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• cristhian yanza belduma

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MOMENTO DE INERCIA 9.27 Para el área sombreada que muestra la figura, determine el momento polar de inercia y el radio de giro polar con respecto al punto O.

Desarrollo θ R = a (1 + ) π a

K= θ 2a = a + k θ θ a[1+ ] π

π

Jo = ∫ ∫ θ

r 3 drdθ

0 θ

π r

Jo =∫0 [4]a[1+π] dθ π1

=∫0

4

1

π

θ π

(a(1 + ))4 dθ

u=1+

θ

= ∫0 a4 (1 + )4 dθ 4 π

du =

πa4 π 4 ∫ u du 4 0 u5

=[20]π0 [

πa4 (2)5 ] 20

-

πa4 20

πa4 32− πa4 20

=

=

31πa4 20

31 4 πa 186πa4 93 k = √20 =√ = √ a2 3 7 3 140πa 70 6 πa

k = 1.15a

dθ π

θ π

9.3 Para el área sombreada que muestran las figuras, determine por integración directa el momento de inercia con respecto al eje y.

y = kx 2 b=ka2 k=

b a2

y=

b 2 x a2

dA = (h − y)dx dIy = x 2 (b − y)dx = x 2 (b − a

Iy = ∫ dIy = ∫ (bx 2 − 0

Iy =

2 3 a b 15

b 2 x ) dx a2

b 4 1 1 x ) dx = a3 b − a3 b 2 a 3 5

TEOREMA DE EJES PARALELOS 9.37 Para el área sombreada de 4 000 mm2 que se muestra en la figura, determine la distancia d2 y el momento de inercia con respecto al eje centroidal paralelo AA si se sabe que los momentos de inercia con respecto a AA y BB son, respectivamente, 12 106 mm4 y 23.9 106 mm4 , y que d1 25 mm.

Desarrollo IAA′ = I̅ + Ad12 IBB′ = I̅ + Ad22 IAA′ − IBB′ = A(d12 − d22 ) d22 = d12 −

IAA′ − IBB′ A

=(25mm)2 −

(12−23.9)106 mm2 4000mm2

=3600mm2 I̅ =12X106 mm4 − (4000mm2 )(25mm)2

d2 = 60.0mm I̅ = 9x106 mm4

9.39 El área sombreada es igual a 50 in2 Determine sus momentos centroidales de inercia Ix̅ e Iy̅ , si se sabe que Iy̅ 2Ii̅ y que el momento polar de inercia del área con respecto al punto A es JA 2 250 in4

Desarrollo A = 50 in2 Iy̅ = 2Ix̅ , JA= 2250in4 JA= JC̅ + A(6in)2 2250in4 = JC̅ + (50in2 )(6in)2 JC̅ = 450in4 JC̅ = Ix̅ + Iy̅ 450in4 = Ix̅ + 2Ix̅

Ix̅ = 150.0 in4 Iy̅ = 2Ix̅ = 300in4

Iy̅ = 2Ix̅

RADIO DE GIRO Para el área sombreada que muestran las figuras, determine el momento de inercia y el radio de giro con respecto al eje y.

1 𝐴 = 𝑎𝑏 3

𝑑𝐼𝑦 = 𝑥 2 𝑑𝐴 = 𝑥 2 (𝑦2 − 𝑦1 )𝑑𝑥

𝑎 𝑏 1 𝑏 𝑏 𝑎 5 𝑏 𝑎 𝐼𝑦 = ∫ 𝑥 2 ( 1 𝑥 2 − 2 𝑥 2 )𝑑𝑥 = 1 ∫ 𝑥 2 𝑑𝑥 − 2 ∫ 𝑥 4 𝑑𝑥 𝑎 𝑎 0 0 𝑎2 𝑎2 0 7

𝑏2 𝑏 𝑎5 2 1 3 3 𝐼𝑦 = 1 ∗ − 2∗ = ( − ) 𝑎3 𝑏 = 𝑎 𝑏 7 𝑎 5 7 5 35 𝑎2 (2) 𝑏

𝑘𝑦2

3 3 𝐼𝑦 (35 𝑎 𝑏) = = 𝑎𝑏 𝐴 3

9 k y = a√ 35