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9. Utilice un diagrama de Venn a fin de comprobar las dos relaciones siguientes para cualquiera de los eventos A y B (éstas se llaman leyes De Morgan): a. (A U B)´=A´ ∩ B´

b. (A ∩ B)´= A´U B´

10. a) En el ejemplo 2.10, identifique dos elementos que sean mutuamente excluyentes. b) Suponga que no hay un resultado común para los tres eventos A, B y C. ¿estos eventos son necesariamente mutuamente excluyentes? Si la respuesta es afirmativa, explique porque; si es negativa de un ejemplo en contra por medio del experimento del ejemplo 2.10. Ejemplo 2.10. Una ciudad pequeña tiene tres distribuidores distribuidor de GM que vende Chevrolets, Pontiacs y Buicks; Fords y Mercurys, yb el de Chrysler que vende Plymouths experimento consiste en observar la marca del siguiente

de automóviles: un uno Ford que vede y Chryslers. Si un automóvil vendido,

entonces los eventos A= {Chevrolet, Pontiac, Buick} y B= {Ford, Mercury} son mutuamente excluyentes, porque el siguiente automóvil vendido no puede ser ni un producto de GM ni de Ford.

a) A = {Chevy, Pontiac, Buick}, B = {Ford, Mercury}, C = {Volkswagen, Chrysler}, Son tres eventos mutuamente excluyentes. b) E = {Chevy, Pontiac}, F = {Pontiac, Buick}, G = {Buick, Ford}. Estos no son eventos mutuamente excluyentes. (Por ejemplo E y F tienen un resultado en común), sin embargo no hay resultados en común entre los resultados.

46. Suponga que se selecciona al azar un individuo de la población de los adultos varones que viven en Estados Unidos. Sea A el evento de que el individuo seleccionado tenga una estatura de más de 6 pies, y sea B el evento de que el individuo seleccionado sea un jugador profesional de baloncesto. a)¿Cuál considera que es mayor, P(A/B) o P(B/A)? b)¿Porque? a) P (A/B), porque deben de existir más personas mayores de 6 pies, a jugadores profesionales. b) Porque mientras más alto sea el denominador más pequeño será el resultado final. 47. Regrese al escenario de las tarjetas de crédito del ejercicio 12 (sección 2.2), donde A = {Visa}, B = {MasterCard}, P(A) = 0.5, P (B) = 0.4 y P (A∩B) = 0.25. Calcule e interprete cada una de las probabilidades siguientes (Un diagrama de Venn podría servir).

a) P(B/A) P(B/A)=

𝑃(𝐴∩𝐵) 𝑃(𝐴)

=

0.25 0.50

= 0.50

b) P(B’/A) 𝑃(𝐴∩𝐵′)

P(B’/A)=

𝑃(𝐴)

=

0.25 0.50

= 0.50

c) P(A/B) P(A/B)=

𝑃(𝐴∩𝐵) 𝑃(𝐵)

=

0.25 0.40

= 0.625

d) P(A’/B) 𝑃(𝐴′∩𝐵)

P(A’/B)=

=

0.15

= 0.375 𝑃(𝐵) 0.40 e) Debido a que el individuo seleccionado tiene al menos una tarjeta, ¿Cuál es la probabilidad de que tenga una tarjeta Visa? 𝑃[𝐴∩(𝐴∪𝐵) 0.50 P(A/AUB)= = = 0.769 𝑃(𝐴∪𝐵) 0.65 53. Cierto taller repara componentes de audio y video. Sea A el evento en que el siguiente componente llevado a reparación es un componente de audio y sea B el evento en que el siguiente componente es un reproductor de discos compactos (así que el evento B está contenido en A). Suponga que P(A)= 0.6, P (B)= 0.05. ¿Cuál es la P (B|A)? P(B/A)=

𝑃(𝐴∩𝐵) 𝑃(𝐴)

=

𝑃(𝐵) 𝑃(𝐴)

=

0.05 0.60

= 0.0833

54. En el ejercicio 13, Ai = {Proyecto i otorgado}, con i= 1, 2,3. Use las probabilidades dadas allí para calcular las siguientes probabilidades. Expresa en palabras la probabilidad que calcule. P(A1)= 0.22, P(A2)= 0.25, P(A3)= 0.28, P(A1∩A2)= 0.11, P(A1∩A3)= 0.05, P(A2∩A3)= 0.07, P(A1∩A2∩A3)= 0.01 a) P (A2|A1) P(A2/A1)=

𝑃(𝐴1∩𝐴2)

=

0.11

0.50 𝑃(𝐴1) 0.22 Probabilidad condicional de A2 respecto a A1. b) P (A2 ∩ A3|A1) P(A2∩A3/A1)=

𝑃(𝐴1∩𝐴2∩𝐴3)

=

0.01

= 0.0455 𝑃(𝐴1) 0.22 Probabilidad de la intersección entre A2 y A3 dado que ocurrió A1.

c) P (A2 U A3 |A1) P(A2UA3/A1)=

𝑃[𝐴1∩(𝐴2∩𝐴3)

𝑃(𝐴1) 𝑃(𝐴1∩𝐴2)+𝑃(𝐴1∩𝐴3)−𝑃(𝐴1∩𝐴2𝐴3)

= =

𝑃[(𝐴1∩𝐴2)𝑈(𝐴1∩𝐴3)] 𝑃(𝐴1)

=

0.15

= 0.682 𝑃(𝐴1) 0.22 Probabilidad de la unión de A2 con A3 respecto a A1. d) P (A1∩A2∩A3|A1UA2UA3). P(A1∩A2∩A3/A1UA2UA3)=

𝑃(𝐴1∩𝐴2∩𝐴3)

=

0.01

= 0.0189 𝑃(𝐴1𝑈𝐴2𝑈𝐴3) 0.53 Probabilidad de todas las intersecciones dado que ocurrieron todas las uniones.