − 𝑙𝑢𝑧 = 2 𝑥 946.080 𝑥 10−8 𝐸𝑚 𝑑 = 1.892.160 𝑥 10−8 𝐸𝑚 ≅ 19 𝑥 10−3 𝐸𝑚

44 Guillermo Concha – Manuel Torres – Ricardo Montecino

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Guía 1: TRANSFORMACIÓN DE UNIDADES FÍSICAS Longitudes, tiempo, áreas y volúmenes Utilizando las Tablas 3A y procedimientos de conversión de unidades descritos, realice las siguientes conversiones de unidades : 34 km → m

34000 m

14 cm → dm

140 dm

56 m → mm

15000 mm

12 Dm → cm

12000 cm

23 h → s

82800 s

18 semanas → días

126 días

36 s → min

2,27 min

11 km2 → m2

11 x 106 m2

23 m2 → cm2

230000 cm2

14 ft → inch

168 inch

15 m → ft

49,21 ft

16 m3 → cm3

16 x 106 cm3

12 km3 → Hm3

12000 Hm3

1

11 km2 → cm2

1,1 x 1011 cm2

16 horas → s

57600 s

Ejercicios de Selección Múltiple y/o desarrollo: 1.a.

La cuarta parte, en centímetros, de 20 m es: a) 40 cm b) 500 cm c) 4m d) 20 cm

1.b.

1.700 a) b) c) d)

m equivalen a: 1 km 7 m 1 km 70 m 170 dam 1 km 700 m

“Los siguientes ejemplos a desarrollar, utiliza los procedimientos descritos en la página: 27 y 28”. Revíselo antes de comenzar de resolverlos. 45 Guillermo Concha – Manuel Torres – Ricardo Montecino

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1.c.

¿Cuánto cuestan 15,2 m de tela si el dm se vende a $ 1,25?

Respuesta/ Identificación de Datos:

Estrategia de resolución:

Resolución:

Comunicación de resultados: R/

1.d.

Se tiene un terreno, para pastar, de forma cuadrada, de 305 dm por lado. Si se quiere cercar con cinco ‘pelos’ de alambre. ¿Cuántos metros de alambre se necesitarán? a) 122 m b) 6.100 m 2 c) 610 m d) 930,25 m 2 1.e La distancia entre la ciudad de Concepción y Santiago es de 540 km aproximadam ente, exprese dicho valor en m .

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Respuesta/ Identificación de datos:

Estrategia de resolución:

Resolución:

Comunicación de resultados: R/ 540000 m

1.f.

Dos autos salen de dos ciudades distintas que están en la misma dirección, en sentido contrario y a 370 km de distancia. Uno de los autos se mueve a una velocidad menor que el otro. Al cabo de tres horas uno había recorrido 12.117.000 cm y el otro 123.000 m. entonces, les falta por recorrer: a) 125 km 830 m b) 147 km c) 143 km 830 m d) 244 km 170 m

Desarrolle el ejemplo, utilizando los procedimientos señalados anteriormente: Identificación de datos: 47 Guillermo Concha – Manuel Torres – Ricardo Montecino

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Estrategia de resolución:

Resolución:

Comunicación de resultados:

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Guía 2: CONVERSIÓN DE UNIDADES FÍSICAS Velocidad, aceleración, Fuerza, densidad Realice las siguientes conversiones de unidades Sistema Internacional de Medidas Recomendación: Revise las magnitudes correspondiente al Sistema Internacional 0,555 m/s

103 mg a kg

1 x 10-3 kg

10.200 g/cm3

9,1 dm/min2 a mm/s2

0,2527 mm/s2

4,68 m/min

5 x1 0 2 m m / h 2 a m / s 2

3,86 x 10-8 m/s2

8,9 Gm/m2 a km/m2

8,9 x 106 km/m2

6,79 m/s2 a cm/h2

8,79 x109 cm/h2

6,62 g/cm3 a lb/pie3

413,28 lb/pie3

1 0 5 m g / m 3 a l b / p ie 3

6,24 x 10 -3 lb/pie3

3,33 km/min a m/s

55,5 m/s

5,3 m/h a cm/s

0,147cm/s

0,82 cm/min a m/s

1,37 x 10-4 m/s

106 g/cm3a kg/ m3

1x 109 kg/m3

2 km/h a m/s 10,2 kg/cm3a g/cm3

7,8 cm/s a m/min

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Guía 3: NOTACIÓN CIENTÍFICA - CIFRAS SIGNIFICATIVAS Ejemplos desarrollados de Notación Científica Número 0,000000000345 0,0006789 3.456.000.000.000 2.300.000.000 0,0205 0,12 8.670.340.000.000.000.000 356 0,000000000000000002 23.098 0,0102 1.054.678 0,00100034 15.487.056 0,000000603 800.000.000 602.300 0,56 0,0000245 0,009206 8.134.000

Notación científica 3,45x10 - 1 0 6,789x10 - 4 3,45x10 1 2 2,3x10 9 2,05x10 - 2 1,2x10 - 1 8,67034x10 1 8 3,56x10 2 2x10 - 1 8 2,3098x10 4 1,02x10 - 2 1,054678x10 6 1,00034x10 - 3 1,5487056x10 7 6,03x10 - 7 8x10 8 6,023x10 5 5,6x10 - 1 2,45x10 - 5 9,206x10 - 3 8,134x10 6

Cifras significativas 3 4 3 2 3 2 6 3 1 5 3 7 6 8 3 1 4 2 3 4 4

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Guía 4: Ejercicios de uso de la Calculadora Científica Ejemplos desarrollados, Operatoria con la calculadora

12,3x101+2,3x102 1,23x102+2,3x102 3,53x102

( 3,1x103 ) x ( 2,2x105 ) ( 3,1x2,2 ) x 103+5 6,82x108

( 4x108 )3 43x108 x 3 64x1024 6,4x1025

897.503.958,43785678x103 ( 8,9750395843785678x108 ) x 103 8,975 x 1011

98.568,73485463478 x 10-9 ( 98.568,73485463478x104 ) x 10-9 9,86 x 10-5

0,0000004435555555 00000004,435555555x10-7 4,435 x 10-7

564,578934x7.458.269,7865x1032 ( 5,65x102 ) x ( 7,46x1038 ) 4,21 x 1041

943.850,43756 0,045000005555555

0,0000030555555 + 0,0000000756374 ( 3,055x10-6 ) + ( 7,56x10-8 ) 3,13 x 10-6

=

9,44 x 105 4,5 x 10−2

2,10 x 107

( 897.503.958,3785678x103 )2 ( 8,975x1011 )2 8,055x1023

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EVALUACIÓN FORMATIVA 1: MAGNITUDES FUNDAMENTALES I Parte: Términos pareados . Escriba en la columna (línea punteada) de la derecha, el número que corresponde a la columna izquierda. Contenido: Revisa antes de responder: Magnitudes Fundamentales. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.

Unidad Mega Unidad Deci Medir Unidad Unidad Centi

fundamental de longitud fundamental de corriente eléctrica

presión de fuerza

____ ____ ____ ____ ____ ____ ____ ____ ____ ____

centímetro 10 - 2 Volt 10 6 libra fuerza Ampere metro comparar 10 - 1 mm de Hg

II Parte: Selección Múltiple: Marque con un círculo la letra de la alternativa correcta. Contenido: Revisa antes de responder: Magnitudes Físicas

1.

La unidad de medid a para la longitud en el “Sistema Internacional de Unidades” es: a) centímetro b) metro c) kilómetro d) decímetro e) metro cuadrado

52 Guillermo Concha – Manuel Torres – Ricardo Montecino

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2.

Un metro equivale a: a) 10 cm b) 100 cm c) 20 mm d) 100 dm e) 0,01 km

3.

La energía se puede medir en el Sistema Internacional en unidades de: I II III a) b) c) d) e)

Watt Joule Caloría

Sólo I Sólo II Sólo III II y III I, II y III

4

Considere sus conocimientos de Notación de Potencias de 10 y marque la opción incorrecta . a) 2.434 = 2,434x10 3 b) un centésimo = 10 - 2 c) 0,00025 = 2,5x10 - 4 d) dos millones = 2x10 6 e) ochenta y siete mil = 8,7x10 3

5

La distancia del Sol a la Tierra es de 1,4963 x10 8 km y de la Tierra a la Luna de 3,84x10 5 km. Cuando estos tres astros están alineados y la Tierra en medio de los dos, la distancia aproximada, del Sol a la Luna será: Justificar con de sarrollo a) 5,336·10 8 Km b) 5,336·10 5 Km c) 1,500·10 8 Km d) 5,34·10 8 Km e) 5,34·10 5 Km

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6

¿Qué es medir una cantidad física? a) Es establecer la relación numérica entre esta cantidad y otra elegida como unidad b) Es definir operacionalmente esta cantidad c) Es establecer la magnitud de esta cantidad d) Es comparar por medio del cociente dicha cantidad física y su unidad de medida e) Ninguna de las alternativas anteriores es correcta

7

La hora moderna tiene 100 min, y 1 min moderno tiene 100 segundos modernos. ¿Cuántos segundos modernos tiene la hora moderna? a) 60 b) 10000 c) 1.000 d) 3.600 e) Ninguna de las anteriores

8

El a) b) c) d) e)

𝑚3 𝑚2

es unidad de la cantidad física: Volumen Área Longitud Densidad Ninguna de las anteriores

9

La longitud de una mesa es 55 cm, exprese esta longitud en metros: a) 5,5 b) 550 c) 0,55 d) 0,055 e) N.A

10

¿Cuáles son las tres magnitudes fundamentales de la física mecánica? a) Masa, Fuerza y Tiempo b) Longitud, Tiempo y Presión c) Longitud, Masa y Tiempo d) Masa, Peso y Presión e) Ninguna de las anteriores

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11

En el Sistema SI. ¿Cuál es la unidad de medida de la velocidad? a) m/s b) Km/h c) cm/s d) m/min e) Ninguna de las anteriores

12

¿A cuántos cm 3 /s equivalen 60 l/min a) 3,6 b) 36 c) 100 d) 1.000 e) 60

13

¿A cuántos pies equivalen 168 pulgadas? a) 0,07 b) 14 c) 144 d) 2.016 e) 100

14

Si el volumen de un cilindro es 𝑽 = 𝝅𝒓𝟐 𝒉. Determine el volumen si el radio es 25 cm y la altura es 30 pulgadas. Exprese su respuesta en el S.I. (Considere 𝝅 = 𝟑, 𝟏𝟒). a) 0,45 b) 0,15 c) 3,14 d) 5,45 e) 0,0045

15

Un auto viaja a 90 km/h. Exprese esta velocidad en m/s: a) 10 b) 45 c) 25 d) 20 e) 90.000

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16

La densidad de una sustancia es de 1,45 g/cm 3 . Exprese esta densidad en kg/m 3 : a) 145 b) 1.450 c) 0,234 d) 14.500 e) 0,145

17

La frecuencia de una onda indica un valor de 2 MHz, esto corresponde a: a) 200 Hz b) 20 Hz c) 2x10 9 Hz d) 2.000.000 Hz e) 0,200

18

Una medida indica un valor de 0,0045 m esto corresponde a: I 0, 45 mm II 0,045 dm III 4,5mm La (s) respuesta (s) correcta (s) es (son): a) b) c) d) e)

Sólo Sólo Sólo Sólo Sólo

I II III I y II II y III

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EVALUACIÓN FORMATIVA 2: CONVERSIÓN DE UNIDADES FÍSICAS. Longitud, masa, tiempo, área y volumen. Realice las siguientes conversiones de unidades utilizando la tabla 3 -A y método de cancelación de transformaciones señaladas anteriormente:

3,3 km → m

3300 m

10 7 cm 3 → m 3

10 m 3

3.700 mm → dam

37 dam

6,2x10 2 km 3 → m 3

6,2 x 10 1 1 m 3

6,5 dam → cm

65 cm

3,7 mm 3 → m 3

3,7 x 10 - 9 m 3

7,7 Gm → km

7,7 x 10 6 km

2,28x10 5 km 3 → cm 3

2,28 x 10 2 0 cm 3

2,84 cm → m

0,0284 m

6 g → kg

6 x 10 - 3 kg

850 cm 2 → dam 2

8,5 dam 2

10 - 3 cg → mg

0,01 mg

8x10 2 mm 2 → km 2

8 x 10 - 1 0 km 2

10 - 3 g → mg

10 - 6 mg

2x10 5 m 2 → hm 2

20 hm 2

3.600 s → días

0,0416 días

6,27x10 3 mm 2 → cm 2

62,7 cm 2

9 años → días

3024 días

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EVALUACIÓN FORMATIVA 3: EJERCICIOS DE NOTACIÓN CIENTÍFICA y USO DE CALCULADORA 1

2

Expresa en notación científica ( cifras significativas, redondeos, etc.):

0,0003725

142.000.000

– 0,00000000431

– 276.400.000.000

Calcular, expresando previamente los números como potencia de 10 o en notación científica: 1000.000 x 0,0000002 x 0,00001 = 2 x 10 - 8 (0,000002) 3 x (20000) 4 = 1,28 0,0000000000374 x 185.000.000 = 6,919 x 10 - 3

3

En cada caso, escribe como potencia de 10: 1.000 = 10 3 1.000.000 = 10 6 1.000 x 10 = 10 4 1.000.000.000.000 = 10 1 2 10.000.000 = 10 7

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4

Escribe el número que representa cada desarrollo exponencial:

7x10 5 +4x10 3

2,8x10 9

5x10 6 +4x10 0

5,000004x10 6

2x10 6 +5x10 5 +4x10 4 +1x10 0

2,54x10 6

9x10 9 +6x10 5 +4x10 1

9,0006x10 9

5

Anota el número que corresponde a la información dada: Radio de la Luna 10 6 m = 1.000.000 m Distancia de la Tierra a la Luna 10 5 km = 100000 Duración promedio de la vida de una persona 10 9 s= 1.000.000.000 s Tiempo que tarda la Tierra en dar una vuelta al Sol 10 7 s = 10.000.000 s

6

Escribe en forma extendida los siguientes números:

2 x 10 8

200.000.000

5 x 10 5

500.000 1730000000000000

3,5 x

10 1 0

3 x 10 - 5

7,4 x 10 - 1 6

350.000.000.000

0.00005

1,73 x

10 1 5

85 x 10

–10

0,0000000085

0,000000000000074 23,6 x 10 - 2 0 0,0000000000000000000236

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7

Escribe en forma abreviada los siguientes números:

0,0000009

9 x 10 - 7

0,000000045

4,5 x 10 - 8

0,0000000000000017

1,7 x 10 - 1 5

0,00000000024

2,4 x 10 - 1 0

8

Expresa en notación científica los siguientes números: Velocidad de la luz: 300.000 km/s = 3 x 10 6 km/s Radio terrestre: 6.370.000 m = 6,37 x 10 6 m Edad de la Tierra: 4.500.000.000 años = 4,5 x 10 9 años Radio de la Luna: 1.700.000 m =1,7 x 10 6 m Desaparición de los dinosaurios: 65.000.000 años = 6,5 x 10 7 Medida del virus de la gripe: 0,000000120 m = 1,20 x 10 - 7 m

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Aprendizaje esperado 1.2.- Resuelve problemas de vectores por medio de teoremas y/o métodos de las componentes rectangulares o cartesianas en el plano, y productos escalares y vectoriales sencillos.

Criterios de evaluación:

1.2.1 1.2.2 1.2.3

1.2.4

1.2.5 1.2.6 1.2.7

Distingue entre magnitudes físicas escalares y vectoriales, de acuerdo a sus propiedades . Calcula las componentes rectangulares de un vector en el plano, en función de su magnitud y su dirección . Calcula la magnitud y dirección de un vector y de un sistema de vectores en el plano, según teoremas trigonométricos y/o componentes rectangulares. Determina el vector resultante en la adición de dos o más vectores utilizando propiedades asociativas y/o conmutativas en la aplicación del método del polígono y/o paralelogramo. Aplica el uso de vectores unitarios para asignar un carácter vectorial a magnitudes físicas básicas. Resuelve problemas prácticos por medio de operatoria básica de escalares con vectores en el plano. Aplica la definición del producto punto o escalar y el producto cruz o vectorial en problemas sencillos. PROBLEMA RESUELTO N° 1-9: Sean los vectores, cuyas coordenadas en el plano son: 𝐴⃗ = 1𝑖̂ − 2𝑗̂ y ⃗⃗ = 6𝑖̂ + 3𝑗̂. Dibuje su representación gráfica y luego calcule: a) la 𝐵 magnitud de cada uno de ellos así como su dirección mediante algún ángulo previamente especificado en la representación gráfica , b) el vector resultante 𝑅̂ = 𝐴̂ + 𝐵̂, c) el producto escalar 𝐴̂ ∙ 𝐵̂ y d) el ángulo ⃗⃗. entre los vectores 𝐴⃗.y 𝐵

Solución: Datos: Diagrama de vectores

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Estrategia de Resolución: Reglas y características de los vectores a) Para calcular la magnitud, utilizamos la expresión (4): ⃗⃗| = √𝑨𝑿 𝟐 + 𝑨𝒀 𝟐 : |𝑨 Resolución: ⃗𝑨⃗ = 𝟏𝒊̂ − 𝟐𝒋̂ → |𝑨 ⃗⃗| = √𝟏𝟐 + (−𝟐)𝟐 = √𝟓 ≈ 𝟐, 𝟐𝟑𝟔 ⃗𝑩 ⃗⃗ = 𝟔𝒊̂ + 𝟑𝒋̂ → |𝑩 ⃗⃗⃗| = √𝟔𝟐 + 𝟑𝟐 = √𝟒𝟓 ≈ 𝟔, 𝟕𝟎𝟖 ⃗⃗ = ⃗𝑨⃗ + ⃗𝑩 ⃗⃗ , utilizamos la b) Para determinar el vector resultante ⃗𝑹 ⃗⃗⃗ = (𝑨𝑿 + 𝑩𝑿 )𝒊̂ + (𝑨𝒀 + 𝑩𝒀 )𝒋̂: expresión (7): 𝑹 ⃗𝑹 ⃗⃗ = (𝟏 + 𝟔)𝒊̂ + (−𝟐 + 𝟑)𝒋̂ = 𝟕𝒊̂ + 𝟏𝒋̂ = 𝟕𝒊̂ + 𝒋̂ ⃗⃗ ∙ 𝑩 ⃗⃗⃗, debemos de utilizar la c) Para determinar el producto escalar 𝑨 ⃗⃗ ∙ 𝑩 ⃗⃗⃗ = (𝑨𝑿 · 𝑩𝑿 ) + (𝑨𝒀 · 𝑩𝒀 ) expresión (8): 𝑨 ⃗⃗⃗ ∙ 𝑩 ⃗⃗⃗ = (𝟏 · 𝟔) + (−𝟐 · 𝟑) = (𝟔) + (−𝟔) = 𝟎 𝑨 62 Guillermo Concha – Manuel Torres – Ricardo Montecino

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⃗⃗ = |𝑨 ⃗⃗⃗| · |𝑩 ⃗⃗⃗| · 𝐜𝐨𝐬 𝜽 , d) Procedemos utilizando la expresión (8): ⃗𝑨⃗ ∙ ⃗𝑩 ⃗⃗ ⃗⃗⃗

⃗⃗.y 𝑩 ⃗⃗⃗, donde 𝐜𝐨𝐬 𝜽 = 𝑨∙𝑩 ; en siendo 𝜽 el ángulo entre los vectores 𝑨 ⃗⃗|·|𝑩 ⃗⃗⃗| |𝑨 cálculo anterior, inciso ( c ) el producto escalar o producto punto resultó ser ‘cero’ ( 0 ): 𝐜𝐨𝐬 𝜽 = 𝟎 ∴ 𝜽 = 𝟗𝟎º

PROBLEMA RESUELTO N° 1 -10: A partir de los vectores dados en el ejercicio anterior, es decir: 𝐴⃗ = ⃗⃗ = 6𝑖̂ + 3𝑗̂. Determine el producto vectorial entre ellos. 1𝑖̂ − 2𝑗̂ y 𝐵 Solución: ⃗⃗ = 6𝑖̂ + 3𝑗̂. Datos: Vectores 𝐴⃗ = 1𝑖̂ − 2𝑗̂ y 𝐵 Estrategia de resolución : Para resolver lo solicitado , utilizamos la expresión (9): 𝑖̂ ⃗⃗ 𝒙 ⃗𝑩 ⃗⃗ = |𝐴𝑋 𝑨 𝐵𝑋

𝑗̂ 𝐴𝑌 𝐵𝑌

𝑘̂ 𝐴𝑍 | 𝐵𝑍

Resolución: 𝑖̂ 𝑗̂ 𝑘̂ ⃗𝑨⃗ 𝒙 ⃗𝑩 ⃗⃗ = |1 −2 0| = + |−2 3 6 3 0

0 1 0 1 −2 ̂ | 𝑖̂ − | | 𝑗̂ + | |𝑘 0 6 0 6 3

+(−𝟐 · 𝟎 − 𝟑 · 𝟎)𝑖̂ − (𝟏 · 𝟎 − 𝟔 · 𝟎)𝑗̂ + (𝟏 · 𝟑 − 𝟔 · −𝟐)𝑘̂ = +𝟎𝑖̂ − 𝟎𝑗̂ + (𝟑 + 𝟏𝟐)𝑘̂ = 𝟏𝟓𝑘̂

Comunicación de Resultados : ⃗⃗ 𝒙 𝑩 ⃗⃗⃗ = 𝟏𝟓𝑘̂ ∴ 𝑨 Este vector es perpendicular al plano que contiene los vectores A y B.

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Guía 5: EJERCICIOS DE VECTORES. APLICACIONES 1

Dados los siguientes vectores, realizar gráficamente las operaciones ⃗⃗; b) ⃗𝑨⃗ + ⃗𝑩 ⃗⃗ + ⃗𝑪⃗; c) ⃗𝑨⃗ − ⃗𝑩 ⃗⃗; d) de suma y resta que se indican: a) ⃗𝑨⃗ + ⃗𝑩 ⃗𝑨 ⃗⃗ + ⃗𝑩 ⃗⃗ − ⃗𝑪⃗ 𝐴⃗

𝐶⃗

⃗⃗ 𝐵

Respuesta:

⃗⃗ 𝐵

𝐶⃗

𝐴⃗

a)

2

−𝐶⃗ ⃗⃗ 𝐵

𝐴⃗

⃗⃗ 𝐵

⃗⃗ −𝐵

𝐴⃗

b)

𝐴⃗

c)

d)

Indicar como se representa un vector cualquiera en componentes y como se obtiene su módulo o magnitud. Respuesta: Se representa gráficamente mostrándolo desde el origen del sistema de coordenadas formando un triángulo rectángulo cuyos catetos representan las componentes del vector y cuya hipotenusa es la magnitud del mismo, tal como se ve en la figura adjunta. 64 Guillermo Concha – Manuel Torres – Ricardo Montecino

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𝐴⃗ = 2𝑖̂ + 3𝑗̂ → |𝐴̂| = √22 + 32

3

Indicar como se deben sumar o restar los vectores usando sus componentes. Respuesta: Para sumar (restar) dos vectores se suman (restan) sus componentes en X e Y por separado, es decir: Sean 𝐴⃗ = 2𝑖̂ + 3𝑗̂ y 𝐵̂ = 4𝑖̂ + 5𝑗̂. ⃗⃗ = 6𝑖̂ + 8𝑗̂. La suma de los vectores es 𝑆⃗ = 𝐴⃗ + 𝐵 ⃗⃗ = 𝐴⃗ − 𝐵 ⃗⃗ = −2𝑖̂ − 2𝑗̂ La diferencia entre vectores es 𝐷

4

Determinar lo que se solicita según dibujo adjunto: a) vector posición y magnitud de un objeto que está en el punto Q; b) vector posición y magnitud de un objeto que está en el punto P; c) vector desplazamiento de un objeto que se mueve de Q a P .

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Respuesta: ⃗⃗ = −3𝑖̂ + 4𝑗̂ 𝑄

⃗⃗ | = 5 |𝑄

𝑃⃗⃗ = 5𝑖̂ + 3𝑗̂

|𝑃⃗⃗| = 5,8

⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 8𝑖̂ − 𝑗̂ 𝑃𝑄

⃗⃗⃗⃗⃗⃗ | = 8,1 |𝑃𝑄

66 Guillermo Concha – Manuel Torres – Ricardo Montecino

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5

Si un auto realiza los siguientes desplazamientos indicados en forma consecutiva: 5 km al E, 4 km al N, 2 km al W, 2 km al S: a) mostrar los desplazamientos en forma gráfica, b) vector resultante de los desplazamientos, c) distancia al punto de partida luego del viaje, d) vector desplazamiento si regresa al punto de partida luego del viaje inicial Respuesta:

𝑟⃗ = 3𝑖̂ + 2𝑗̂, (Vector resultante o suma) |𝑟⃗| = 3,6 𝑘𝑚, (Distancia al punto de partida)

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Guía 6: EJERCICIOS DE VECTORES. APLICACIONES 1

Resuelva las siguientes sumas vectores, utilizando los métodos: a) del triángulo y, b) del paralelogramo.

2

Teniendo en cuenta los valores y dirección de cada vector representado, realiza las sumas indicadas, utilizando el método del polígono:

68 Guillermo Concha – Manuel Torres – Ricardo Montecino

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a) c) e) 3

⃗⃗ + 𝐶⃗ + 𝐷 ⃗⃗ 𝐴⃗ + 𝐵 ⃗⃗ − 𝐷 ⃗⃗ + 𝐴⃗ 𝐶⃗ + 𝐵 ⃗⃗ − 𝐶⃗ + 𝐷 ⃗⃗ 𝐴⃗ − 𝐵

b) d) f)

⃗⃗ + 𝐶⃗ + 𝐵 ⃗⃗ − 𝐴⃗ –𝐷 ⃗⃗ + 𝐶⃗ + 𝐷 ⃗⃗ + 𝐴⃗ 𝐵 ⃗⃗ − 𝐶⃗ − 𝐷 ⃗⃗ −𝐴⃗ − 𝐵

Teniendo en cuenta los valores y dirección indicada, hallar la suma de los vectores por medio del método de las componentes rectangulares.

⃗⃗ + 𝐶⃗ + 𝐷 ⃗⃗ 𝐴⃗ + 𝐵

⃗⃗ 𝐸⃗⃗ + 𝐹⃗ + 𝐺⃗ + 𝐻

69 Guillermo Concha – Manuel Torres – Ricardo Montecino

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Guía 7: APLICACIONES DE VECTORES INTERPRETA, GRAFICA Y CALCULA 1

⃗⃗ son: 𝑉𝑋 =12u y 𝑉𝑌 =5u. Las componentes rectangulares de un vector 𝑉 ⃗⃗ respecto del eje X. R/ Determine el módulo y dirección del vector 𝑉 13; 22,62°

2

⃗⃗⃗ en el eje X es 𝑀𝑋 =3,88 y la Si la componente de un vector 𝑀 dirección del vector es 40⁰. Determine: a) Módulo del vector, b.) Las coordenadas del extremo del vector si su origen es (0, 0). R/ a) 5,06; b) (3,88; 3,25).

3

⃗⃗ de módulo igual a 13u de longitud que forma un Dado un vector 𝐷 ángulo de 22,6⁰ con el eje X medido en sentido positivo. ¿Cuáles son sus componentes? R/ (12; 5)

4

Un avión despega en un ángulo de 30⁰ con la horizontal. La componente horizontal de su velocidad es 150 km/h. ¿Cuánto vale la componente vertical de su velocidad? R/ 86,6 km

5

Un bote a motor se dirige al N a 20 km/h, en un lugar donde la corriente es de 8 km/h en la dirección Sur 70⁰ Este. Encontrar la velocidad resultante del bote. R/ 12,79 km/h

6

Un cartero viaja: ⅟₂ km al E, ⅟₄ km al N, ¾ km al NO, ⅟₂ km al S, 1 km al SO. Determine el despla zamiento resultante del cartero y el valor del ángulo, con respecto al eje de referencia (X ). R/ 0,56 km; -67,79°

7

Un nadador va a cruzar perpendicularmente un río cuya corriente tiene una rapidez de 3 km/h Si el nadador va a razón de 10 m/min, ¿Cuál es e l módulo de su velocidad resultante? R/ 0,85 m/s

70 Guillermo Concha – Manuel Torres – Ricardo Montecino

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8

Tres vectores de igual clase están orientados como se muestra en la figura, donde A=20u, 45⁰, B=40u; 90⁰ y C=30 u; 315⁰. Si se efectúa la suma entre los tres vectores, encuentre: a) las componentes rectangulares del vector resultante R; b) la magnitud y dirección del vector resultante. R/ a) (35,35;32,93); b) 48,31,42,97°

9

⃗⃗ (40, 120);𝐶⃗(2, 3); 𝐷 ⃗⃗ (2, −5). Dados los siguientes vectores: 𝐴⃗(30, 20); 𝐵 Efectué el producto punto y el producto cruz entre los vectores: 𝐴⃗ y ⃗⃗; 𝐶⃗ y 𝐷 ⃗⃗ ; 𝐴⃗ y 𝐶⃗ R/ 3600, 2800 k; -40, 250 k; 120, 10 k. 𝐵

10

⃗⃗ 𝑦 𝐶⃗ de la misma clase, se suman entre sí. Dados los vectores 𝐴⃗, 𝐵 Determine las componentes del vector 𝐶⃗ , para que el vector resultante sea cero.

11

Un hombre y un joven tiran de un fardo que se encuentra sobre el suelo, aplicando fuerzas de 100 N y 80 N de módulo respectivamente. Si la fuerza que aplica el joven es paralela al suelo y las fuerzas forman entre ellas un ángulo de 37⁰. Calcular la fuerza resultante sobre el fardo. R/ 170,81 N

12

Dos fuerzas se aplican sobre un cuerpo en el mismo punto. Siendo ⃗⃗=10 N. ¿Qué valor tiene las componentes rectangulares de 𝐴⃗=5 N y 𝐵 la fuerza resultante sobre el cuerpo? R/ 15i + 0j N

71 Guillermo Concha – Manuel Torres – Ricardo Montecino

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13

En el esquema se muestran tres vectores ubicados en un sistema de coordenadas cartesianas con sus respectivos módulos. Calcule el módulo del vector resultante. R/ 4,34 N

14

Sobre una argolla fija en la pared, se aplican dos fuerzas, según figura. ¿Cuál es el módulo de la fuerza resultante? R/ 69,99 N

15

El ángulo entre dos fuerzas es 74⁰, y cada fuerza tienen módulos iguales de 25 N. Calcule el módulo de la fuerza resultante. R/ 39,93 N

16

Un hombre camina 5 km hacia el E y luego 10 km hacia el N. ¿A qué distancia se encuentra de su punto de partida? Si hubiera caminado en línea recta hacia su destino, ¿en qué dirección debería haberlo hecho? R/ 11,2 km y su dirección es 27º al E del N

17

Dos remolcadores tiran de un barco. Cada uno ejerce una fuerza de 6x10 4 N, y el ángulo entre los cables de tracción es de 60º. Determinar la fuerza resultante que actúa sobre el barco. R/ 10,4x10 4 N

18

Un bote que se desplaza a 5 km/h cruza un río. La velocidad de la corriente del río es de 3 km/h. ¿En qué dirección debe avanzar el bote para alcanzar la otra orilla en un punto directamen te opuesto al de partida? R/ 53°

19

Para ir de una ciudad a otra, un auto viaja 30 km al N, 50 km al O y 20 km al SE. ¿Cuál es, aproximadamente, la distancia entre l as dos ciudades? R/ 39 km 72 Guillermo Concha – Manuel Torres – Ricardo Montecino

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20

Resuelva el ejercicio Nº ‘17 ‘usando trigonometría R/ 11,2 km y su dirección es 27º al E del N

21

Un hombre ejerce una fuerza de 50 N sobre un carro, con un ángulo de =30º sobre la horizontal. Determinar las componentes vertical y horizontal de dicha fuerza. R/ F X =43,3 N y F Y =25,0 N

22

Un auto que pesa 15.000 N desciende por una carretera cuya inclinación es de 20º con respecto a la horizontal. Encontrar las componentes del peso del auto en las direcciones paralela y perpendicular al camino. R/ 5.130 N y 14.100 N

23

Un bote se dirige hacia al N con una rapidez de 8 km/h. Un fuerte viento lo empuja hacia el O con una rapidez de 2 km/h. Además, existe una corriente en dirección 30º al S del E cuya rapidez es de 5 km/h. ¿Cuál es la velocidad del bote con respecto a la superficie terrestre? R/ 6,0 km/h

24

Las cuatro fuerzas concurrentes mostradas tienen una sum a vectorial igual a cero. Si F B =800N, F C = 1000N y F D = 900 N. ¿Cuál es la magnitud de F A y el ángulo 𝛼. R/ 1720 N ; 33,3 0 Y

FB

FC

700

𝛼

300 200

FA X

25 Las tres fuerzas de la figura actúan sobre un cuerpo materializado en el origen. Hallar la resultante y su dirección. Resp: 252,53 N ; 113,1 0

300N

450

200 N

300

530

100N

73 Guillermo Concha – Manuel Torres – Ricardo Montecino

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Guía 8: EJERCICIOS DE VECTORES 1

⃗⃗ = 3𝑖̂ − 4𝑗̂ + 2𝑘̂; 𝐶⃗ = Dados los siguientes vectores: 𝐴⃗ = 10𝑖̂ + 5𝑗̂ + 3𝑘̂ ; 𝐵 2𝑖̂ + 6𝑗̂ − 4𝑘̂. Determinar: a) 𝐴⃗ + 𝐵̂= (13,1,5) b) 𝐴⃗ − 𝐵̂ = (7,9,1) ⃗⃗ + 𝐶⃗/2 = (12,25,-3) c) 2𝐴⃗ − 3𝐵 ⃗⃗)= 300 d) 𝐴⃗ • (3𝐶⃗𝑥𝐵

2

⃗⃗ = 6𝑖̂ − 𝑗̂ . Grafique y Dados los siguientes vectores: 𝐴⃗ = 4𝑖̂ + 6𝑗̂ y 𝐵 calcule el ángulo formado por los vectores. R/ 65,8°

3

En cada caso hallar un vector s, que tenga la magnitud y direcciones dadas: 𝜋 𝜋 a) |𝑆⃗| = 8; 𝜃 = 3 b) |𝑆⃗| = 3; 𝜃 = 6 R/ (4; 6.93) R/ (2,59;1,5)

4

⃗⃗ = (3, −2, 8) . Hallar un vector unitario en la Sean 𝑃⃗⃗ = (2, 1, 4) y 𝑄 dirección ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑃𝑄 y en la dirección opuesta a la de ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑃𝑄 . R/ (0,196, - 0,589, 0.789); ( -0,196, 0,589, -0,789)

5

Para a) b) c)

cada uno de los siguientes vectores calcule su magnitud: 𝑣⃗ = −2𝑖̂ − 3𝑗̂ − 4𝑘̂ = 5,39 𝑣⃗ = 𝑖̂ + 2𝑘̂ = 2,24 𝑣⃗ = 2𝑖̂ + 5𝑗̂ − 7𝑘̂ = 8,83

74 Guillermo Concha – Manuel Torres – Ricardo Montecino

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6

Calcular el producto vectorial para los siguientes vectores: a) 𝑢 ⃗⃗(−2, 3) 𝑦 𝑣⃗(−7, 4)= 13 k b) 𝑢 ⃗⃗(1, 7, −3) 𝑦 𝑣⃗(−1, −7, 3) = 0 c) 𝑢 ⃗⃗(10, 7, −3) 𝑦 𝑤 ⃗⃗⃗(−3, 4, −3)= (-9,-39,60)

7

En cada uno de los casos, calcular el producto escalar de los siguientes vectores: a) 𝑢 ⃗⃗(2, 5) 𝑦 𝑣⃗(5, 2) = 20 b) 𝑢 ⃗⃗(−5, 0) 𝑦 𝑣⃗(0, 18) = 0 c) 𝑢 ⃗⃗(−3, 4) 𝑦 𝑤 ⃗⃗⃗(−2, −7) = 22

8

Interprete, grafique y calcule si los siguientes vectores son paralelos, ortogonales o ninguno de los dos casos anteriores. Luego dibuje cada situación. a) 𝑢 ⃗⃗(3, 5) 𝑦 𝑣⃗(−6, −10) = ni paralelos ni ortogonales; -68 b) 𝑢 ⃗⃗(2, 3) 𝑦 𝑣⃗(−6, 4) = 0, son perpendiculares c) 𝑢 ⃗⃗(2, 3) 𝑦 𝑤 ⃗⃗⃗(6, 4)= 24, = ni paralelos, ni perpendiculares d) 𝑢 ⃗⃗(2, −6) 𝑦 𝑣⃗(−1, 3) = -20, ni paralelos ni perpendiculares

75 Guillermo Concha – Manuel Torres – Ricardo Montecino

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Guía 9: VECTORES Preguntas de vectores Interprete y explique: 1. ¿Cuál es la diferencia fundamental entre un escalar y un vector? 2. Da 5 ejemplos de magnitudes escalares y 5 ejemplos de magnitudes vectoriales 3. Explica las características de las magnitudes vectoriales 4. Define con tus propias palabras que es un vector 5. Explica cómo se determina la m agnitud o módulo de un vector 6. Explica cómo se determina el sentido de un vector 7. Explica cómo se determina la dirección de un vector 8. Explica cuando 2 vectores son iguales 9. Justifica o refuta los siguientes enunciados a. Si 2 vectores son paralelos, entonces son iguales b. Si 2 vectores son iguales, entonces son paralelos c. Si 2 vectores tienen la misma magnitud, entonces son iguales d. Si 2 vectores tienen la misma dirección, entonces son iguales 10. Explica con tus propias palabras las diferencias entre los métodos del triángulo y del paralelogramo para sumar vectores 11. Explica qué son componentes rectangulares de un vector Explica los pasos rectangulares

para

sumar

vectores

mediante

los

componentes

¿Cuáles son las características de las magnitudes proporcionales ? (gráfica, ecuación que las liga)

directamente

76 Guillermo Concha – Manuel Torres – Ricardo Montecino

Unidades de Aprendizaje FÍSICA MECÁNICA Disciplinas Básicas: Física

¿Cuáles son las características de las magnitudes proporcionales? (gráfica y ecuación que las liga)

inversamente

Cuando 2 magnitudes están en proporción lineal, ¿cuáles son sus características? (gráfica y ecuación que las liga) Con la orientación en clase y las que da el penúltimo hipervínculo se realizará la práctica indicada en el mismo

77 Guillermo Concha – Manuel Torres – Ricardo Montecino

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Guía 10: EVALUACIÓN SUMATIVA DE VECTORES 1

En el paralelepípedo de la figura indica cuál de las igualdades es cierta:

a) b) c) d) e)

𝑎⃗ − 𝑏⃗⃗ − 𝑐⃗ = 𝑑⃗ 𝑎⃗ − 𝑖⃗ + 𝑓⃗ = 𝑑⃗ 𝐚⃗⃗ + 𝐝⃗ + 𝐜⃗ = ⃗𝐢 𝑎⃗ − 𝑒⃗ + 𝑖⃗ = 𝑑⃗ Ninguna de las anteriores

2 Cuatro fuerzas actúan sobre un perno P como se muestra en la figura. Determine la resultante de las fuerzas sobre el perno.

a)

200 N

4,1⁰ 78

Guillermo Concha – Manuel Torres – Ricardo Montecino

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b) c) d)

400 N 350 N 500 N

5⁰ 2,5⁰ 3,8⁰

3 Determine la magnitud de la fuerza resultante y su dirección sobre el dispositivo de la figura . R/ 97,8; 46,5°

a) b) c) d)

97,8 N 100 N 250 N 150 N

46,5 0 50⁰ 75⁰ 57⁰

4

Es cierto que el módulo de la suma de dos vectores es igual a la suma de los módulos de los vectores a) Si, siempre b) Si, si tienen la misma dirección c) Si, si tienen los mismos módulos d) Si, si tienen la misma dirección y sentido e) No, en ningún caso

5

Dados los vectores 𝑢 ⃗⃗ = (1, −2) y 𝑣⃗ = (−2, 2), calcular: (𝑢 ⃗⃗ + 𝑣⃗) ∙ 𝑣⃗ R/ 2 (2, −2) a) (2, 0) b) c) 2 d) −2 e) 4 79 Guillermo Concha – Manuel Torres – Ricardo Montecino

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6

Los vectores de la figura tienen la misma magnitud. Si 𝑟⃗ = 2𝑎⃗ − 𝑏⃗⃗ + 𝑐⃗, entonces el vector que mejor representa la dirección de 𝑟⃗ es: R/ E

7

Dados los vectores 𝑢 ⃗⃗(2, 4) y 𝑣⃗(3, 1), referidos a una base ortonormal, determinar el módulo del vector 𝑢 ⃗⃗ − 𝑣⃗ R/ √𝟏𝟎 a) 2 b) √2 c) √10 d) 10 e) 5

8

Los módulos de tres vectores 𝑎⃗, 𝑏⃗⃗ y 𝑐⃗ son 3, 4 y 7, respectivamente. Como han de ser los vectores para que se cumpla 𝑎⃗ + 𝑏⃗⃗ + 𝑐⃗ = 0: ⃗⃗ ⊥ 𝒂 ⃗⃗ 𝒚 𝑏⃗⃗ a) El vector 𝒄 b) El vector 𝑐⃗ ∥ 𝑎 𝑎⃗ + 𝑏⃗⃗ c) De igual dirección y 𝑐⃗ sentido contrario a 𝑎⃗ 𝑦 𝑏⃗⃗ d) 𝑎⃗, 𝑏⃗⃗ 𝑦 𝑐⃗ perpendiculares entre ellos e) No pueden sumar 0 en ningún caso

9

El punto de coordenadas (4, 1), al reflejarlo en el eje X, tiene nuevas coordenadas en: R/ (4,-1) 80 Guillermo Concha – Manuel Torres – Ricardo Montecino

Unidades de Aprendizaje FÍSICA MECÁNICA Disciplinas Básicas: Física

a) b) c) d) e)

(-4, 1) (0,-1) (0, 1) (4, -1) (4, 0)

10

¿Es posible que la suma de dos vectores no nulos sea el vector nulo? a) Sí, siempre b) Sí, si son perpendiculares c) Sí, si tienen la misma dirección y sentido d) Sí, si tienen la misma dirección y sentido opuesto e) No, en ningún caso

11

El módulo de 𝑢 ⃗⃗(−3, 4) es: R/ 5 a) 5 b) 25 c) 7 d) √7 e) 1

12

Si 𝑎⃗ = (2, 1) y 𝑏⃗⃗ = (0, 1), entonces 𝑎⃗ ∙ 𝑏⃗⃗ = R/ 1 a) 1 b) 2 c) 3 d) (2, 1) e) (0, 1)

13

Si 𝑎⃗ = (2, 3) y 𝑏⃗⃗ = (−3, 1), entonces 𝑎⃗ + 𝑏⃗⃗ = R/ (1,4) a) (1, 4) b) (-1, 2) c) (5, 2) d) (-1,4) e) Ninguna de las anteriores

81 Guillermo Concha – Manuel Torres – Ricardo Montecino

Unidades de Aprendizaje FÍSICA MECÁNICA Disciplinas Básicas: Física

14

Si 𝑎⃗ = (1, 2) y 𝑏⃗⃗ = (3, −1) . Entonces 𝑎⃗ − 𝑏⃗⃗ = R/ (-2,1) a) (-2, 1) b) (-2, 3) c) (4, 1) d) (4, 3) e) (2, -3)

15

Si al polígono cuyos vértices son los puntos A (5, 4), B (6, 1) y C(9, 8) se le realiza un desplazamiento de vector ( -4, -3),entonces sus vértices quedaran en los puntos: a) A(-1, -1); B(-2, 2) y C(-5, 5) b) A(1, -1); B(2, 2) y C(-5, -5) c) A(-1, 1); B(-2, 2) y C(5, 5) d) A(-1, 1); B(-2, -2) y C(-5, 5) e) A(1, 1); B(2, -2) y C(5, 5)

16

El módulo del vector 𝑎⃗ = (5, 12) es: R/ 13 a) 13 b) 15 c) 17 d) 20 e) 12

82 Guillermo Concha – Manuel Torres – Ricardo Montecino

Unidades de Aprendizaje FÍSICA MECÁNICA Disciplinas Básicas: Física

UNIDAD 2: CINEMÁTICA Cinemática Movimiento

Estudia Causas Sin entender

Caracterizado

Rectilínea Trayectoria Curvilínea

Elementos Posicion Distancia Recorrida Desplazamiento

Media Velocidad Instantánea

83 Guillermo Concha – Manuel Torres – Ricardo Montecino

Unidades de Aprendizaje FÍSICA MECÁNICA Disciplinas Básicas: Física EN ESTA UNIDAD:

Conocerás y comprenderás: La descripción y representación gráfica de los rectilíneos uniformes (MRU) y acelerados (MRUA) . La descripción y representación gráfica de los curvilíneos, circulares y parabólicos . Vector posición, desplazamiento, velocidad .

movimientos movimientos

Desarrollarás habilidades para: Analizar, interpretar y procesar dat os experimentales de MRU y MRUA. Analizar, interpretar y procesar datos experimentales de movimientos circula res y parabólicos. Formular explicaciones de situaciones cotidianas, ap licando las leyes de Cinemática. Identificar y resolver problema s relacionados con el movimiento.

Desarrollarás actitudes para: Apreciar los beneficios de la Cinemática en el transporte diario, Conocer problemas cotidianos en tu con los difere ntes movimientos de los cuerpos, Reconocer la importancia de la prevención y responsabilidad de conducir o viajar en automóvil.

84 Guillermo Concha – Manuel Torres – Ricardo Montecino

Unidades de Aprendizaje FÍSICA MECÁNICA Disciplinas Básicas: Física

La Cinemática, e s la parte de la mecánica que estudia el movimiento, prescindiendo de las causas que lo producen. Se trata de responder, entre otras, a las siguientes preguntas: ¿Cómo se mueven los cuerpos? ¿Qué es la trayectoria? ¿Cómo se representan los movimientos? ¿Qué es un movimiento uniforme? ¿Qué es un movimiento acelerado? Y muchas más. MOTIVACIÓN: Revisa los siguientes videos: Revisada 6/7/2014 http://www.youtube.com/watch?v= xNKU5mdfL4&feature=player_detailpage http://www.youtube.com/watch?v=6A7MRVUT8SE&feature=player_ detailpage http://www.youtube .com/watch?v=bFHlwNZVZl0&feature=player_d etailpage http://www.youtube.com/watch?v=bFHlwNZVZl0&feature=player_d etailpage

Entonces, nos podríamos preguntar por qué el movimiento es el fenómeno físico que se estudia siempre primero en un curso de Física General. La respuesta es simple: se trata de uno de los fenómenos más cotidianos que ocurre a nuestro alrededor, incluso la naturaleza nos presenta movimientos de fácil observación y francamente bellos. El estudio riguroso de cualquier hecho exige describirlo con precisión. ¿Qué necesitamos para observar un movimiento? Un instrumento imprescindible para observar y analizar un movimiento es un medidor de tiempos. Imagino que se te pueden ocurrir varios instrumentos para este fin. Nosotros pensaremos en un simple cronómetro que nos irá marcando los instantes durante los cuales realizamos las observaciones. Además necesitamos definir con precisión otros co nceptos: Sistema de Referencia, trayectoria, desplazamiento. 85 Guillermo Concha – Manuel Torres – Ricardo Montecino

Unidades de Aprendizaje FÍSICA MECÁNICA Disciplinas Básicas: Física

1.

2.

PUNTO DE REFERENCIA: Es todo punto que se considera inmóvil y desde el cual se puede efectuar mediciones.

SISTEMA DE REFERENCIA: El lugar desde donde se observa la posición del móvil. El ojo del observador es un sistema de referencia. Es todo sistema de ejes coordenados que contiene un punto de referencia en su intersección llamado origen .

3.

POSICIÓN: La posición de un punto nos informa acerca de su movimiento. Es la localización de un punto en el espacio. En un sistema de referencia cartesiano, la posición viene determinada por tres coordenadas: X, Y, Z. La posición se representa en general por P(x,y,z)

4.

MOVIMIENTO: Es un cambio continuo de posición.

5.

VECTOR POSICIÓN: Es el vector cuyo origen se halla en el origen de coordenadas y cuyo extremo coincide en cada instante con la posición del punto móvil. Se representa por 𝑥⃗ = 𝑥 𝑖̂ + 𝑦 𝑗̂ + 𝑧 𝑘̂. Cuando el punto se mueve, sus coordenadas varían con el tiempo. La posición del punto móvil en cualquier instante será: 𝑥⃗(𝑡) = 𝑥(𝑡)𝑖̂ + 𝑦(𝑡)𝑗̂ + 𝑧(𝑡)𝑘̂

86 Guillermo Concha – Manuel Torres – Ricardo Montecino

Unidades de Aprendizaje FÍSICA MECÁNICA Disciplinas Básicas: Física

6.

TRAYECTORIA: La trayectoria nos dice qué camino ha seguido una partícula que se traslada desde la posición 𝑃0 a la posición 𝑃1 ; se define la trayectoria como cada una de las curvas descritas por la partícula en su traslación. Es decir, se puede ir de 𝑃0 a 𝑃1 por infinitas trayectorias. De acuerdo a su trayectoria los movimientos se clasifican en rectilíneos y curvilíneos.

7.

DESPLAZAMIENTO: El vector desplazamiento entre dos instantes es un vector que une el vector posición inicial y el final. Su sentido va del inicial al final. Es el vector que une la posición correspondiente al instante t con la posición 𝑡 + ∆𝑡. Si ambas posiciones se representan , respectivamente, por 𝑃0 y 𝑃1 , el desplazamiento será el vector ∆𝑟⃗, representado en la figura: Z 𝑃0 𝑟⃗⃗⃗0

∆𝑟⃗

𝑃1

𝑟⃗⃗⃗1

Trayectoria de la partícula

Y X

El símbolo “Δ” (delta) tiene un significado en Física, como una variación o cambio entre una situación final y una inicial El vector desplazamiento se obtiene restando el vector posición inicial al vector posición final: ∆𝑟⃗ = 𝑟⃗⃗⃗1 − ⃗⃗⃗ 𝑟 0 = (𝑥1 − 𝑥0 ) 𝑖̂ + (𝑦1 − 𝑦0 ) 𝑗̂ + (𝑧1 − 𝑧0 ) 𝑘̂ = ∆𝑥⃗ + ∆𝑦⃗ + ∆𝑧⃗

8.

DISTANCIA: Corresponde desplazamiento.

a

la

magnitud

o

módulo

del

vector

|∆r⃗| = √ ∆x 2 + ∆y 2 + ∆z 2

9.

DISTANCIA RECORRIDA: Es la longitud de la trayectoria de una partícula en un intervalo de tiempo 87 Guillermo Concha – Manuel Torres – Ricardo Montecino

Unidades de Aprendizaje FÍSICA MECÁNICA Disciplinas Básicas: Física 10.

VELOCIDAD MEDIA: El vector velocidad media entre dos puntos es el cociente entre el vector desplazamiento y el tiempo transcurrido. La velocidad media durante el intervalo de tiempo comprendido entre los instantes 𝑡 𝑦 ∆𝑡 se expresa por el cuociente: 𝑣⃗𝑚 = La cual se expresa en

11.

𝑚 𝑠

∆𝑟⃗ ∆𝑥 ∆𝑦 ∆𝑧 = 𝑖̂ + 𝑗̂ + 𝑘̂ ∆𝑡 ∆𝑡 ∆𝑡 ∆𝑡

en el sistema SI. Sus dimensiones son L·T - 1 .

RAPIDEZ MEDIA: Es una magnitud escalar que mide el espacio recorrido o distancia recorrida en la unidad de tiempo: 𝑣𝑚 =

𝐷𝑖𝑠𝑡𝑎𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑟𝑒𝑐𝑜𝑟𝑟𝑖𝑑𝑎 𝑇𝑖𝑒𝑚𝑝𝑜 𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑐𝑢𝑟𝑟𝑖𝑑𝑜

También podemos decir que la rapidez media corresponde a la magnitud de la velocidad media.

12.

VELOCIDAD INSTANTÁNEA: La velocidad instantánea se aproxima al valor de la velocidad media entre dos puntos muy próximos. En términos matemáticos se dice que la velocidad instantánea es el límite del cociente entre el vector desplazamiento y el tiempo, cuando el tiempo tiende a cero. Se puede decir también que la velocidad instantánea es la derivada de vector de splazamiento con respecto al tiempo .

13.

ACELERACIÓN MEDIA : Es la variación de la velocidad instantánea en la unidad de tiempo: 𝑎⃗𝑚 =

∆𝑣𝑦 ∆𝑣⃗ ∆𝑣𝑥 ∆𝑣𝑧 = 𝑖̂ + 𝑗̂ + 𝑘̂ ∆𝑡 ∆𝑡 ∆𝑡 ∆𝑡

88 Guillermo Concha – Manuel Torres – Ricardo Montecino

Unidades de Aprendizaje FÍSICA MECÁNICA Disciplinas Básicas: Física

La unidad en el SI es 𝑚/𝑠 2 y sus dimensiones son 12.

𝐿 𝑇2

ACELERACIÓN: Entenderemos como aceleración la variación de la velocidad con respecto al tiempo . Pudiendo ser este cambio en la magnitud (rapidez), en la dirección o en ambos.

Para complementar dichos conceptos , revise la siguiente página Web: www.educaplus.org/movi/ , www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/ , www.newton.cnice.mec.es/newt on2/Newton_pre/alumnos.php

CLASIFICACIÓN DE LOS MOVIMIENTOS

89 Guillermo Concha – Manuel Torres – Ricardo Montecino

Unidades de Aprendizaje FÍSICA MECÁNICA Disciplinas Básicas: Física

MOVIMIENTO UNIFORME Un cuerpo describe un movimiento rectilíneo uniforme cuando su trayectoria es una recta y además su velocidad permanece invariable El espacio recorrido en un Movimiento Uniforme puede representarse en función del tiempo. Como en este movimiento el espacio recorrido y el tiempo transcurrido son proporcionales: la gráfica es siempre una recta cuya inclinación es la rapidez del movimiento. Independientemente del s entido del movimiento los espacios que recorre el móvil son siempre positivos La velocidad de un movimiento uniforme puede representarse en función del tiempo. Puesto que la velocidad no varía en este tipo de movimiento, la gráfica es siempre una recta par alela al eje del tiempo . (Tomada de pág. www.educaplus.org/movi ), www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/ ) Revisada 01 de julio 2014.

Entonces, para conocer el espacio recorrido (d) en un MRU basta con despejar d de la expresión de la velocidad: 𝑣=

𝑥 →𝑥 =𝑣∙𝑡 𝑡

Pero también sabemos que en un MRU el espacio recorrido (x – x 0 ), es igual a la posición final (x), menos la posición inicial (x 0 ): x – x 0 = v∙t Si despejamos x, queda

90 Guillermo Concha – Manuel Torres – Ricardo Montecino

Unidades de Aprendizaje FÍSICA MECÁNICA Disciplinas Básicas: Física

MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORMEMENTE ACELERADO (MRUA) Se dice que un cuerpo lleva un Movimiento Uniformemente Acelerado cuando su aceleración es constante El movimiento rectilíneo uniformemente acelerado (www.educaplus.org/cinematica ) es un tipo de movimiento frecuente en la naturaleza. Una bola que rueda por un plano inclinado o una piedra que cae en el vacío desde lo alto de un edificio son cuerpos que se mueven ganando velocidad con el tiempo de un modo aproximadamente uniforme; es decir, con una aceleración constante. Este es el significado del movimiento uniformemente acelerado, el cual “en tiempos iguales, adquiere iguales incrementos de rapidez”. En este movimiento la velocidad es variable, nunca permanece constante; lo que sí es constante es la aceleración El movimiento rectilíneo uniformemente acelerado (www.educaplus.org/cinematica) es un tipo de movimiento frecuente en la naturaleza. Una bola que rueda por un plano inclinado o una piedra que cae en el vacío desde lo alto de un edificio son cuerpos que se mueven ganando velocidad con el tiempo de un modo aproximadamente uniforme; es decir, con una aceleración constante. Este es el significado del movimiento uniformemente acelerado, el cual “en tiempos iguales, adquiere iguales incrementos de rapidez”. En este movimiento la velocidad es variable, nunca permanece constante; lo que sí es constante es la aceleración. Expresiones para movimientos con aceleración constante: La distancia recorrida durante el intervalo de tiempo 𝒕 es por lo tanto: 1

𝑥 = 𝑣𝑜 · 𝑡 + 2 𝑎 · 𝑡 2 . Si el cuerpo se acelera partiendo del reposo, 𝑣 = 0, entonces: 1

𝑥 = 2 𝑎 · 𝑡2.

91 Guillermo Concha – Manuel Torres – Ricardo Montecino

Unidades de Aprendizaje FÍSICA MECÁNICA Disciplinas Básicas: Física

Otra ecuación útil que nos permite calcular la velocidad final de un cuerpo en términos de su velocidad inicial, su aceleración y la distancia recorrida es: 𝑣 2 = 𝑣02 + 2𝑎𝑥.

CAIDA LIBRE La caída libre resalta dos características importantes: 1. Los objetos en caída libre no encuentran Resistencia del aire. 2. Todos los objetos en la superficie de la Tierra aceleran hacia abajo a un valor aproximadamente de 9,8 m/s 2 ,correspondiente a la aceleración de gravedad Para saber más: www.icarito.cl/...ciclo.../61-7050-9-aceleracion-de-gravedad.shtml Revisada 6 de junio de 2014

Altura recorrida por un objeto en caída libre Tiempo t transcurrido por un objeto en una altura h

h = ½ g t2

Velocidad instantánea vi de un cuerpo en caída libre después de un tiempo t: Velocidad instantánea vi de un cuerpo en caída libre que ha recorrido una distancia d:

V = g∙t

Velocidad promedio va de un cuerpo que ha caído en

Va = ½ g∙t

2ℎ

t = √𝑔

Vi = √(2 ∙ 𝑔 ∙ ℎ)

un tiempo t: Velocidad promedio va de un cuerpo en caída libre que ha recorrido una distancia d :

MOVIMIENTO VERTICAL 92 Guillermo Concha – Manuel Torres – Ricardo Montecino

Unidades de Aprendizaje FÍSICA MECÁNICA Disciplinas Básicas: Física Tal como la caída libre, es un movimiento sujeto a la aceleración de la gravedad (g), sólo que ahora la aceleración se opone al movimiento inicial del objeto. A diferencia de la caída libre, que o pera solo de bajada, el tiro vertical comprende subida y bajada de los cuerpos u objetos y posee las siguientes características: La velocidad inicial siempre es diferente a cero. Mientras el objeto sube, el signo de su velocidad (V ) es positivo. Su velocidad es cero cuando el objeto alcanza su altura máxima. Cuando comienza a descender, su velocidad será negativa.

MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORME, MCU. Un cuerpo tiene movimiento circular uniforme cuando describe arcos iguales en tie mpos iguales, es decir, cuando el módulo (rapidez) de la velocidad lineal v permanece constate en el tiempo. Lo anterior es equivalente a decir que un cuerpo tiene movimiento circular uniforme cuando describe ángulos iguales en tiempos iguales, es decir cuando el módulo de la velocidad angular ω permanece constante en el tiempo. 1 En los movimientos circulares po demos también usar las magnitudes lineales de desplazamiento, espacio, velocidad y aceleración. Pero es mejor y más sencillo usar las Magnitudes Angulares .

Desplazamiento angular A cada valor de tiempo, el ángulo varía, por lo tanto el cambio de posición es dado por el desplazamiento angular, m ientras el cuerpo recorre un arco S en el sentido indicado en el dibujo, el radio vector R, describe un desplazamiento angular , de forma que:

1

www.proyectosalonhogar.com/Enciclopedia.../Movimiento_Circular.htm

93 Guillermo Concha – Manuel Torres – Ricardo Montecino

Unidades de Aprendizaje FÍSICA MECÁNICA Disciplinas Básicas: Física

Desplazamiento angular =

𝑎𝑟𝑐𝑜 𝑑𝑒𝑠𝑐𝑟𝑖𝑡𝑜

𝑆

𝑟𝑎𝑑𝑖𝑜

𝑅

Hay dos clases de espacio recorrido: -El espacio Lineal o distancia recorrida sobre la trayectoria (es decir la longitud del arco descrito). Se mide en metros -El espacio Angular descrito por el radio vector θ. Se mide en grados, revoluciones o radianes. -Grados: Una circunferencia son 360 º -Revolución: es una vuelta completa a una circunferencia -Radian: una circunferencia tiene 2π radianes. Radian es el ángulo, cuyo arco es igual al radio

En este movimiento, el radio vector, la velocidad lineal y la aceleración lineal cambian de dirección en cada instante.

En este movimiento también es importante definir los conceptos de periodo y frecuencia: Período (T): Es el tiempo en que el cuerpo tarda en completar una vuelta o revolución. Frecuencia (f): Es el número de vueltas o revoluciones que el cuerpo alcanza a dar en una unidad de tiempo (1 s, 1 min, 1 h, etc.), Las unidades de medidas más comunes son: 𝑣𝑢𝑒𝑙𝑡𝑎𝑠 𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑜

=

𝑟𝑒𝑣𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑜

=

𝑟𝑒𝑣 𝑠

= 𝑟𝑝𝑠 = 𝑠 −1 = Hz

𝑣𝑢𝑒𝑙𝑡𝑎𝑠 𝑟𝑒𝑣𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 𝑟𝑒𝑣 = = = 𝑟𝑝𝑚 = 𝑚𝑖𝑛−1 𝑚𝑖𝑛𝑢𝑡𝑜 𝑚𝑖𝑛𝑢𝑡𝑜 𝑚𝑖𝑛 Frecuencia

y

periodo

son

el

valor

reciproco

matemáticamente cu mplen con la siguiente relación 𝑇 =

1

uno

del

otro,

𝑓

94 Guillermo Concha – Manuel Torres – Ricardo Montecino

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ECUACIÓN DE TRANSMISIÓN DEL MOVIMIENTO Cuando se tienen dos ruedas o poleas, de distinto diámetro, unidas por una correa o por una cadena, se produce una transmisión de movimiento, la polea en donde se origina el movimiento, se llama motriz (generadora), mientras que la otra se llama conducida (arrastrada).

En esta transmisión de movimiento se cumple que la frecuencia es mayor en la polea de menor diámetro (en un mismo tiempo la polea pequeña da un mayor número de vueltas), lo que quiere decir que la rapidez angular es mayor en la polea de menor diámetro, en cambio la rapidez circunferencial (tangencial) es la misma para ambas poleas debido a que en un instante el desplazamiento de la correa es el mismo en la polea grande como en la polea pequeña. Como la rapidez lineal es la misma en ambas poleas, se puede anotar: 𝑣1 = 𝑣2 𝑣 =𝜋·𝜙·𝑓 𝜋 · 𝜙1 · 𝑓1 = 𝜋 · 𝜙2 · 𝑓2 𝜙1 · 𝑓1 = 𝜙2 · 𝑓2 Esta última expresión se denomina Ecuación de transmisión del movimiento. Considerando la ecuación de trans misión: 𝜙1 · 𝑓1 = 𝜙2 · 𝑓2

𝑓1 𝜙2 = 𝑓2 𝜙1 95 Guillermo Concha – Manuel Torres – Ricardo Montecino

Unidades de Aprendizaje FÍSICA MECÁNICA Disciplinas Básicas: Física

Expresión conocida con el nombre de relación de transmisión, y designada por i, es decir:

𝑖=

𝑓1 𝜙2 = 𝑓2 𝜙1

Expresión que indica que la frecuencia es inversamente proporcional al diámetro de la polea, es decir, a mayor diámetro de la polea, menor es el número de vueltas.

Observaciones: Poleas concéntricas o solidarias significan que giran en un mismo eje, con la misma frecuencia Los subíndices impares representan poleas o ruedas motrices, mientras que los subíndices pares, representan poleas conducidas o arrastradas. En caso que la transmisión sea por engrane, la ecuación de transmisión se transforma en: 𝑍1 · 𝑓1 = 𝑍2 · 𝑓2 , d onde 𝑍 es el número de dientes. La relación de transmisión total, 𝑖 𝑇𝑂𝑇𝐴𝐿 , se obtiene por la multiplicación de las relaciones de transmisiones parciales, es decir: 𝑖 𝑇𝑂𝑇𝐴𝐿 = 𝑖1 · 𝑖2 · … .. … … · 𝑖𝑁 . Para ampliar el tema, visita la siguiente página de Internet: http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/cinematica/circular/circular.htm

Movimiento circular uniformemente acelerado (MCUA) Se presenta cuando una partícula o cuerpo só lido describe una trayectoria circular aumentando o disminuyendo la velocidad de forma constante en cada unidad de tiempo. Es decir, la partícula se mueve con aceleración constante. El ángulo recorrido ( ) en un intervalo de tiempo t. Se calcula por la siguiente fórmula : 96 Guillermo Concha – Manuel Torres – Ricardo Montecino

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t) =

t+

1 2

t2

La velocidad angular, (ω) es el arco recorrido ( ), expresado en radianes por unidad de tiempo, aumenta o disminuye linealmente cuando pasa una unidad del tiempo. Se calcula la por la siguiente fórmula: Se calcula la por siguiente fórmula:

la

t La aceleración angular ( en el movimiento circular uniformemente acelerado es constante. Se calcula como el incremento de velocidad angular ω desde el instante inicial hasta el final partido por el tiem po. Se calcula la por la siguiente fórmula: 𝑤𝑓− 𝑤0 𝑡𝑓 − 𝑡0

La aceleración tangencial (a T ) en el movimiento circular uniformemente acelerado MCUA se calcula como la aceleración angular multiplicada por el radio de la circunferencia , de la forma: aT =

∙R

La aceleración centrípeta (a C ) se halla mediante la fórmula: aC =

𝑣2 𝑅

=

R

MOVIMIENTO DE PROYECTILES El lanzamiento de proyectiles corresponde a una superposición de dos movimientos rectilíneos en forma simultánea, su trayectoria es una curva 97 Guillermo Concha – Manuel Torres – Ricardo Montecino

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parabólica., El caso más simple es aquel en que uno de los movimientos se realiza horizontalment e a lo largo del eje X con velocidad constante, y el otro movimiento se realiza verticalmente a lo largo del eje Y con la aceleración de gravedad g. Para simplificar el estudio, se debe separar los movimientos desde su inicio en dos movimientos componentes , uno para el eje X (movimiento uniforme) y otro para el eje Y (movimiento rectilíneo uniformemente acelerado). Para saber más, consulta: www.aulafacil.com/cursos/l10319/ciencia/.../movimiento-de-proyectiles Consultada 6/7/014 www.fisica.uson.mx/manuales/mecanica/mec-lab07.pdf Consultada 6/7/014

Ecuaciones que rigen este movimiento: En ausencia de resistencia del aire, un proyectil lanzado con una velocidad inicial 𝑣𝑂 formando un ángulo 𝜃 con la horizontal: Tiene un alcance que corresponde a la distancia desde el instante de lanzamiento hasta el punto de caída al mismo nivel de lanzamiento. 𝑣𝑂2 𝑥𝑚𝑎𝑥 = · 𝑠𝑒𝑛2𝜃 𝑔 y el tiempo de vuelo corresponde al, tiempo desde que fue lanzado hasta su caída al mismo nivel de lanzamiento. 2·𝑣 ·𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑡𝑉𝑈𝐸𝐿𝑂 = 𝑂𝑔 . Movimiento para eje X, corresponde a la distancia horizontal para cualquier tiempo. 𝑥 = 𝑥𝑂 + 𝑣𝑂 𝑐𝑜𝑠𝜃 · 𝑡 𝑣𝑥 = 𝑣𝑥 cos 𝜃 Movimiento para eje Y , corresponde a la altura alcanzada por el proyectil para cualquier tiempo. 1 𝑦 = 𝑦𝑂 + 𝑣𝑂 · 𝑠𝑒𝑛𝜃 · 𝑡 − 𝑔 · 𝑡 2 2 𝑣𝑦 = 𝑣𝑂 sin 𝛳 − 𝑔 · 𝑡 Como el movimiento tiene dos componentes, se debe tener cuidado al momento de calcular le velocidad del proyectil ya que: 𝑣⃗ = 𝑣⃗𝑋 + 𝑣⃗𝑌 98 Guillermo Concha – Manuel Torres – Ricardo Montecino

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Y, por lo tanto, el valor o magnitud de la velocidad del proyectil queda determinada por Pitágoras, es decir: |𝑣⃗| = 𝑣 = √(𝑣⃗𝑋 )2 + (𝑣⃗𝑌 )2 Y su dirección queda determinada por: 𝛼 = tan−1 (

𝑣⃗𝑌 ) 𝑣⃗𝑋

NOTA: Ahora que conoces sobre la Cinemática y la forma como los cuerpos se mueven, te invito a que revise a ntecedentes sobre “Accidentes por exceso de velocidad” y adquieras una nueva actitud sobre los accidentes por no respetar la velocidad de conducción.

EJEMPLOS DESARROLLADOS PARA ACLARAR EL MRU Las siguientes gráficas posición-tiempo (posición en función del tiempo) representan dos casos de movimientos rectilíneos uniformes: 1) Gráfica partiendo del origen

99 Guillermo Concha – Manuel Torres – Ricardo Montecino

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El móvil parte del origen y se aleja de él a una velocidad constante de 5m/s. La gráfica es una recta ascendente. Como x0=0, la posición del móvil, en cada instante, será: x = 5•t. 2) Gráfica partiendo de un punto situado a cierta distancia del origen .

El móvil parte de un punto situado a 80 m del origen y se acerca a él a 10 m/s.(pendiente de la gráfica). La gráfica es una recta descendente. Como x 0 =80 m, la posición, en cada instante, será: x=80–10•t Nótese que 10 (valor de la rapidez) es negativo porque el móvil se está acercando al origen , aunque mantiene su velocidad constante y su aceleración es cero.

Recuerde que si la pendiente en la gráfica es ascendente, significa que el móvil se aleja del origen, y que si la pendiente es descendente el móvil se acerca al origen.

Ejercicio 1) www.profesorenlinea.cl ¿Cuál de los dos movimientos representados tiene mayor velocidad?, ¿por qué? 100 Guillermo Concha – Manuel Torres – Ricardo Montecino

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El movimiento 1 es el más rápido (teniendo en cuenta que se comparan en la misma gráfica). Como v=x/t Porque: Para el caso 1:

𝑣1 =

𝑥1

Para el caso 2:

𝑣2 =

𝑥2

𝑡1

𝑡2

Para comparar las velocidades debemos igualar los tiempos y consideramos que: 𝑡2 = 𝑡1 Entonces para un mismo lapso de tiempo (t 2 =t 1 ), notamos que x 1 >x 2

Ejercicio 2) En el gráfico siguiente se representa un movimiento rectilíneo uniforme, averigüe gráfica y analíticamente la distancia recorrida en los primeros 4 s.

Desarrollo Datos: v = 4 m/s ; t = 4 s ; x = v ∙t ; 101 Guillermo Concha – Manuel Torres – Ricardo Montecino

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x = 4 m/s ∙ 4 s = 16 m Ejercicio 3) La ecuación del movimiento de una partícula es: x=4+5·t, donde t está expresado en horas, y x, en kiló metros. Completamos una tabla x-t y hacemos su representación gráfica.

Posición (km)

4

9

14

24

34

Tiempo (h)

0

1

2

4

6

Estudiando la gráfica deducimos que se trata de un movimiento rectilíneo uniforme. Los parámetros de la ecuación son: x 0 = 4 km ; v=5 km/h Comprobemos la posición del móvil a las 6 horas: x=4 km+5 km/h∙6=34 km Ejercicio 4) Estudiamos el movimiento de una partícula que se desplaza con MRU a velocidad constante de 10 m/s. La posición inicial de la partícula es x 0 = 10 m. Los datos nos permiten conformar la siguiente tabla: v (m/s)

10

10

10

10

102 Guillermo Concha – Manuel Torres – Ricardo Montecino

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x (m)

10

30

50

70

t (s)

0

2

4

6

Gráfica del desplazamiento respecto al tiempo (en función del tiempo)

Gráfica de la velocidad respecto al tiempo (en función del tiempo) Otro ejemplo: Un automóvil recorre 70 km cada hora. Con los datos anteriores se puede elaborar la tabla siguiente:

punto

A

B

C

D

F

G

distancia (km)

0

70

140

210

280

350

tiempo (h)

0

1

2

3

4

5

Los datos de esta tabla nos permiten elaborar una gráfica. 103 Guillermo Concha – Manuel Torres – Ricardo Montecino

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Gráfica de un movimiento rectilíneo uniforme Se unen con una línea los puntos desde su origen hasta el final. En la gráfica se observa que al unir los puntos se forma una línea recta, por lo cual se deduce que el movimiento es uniforme, y en este caso el móvil partió del reposo; con ayuda de la gráfica también se puede calcular su velocidad. En el caso de un cuerpo que parte del reposo, 𝑣 = 0 entonces: 𝑣 2 = 2𝑎𝑥

Aprendizaje esperado 2.1.- Resuelve problemas de movimiento rectilíneo uniforme y uniformemente acelerado, de acuerdo a las ecuaciones cinemáticas y haciendo uso de representaciones gráficas. Criterios de evaluación: 2.1.1 Identifica el tipo de movimiento de acuerdo a la variación temporal de la posición, rapidez, velocidad de una partícula, y el carácter vectorial o escalar de éstas cantidades. 2.1.2 Calcula variables del movimiento unidimensional utilizando definiciones de desplazamiento, velocidad instantánea o promedio, aceleración y las ecuaciones cinemáticas que las caracterizan. 2.1.3 Identifica el movimiento vertical y en caída libre, por medio de la aplicación de ecuaciones cinemáticas que lo rijan. 104 Guillermo Concha – Manuel Torres – Ricardo Montecino

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2.1.4 Calcula variables cinemáticas, a través del análisis y construcción de gráficas de movimiento. Para la revisión de estos ejercicios desarrollados, primeramente consulta los conceptos involucrados y las páginas web sugeridas. EJEMPLOS DESARROLLADOS PARA ACLARAR EL MRUA

EJERCICIO RESUELTO N° 2 -1: Mov. Rectilíneo Uniforme acelerado Un auto que parte del reposo alcanza una velocidad de 40 m/s en 10 s. (a) ¿Cuál es su aceleración? Si la aceleración permanece constante, (b) ¿cuál es su velocidad a los 5 s?, (c) ¿qué distancia ha recorrido en ese tiempo? Datos: Aplicando las expresiones vistas anteriormente, tenemos: v o =0; v=40 m/s; t=10 s (a) a=?; b) v=? (Para t=5 s); (c) d=? (para t=5 s) Conceptos involucrados

Aceleración, velocidad, distancia recorrida en el MRUA (a)

¿Cuál es su aceleración?

𝑚 𝑣 − 𝑣𝑜 40 𝑠 − 0 𝑚/𝑠 𝑎= = = 4 𝑚/𝑠 2 𝑡 10 𝑠 (b) Desarrollo:

¿Cuál es su velocidad a los 5 s?

𝑣 = 𝑣𝑜 + 𝑎 · 𝑡 = (0

𝑚 𝑚 ) + (4 2 ) · (5 𝑠) = 20 𝑚/𝑠 𝑠 𝑠

c) ¿Qué distancia ha recorrido en ese tiempo? 𝑣𝑜 = 0 → 𝑥 =

1 2 1 𝑎𝑡 = (4 𝑚/𝑠 2 ) · (5 𝑠) = 50 𝑚 2 2

EJERCICIO RESUELTO N° 2 -2: Mov. Uniforme rectilíneo Calcular la velocidad de un cuerpo que recorre una distancia de 300 m en dos minutos. 105 Guillermo Concha – Manuel Torres – Ricardo Montecino

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Datos: Aplicando la definición de velocidad, tenemos: v=?; x=300 m; t=2 min Conceptos involucrados

Velocidad en MRU 𝑣=

Desarrollo:

𝑥 300 𝑚 𝑚 = = 2,5 𝑡 120 𝑠 𝑠

EJERCICIO RESUELTO N° 2 -3: Movimiento uniforme rectilíneo Calcular la distancia recorrida en un cuarto de hora por un cuerpo cuya velocidad es de 8 cm/s. Datos: Aplicando la definición de velocidad, tenemos: x=?; t=900 s; v=8 cm/s. Conceptos involucrados

Velocidad, distancia recorrida en el MRU 𝑥=𝑣· 𝑡= 8

Desarrollo:

𝑐𝑚 𝑥 900 𝑠 = 7.200 𝑐𝑚 = 72 𝑚 𝑠

EJERCICIO RESUELTO N° 2 -4: Transformación de unidades Expresar en m/s una velocidad de 180 km/h. Solución: Aplicando el procedimiento de transformación de unidades, tenemos: Concepto involucrado Desarrollo:

Unidades de medida de velocidad

180

𝑘𝑚 𝑘𝑚 1.000 𝑚 1ℎ 𝑚 = 180 ( )𝑥 ( )𝑥 ( ) = 50 ℎ ℎ 1 𝑘𝑚 3.600 𝑠 𝑠

EJERCICIO RESUELTO N° 2 -5: Movimiento rectilíneo uniforme acelerado 106 Guillermo Concha – Manuel Torres – Ricardo Montecino

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Un automóvil va a 40 km/h y dos minutos después su velocidad es de 67 km/h. Calcular su aceleración en m/s 2 . Datos: Aplicando las expresiones vistas al comienzo de la unidad, tenemos: v o =40 km/h; t=2 min; v=67 km/h; a=? (en m/s 2 ) Concepto involucrado

Aceleración en el MRUA

𝑎=

∆𝑣 𝑣 − 𝑣𝑜 (67 𝑘𝑚/ℎ − 40 𝑘𝑚/ℎ) 𝑘𝑚 = = = 13,5 𝑡 𝑡 2 𝑚𝑖𝑛 ℎ · 𝑚𝑖𝑛

Desarrollo: 𝑎 = 13,5

𝑘𝑚 1.000 𝑚 1ℎ 1 𝑚𝑖𝑛 𝑥( )𝑥 ( )𝑥 ( ) ℎ · 𝑚𝑖𝑛 1 𝑘𝑚 3.600 𝑠 60 𝑠 𝑚 = 0,0625 2 𝑠

EJERCICIO RESUELTO N° 2 -6: Movimiento rectilíneo uniforme acelerado La velocidad de un móvil varía según se indica en el gráfico adjunto. Calcular la distancia total recorrida.

Solución: El desarrollo se debe de realizar por partes, de acuerdo al tipo 107 Guillermo Concha – Manuel Torres – Ricardo Montecino

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de movimiento que experimenta el cuerpo. Concepto involucrado

Distancia y

área bajo la curva

Entre t 1 =0 s y t 2 =2 s la velocidad uniformemente desde cero hasta 30 distancia es ese intervalo es igual al triángulo cuya altura es 30 m/s y cuya base entonces:

aumenta m/s. La área del es de 2 s,

𝑚 (30 𝑠 𝑥 2 𝑠) 𝑥1 = = 30 𝑚 2

Desarrollo:

Entre t 2 =2 s y t 3 =4 s la velocidad es constante y la distancia es igual al área del rectángulo, es decir: 𝑚 𝑥2 = 30 𝑥 2 𝑠 = 60 𝑚 𝑠 Finalmente, entre t 3 =4 s y t 4 =7s la velocidad disminuye uniformemente hasta cero y la distancia es igual al área del triángulo, es decir:

𝑥3 =

(30

𝑚 𝑥 3 𝑠) 𝑠 = 45 𝑚 2

Por último, la distancia total, es: 𝑥𝑇 = 𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 = 135 𝑚

EJERCICIO RESUELTO N° 2.7: MRU A lo largo de una carretera se encuentran tres ciudades, A, B y C. La distancia entre A y B es de 120 km y entre B y C de 180 km. Un automóvil sala de A a las 07:00 am, pasa por B a las 09:00 am, y llega a C a la 01:00 pm. Calcular su velocidad media entre A y B, entre B y C y entre A y C. R/ 60 km/; 45 km/; 50 km/h

Datos: x A B =120 km;

x B C =180 km;

t A B =2 h;

t B C =4 h 108

Guillermo Concha – Manuel Torres – Ricardo Montecino

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Concepto involucrado

Velocidad

Desarrollo:

𝑣𝐴𝐵 =

𝑥𝐴𝐵 120 𝑘𝑚 = = 60 𝑘𝑚/ℎ 𝑡𝐴𝐵 2ℎ

𝑣𝐵𝐶 =

𝑥𝐵𝐶 180 𝑘𝑚 = = 45 𝑘𝑚/ℎ 𝑡𝐵𝐶 4ℎ

𝑣𝐴𝐶 =

𝑥𝐴𝐵 + 𝑥𝐵𝐶 300 𝑘𝑚 = = 50 𝑘𝑚/ℎ 𝑡𝐴𝐵 + 𝑡𝐵𝐶 6ℎ

EJERCICIO RESUELTO N° 2.8:MURA Una pelota rueda por un plano inclinado. Si parte del reposo, ¿cuál es su aceleración si al cabo de 10 s ha adquirido una velocidad de 80 cm/s? Represente gráficamente la velocidad en función del tiempo. Calcule a partir de la gráfica la distancia recorrida. Datos: v o =0;

a=?;

Concepto involucrado

t=10 s;

v=80 cm/s=0,8 m/s;

x=? (a partir del gráfico)

Velocidad y aceleración 𝑎=

𝑣−𝑣𝑜 𝑡

=(0,8 m/s-0 m/s)/10 s=0,08 m/s 2 𝑣(𝑡) = 𝑣𝑜 + 𝑎 · 𝑡 = 𝑎 · 𝑡

Desarrollo:

109 Guillermo Concha – Manuel Torres – Ricardo Montecino

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La distancia recorrida es igual al área mostrada en la figura, es decir, d=A=⅟₂(10 s)∙(0,8 m/s)= 4 m

EJERCICIO RESUELTO N° 2 -9:MRUA Un auto parte del reposo y adquiere una velocidad de 60 km/h en 15 s: a) calcular su aceleración en m/s 2 , b) si la aceleración permanece constante, ¿cuántos segundos más deberán transcurrir para que el auto adquiera una velocidad de 80 km/h? Representar gráficamente la velocidad en función del tiempo y calcular los espacios recorridos en a) y b). Datos: a) a=?

v o =0; v=60 km/h (≈ 16,67 m/s); t=15 s b) t=? para alcanzar los 80 km/h; hacer gráfico de v(t)

(m/s 2 );

Concepto involucrado

aceleración

𝑣𝑜 = 0

𝑘𝑚 𝑘𝑚 𝑚 𝑣 − 𝑣𝑜 ; 𝑣 = 60 = 16,67 → 𝑎 = ℎ ℎ 𝑠 𝑡

𝑎=

Desarrollo:

𝑣𝑜 = 0

𝑣 − 𝑣𝑜 16,67 𝑚/𝑠 = = 1,11 𝑚/𝑠 2 𝑡 15 𝑠

𝑘𝑚 𝑘𝑚 𝑚 𝑚 ; 𝑣 = 80 = 22,22 ; 𝑎 = 1,11 2 → 𝑡 ℎ ℎ 𝑠 𝑠 𝑣 − 𝑣𝑜 = 𝑎 𝑡=

𝑣 − 𝑣𝑜 22,22 𝑚/𝑠 = = 20 𝑠 𝑎 1,11 𝑚/𝑠 2

Por lo tanto, el tiempo necesario para alcanzar los 80 km/h, después de haber llegado a los 60 km/h es: 𝑡 = 𝑡(80) − 𝑡(60) = 20 𝑠 − 15 𝑠 = 5 𝑠

110 Guillermo Concha – Manuel Torres – Ricardo Montecino

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Del gráfico, procedemos a calcular la distancia recorrida y, tenemos Pregunta (a): , x = A= ⅟₂(15 s)∙(16,67 m/s)= 125 m Pregunta (b): , x = A= ⅟₂(20 s)∙(22,22 m/s)= 222,2 m

EJERCICIO RESUELTO N° 2 -10:Caída libre Un cuerpo inicialmente en reposo cae desde una altura de 80 m. Calcular: a) cuánto tardará en caer y, b) con qué velocidad llegará al suelo. Datos: V 0 =0; Concepto involucrado

y = h=80 m

Velocidad, aceleración de gravedad, altura(distancia vertical) a)

Desarrollo:

a=g=9,8 m/s 2 ;

1

2ℎ

ℎ = 2 𝑔𝑡 2 → 𝑡 = √ 𝑔 b)

𝑣 2 − 𝑣02 = 2𝑔ℎ 𝑣 = √2 · (9,8

2·(80 𝑚)

𝑡 = √9,8 𝑚/𝑠2 = 4,04 𝑠 𝑣𝑓 = √2𝑔ℎ

𝑚 ) · (80 𝑚) = 39,6 𝑚/𝑠 𝑠2

EJERCICIO RESUELTO N° 2.11 Movimiento vertical Un cuerpo se lanza hacia arriba con una velocidad de 40 m/s. ¿En cuánto tiempo se reducirá a 25 m/s? ¿Cuál será su velocidad cuando se encuentre a 25 m de altura?

111 Guillermo Concha – Manuel Torres – Ricardo Montecino

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Datos: v 0 =40 m/s; Concepto involucrado

a=g=9,8 m/s 2 ;

v=?;

h=25 m

Velocidad, aceleración de gravedad Para el caso particular de éste ejercicio, v 0 =40 m/s y v=25 m/s, de modo que Δv=-15 m/s; además, a= g=-9,8 m/s 2 . Luego; ∆𝑣 = −𝑔 · 𝑡 , se tiene que: 𝑡=

Desarrollo:

∆𝑣 −15 𝑚/𝑠 = = 1,53 𝑚/𝑠 2 −𝑔 −9,8 𝑚/𝑠 2

Ahora, la velocidad que lleva el cuerpo a 25 m de altura es: 𝑣 2 − 𝑣02 = 2𝑔ℎ, donde 𝑣𝑓 = √𝑣02 + 2𝑔ℎ: 𝑚

𝑣 = √(40 𝑚/𝑠)2 + 2 · (−9,8 𝑠2 ) · (25 𝑚) =33 m/s EJERCICIO RESUELTO N° 2 -12: Desde un globo se deja caer un cuerpo. (a) ¿Qué velocidad tendrá el cuerpo y qué distancia habrá caído al cabo de 10 s? (b) Calcular estas mismas cantidades si el globo sube a razón de 12 m/s; (c) si desciende con la misma velocidad.

Datos: (a) (b) (c)

v i =0 m/s; v f =?; h=?; t=10 s Repetir los cálculos si el globo sube a razón de 12 m/s; si desciende a 12 m/s

Conceptos involucrados:

Velocidad de caída, altura (a)

Desarrollo:

Velocidad, con v i =0 m/s y t=12 s: 𝑚 𝑚 𝑣𝑓 = 𝑔𝑡 − 𝑣𝑖 𝑣𝑓 = (9,8 2 ) · (10 𝑠) − (0 ) = 98 𝑚/𝑠 𝑠 𝑠 Distancia que ha caído en 10 s: 112 Guillermo Concha – Manuel Torres – Ricardo Montecino

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1 1 𝑚 ℎ = 𝑔 · 𝑡 2 − 𝑣𝑖 · 𝑡 = (9,8 2 ) · (10 𝑠)2 = 490 𝑚 2 2 𝑠 (b)

Velocidad, con v=+12 m/s y t=10 s 𝑚 𝑚 𝑣𝑓 = 𝑔 · 𝑡 − 𝑣𝑖 𝑣𝑓 = (9,8 2 ) · (10 𝑠) − (12 ) = 86 𝑚/𝑠 𝑠 𝑠 Distancia: 1 1 𝑚 ℎ = 𝑔 · 𝑡 2 − 𝑣𝑖 · 𝑡 = (9,8 2 ) · (10 𝑠)2 − (12 𝑚/𝑠) · (10 𝑠) 2 2 𝑠 = 370 𝑚 (c)

Velocidad, con v=-12 m/s y t=10 s 𝑚 𝑚 𝑣𝑓 = 𝑔 · 𝑡 − 𝑣𝑖 𝑣𝑓 = (9,8 2 ) · (10 𝑠) − (−12 ) 𝑠 𝑠 = 110 𝑚/𝑠 Distancia: 1 1 𝑚 𝑚 ℎ = 𝑔 · 𝑡 2 − 𝑣𝑖 · 𝑡 = (9,8 2 ) · (10 𝑠)2 — (−12 ) · (10 𝑠) 2 2 𝑠 𝑠 = 610 𝑚 EJERCICIO RESUELTO N° 2 -13 : Un cuerpo dejado caer libremente llega al suelo con una velocidad de 29,4 m/s. Determinar: (a) el tiempo de caída y, (b) la altura del punto de partida.

Datos: v i =0 m/s;

v=29,4 m/s;

Conceptos involucrados:

g=9,8 m/s 2

Aceleración, altura vertical (a) el tiempo de caída 𝑡=

Desarrollo:

𝑣 − 𝑣𝑂 29,4 𝑚⁄𝑠 − 0 𝑚/𝑠 = = 3𝑠 𝑔 9,8 𝑚/𝑠 2

(b) la altura del punto de partida. 113 Guillermo Concha – Manuel Torres – Ricardo Montecino

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1 ℎ = 𝑔 · 𝑡 2 − 𝑣𝑜 · 𝑡 2 1 𝑚 𝑚 ℎ = (9,8 2 ) · (3 𝑠)2 − (0 ) · (3 𝑠) = 44,1 𝑚 2 𝑠 𝑠

EJERCICIO RESUELTO N° 2 -14: Una piedra es lanzada verticalmente hacia arriba con una velocidad de 20 m/s. (a) ¿En qué instante será su velocidad de 6 m/s? y, (b) a qué altura se encontrará? Datos: v i =20 m/s;

v=6 m/s;

Fórmula a utilizar:

g=9,8 m/s 2

Aceleración, altura vertical

(a) ¿En qué instante será su velocidad de 6 m/s? 𝑡= Desarrollo:

𝑣 − 𝑣𝑂 20 𝑚⁄𝑠 − 6 𝑚/𝑠 = = 1,43 𝑠 𝑔 9,8 𝑚/𝑠 2

(b) ¿a qué altura se encontrará? 1 𝑦 = ℎ = (−𝑔) · 𝑡 2 + 𝑣𝑜 · 𝑡 2 1 𝑚 𝑚 𝑦 = ℎ = (− 9,8 2 ) · (1,43 𝑠)2 + (20 ) · (1,43 𝑠) = 18,58 𝑚 2 𝑠 𝑠

114 Guillermo Concha – Manuel Torres – Ricardo Montecino

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EJERCICIO RESUELTO N° 2 -15: Presentada la gráfica distancia versus tiempo referida al movimiento de un cuerpo, (cada cuadrado es una unidad en el S.I), se podrá sacar las siguientes conclusiones: a) la velocidad máxima escalar que alcanzó fue de 3 m/s b) el vector velocidad cambia de sentido a los 2 y a los 5 s c) el cuerpo se detiene después de recorrer 5m d) el desplazamiento en los 7 s fue de 3 m e) el camino total recorrido fue de 15 m

Datos: Gráfico adjunto:

:

Desarrollo:

Expresiones para calcular el área de un triángulo y/o área de un rectángulo Haciendo uso del procedimiento descrito en el ejemplo anterior, podemos indicar que, la velocidad máxima, línea de máxima pendiente, es 8/2=4 m/s, que invalida la a. Sin embargo la solución b es correcta como se aprecia en la figura, al cambiar de sentido el desplazamiento, también lo hará la v. No se aprecia que el cuerpo se detenga ya que siempre varía la distancia al hacerlo el tiempo, sin embargo, es correcta la alternativa d, ya que al tomar las posiciones final e inicial d=-3 m i. El camino total reco rrido al considerar los 7 s de movimiento es de 15 m. Son correctas las soluciones b, d y e.

2

2

Tomados de GRÁFICAS DE MOVIMIENTO - Heurema

www.heurema.com/TestF/TestF4/Cinemática2S.pdf 115 Guillermo Concha – Manuel Torres – Ricardo Montecino

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EJERCICIO RESUELTO N° 2 -16: La figura, representa un movimiento uniforme en gráfico d/t. La ecuación del movimiento que se corresponderá con la figura, en unidades SI, será: a) d=1+4·t b) d=1-9·t c) d=9-2·t d) d=9-9·t/4 e) N.A.

Datos: Gráfico adjunto: Conceptos a utilizar:

Desarrollo:

Expresiones para calcular el área de un triángulo y/o área de un rectángulo Determinando la ecuación de la recta en la gráfica dada, la pendiente es 4, y d=1, para t=0, por lo tanto d=1+4·t, que corrobora la solución a.

EJERCICIO RESUELTO N° 2 -17: Un cuerpo se mueve con una aceleración dada por la gráfica de la figura, y sabiendo que para t=2 s su velocidad escalar es de 4 m/s, se podrá decir que su velocidad inicial en m/s, será: a) 5 b) 0 c) 4 d) 8 e) N.A. 116 Guillermo Concha – Manuel Torres – Ricardo Montecino

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Datos: Gráfico adjunto: Conceptos a utilizar:

aceleración

Aplicando la definición de aceleración, tenemos: Desarrollo:

𝑎=

𝑣 − 𝑣𝑜 4 − 𝑣𝑜 →2= =→ 𝑣𝑜 = 0 𝑚/𝑠 2 𝑡 2

La alternativa correcta es la letra b.

EJERCICIO RESUELTO N° 2 -18: Si un cuerpo que describe una trayectoria rectilínea, tiene una velocidad que varía con el tiempo según la gráfica adjunta, se podría asegurar que: a) su velocidad máxima es de 2 m/s b) la distancia recorrida en los dos primeros segundos es de 2 m c) su velocidad media en los tres primeros segundos es de 1 m/s d) siempre lleva un movimiento acelerado e) N. A. Datos: Gráfico adjunto:

Conceptos a considerar:

Desarrollo:

Expresiones para calcular el área de un triángulo y/o área de un rectángulo

Consideraremos velocidades escalares o celeridades. Así, la velocidad máxima es de 3 m/s, como se puede apreciar en la gráfica. Dado que el valor numérico del espacio es igual al de la superficie determinada por la gráfica de la variación de la velocidad e n un 117 Guillermo Concha – Manuel Torres – Ricardo Montecino

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determinado intervalo de tiempo, al calcularla descomponiendo la figura, será 1+(3+1)·1/2=3 m. La velocidad media, a partir de su definición sería igual a (1+2+3)/3=2 (calculando el espacio recorrido a partir del área abarcada). También se podría co nsiderar como la semisuma de las velocidades (1+3)/2=2 m/s. El movimiento es uniforme en el primer y tercer segundo. Por lo tanto son incorrectas las cuatro primeras opciones y la respuesta correcta es e.

EJERCICIO RESUELTO N° 2 -19: En el siguiente gráfico viene representado un movimiento uniforme en: a) El tramo OA b) El tramo AB c) El tramo BC

Datos: Ver gráfico adjunto Fórmula a utilizar:

Expresiones para calcular el área de un triángulo y/o área de un rectángulo Un MRU se caracteriza porque el módulo de la velocidad permanece constante. Por tanto, el valor de v (en ordenadas) debe ser el mismo en el transcurso del tiempo. En la gráfica sólo ocurre esto en el tramo AB y por ello la opción correcta es la b.

Desarrollo: En el tramo OA la velocidad aumenta uniformemente con el tiempo y corresponde a un MRUA. En el tramo BC, la velocidad disminuye uniformemente con el tiempo y se corresponde con un MRUR.

118 Guillermo Concha – Manuel Torres – Ricardo Montecino

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EJERCICIO RESUELTO N° 2 -20: A partir del gráfico adjunto, indicar cuál de las alternativas mencionadas a continuación, es la correcta: a) En el tramo AB el móvil está detenido b) En el tramo BC la aceleración es de 1 m/s 2 c) La distancia recorrida en el tramo BC es de 50 m d) En el tramo BC el movimiento es uniforme e) En el tramo AB el movimiento es uniformemente acelerado

Datos: Ver gráfico adjunto Conceptos a utilizar:

Expresiones para calcular el área de un triángulo y/o área de un rectángulo La opción a) es falsa ya que en el tramo AB, la velocidad es constante e igual a 10 m/s. La opción b) es falsa ya que la aceleración en BC es: a=-1 m/s 2

Desarrollo:

El camino recorrido en el tramo BC viene medido por el área del triángulo cuyos vértices son (10, B, 20) y cuyo valor es: 50 m. La opción c) es verdadera . La opción d) es falsa pues hemos visto que en el tramo BC existe aceleración y e), también es falsa pues en el tramo AB la velocidad es constante y por tanto es un movimiento uniforme.

119 Guillermo Concha – Manuel Torres – Ricardo Montecino

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Aprendizaje esperado 2.2.- Resuelve problemas de movimiento circular uniforme y uniformemente acelerado, de acuerdo a las ecuaciones cinemáticas. Criterios de evaluación: 2.2.1 Reconoce el período y frecuencia en el movimiento circular, y sus relaciones con las revoluciones por unidad de tiempo. 2.2.2 Identifica el tipo de movimiento de acuerdo a la variación de la posición angular y/o velocidad angular. 2.2.3 Calcula variables del movimiento circular utilizando definiciones de posición angular, velocida d angular, aceleración angular y las ecuaciones cinemáticas que lo caracterizan. 2.2.4 Calcula variables cinemáticas: posición, velocidad y aceleración, de acuerdo a relación entre magnitudes lineales y angulares. 2.2.5 Calcula revoluciones por unidad de t iempo, velocidades y aceleraciones lineales y angulares en sistemas simples de disco s y poleas compuestas industriales con transmisión directa.

EJEMPLOS RESUELTOS MOVIMIENTO CIRULAR EJERCICIO RESUELTO N° 2 -21: Dos ruedas dentadas, cuyos ejes A y B se encuentran a una distancia fija, se vinculan mediante una cadena para formar un mecanismo de transmisión similar al que puede observarse en una bicicleta. Sus radios son r A =3 cm, y r B =9 cm, respectivamente. Se hace girar a la rueda A con velocidad angular constante en el sentido indicado, a 100 rpm. Considerando el pasaje de un eslabón sucesivamente por los puntos X, Y, 120 Guillermo Concha – Manuel Torres – Ricardo Montecino

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Z, determinar. a) El módulo de su velocidad, en cada punto, b) La frecuencia con que gira la rueda.

Datos: r A =3 cm,

Conceptos involucrados:

r B =9 cm,

ω A =100 rpm

Velocidad tangencial, velocidad angular, frecuencia lineal Queda claro que la rueda A es el piñón y la B es el plato. ω A =100 rpm = 100 rev/min = 100·2π/60 s = 10,47 s - 1

Desarrollo:

También queda claro que la velocidad lineal con que se mueven los eslabones de la cadena es la misma para todos los eslabones, o sea, es la misma en todas las posiciones. Lo contrario implicaría que la cadena se estiraría o se contraería según fuera más o menos rápido. a) v A =v B =v=ω A ·r A →v = 10,47 s - 1 . 0,03 m=0,3141 m/s b) v = 2π∙ƒ B ·r B → ƒ B =v/r B ·2π ƒ B =0,3141 m/s / (0,09 m ·2 x 3,14) = 0,5557 s - 1

EJERCICIO RESUELTO N° 2 -22 : ¿Cuál es la velocidad angular de un disco que gira 13,2 rad en 6 s? ¿Cuál es su período? ¿Cuál es su frecuencia?

Datos: 121 Guillermo Concha – Manuel Torres – Ricardo Montecino

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𝜃=13,2 rad;

Conceptos involucrados:

t=6 s

Velocidad Tangencial, velocidad angular, frecuencia

Desarrollo:

𝜔=

𝜃 13,2 𝑟𝑎𝑑 = = 2,2 𝑟𝑎𝑑/𝑠 𝑡 6𝑠

𝑇=

2𝜋 2𝜋 = = 2,856 𝑠 𝜔 2,2 𝑟𝑎𝑑/𝑠 1 1 = = 0,35 𝐻𝑧 𝑇 𝑃2,856 𝑠

𝑓=

EJERCICIO RESUELTO N° 2 -23: ¿Cuánto tiempo necesitará el disco anterior: a) para girar un ángulo de 180º, b) para efectuar 12 revoluciones? Datos: 𝜔 = 2,2 𝑟𝑎/𝑠; Conceptos involucrados:

𝜃 = 𝜋 𝑟𝑎𝑑;

𝜃 = 12 𝑟𝑒𝑣 = 24𝜋 𝑟𝑎𝑑

Velocidad angular, periodo, frecuencia 𝜔=

𝜃 𝜃 𝜋 𝑟𝑎𝑑 →𝑡= = = 1,43 𝑠 𝑡 𝜔 2,2 𝑟𝑎𝑑/𝑠

Desarrollo: 𝑡=

𝜃 24𝜋 𝑟𝑎𝑑 = = 34,27 𝑠 𝜔 2,2 𝑟𝑎𝑑/𝑠

EJERCICIO RESUELTO N° 2 -24: Un móvil se encuentra con MCU describe un ángulo de 2,25 rad en 0,2 s. Si el radio de la circunferencia descrita es de 40 cm, calcular: velocidad angular, velocidad lineal, período y frecuencia Datos: 𝜃 =2,25 rad, t=0,2 s, R=40 cm

122 Guillermo Concha – Manuel Torres – Ricardo Montecino

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Conceptos involucrados:

Desarrollo:

Velocidad angular Velocidad lineal período frecuencia Aplicando las correspondientes definiciones operacionales, tenemos: Velocidad angular: 𝜃 2,25 𝑟𝑎𝑑 𝜔= = = 11 𝑟𝑎𝑑/𝑠 𝑡 0,2 𝑠 Velocidad lineal: 𝑟𝑎𝑑 𝑣 = 𝑅 · 𝜔 = (0,4 𝑚) · (11 ) = 4,40 𝑚/𝑠 𝑠 El período: 2𝜋 2𝜋 𝜔= →𝑃= = 0,57 𝑠 𝑃 𝜔 La frecuencia: 1 𝑟𝑒𝑣 𝑓 = 𝑃 = 1,57 𝑠 = 1,57 𝐻𝑧

EJERCICIO RESUELTO N° 2 -25: Un disco efectúa 120 revoluciones por minuto, rpm, con MCU. Calcular: período, frecuencia, velocidad angular y velocidad lineal de un punto de su periferia si tiene un diámetro de 3 m. Datos: 𝑛 =120 rpm, Conceptos involucrados:

t=60 s,

R=1,5 m

Período, frecuencia, Velocidad angular Velocidad lineal 𝑡

60 𝑠

Período: 𝑃 = 𝑛 = 120 𝑣𝑢𝑒𝑙𝑡𝑎𝑠 = 0,5 𝑠 1

Desarrollo:

La frecuencia: 𝑓 = 𝑃 = 2

𝑟𝑒𝑣

𝑠 2𝜋

= 2 𝐻𝑧

Velocidad angular: 𝜔 = 𝑃 = 12,56 𝑟𝑎𝑑/𝑠 Velocidad lineal: 𝑣 = 𝑅 · 𝜔 = 18,84 𝑚/𝑠

123 Guillermo Concha – Manuel Torres – Ricardo Montecino

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EJERCICIO RESUELTO N° 2-26: Un cuerpo describe un círculo de radio igual a 50 cm con MCU. El cuerpo da 30 vueltas por minuto. Calcular su aceleración centrípeta.

Datos: R=50 cm,

n=30 rpm

Período Velocidad angular Aceleración centrípeta Si el cuerpo da 30 vueltas en 60 s; entonces, su 60 𝑠 𝑠 período es 𝑃 = 30 𝑣𝑢𝑒𝑙𝑡𝑎𝑠 = 2 𝑣𝑢𝑒𝑙𝑡𝑎

Conceptos a utilizar:

2𝜋

La velocidad angular es 𝜔 = 𝑃 = 3,14 𝑟𝑎𝑑/𝑠. Si el radio es R=50 cm=0,50 m. Por tanto, la aceleración centrípeta es 𝑎𝑐 = 𝑅 · 𝜔2 =4,98 m/ 𝑠 2 .

Desarrollo:

EJERCICIO RESUELTO N° 2 -27: Un astronauta da la vuelta a la Tierra cada 185 minutos. ¿Cuál es su velocidad angular? ¿Cuál es su velocidad lineal y su aceleración centrípeta si describe una órbita de 20.080 km de radio? Datos: P=185 min=11.100 s; Conceptos involucrados:

Desarrollo:

R=20.080 km;

v=?;

a c =?

velocidad angular velocidad lineal: 𝑣 = 𝜔 · 𝑅 aceleración centrípeta: 𝑎𝑐 = 𝜔2 · 𝑅 velocidad angular: 2𝜋 2𝜋 𝑟𝑎𝑑 𝑟𝑎𝑑 𝜔= = = 5,66𝑥10−4 𝑃 11.100 𝑠 𝑠 velocidad lineal: 𝑟𝑎𝑑 𝑣 = 𝜔 · 𝑅 = (5,66𝑥10−4 ) · (20.080 𝑘𝑚) = 11,36 𝑘𝑚/𝑠 𝑠 aceleración centrípeta: 124

Guillermo Concha – Manuel Torres – Ricardo Montecino

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𝑎𝑐 = 𝜔2 · 𝑅 = (5,66𝑥10−4

𝑟𝑎𝑑 2 ) · (2,008𝑥103 𝑚) 𝑠

= 6,43 𝑚/𝑠 2

EJERCICIO RESUELTO N° 2 -28: Un punto de la periferia de una rueda de automóvil con radio de 0,3 m se mueve con una velocidad de 54 km/h. ¿Cuál es su velocidad angular en rad/s? ¿Y en rpm? ¿Cuál es su aceleración centrípeta? Datos: R=0,3 m; Conceptos involucrados:

v=54 km/h=15 m/s

velocidad angular, velocidad lineal aceleración centrípeta velocidad angular: 𝑣

𝑚

15

𝑠 𝜔 = 𝑅 = 0,3 𝑚 = 50

Desarrollo:

50

𝑟𝑎𝑑 𝑠

1 𝑟𝑒𝑣

𝑟𝑎𝑑 𝑠

;

60 𝑠

𝑥 (2𝜋 𝑟𝑎𝑑) 𝑥 (1 𝑚𝑖𝑛) = 477,46 𝑟𝑒𝑣/𝑚𝑖𝑛

aceleración centrípeta: 𝑎𝑐 = 𝜔 · 𝑅 = (50 𝑟𝑎𝑑/𝑠)2 · (0,3 𝑚) = 750 𝑚/𝑠 2 2

125 Guillermo Concha – Manuel Torres – Ricardo Montecino

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Aprendizaje esperado 2.3.- Resuelve problemas de lanzamiento de proyectiles a través de las ecuaciones cinemáticas y sus representaciones gráficas. Criterios de evaluación: 2.3.1 Caracteriza el movimiento de un proyectil determinando la variación en la magnitud de las componentes ortogonal es de la velocidad. 2.3.2 Resuelve problemas de lanzamiento de proyectiles a través de las ecuaciones cinemáticas identificando componentes aceleradas o retardadas, y constantes.

EJEMPLOS DESARROLLADOS PARA ACLARAR LANZAMIENTO DE PROYECTILES E EJERCICIO RESUELTO N° 2 -29: Un proyectil es lanzado con una velocidad de 60 m/s y un ángulo de tiro de 60º. Calcular: a) su velocidad en el eje X y eje Y, b) altura al cabo de 3 s, c) su velocidad total, d) su tiempo de vuelo, e) su alcance horizontal, f) 126 Guillermo Concha – Manuel Torres – Ricardo Montecino

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su altura máxima alcanzada. Datos: v o =60 m/s;

Conceptos a considerar:

θ=60º; Velocidad, altura de vuelo, tiempo de vuelo, distancia horizontal máxima, altura máxima

a) su velocidad en el eje X y eje Y 𝑣𝑜𝑥 = 𝑣0 · 𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑣𝑜𝑦

𝑣𝑜𝑥 = 60 𝑚/𝑠 · 𝑐𝑜𝑠60° = 30 𝑚/𝑠 𝑚 = 𝑣0 · 𝑠𝑒𝑛𝜃 − 𝑔 · 𝑡 𝑣𝑜𝑦 = 60 · 𝑠𝑒𝑛60° − 9,8 2 · 3 𝑠 𝑠 = 22,6 𝑚/𝑠

b) altura al cabo de 3 s 1 𝑦 = (𝑣𝑜 · 𝑠𝑒𝑛𝜃) · 𝑡 − 𝑔 · 𝑡 2 2 1 ℎ = (60 𝑚/𝑠 · 𝑠𝑒𝑛60°) · (3 𝑠) − (9,8 𝑚/𝑠 2 ) · (3 𝑠)2 2 = 111,8 𝑚 Desarrollo:

c) su velocidad total, (módulo) 2 + 𝑣2 𝑣 = √𝑣𝑜𝑥 𝑜𝑦

𝑣 = √(30 𝑚/𝑠)2 + (22,6 𝑚/𝑠)2 = 37,6 𝑚/

d) su tiempo de vuelo 𝑡=

2 · 𝑣𝑜 𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑔

𝑡=

2 · 60 𝑚/𝑠 𝑠𝑒𝑛60° = 10,6 𝑠 9,8 𝑚/𝑠 2

e) su alcance horizontal 𝑥𝑚𝑎𝑥 = 𝑣𝑥 · 𝑡

𝑥𝑚𝑎𝑥 = 60 𝑚/𝑠 · 𝑐𝑜𝑠60° · 10,6 𝑠 = 318 𝑚

127 Guillermo Concha – Manuel Torres – Ricardo Montecino

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f) su altura máxima alcanzada

𝑦𝑚á𝑥 =

2 𝑜

2·𝑔

𝑠𝑒𝑛2 𝜃

𝑦𝑚á𝑥

𝑚 2 (60 𝑠 ) 2 = 𝑚 𝑠𝑒𝑛 (60°) = 137,8 𝑚 2 · 9,8 2 𝑠

EJERCICIO RESUELTO N° 2 -30: Un proyectil es lanzado con una velocidad inicial de 200 m/s y un ángulo de tiro de 40°. Calcular al cabo de 20 s (a) su velocidad horizontal, (b) su velocidad vertical, (c) su velocidad total, (d) la distancia horizontal recorrida, (e) la altura a que se encuentra. Datos: v o =200 m/s,

Conceptos a considerar

θ=40º,

t=20 s

Velocidad de un proyectil, distancia horizontal, distancia horizontal máxima, altura máxima Para los efectos de cálculo, tomaremos: Sen40°=0,6428

Desarrollo:

(a)

cos40 °=0,7660

→ 𝑣𝑜𝑥 = 200

𝑚 𝑚 · 𝑐𝑜𝑠40º = 153,21 𝑠 𝑠

→ 𝑣𝑜𝑦 = 200

𝑚 𝑚 · 𝑠𝑒𝑛40º = 128,58 𝑠 𝑠

La velocidad horizontal es la misma durante todo el movimiento e igual a v O X =153,21 m/s → 𝑣𝑜𝑥 = 200

(b)

y

𝑚 · 𝑐𝑜𝑠40º = 153,21 𝑚/𝑠 𝑠

La velocidad vertical es v Y =v O Y -g·t=-67,4 m/s.

→ 𝑣𝑜𝑦 = 200

𝑚 𝑚 𝑚 · 𝑠𝑒𝑛40º − (9,8 2 ) · (20 𝑠) = − 67,44 𝑠 𝑠 𝑠 128

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El signo negativo ( − ) indica que el proyectil se encuentra descendiendo. (c)

La velocidad del proyectil es, aplicando la expresión: 2 + 𝑣2 𝑣 = √𝑣𝑜𝑥 𝑜𝑦

→ 𝑣 = √(153,21 (d)

𝑚 2 𝑚 2 𝑚 ) + (−67,44 ) = 167,40 𝑠 𝑠 𝑠

La distancia horizontal recorrida es: 𝑥𝑚𝑎𝑥 = 𝑣𝑜𝑥 · 𝑡 𝑥𝑚𝑎𝑥 = 𝑣𝑜𝑥 · 𝑡 → 𝑥𝑚𝑎𝑥 = (200 = 3.064,17 𝑚

(e)

𝑚 · 𝑐𝑜𝑠40º) · (20 𝑠) 𝑠

La altura del proyectil está dada por la expresión: 1 = (𝑣𝑜 · 𝑠𝑒𝑛𝜃) · 𝑡 − 𝑔 · 𝑡 2 2 𝑦 = (200

𝑚 1 𝑚 · 𝑠𝑒𝑛40º) · (20 𝑠) − (9,8 2 ) · (20 𝑠)2 𝑠 2 𝑠 = 611,15 𝑚

EJERCICIO RESUELTO N° 2 -31: Una piedra es lanzada desde lo alto de un acantilado con una velocidad inicial de 20 m/s dirigida horizontalmente. Si la altura es h=130 m, determinar (a) ¿cuánto tiempo tardará en caer?, (b) ¿con qué velocidad y a qué distancia horizontal caerá? Datos: v x =20 m/s,

Conceptos a considerar:

y=130 m,

θ= 0𝑜

Tiempo de caída, velocidad de caída, velocidad total del movimiento

129 Guillermo Concha – Manuel Torres – Ricardo Montecino

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(a)

Para determinar el tiempo que le toma al cuerpo en llegar al suelo, aplicamos la expresión: 𝑡𝑐 = √

→ 𝑡𝑐 = √ (b)

Desarrollo:

2·𝑦 𝑔

2 · (130 𝑚) = 5,15 𝑠 (9,8 𝑚/𝑠 2 )

Para calcular la velocidad, utilizamos la expresión: 𝑣𝑦 = 𝑔 · 𝑡𝑐 → 𝑣𝑦 = (9,8

𝑚 ) · (5,15 𝑠) = 50,5 𝑚/𝑠 𝑠2

Ahora, la velocidad 𝑣, es: 𝑣 = √𝑣𝑥2 + 𝑣𝑦2 → 𝑣 = √(20 𝑚/𝑠)2 + (50,5 𝑚/𝑠)2 = 54,3 𝑚/𝑠 Para calcular la distancia, utilizamos la expresión: 𝑥 = 𝑣𝑥 · 𝑡𝑐 → 𝑥 = (20 𝑚/𝑠) · (5,15 𝑠) = 103 𝑚

EJERCICIO RESUELTO N° 2 -32: Un proyectil lanzado con un ángulo de tiro de 35º con respecto a la horizontal, cae en la Tierra en un punto a 4 km del cañón. Calcular: (a) su velocidad inicial, (b) su tiempo de vuelo, (c) su altura máxima, (d) su velocidad cuando está en el punto más alto. Datos: θ=35º,

𝑥𝑚𝑎𝑥 = 4.000 𝑚

130 Guillermo Concha – Manuel Torres – Ricardo Montecino

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Conceptos a considerar:

Velocidad de vuelo, distancia horizontal, distancia horizontal máxima, altura máxima. (a)

Para calcular la velocidad inicial, utilizamos la expresión: 𝑣𝑜2 · 𝑠𝑒𝑛(2𝜃) 𝑥𝑚𝑎𝑥 = 𝑔 De donde, despejamos 𝑣𝑜 : 𝑔 · 𝑥𝑚𝑎𝑥 𝑣𝑜 = √ 𝑠𝑒𝑛(2𝜃) 𝑚 (9,8 2 ) · (4.000 𝑚) 𝑠 → 𝑣𝑜 = √ = 204,2 𝑚/𝑠 𝑠𝑒𝑛(2 · 35º)

(b)

El tiempo de vuelo, se determina utilizando la expresión: 2 · 𝑣𝑜 𝑡= · 𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑔

Desarrollo: →𝑡= (c)

2 · (204,2 𝑚/𝑠) · 𝑠𝑒𝑛(35º) = 23,90 𝑠 (9,8 𝑚/𝑠 2 )

Para determinar la altura máxima, lo hacemos utilizando la expresión: 𝑦𝑚𝑎𝑥 =

→ 𝑦𝑚á𝑥

𝑣𝑜2 𝑠𝑒𝑛2 2·𝑔

𝑚 2 (204,2 𝑠 ) 2 = 𝑚 · 𝑠𝑒𝑛 (35º) = 700 𝑚 2 · (9,8 2 ) 𝑠

𝑠𝑒𝑛(35º) = 0,5735 → (0,5735)2 = 0,32898 (d)

La velocidad cuando está en el punto más alto, se determina utilizando la expresión: 𝑣𝑜𝑥 = 𝑣0 · 𝑐𝑜𝑠𝜃 131

Guillermo Concha – Manuel Torres – Ricardo Montecino

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→ 𝑣𝑜𝑥 = (204,2

𝑚 𝑚 ) · (𝑐𝑜𝑠35º) = 167,3 𝑠 𝑠

132 Guillermo Concha – Manuel Torres – Ricardo Montecino

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EJERCICIOS PROPUESTOS DE CINEMÁTICA Movimiento Rectilíneo Uniforme, Acelerado, retardado, caída libre, lazamiento vertical, Lanzamiento de Proyectiles, Circular. 1.

Un automóvil va a una velocidad de 60 km/h. ¿Qué distancia recorrerá en 8 min? R/ 8.000 m

2.

El sonido se propaga en el aire con una velocidad de 340 m/s. ¿Cuánto tiempo tardará en escuchar un cañonazo a 1,7 km de distancia? R/ 5 s

3.

Dos trenes parten de una misma estación; uno a 60 km/h y otro a 80 km/h. ¿qué distancia se encontrarán al cabo de 50 min: a) si marchan en el mismo sentido, b) si ma rchan en sentido contrario? R/ 16,66 km; 116,66 km

4.

Un automóvil va a 20 km/h y en 3 min su velocidad aumenta hasta 60 km/h. Calcular su aceleración. Represente gráficamente la velocidad en función del tiempo y calcule el camino recorrido. R/ 6,2x10 - 2 m/s 2

5.

¿Qué tiempo debe transcurrir para que un cuerpo que se mueve a 10 km/min adquiera una velocidad de 30 km/min con una aceleración de 0,4 m/s 2 ? Represente gráficamente la velocidad en función del tiempo y calcule el camino recorrido. R/ 833 s

6.

Un automóvil parte del reposo y en 10 s alcanza una velocidad de 8 m/s. En los próximos 15 s su velocidad llega a 16 m/s y, finalmente, en los siguientes 12 s su velocidad es de 30 m/s. Representar gráficamente la velocidad. ¿Cuál ha sido su aceleración en cada intervalo? ¿Cuál ha sido la distancia recorrida por el móvil? R/ 0,8 m/s 2 ; 0,53 m/s 2 ; 1,16 m/s 2 ; 40 m; 300 m; 520 m

133 Guillermo Concha – Manuel Torres – Ricardo Montecino

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7.

Un cuerpo dejado caer libremente llega al suelo con una velocidad de 29,4 m/s. Determinar el tiempo de caída y la altura del punto de partida. R/ 3 s, 44,1 m

8.

Si un cuerpo cae en 4 s partiendo del reposo, calcular la velocidad con que llega al suelo y la altura del punto de partida. R/ 39,2 m/s, 78,5 m

9.

Se deja caer un cuerpo y, simultáneamente, se lanza hacia abajo otro cuerpo con una velocidad inicial de 1 m/s. ¿En qué instante es la distancia entre ellos de 18 m? R/ 18 s

10.

Calcular las velocidades angular y lineal de la Luna, sabiendo que da una vuelta completa alrededor de la Tierra en aproximadamente 28 días y que la distancia media entre est os dos astros es 38,33x10 4 km. ¿Cuál es su aceleración centrípeta a c ? R/ 2,6x10 - 6 rad/s, 996,58 m/s, 2,59x10 - 3 m/s 2

11.

Calcular las velocidades angular y lineal de la Tierra, sabiendo que da una vuelta completa alrededor del Sol en 365 días y que su distancia media al Sol es 148x10 6 km. ¿Cuál es su aceleración centrípeta? R/ 2x10 - 7 rad/s, 29,6 km/s, 59,2x10 - 4 m/s 2

12.

Calcular la velocidad angular de rotación de la Tierra, sabiendo que da una vuelta en 24 horas. Si el radio de la Tierra es 6,37x10 6 m. ¿cuál es la velocidad y la aceleración centrípeta de los puntos del Ecuador? R/ 7,27x10 - 5 rad/s, 463 m/s, 2,95x10 - 2 m/s 2

13.

En 5 s la velocidad angular de una rueda ha aumentado de 20 rad/s a 30 rad/s. Calcular la aceleración angular y el ángulo girado. R/ 2 rad/s 2 ; 125 radianes

14.

La velocidad de un automóvil aumenta en 10 s de 15 km/h a 55 km/h. Si el diámetro de sus ruedas es 70 cm, ¿cuál es la aceleración angular de las mismas? R/ 3,17 rad/s 2

15

En la figura está representada la variación de la velocidad de un móvil en función del tiempo. Describa, cuando el movimiento es acelerado, uniforme y retardado: a) ¿Cuál es el camino recorrido entre t=5 s y t=8 s?, b) ¿Dónde se encuentra el móvil al cabo de 12 134 Guillermo Concha – Manuel Torres – Ricardo Montecino

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s?, c) ¿Cuál es la aceleración del cuerpo durante los intervalos entre t=0 s y t=4 s, t=4 s y t=9 s, t=9 s y t=12 s? R/ a)0 a 4s MRUA, 9 a 12sMRUR;b) Origen; 2m/s 2 ; 0 m/s 2 ; 2,67 m/s 2 .

16

En el gráfico de ‘d v/s t’ se representa la distancia recorrida en función del tiempo para un ciclista. De acuerdo al gráfico, calcular la distancia recorrida por el ciclista entre los 15 s y 20 s. R/ 40 m

17

En el gráfico que se adjunta, indique entre que intervalos el móvil estuvo en movimiento. R/ Entre los 0 y 5 s, y entre los 8 y 12 s

135 Guillermo Concha – Manuel Torres – Ricardo Montecino

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18

Según el gráfico que se adjunta, indique entre que intervalos, la aceleración tiene su mayor valor. R/ los 5 y 10 s

19

Según el gráfico adjunto, ¿calcular qué distancia recorrió el móvil entre los 4 y 8 s? R/ 5 m

20

Indique que distancia recorre el cuerpo entre 0 s y 20 s. R/ 375 m

21

Según el gráfico de ‘v/t’. Calcular la aceleración que tuvo el cuerpo entre los 0,0 s y 0,3 s. R/ 5,0 m/s 2

136 Guillermo Concha – Manuel Torres – Ricardo Montecino

Unidades de Aprendizaje FÍSICA MECÁNICA Disciplinas Básicas: Física

22.

Si en la experiencia del montaje de la figura, empujas el carro hacia la derecha, hasta adquirir una velocidad v 0 , la gráfica d/t que mejor representa su movimiento, a partir de ese instante, considerando que no existe rozamiento con el suelo, será la alternativa y que la gráfica v/t estará representada por:

23.

Se dispara un proyectil con velocidad inicial de 100 m/s y ángulo de 53°. Calcular: a) Velocidad horizontal y vertical inicial, b) tiempo para llegar a su altura máxima, c) tiempo total, d) altura máxima, e) alcance máximo, f) velocidad resultante a los 6 y 10 s. R/a) 60,18 m/s; 78,86 m/s b) 4,07 s; c)8,15 s; d) 325,42 m ; e) 460,47 m; f) 63,76 m/s, 62,85 m/s.

137 Guillermo Concha – Manuel Torres – Ricardo Montecino

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24.

Un avión vuela a 2000 m de altura y suelta una bomba. Hallar el alcance máximo y la velocidad resultante a los 10 s de haberla soltado. La velocidad del avión es de 320 m /s. Calcular el tiempo de caída. R/ 3200 m, 334,7 m/s, 20,2 s.

25

Un barco recorre 9 km en 45 minutos. Hallar su rapidez en km/h. R/ 12 km/h

26

La velocidad del sonido en el aire al nivel del mar es alrededor de 335 m/s. Si un hombre oye el ruido de un trueno 3 s después de ver su destello luminoso, ¿a qué distancia se produjo el rayo? R/ 1.005 m

27

La velocidad de a luz es de 3x10 8 m/s. ¿Cuánto demora la luz para viajar del Sol a la Tierra, si la distancia es de 1,5x10 1 1 m? R/ 500 s

28

Un auto viaja 270 km en 4,5 h. ¿Cuál es la velocidad promedio? ¿Qué distancia recorre con esa velocidad promedio en 7 h? ¿Cuánto tiempo demorará para recorrer 300 km con esa rapidez promedio? R/ 60 km/h, 420 km, 5 h

29

Un avión cuya velocidad respecto al aire es de 400 km/h tiene un viento de cola de 120 km/h. ¿Cuánto tiempo tarda en recorrer una distancia de 1.000 km respecto a la Tierra? R/ 1,9 h

30

Un auto viaja a 40 km/h durante 2 h y luego a 30 km/h durante 1,5 h. ¿Qué distancia recorrió? ¿Cuál es la velocidad pro medio del viaje completo? R/ 125 km, 36 km/h

31

Un auto parte del reposo y alcanza una velocidad de 12 m/s en 10 s. ¿Cuál es su aceleración? Si su aceleración permanece constante, ¿cuál será su velocidad al cabo de los 15 s? R/ 1,2 m/s 2 , 18 m/s

138 Guillermo Concha – Manuel Torres – Ricardo Montecino

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32

¿Cuál es la aceleración de un auto que cambia su velocidad de 20 km/h a 30 km/h en 1,5 s? ¿Cuánto tiempo emplea el auto para pasar de 30 km/h a 36 km/h, con la misma aceleración? R/ 6,7 km/h·s, 0,9 s

33

Un auto tiene una aceleración de 8 m/s 2 . ¿Cuánto tiempo ne cesitará para alcanzar una velocidad de 24 m/s partiendo del reposo? ¿Qué distancia recorre durante este período de tiempo? R/ 3 s, 36 m

34

Los frenos de un auto pueden producir una aceleración de 6 m/s 2 . ¿Cuánto tiempo necesita el auto para detenerse si tiene una velocidad de 30 m/s? ¿Qué distancia recorre durante el tiempo en que se aplican los frenos? R/ 5 s, 75 m

35

Un auto parte del reposo con una aceleración de 1,5 m/s 2 . ¿Cuál es su velocidad cuando ha recorrido 180 m? R/ 23,2 m/s

36

Un avión debe tener una velocidad de 50 m/s para levantar vuelo. ¿Cuál debe ser la aceleración del avión si debe elevarse en una pista de 500 m de longitud? R/ 2,5 m/s 2

37

Un auto cuya velocidad inicial es de 30 m/s aplica los frenos y adquiere una aceleración de -2 m/s 2 . ¿Qué distancia ha recorrido cuando su velocidad ha disminuido a 15 m/s? ¿Qué distancia ha recorrido para llegar al reposo? R/ 169 m, 225 m

38

Un barco tiene una velocidad constante de 15 km/h. Hallar la distancia que recorre en un día, el tiempo que d emora en viajar 500 km. R/ 360 km, 33 h

39

Un auto viaja a 50 km/h durante ½ h y luego a 60 km/h durante 2 h. Hallar la distancia total recorrida, la velocidad promedio del viaje completo. R/ 145 km, 58 km/h

40

Un avión cuya rapidez respecto al aire es de 800 km/h recorre una distancia de 1600 km en 2½ h. Hallar la velocidad de la corriente de aire que tuvo q ue vencer el avión. R/ 160 km/h

41

Hallar el tiempo que tarda en regresar el sonido reflejado por una montaña (eco) a un hombre situado a 92 m de é sta. La velocidad del sonido es aproximadamente de 335 m/s. R/ 0,55 s

139 Guillermo Concha – Manuel Torres – Ricardo Montecino

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42

Un lanzador gasta 0,1 s en arrojar una piedra de béisbol, la cual abandona su mano con una velocidad de 28 m/s. Hallar la aceleración de la pelota durante su lanzamiento. R/ 280 m/s 2

43

Un auto que viaja a 30 m/s se detiene en 6 s. Hallar su aceleración. Si viaja a 40 m/s, hallar el tiempo que requiere para detenerse, considerando la misma aceleración R/ 5 m/s 2 , 8 s

44

Los frenos de un auto reducen su velocidad de 60 km/h a 40 km/h en 2 s. Si la velocidad inicial del auto es de 25 km/h, hallar el tiempo que requiere para detenerse, considerando la misma aceleración. R/ 2,5 s

45

Un objeto parte del reposo con una aceleración de 10 m/s 2 . Hallar la distancia recorrida al cabo de 0,5 s, su velocidad a los 0,5 s. R/ 1,25 m, 5 m/s

46

Un auto con una velocidad inicial de 6 m/s se acelera a razón de 1,5 m/s 2 . Hallar el tiempo que necesita para alcanzar una velocidad de 15 m/s, la distancia que recorre durante este período de tiempo. R/ 6 s, 63 m

47

Un auto cuya velocidad es de 20 km/h se acelera a razón de 5 (km/h)/s. Hallar su velocidad después de recorrer 1/4 km. R/ 97 km/h

48

Un auto deportivo tiene una aceleración de 3 m/s 2 . Hallar la distancia que recorre mientras su velocidad aumenta : de 0 m/s a 9 m/s, de 9 m/s a 30 m/s. R/ 13,5 m, 136,5 m

49

Un auto cuya velocidad es de 18 m/s se detiene después de recorrer una distancia de 36 m. Hallar su aceleración. R/ -4,5 m/s 2

140 Guillermo Concha – Manuel Torres – Ricardo Montecino

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EVALUACIÓN FORMATIVA 1 UNIDAD CINEMÁTICA 1

Desde la azotea de un edificio de 42 m de altura, dejamos caer un objeto. Calcula el tiempo que tarda en llegar al suelo y la velocidad con que lo hace. R/ 2.93 s, 28,7 m/s

2

La noria de un parque de atracciones, de 10 m de radio, gira a una velocidad de 30 rpm, determinar : a) velocidad angular en rad/s, b) número de vueltas que da en 5 s, c) velocidad lineal de uno de los coches de la noria. R/ a) 3,14 rad/s ; b) 1,25 ;c) 31,4 m/s

3

Dada la siguiente gráfica velocidad – tiempo, identificar el tipo de movimiento en cada tram o y la distancia total recorrida .R/ 0 a 4 s MRU, 4 a6 s MRUA, 6 a 8 MRU, 8 a 10 s MRUR; 110 m.

velocidad (m/s)

20 15 10 5 0 0

1

2

3

4 5,0 6 7 tiempo (s)

7

8

9 10

4

Razona si son verdaderas o falsas las siguientes afirmaciones: Un movimiento uniforme nunca tiene aceleración. La gráfica espacio -tiempo en un MRUA es una línea recta ascendente

4

Lanzamos un objeto verticalmente hacia arriba a una velocidad de 5 m/s, ¿qué altura máxima alcanzará y cuánto tiempo tardará en alcanzarla? R/ 1,28 m; 0,51s. 141 Guillermo Concha – Manuel Torres – Ricardo Montecino

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6

Un motor de un coche gira a 30 rpm, determinar: a) velocidad angular en rad/s, número de vueltas que da en 10 s, c) la frecuencia y período del motor R/ a) 3,14 rad/s, b) 2,5 v c) 0,5 Hz., 2 s.

EVALUACIÓN FORMATIVA 2 MOVIMIENTO CIRCULAR 1

Un objeto se mueve en una trayectoria circular de 0,10 m de radio con una rapidez constante de 2,0 m/s. ¿Cuánto es el período de este movimiento? a) 0,031 s b) 0,050 s c) 0,31 s d) 0,50 s e) 3,1 s

2

En el MCU, si se aumenta el radio al doble y se disminuye la rapidez a la mitad, entonces el período: a) Aumentaría al cuádruple b) Aumentaría al doble c) No variaría d) Disminuiría a la mitad e) Disminuiría a la cuarta parte

3

Se hace girar una piedra con MCU. Su rapidez es 2 m/s y el radio es de 0,8 m. ¿Cuál es la aceleración centrípeta de la piedra? a) 1,25 m/s 2 142 Guillermo Concha – Manuel Torres – Ricardo Montecino

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b) c) d) e)

2,5 m/s 2 3,1 m/s 2 5,0 m/s 2 15,7 m/s 2

4

Calcular la a C de la Luna alrededor de la tierra, sabiendo que el radio y período son, respectivamente: R=4x10 8 m; T=2x10 6 s a) 4x10 - 3 m/s 2 b) 4x10 - 1 m/s 2 c) 4x10 3 m/s 2 d) 4x10 1 5 m/s 2 e) 4x10 2 1 m/s 2

5

Si se compara el MRU y el MCU se observan rasgos comunes y diferencias. ¿Cuáles afirmaciones son verdaderas? I En ambos casos la rapidez es constante II En ambos casos la velocidad es constante III En ambos casos la aceleración es cero a) Sólo I b) Sólo II c) Sólo III d) I y II e) I y III

6

Si un objeto gira con MCU, velocidad de 4 m/s y período de 1,57 s. El radio de la circunferencia descrita es: a) 1,0 m b) 0,38 m c) 0,76 m d) 0,84 m

7

Una rueda parte del reposo y acelera, tal que su rapidez angular aumenta a 20,9 rad/s en 6 s. Después se mueve con esta rapidez durante 8 s logrando barrer un ángulo de: a) 270,5 rad b) 292,6 rad c) 229,9 rad d) 146,3 rad 143 Guillermo Concha – Manuel Torres – Ricardo Montecino

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8

Una rueda de radio 0,75 m gira a 100 rpm, ¿calcular su a C ? a) 41,10 m/s 2 b) 113,20 m/s 2 c) 82,25 m/s 2 d) 164,48 m/s 2

9

Una rueda se mueve en un círculo de 3 m de diámetro con una f=6 rev/s. Calcular el ' T ', ' v ', ' 𝝎 ' y la ' a C ' a) 0,167 s; 113 m/s; 37,7 rad/s; 4.256 m/s 2 b) 0,167 s; 113 m/s; 75,3 rad/s; 8.512 m/s 2 c) 0,167 s; 56,5 m/s; 18,8 rad/s; 1.064 m/s 2 d) 0,167 s; 56,5 m/s; 37,6 rad/s; 2.128 m/s 2

10

Una polea tiene una radio de 40 cm y gira inicialmente a 400 rpm. Se detiene por completo después de 50 rev. Calcule la aceleración angular y el tiempo que demora en detenerse a) 17,5 rad/s 2 y 2,38 s b) 0,44 rad/s 2 y 15 s c) 1.600 rad/s 2 y 0,25 s d) 2,79 rad/s 2 y 15 s

11

Una rueda con rapidez angular constante de 10 rad/s durante 5 s. Continúa su movimiento, con la misma rapidez angular durante 10 s. ¿Qué ángulo giró en éste caso? a) 150 rad b) 100 rad c) 500 rad d) 80 rad

12

Un cuerpo se mueve con un MCU de radio 2 m. Si da una vuelta cada minuto, su velocidad angular en el S.I será: a) 1 RPM b) /30 rad/s c) 2 m/s d) 2 rad/s e) 2 rps

144 Guillermo Concha – Manuel Torres – Ricardo Montecino

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13

Un camino de 5 m, forma una curva de r=100 m, ¿qué a c actúa sobre un auto que toma la curva a 20 m/s por dentro? a) 100 m/s 2 b) 0,2 m/s 2 c) 20 m/s 2 d) 4 m/s 2 e) 10 m/s 2

14

En la figura, los vectores 𝑎 ⃗⃗⃗⃗ y 𝑏⃗⃗ representan respectivamente: a) la velocidad tangencial y la velocidad angular b) la velocidad angular y la aceleración centrípeta c) la velocidad tangencial y la aceleración centrípeta d) la aceleración centrípeta y la velocidad tangencial e) la aceleración centrípeta y la velocidad angular

15

Las poleas de la figura están ligada por medio de una correa. Si la polea de mayor radio da 8 vueltas cada 4 s, la frecuencia de la polea de menor radio es:

a) b) c) d) e)

4 s-1 2 s-1 20 s - 1 5 s-1 6 s-1 145 Guillermo Concha – Manuel Torres – Ricardo Montecino

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16

Desde el mismo punto de una circunferencia parten dos móviles, en sentidos opuestos, con velocidad constante. Uno de ellos recorre la circunferencia en 2 hor as y el otro traza un arco de 6° en un minuto. ¿Cuánto tiempo tardan en encontrarse? a) 40 minutos b) 60 minutos c) 20 minutos d) 10 minutos

EVALUACIÓN FORMATIVA 3 PROYECTILES 1

El ángulo de disparo para el cual el alcance horizontal 𝑥𝑚𝑎𝑥 = 𝑣𝑜2 ·2·𝑠𝑒𝑛𝛼·𝑐𝑜𝑠𝛼 𝑔

es: a) b) c) d) e)

2

es igual a la altura máxima 𝑦𝑚𝑎𝑥 =

𝑣𝑜2 ·𝑠𝑒𝑛2 ∝ 2·𝑔

de un proyectil

30° 76° 45° 14° 60°

Una piedra se lanza hacia arriba con una rapidez de 20 m/s. ¿En qué tiempos tendrá una rapidez de 6 m/s y a qué altura se encontrará? a) 0,63 s y 3,45 s; h=10,20 m b) 0,33 s y 3,85 s; h=5,65 m c) 1,43 s y 2,65 s; h=18,57 m d) 1,73 s y 2,35 s; h=19,85 m 146 Guillermo Concha – Manuel Torres – Ricardo Montecino

Unidades de Aprendizaje FÍSICA MECÁNICA Disciplinas Básicas: Física

3

Desde un cañón se dispara un proy ectil a 20 m/s con ángulo de 58° . ¿Cuál es su desplazamiento horizontal y vertical después de 3 s? a) 10,59 m y 16,9 m b) 31,8 m y6,7 m c) 3,53 m y 5,6 m d) 94,9 m y 31,8 m

4

Un cañón debe dar en el blanco ubicado a 12 km de éste horizontalmente. ¿Cuál será la velocidad del proyectil si el cañón tiene un ángulo de 35° y cuánto tiempo permanece en el aire? a) 353,8 km/s y 41,4 s b) 35,38 m/s y 4,14 s c) 353,8 m/s y 41,4 s d) 3,53 km/s y 4,14 s

5

Una cuerpo se lanza hacia arriba y vuelve después de 2 s. Indique cuál afirmación es verdadera. Considere g=10 m/s 2 a) la velocidad cuando alcanza la altura máxima del vuelo es 10 m/s 2 b) el tiempo que le toma para descender no es igual al tiempo que le toma en subir c) la altura máxima que alcanza no depende de la fuerza de la gravedad. d) la aceleración después de que salga de la mano es 10 m/s 2 hacia abajo.

6

La trayectoria PQR de una pelota del fútbol golp eó con el pie de un punto P en la tierra se demuestra en el diagrama en la derecha. En el punto Q, la bola está en su altura máxima. ¿Cuál de los vectores siguientes puede representar la aceleración debido a la gravedad de la bola en el punto Q?

147 Guillermo Concha – Manuel Torres – Ricardo Montecino

Unidades de Aprendizaje FÍSICA MECÁNICA Disciplinas Básicas: Física

a) b) c) d)

A B C D

7

En un tiro parabólico el movimiento horizontal es: a) uniforme b) uniformemente acelerado c) uniformemente retardado d) con aceleración constante

8

Un proyectil es disparado horizontalmente desde una altura de 80 m. El tiempo de vuelo del proyectil es: (g=10 m/s 2 ). a) 80 s b) 8s c) 16 s d) 4s e) 2s

9

En el lanzamiento de proyectiles el máximo alcance horizontal se logra con un ángulo: a) 0º b) 30º c) 90º d) 45º e) 60º

10

En un tiro parabólico, sin considerar el rozamiento, el tiempo que el proyectil tarda en recuperar la distancia al plano horizontal que tenía en el instante del lanzamiento es: a) 2·v o ·sen /g b) v o ·sen /g c) 2·v o ·sen /2·g d) 2·v o ·sen /g 2

148 Guillermo Concha – Manuel Torres – Ricardo Montecino

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11

El famoso cañón "Gran Berta", utilizado en la Primera Guerra Mundial, tenía un alcance máximo de 100 km. Despreciando el rozamiento con el aire, la altura máxima del proyectil era: a) 50 km b) 60 km c) 55 km d) 65 km

12

Una pelota de basquetbol se lanza hacia un jugador con una velocidad inicial de 20 m/s que forma un ángulo de 45° con la horizontal. En el momento de lanzar la pelota el jugador está a 50 m del lanzador. ¿A qué velocidad deberá correr el jugador para coger la pelota a la misma altura que se lanzó? (g=10 m/s 2 ). a) 3 · √2 b) 𝟑, 𝟓 · √𝟐 c) 2 · √2 d) 2,5 · √2

13

Se patea un balón que describe una trayectoria parabólica como se aprecia en la figura. La magnitud de la aceleración en el punto A es a A y la magnitud de la aceleración en el punto B es a B . Es cierto que: a) a A a B d) a A =a B ≠0

14

Se lanza desde un cañón un proyectil con una v elocidad inicial de 37 m/s a 62° sobre la horizontal con el objetivo de impactar en un blanco que se ubica en una montaña a una altura h. Impacta 5,5 s después del lanzamiento. ¿Cuál es la altura a la cual se encuentra el blanco?

149 Guillermo Concha – Manuel Torres – Ricardo Montecino

Unidades de Aprendizaje FÍSICA MECÁNICA Disciplinas Básicas: Física

a) b) c) d)

31,1 m 55,3 m 243,3 m 327,5 m

150 Guillermo Concha – Manuel Torres – Ricardo Montecino

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EVALUACIÓN FORMATIVA 4 CINEMÁTICA 1

Un móvil tiene aceleración tangencial nula y aceleración normal constante, ¿el movimiento es uniforme o uniformemente acelerado? Razona la respuesta : R/ Movimiento Uniforme

2

Si la velocidad de un móvil es constante en módulo, ¿Podemos asegurar que el móvil no tiene aceleración? R/ No ¿Por qué?

3

Desde una torre de transmisión de televisión situada a 120 m de altura sobre el suelo, se sue lta un objeto. Dos segundos después, y en la misma vertical, se lanza otro objeto hacia abajo con una velocidad inicial de 50 m/s. Calcula el instante en que se encuentran los dos objetos, la altura a la que chocan y la velocidad de cada uno es ese instant e. Tomar g=10 m/s 2

5

Desde una colina situada a 1.000 m de altitud sobre un llano, se lanza un proyectil con velocidad inicial de 30 0 m/s y un ángulo de tiro de 30°. Determinar: a) El tiempo que tarda en llegar al llano y el alcance del proyectil, b) La velocidad al caer al llano. R/ a) 35,7 s; 9311,5 m; b) 327,8 m/s

6

El tambor de una lavadora gira durante el centrifugado a 700 rpm. Si en ese momento cesa la corriente y tarda 1 min 32 s en pararse, calcular la aceleración angular de frenado y el número de vueltas que da el tambor hasta detenerse . R/ 0,79 rad/s 2 , 536,4 v.

7

La aceleración de un móvil es a=3i m/s 2 , indique si se trata de un movimiento rectilíneo. R/ Movimiento rectilíneo uniforme acelerado. 151 Guillermo Concha – Manuel Torres – Ricardo Montecino

Unidades de Aprendizaje FÍSICA MECÁNICA Disciplinas Básicas: Física

8

Desde una colina situada a 1.000m de altitud sobre un llano, se lanza un proyectil con velocidad inicial de 30 0 m/s y un ángulo de tiro de 30°. Determinar: a) La altura máxima, b) La velocidad al caer al llano y el ángulo de caída . R/ a) 1147,9 m; b)427,55 m/s, 52,57°

9

Un jugador de golf lanza una pelota con una velocidad inicial de 150 km/h y un ángulo de inclinación de 20° . Calcula la altura máxima que alcanza la pelota y su velocidad en ese instante. R/ 10,36 m, 39,16 m/s.

152 Guillermo Concha – Manuel Torres – Ricardo Montecino

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UNIDAD 3: DINÁMICA

LEYES DE NEWTON

2da 1era

3era

Ley de Inercia

Principios fundamentales de la Dinamica.

Principio de Accion y Reaccion

Si Sobre un cuerpo no actua ningun otro, este permanecerá indefinidamente moviendose en linea recta con velocidad constante.

La fuerza neta aplicada sobre un cuerpo es proporcional a la aceleracion que adquiere dicho cuerpo, se expresa F=ma

SI un cuerpo A ejerce otra accion sobre un cuerpo B, este reaiza sobre A otra accion igual y de sentido contrario.

otra variable que influye es la cantidad de movmiento que se representa por la letra p y que se define como el producto de la masa de un cuerpo por su velocidad: p=m*v

aunque los pares de accion y reaccion tengan el mismo valor y sentidos contrarios no se anulan entre si, puesto que actuan sobre cuerpos distintos.

153 Guillermo Concha – Manuel Torres – Ricardo Montecino

Unidades de Aprendizaje FÍSICA MECÁNICA Disciplinas Básicas: Física

EN ESTA UNIDAD Conocerás y comprenderás: Las características de una fuerza Los efectos de las fuerzas sobre los cuerpos Los Principios de Newton , Diferentes fuerzas mecánicas (Peso, Normal, Tensión, Fricción) , Diferencias entre los conceptos de masa y peso .

Desarrollarás habilidades para: Resolver problemas relacionados con fuerzas Formular explicaciones de situaciones cotidianas, aplicando los Principios de Newton, Metodología de análisis y desarrollo de situaciones problemáticas de Leyes de Newton.

Desarrollarás actitudes para: Formular explicac iones respaldadas por tus observaciones o cálculos de fenómenos cotidianos o conocimientos teóricos Entender la importancia de las fuerzas como consecuencia de los movimientos.

154 Guillermo Concha – Manuel Torres – Ricardo Montecino

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LAS LEYES DEL MOVIMIENTO DE NEWTON La Dinámica estudia las causas del movimiento y sus cambios y de la manera como los cuerpos influyen en el movimiento de otros cuerpos. Concepto de Fuerza: En física, fuerza es toda causa capaz de modificar el estado de reposo o de movimiento de un cuerpo. Se puede aplicar u na fuerza para: a) Poner en movimiento un objeto que está en estado de reposo. b) Para acelerar o retardar un objeto que ya está moviéndose. En cualquiera de los dos casos, la fuerza se aplica para cambiar el estado de movimiento (o reposo) del objeto al cual se le aplica. PRIMERA LEY DEL MOVIMIENTO Cuando la suma vectorial de las fuerzas aplicadas a un objeto es cero, no hay un cambio en el estado de movimiento del objeto. ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∑𝐹 = 0 Todo cuerpo tiende a mantener su estado de inercia

Las fuerzas son interacciones entre objetos y no son propiedades de los objetos en sí, como la masa o el volumen, sino más bien una “información” que recibe cada uno de los cuerpos de la presencia de los otros.

MASA La propiedad de resistencia de un cuerpo a un cambio en su estado de reposo o de MRU, se denomina inercia. La idea de inercia de un cuerpo está íntimamente relacionada con la cantidad de materia que posee. Una medida cuantitativa de la inercia es la 155 Guillermo Concha – Manuel Torres – Ricardo Montecino

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masa: cuando una fuerza neta actúa sobre un cuerpo, a mayor masa menor aceleración.

SEGUNDA LEY DEL MOVIMIENTO La 2ª Ley del Movimiento de Newton establece que la fuerza neta que actúa sobre un cuerpo es proporcional a la masa del cuerpo y a su aceleración. La dirección de la fuerza es igual a la dirección de la aceleración que adquiere el cuerpo. En un sistema adecuado de unidades, la proporcionalidad entre la fuerza y el producto de la masa por la aceleración es una igualdad, de modo que: F = m ∙ a (fuerza = masa ∙ aceleración)

Esta ley del movimiento es la clave para entender el comportamiento de los cuerpos en movimiento, puesto que relaciona la causa (fuerza) y el efecto (aceleración) de una manera precisa. Para saber más, consulta: www.profesorenlinea.cl/fisica/Leyes_de_Newton.html Consulta 6/7/2014 www.jfinternational.com/mf/segunda-ley-newton.html Consulta 6/7/ 2014 En el sistema S.I, la unidad de masa es el kilogramo, kg, y la unidad de fuerza es el Newton, N; una fuerza neta de 1 N que actúe sobre una masa de 1 kg produce una aceleración de 1 m/s 2 . En el sistema FPS (Inglés), la unidad de masa es el slugs, y la unidad de fuerza es la libra, lb f ; una fuerza neta de 1 lb actuando sobre una masa de 1 slugs produce una aceleración de 1 pie/s 2 . La 2ª ley del movimiento, en unidades de los sistemas S.I y FPS, es como sigue: Sistema S.I: F(N) = m(kg)·a(m/s 2 ) Sistema FPS: F(libras) = m(slugs)·a(pie/s 2 ) 156 Guillermo Concha – Manuel Torres – Ricardo Montecino

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PESO y MASA El peso de un cuerpo es la fuerza de atracción gravitacional que la Tierra ejerce sobre él. El peso es diferente de la masa, la cual es una medida de la respuesta de un cuerpo a una fuerza. El peso de un cuerpo varía según su proximidad al planeta (o cualquier otro cuerpo astronómico), mientras que su masa es la misma en cualquier parte del Universo. El peso de un cuerpo es la fuerza que lo acelera hacia abajo con la aceleración de gravedad. Por consiguiente, de la segunda ley del movimiento, F = w y a = g, tenemos: w = m · g (Peso = masa x aceleración de gravedad) Debido a que g es constante cerca de la superficie terrestre, el p eso de un cuerpo es proporcional a su masa. A mayor masa, mayor peso. Fuerza de Gravedad

Fuerza de atraccion entre los cuerpos

Caracteristicas

La fuerza de gravedad es universal

La intensidad de la fuerza depende de la distancia entre los cuerpo

La intensidad de las fuerzas dependen de las masas de los cuerpos que interactuan.

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Algunas conversiones importantes de unidades en dinámica: 1 kg = 1.000 g = 0, 0685 slugs (1 kg = 2,205 lb) 1 slug = 14, 6 kg (1 slug = 32 lb) 1 N = 0,225 lb; (1 lb = 4, 45 N)

TERCERA LEY DEL MOVIMIENTO La 3ª Ley del Movimiento de Newton establece que cuando un cuerpo ejerce una fuerza sobre otro, el segundo ejerce sobre el primero una fuerza igual pero de dirección opuesta. 𝐹𝐴𝐵 = −𝐹𝐵𝐴

A

B

De este modo, por cada fuerza de acción existe una de reacción, igual y opuesta; ninguna fuerza puede existir por sí misma. Las fuerzas de acción y reacción nunca se equilibran debido a que actúan sobre cuerpos diferentes. FUERZA DE ROCE. ROCE ESTÁTICO Y CINÉTICO Las fuerzas de roce actúan oponiéndose al movimiento relativo de superficies en contacto, siendo tales fuerzas paralelas a las superfici es. El roce estático ( 𝜇𝑠 ) aparece entre superficies que se encuentran en reposo una con respecto a la otra. Al ir aumentando la fuerza aplicada sobre un objeto que se encuentra en reposo sobre una superficie, el roce estático aumenta también inicialme nte, para impedir el movimiento. Por último después de alcanzar un cierto valor límite de la fuerza aplicada, que el roce estático no puede exceder, el objeto comienza a moverse. Una vez que el objeto está en movimiento, la fuerza de roce 158 Guillermo Concha – Manuel Torres – Ricardo Montecino

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cinético (o de deslizamiento) permanece constante y su valor es menor que la fuerza de el roce estático máximo. La fuerza de roce entre dos superficies depende de la fuerza normal (perpendicular a la superficie) N que las mantiene en contacto, y también de la naturaleza de las superficies. Este último factor se expresa cuantitativamente por medio del coeficiente de roce µ cuyo valor depende de los materiales en contacto. Experimentalmente se comprueba que la fuerza de roce está dada por la fórmula: FR =

·N

El coeficiente de rozamiento estático 𝜇𝑠 es mayor que el coeficiente de roce cinético 𝜇𝑘 , excepto para superficies lisas muy bien lubricadas, donde son casi iguales. Para saber más , consulta: www.jfinternational.com/mf/fuerzas-friccion.html Consultada 6/7/2014 www.educarchile.cl/ech/pro/app/detalle?id... Consulta 6/7/2014 FUERZAS ELÁSTICAS Es una fuerza que ejercen los cuerpos con propiedades elásticas. Su magnitud depende de las características estructurales de los materiales elásticos y de la elongación del cuerpo desde la posición de equilibrio.

Todo cuerpo elástico (por ejemplo, una cuerda elástica) reacciona contra la fuerza deformadora para recuperar su forma original. Como ésta, según la ley de Hooke, es proporcional a la deformación producida, fuerza deformadora tendrá que tener el

la

mismo valor y dirección, pero su sentido será el contrario.

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F=-k · x

k representa la constante elástica (o recuperadora) del resorte y depende de su naturaleza y geometría de construcción. Es decir, es un valor que proporciona el fabricante sobre el muelle u otro objeto elástico en cuestión y que depende del mate rial del que esté fabricado y de su forma. El valor de la fuerza elástica es, por tanto, variable, puesto que depende en cada caso del valor que corresponde a la deformación x.

Lee todo en: Fuerzas elásticas | La guía de Física http://fisica.laguia2000.com/dinamica clasica/fuerzas-elasticas#ixzz37YZmeuFi Revisada 14 de julio 2014.

FUERZAS EN EL MOVIMIENTO CIRCULAR

FUERZA TANGENCIAL (FT)

Es la componente de la fuerza neta en la dirección tangencial que comunica en la partícula una aceleración tangencial y determina que la velocidad cambie de modulo FT

Es la componente de la fuerza neta en la dirección central que comunica a la partícula una aceleración centrípeta y determina que la velocidad cambie de dirección FC

∙ R =m∙

𝑣2 𝑅

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En resumen, la unidad considera

Leyes de Newton

1era

Ley de la Inercia, esto quiere decir, que un cuerpo permanecerá en reposo hasta que una fuerza externa le sea aplicada. Una vez que este cuerpo adopta esta inercia provocada este la seguira en forma recta o bien formará un movimiento rectilineo.

2da

Esta ley nos explica mejor el concepto fuerza, nos dice que la Fuerza proporcional a la aceleracion del objeto al cual le es aplicada la fuerza, Newton empalmó las siguientes ecuaciones

3era

F=ma P=mv

Esta ley nos dice que cuando un cuerpo A aplica una fuerza a un cuerpo B, A sentirá la misma fuerza que A aplicó a B

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Aprendizaje esperado 3.2.- Calcula variables fundamentales de acuerdo a las Leyes de Newton que rigen la dinámica de uno o más cuerpos. 3.3.- Resuelve problemas de sistemas en equilibrio estático o cinético, y acelerados.

Criterios de evaluación: 3.2.1 Identifica las fuerzas que actúan sobre un sistema simple en movimiento o en equilibrio desarrollando un diagrama de cuerpo libre y descomponiendo vectorialmente. 3.2.2 Calcula aceleraciones, masas y fuerzas resultantes usando la segunda ley de Newton. 3.2.3 Identifica el roce, la tensión de cuerdas o correas, y fuerzas elásticas en maquinaria industrial simple. 3.3.1 Reconoce el estado dinámico de un sistema de acuerdo a condiciones iniciales del problema y del cálculo de una fuerza resultante. 3.3.2 Calcula las fuerzas que rigen el estado dinámico de un sistema compuesto usando un diagrama de cuerpo libre. 3.3.3 Calcula variables como: masa, peso, aceleraciones, fuerzas resultantes, fuerzas normales, tensiones, fuerzas de roce y sus coeficientes, fuerzas elásticas y ángulos de inclinación en sistemas compuestos tanto en equilibrio estático como en movimiento, descomponiendo la sumatoria de fuerzas.

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EJERCICIOS DESARROLLADOS DINÁMICA

EJERCICIO RESUELTO N° 3 -1: Una fuerza de 10 kgf actúa sobre una masa que se desplaza con una velocidad de 20 cm/s y al cabo de 5 s le hace adquirir una velocidad de 8 cm/s, ¿cuál es la masa del cuerpo? Datos: F = 10 kgf = 10 kgf x (9,8066 m/s²)/1 kgf = 98,066 N v 1 =20 cm/s = 0,2 m/s; v 2 =8 cm/s = 0,08 m/s; t=5s Conceptos a considerar:

Aceleración, Fuerza , 2 d a Ley de Newton De acuerdo a los datos, la fuerza provoca una desaceleración de F= -98,0665 N

Desarrollo:

Empleando las ecuaciones de cinemática, calculamos la aceleración (negativa) producida por la fuerza: 𝑚 𝑚 0,08 𝑠 − 0,2 𝑠 𝑣 − 𝑣𝑜 𝑎= →𝑎= = −0,04 𝑚/𝑠 2 𝑡 5𝑠 Luego: 𝐹 =𝑚·𝑎 →𝑚 =

𝐹 −98,0665 𝑁 = 𝑚 = 4.086,1 𝑘𝑔 𝑎 −0,04 2 𝑠

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EJERCICIO RESUELTO N° 3 -2: Sobre un cuerpo actúa una fuerza constante de 50 N mediante la cual adquiere una aceleración de 1,5 m/s², determinar: a) La masa del cuerpo, b) Su velocidad a los 10 s, c) La distancia recorrida en ese tiempo. Datos: a = 1,5 m/s²; Conceptos involucrados:

F=50 N;

t=10 s

Aceleración, fuerza , 2 d a ley de Newton La masa del cuerpo: 𝐹 =𝑚·𝑎 →𝑚=

Desarrollo:

𝐹 50 𝑁 = = 33,33 𝑘𝑔 𝑎 1,5 𝑚/𝑠 2

La velocidad a los 10 s, partiendo del reposo. 𝑣 =𝑎·𝑡 → 𝑣 = (1,5 𝑚⁄𝑠 2 ) · (10 𝑠) = 15 𝑚/𝑠 La distancia recorrida en ese tiempo: 1 𝑑 = 𝑎 · 𝑡2 2 →𝑑=

1 (1,5 𝑚⁄𝑠 2 ) · (10 𝑠)2 = 75 𝑚 2

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EJERCICIO RESUELTO N° 3 -3: Un cuerpo de masa 3 kg está sometido a la acción de dos fuerzas de 6 N y 4 N dispuestas perpendicularmente, como indica la figura, determinar la aceleración y su dirección

Datos: m = 3 kg; Conceptos involucrados:

F 1 = 4 N;

F2 = 6 N

Aceleración, fuerza

El esquema es el siguiente:

Desarrollo:

Primero, calculamos, mediante el Teorema Pitágoras, la fuerza resultante: 𝑅 2 = 𝐹12 + 𝐹22 → (4 𝑁)2 +(6 𝑁)2 = 7,21 𝑁

de

Ahora, la aceleración: R= F =m∙a→ a=R/m → a=7,21 N/3 kg= 2,4 m/s² Finalmente, la dirección (ángulo, ver dibujo) con respecto a F 2 es: tg α = F 1 /F 2 α=arctg (F 1 /F 2 ) α=arctg (4 N/6 N) α=arctg (0,67) α=33° 41’ 24”

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EJERCICIO RESUELTO N° 3 -4: La masa A tiene un valor de 10 kg y la masa B vale 6 kg, ambos cuerpos encuentran unidos por una cuerda liviana e inextensible, en donde masa se considera despreciable. Calcular la aceleración del sistema y tensión de la cuerda que sostiene ambas masas.(Este dispositivo se denomina máquina de Atwood)

se la la le

Datos: m 1 =10 kg; Conceptos involucrados:

Desarrollo:

m 2 =6 kg;

g=9,8 m/s 2

Fuerza( segunda Ley de Newton) El sistema está constituido por 2 bloques con una masa total de 16 kg y una cuerda de masa despreciable e inextensible. Las fuerzas sobre cada cuerpo son las que se indican en el dibujo y corresponden al peso d e cada bloque, 𝑃 = 𝑚 · 𝑔 , fuerza que ejerce la tierra sobre cada uno de los bloques y la tensión 𝑇, fuerza que ejerce la cuerda sobre cada cuerpo. También, es necesario considerar un sentido de movimiento, que asignaremos como positivo, ver dibujo. Las fuerzas y aceleraciones que tengan este sentido, serán positivas. Por último, está la aplicación de la Segunda Ley de Newton a cada uno de los bloques. Cuerpo A: 𝑃 = 𝑚 · 𝑔 = (6 𝑘𝑔) · (9,8 𝑚/𝑠 2 ) = 5,88 𝑁 Cuerpo B: 𝑃 = 𝑚 · 𝑔 = (10 𝑘𝑔) · (9,8 𝑚/𝑠 2 ) = 98,0 𝑁 Escribiendo el sistema de ecuaciones que resulta de lo anterior, tenemos: 166

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𝑇 − 𝑃𝐴 = 𝑚𝐴 · 𝑔 y 𝑃𝐵 − 𝑇 = 𝑚𝐵 · 𝑔. Reemplazando y resolviendo, tenemos que la aceleración 𝑎 = 2,45 𝑚/𝑠 2 , y que la tensión de la cuerda 𝑇 = 73,5 𝑁. Independiente del problema presentado ; el método del cuerpo libre, es válido para un plano inclinado, para un cuerpo sobre una superficie horizontal sometido a fuerzas externas, para una persona que se encuentra en un ascensor, etc. Lo importante es tener en cuenta los cuerpos que participan y forman parte del sistema.

EJERCICIO RESUELTO N° 3 -5: Sean dos cuerpos que se encuentran unidos por una cuerda y, ambos cuelgan de una polea. Determinar una expresión para calcular la aceleración y la tensión de la cuerda.

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Datos: Concepto involucrado:

𝑚′ 𝑦

𝑚

Fuerza (segunda ley de Newton) El movimiento de descenso de m’ se verifica bajo la acción de dos fuerzas: su peso m’g hacia abajo y la tensión T hacia arriba, de modo que la fuerza resultante hacia abajo sobre m es m’g-T. Luego si a es su aceleración de caída, se cumple que: 𝑚′ 𝑎 = 𝑚′ 𝑔 − 𝑇.

Desarrollo:

Por otra parte, m sube con la misma aceleración a, bajo la acción de la misma tensión T hacia arriba, y de su peso mg hacia abajo, de modo que la fuerza resultante es hacia arriba. Luego; 𝑚𝑎 = 𝑇 − 𝑚𝑔. Sumando ambas ecuaciones y aceleración, tenemos: 𝑚′ − 𝑚 𝑎 = 𝑔( ′ ) 𝑚 + 𝑚

despejando

la

Si sustituimos el valor de a en una de las dos ecuaciones anteriores y despe jamos T, obtenemos la tensión de la cuerda: 2𝑚′·𝑚

𝑇 = 𝑔 (𝑚′ + 𝑚).

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EJERCICIO RESUELTO N° 3 -6: Una caja de cedro cuya masa es 20 kg descansa sobre una mesa también de cedro. Determinar la fuerza mínima que es preciso ejercer para ponerla en movimiento. Fricción: 0,4. Datos: m=20 kg; Conceptos involucrados:

µ=0,4

Fuerza, fuerza de roce Aplicando la definición de fuerza de fricción, tenemos:

Desarrollo:

𝑁 = 𝑃 = 𝑚 · 𝑔 → (20 𝑘𝑔) · (9,8 𝑚/𝑠 2 ) = 196 𝑁 𝜇 = 0,4 → 𝐹𝑅 = 𝜇 · 𝑁 = 0,4 𝑥 196 = 78,4 𝑁

EJERCICIO RESUELTO N° 3-7: Determinar la fuerza que es necesario aplicar a la caja del ejercicio anterior para que remueva con una aceleración de 0,5 m/s 2 . Datos: a=0,5 m/s 2 Fórmula a utilizar:

Desarrollo:

𝐹 = 𝑚 · 𝑎;

𝐹𝑅 = 𝜇 · 𝑁

Dado que la fuerza F apunta en la misma dirección que el sentido de movimiento y, que la fuerza de fricción tiene una dirección contraria al movimiento, la fuerza resultante es 𝐹 − 𝜇 · 𝑁 . Ahora, aplicando el segundo Principio de Newton o ecuación de movimiento, tenemos: 𝐹 − 𝜇𝑁 = 𝑚𝑎 → 𝐹 = 𝑚𝑎 + 𝜇𝑁 𝐹 = (20 𝑘𝑔) · (0,5 𝑚/𝑠 2 ) + (0,4) · (196 𝑁) = 88,4 𝑁

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EJERCICIO RESUELTO N° 3 -8: Un auto de juguete que se mueve con rapidez constante y completa una vuelta alrededor de una pista circular (una distancia de 150 m) en 25 s. Calcular: a) ¿Cuál es la rapidez promedio?, b) Si la masa del auto es de 1,5 kg. ¿Cuál es la magnitud de la fuerza central que lo mantiene en un círculo? Datos: R=150 m, t=25 s, m=1,5 kg Conceptos involucrados:

Velocidad, fuerza centrípeta, perímetro de una circunferencia a) La rapidez está dada por : 𝑣=

𝑑𝑖𝑠𝑡𝑎𝑛𝑐𝑖𝑎 150 𝑚 𝑚 = =6 𝑡𝑖𝑒𝑚𝑝𝑜 25 𝑠 𝑠

b) La fuerza necesaria para mantener la masa dada en movimiento circular uniforme , corresponde a la fuerza centrípeta 𝐹 =𝑚· Desarrollo:

𝑣2 𝑟

Donde el radio se determina partir del perímetro de la circunferencia 𝑃 =2·𝜋·𝑟 →𝑟 =

𝑃 150 𝑚 = = 23,87 𝑚 2·𝜋 2·𝜋

Finalmente encontramos: (6 𝑚/𝑠)2 𝑚 𝐹 = 1,5 𝑘𝑔 · = 2,26 𝑘𝑔 · 2 = 2,26 𝑁 23,87 𝑚 𝑠

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EJERCICIO RESUELTO N° 3 -9: Una patinadora de hielo de 55 kg se mueve a 4 m/s. Cuando agarra el extremo suelto de una cuerda, el extremo opuesto está amarrado a un poste. Después se mueve en un círculo de 0,85 m de radio alrededor del poste. Determine la fuerza ejercida por la cuerda sobre sus brazos. Datos: m=55 kg,

v=4 m/s,

R=0,85 m 𝑣2 𝐹 =𝑚· 𝑟

Fórmula a utilizar:

La fuerza corresponde a la fuerza centrípeta: 𝑣2 𝐹 =𝑚· 𝑟 Desarrollo:

Reemplazando datos obtenemos 𝐹 = 55 𝑘𝑔 ·

(4 𝑚/𝑠)2 𝑚 = 1,04 𝑘𝑔 · 2 = 1,04 𝑁 0,85 𝑚 𝑠

EJERCICIO RESUELTO N° 3 -10: Hallar la máxima velocidad a la que un auto puede tomar una curva de 30 m de radio sobre una carretera horizontal, si el coeficiente de rozamiento entre las ruedas y el pavimento es 0,30 Datos: R=30 m, Conceptos involucrados:

µ=0,30

𝐹𝑢𝑒𝑟𝑧𝑎 𝑑𝑒 𝑟𝑜𝑐𝑒, 𝐹𝑢𝑒𝑟𝑧𝑎 𝑐𝑒𝑛𝑡í𝑝𝑒𝑡𝑎 La fuerza central o centrípeta necesaria para mantener al auto en la curva la proporciona la fuerza de rozamiento entre las ruedas y la carretera.

Desarrollo: Sea m la masa del auto. Igualando l a fuerza centrípeta y la fuerza de roce , tendremos: 171 Guillermo Concha – Manuel Torres – Ricardo Montecino

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𝐹𝑢𝑒𝑟𝑧𝑎 𝑑𝑒 𝑟𝑜𝑐𝑒 = 𝐹𝑢𝑒𝑟𝑧𝑎 𝑐𝑒𝑛𝑡í𝑝𝑒𝑡𝑎 𝑣2 𝜇·𝑚·𝑔 =𝑚· 𝑅 Dividiendo por m a ambos lados de la igualdad obtenemos: 𝜇·𝑔 =

𝑣2 𝑅

Despejando v resulta

Reemplazando datos, velocidad de giro es:

𝑣 = √𝜇 · 𝑔 · 𝑅 se obtiene que

𝑣 = √0,30 · 9,8

la

máxima

𝑚 · 30 𝑚 = 9,39 𝑚/𝑠 𝑠

EJERCICIO RESUELTO N° 3 -11: Una masa de 30 g colgada de un hilo de 1,2 m de longitud describe una circunferencia de 0,6 m de radio con rapidez constante, como indica la figura. Calcular: a) La tensión del hilo. b) La rapidez con que gira:

L

𝛼

r

Datos: m=30 g, Fórmula a utilizar:

Desarrollo:

L=1,2 m,

R=0,6 m

Ver desarrollo Las fuerzas que actúan sobre el cuerpo son: el peso y la tensión de la cuerda La resultante de estas fuerzas es la fuerza centrípeta 172 Guillermo Concha – Manuel Torres – Ricardo Montecino

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La fuerza tensión se puede descomponer en: 𝑇𝑥 = 𝑇 · sin 𝛼 𝑦 𝑇𝑦 = 𝑇 · 𝑐𝑜𝑠𝛼

𝑇𝑥 es la fuerza centrípeta y 𝑇𝑦 es equilibrada por el peso. Tendremos entonces: 𝑇 · 𝑠𝑒𝑛𝛼 = 𝑚 ·

𝑣2

(1)

𝑟

𝑇 · 𝑐𝑜𝑠𝛼 = 𝑚 · 𝑔 (2) De la figura se tiene que: 𝑠𝑒𝑛𝛼 =

𝑟 0,6 = = 0,5 → 𝛼 = 300 𝐿 1,2

a) La tensión se obtiene de la segunda ecuación: 𝑇=

𝑚·𝑔 0,03 𝑘𝑔 · 9,8 𝑚/𝑠 2 = = 0,34 𝑁 𝑐𝑜𝑠30º 0,86

b) De la primera ecuación resulta magnitud de la velocidad es:

que

la

(0,6 𝑚) · (0,34 𝑁) · 𝑠𝑒𝑛300 𝑟 · 𝑇 · 𝑠𝑒𝑛𝛼 𝑚 𝑣=√ =√ = 1,84 𝑚 0,03 𝑘𝑔 𝑠

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EJERCICIO RESUELTO N° 3 -12: Un atleta hace girar una bola de 1,75 kg de masa atada a una cuerda, cuya longitud es de 1,5 m. La figura muestra como gira la bola en un círculo horizontal. Si la cuerda puede soportar una tensión máxima de 60 N, ¿Cuál es la magnitud máxima de la velocidad que la bola puede alcanzar antes de que la cuerda se rompa? Datos: m=1,75 kg, L=1,5 m, T=60 N Conceptos involucrados:

Fuerza centrípeta, aceleración centrípeta La fuerza central es la fuerza T ejercida por la cuerda sobre la bola, la cual corresponde a la fuerza centrípeta. Luego podemos escribir: 𝑇 = 𝐹𝑐 2

𝑇=𝑚·

Desarrollo:

Despejando v y reemplazando datos, obtenemos: 𝑣=√

(1,5 𝑚) · (60 𝑁) 𝑅·𝑇 𝑚 =√ = 7,2 𝑚 1,75 𝑘𝑔 𝑠

174 Guillermo Concha – Manuel Torres – Ricardo Montecino

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EJERCICIOS PROPUESTOS DE DINÁMICA: Interprete, grafique y calcule:

Si la tensión en el cable de un ascensor es de 2.800 N, el peso del ascensor es de 300 kgf y transporta a una persona de 80 kgf de peso. Calcular: a) ¿Qué aceleración tiene? b) ¿El ascensor sube o baja? R/ -2,43 m/s 2 , baja.

2 Calcular para un sistema de la figura, la aceleración y la tensión en la cuerda si m 1 =12 kg, m 2 =8 kg y α=30°. R/ a=2 m/s²; T=24 N

3 Con los datos del problema anterior calcular ‘‘ α’’ para que el sistema tenga una aceleración de 3 m/s². R/ α=48° 35' 25"

4 ¿Cuál será la intensidad de una fuerza constante al actuar sobre un cuerpo que pesa 50 N si después de 10 s ha recorrido 300 m? R/ 306 N

175 Guillermo Concha – Manuel Torres – Ricardo Montecino

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5 ¿Cuál será la fuerza aplicada a un cuerpo que pesa 12.800 N si lo hace detener en 35 s?, la velocidad en el instante de aplicar la fuerza era de 80 km/h. R/ 822,86 N

6 Determinar la fuerza F necesaria para mover el sistema de la figura, considerando nulos los rozamientos, si la aceleración adquirida por el sistema es de 5 m/s². R/ F=160 N

7 ¿Qué fuerza ha debido ejercer el mo tor de un auto cuya masa es 1500 kg para aumentar su velocidad de 4,5 km/h a 40 km/h en 8 s? R/ 1845 N

8

Sobre un cuerpo cuya masa es 8 kg y que va a una velocidad de 3 m/s comienza a actuar una fuerza de 30 N en la misma dirección del movimiento. ¿Cuál será su velocidad y la distancia recorrida cuando hayan transcurrido 8 s? R/ 33 m/s, 144 m

9

A un auto cuya masa es 1500 kg y que va a 60 km/h se le aplican los frenos y se detiene 1,2 min después. ¿Cuál es la fuerza de fricción que se aplicó sobre el mismo? R/ 347,2 N

10

Un jugador de fútbol lanza una pelota de 0,900 kg con una velocidad de 12 m/s. Si el tiempo que estuvo empujando la pelota fue de 0,1 s, ¿qué fuerza ejerció sobre la pelota?, ¿qué fuerza ejerció sobre la pelota? R/ 108 N

11

¿Cuánto tiempo deberá actuar una fuerza de 80 N sobre un cuerpo de masa 12,5 kg para lograr detenerlo si va a una velocidad de 720 km/h? R/ 31,25 s

176 Guillermo Concha – Manuel Torres – Ricardo Montecino

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12

Un protón tiene una masa de 1,7x10 - 2 7 kg y se mueve con una velocidad de 2x10 8 m/s. ¿Qué fuerza será necesaria pa ra reducir su velocidad a 10 8 m/s en 0,0001 s? R/ 1,7x10 - 1 5 N

13

Un cuerpo cuya masa es 4 kg se mueve con una velocidad de 6 m/s. ¿Qué fuerza es necesario aplicarle para que en los próximos 10 s recorra una distancia igual a: a) 100 m, b) 60 m, c) 40 m? R / 3,2 N, 0 N, -1,6 N

14

Sobre un cuerpo que tiene una masa de 20 kg y una velocidad de 10 m/s se aplica una fuerza de 5 N: a) en la misma dirección que la velocidad, b) en la dirección opuesta. ¿Qué velocidad tendrá el cuerpo cuando haya recorrido 50 m? R / 11,2 m/s, 8,6 m/s

15

Los dos vagones de la figura parten del reposo bajo la acción de una fuerza de 600 N: a) ¿qué aceleración tienen?, b) ¿cuál es su velocidad al cabo de 3 s?, c) si en ese momento se rompe la conexión entre los dos vagones y se separan, ¿cuál es el movimiento subsiguiente de cada vagón?, d) ¿qué distancia los separará al cabo de 3 s siguientes? R/ 3 m/s 2 , 9 m/s, el primero se sigue acelerando a 6 m/s y el segundo sigue con velocida d constante de 9 m/s, 27m

16

Sobre un cuerpo cuya masa es 4 kg actúan dos fuerzas de 6 N y 8 N respectivamente, en direcciones perpendiculares. Si el cuerpo parte del reposo, ¿en qué dirección y a qué velocidad se moverá 3 s después? R/ 53.13º con la dire cción de la fuerza de 6 N, 7,5 m/s

17

Un cuerpo cuya masa es 10 kg parte del reposo bajo la acción de una fuerza de 5 N que actúa durante 8 s. Si se suprime la fuerza, pero el cuerpo sigue movimiento. Finalmente, se le aplica una fuerza de 4 N en dirección opuesta a la velocidad hasta que se detenga. ¿Cuál ha sido la distancia total recorrida? R/ 36 m

18

Sobre un cuerpo A actúa una fuerza produciendo una aceleración de 4 m/s 2 . La misma fuerza, actuando sobre un cuerpo B, produce una aceleración de 6 m/s 2 : ¿en qué proporción están las masas de A y B?, b) ¿qué aceleración se producirá si la fuerza F actúa sobre los dos cuerpos unidos? R/ m A /m B =6/4, 2,4 m/s 2

177 Guillermo Concha – Manuel Torres – Ricardo Montecino

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19

Sobre un cuerpo actúan tres fuerzas, una de 300 N hacia la derecha y otra de 400 N hacia el N. ¿E n qué dirección actuará la tercera fuerza y qué magnitud tendrá si el cuerpo se mueve con velocidad constante? R/ S36,88ºO (S37ºO), 500 N

20

Un paracaídas con una carga tiene una masa de 80 kg. ¿Cuál es el módulo y la dirección de la fuerza que el aire ej erce sobre el paracaídas cuando desciende con velocidad constante? R/ 784 N

21

Un bloque cuya masa es 4 kg descansa sobre una superficie horizontal. El coeficiente de fricción es 0,6. ¿Qué fuerza debe aplicársele para que se mueva: a) con movimiento unifo rme, b) con una aceleración de 0,04 m/s 2 ? R/ 23,52 N, 23,68 N

22

Un cuerpo cuya masa es 6 kg con movimiento uniforme con se ha aplicado al cuerpo? Si recorrerá el cuerpo antes de Coeficiente de fricción: 0,4. R/

23

Un cuerpo se mueve sobre una superficie horizontal. Su masa es 10 kg y el coeficiente de fricción es 0,5. ¿Qué clase de mov imiento tendrá si la fuerza aplicada en la dirección del movimiento es: a) 30 N, b) 49 N, c) 55 N? Calcul ar la aceleración en cada caso. R/ en las tres situaciones el movimiento es acelerado, -1,9 m/s 2 ; 0 m/s 2 ; 0,6 m/s 2

24

Un bloque de 5 kg es apretado co ntra una pared vertical mediante una fuerza perpendicular a la misma. ¿Qué valor ha de tener esa fuerza para que el cuerpo no caiga si la fricción es de 0,50? R/ 98 N

25

Calcular la aceleración con que se mueven los bloques de la figura, sabiendo que m 1 =5 kg, m 2 =8 kg y µ=0,2. Calcular también la tensión de la cuerda. R/ 2,56 m/s 2 ; 36,18 N

se desliza sobre una superficie plana una velocidad de 10 m/s. ¿Qué fuerza se suprime la fuerza, ¿qué dis tancia detenerse y cuánto tiempo tardará? 23,52 N, 12,75 m, 2,55 s

178 Guillermo Concha – Manuel Torres – Ricardo Montecino

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26

Dos cuerpos, m 1 =2 kg y m 2 =3 kg, están unidos mediante una cuerda que pasa por una polea de masa y rozamiento despreciable. Calcular: a) La aceleración con que se mueven los cuerpos, b) La tensión de la cuerda, c) La velocidad de los cuerpos cuando se han desplazado 0,5 m. R/ a) 1,96 m/s 2 , b) 23,52 N, c) 1,4 m/s

27

Calcular la aceleración con que se mueven los cuerpos de la figura, si el coeficiente de rozamiento para ambos cuerpos vale 0,5 y F=200 N, m 1 =4 kg, m 2 =6 kg; ¿Qué fuerza ejerce la cuerda? R/ 15,1 m/s 2 , 80 N

28

Sobre una mesa se halla un bloque, m 1 =20 kg, que está unido por una cuerda a otros dos, m 2 =5 kg y m 3 =3 kg, como se indica en la figura. El coeficiente de rozamiento entre m 1 y la mesa es 0,2.

Calcular: a) La aceleración con que se mueven los cuerpos, b) La tensión de los hilos. R/ a) 1,4 m/s 2 , b) 67,2 N; 25,2 N

29

Dos cuerpos, m 1 =1 kg y m 2 =2 kg, están unidos por una cuerda que pasa por una polea, de masa despreciable, como indica la figura, Calcular la aceleración y la tensión de la cuerda si el coeficiente de rozamiento es de 0,1. R/ a) 0,43 m/s 2 , b) 10,23 N 179 Guillermo Concha – Manuel Torres – Ricardo Montecino

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30

Dados los cuerpos de la figura, determinar la aceleración con que se mueven y la tensión de las cuerdas. Datos: m 1 =5kg; m 2 =3 kg; m 3 =2 kg y µ=0,2. R/ 3,9 m/s 2 ; 29,5 N; 27,4 N

31

¿Cuánto debe valer la fuerza F de la figura, para que los cuerpos se muevan con una aceleración de 0,5 m/s 2 , b) ¿Qué tensión soporta la cuerda? Datos: m 1 =10 kg, m 2 =5 kg y µ=0,4. R/ 88 N; 43,85 N

32

Determine la tensión que se debe ejercer sobre una cuerda que sostiene una pelota para hacerla girar 5 vueltas en 1 segundo y en una trayectoria circunferencial de 70 cm de radio. La masa de la pelota es de 60 g. R/ 41,45 N

33

Hallar la máxima rapidez a la que un automóvil puede tomar una curva de 25 m de radio sobre una carretera horizontal si el coeficiente de rozamiento entre las ruedas y la carretera es 0,3. R/ 8,59 m/s

34

Un auto que se mueve a 4 m/s trata de dar vuelta en una esquina, describiendo un arco circular de 8,0 m de radio. El camino es plano. 180 Guillermo Concha – Manuel Torres – Ricardo Montecino

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¿Qué tan grande debe ser el coeficiente de fricción entre las llantas y el pavimento? R/ 0,32

35

Una piedra se encuentra en el fondo de un balde que se mueve en un círculo vertical de 60 cm de radi o. ¿Cuál es la rapidez mínima que debe tener la piedra en el punto más alto de la trayectoria si debe permanecer en contacto con el fondo del balde? R/ 2,4 m/s

36

Un cuerpo de 441 N de peso oscila atado al extremo de una cuerda de 6 m de longitud. Cuando pasa por su posición más baja lleva una velocidad de 10 m/s. Hallar la tensión en la cuerda en la citada posición. R/ 1.190,7 N

37

Una masa de 500 g se la hace girar en un plano horizontal mediante una cuerda de 1m de longitud, como indica la figura. Calcular: a) ¿Con qué rapidez debe girar el cuerpo para que la cuerda forme con la vertical un ángulo de 45º? b)) ¿Cuánto vale la fuerza centrípeta?, c) ¿Qué tensión ejerce la cuerda? R/ a) 2,63 m/s, b) 4,9 N; c) 7 N

𝛼

L

r

38

Un lanzador de martillo se dispone a competir utilizando un martillo de masa 7,26 kg que hace girar describiendo una trayectoria circunferencial de radio 1,2 m. Si logra dar un máximo de 3 rps antes de soltar la cuerda. ¿Cuál es la magnitud de la fuerza centrípeta máxima antes de soltar la cuerda? R/ 3.092,5 N

181 Guillermo Concha – Manuel Torres – Ricardo Montecino

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EVALUACIÓN FORMATIVA 1 DINÁMICA Y PRINCIPIOS DE NEWTON

1

Sobre un automóvil en movimiento la fuerza neta es nula, al respecto se afirma que: I La variación de velocidad por unidad de tiempo es constante e igual acero II La velocidad del automóvil es constante III Su desplazamiento por unidad de tiempo es constante Es (son) correcta (s) a) Solo I b) Solo II c) Solo III d) Solo II y III e) Todas

2

Cuatro fuerzas están actuando sobre un cuerpo como se indica en la figura, el cuerpo se desplaza hacia: a) La derecha b) La Izquierda c) Abajo d) Arriba e) No se desplaza

182 Guillermo Concha – Manuel Torres – Ricardo Montecino

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3

Una caja de 3 kg se ubica sobre un plano inclinado sin roce. Por efecto de la gravedad, la caja es tirada hacia abajo en el plano con una fuerza de 21,21 N. ¿Con que aceleración desciende la caja? a) 10 m/s 2 b) 7,1 m/s 2 c) 70 m/s 2 d) 3 m/s 2 e) 45 m/s 2

4

La misma caja se ubica ahora en un plano inclinado (con inclinación de 45°) que tiene roce. Si la caja desciende con velocidad constante de 100 m/s, ¿Cuál es el valor de la fuerza de roce ? a) 10 N b) 7,1 N c) 21,21 N d) 30 N e) 45 N

5

Se sabe que sobre un objeto actúan sólo dos fuerzas: su peso de 40 N y una fuerza hacia arriba de 40 N. De acuerdo con esto ¿Cuál de las siguientes situaciones es imposible? a) El cuerpo está en reposo b) El cuerpo se mueve hacia arriba con velocidad constante c) El cuerpo se mueve de forma acelerada d) El cuerpo se mueve con velocidad constante 183 Guillermo Concha – Manuel Torres – Ricardo Montecino

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e)

Todas son posibles

6

Un profesor va por una autopista a 80 km/h de forma constante durante un largo tramo recto. ¿Por qué debe mantener el pie en el acelerador? a) Porque se r equiere mantener una fuerza sobre un cuerpo para que se mueva con velocidad constante b) Sólo para contrarrestar el roce con el aire c) Porque de otra manera el auto se detendría muy rápidamente d) Para que la fuerza neta sobre el auto sea mayor que cero e) Para que la fuerza neta sobre el auto sea muy cercana a cero

7

Una pelota de 3 kg se deja caer desde un tercer piso. Desde un segundo piso se deja caer otra pelota, pero de 1 kg de masa. Suponiendo que el roce del aire es despreciable y g = 10 m/s 2 , es correcto afirmar que: I. II. III. a) b) c) d) e)

La fuerza neta que actúa sobre la primera pelota es de 30 N La fuerza neta sobre cada pelota es la misma La fuerza neta sobre la segunda pelota son 10 N Sólo I Sólo II Sólo III Sólo I y III I, II y III

8

Una caja de 10 kg es empujada sobre una mesa por una fuerza de 60 N hacia la derecha, desplazándose con una aceleración de 2 m/s 2 . En esta situación la fuerza de roce sobre la caja es: a) 50 N b) 40 N c) 30 N d) 20 N e) 10 N

9

Un auto de masa m choca con un camión de masa 2m que se encuentra en reposo. Llamamos F 1 a la magnitud de la fuerza que el auto ejerce sobre el camión y F 2 a la magnitud de la fuerza que el camión ejerce sobre el auto durante el choque. Entonces es correcto afirmar que durante el choque a) F 1 = 2F 2 b) F 1 = F 2 /2 184 Guillermo Concha – Manuel Torres – Ricardo Montecino

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c) d) e)

F1 = F2 F2 = 0 F1 = 0

10

Una fuerza de 20 N provoca en una masa m 1 una aceleración de 4 m/s 2 , y sobre una masa m 2 una aceleración de 12 m/s 2 ¿Qué aceleración provocará sobre ambas masas unidas? a) 10 b) 8 c) 0,6 d) 4 e) 3

11

El principio de inercia (Primer Principio) se refiere a: I Cuerpos en reposo II Cuerpos en movimiento III Cuerpos que se desplazan a velocidades cercanas a la de la luz De las afirmaciones anteriores es (son) correcta(s): a) Sólo I b) Sólo II c) Sólo III d) Sólo I y II e) Sólo I, II y III

12

Tres cuerpos A, B y C se mueven con las siguientes velocidades constantes: 1 m/s, 3 m/s y 100 m/s. ¿En cuál de ellos la suma de las fuerzas es mayor? a) A b) B c) C d) En ninguno, en todos la fuerza es la misma e) En ninguno, en todos la suma de las fuerzas es la misma y es cero

13

“Todo objeto permanece en estado de reposo o de movimiento con velocidad constante, a menos que una fuerza externa lo haga cambiar de estado”. El párrafo anterior se refiere a: a) Principio de Inercia ( Primer Principio ) b) Principio de masa ( Segundo Principio ) c) Principio de Acción y Reacción ( Tercer Principio ) 185 Guillermo Concha – Manuel Torres – Ricardo Montecino

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d) e) 14

Movimiento uniformemente acelerado (MUA) Ninguna de las anteriores

En general, si se aplica una fuerza sobre un objeto puede: I Cambiar la velocidad del objeto II Cambiar la dirección en l a que se está moviendo el objeto III Cambiar la forma del objeto De las afirmaciones anteriores es (son) correcta(s): a) Sólo I b) Sólo II c) Sólo III d) Sólo I y III e) Sólo I, II y III

15

Si desde una nave espacial se dispara un proyectil hacia el espacio. ¿Cuánta fuerza es necesario ejercer sobre el proyectil para que conserve su movimiento? a) Igual al impulso inicial b) El doble del impulso inicial c) La necesaria para vencer la fricción d) Ninguna e) Igual a la fricción

16

En la figura anterior, ¿cuál debe ser el valor de F 1 para que el cuerpo se mueva con velocidad constante?

a) b) c) d) e) 17

14 N 6N 0N 8N Otro valor

Una persona de 80 kg intenta empujar con sus manos un carro de masa 100 kg. La fuerza que debe ejercer para acelerar el carro a 2 m/s 2 es: a) 2400 N b) 360 N 186 Guillermo Concha – Manuel Torres – Ricardo Montecino

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c) d) e)

1000 N 200 N 340 N

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EVALUACIÓN FORMATIVA 2 DINÁMICA Y PRINCIPIOS DE NEWTON

1

Cuando un cuerpo está acelerado: a) su dirección nunca cambia b) su rapidez siempre se incrementa c) una fuerza neta debe estar actuando sobre él

2

La masa de un cuerpo depende de: a) su posición con respecto a la superficie de la Tierra b) de la aceleración de la gravedad c) su cantidad de materia

3

Si conocemos el valor y dirección de la fuerza neta aplicada sobre un cuerpo, la segunda Ley de Newton es suficiente para calcular su: a) aceleración b) posición c) velocidad

4

La acción y reacción mencionadas en la Tercera Ley de Newton: a) están aplicadas a un mismo cuerpo b) deben estar aplicadas a diferentes cuerpos c) deben ser iguales en magnitud y en dirección

5

Cuando una fuerza neta de 1 N actúa sobre un cuerpo de 1 kg, el cuerpo adquiere: a) una velocidad de 1 m/s b) una aceleración de 1 m/s 2 c) una aceleración de 9,8 m/s 2 188 Guillermo Concha – Manuel Torres – Ricardo Montecino

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6

Cuando una fuerza neta de 1 N actúa sobre un cuerpo de peso 1 N, el cuerpo adquiere: a) una velocidad de 1 m/s b) una aceleración de 0,1 m/s 2 c) una aceleración de 9,8 m/s 2

7

Una fuerza comunica a un cuerpo de 100 kg una aceleración de 2 m/s 2 . La misma fuerza comunicará a un cuerpo de 1000 kg una aceleración de: a) 0,2 m/s 2 b) 2 m/s 2 c) 20 m/s 2

8

La masa de un ciclista junto con su bicicleta es de 80 kg; si su velocidad es de 6 m/s, la fuerza necesaria para detenerse en 10 s debe ser: a) 40 N b) 48 N c) 60 N

189 Guillermo Concha – Manuel Torres – Ricardo Montecino

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EVALUACIÓN FORMATIVA 3 FUERZA ELÁSTICA En el laboratorio se desea describir el comportamiento elástico de un resorte. Para ello se midió la longitud final del resorte cuando la fuerza aumentó de 0 N a 8 N. Fuerza N Longitud mm

0 30

1 39

2 50

3 58

4 66

5 80

6 85

7 105

8 120

Interprete, grafique y calcule: a) Calcule la elongación del resorte para cada valor de fuerza. b) Realiza el gráfico de elongación en metros vs fuerza en N. c) ¿Qué representa el límite elástico del resorte? d) Encuentre el valor de la constante elástica del resorte e) ¿Qué fuerza produce en el resorte una elongación de 38 mm? f) ¿Es posible estimar la elongación para una fu erza mayor a 8 N? explica.

190 Guillermo Concha – Manuel Torres – Ricardo Montecino

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Unidad 4: TRABAJO Y CONSERVACIÓN DE ENERGÍA En esta unidad: Conocerás y comprenderás: Relación entre trabajo y energía, Distintas manifestaciones de la energía mecánica, El principio universal de la conservación de la energía, El concepto de potencia mecánica.

Desarrollarás habilidades para: Procesar, interpretar datos y formular explicaciones a partir de los conceptos de trabajo y energía, Explicar y comprender a través del concepto de energía mecánica, determinados fenómenos, Explicar comportamiento de motores a partir del conocimiento de su potencia mecánica.

Desarrollarás actitudes para: Entender los cambio de energía mecánica en los proceso cotidianos, Promover el uso de energías.

191 Guillermo Concha – Manuel Torres – Ricardo Montecino

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Trabajo Mecanico

Magnitud fisica considerada Transito de energia.

Se representa por W

Su formula es W=F*d=Fdcos

Energia Mecanica

Energia Cinetica (1/2)mv2

Energia Potencial mgh

Energia asociada al movimiento.

Energia asociada a la posicion.

EM=EC+Ep

Conservación de la energía: EM=constante EM=(Ec+Ep)=Constante

192 Guillermo Concha – Manuel Torres – Ricardo Montecino

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CONCEPTO DE TRABAJO (W) En un sentido físico, el trabajo está dado solamente si existe desplazamiento ∆𝑥⃗ del cuerpo sobre el cual actúa una fuerza 𝐹⃗ ; dicho de otra forma, se dice que una fuerza realiza trabajo cuando mueve un cuerpo en la dirección en que la fuerza actúa. Lo que se puede expresar como 𝑊 = 𝐹⃗ · ∆𝑥⃗ En general podemos escribir: 𝑊 = 𝐹 · 𝑐𝑜𝑠 ∝· 𝑥

UNIDADES DE TRABAJO En el sistema S.I la unidad de trabajo es el 𝐽𝑜𝑢𝑙𝑒 ( 𝐽 ), donde 1𝐽 = 1𝑁·1𝑚 En el sistema cgs, la unidad del trabajo es el 𝑒𝑟𝑔𝑖𝑜 ( 𝑒𝑟𝑔 ), donde 1 𝑒𝑟𝑔 = 1 𝑑𝑖𝑛𝑎 · 1 𝑐𝑚 Un Joule, J, es el trabajo hecho cuando un cuerpo se mueve un metro sujeto a una fuerza de un Newton. Análogamente, en el sistema cgs, un ergio, erg, es el trabajo hecho cuando un cuerpo se mueve un centímetro sujeto a una fuerza de una dina.

193 Guillermo Concha – Manuel Torres – Ricardo Montecino

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CONCEPTO DE POTENCIA MECANICA (P) La potencia mecánica, se puede definir como la tasa a la cual una fuerza realiza un trabajo. Dicho de otra forma, la potencia mecánica , se puede entender como la rapidez para realizar un trabajo . De lo anterior, queda su definición: 𝑊

𝑃 = 𝑡. Si recordamos la definición de trabajo mecánico y lo reemplazamos en la definición de potencia mecánica, tenemos: 𝑃=

𝑊 𝑡

=

𝐹·𝑠 𝑡

= 𝐹 · 𝑣,

UNIDADES DE POTENCIA Las unidades de uso más común para expresar la potencia mecánica, es: el watt (W) y el caballo de fuerza (hp), Donde: 1 W = 1 J/s = 1,34 x10 - 3 hp 1 hp = 550 lb· ft/s = 746 W 1 kW = 1000 W ó 1,34 hp Un kWh, es el trabajo realizado en una 1 por un aparato cuya potencia de salida es de 1 kW; por lo tanto: 1 kWh=3,6x10 6 J.

194 Guillermo Concha – Manuel Torres – Ricardo Montecino

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RENDIMIENTO MECÁNICO Es el trabajo o energía aprovechada dividida por trabajo o energía suministrada: 𝑅=

𝐸𝐴 𝐸𝑆

Energía aprovechada es igual a la energía suministrada menos la energía perdida por rozamiento: 𝑅=

(𝐸𝑆 − 𝐸𝑅 ) 𝐸𝑆

El rendimiento es siempre menor q ue 1 y se expresa en porcentaje.

En función de la potencia mecánica, puede definirse como la razón entre trabajo útil y el trabajo producido, o como la razón entre la potencia que sale y la que entra. 𝑊𝑈⁄ 𝑊𝑈 ∆𝑡 = 𝑃𝑈 𝜂𝑚 = = 𝑊𝐶 𝑊𝐶⁄ 𝑃𝐶 ∆𝑡

CONCEPTO DE ENERGÍA En la naturaleza, podemos encontrar una diversidad de formas de tipos de energía. Siempre que se hace trabajo sobre un cuerpo, éste gana energía. Podemos entender el concepto de energía como la propiedad que tiene cualquier cosa que lo capacita para realizar un trabajo o como la capacidad que tiene un cuerpo para realizar un trabajo.

195 Guillermo Concha – Manuel Torres – Ricardo Montecino

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Todas las clases de energía se pueden agrupar dentro de tres categorías generales: energía cinética, energía potencial y energía en reposo. En la presente unidad, nos preocuparemos de las dos primeras.

UNIDADES DE LA ENERGÍA Las unidades de la energía son las mismas que las del trabajo. Así, tenemos que en el sistema S.I la unidad de energía es el Joule (J) y, en el sistema cgs, es el ergio, (erg).

ENERGÍA CINÉTICA La energía que tiene un cuerpo en virtud de su movimiento se denomina energía cinética, la cual queda expresada por: 𝐸𝐶 =

1 𝑚𝑣 2 2

Donde m es la masa del cuerpo y 𝑣 su rapidez

ENERGÍA POTENCIAL La energía que tiene un cuerpo en virtud de su posición la cual se puede dividir en: a) Energía potencial gravitatoria , la cual queda expresada por : 𝐸𝑃𝐺 = 𝑚𝑔ℎ b) Energía potencial expresada por:

elástica ,

la

cual

queda

1 𝐸𝑃𝐸 = 𝑘∆𝑥 2 2 Donde K corresponde a la constante elástica y ∆𝑥 es la deformación

196 Guillermo Concha – Manuel Torres – Ricardo Montecino

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CONSERVACIÓN DE LA ENERGÍA De acuerdo con la Ley de Conservación de la Energía , la energía no se puede crear ni destruir aunque puede transformarse de una clase a otra. Es decir, la cantidad total de energía mecánica, térmica, químic a, eléctrica y otras energías, y en cualquier sistema aislado permanece constante. Energía mecánica es la suma de la energía cinética y potencial de un sistema: 𝐸𝑀 = 𝐸𝐶 + 𝐸𝑃 En un sistema de conservativas, la mecánica total de un permanece constante, la expresa:

fuerzas energía sistema que se 𝐸𝐶 + 𝐸𝑃 = constante

Una fuerza es conservativa cuando el trabajo que realiza es independiente de la trayectoria seguida por el cuerpo, depende de su posición final e inicial. Si existen fuerzas no co nservativas o disipativas, la energía mecánica total no se conserva. Te adjuntamos la siguiente dirección web de animación, en donde se aprecia el Principio de Conservación de la Energía, te invito a que lo veas: http://www.fisica-quimica-secundaria-bachillerato.es/animaciones -flashinteractivas/mecanica_fuerzas_gravitacion_energia/energia_potencial_cin etica_mecanica.htm

Aprendizaje esperado 197 Guillermo Concha – Manuel Torres – Ricardo Montecino

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4.1.- Resuelve problemas de acuerdo a la capacidad que tiene un objeto de realizar trabajo cuando se mueve en un sistema aislado y bajo la influencia de un potencial. 4.2.- Resuelve problemas de conservación de energía en sistemas conservativos y no conservativos, de acuerdo al principio de conservación de la energía. 4.3.- Resuelve problemas de trabajo y energía a través del concepto de rendimiento y potencia en máquinas y aparatos tecnológicos.

Criterios de evaluación: 4.1.1 Identifica el concepto de trabajo mecánico en situaciones de la vida cotidiana y maquinaria industrial. 4.1.2 Calcula el trabajo que realiza un cuerpo bajo la inf luencia de una fuerza constante usando el producto punto o escalar. 4.1.3 Calcula la energía cinética y potencial de un cuerpo usando ecuaciones de energía cinética y potencial. 4.1.4 Calcula la masa, velocidad y/o posición de un cuerpo, según teorema del trabajo y energía. 4.1.5 Calcula la energía potencial elástica de un resorte de acuerdo al trabajo que realiza el estiramiento o compresión según la ley de Hooke. 4.2.1 Describe los sistemas conservativos y no conservativos, en función de su energía inicial y final. 4.2.2 Identifica las causas y efectos de la disipación de energía en sistemas mecánicos industriales. 4.2.3 Aplica conceptos de conservación de la energía, en la resolución de problemas, según el principio de conservación de la energía. 4.2.4 Calcula el trabajo en sistemas mecánicos disipativos, no conservativos, debido a causas de fricción o roce. 4.2.5 Calcula variables: masa, posición, velocidad y coeficientes de roce, de acuerdo al principio de conservación de la energía en sistemas conservativos y no conservativos. 4.3.1 Reconoce el concepto de rendimiento en base a situaciones reales en la industria. 4.3.2 Reconoce la potencia como una transferencia de energía con una tasa de tiempo por medio de ejemplos tecnológicos e industriales. 4.3.3 Calcula el rendimiento y potencia utilizando fórmulas en base a situaciones reales.

EJEMPLOS DESARROLLAD OS DE TRABAJO – POTENCIA Y ENERGÍA 198 Guillermo Concha – Manuel Torres – Ricardo Montecino

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EJERCICIO RESUELTO N° 4 -1: El gráfico que se adjunta muestra cómo varia con el desplazamiento ‘d’ la fuerza ‘F’ que aplica un resorte sobre un carrito. El trabajo que realiza la fuerza para mover el carrito una distancia de 2 cm es: a) 10x10 - 2 J b) 7x10 - 2 J c) 5x10 - 2 J d) 2,5x10 - 2 J Datos:

Conceptos a utilizar:

Trabajo Mecánico

Desarrollo:

Alumno debe presentar y desarrollar una posible solución, aplicando la definición.

EJERCICIO RESUELTO N° 4 -2: ¿Qué trabajo realiza una fuerza de 20 N al mover su punto de aplicación 8 m en su propia dirección? Datos: F=20 N;

∆x=8 m

Concepto a utilizar:

Trabajo Mecánico

Desarrollo:

𝑊 = 𝐹 · ∆𝑥 → 𝑊 = ( 20 𝑁 ) · ( 8 𝑚 ) = 160 𝐽

EJERCICIO RESUELTO N° 4 -3: 199 Guillermo Concha – Manuel Torres – Ricardo Montecino

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Calcular la distancia que recorre la persona al empujar la caja con una fuerza de 4,5 N si el trabajo efectuado por el hombre fue de 13,5 J Datos: ∆x=?; Fórmula a utilizar: Desarrollo:

F=4,5 N;

W=13,5 J 𝑊 = 𝐹 · ∆𝑥

𝑊 = 𝐹 · ∆𝑥 → ∆𝑥 =

𝑊 13,5 𝐽 = = 3𝑚 𝐹 4,5 𝑁

EJERCICIO RESUELTO N° 4 -4: La fuerza aplicada a un cuerpo varía con el desplazamiento en la forma indicada en la figura adjunta. Calcular el trabajo realizado por el cuerpo.

Datos: Ver gráfico adjunto Concepto a utilizar:

Área de un triángulo; área de un trapecio Podemos dividir el gráfico en el triángulo 0AB, el trapecio ABDC y el triángulo CDE. Entonces:

Desarrollo:

Trabajo de 0 hasta A = área triángulo 0AB: 1 1 = (𝐴𝐵 𝑥 𝑂𝐴) = ( 1,5 𝑁 )𝑥( 2 𝑚 ) = 1,5 𝐽 2 2 Trabajo de A hasta C = área trapecio ABDC: 1 1 = (𝐴𝐵 + 𝐶𝐷) 𝑥 (𝐴𝐶) = ( 1,5 𝑁 + 2,0 𝑁 )𝑥( 4 𝑚 ) = 7,0 𝐽 2 2 200 Guillermo Concha – Manuel Torres – Ricardo Montecino

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Trabajo de C hasta E = área triángulo CDE: 1 1 = (𝐶𝐷 𝑥 𝐷𝐸) = ( 2,0 𝑁 )𝑥( 2 𝑚 ) = 2,0 𝐽 2 2 Luego el trabajo total sería: 𝑊 = 1,5 𝐽 + 7,0 𝐽 + 2,0 𝐽 = 10,5 𝐽

EJERCICIO RESUELTO N° 4 -5: Trabajo requerido para estirar un resorte : Esta propiedad se expresa mediante la relación F=k∙∆x, donde ∆x es el alargamiento del resorte y F es la fuerza ejercida. El factor k es la constante elástica del resorte y se expresa en unidades de N/m.

Datos: Ver gráfico Concepto a utilizar:

Desarrollo:

Área de un triángulo , Ley de Hooke En la figura se ha representado la gráfica de F=k∙∆x, resultando una línea recta. El trabajo realizado en alargar el resorte la longitud ∆x está dado por el área del triángulo OAB, cuya base es OA= ∆x y cuya altura es AB=F. Luego el trabajo es: 1 1 𝑊 = á𝑟𝑒𝑎 𝑂𝐴𝐵 = (𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎) · (𝑏𝑎𝑠𝑒) = 𝐹 · ∆𝑥; 2 2 y, recordando que 𝐹 = 𝐾 · ∆𝑥; tenemos que: 1 𝑊 = 2 𝐹 · ∆𝑥 2 . Trabajo realizado para alargar el resorte

201 Guillermo Concha – Manuel Torres – Ricardo Montecino

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EJERCICIO RESUELTO N° 4 -6: Sobre un cuerpo que se mueve sobre una superficie horizontal, ver figura (A) y (B), actúa una fuerza de 10 N que forma un ángulo de: a) 60º, b) 120º con la dirección del movimiento del cuerpo. Calcular el trabajo cuando el cuerpo se mueve 0,5 m.

Datos: F=10 N; Concepto a utilizar:

a) α=60°;

b) α=120°;

W=?;

∆x=s=0,5 m

Trabajo Mecánico En el caso de la figura (A), observamos que la componente de la fuerza en la dirección del desplazamiento es: 𝐹𝑋 = 𝐹 · 𝑐𝑜𝑠 ∝= ( 10 𝑁) · (cos 60°) = 5 𝑁 y, como el desplazamiento es ∆x=0,5 m, resulta que el trabajo realizado es W=F x ∙∆x=2,5 J En la figura (B), tenemos que: 𝐹𝑋 = 𝐹 · 𝑐𝑜𝑠 ∝= ( 10 𝑁) · (cos 120°) = −5 𝑁

Desarrollo: El signo negativo se debe a que F x tiene dirección opuesta al desplazamiento. El trabajo será W=F x ∙∆x=−2,5 J En este ejemplo, la fuerza F x hace trabajo positivo en el caso (A) y negativo en el caso (B). En general, siempre que el ∝ ángulo entre la fuerza y el desplazamiento es menor de 90º el trabajo es positivo, y si es mayor de 90º el trabajo es negativo.

202 Guillermo Concha – Manuel Torres – Ricardo Montecino

Unidades de Aprendizaje FÍSICA MECÁNICA Disciplinas Básicas: Física

EJERCICIO RESUELTO N° 4 -7: Trabajo del peso de un cuerpo que cae por un plano inclinado : Consideremos un cuerpo deslizándose sobre un plano inclinado cuya inclinación es 𝜃. Cuando el cuerpo desciende desde A hasta B, recorriendo la distancia AB=∆x, el trabajo realizado por el peso P=m ·g es: W=P x ∙∆x

Datos: Ver dibujo Concepto a utilizar:

Trabajo, energía potencial De la figura se ve que la componente del peso en la dirección paralela al plano inclinado es: 𝑃𝑋 = 𝑃 · 𝑠𝑒𝑛𝜃. Luego, 𝑊 = 𝑃 · ∆𝑥 · 𝑠𝑒𝑛𝜃. A su vez, de la figura se observa que, si h es la altura AC del plano inclinado, AC=AB·sen , o sea, h=∆x∙sen .

Desarrollo:

Luego: W=P ·h ó W=m ·g ·h Trabajo= peso x altura Concluimos que el trabajo del peso de un cuerpo en un plano inclinado sólo depende de la altura de la caída y no de la inclinación de la superficie sobre la que se mueve.

203 Guillermo Concha – Manuel Torres – Ricardo Montecino

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EJERCICIO RESUELTO N° 4 -8: Una persona cuya masa es 80 kg sube una escalera cuya altura es 5 m para zambullirse en la piscina. Calcular la variación gravitacional.

de

su

energía

potencial

m=80 kg;

h=5 m;

E P =?

Datos:

Concepto a utilizar:

Energía potencial gravitatoria La variación de energía potencial es: (𝐸𝑃 )2 − (𝐸𝑃 )1 = 𝑚𝑔ℎ2 − 𝑚𝑔ℎ1 = 𝑚𝑔(ℎ2 − ℎ1 ) = 𝑚𝑔𝐻 Donde 𝐻 es la diferencia de altura. Luego: (𝐸𝑃 )2 − (𝐸𝑃 )1 = (80 𝑘𝑔) · (9,8 𝑚/𝑠 2 ) · (5 𝑚) = 3.920 𝐽

Desarrollo: De modo que su energía potencial ha aumentado. Obsérvese que la variación de energía potencial es independiente del nivel de referencia. Además, si la persona baja en lugar de subir, debemos considerar H como negativa, resultando (𝐸𝑃 )2 − (𝐸𝑃 )1 = −3.920 𝐽 , o sea, que su energía potencial disminuye.

EJERCICIO RESUELTO N° 4 -9: Desde un avión que vuela horizontalmente con una velocidad de 200 km/h y se encuentra a 800 m de altura se lanza un cuerpo cuya masa es de 20 kg. Calcular la energía total del cuerpo y la velocidad con que llegará al suelo.

Datos: 204 Guillermo Concha – Manuel Torres – Ricardo Montecino

Unidades de Aprendizaje FÍSICA MECÁNICA Disciplinas Básicas: Física

v=200 km/h; Conceptos a utilizar:

h=800 m;

m=20 kg;

E T =?;

v S =?

Energía cinética, energía potencial gravitatoria, energía mecánica De acuerdo al enunciado, tenemos que la energía total del cuerpo es: 1 𝐸𝑇 = 𝐸𝐶 + 𝐸𝑃 = 𝑚𝑣 2 + 𝑚𝑔ℎ = 187.658 𝐽 2

Desarrollo:

Esta energía se transforma toda en cinética al llegar el cuerpo al suelo, H=0, de modo que, si v S es su velocidad en ese momento, debe tenerse en virtud de la constancia de la energía total, suponiendo despreciable la energía que el cuerpo ha transmitido al aire que lo rodea, que es igual a: 1 ( 200 𝑘𝑔 ) · 𝑣𝑆2 = 187.658 𝐽 → 𝑣𝑆 = 43,32 𝑚/𝑠 2

EJERCICIO RESUELTO N° 4 -10: De acuerdo a la figura adjunta, determinar la mínima altura del punto de partida para que el carro pueda dar la vuelta completa.

Datos: Ver dibujo Concepto a utilizar:

Energía cinética, energía potencial gravitatoria, energía mecánica 205 Guillermo Concha – Manuel Torres – Ricardo Montecino

Unidades de Aprendizaje FÍSICA MECÁNICA Disciplinas Básicas: Física

Supongamos que B es el punto de partida, que se encuentra a la altura h 1 respecto al punto más bajo de 1 la pista. La energía total en B es 𝑚𝑔ℎ1 y en A es 2 𝑚𝑣 2 + 𝑚𝑔ℎ2 . Luego, aplicando la constancia de la energía, la velocidad del carro en A viene dada por: 1 𝑚𝑣 2 + 𝑚𝑔ℎ2 = 𝑚𝑔ℎ1 → 𝑣 2 = 2𝑔(ℎ1 − ℎ2 ) = 2𝑔𝐻 2

Desarrollo:

Donde 𝐻 = ℎ1 − ℎ2 es la altura de B sobre A. Por otra parte, si el carro se encuentra en el caso límite, se cumple en A que: 𝑚𝑣 2 = 𝑚𝑔 → 𝑣 2 = 𝑔𝑅 𝑅 Igualando los dos valores obtenidos de 𝑣 2 , resulta: 1 2𝑔𝐻 = 𝑔𝑅 → 𝐻 = 𝑅 2 Luego la altura de B respecto al plano horizontal que pasa por la base es: 5 ℎ1 = 𝐻 + 2𝑅 = 𝑅 2 Si el carro parte de un punto más alto que B, describirá el lazo; pero si parte de un punto más bajo, se caerá o no llegará a describirlo por no alcanzar en A la velocidad requerida.

EJERCICIO RESUELTO N° 4 -11: Un resorte ideal tiene una constante elástica , K, de 3.800 N/m, determinar el trabajo realizado para alargarlo desde la posición ‘A’ hasta la posición ‘B’, en una longitud de 6 cm.

206 Guillermo Concha – Manuel Torres – Ricardo Montecino

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Datos: K=3.800 N/m Concepto a utilizar:

x=6 cm

Trabajo realizado por un sistema elástico 1

Aplicando la expresión: 𝑊 = 2 𝐾𝑥 2 y reemplazando con los datos proporcionados, tenemos: Desarrollo:

𝑊=

1 2 1 𝑁 𝐾𝑥 → 𝑊 = (3.800 ) · (0,06 𝑚)2 = 6,84 𝑁 · 𝑚 2 2 𝑚 = 6,84 𝐽

EJERCICIO RESUELTO N° 4 -12: Un cuerpo de 28 kg provoca un alargamiento de 0,4 m sobre un resorte. Determina: (a) la constante elástica del resorte y, (b) el trabajo realizado sobre el resorte para comprimirlo una longitud de 0,3 m

Datos: m=28 kg, Concepto a utilizar:

x=0,4 m

Trabajo realizado por un sistema elástico, Ley de Hooke (a) Aplicando la Ley de Hooke, el cuerpo de 28 kg ejerce una fuerza sobre el resorte, tenemos: 𝐹 =𝐾·𝑥 𝐾=

Desarrollo:

𝐹 𝑚 · 𝑔 (28 𝑘𝑔) · (9,8 𝑚/𝑠 2 ) 274,4 𝑁 = = = = 686 𝑁/𝑚 𝑥 𝑥 0,4 𝑚 0,4 𝑚

El resultado nos indica que por cada metro de alargamiento se necesita una fuerza de 686 N (b) Para calcular el trabajo que se hace sobre el resorte, para comprimirlo una distancia de 0,3 207 Guillermo Concha – Manuel Torres – Ricardo Montecino

Unidades de Aprendizaje FÍSICA MECÁNICA Disciplinas Básicas: Física

m, utilizamos la expresión: 1 𝑊 = 𝐾𝑥 2 2 Reemplazando en la expresión, tenemos: 1 1 𝑁 𝑊 = 𝐾𝑥 2 → 𝑊 = (686 ) · (0,3 𝑚)2 = 30,87 𝐽 2 2 𝑚

EJERCICIO RESUELTO N° 4 -13: Un resorte tiene una constante elástica de 6.200 N/m, determinar el trabajo realizado sobre éste para alargarlo desde la posición ya deformada de 0,1 m hasta la posición de 0,4 m. Ver dibujo Datos: K=6.200 N/m, x 1 =0,1 m, x 2 =0,4 m Concepto a utilizar:

Trabajo realizado por un sistema elástico El trabajo que se realiza sobre un resorte para estirarlo desde una posición ya deformada a otr nueva posición, queda determinado por la expresión anterior.

Desarrollo:

1 𝐾 · (𝑥22 − 𝑥12 ) 2 Si reemplazamos, tenemos: 𝑊=

𝑊=

1 𝑁 (6.200 ) · (0,42 − 0,12 )𝑚2 = 465 𝐽 2 𝑚

Por lo tanto, el trabajo que se realizó sobre el resorte para estirarlo desde su posición en que se encontraba es de 465 J.

208 Guillermo Concha – Manuel Torres – Ricardo Montecino

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EJERCICIO RESUELTO N° 4-14: Una grúa levanta una carga de 3,2 Ton hasta una altura de 18 m respecto del suelo, utilizando un tiempo de 15 s. Calcular la potencia desarrollada por la grúa. Datos: m=3.200 kg, h=18 m, t=15 s Concepto a utilizar:

Potencia y Trabajo mecánico Para conocer la potencia, primero, debemos de calcular el trabajo mecánico, dado que el tiempo es conocido:

Desarrollo:

Para calcular el trabajo, tenemos que la fuerza F corresponde al peso del cuerpo ( mg), que el desplazamiento corresponde a la altura (h). Dado que la fuerza y el desplazamiento son en sentido vertical y en el mismo sentido, el ángulo θ=0º. Por lo tanto, W=m g h. 𝑊 = 𝑚 · 𝑔 · ℎ → 𝑊 = (3.200 𝑘𝑔) · (9,8 = 564.480 𝐽

𝑚 ) · (18 𝑚) 𝑠2

Ahora, conocido el trabajo, aplicamos la expresión P=W/t y, calculamos la potencia: 𝑃=

𝑊 564.480 𝐽 →𝑃= = 37.632 𝑊 = 37,6 𝑘𝑊 𝑡 15 𝑠

EJERCICIO RESUELTO N° 4 -15: ¿Qué trabajo puede realizar un motor de 5 CV (1 CV=736 W) en un tiempo de 10 s? Datos: P=5 CV, t=10 s 209 Guillermo Concha – Manuel Torres – Ricardo Montecino

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Concepto a utilizar:

Potencia y Trabajo mecánico Aplicando la definición de potencia mecánica, se tiene: 𝑊 𝑃= →𝑊 =𝑃·𝑡 𝑡

Desarrollo: 𝑊 = 𝑃 · 𝑡 → 𝑊 = (5 𝐶𝑉 · 736

𝑊 ) · 10 𝑠 = 36.800 𝐽 𝐶𝑉

EJERCICIO RESUELTO N° 4 -16: En la figura se ve un bloque de 10 kg que se suelta desde el punto A. La pista no ofrece resistencia excepto en la parte BC de 6 m de largo. El bloque se mueve hacia abajo por la pista, golpea un resorte de constante elástica K=2.250 N/m y lo comprime 0,3 m a partir de su posición de equilibrio antes de quedar momen táneamente en reposo. Determinar el coeficiente de fricción cinético entre la superficie BC y el bloque.

Datos: m=10 kg, Concepto a utlizar:

h=3 m, K=2.250 N/m, x=0,3 m Energía cinética, potencial gravitatoria y elástica, teorema de conservación de la energía

Utilizando el concepto de energía y considerando la presencia de un resorte se tiene que: 1 1 𝐸𝐶 = 2 𝑚𝑣 2 , 𝐸𝑃𝐺 = 𝑚𝑔ℎ, 𝐸𝑃𝐸 = 2 𝐾𝑥 2 𝐸𝑀 = 𝐸𝐶 + 𝐸𝑃𝐺 Desarrollo:

𝐸𝑀𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙 = 𝐸𝑀𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙 + 𝑊𝑟𝑜𝑐𝑒 (𝐸𝐶 + 𝐸𝑃𝐺 )𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙 = (𝐸𝐶 + 𝐸𝑃𝐺 + 𝐸𝑃𝐸 )𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙 + 𝑊𝑟𝑜𝑐𝑒 Existe roce en el tramo BC. Al inicio, el cuerpo es 210 Guillermo Concha – Manuel Torres – Ricardo Montecino

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soltado en A y su velocidad inicial es cero ( 𝑣𝑖 = 0), de modo que la EC=0

(𝐸𝑃𝐺 )𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙 = (𝐸𝑃𝐸 )𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙 + 𝑊𝑟𝑜𝑐𝑒 1

𝑚𝑔ℎ = 2 𝐾𝑥 2 + 𝐹𝑅 𝑑;

𝐹𝑅 = 𝜇𝑁 y 𝑁 = 𝑚𝑔

1

𝑚𝑔ℎ = 2 𝐾𝑥 2 + 𝜇𝑚𝑔𝑑, despejando 𝜇 1

𝑚𝑔ℎ − 2 𝐾𝑥 2 = 𝜇𝑚𝑔𝑑, finalmente tenemos: 𝜇=

1 𝑚𝑔ℎ − 2 𝐾𝑥 2 𝑚𝑔𝑑

Reemplazando, obtenemos: 𝑚 1 𝑁 10 (𝑘𝑔) · 9,8 ( 2 ) · 3 (𝑚) − 2 · 2.250 (𝑚) · 0,32 (𝑚2 ) 𝑠 𝜇= 𝑚 10 (𝑘𝑔) · 9,8 ( 2 ) · 6 (𝑚) 𝑠 = 0,328

211 Guillermo Concha – Manuel Torres – Ricardo Montecino

Unidades de Aprendizaje FÍSICA MECÁNICA Disciplinas Básicas: Física

Guía 1: ENERGÍA, TRABAJO & POTENCIA

1

Indicar el trabajo mecánico realizado, en cada caso, por una fuerza de 15 N para recorrer 3 m si forman un ángulo de: 0º; 60º; 90º; 120º; 180º; 240º; 300º. Explique físicamente lo que indican estos resultados. R/ 45 J; 22,5 J; 0 J; -22,5 J; –45 J; –22,5 J; 22,5 J.

2

Indicar la fuerza aplicada sobre un cuerpo que, generando un trabajo mecánico de 5.000 J, recorrió 250 m. R/ 20 N

3

Calcular el trabajo realizado para levantar hasta 12 m de altura un cuerpo de 15 kg., en 12 s partiendo del reposo. R/ 30 J

4

Indicar el peso de un cuerpo si, para levantarlo 3 m de altura, se realiza un trabajo de 750 J. R/ 250 N

5

Una señora levanta una cartera de 2,5 kg a 0,80 m del suelo y camina con ella 185 m hacia adelante. Indicar el trabajo que realiza el brazo, al levantar la cartera y al desplazarse. R/ 19,6 J; 0 J

6

Hallar el trabajo realizado por una fuerza de 30 N sobre un cuerpo de 49 N de peso que parte del reposo y se mueve durante 5 s. R/ 2.250 J

7

¿A qué altura habrá sido elevado un cuerpo de 10 kg si el trabajo empleado fue de 5.000 J? R/ 51 m

212 Guillermo Concha – Manuel Torres – Ricardo Montecino

Unidades de Aprendizaje FÍSICA MECÁNICA Disciplinas Básicas: Física

8

Un cuerpo cae libremente y tarda 3 s en tocar tierra. Si su peso es de 400 N, ¿qué trabajo deberá efectuarse para levantarlo hasta el lugar desde donde cayó? R/ 17.640 J

9

Un tractor de 540 kg efectúa una fuerza de 637 N para subir una pendiente de 35º en 12'. Si partió con una velocidad de 3 m/s, indicar el trabajo mecánico realizado. R/ 196.145,04 J.

10

Dos personas tiran de un carro con dos sogas que forman un ángulo de 60º haciéndolo recorrer 25 m en 4,5" partiendo del reposo. Hallar la fuerza resultante, el peso del carro y el trabajo que realizan, si cada uno hace una fuerza de 450 N y 490 N, respectivamente. R/ 814,31 N; 329,8 kg; 20.357,74 J

11

Supongamos que un motor tiene una potencia teórica de 1,4 kW. y el motor invierte 15 s en elevar un bloque de 100 kg hasta una altura de 16 m. Calcular la potencia real. R/ 1,045 kW.

12

Un escalador con una masa de 60 kg invierte 30 s en escalar una pared de 10 m de altura. Calcular: a) El peso del escalador , b) El trabajo realizado en la escalada , c) La potencia real del escalador . R/ a) 588 N; b) 5.880 J; c) 196 W

13

Una grúa debe elevar un peso de 2.250 N a una altura de 25 m en 10 s, calcular la potencia y el rendimiento de la grúa. La grúa cuenta con un motor de 15 HP. R/ 56.250 J; b) 5.625 W; c) 50,26%

14

Queremos subir un ascensor de 700 kg hasta 20 m de altura. Calcular el trabajo necesario para hacerlo. Calcular l a potencia del motor si sabemos que tarda 28 s en hacer el recorrido. R/ 137.200 J y 4.900 W

15

Una grúa levanta un objeto de 200 kg a una altura de 30 m en 12 s. Calcular el trabajo que realiza sobre el cuerpo, la potencia efectiva desarrollada, el rendimiento del motor, sabiendo que éste tiene una potencia de 10 HP. R/ 58.800 J; 4.900 W; 65,68% 213 Guillermo Concha – Manuel Torres – Ricardo Montecino

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16

¿Qué potencia deberá poseer un motor para bombear 500 litro s de agua por minuto hasta 45 m de altura? R/ 3.673,53 W

17

Calcular la potencia de una grúa que es capaz de levantar 30 bultos de cemento hasta una altura de 10 m en un tiempo de 2 s, si cada bulto tiene una masa de 50 kg. R/ 147 kW

214 Guillermo Concha – Manuel Torres – Ricardo Montecino

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Guía 2: ENERGÍA

1

¿Crees qué es posible que un cuerpo transfiera energía a otro? a) No, eso es absolutamente imposible b) Sí, siempre y cuando ambos cuerpos estén hechos del mismo material c) Sí, esa es una de las propiedades de la energía d) No, la transferencia de energía no es posible. Sólo es posible la degradación de la energía

2

Un cuerpo tiene energía mecánica. ¿Está en movimiento? a) Sí, siempre en todos los casos b) No necesariamente. Puede tener energía potencial pero no cinética c) No. Es imposible que un cuerpo tenga energía mecánica y esté en movimiento d) Ninguna de las o pciones anteriores es correcta

3

¿Qué es un Joule? a) El nombre del lugar b) Es la unidad de c) Es la unidad de d) Es la unidad de

4

científico que produjo electricidad en primer energía en el SI potencia en el SI masa en el SI

Qué relación existe entre la caloría y el Joule a) Un Joule es igual a 0,24 cal b) Un Joule es igual a 1.000 cal c) Una caloría son 0,24 Joule d) Un Joule es lo mismo que una caloría

215 Guillermo Concha – Manuel Torres – Ricardo Montecino

Unidades de Aprendizaje FÍSICA MECÁNICA Disciplinas Básicas: Física

5

Si dejamos caer una pelota desde cierta altura, al cabo de un cierto número de botes la pelota se detiene en el suelo. ¿Por qué ocurre esto? a)

b)

c)

d)

La pelota sólo puede transformar la energía potencial en cinética un número determinado de veces. Al cuarto o quinto bote la pelota pierde toda su energía Existe cierta pérdida de energía en calor, por tanto la pelota va perdiendo energía en cada bote y por tanto cada vez sube menos La situación descrita no ocurre nunca, es decir, una pelota continuará botando eternamente hasta el final de los tiempos para que se cumpla el principio de conservación de la energía mecánica La pelota pierde altura en cada bote pues el material del que está hecho el balón es de mala calidad y no aguanta muchos botes consecutivos

6

En ausencia de rozamiento un sistema material se transformará conservando su energía mecánica. ¿Es esto cierto? a) No. Jamás se cumplirá el principio de conservación de la energía mecánica en ausencia de rozamiento b) Sí. Ese enunciado es correcto c) No. Sólo se cumplirá el principio de conservación de la energía mecánica cuando el sistema posea mucha energía mecánica d) Ninguna de las opciones anteriores es correcta

7

Una de las formas de transferir energía entre dos cuerpos o sistemas materiales es realizando trabajo. ¿Existe otra forma? a) No. Sólo realizando trabajo podemos incrementar el contenido energético de un cuerpo b) Sí. Podemos suministrarle energía en forma mágica c) Sí. Podemos transferir energía en forma de calor d) Sí. Podemos transferir energía dándole un poco de frío

8

Sobre un cuerpo se realiza trabajo aplicando una fuerza produciendo en este un desplazamiento. ¿Cómo es más efectivo esto? a) Aplicando la fuerza en la dirección del movimiento b) Aplicando la fuerza con un ángulo menor de 45º c) Aplicando la fuerza con un ángulo mayor de 45º d) Aplicando una fuerza perpendicular al desplazamiento

216 Guillermo Concha – Manuel Torres – Ricardo Montecino

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9

Supongamos que se desliza un cuerpo por un plano horizontal bajo la acción de una fuerza en la dirección del movimiento, pero con una fuerza debida al rozamiento que se opone al movimiento. Señale la opción correcta. a) Es imposible que en una situación como la descrita exista rozamiento b) Parte de la energía que tiene el cuerpo la va a perder en forma de calor por el rozamiento c) Efectivamente el rozamiento existe, pero no se opone al movimiento, sino que se suma a la fuerza aplicada d) Al ser el plano horizontal, todas las fuerzas que actúan sobre el cuerpo son de igual módulo

10

¿Qué ocurre cuando una fuerza actúa sobre un cuerpo en la misma dirección de su movimiento? a) El cuerpo se ve sometido a una aceleración negativa que lo detiene en pocos segundos b) El trabajo provocado por dicha fuerza se invierte en incrementar su energía potencial gravitatoria c) El trabajo provocado por dicha fuerza coincide con la variación de energía cinética que experimenta el cuerpo d) Prácticamente no ocurre nada, sólo que aumenta la masa del cuerpo

11

¿Es posible incrementar la energía potencial gravitatoria de un cuerpo? a) No, es absolutamente imposible, pues violaría el principio de conservación de la energía mecánica b) No. Sólo es posible incrementar la energía cinética c) Sí es posible. Pero para e llo hay que dejar el cuerpo en caída libre d) Sí es posible. Para ello basta aplicar una fuerza vertical hacia arriba que suba al cuerpo en MRU

12

¿Qué es la potencia de una máquina? a) Es una magnitud que relaciona el trabajo realizado por esta con el tiempo que tarda en realizarlo b) Es una magnitud que mide la cantidad de energía que realiza una máquina 217 Guillermo Concha – Manuel Torres – Ricardo Montecino

Unidades de Aprendizaje FÍSICA MECÁNICA Disciplinas Básicas: Física

c) d)

Es una magnitud que mide el tiempo durante el cual está trabajando una máquina Es una magnitud asociada a los vehículos a motor que mide qué coche corre más

13

Si queremos elevar una barrica de vino a un camión podemos hacerlo haciéndola rodar por un plano inclinado. ¿Qué conseguimos haciéndolo así? a) Se realiza bastante menos trabajo que subiéndola a pulso por la vertical b) El recorrido de la b arrica es mayor por el plano, por tanto no tiene sentido que lo hagamos usando un plano inclinado pues ejercemos la misma fuerza pero durante más distancia c) Conseguimos subir la barrica en menos tiempo, por lo que hacemos un trabajo más eficaz d) Se realiza un trabajo más cómodo pues la fuerza a realizar es menor aunque a costa de realizarlo durante un recorrido más largo

14

¿Qué implica utilizar como fuente de energía un combustible fósil? a) Son menos recomendables pues producen gran impacto ambiental (visual en el paisaje donde está la central) b) Son fuentes que generan contaminación ambiental c) Los combustibles fósiles no tienen ningún tipo de inconveniente, es más, son los más adecuados para producir electricidad d) Ninguna de las opciones ante riores es correcta

15

Hay un elemento común en todas las centrales eléctricas y es el generador de corriente. ¿Qué es esto? a) Es un dispositivo que permite producir vapor de agua e inyectarlo a presión a la turbina b) Es un dispositivo que genera corrien te transformando la energía solar en energía eléctrica c) Convierte la energía mecánica de la turbina en energía eléctrica alterna d) Convierte la energía eléctrica producida en movimiento de la turbina

218 Guillermo Concha – Manuel Torres – Ricardo Montecino

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Guía 3: EVALUACIÓN ENERGÍA MECÁNICA, TRABAJO MECÁNICO, CONSERVACIÓN DE LA ENERGÍA MECÁNICA

1

Debido a la fricción del aire, un paracaidista recorre los últimos 80 m de su caída con velocidad constante. Se puede afirmar respecto de estos últimos metros de caída es correcto que: a) Su energía potencial y su energía cinética aumentan b) Su energía potencial disminuye y su energía cinética aumenta c) Su energía potencial disminuye y su energía cinética no cambia d) Su energía potencial aumenta y su energía cinética no cambia e) Su energía potencial y su energía cinética no cambian

2

La magnitud de la fuerza necesaria para detener a un cuerpo que se mueve con velocidad constante sobre una superficie horizontal depende solamente de: a) La magnitud de la velocidad del cuerpo b) La energía c inética del cuerpo c) La energía cinética y potencial del cuerpo d) La masa del cuerpo e) La masa, magnitud de la velocidad y el tiempo empleado para detenerlo

3

Un cuerpo de 30 N se suelta del reposo desde una cierta altura respecto del nivel del suelo. Si llega al suelo con una energía cinética de 30 J, entonces la altura desde que se soltó mide: a) 0,2 m b) 2m c) 1m d) 0,1 m e) N.A.

4

Para que un cuerpo de 20 N de peso, inicialmente en reposo, adquiera una energía cinética de 400 J después de subir a una altura de 30 m, es necesario que la fuerza resultante efectúe un trabajo de: a) 400 J 219 Guillermo Concha – Manuel Torres – Ricardo Montecino

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b) c) d) e)

200 J 600 J 800 J 1000 J

5

Un cuerpo de 5 kg de masa recorre una vía circunferencial de 2 m de radio con una rapidez de 3 m/s. El trabajo realizado por la fuerza neta en una vuelta, en Joule es: a) 90 b) 180 c) 30 d) 12 e) N.A.

6

Una pelota de 2 N de peso se suelta desde una altura de 2 m respecto del suelo y después de rebotar alcanza una altura de 1,8 m. El trabajo realizado por la fuerza que ejerció el suelo sobre la pelota, en Joule, mide: a) 3,6 b) 0, 4 c) –0,4 d) –3,6 e) –7,6

7

El trabajo realizado por la fuerza resultante que actúa sobre un cuerpo cuando se mueve entre dos puntos, representa: a) El cambio de velocidad b) El cambio de aceleración c) La energía cinética d) La energía potencial e) La variación de energía

8

Un cuerpo de masa M que se suelta desde una altura H respecto nivel del suelo experimenta un movimiento de caída libre. Al respecto se puede afirmar correctamente que: a) La magnitud de la velocidad con que llega al suelo es cero 220 Guillermo Concha – Manuel Torres – Ricardo Montecino

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b) c) d) e)

La magnitud de la velocidad con que llega al suelo depende de su masa La energía cinética que tiene cuando llega al suelo depende de su masa La energía potencial que tiene cuando llega al suelo es igual a su energía cinética Ninguna de las anteriores es correcta

9

Bajo la acción de una sola fuerza, de magnitud constante, un cuerpo se mueve entre dos puntos del espacio. Al respecto es correcto que: a) El trabajo realizado por la fuerza necesariamente es positivo b) El trabajo realizado por la fuerza depende de la masa del cuerpo c) El trabajo realizado por la fuerza puede ser nulo d) La trayectoria descrita por el cuerpo necesariamente es rectilínea e) Ninguna de las anteriores es correcta

10

Desde el suelo, se lanza hacia arriba una pelota de 0,2 kg, con una rapidez de 20 m/s. La pelota sube una altura máxima de 15 m. Entonces, si g=10 m/s 2 , la energía mecánica durante la subida: a) Disminuye en 10 J b) Aumenta en 10 J c) Aumenta en 30 J d) Disminuye en 30 J e) Permanece constante

11

Un trozo de plastilina choca de frente a otro idéntico que está en reposo, moviéndose unidos después del choque. El porcentaje de energía cinética que se transforma en otros tipos de energías: a) 0 b) 25 c) 50 d) 75 e) 100

12

Un cuerpo de 60 kg se encuentra a 100 m de altura sobre el suelo. Si cae libremente, su energía potencial a los dos segundos de caída es: a) 19, 6 J b) 11524,8 J 221 Guillermo Concha – Manuel Torres – Ricardo Montecino

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c) d) e)

47275,2 J 4727,52 J N.A.

13

El cuerpo del problema anterior, en el momento en que se encuentra a 20 m del suelo, tiene una energía cinética de: a) 11760 J b) 47040 J c) 5880 J d) 394 J e) N.A

14

El esquema representa los cuerpos A, B, C y D con sus respectivas velocidades. De estos cuerpos, los que poseen la misma Energía Cinética son, respectivamente. a) AyD b) AyB c) ByC d) ByD e) CyD

15

Se instala un motor en lo alto de siguientes tareas: I. Llevar un cuerpo de 100 kg de II. Elevar un cuerpo de 200 kg de III. Elevar un cuerpo de 300 kg de

un edificio para realizar las masa a 20 m de altura en 10 s masa a 10 m de altura en 20 s masa a 15 m de altura en 30 s

El orden creciente de las potencias que el motor deberá desarrollar al ejecutar las tareas anteriores es: (g=10 m/s 2 ) a) I, II, III b) I, III, II c) II, I, III d) III, I, II e) II, III, I

222 Guillermo Concha – Manuel Torres – Ricardo Montecino

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Guía 4: TRABAJO, ENERGÍA & POTENCIA. CONSERVACIÓN DE LA ENERGÍA

1

Una persona levanta una silla cuyo peso es de 49 N hasta una altura de 0,75 m. ¿Qué trabajo realiza? R/ 36,75 J

2

Determinar el trabajo realizado al desplazar un bloque 3 m sobre una superficie horizontal, si se desprecia la fricción y la fuerza aplicada es de 25 N. R/ 75 J

3

¿Qué peso tendrá un cuerpo si al levantarlo a una altura de 1,5 m se realiza un trabajo de 88,2 J? R/ 58,8 N

4

Un ladrillo tiene una masa de 1 kg, ¿a qué distancia se levantó del suelo si se realizó un trabajo de 19,6 J? R/ 2 m

5

Un viajero levanta su petaca de 196 N hasta una altura de 0,5 metros. ¿Qué trabajo realiza? R/ 98 J.

6

Un bloque cuya masa es de 3 kg es jalado por una fuerza de 45 N con un ángulo de 30° respecto a la horizontal, desplazándolo 5 m. Calcular el trabajo realizado para mover el bloque. R/ 194,85 J

7

¿Qué distancia, se desplazará un cuerpo, si se le aplica un a fuerza de 350 N, con un ángulo de 60° respecto a la horizontal y se realiza un trabajo de 500 J? R/ 2,85 m

8

¿Con que ángulo se desplazará un cuerpo, si sobre él se realiza un trabajo de 825 J y se desplaza una distancia de 5,25 m, al aplicarle una fuerza de 450 N? R/ 69,5°

223 Guillermo Concha – Manuel Torres – Ricardo Montecino

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9

Calcular la energía cinética que lleva una bala de 8 g si su velocidad es de 400 m/s. R/ 640 J

10

Calcular la masa de un cuerpo cuya velocidad es de 10 m/s y su energía cinética es de 1 kJ. R/ 20 kg

11

Calcule la energía cinética de un mazo de 4 kg en el instante en que su velocidad es de 24 m/s. R/ 1.152 J

12

Calcular la potencia de una grúa que es capaz de levantar 30 bultos de cemento hasta una altura de 10 m en un tiempo de 2 s, si cada bulto tiene una masa de 50 kg. R/ 73.500 W

13

Calcular el tiempo que requiere un motor de un elevador cuya potencia es de 37.500 W, para elevar una carga de 5.290 N hasta una altura de 70 m. R/ 9,87 s

14

La potencia de un motor eléctrico es de 50 HP. ¿A qué velocidad constante puede elevar una carga de 9.800 N? R/ 3,81 m/s

15

Determinar en Watts y en CV, la potencia que necesita un motor eléctrico para poder elevar una carga de 20x10 3 N a una altura de 30 m en un tiempo de 15 s. R/ 40.000 W; 53,62 HP

16

Un motor cuya potencia es de 70 HP eleva una carga de 6x10 3 N a una altura de 60 m. ¿En qué tiempo la sube? R/ 6,89 s

17

Un cuerpo de 4 kg se encuentra a una altura de 5 m. ¿Cuál es su energía potencial gravitacional? R/ 196 J

18

Calcular la altura a la que debe estar una persona, cuya masa es de 60 kg, para que su energía potencial gravitacional sea de 5.000 J. R/ 8,5 m

19

Calcular la masa de una piedra que tiene una energía potencial gravitacional de 49 J si se eleva a una altura de 2 m. R/ 2,5 kg

20

Un carburador de 250 g se mantiene a 200 mm sobre un banco de trabajo que está a 1 m del suelo. Calcule la energía potenc ial con (a) respecto a la parte superior del banco (b) el piso. R/ a) 0,49 J; b) 2,94 J

224 Guillermo Concha – Manuel Torres – Ricardo Montecino

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21

Una masa de 40 kg se impulsa lateralmente hasta que queda 1,6 m por arriba de su posición más baja. Despreciando la fricción, a) ¿Cuál será su velocidad cuando regrese a su punto más bajo? ¿Cuáles son sus energías potencial y cinética? R/ 5,6 m/s; 627 J; 627 J.

22

Si se lanza una pelota de 0,2 kg hacia arriba, con una velocidad inicial de 27,77 m/s, ¿Cuál es la altura máxima que alcanza? Desprecie la fuerza de roce. R/ 39,34 m

23

Se deja caer una piedra de 500 g, desde la azotea de una casa de 6 m de altura. ¿Con qué velocidad llega a la superficie terrestre? R/ 10,84 m/s

24

Este término se define como una magnitud escalar, producido solo cuando una fuerza mueve un cuerpo en su m isma dirección. a) Ímpetu b) Impulso c) Trabajo d) Momento e) Energía

25

¿Cuál es el trabajo realizado por una fuerza de 20 N que actúa a través de una distancia paralela de 8 m? a) 190 J b) 165 J c) 170 J d) 178 J e) 160 J

26

Un remolcador ejerce una fuerza constante de 4 kN sobre un barco, cuando lo desplaza a una distancia de 15 m. ¿Cuál es el trabajo realizado? a) 98 kJ b) 75 kJ c) 85 kJ d) 60 kJ e) 92 kJ 225 Guillermo Concha – Manuel Torres – Ricardo Montecino

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27

Un martillo de 0,6 kg se mueve a 30 m/s inmediatamente antes de golpear un tarugo. Calcule su ener gía cinética. a) 345 J b) 270 J c) 322 J d) 288 J e) 290 J

28

Se define como una propiedad que caracteriza la interacción de los componentes de un sistema físico que tiene la capacidad de realizar un trabajo. a) Ímpetu b) Impulso c) Cantidad de movimiento d) Energía e) Trabajo

29

Es la energía que posee un cuerpo debido a su movimiento a) Energía Eólica b) Energía radiante c) Energía química d) Energía potencial e) Energía cinética

30

La EC de un cuerpo con relación a la velocidad tiene la siguiente relación. a) Es igual al cuadrado de la velocidad b) Es igual a la raíz cuadrada de la velocidad c) Es igual al cubo de la velocidad d) Es igual a la mitad de la velocidad e) Es igual a la raíz cúbica de la velocidad

31

La energía cinética de un cuerpo con relación a la masa del mismo tiene la siguiente relación: a) Es igual al cubo de la masa b) Es igual al doble de la masa c) Es igual al cuadrado de la masa d) Es igual a la mitad de la masa e) Es igual a la raíz cuadrada de la masa 226 Guillermo Concha – Manuel Torres – Ricardo Montecino

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32

Este parámetro se define como la rapidez con que se realiza un trabajo, su unidad es el Watt. a) Impulso b) Ímpetu c) Cantidad de movimiento d) Potencia mecánica e) Energía cinética

33

Este parámetro se obtiene al dividir el trabajo mecánico entre el tiempo que se emplea en realizar dicho trabajo. a) Cantidad de movimiento b) Potencia mecánica c) Ímpetu d) Energía Cinética e) Impulso

34

La potencia mecánica con relación al trabajo mecánico, tiene la siguiente relación: a) Es igual a la raíz cuadrada del trabajo b) Es inversamente proporcional c) Es igual al cuadrado del trabajo d) Es igual al doble del trabajo e) Es directamente proporcional

35

La potencia de un motor eléctrico es de 1,96 kW ¿Cuál es la potencia en CV? a) 3,88 b) 1,55 c) 3,57 d) 2,66 e) 4,35

36

Si un estudiante de 50 kg de masa sube al 3 e r . piso de su escuela, que se encuentra a 11 m de altura, en 15 s. ¿Qué trabajo realiza por unidad de tiempo? a) 299,44 W b) 156,23 W c) 188,44 W d) 250,25 W e) 359,33 W

227 Guillermo Concha – Manuel Torres – Ricardo Montecino

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37

Un bloque de 2 kg reposa sobre una mesa a 80 cm del piso. Calcule la energía potencial del bloque en relación al piso. a) 22,3 J b) 18,4 J c) 15,7 J d) 25,6 J e) 12,3 J

38

El enunciado “La energía total de un sistema se conserva cuando no hay fuerzas de rozamiento”. Corresponde a: a) Conservación de la potencia mecánica b) Conservación de la energía cinética total c) Conservación de la energía potencial total d) Conservación de la energía mecánica total e) Conservación del trabajo total

39

El enunciado “En ausencia de resistencia del aire o de otras fuerzas disipativas, la suma de las energías potencial y cinéticas es una constante, siempre que no se añada ninguna otra energía al sistema.” a) Conservación de la energía cinética total b) Conservación de la energía potencial total c) Conservación de la energía mecánica total d) Conservación de la potencia total e) Conservación del trabajo total

40

Calcular el trabajo realizado por una fuerza de 200 N que fo rma un ángulo de 25°, al horizonte, al desplazar 2 m a un cuerpo hacia el este. ¿Cuál es el trabajo si la fuerza es paralela al desplazamiento? a) T 1 =400 J, T 2 =362,525 J b) T 1 =84,2 J, T 2 =51,76 J c) T 1 =51,76 J, T 2 =84,525 J d) T 1 =362,2 J, T 2 =400 J e) T 1 =93,26 J, T 2 =87,70 J

41

Una persona levanta un bulto de cemento de 490 N desde el suelo hasta colocarlo sobre su hombro a una altura de 1,45 m a) 1.030,22 J b) 32,09 J c) 675,86 J d) 378,3 J e) 710,5 J 228 Guillermo Concha – Manuel Torres – Ricardo Montecino

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42

Una persona aplica una fuerza de 20 N a una caja para deslizarlo hacia el este, formando un ángulo de 37° con la horizontal y la desplaza 80 cm, ¿Qué trabajo realiza la persona? a) 160 N b) 12,77 N c) 16,33 N d) 43,44 N e) 67,77 N

43

¿Qué trabajo realiza una grúa al levantar, con velocidad constante, un contenedor de 20.000 N a una altura de 15 m? a) 30.000 J b) 150.000 J c) 300.000 J d) 20.000 J e) 200.000 J

44

Una persona ejerce una fuerza de 50 N, para detener un carrito de supermercado, logrando detenerlo a una distancia de 5 m. ¿Qué trabajo realiza? a) -125 J b) -75 J c) -225 J d) -250 J e) -150 J

45

¿Con qué velocidad llega una pelota de 100 g al guante de un jugador, si lleva una energía cinética de 31,25 J? a) 12,25 m/s b) 44 m/s c) 33,24 m/s d) 25 m/s e) 18,44 m/s

46

Si la potencia del motor de una bomba es de 746 W, ¿A qué velocidad constante puede elevar 200 litros de agua? (La masa de un litro de agua es de 1 kg) a) 0.50 m/s b) 2.22 m/s c) 1.5 m/s d) 0.80 m/s e) 0.38 m/s 229 Guillermo Concha – Manuel Torres – Ricardo Montecino

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47

Una carga de 40 kg se eleva hasta una altura de 25 m. Si la operación requiere de un minuto, encuentre la potencia en W y en caballos de fuerza (HP). a) 550 W, 0,345 HP b) 250 W, 0,850 HP c) 400 W, 0,450 HP d) 163 W, 0,219 HP e) 200 W, 0,570 HP

230 Guillermo Concha – Manuel Torres – Ricardo Montecino

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Guía 5: TRABAJO, ENERGÍA & POTENCIA. CONSERVACIÓN DE LA ENERGÍA

1

Un motor efectúa un trabajo de 2 kWh en media hora. Calcular su potencia. (1 kWh=3.600.000 J). R/ 4 kW

2

Calcular la potencia del motor de un vehículo si desarrolla una fuerza de tracción de 8 kN cuando la velocidad del vehículo es de 72 km/h. R/ 160 kW

3

Un cuerpo tiene una masa de 4 kg y una velocidad de 3 m/s. Calcular su energía cinética. R/ 18 J

4

Determinar la energía cinética que posee un corredor de 100 metros planos cuya masa es de 70 kg y que avanza con una rapidez de 11 m/s. R/ 4.235 J

5

Considere dos cuerpos. El primero de ellos tiene una masa m y se mueve con una velocidad v. El segundo tiene una masa igual a la mitad de la masa del primero, pero se mueve con el doble de la velocidad. ¿Cuál ellos tiene mayor energía cinética? R/ EC 2 =2·EC 1

6

Supongamos que el atleta mencionado en el ejercicio ‘’ 4 ‘’ ha alcanzado la rapidez de 11 m/s una vez que ha recorrido los 30 primeros metros de la carrera: a) ¿Cuánto fue la variación de energía cinética del atleta desde el momento de iniciar la carrera hasta que alcanzó la rapidez de 11 m/s?, b) ¿Cuánto es el trabajo mecánico que fue necesario efectuar sobre él para que pudiera adquirir la energía cinética que ha alcanzado?, c) Si suponemos que la fuerza que actúa sobre él durante los primeros 30 metros de carrera es constante, ¿cuánto es el módulo de dicha fuerza? R/ a) 4.234 J, b) 4.23 5 J, c) 141 N 231 Guillermo Concha – Manuel Torres – Ricardo Montecino

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7

¿Cuánto es el trabajo que es necesario efectuar sobre un cajón de 120 kg para subirlo hasta una altura de 25 m?, (b) ¿Qué energía potencial posee el cajón a esa altura?, c) Se rompe la cuerda que sujeta el cajón y éste cae. Si suponemos qu e toda su energía potencial se transforma en energía cinética durante la caída, ¿cuánto es su energía cinética al llegar al suelo?, d) ¿Con qué velocidad llega al suelo? R/ a) 30000 J, b) 30000 J, c) 30000 J, d) 22.4 m/s

8

Se lanza oblicuamente una pelota de 0,80 kg con una rapidez inicial de 12 m/s, desde una altura de 5 m. En el punto más alto de su trayectoria se mueve horizontalmente con una rapidez de 6 m/s. Se desea saber: a) ¿Cuál fue la máxima altura alcanzada por la pelota y; b) ¿Con qué rapidez l legó al suelo finalmente? Desprecie la resistencia del aire. R/ a) 10,4 m, b) 15,6 m/s

9

Alfredo sale a pasear en bicicleta. Su masa, incluida la bicicleta, es de 80 kg. Al acercarse a una cuesta, acelera hasta alcanzar una rapidez de 10 m/s. Con esa rapidez empieza a subir la cuesta, pero dejando de pedalear. ¿Hasta qué altura alcanza a subi r Alfredo si toda la energía cinética que ha adquirido se transforma en energía potencial? Si la masa de Alfredo y su bicicleta fuera un 20% menor, entonces ¿qué altura alcanzaría? R/ 5 m; la misma altura

10

Un camión de 8 Ton que se desplazaba con una ra pidez de 20 m/s debe frenar bruscamente para evitar un accidente. El camión recorre 40 m antes de detenerse totalmente. ¿Cuánto fue la fuerza que actuó sobre las ruedas del camión durante la frenada? R/ 40000 N

232 Guillermo Concha – Manuel Torres – Ricardo Montecino

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11

Francisca se deja deslizar desde lo alt o de un tobogán de 7,2 m de altura. La masa de Francisca es de 40 kg. ¿Con qué rapidez debería llegar Francisca a la base del tobogán, si las pérdidas por efectos del roce fueran despreciables? R/ 12 m

12

Se tiene un sistema de 5 esferas de 15 gramos de m asa c/u, unidas por alambres tensos de masa despreciable. Determinar el trabajo necesario para colocar el sistema en posición vertical. Considere la distancia entre una y otra esfera igual a 1 cm. R/ 0,0147 J

13

Un operario que pesa 800 N se echa al hombr o un bulto de 200 N y sube una escala de 5 m de largo apoyada contra la pared. Si el apoyo de la escala está a 3 m de la pared, calcular el trabajo realizado por el operario al terminar de subir la escalera. R/ 4000 J

14

Una piedra cuyo peso es de 20 N se deja caer desde cierta altura. La caída dura 1,43 s. Hallar la energía cinética y potencial de la piedra en el punto medio de su recorrido. R/ 100 J

15

Se tiene una pista lisa constituida por un cuadrante de circunferencia de 1 m de radio. Desde la parte superior se suelta un cuerpo de 10 N de peso. Calcule: a) La velocidad con que el bloque abandona el cuarto cuadrante, b) Si el piso está a una altura de 0,5 m del punto suelo, ¿a qué distancia horizontal el cuerpo choca con el piso? R/ 4,5 m/s; 1,4 m

16

Un bloque de 5 kg se empuja una distancia de 8 m sobre un plano horizontal, con coeficiente de rozamiento 0,3; por acción de una fuerza constante F paralela al plano a velocidad constante. ¿Cuál es el trabajo realizado por la fuerza? R / 120 J

17

Un hombre de 60 kg de masa sube por las escaleras de un edificio de 200 m de altura en 4 minutos. ¿Cuál fue la potencia que desarrolló? R/ 500 W 233 Guillermo Concha – Manuel Torres – Ricardo Montecino

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18

Indicar el trabajo necesario para deslizar un cuerpo a 2 m de su posición inicial mediante una fuerza de 10 N. R/ 20 J

29

¿Qué trabajo realiza un hombre para elevar una bolsa de 70 kgf a una altura de 2,5 m? Expresarlo en: a) kgm., b) Joule., c) kW h. R/ a) 175 kgm, b) 1715 J, c) 0,00047 kWh

20

Un cuerpo cae libremente y tarda 3 s en tocar tierra. Si su peso es de 4 N, ¿qué trabajo deberá efectuarse para elevarlo hasta el lugar desde donde cayó? Expresarlo en: a) Joule., b) kgm. R/ a) 1728,7 J; b) 176,4 kgm

21

Un proyectil que pesa 80 kgf es lanzado verticalmente hacia arriba con una velocidad inicial de 95 m/s. Se desea saber: a) ¿Qué energía cinética tendrá al cabo de 7 s?, b) ¿Qué energía potencial tendrá al alcanzar su altura máxima? R/ a) 290,2 J, b) 3.758,8 J

22

¿Qué energía cinética alcanzará un cuerpo que pesa 38 N a los 30 s de caída libre? R/ 171000 J

23

¿Qué energía cinética alcanzará un cuerpo de masa 350 kg si posee una velocidad de 40 m/s? R/ 280.000 J

24

¿Con qué energía tocará tier ra un cuerpo que pesa 2.500 g si cae libremente desde 12 m de altura? R/ 300 J

25

Un cuerpo de 200 N se desliza por un plano inclinado de 15 m de largo y 3,5 de alto, calcular: a) ¿Qué aceleración adquiere?, b) ¿Qué energía cinética tendrá a los 3 s?, c) ¿Qué espacio recorrió en ese momento? R/ a) 2,273 m/s 2 ; b) 464,8 J, c) 10,23 m

26

¿Qué energía potencial posee un cuerpo de masa 5 kg colocado a 2 m del suelo? R/ 100 J

27

Si el cuerpo del ejercicio anterior cae, ¿con qué energía cinética llega al suelo? R/ 100 J

28

Sabiendo que cada piso de un edificio tiene 2,3 m y la planta baja 3 m, calcular la energía potencial de una maceta que, colocada en el balcón de un quinto piso , posee una masa de 8,5 kg. R/ 1.037 J

234 Guillermo Concha – Manuel Torres – Ricardo Montecino

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29

Un cuerpo de 1.250 kg cae desde 50 m, ¿con qué energía cinética llega a tierra? R/ 612.915,625 J

30

Un proyectil de 5 kg de masa es lanzado verticalmente hacia arriba con velocidad inicial de 60 m/s, ¿qué energía cinética posee a los 3 s? y ¿qué energía potencial al alcanzar la altura máxima? R/ 2.250 J y 9.000 J

31

Una grúa levante 2.000 kg a 15 m del suelo en 10 s, expresar la potencia empleada en: a) CV, b) W, c) HP. R/ a) 40,82 CV, b) 30.000 W, c) 40,21 HP

32

Un motor de 120 CV es capaz de levantar un bulto de 2 Tm hasta 25 m, ¿cuál es el tiempo empleado? R/ 5,5 s ¿Qué potencia deberá poseer un motor para bombear 500 lt de agua por minuto hasta 45 m de altura? R/ 36.750 W

33

34

¿Cuál será la potencia necesaria para elevar un ascensor de 45 kN hasta 8 m de altura en 30 s? ¿Cuál será la potencia del motor aplicable si el rendimiento es de 0,65? R/ a) 12.000 W, b) 18.462 W

35

Calcular la velocidad que alcanza un automóvil de 1.500 kgf en 16 s, partiendo del reposo, si tiene una potencia de 100 HP. R/ 40 m/s

36

Un automóvil de 200 HP de potencia y 1.500 kgf de peso parte del reposo. Calcular la veloc idad que tiene a los 20 m. R/ 20 m/s

37

Un automóvil de 200 HP de potencia y 1.500 kgf de peso, sube por una pendiente de 60° a velocidad constante. Calcular la altura que alcanza en 20 s. R/ 115,47 m

38

Calcular la potencia de una máquina que eleva 20 ladrillos de 500 g cada uno a una altura de 2 m en 1 minuto. R/ 3,2667 W

39

La velocidad de sustentación de un avión es de 144 km/h y su peso es de 15.000 kgf. Si se dispone de una pista de 1000 m, ¿cuál e s la potencia mínima que debe desarrollar el motor para que el avión pueda despegar? R/ 240 kW 235 Guillermo Concha – Manuel Torres – Ricardo Montecino

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40

Un carrito de 5 N es desplazado 3 m a lo largo de un plano horizontal mediante una fuerza de 22 N. Luego esa fuerza se transforma en otra de 35 N a través de 2 m. Determinar: a) El trabajo efectuado sobre el carrito. b) La energía cinética total. c) La velocidad que alcanzó el carrito. R/ a) -533,12 J, b) 533,12 J, c) 23,09

41

Un carrito de 10 kg de masa se mueve con una velocidad de 3 m/s, calcular: a) La e nergía cinética si debe subir una pendiente. b) La altura que alcanzará. R/ a) 45 J, b) 0,46 m

42

Una persona sube una montaña hasta 2000 m de altura, ¿cuál será su energía potencial si pesa 750 N? R/ 1500000 J

43

Un cuerpo de 40 kg de masa cae por un plano inclinado que forma con la horizontal un ángulo de 20°. ¿Cuál será su energía cinética luego de recorrer 18 m sobre el plano si partió del reposo? R/ 2462,4 J

44

Un cuerpo de 50 N de peso se halla en el punto más alto de un plano inclinado de 20 m de largo y 8 m de alto. Determinar: a) La energía potencial en esa posición. b) La energía cinética si cae al pié de esa altura. c) La energía cinética si cae al pié deslizándose por la pendiente. R/ a, b y c) 40 J

45

Un cuerpo de 2,45 kg de masa se desplaza sin rozamiento por un plano inclinado de 5 m y 1 m de altura, determinar: a) La distancia recorrida por el cuerpo, que parte del reposo, en 1,5 s. b) La energía cinética adquirida en ese lapso. c) La disminución de la energía potencial en igual lapso. R/ a) 2,2 m, b) 10,56 J, c) -10,56 J

46

Si una persona saca de un pozo una cubeta de 20 kg y realiza un trabajo equivalente a 6 kJ, ¿Cuál es la profundidad del pozo? Suponga que cuando se levanta la cubeta su velocida d permanece constante. R/ 30,6 m 236 Guillermo Concha – Manuel Torres – Ricardo Montecino

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47

Un bloque de 2,5 kg de masa es empujado 2,2 m a lo largo de una mesa horizontal sin fricción por una fuerza constante de 16 N dirigida a 25° debajo de la horizontal. Encuentre el trabajo efectuado por: (a) la fuerza ap licada, (b) la fuerza normal ejercida por la mesa, (c) la fuerza de la gravedad, y (d) la fuerza neta sobre el bloque. R/ a) 31,9 N; b) F N =0, ya que el ángulo entre la fuerza normal y el desplazamiento es θ=90 o ; c) Wg=0, ya que el ángulo entre la fuerza de la gravedad y el desplazamiento es θ=90 o ; d) 31,9 N

48

Un hombre levanta un cuerpo que pesa 50 kg hacia arriba en línea recta una distancia de 0,6 m antes de soltarlo. Si hace lo anterior 20 veces, ¿Cuánto trabajo ha realizado? R/ 5.886 J.

49

Con una fuerza horizontal de 150 N se empuja una caja de 40 kg una distancia de 6 m sobre una superficie horizontal rugoso. Si la caja se mueve a velocidad constante, encuentre (a) el trabajo realizado por la fuerza de 150 N, (b) la energía cinética perdid a debido a la fricción, y (c) el coeficiente de fricción cinética. R/ (a) 900 J; (b) 900 J; (c) 0,38.

60

Una carretilla con ladrillos tiene una masa total de 18 kg y se jala con velocidad constante por medio de una cuerda. La cuerda está inclinada a 20° sobre la horizontal y la carretilla se mueve 20 m sobre una superficie horizontal. El coeficiente de fricción cinético entre el suelo y la carretilla es 0,5. (a) ¿Cuál es la tensión en la cuerda? (b) ¿Cuánto trabajo efectúa la cuerda sobre la carretilla? (c ) ¿Cuál es la energía perdida debido a la fricción? R/ (a) 79,49 N; (b) 3.598,01 J; (c) 1.765,8 J

64

Una partícula de 0,6 kg tiene una velocidad de 2 m/s en el punto A y una energía cinética de 7,5 J en B ¿Cuál es (a) su energía cinética en A? (b) ¿su velocidad en B? (c) ¿el trabajo total realizado sobre la partícula cuando se mueve de A a B? R/ a) 1,2 J; b) 13,8 m/s; c) -6,3 J

237 Guillermo Concha – Manuel Torres – Ricardo Montecino

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65

Una bola de boliche de 7 kg se mueve a 3 m/s, ¿Qué tan rápido se debe mover una bola de golf de manera que las dos tengan la misma energía cinética? R/ 37 m/s

66

Una caja de 40 kg inicialmente en reposo se empuja una distancia de 5 m por un piso rugoso y horizontal con una fuerza constante horizontal de 130 N. Si el coeficiente de fricción entre la caja y el piso es 0,30, en cuentre: (a) el trabajo realizado por la fuerza aplicada, (b) la energía cinética perdida debido a la fricción, (c) el cambio en la energía cinética de la caja, y (d) la velocidad final de la caja. R/ a) 1.238,6 J; b) 588,6 J; c) 650 J; d) 5,7 m/s

67

Una bala de 15 g se acelera en el cañón de un rifle de 72 cm de largo hasta una velocidad de 780 m/s, empleé el teorema del trabajo y la energía para encontrar la fuerza ejercida sobre la bala mientras se acelera. R/ 6.484,6 N

68

Un marino de 700 N en un entr enamiento básico sube por una cuerda vertical de 10 m a una velocidad constante en 8 s. ¿Cuál es su potencia de salida? R/ 875 W

238 Guillermo Concha – Manuel Torres – Ricardo Montecino

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Unidad 5: DINÁMICA DE ROTACIÓN EN ESTA UNIDAD Conocerás y comprenderás: Las características de un centro de gravedad Los efectos de la rotación sobre los cuerpos Segundo Principio de Newton para la rotación El concepto y aplicaciones de Equilibrio

Desarrollarás habilidades para: Resolver problemas relacionados con Momento de una fuerz a Formular explicaci ones de situaciones cotidianas para la rotación de los cuerpos, Metodología de análisis y desarrollo de situaciones problemáticas de equilibrio .

Desarrollarás actitudes para: Formular explicaciones respaldadas por tus observaciones o cálculos de fenómenos cotidianos o conocimientos teóricos Entender la importancia de las fuerzas como consecuencia de l as rotaciones de los cuerpos .

239 Guillermo Concha – Manuel Torres – Ricardo Montecino

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EQUILIBRIO ROTACIONAL Acción capaz de modificar el estado de un cuerpo es

Fuerza mecánica Producido por

Condiciones 1. Sumatoria de torques igual a cero 2. Sumatoria de fuerzas igual a cero

EQUILIBRIO ROTACIONAL

Produce

Es

Cuando fuerzas actúan sobre un cuerpo sin producir variación en el movimiento de rotación

TORQUES

¿Qué es?

Propiedad de la fuerza para ejercer un movimiento de rotación en un cuerpo e torno a un eje

Condiciones

Eje

Fuerza aplicada

Línea de acción de la fuerza

240 Guillermo Concha – Manuel Torres – Ricardo Montecino

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CONSIDERACIONES ACERCA DE LA DINÁMICA DE ROTACIÓN

Centro de Gravedad Durante los capítulos anteriores se trataron los cuerpos como partículas o masas puntuales, en la realidad los cuerpos no son así ya que tienen presentan masa distribuida en todo un espacio y no en un solo punto. Cuando un cuerpo se modela sobre un solo punto, se está modelando sobre su centro de gravedad que no es otra cosa que “ el punto sobre el cual las fuerzas peso generadas por el mismo cuerpo da una sumatoria de momento igual a cero”. En la práctica el centro de masa y el centro de gravedad son lo mismo, por lo cual no se hará hincapié en su diferencia y se trataran de la misma forma. Matemáticamente el centro de masa se define según la ecuación, para distribuciones de masas en el espacio.

𝑟=

1 ∑ 𝑚𝑖 · 𝑟𝑖 𝑀

Con M la masa total de las partículas, m i la masa puntual de la partícula “i” y r i el vector a la partícula “i”. Sin embargo, los cuerpos no son una distribución de masas puntuales, por lo que es necesario escribir la ecuación anterior, para volúmenes en el espacio, este caso (más general) se muestra en las ecuaciones siguientes:

𝑋𝐶 =

𝑚1 𝑥1 + 𝑚2 𝑥2 + 𝑚3 𝑐3 + ⋯ 𝑚1 + 𝑚2 + 𝑚3 + ⋯

𝑚1 𝑦1 + 𝑚2 2 + 𝑚3 𝑦3 + ⋯ 𝑚1 + 𝑚2 + 𝑚3 + ⋯ 𝑚1 𝑧1 + 𝑚2 𝑧2 + 𝑚3 𝑧3 + ⋯ 𝑍𝐶 = 𝑚1 + 𝑚2 + 𝑚3 + ⋯

𝑌𝐶 =

241 Guillermo Concha – Manuel Torres – Ricardo Montecino

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O bién

𝑋𝐶 =

∑ 𝑚𝑖 · 𝑋𝑖 𝑀

𝑌𝐶 =

∑ 𝑚 𝑖 · 𝑌𝑖 𝑀

𝑍𝐶 =

∑ 𝑚𝑖 · 𝑍𝑖 𝑀

Para saber mas: http://es.slideshare.net/torimatcordova/centro -de-gravedad-15042531 (Vista el 07/07/2014)

CENTRO DE MASAS DE ALGUNAS FIGURAS PLANAS

Para saber más: http://centrosgravedad2011.blogspot.com/2011/12/centros -degravedad.html Vista 06/07/2012

242 Guillermo Concha – Manuel Torres – Ricardo Montecino

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TORQUE O MOMENTO DE UNA FUERZA El torque o momento de una fuerza se define como “el efecto que produce una fuerza sobre un eje cierto eje de rotación ”. La fuerza tiende a hacer girar el eje, matemáticamente se define según las ecuaciones siguientes, de acuerdo a la figura:

𝑀 = 𝐹 · 𝑙 · 𝑠𝑒𝑛 ( 𝜃 ) → 𝑀 = 𝐹 · 𝑏

Notar que en las ecuaciones anteriores, multiplican la fuerza por el vector que genera una perpendicular entre la dirección de la fuerza F y el punto O por el que pasa el eje sobre el cual se produce el mome nto. El torque es una unidad vectorial, lo que quiere decir que tiene dirección, magnitud y sentido. Para definir el sentido se utiliza la regla de la mano derecha. La figura siguiente, muestra esquemáticamente como utilizarla

243 Guillermo Concha – Manuel Torres – Ricardo Montecino

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Para utilizar la regla d e la mano derecha se debe seguir los siguientes pasos: Colocar los dedos (exceptuando el pulgar) en la misma dirección que la fuerza El pulgar indicará la posición del eje sobre el cual la fuerza ejerce el torque. Ver si el pulgar indica hacia uno, si es así el momento se considera positivo, si el pulgar indica hacia afuera de uno, quiere decir que el momento se considera negativo.

EQUILIBRIO Como se vio en la Unidad “3“y específicamente la Tercera Ley de Newton, para que un sistema esté en equilibrio debe cumplirse que la fuerza resultante sea igual a cero ( Equilibrio de Traslación ), sin embargo en cuerpos con masa distribuida en el espacio, no basta sólo esta condición, sino que también la sumatoria de momentos con respecto a cualquier punt o debe ser cero (Equilibrio de Rotación ). Esto se ecuaciones adjuntas.

∑ ⃗F⃗ = m · a⃗⃗ = 0 ΣMG = I · α ⃗⃗ = 0

representa

mejor

según

las

Equilibrio de Traslación Equilibrio de Rotación

Momento de inercia Como se ve en la ecuación ∑ ⃗F⃗ = m · a⃗⃗ = 0, la sumatoria de momentos no tiene relación directa con la masa, si no que se relaciona con el parámetro llamado momento de inercia , este parámetro muestra cómo se distribuye la masa del cuerpo con respecto a un eje de giro, para distribución de masas pun tales se puede calcular según la ecuación adjunta: 244 Guillermo Concha – Manuel Torres – Ricardo Montecino

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𝐼 = ∑ 𝑚𝑖 · 𝑟𝑖2 Sin embargo el cálculo de la inercia, al igual que el centro de masa, es engorroso, por lo que existen momentos de inercia tabulados para las figuras más comunes como muestra en la figura si guiente:

Inercia para diferentes cuerpos (Fig.1)

𝟏 𝐌(𝐑𝟐𝟏 + 𝐑𝟐𝟐 ) 𝟐

𝟐 𝐌𝐑𝟐 𝟓 E sf er a m ac iz a r e sp ec to a su d i ám etr o

Ci l in d r o h u e co r esp ec to a su ej e

𝟏 𝐌𝐋𝟐 𝟏𝟐 Var i ll a d e l g ad a con r esp ec to a u n ej e p er p en d icu lar q u e p as a p or su c en tr o

𝟏 𝐌(𝐚𝟐 + 𝐛𝟐 ) 𝟏𝟐 Par al el ep íp ed o r ectan gu lar m a ci zo con r esp ec to a u n ej e p er p en d icu lar a la car a q u e p a sa p o r su cen tr o

Notar que la inercia está relacionada con el eje de giro, por lo que cambiara según respecto a la dirección sobre la cual gira el cuerpo. Además, según la ecuación ΣMG = I · α ⃗⃗ = 0 , se ve que la inercia es directamente proporcional a la masa del cuerpo, si se ana liza esto junto con la ecuación anterior, se ve que a mayor inercia se necesitará más momento para lograr acelerar (y desacelerar) el cuerpo. Para saber más: http://www.educarchile.cl /ech/pro/app/detalle?ID=133161 06/07/2014)

(Vista

el

245 Guillermo Concha – Manuel Torres – Ricardo Montecino

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TEOREMA DE STEINER Si bien la figura 1 de esta unidad, nos muestra las inercias de los cuerpos más comunes, estos cuerpos no siempre rotaran respecto a su centro de masa, por lo que muchas veces es necesario trasladar el momento de inercia hacia un nuevo eje definido por el problema. El teorema que perite rea lizar esto es el Teorema de Steiner, según la ecuación siguiente:

𝑰𝑷 = 𝑰,𝑮 + 𝒎𝒓𝟐 Donde G hace referencia al centro de masa y P al nuevo punto, m es la masa del cuerpo y r es la distancia perpendicular entre G y el nuevo punto P.

246 Guillermo Concha – Manuel Torres – Ricardo Montecino

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Aprendizaje esperado 5.1.- Resuelve problemas prácticos de masa, como una medida de inercia, y peso, como acción de un campo gravitatorio.

Criterios de evaluación: 5.1.1 Determina las condiciones de equilibrio y torsión de un cuerpo rígido en el plano. 5.1.2 Identifica el centro de masas de un cuerpo rígido y el peso resultante que genera torsión respecto a un eje. 5.1.3

5.1.4

Calcula el momento de una fuerza y de un sistema de fuerzas en el plano, respecto a un eje de giro para aparatos mecánicos o estructuras simples. Determina las condiciones de equilibrio de un cuerpo rígido cuando dos o más momentos de torsión influyen en el sistema.

Ejemplos Desarrollados Rotación EJERCICIO RESUELTO N° 5 -1: Se tiene 4 masas de 3 kg cada una distribuidas según la figura adjunta. Encuentre el centro de masa de esta distribución de masas.

Datos: Ver figura adjunta Conceptos involucrado Desarrollo:

Centro de masa Utilizando la ecuación 247 Guillermo Concha – Manuel Torres – Ricardo Montecino

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𝑟=

1 ∑ 𝑚𝑖 · 𝑟𝑖 𝑀

, se debe realizar la sumatoria de cada masa m i con su respectiva posición r i , r i al ser un vector de dos componentes se realiza la sumatoria por cada eje, es decir, X e Y. El producto de la masa por el vector es: mi 3 3 3 3

ri,x 2 2 4 4

ri,y 2 4 2 4

miri,x 6 6 12 12 36

miri,y 6 12 6 12 36

Y la masa total es de 12 kg Aplicando las expresiones anteriores, tenemos:

ri,x =

36 36 = 3ri,y = =3 12 12

Lo que muestra que el centro de masa de la figura, se encuentra en la coordenada (3; 3).

EJERCICIO RESUELTO N° 5-2: Utilizando la figura adjunta, se tiene una fuerza de 500 N, donde “ l” tiene un largo de 4 m y el ángulo es de 30°. Obtener el momento sobre un eje perpendicular al plano de la hoja que pasa por el punto. Datos: Al no conocerse la distancia “b” es necesario utilizar la ecuación. Luego, con la regla de la mano derecha se determina.

248 Guillermo Concha – Manuel Torres – Ricardo Montecino

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Concepto involucrado:

Torque o momento de una fuerza

𝑀 = 𝐹 · 𝑙 · 𝑠𝑒𝑛 ( 𝜃 ) → 𝑀 = 𝐹 · 𝑏 Al no conocerse la distancia “b” es necesario utilizar la ecuación. Luego, con la regla de la mano derecha se determina el momento o torque

Desarrollo:

Reemplazando los ecuación, se tiene:

valores

del

enunciado

en

la

M = F ∙ l ∙ sin(θ) M = 500 (N) ∙ 4 (m) ∙ sin(30) M = 1.000 N · m Lugo utilizando la regla de la mano derecha, se ve que pulgar apunta hacia afuera de nosotros por lo que el momento es de −1.000N·m, en el eje perpendicular a la hoja.

249 Guillermo Concha – Manuel Torres – Ricardo Montecino

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EJERCICIO RESUELTO N° 5 -3: Obtenga el torque total que se genera sobre el empotramiento de la figura adjunta. Datos:

Concepto involucrado:

Torque o momento de una fuerza

𝑀 = 𝐹 · 𝑙 · 𝑠𝑒𝑛 ( 𝜃 ) → 𝑀 = 𝐹 · 𝑏 Se debe utilizar la ecuación adjunta, para las fuerzas de 150 lb y 100 lb; sin embargo, se debe descomponer la fuerza de 200 lb en los ejes X e Y para poder conocer el momento de esta fuerza. Para mayor claridad se analiza el momento que genera cada una de las fuerzas en forma particular, se debe recordar que el sentido del momento lo da la regl a de la mano derecha. Desarrollo:

Para la fuerza de 100 lb M1 = 100 (lb) ∙ 16 (in) = 1.600 (lb ∙ in) Para la fuerza de 150 lb M2 = 150 (lb) ∙ 20(in) = 3.000 (lb ∙ in) Luego se debe determinar el ángulo que forma el vector de la fuerza de 200lb con la horizontal, de esta forma: 24 𝜃 = tan−1 ( ) = 67,4° 10 Con este ángulo conocido se descompone la fuerza en 250 Guillermo Concha – Manuel Torres – Ricardo Montecino

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X e Y y se obtiene dos momentos. M3 = 200 (lb) · cos(67,4°) ∙ 24 (in) = −1844,6 (lb ∙ in) M4 = 200 (lb) · sen(67,4°) ∙ 6 (in) = −1110,25(lb ∙ in) Notar que M 3 y M 4 son negativos ya que, según la regla de la mano derecha, hacen girar al cuerpo en sentido anti-horario. Finalmente el momento resultante será igual a la suma de cada uno de los momentos M = M1 + M2 + M3 + M4 M = 1.600 + 3.000 − 1844,6 − 1110,25 = 1645,15 (lb · in) De esta forma el momento resultante es 1645,15 [lb ∙ in] en sentido antihorario

EJERCICIO RESUELTO N° 5 -4: Obtenga las fuerzas de reacción en el punto A y B de figura adjunta, para que el cuerpo esté en equilibrio de rotación y de traslación (Nota: a la izquierda está apoyado sobre una rueda, por lo tanto sólo se generan reacciones en el eje Y). Datos: Ver figura adjunta

Conceptos involucrados Desarrollo:

Equilibrio de rotación y traslación

⃗⃗ = m · a⃗⃗ = 0 ∑F

Equilibrio de Traslación 251

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ΣMG = I · α ⃗⃗ = 0

Equilibrio de Rotación

Utilizando la ecuación ∑ ⃗F⃗ = m · a⃗⃗ = 0 en ambos ejes y la ecuación ΣMG = I · α ⃗⃗ = 0 con las incógnitas R B X y R B Y y R A Y , de esta forma se tendrán tres ecuaciones y tres incógnitas. Se realiza la sumatoria de fuerzas en el eje X para que el sistema ∑ Fx = 0 −60sen(88) + R BX = 0 R BX = 60 ∙ 9.8 ∙ sen(88) = 587 N Se utiliza la ecuación ∑ ⃗F⃗ = m · a⃗⃗ = 0 en el punto sobre el cual está apoyado el deportista, notar que el peso del gimnasta no genera un momento ni tampoco R B X . ∑M =0 −R AY + 2R BY = 0 2R BY = R AY Finalmente, se utiliza la tercera ecuación que es la sumatoria de fuerzas en el eje Y, esta ecuación se utiliza con la relación obtenida de R B Y y R A Y obtenido de la sumatoria de momentos. −60 cos(88) + R BY + R AY = 0 −60 cos(88) + R BY + 2R BY = 0 R BY = 6,8 N Finalmente con la relación se obtiene que R A Y =13,6N

252 Guillermo Concha – Manuel Torres – Ricardo Montecino

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EJERCICIO RESUELTO N° 5 -5: Se tiene 4 masas de 3 kg cada una, distribuidas según la figura adjunta, determinar el momento de inercia de las masas distribuidas con respecto al origen. Datos: Ver figura adjunta

Conceptos involucrados:

Momento de inercia

𝐼 = ∑ 𝑚𝑖 · 𝑟𝑖2 Utilizando la ecuación adjunta, se debe realizar la sumatoria de cada masa m i con su respectiva posición r 2 , notar que r es la distancia que existe entre el origen y el punto, por lo que primero se debe determinar esta distancia “ r” para cada uno de los puntos. Desarrollo:

Se debe utilizar el teorema de Pitágoras para los puntos del uno al cuatro para determinar su distancia con respecto al origen, de esta forma. 𝐫𝟏 𝐫𝟐 𝐫𝟑 𝐫𝟒

= √𝟐𝟐 + 𝟐𝟐 = √𝟒𝟐 + 𝟐𝟐 = √𝟐𝟐 + 𝟒𝟐 = √𝟒𝟐 + 𝟒𝟐

= 𝟐, 𝟖 = 𝟒, 𝟓 = 𝟒, 𝟓 = 𝟓, 𝟔

Luego se realiza la sumatoria de cada masa por su respectivo vector al cuadrado. 253 Guillermo Concha – Manuel Torres – Ricardo Montecino

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mi 3 3 3 3

ri, 2,8 4,5 4,5 5,6

ri2 8 20 20 32

mi ri,x2 24 60 60 96 240

De esta forma el momento de inercia con respecto al origen es igual a 240kg m 2 .

EJERCICIO RESUELTO N° 5 -6: Un bloque de masa “ m” está colgando de una cuerda que a su vez esta enrollada en una polea de masa “ M” y radio “R” sin fricción. Obtener la aceleración angular de la polea si la masa “ m” se deja caer desde el reposo. Datos: Ver figura adjunta

Sistema de masa y polea Concepto involucrado:

Desarrollo:

Momento de inercia

La polea al estar fija en su centro no se trasladará, sin embargo esta si presentará una rotación respecto a su eje central por lo que se debe obtener su inercia según la Tabla indicada: Inercia para diferentes 254 Guillermo Concha – Manuel Torres – Ricardo Montecino

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cuerpos, luego se ve que la masa “ m” es la que produce un torque sobre la polea, finalmente se deben reemplazar los datos en la ecuación de equilibrio ∑ 𝐓 = 𝐈 ∙ 𝛂. Utilizando la última ecuación, se sabe que: ∑𝐓 = 𝐈 ∙ 𝛂 Utilizando la Tabla, tenemos; 𝟏 𝐈 = 𝐌 · 𝐑𝟐 𝟐 La única fuerza que ejerce momento es el peso del bloque, este momento será igual a la fuerza peso por el radio R. 𝐓=𝐦·𝐠·𝐑 Remplazando la inercia y el torque sobre la condición de equilibrio y se tiene: 𝟏 𝐦 · 𝐠 · 𝐑 = 𝐌 · 𝐑𝟐· 𝛂 𝟐 Si se despeja la velocidad angular se obtiene que: 𝟐·𝐦·𝐠 𝛂= 𝐌·𝐑

255 Guillermo Concha – Manuel Torres – Ricardo Montecino

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Aprendizaje esperado 5.2.- Calcula el momento de inercia de cuerpos simples a través de fórmulas establecidas. Criterios de evaluación: 5.2.1 Define momento de inercia para sólidos sencillos con densidad de masa uniforme y no uniforme. 5.2.2 5.2.3

Identifica como la masa y dimensiones de sistemas mecánicos influyen en su capacidad de rotar. Calcula momentos de inercia de diferentes cuerpos utilizando fórmulas directas.

EJEMPLOS DESARROLLADOS TEOREMA DE STAINER EJERCICIO RESUELTO N° 5 -7: Una varilla homogénea de masa 2,5 kg y 0,9 m de longitud rota en torno a un eje paralelo al eje del centro de gravedad ubicada a 30 cm de éste. ¿Cuál es el valor del momento de inercia que tiene la varilla respecto a este eje paralelo? Datos: m=2,5 kg, Concepto involucrado

L=0,9 m,

r=30 cm

Momento de inercia Debemos aplicar el Teorema de Steiner o Teorema de los Ejes Paralelos . También debemos conocer el momento de inercia de una varilla que corresponde a: 𝟏 𝐈= 𝐌 · 𝐋𝟐 𝟏𝟐 luego

Desarrollo:

𝐈𝐏 = 𝐈,𝐆 + 𝐌𝐫 𝟐 De acuerdo a las expresiones anteriores, podemos escribir: 𝟏 𝐈𝐏 = 𝐌 · 𝐋𝟐 + 𝐌 · 𝐫 𝟐 𝟐 256 Guillermo Concha – Manuel Torres – Ricardo Montecino

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Reemplazando valores se obtiene 𝐈𝐏 =

𝟏 𝟐, 𝟓 𝐤𝐠 · (𝟎, 𝟗 𝐦)𝟐 + 𝟎, 𝟗 𝐤𝐠 · (𝟎, 𝟑 𝐦)𝟐 𝟐

Esto da como resultado un momento de inercia de 2 kg·m 2 con respecto a un eje que está a 0,3 m del eje del centro de gravedad.

EJERCICIO RESUELTO N° 5 -8: Similar al ejemplo anterior, determine la velocidad de rotación del cilindro (de masa M), para los datos considere las letras que están en la figura, para el giro, considere que el cilindro rueda sin deslizar. Datos: Ver figura adjunta

Conceptos involucrados

Momento de inercia y torque ∑ 𝐓 = 𝐈𝛂 ,

Desarrollo:

𝐓 = 𝐦𝐠(𝐑 + 𝐫) , 𝐈 = 𝐈𝐠 + 𝐌𝐑𝟐

Se debe seguir el mismo procedimiento anterior, se debe cambiar el brazo que ejerce el momento sobre el cilindro. También se debe que considerar que al rodar sin deslizar, se considera que todo el cilindro está girando momentáneamente sobre su punto de apoyo, por lo que se debe mover la inercia desde el centro hacia el punto de apoyo. Se debe utilizar el equilibrio de momentos ∑ 𝐓 = 𝐈𝛂 257 Guillermo Concha – Manuel Torres – Ricardo Montecino

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Luego el torque estará dado por 𝐓 = 𝐦𝐠(𝐑 + 𝐫) La inercia se debe desplazar hacia el punto de contacto, para eso se utiliza el Teorema de Steiner. 𝐈 = 𝐈𝐠 + 𝐌𝐑𝟐 𝐈=

𝟏 𝐌𝐑𝟐 + 𝐌𝐑𝟐 𝟐

𝟑 𝐌𝐑𝟐 𝟐 Remplazando la inercia y el torque en la ecuación de equilibrio. 𝟑 𝐦𝐠(𝐑 + 𝐫) = ( 𝐌𝐑𝟐 ) 𝛂 𝟐 𝐈=

𝛂=

𝟐𝐦𝐠(𝐑 + 𝐫) 𝟑𝐌𝐑𝟐

Resumen de ecuaciones Momento de inercia

𝐈 = 𝐦𝟏 · 𝐫𝟏𝟐 + 𝐦𝟐 · 𝐫𝟐𝟐 + 𝐦𝟑 · 𝐫𝟑𝟐 + ⋯ 𝐌=𝐈·𝛂

Torque o momento y aceleración angular

Energía cinética de rotación

𝐄𝐂𝐫 =

· 𝐈 · 𝛚𝟐

𝐖=𝐌·𝛉

Trabajo efectuado sobre un cuerpo en rotación Energía cinética de traslación y rotación

𝟏

𝐄𝐂𝐭𝐨𝐭𝐚𝐥 =

𝟏 𝟏 · 𝐈 · 𝛚𝟐 + · 𝐦 · 𝐯 𝟐 𝟐 𝟐 258

Guillermo Concha – Manuel Torres – Ricardo Montecino

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Potencia transmitida a un cuerpo por un torque

Cantidad de movimiento angular

𝐏=𝐌·𝛚

𝐋=𝐈·𝛚

EJEMPLOS DESARROLLADOS ROTO - TRASLACIÓN

Aprendizaje esperado 5.3.- Aplica ley fundamental de la traslación y rotación en la resolución de problemas simples. Criterios de evaluación: 5.3.1 Diferencia campo de aplicación entre la ley de la rotación y ley de traslación. 5.3.2 Diferencia variables lineales de las angulares a través de un diagrama vectorial. 5.3.3 Aplica leyes fundamentales de rotación y traslación en la resolución de problemas. 5.3.4 Reconoce la importancia en la aplicación de traslación y rotación en aparatos mecánicos. PREGUNTAS PARA REFLEXIONAR ¿Qué tiende a hacer un momento de torsión a un objeto? ¿Es distinta la inercia rotacional de un objeto, respecto a distintos ejes de rotación? ¿Qué tendrá mayor aceleración al rodar bajando de un plano inclinado, un aro o un disco macizo? Cuando un sistema está en equilibrio, ¿cómo se c omparan los momentos sobre él, en sentido horario y anti horario? Cuando pedaleas una bicicleta, el momento de torsión máximo se produce cuando los pedales están en posición horizontal y no se produce momento cuando está en posición vertical. Explica Las manillas de las puertas se colocan, generalmente, lejos del eje de giro. ¿A qué se debe esta situación? Explica

259 Guillermo Concha – Manuel Torres – Ricardo Montecino

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EJERCICIO RESUELTO N° 5 -9: Determine el momento de la fuerza con respecto a un eje que pasa por O. Datos: Ver figura adjunta

Concepto involucrado

Desarrollo:

Momento de una fuerza Se descompone la fuerza en F x y F y , pero solamente la componente en eje Y es la que produce rotación, puesto que la línea de acción F x pasa por el punto O, quedando finalmente: 𝐌 = 𝐅𝐲 · 𝐝 𝐌 = 𝟒𝟓 𝐬𝐞𝐧 𝟑𝟓° · 𝟎, 𝟖 𝐦 = 𝟐𝟎, 𝟔𝟓 𝐍 · 𝐦 Sentido anti horario

EJERCICIO RESUELTO N° 5 -10: Si la fuerza F=12 kN Determine el momento de la fuerza respecto al punto P. Datos: Ver figura adjunta

Concepto involucrado

Momento de una fuerza 260 Guillermo Concha – Manuel Torres – Ricardo Montecino

Unidades de Aprendizaje FÍSICA MECÁNICA Disciplinas Básicas: Física 𝐲

∝= 𝐭𝐚𝐧−𝟏 (𝐱),

𝐅⃗ = 𝐅(𝐜𝐨𝐬 ∝ 𝐢̂ − 𝐬𝐢𝐧 ∝ 𝐣̂),

𝐌 = 𝐅𝐲 · 𝐝

El ángulo entre la fuerza y el eje X está dado por: 𝟓 ∝= 𝐭𝐚𝐧−𝟏 ( ) = 𝟓𝟏, 𝟑° 𝟒 Desarrollo:

La fuerza F queda dada por 𝐅⃗ = 𝐅(𝐜𝐨𝐬 ∝ 𝐢̂ − 𝐬𝐢𝐧 ∝ 𝐣̂) Finalmente obtenemos que el momento es: 𝐌 = ( 𝟏𝟐 𝐊𝐍 ) · ( 𝟓 𝐦 ) = 𝟔𝟎 𝐊𝐍 · 𝐦 El monto de F y con respecto a P es Nulo

EJERCICIO RESUELTO N° 5 -11: Un bloque de 2.000 kg está suspendido en el aire por un cable de acero que pasa por una polea y acaba en un disco giratorio. El bloque asciende con velocidad constante de 8 cm/s. El radio del tambor del torno es de 30 cm y la masa de la polea es despreciable. Determinar: a ) ¿Cuánto vale el momento que ejerce el cable sobre el tambor del torno?, b) ¿Cuánto vale la velocidad angular del tambor del torno ?, c) ¿Qué potencia tiene que desarrollar el motor?, d) Calcular el trabajo realizado durante 10 s Datos:

Concepto involucrado

Inercia rotacional 261 Guillermo Concha – Manuel Torres – Ricardo Montecino

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El Momento: M=F·r La rapidez angular: ω=v/r La Potencia: P=M∙ω El Trabajo: W=P·t Velocidad constante del bloque: v=0,08m/s La tensión de la cuerda, es el peso del bloque: F= (2.000· kg) x (9,8 m/s 2 ) =19.600N Desarrollo:

a) El Momento: M=F·r= (19.600 N) x (0,3 m) =5.880 N·m b) La rapidez angular: ω = v/r = (0,08 m/s) / (0,3 m) = 0,27 rad/s c) La Potencia: P = M·ω= (5.880 N·m) x (0,27 rad/s) = 1.587,6 W d) El Trabajo: W=P·t= (1.587,6 W) x (10 s) =15.876J

EJERCICIO RESUELTO N° 5 -12: El sistema que se muestra, se encuentra inicialmente en reposo. El bloque de 30 kg está a 2 m del suelo. La polea es un disco uniforme de 20 cm de diámetro y 5 kg de masa. Se supone que la cuerda no resbala sobre la polea. Encontrar: La rapidez del bloque de 30 kg justo antes de tocar el suelo. Datos:

262 Guillermo Concha – Manuel Torres – Ricardo Montecino

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Conceptos involucrados

Momento de inercia y rotación Se escriben las ecuaciones de movimiento: Del movimiento de los bloques: 𝟑𝟎 · 𝟗, 𝟖 − 𝐓𝟏 = 𝟑𝟎 · 𝐚 𝐓𝟐 − 𝟐𝟎 · 𝟗, 𝟖 = 𝟐𝟎 · 𝐚 Del movimiento de rotación del disco 𝟏 𝐓𝟏 · 𝟎, 𝟏 − 𝐓𝟐 · 𝟎, 𝟏 = ( · 𝟓 · 𝟎, 𝟏𝟐 ) · 𝛂 𝟐

Desarrollo:

La relación entre la aceleración tangencial de los bloques a y la aceleración angular α del disco es: 𝑎 = 𝛼 · 0,1 Resolviendo el sistema de ecuaciones, a = 1,87 m/s2 Si el bloque de 30 kg cae 2 m partiendo del reposo, tenemos: 1 2 = a · t2 2 v=a·t De donde obtenemos que v = 2,73 m⁄s

263 Guillermo Concha – Manuel Torres – Ricardo Montecino

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EJERCICIO RESUELTO N° 5 -13: Sobre un plano horizontal está situado un cuerpo de 50 kg que está unido mediante una cuerda, que pasa a través de una polea de 15 kg a otro cuerpo de 200 kg. Sabiendo que el coeficiente de rozamiento entre el cuerpo de 50 kg y el plano horizontal vale 0,1. Calcular la aceleración de los cuerpos. Datos: Ver figura adjunta

Conceptos involucrados

Momento de inercia y rotación La ecuación de movimiento de cada uno de los cuerpos es: 200 · 9,8 − T2 = 200a T2 · R − T1 · R =

Desarrollo:

1 · 15 · R2 · α 2

También podemos escribir: N = 50 · 9,8 = 490 N fr = 0,1 · N = 49 N T1 − fr = 50 · a La relación entre la aceleración tangencial a de los bloques y la aceleración angular del disco es: a=α·R Las ecuaciones anteriores se reducen a 1.960 − T2 = 200 · a T2 − T1 = 7,5 · a 264 Guillermo Concha – Manuel Torres – Ricardo Montecino

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T1 − 49 = 50 · a De donde se obtiene que la aceleración es: a = 7,42 m⁄s2

265 Guillermo Concha – Manuel Torres – Ricardo Montecino

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GUIA N°1 DINÁMICA DE ROTACIÓN

1

Una persona que pesa 650 N decide dar un paseo en bicicleta. Los pedales se mueven en un círculo que tiene 40 cm de radio. Si todo el peso actúa sobre cada movimiento descendente del pedal. ¿Cuál es el momento o torque máximo? R/ 260N·m

2

Hallar el momento resultante respecto al punto C de la figura. R/ 16,0 N·m

3

Si la fuerza F=15 kN, determinar el momento de la fuerza respecto al punto Q.

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4

El peso de la barra OA de la figura es W= 300lb. La suma de los momentos respecto a O del peso W y de la fuerza que ejerce el cable AB sobre la barra OA es igual a cero. ¿Cuál es la tensión en el cable? R/ 107,5N

5

El momento de inercia de una varilla de acero es 64 kg·m 2 Si la masa de la varilla es de 3 kg y rota en torno a un eje, el que pasa por el centro de gravedad. ¿Cuál es la longitud de la varilla? R/ 16 m

6

En una viga de 20 m de longitud, se colocan dos cuerpos de 5 kg y 8 kg, respectivamente. El cuerpo de menor masa está ubicado a 3 m del extremo derecho de la viga. Si la viga tiene su apoyo en su centro y tiene una masa despreciable, ¿a qué distancia se debe ubicar el otro cuerpo para log rar que la viga se equilibre? R/ 1,9 m

7

Un cilindro macizo de masa 3,5 kg y radio 35 cm está rotando sobre un eje ubicado a 8 cm del centro de gravedad. ¿Cuál es el valor del momento de inercia del cilindro? R/ 0,24 kg·m 2

8

Cierta rueda de 8,0 kg tiene un radio de giro de 25cm: a) ¿Cuál es su momento de inercia?, b) ¿De qué magnitud es el torque que se requiere para darle una aceleración angular de 3,0rad/s 2 . R/ a) 0,50 kg·m 2 , b) 1,5N·m

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9

Un cilindro macizo y homogéneo de 5 kg de masa y 10 cm de radio puede girar alrededor de su eje por la acción de un peso de 2 kg, colgado de un hilo enrollado al cilindro, ver figura. Calcular la velocidad angular del cilindro 5 s después de iniciado el movimiento. ¿Qué tensión soporta el hilo? R/ 43,35 rad/s 2 ; 10,5 N

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EVALUACIÓN: DINÁMICA DE ROTACIÓN

1

Una partícula, cuya masa es de 10 kg, se mueve describiendo una circunferencia. El tiempo que demora en realizar una vuelta completa es de 10 s. De las siguientes opciones, marca la afirmación incorrecta. a) El módulo de la fuerza centrípeta es proporcional a la masa del cuerpo b) El cuerpo se mueve debido a una fuerza que apunta hacia el centro de la circunferencia c) La frecuencia del movimiento es de 0,1 Hz d) La velocidad tangencial del movimiento permane ce constante

2

Las causas del movimiento circular uniforme son tratadas por la dinámica circular, Es falso afirmar que: a) La fuerza neta sobre el cuerpo es la fuerza cuerpo es la fuerza centrípeta b) La fuerza centrípeta está dirigida al centro de la circunferencia c) El torque neto aplicado es nulo d) La fuerza centrípeta cambia de dirección y sentido durante el movimiento

3

La fuerza centrípeta de una partícula es de 100 N, si la masa es de 2 kg y realiza dos ciclos por segundo. El radio de giro es: a) 0,32 cm b) 32 m c) 0,32 m d) 0,032 m 269 Guillermo Concha – Manuel Torres – Ricardo Montecino

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4

Para determinar la magnitud de la fuerza centrípeta de un cuerpo en estado de movimiento circular uniforme, es necesario conocer: a) La masa y el radio de rotación b) La aceleración centrípeta c) La velocidad angular y la aceleración centrípeta d) La aceleración centrípeta y la masa

5

Se tiene un disco de masa M y radio R, girando a velocidad angular ω. Si sobre él se coloca otro disco de masa m y radio r con velocidad angular nula, de forma tal que luego de entrar en contacto siguen girando juntos, entonces la velocidad angular del sistema será: a) b) c) d)

ω (1 + ωMR2

mr2

MR2

)

MR2 +mr2 ωmr2 M2

ω

6

El momentum angular de una partícula es constante cuando el torque neto es cero. Para calcular el valor de la magnitud del momentum angular es necesario conocer: a) Sólo el momento de inercia b) El momento de inercia y la velocidad angular c) El momento de inercia y la masa d) Sólo la velocidad angular

7

Un cilindro sólido rota con velocidad angular constante ω y posee un momento de inercia I. Si cambia su velocidad angular al doble y su momento de inercia se cuadruplica, entonces su momentum angular será: a) 4ωI b) 2ωI c) 8ωI d) 4ω/I

8

La hélice de un avión de masa 60 kg y un radio de giro de 70 cm. Determine su momento de inercia 270 Guillermo Concha – Manuel Torres – Ricardo Montecino

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a) b) c) d)

29,9 32,5 39,9 29,4

kg·m 2 kg·m 2 kg·m 2 kg·m 2

9

Respecto al problema anterior. ¿De qué magnitud es el torque necesario para darle una aceleración angular de 5 rev/s 2 a) 0,924 kN·m b) 1,924 KN·m c) 0,0924 kN·m d) 924 kN·m

10

La masa m 1 =20 kg. La magnitud total de los momentos o torques sobre B debido a las fuerzas que se ejercen sobre la barra AB por los pesos de las dos masas suspendidas es 170 N·m. ¿Cuál es la magnitud del momento total debido a las fuerzas sobre el punto A? a) b) c) d)

11

150 134 120 140

N·m N·m N·m N·m

Si la magnitud del momento o torque debido a la fuerza F sobre Q es 30 kN·m, ¿cuál es F? (3,7)m

a) b) c) d)

15,4 12,6 11,3 18,5

kN kN kN k

F Q

P (7,2)m (3,2)m

271 Guillermo Concha – Manuel Torres – Ricardo Montecino

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12

Determine el momento o torque total de las fuerzas de la aplicadas en la placa de la figura respecto al punto O a. 9,78 kN·m a. 1,96 kN·m b. 1,56 kN·m c. 0,96 kN·m

13

Una barra de densidad uniforme y 0,40 kN está suspendida como se muestra en la figura. Determine la tensión en la cuerda y la fuerza que ejerce el pivote en P sobre la barra

L/4

a) b) c) d)

2,5 2,5 3,5 7,5

kN kN kN kN

; ; ; ;

3,8 3,4 5,5 4,2

kN kN kN kN

3L/4 50º P

14

2000 N

La viga de la figura tiene peso despreciable. Si el sistema se encuentra en equilibrio cuando W 1 =500 N. ¿Cuál es el valor de W 2 ?

a) b) c) d)

0,78 0,64 1,43 2,35

30º

kN kN kN KN

40º

0,3L 0,7L 20º

W2

W1

272 Guillermo Concha – Manuel Torres – Ricardo Montecino

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15

Respecto a la figura del problema anterior. Determine W 1 , si W 2 tiene un valor de 500 N. La viga es uniforme y pesa 300 N. a) 1,42 kN b) 0,15 kN c) 0,56 kN d) 2,19 kN

16

Existe una correspondencia formal entre cantidades físicas lineales y las cantidades físicas angulares. De acuerdo con esto, indique la relación incorrecta. a) Masa Momento de inercia b) Aceleración lineal Aceleración angular c) Trabajo Torque d) Momentum lineal Momentum angular

17

Un sistema mecánico está formado por dos partícula s A y B, de masas M y 2M respectivamente, unidas por una barra rígida de masa despreciable y de longitud L. Si I y J se designan los momentos de inercia del sistema con respecto a los ejes paralelos X e Y respectivamente, ¿Qué valor tiene la razón I/J L/2

L/2

A

a) b) c) d)

¾ 1 3/2 1/2

B

X

18 Si F 1 =30 N; F 2 =80 N; F 3 = 40 N. ¿Cuál es la suma de los momentos o torques de las fuerzas con respecto al punto A

Y

F3

F1

30º

A

C

2m

a) b) c) d)

137 273 315 213

N·m N·m N·m N·m

B

45º

F2 8m

273 Guillermo Concha – Manuel Torres – Ricardo Montecino

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Glosario Concepto Cantidad física

Medir

Magnitud

Cantidad física fundamental

Cantidades físicas derivadas

Definición Las cantidades físicas son aquellas que combinados con números representan una magnitud Comparar una cantidad con su respectiva unidad, con el fin de averiguar cuántas veces la primera contiene la segunda.

Ejemplo

Regresar a:

40N 47ft 3.28s

-Midieron habitación.

la

-José mide un metro -Tener determinada setenta. dimensión, ser de determinada altura, longitud, etc. Propiedad física que -Magnitudes puede medirse, como lineales, la altura, la longitud, temporales. la superficie, el peso, etc. Masa, tiempo, Kg longitud, intensidad s de corriente, m luminosa, cantidad de A substancia, cd temperatura. Unidades Derivadas: m3 volumen, fuerza, N=kgm/s2 densidad, trabajo, etc . Kg/m3 J=N*m9

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Concepto Escalares

Vectores

Aceleración

Velocidad

Definición Un escalar es un tipo de magnitud física que se expresa por un solo número y tiene el mismo valor para todos los observadores En Física, un vector es una herramienta geométrica utilizada para representar una magnitud física definida por su módulo, su dirección y su sentido. Es la acción y efecto de acelerar (aumentar la velocidad). El término también permite nombrar a la magnitud vectorial que expresa dicho incremento de la velocidad en una unidad de tiempo (metro por segundo cada segundo, de acuerdo a su unida d en el Sistema Internacional). La velocidad también es un magnitud física vectorial que refleja el espacio recorrido por un cuerpo en una unidad de tiempo. El metro por segundo (m/s) es su unid ad en el Sistema

Ejemplo Regresar a: La temperatura de un cuerpo se expresa con una magnitud escalar

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Internacional.

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