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TRANSFERENCIA DE MASA II

Ing. Carlos Angeles Queirolo

 En la Zona de Enriquecimiento:

MÉTODO DE MC CABE – THIELE El método desarrollado por Mc Cabe y Thiele está basado en la representación gráfica de las ecuaciones de los balances de materia en un diagrama de distribución.

L

flujo molar de líquido

V

flujo molar del vapor

 En la Zona de Empobrecimiento:

El método se desarrollará para una columna provista de un condensador total y considerando despreciable las pérdidas de calor fuera del sistema, estableciendo los balances de materia en estado estacionario para cada sección de la columna. Además se considerará que al interior de la columna, las corrientes de líquido y de vapor son saturadas.

L

flujo molar de líquido

V

flujo molar del vapor

 Las composiciones, referidas al componente más volátil,

se

expresan en fracción molar:

Consideraciones adicionales

x = fracción molar de A en el líquido y = fracción molar de A en el vapor

 Las etapas se numeran en orden creciente y en forma descendente. QC

 Relación de reflujo o relación de reflujo externa se define como R = L0 / D

1 2 3 4

F zF

D

L0

x0

xD

 Las entalpías molares se representan por H, con subíndice L ó V, según se trate de un líquido o de un vapor. HL = entalpía molar de un líquido HV = entalpía molar de un vapor

QR

B

.

xB

-1-

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Zona de Enriquecimiento

Balance de materia para el componente más volátil:

Balances de materia, en estado estacionario, entre una etapa “n” cualquiera ubicada en la zona de enriquecimiento, y el extremo superior de la columna:

V y1

Lo xo

+

D

.

xD

(2)

Dividiendo entre el flujo de vapor V:

(3)

Esta ecuación corresponde a la de una línea recta ( y = m . x + b) de pendiente L / V y con intercepto en el eje de ordenadas ( D / V ) . xD. y que se conoce como la Ecuación de la Línea de Operación para la Zona de Enriquecimiento.

D xD

Realizando un balance de materia total, alrededor del sistema de condensación:

n

F zF

xn

L D yn+1 = ---- . xn + ---- . xD V V

QC

1

V . yn+1 = L .

L

V

xn

yn+1

V = Lo + D

Utilizando la ecuación (4)

(4)

y la definición de relación de reflujo R =

L0/D, para las suposiciones del método, se tiene: Figura Nº 1 : Zona de Enriquecimiento

Balance de materia total: V = L

+

D

(1)

L = Lo = R . D

(5)

V = ( R + 1 ) . D

(6)

-2-

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Sustituyendo las ecuaciones (5) y (6) en la ecuación (4) : R xD yn+1 =------ . xn + -----R + 1 R + 1

Así se tienen dos puntos característicos: (7)

xn

= xD

xn = 0 Se obtiene una ecuación para la línea de operación de la Zona de Enriquecimiento, análoga a la anterior, y que también corresponde a la de una línea recta.

yn+1 = xD yn+1 =

xD / (R+1)

Zona de Empobrecimiento Balances de materia, en estado estacionario, entre una etapa “ m ” cualquiera ubicada en la zona de empobrecimiento y el extremo inferior de la columna:

Línea de operación de la Zona de enriquecimiento

F zF

m

xD/(R+1)

m+1 xB

L xm

V ym+1

xD

Figura Nº.2 : Línea de operación de la Zona de enriquecimiento

QR

Conociendo los datos de equilibrio para un sistema dado, representados de un diagrama de distribución, la línea de operación se puede representar fácilmente dando valores a xn para obtener valores de yn+1 , tal como se muestra en la figura Nº 2.

B xB

Figura Nº 3 : Sección de Empobrecimiento

-3-

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Balance de materia total: L = V

+

Balances de materia y energía en la bandeja de alimentación

B

(8) L HL f-1

Balance de materia para el componente más volátil: L . xm = V . ym+1 + B . xB

(9)

F zF HF

Dividiendo entre el flujo de vapor V:

ym+1

L B = ---- . xm - ---- . xB V V

(10)

V HV f+1

Figura Nº 4: Balances de materia y energía en la bandeja de alimentación

Balance de materia total, en estado estacionario:

Sustituyendo la ecuación (8) en (10) se obtiene una ecuación análoga a la anterior y que también corresponde a la de una línea recta:

ym+1

f

L HLf

Esta ecuación corresponde a la de una línea recta ( y = m . x + b) de pendiente L / V y con intercepto en el eje de ordenadas ( - B / V ) . xB y que se conoce como la Ecuación de la Línea de Operación para la Zona de Empobrecimiento.

L B = -------- . xm - ------- . xB L - B L - B

V HVf

F + L + V = L + V ( V - V ) = ( L - L ) -

(12)

F

(11)

Balance de energía, considerando despreciables las pérdidas de calor al exterior:

En este caso se tiene un punto característico:

F . HF + L . HLf-1 + V . HV f+1 = L . HLf + V . HV f xm

=

xB

ym+1

=

(13)

(14)

xB -4-

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Bajo las suposiciones del método de que no existe variación marcada de entalpías para corrientes de líquido y de vapor que proceden de etapas adyacentes: HVf

= HVf+1

HLf-1 = HLf



HV

(15)



HL

(16)

L - L V - V

= F . q = F . ( q - 1 )

(20) (21)

V = V - F (q - 1)

V=V L

L F

F . (q-1) F

Luego el balance de energía se puede expresar de la siguiente manera: F . HF + L . HL + V . HV = L . HL + V . HV

(17)

(V - V) . HV = (L - L) . HL - F . HF

(18)

L=L+F.q

V

L=L+F

Líquido subenfriado

Líquido en su punto de burbuja

V=V + F

Sustituyendo (13) en (18): L - L ------F

HV - HF = ----------- = q HV - HL

V

V=V +F(1-q)

L

L

(19)

F(1–q)

F

Esta ecuación representa el Factor q definido como la relación entre la cantidad de calor necesario por mol para llevar la alimentación desde su condición hasta la de vapor saturado y el calor latente molar de vaporización.

F

L=L

V

Vapor en su punto de rocío

De la ecuación (19) y relacionando con la ecuación (18) se obtienen relaciones para evaluar los flujos de líquido y vapor para zonas adyacentes:

L=L+F.q

V

Vapor Sobrecalentado

Figura Nº 5: Relación de flujos para diversas condiciones térmicas de la alimentación

-5-

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Zona de Enriquecimiento:

V=V+F(q–1) L F(q–1)

(22)

Zona de Empobrecimiento: V . ym+1 = L . xm - B . xB

(23)

En el punto de intersección de las líneas de operación:

F

yn+1 xn

F.q

L=L+F.q

V . yn+1 = L . xn + D . xD

= =

ym+1 = xm =

y x

Introduciendo estas coordenadas en las ecuaciones de las líneas de operación:

V

Mezcla Líquido - Vapor

Figura Nº 5: Relación de flujos para diversas condiciones térmicas de la alimentación

V . y = L . x + D . xD

(24)

V . y = L . x - B . xB

(25)

Restando ambas ecuaciones:

En la figura Nº 5 se presentan las relaciones entre los flujos de líquido y entre los flujos de vapor, para corrientes que proceden de zonas contiguas, en función de la condición térmica de la alimentación.

( V - V ) . y = ( L - L ) . x - ( B . xB + D . xD )

(26)

Introduciendo el factor q en estas ecuaciones y de un balance de materia total alrededor de toda la columna:

Intersección de las líneas de Operación Si se encuentra el punto de intersección de las dos líneas de operación, esto permitirá que se puede graficar la línea de operación de la Zona de Empobrecimiento en el diagrama de distribución. De las ecuaciones de los balances de materia en cada zona de la columna: -6-

F . ( q - 1 ) . y = F . q . x - F . zF

(27)

q zF y = ------ . x - -----q - 1 q - 1

(28)

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Esta ecuación se conoce como Ecuación de la línea q, que representa el lugar geométrico de los puntos donde es posible la intersección de las líneas de operación. Desde le punto de vista geométrico, corresponde a la ecuación de una línea recta con pendiente ( q / q – 1 ) y con intercepto (zF / q - 1 ).

Condición térmica Líquido por debajo del punto de burbuja Líquido en su punto de burbuja

HF

q

q/q-1

HF < H L

q>1

>1

HF = H L

q=1



HF = H V

q=0

0

HF > H V

q q/q-1 > 0

HL < H F < H V

1>q>0

Vapor en su punto de rocío Vapor por encima de su punto de rocío Mezcla líquido – vapor

Un punto característico de esta línea tiene como coordenadas: x = zF

y = zF,

mientras que la pendiente dependerá de la condición térmica de la alimentación: líquido saturado, líquido sub-enfriado, mezcla líquido y vapor, vapor saturado o vapor sobrecalentado, tal como se muestra en la figura Nº 6 . Conociendo la condición térmica de la alimentación, se pueden encontrar los datos necesarios para representar la línea q en el diagrama de distribución. La intersección de la línea q con la línea de operación de la Zona de Enriquecimiento, permite encontrar el punto de la línea de operación de la Zona de Empobrecimiento.

Líquido saturado Líquido subenfriado Mezcla líquido - vapor xD/(R+1) Vapor saturado

Vapor sobrecalentado xB

zF

xD

Figura Nº 7: Representación gráfica de las líneas de operación

zF Figura Nº 6 : Posición de la línea q en función de la condición térmica de la alimentación

-7-

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Determinación del número de etapas de equilibrio

1.0

0.9

Habiéndose determinado las ecuaciones para las líneas de operación y representadas en el diagrama de distribución, se procede a determinar el número de etapas de equilibrio.

0.8

0.7

0.6

Para tal efecto, se trazan escalones entre las líneas de operación y de equilibrio, comenzando por el punto de coordenadas ( xD , xD ) y finalizando en el punto de coordenadas ( xB , xB ) . El número de escalones trazados corresponderá al número de etapas de equilibrio incluyendo al recalentador.

0.5

0.4

0.3

0.2

0.1

0.0

El cambio de una línea de operación a otra dependerá de cada uno de las siguientes situaciones:

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

Figura Nº 8: Determinación del número de etapas de equilibrio – Posición óptima

1.0

a) Cuando existe libertad de diseño (diseño de una columna nueva), el plato de alimentación o carga será aquel para el cual el número total de etapas es el menor, en cuyo caso se denomina Plato óptimo de alimentación o carga. Apenas se rodea el punto de intersección de ambas líneas de operación, se cambia de una línea a otra, tal como se muestra en la figura Nº 8.

0.9

0.8

0.7

0.6

0.5

0.4

0.3

b) Cuando la columna se ha diseñado con un plato de alimentación en una zona determinada. En este caso el cambio de una línea de operación a otra se efectúa, de ser posible, en dicho plato de alimentación.

0.2

0.1

0.0 0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

Figura Nº 9: Determinación del número de etapas de equilibrio – Posición adelantada

-8-

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0.9

0.8

0.7

0.6

0.5

0.4

0.3

0.2

0.1

0.0 0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

Figura Nº 10: Determinación del número de etapas de equilibrio – Posición retrasada

-9-

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Algunos autores brindan valores de la relación de reflujo en función del Rmín, así tenemos:

VARIACIÓN DE LA RELACIÓN DE REFLUJO Para efectuar una separación determinada en una columna de destilación continua con rectificación se puede elegir arbitrariamente una relación de reflujo, dentro de ciertos límites como son la relación de reflujo mínima y la relación de reflujo total.

R = 1.10 - 1.50 Rmín

(Backhurst - Harker)

R = 1.20 - 1.50 Rmín

(Treybal)

R = 1.30 Rmín + 0.30

(Pavlov)

En la práctica la relación de reflujo varía dentro de este rango: RELACIÓN DE REFLUJO MÍNIMO

Rtotal > R > Rmín

La relación de reflujo mínimo se define como la máxima relación que requerirá un número infinito de etapas para obtener la separación deseada, por debajo de la cual no puede operar la columna de destilación.

De esta relación de reflujo dependerán los costos totales, es decir los costos fijos (costos de equipos) y los costos de operación. Para un nuevo proyecto la relación de reflujo que debiera utilizarse ha de ser la más económica, es decir aquella para la cual los costos totales son los menores. Esta se conoce como la relación de reflujo óptima, que se determina basándose en un balance económico. Costo anual

Para esta condición calentamiento en el condensador.

A medida que disminuye la relación de reflujo, la pendiente de la línea de operación de la zona de enriquecimiento se hace menor y se acerca hacia la curva de equilibrio; ocurriendo lo mismo con la línea de operación de la zona de empobrecimiento; por lo que el número de etapas de equilibrio se incrementa, a la vez que se hace mayor la capacidad de la columna.

Costo total

Costos de operación

Costos fijos

Rmínimo

Róptimo

corresponden la mínima capacidad de recalentador y de enfriamiento en el

Dependiendo de la forma de la curva de equilibrio, la relación de reflujo mínima puede determinarse de la siguiente manera:

R

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A partir de la pendiente:

a) Curva de equilibrio cóncava

xD - ya Rmín m = ------ = -------xD - xa Rmín + 1

En este caso la línea de operación que pasa por el punto de coordenadas (xD , xD) y por el punto de intersección de la línea q con la curva de equilibrio, corresponde a la mínima relación de reflujo.

xa , ya

El valor de Rmín se puede evaluar a partir de la intersección de la línea de operación con el eje de ordenadas o de su pendiente. A partir de la intersección con el eje de ordenadas: xD

Rmin + 1

Coordenadas del punto de intersección de la línea q con la curva de equilibrio (Pinch point)

Para un sistema con volatilidad relativa constante, estas coordenadas se pueden obtener analíticamente por intersección de la ecuación de la curva de equilibrio y de la línea q .

xD Rmin = ---- - 1

= -------

Rmín

xD - ya = ------ya - xa



Se obtiene la siguiente ecuación cuadrática:

y

q ( - 1) xa2 + [ q -  (q – 1) - ( -1) zF ] xa - zF = 0

También es factible determinar Rmín para sistemas con volatilidad relativa constante por combinación de las ecuaciones de la línea de operación, la línea q y de la línea de equilibrio, obteniéndose la siguiente ecuación:

ya  

Rmín . zF + q . xD  [ xD (q-1) + zF (Rmín +1) ] ------------------ = -----------------------Rmín (1-zF) + q (1–xD) (Rmín+1) (1–zF) + (q–1) (1-xD) xa

zF

xD - 11 -

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 Si la alimentación es un líquido saturado: 1 Rmín = ---- - 1

xD

---- zF

 (1 - xD) ---------(1 - zF)

 Si la alimentación es un vapor saturado: xD

1 Rmín = ---- - 1

 . xD (1 - xD) ------ - ------zF (1 - zF)

xD = -------Rmin + 1

- 1

Rmin

xD = ---- - 1



Convexa en la Zona Inferior

b) Curva de equilibrio convexa En este caso no se puede aplicar el método anterior, ya que la línea de operación cortaría a la curva de equilibrio en otros puntos intermedios indicando que el vapor procedente de una etapa sería más rico que el vapor en equilibrio con el líquido proveniente de la misma etapa, lo cual es imposible.

Convexa en la Zona Superior En este caso la línea de operación que pasa por el punto de coordenadas (xD , xD) y que es tangente a la curva de equilibrio, corresponde a la mínima relación de reflujo.

xB

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zF

xD

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El número mínimo de etapas de equilibrio ( para reflujo total ) se determina gráficamente en un diagrama de distribución, trazando escalones entre la línea diagonal y la curva de equilibrio; comenzando desde el punto de coordenadas ( xD , xD ) y finalizando en el punto de coordenadas ( xB , xB ).

RELACIÓN DE REFLUJO TOTAL A medida que la relación de reflujo aumenta, la relación L/G también aumenta y esto se traduce en un alejamiento de las líneas de operación de la curva de equilibrio, por lo que el número de etapas de equilibrio para una separación dada se hace cada vez menor.

Si para un determinado sistema la volatilidad relativa es constante o aproximadamente constante, se puede determinar analíticamente el

Cuando se incrementa la relación de reflujo, de modo tal que tiende a un valor infinito (R ), entonces la relación L/V = 1, por lo que las líneas de operación de ambas zonas de la columna coinciden con la línea diagonal de 45°. Para esta condición, el número de etapas de equilibrio es mínimo.

número de etapas de equilibrio mediante la Ecuación de Fenske.

xD 1 – xB log ------ . ------1 - xD xB Nmín = ---------------------log 

1.0 y

0.9

0.8

0.7

0.6

0.5

0.4

0.3

0.2

0.1

0.0 0.0

0.1

xB

0.2

0.3

0.4

0.5

zF

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

xD x

- 13 -

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