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Cinemática de Robots Industriales Robótica Móvil e Industrial

Cinemática de los Manipuladores La cinemática del robot estudia el movimiento del mismo con respecto a un sistema de referencia. Así, la cinemática se interesa por la descripción analítica del movimiento espacial del robot como una función del tiempo, y en particular por las relaciones entre la posición y la orientación del extremo final del robot con los valores que toman sus coordenadas articulares. Existen dos problemas fundamentales para resolver la cinemática del robot: Problema cinemático directo: consiste en determinar cual es la posición y orientación del extremo final del robot, con respecto a un sistema de coordenadas que se toma como referencia, conocidos los valores de las articulaciones y los parámetros geométricos de los elementos del robot Problema cinemático inverso: resuelve la configuración que debe adoptar el robot para una posición y orientación del extremo conocidas.

Parámetros Eslabón (D-H) Denavit - Hartenberg propusieron en 1955 un método matricial que permite establecer de manera sistemática un sistema de coordenadas (Si) ligado a cada eslabón i de una cadena articulada, pudiéndose determinar a continuación las ecuaciones cinemáticas de la cadena completa. Según la representación D-H, escogiendo adecuadamente los sistemas de coordenadas asociados para cada eslabón, será posible pasar de uno al siguiente mediante 4 transformaciones básicas que dependen exclusivamente de las características geométricas del eslabón. Permite referir las coordenadas del efector final (herramienta o mano) del robot con respecto a un sistema de coordenadas inercial fijo en la base del robot. Estas transformaciones básicas consisten en una sucesión de rotaciones y traslaciones que permitan relacionar el sistema de referencia del elemento i con el sistema del elemento i-1.

Parámetros Eslabón (D-H) Las rotaciones y traslaciones en cuestión son las siguientes: 1. Traslación del origen Oi-1 a lo largo de Zi-1 una distancia di hasta que coincida con Oi. 2. Rotación del eje Xi-1 alrededor del eje Zi-1 un ángulo θi hasta q coincida con la dirección Xi. 3. Traslación del origen Oi-1 a lo largo de Xi-1 (que ahora coincide con en dirección con Xi) una distancia ai (Esto hace que los orígenes de los dos sistemas coincidan). 4. Rotación del eje Zi-1 alrededor del eje Xi-1, un ángulo αi, ahora los dos sistemas están en coincidencia.

Parámetros Eslabón (D-H) Vista gráfica de los parámetros eslabón.

Zi-1 Yi-1

Xi-1

Zi Xi Yi

Ejes coordenados de las articulaciones i e i+1.

Parámetros Eslabón (D-H) Vista gráfica de los parámetros eslabón.

Zi-1 Yi-1

Xi-1

Zi Xi Yi

Ubicación del sistema de ejes coordenados de la muñeca con respecto al sistema de la base del robot.

Parámetros Eslabón (D-H) Vista gráfica de los parámetros eslabón.

Zi

Xi

Yi Zi Xi Yi Desplazamiento en dirección del eje Zi-1 una distancia di.

Parámetros Eslabón (D-H) Vista gráfica de los parámetros eslabón.

Eje + Zi

Yi Xi Zi Xi Yi

θ+

Rotación con respecto al eje Zi-1 un ángulo θi. Considere la regla de la mano derecha para saber el signo de este ángulo.

Parámetros Eslabón (D-H) Vista gráfica de los parámetros eslabón.

Zi Zi Yi Xi Xi Yi Desplazamiento a lo largo del eje Xi una distancia ai.

Parámetros Eslabón (D-H) Vista gráfica de los parámetros eslabón.

Eje +

Zi

Yi θ+

Zi Xi Xi

Yi

Rotación con respecto al eje Xi un ángulo αi. Considere la regla de la mano derecha para saber el signo de este ángulo.

Parámetros Eslabón (D-H) Vista gráfica de los parámetros eslabón.

Zi-1 Yi-1

Xi-1

Zi Xi Yi

Parámetros Eslabón Listos.

Parámetros Eslabón (D-H) Creación de matrices de transformación: i-1A i

i-1A i

i-1A i

= Rzi-1,θi x Tzi-1,di x Txi,ai x Rxi,αi

=

cosθi senθi 0 0

=

cosθi senθi 0 0

-senθi cosθi 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

1 0 0 0

-cosαi senθi cosαi cosθi senαi 0

0 1 0 0

0 0 0 0 1 di 0 1

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 1 0

ai 0 0 1

1 0 0 0

0 0 0 cosαi -senαi 0 senαi cosαi 0 0 0 1

senαi senθi ai cosθi -senαi cosθi ai senθi cosαi di 0 1

Donde di, θi, ai y αi son los parámetros eslabón para la articulación i.

Matriz de transformación de un sistema final al sistema base.

Parámetros Eslabón (D-H) θi: Es el ángulo que forman los ejes Xi-1 y Xi medido en un plano perpendicular al eje Zi1, utilizando la regla de la mano derecha. Se trata de un parámetro variable en articulaciones giratorias. di: Es la distancia a lo largo del eje Zi-1 desde el origen del sistema de coordenadas {Si-1} hasta la intersección del eje Zi-1 con el eje Xi. Se trata de un parámetro variable en articulaciones prismáticas. ai: Es la distancia a lo largo del eje Xi que va desde la intersección del eje Zi-1 con el eje Xi hasta el origen del sistema i-esimo, en el caso de articulaciones giratorias. En el caso de articulaciones prismáticas, se calcula como la distancia mas corta entre los ejes Zi-1 y Zi. αi: Es el ángulo de separación del eje Zi-1 y el eje Zi, medido en un plano perpendicular al eje Xi, utilizando la regla de la mano derecha.

Procedimiento de asignación de variables D-H. Numerar los eslabones comenzando con 1 (primer eslabón móvil DH1 de la cadena) y acabando con n (último eslabón móvil). Se numerara como eslabón 0 a la base fija del robot. DH2

Numerar cada articulación comenzando por 1 (la correspondiente al primer grado de libertad y acabando en n).

Localizar el eje de cada articulación. Si esta es rotativa, el eje será DH3 su propio eje de giro. Si es prismática, será el eje a lo largo del cual se produce el desplazamiento. DH4

Para i de 0 a n-1, situar el eje Zi, sobre el eje de la articulación i+1.

Situar el origen del sistema de la base (S0) en cualquier punto del DH5 eje Z0. Los ejes X0 e Y0 se situarán a través de la regla de la mano derecha con Z0. Para i de 1 a n-1, situar el sistema (Si) (solidario al eslabón i) en la intersección del eje Zi con la línea normal común a Zi-1 y Zi. Si DH6 ambos ejes se cortasen se situaría (Si) en el punto de corte. Si fuesen paralelos (Si) se situaría en la articulación i+1. DH7 Situar Xi en la línea normal común a Zi-1 y Zi. DH8 Situar Yi de modo con la regla de la mano derecha con Xi y Zi. DH9

Situar el sistema (Sn) en el extremo del robot de modo que Zn coincida con la dirección de Zn-1 y Xn sea normal a Zn-1 y Zn.

Procedimiento de asignación de variables D-H. DH10

Obtener Øi como el ángulo que hay que girar en torno a Zi-1 para que Xi-1 y Xi queden paralelos.

Obtener di como la distancia, medida a lo largo de Zi-1, que DH11 habría que desplazar (Si-1) para que Xi y Xi-1 quedasen alineados. Obtener ai como la distancia medida a lo largo de Xi (que ahora DH12 coincidiría con Xi-1) que habría que desplazar el nuevo (Si-1) para que su origen coincidiese con (Si). Obtener ai como el ángulo que habría que girar entorno a Xi DH13 (que ahora coincidiría con Xi-1), para que el nuevo (Si-1) coincidiese totalmente con (Si). DH14 Obtener las matrices de transformación i-1Ai. DH15

Obtener la matriz de transformación que relaciona el sistema de la base con el del extremo del robot T = 0Ai, 1A2... n-1An.

La matriz T define la orientación (submatriz de rotación) y DH16 posición (submatriz de traslación) del extremo referido ala base en función de las n coordenadas articulares.

Procedimiento de asignación de variables D-H.

Parámetros Eslabón (D-H) Ejemplo#1 Brazo robot plano. Articulaciones rotatorias y movimiento en un solo plano.

Tips para análisis Las coordenadas del extremo final de un robot dependen de la ubicación de la posición casa (home position), la cual es el punto de reposo u origen del robot que corresponde a valores angulares de 0. Representación esquemática de articulaciones:

Articulaciones Prismáticas Articulaciones Rotativas

Parámetros Eslabón (D-H) Ejemplo#2 Robot Cilíndrico

Z0 X0 d1

Y0

Parámetros Eslabón (D-H) Ejemplo#3

+ Z0

Robot SCARA

+ Y0

a2 X0

d1

a1

d1

+

Parámetros Eslabón (D-H) Ejemplo#3 Robot SCARA

Parámetros Eslabón (D-H) Ejemplo#4 Herramienta esférica.

Grados de libertad de la muñeca: • giro (hand rotate) • elevación (wrist flex) • desviación (wrist rotate)

Parámetros Eslabón (D-H) Ejemplo#4 Herramienta esférica.

z6 d6

y6

Parámetros Eslabón (D-H) Ejemplo#5

Parámetros Eslabón (D-H) Ejemplo#5

Articulación

a

α

d

θ

1

0

0

L1

θ1

2

0

90

d2

90

3

0

0

d3

0

4

0

0

L4

θ4

Parámetros Eslabón (D-H) Ejemplo#5 Cálculo de las matrices de transformación por articulación:

Cálculo de matriz de transformación total:

Parámetros Eslabón (D-H) Ejemplo#6 Robot IRB6400C

Parámetros Eslabón (D-H) Ejemplo#6 Y5 Y3 Z3

L3

Z5 X5

θ4

X3

L4

Z4 X2

Y2 Z2

L2

Z5

θ5

Y6

X4 Z6

θ3 L1

X6

θ2

X1

Z1

Z0

Y1

θ1

Y0 X0

Z0

θ6

a

α

d

θ

1

0

-90

0

θ1

2

0

90

L1

θ2

3

-L2

90

0

Θ3-90

4

0

-90

L3

θ4

5

0

90

0

θ5

6

0

0

L4

θ6

Parámetros Eslabón (D-H) Ejemplo#6 Cálculo de matrices de transformación por articulación:

Parámetros Eslabón (D-H) Ejemplo#6

Parámetros Eslabón (D-H) Ejemplo#7 Robot RV-2JA de Mitsubishi 5 grados de libertad

250 Y2 Y4

Z4

160 Y3

X4

a

α

d

θ

1

0

-90

300

θ1

2

250 0

0

θ2

3

160 0

0

θ3

4

0

90

0

θ4

5

0

0

72

θ5

Z2

X2 Z3

72

Y1

X3

J4

Z1

Y5

Z5 X5

300

X1 Z0

J5 X0

La imagen mostrada indica la posición casa (home position).

Y0

Parámetros Eslabón (D-H) Ejemplo#6 Cálculo de matrices de transformación por articulación:

Cθ1 0A1 =

Sθ1 0 Cθ1 0 0 -1 0 300 0 0 0 1

Cθ3 2A3 =

Sθ3 0 0

Cθ2

0 -Sθ1 0

1A2 =

- Sθ3 0 160Cθ2

Cθ3 0 0

0 160Sθ2 1 0 0 1

- Sθ2 0 250Cθ2

Sθ2 0 0

Cθ4 3A4 =

0T5

= A1*A2*A3*A4*A5

0 0

0 250Sθ2 1 0 0 1

0 Sθ4 0

Sθ4 0 –Cθ4 0 0 1 0 0 0 0 0 1

Cθ5 4A5 =

Cθ2

-Sθ5 0 0

Sθ5 Cθ5 0 0 0 0 1 72 0 0 0 1

Parámetros Eslabón (D-H) Ejemplo#7

Robot KUKA KR16

Parámetros Eslabón (D-H) Ejemplo#7

Parámetros Eslabón (D-H) Ejemplo#7

Parámetros Eslabón (D-H) Ejemplo#7

Parámetros Eslabón (D-H) Ejemplo#7

Parámetros Eslabón (D-H) Ejemplo#7

Parámetros Eslabón (D-H) Ejemplo#7

Parámetros Eslabón (D-H) Ejemplo#7

Parámetros Eslabón (D-H) Ejemplo#7

Trabajo de Investigación Investigación: Seleccionar un robot manipulador de alguna marca determinada(Kuka, Mitsubishi, Epson, etc.), obtener los planos constructivos con dimensiones, observar las características de movimiento (grados de libertad, tipos de articulaciones, etc.), realizar el análisis cinemático directo con los parámetros D-H dando valores reales. Obtener la matriz total de transformación basado en los parámetros D-H.