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• WALSEN HELIAN

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CICLO PRE UNIVERSITARIO 2007-I SEMINARIO Nº 05

6.

GEOMETRIA 1.

2.

Un poliedro convexo tiene 5 caras, entonces el número de vértices pueden ser. A) 6 ó 7 B) 7 ó 8 C) 4 ó 5 D) 5 ó 6 D) 8 ó 9

5 . Calcule el número de 3

caras, si el número de vértices es mayor que 6 y menor que 10. A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 D) 9 3.

4.

10 u 3 20 u D) 3

A)

7.

En un poliedro la razón entre el número de aristas y el número de caras es

Un poliedro está limitado por n regiones triangulares y 3n regiones pentagonales. Calcule el número de aristas, si el número de vértices es 32. A) 40 B) 54 C)64 D) 18 E) 68

8.

En un tetraedro O–ABC, M y N son OB y AC. puntos medios de m OAB  m OCB  90 , OB=100u, AC=80u. Halle la longitud de MN . A) 12u B) 16u C) 18u D) 25u E) 30u

CEPRE-UNI

13 u 3

C)

16 u 3

E) 5u

En un tetraedro M–ABC, el ángulo triedro M es trirectángulo . Demostrar :

Demostrar que para el poliedro no convexo mostrado se cumple el teorema de Euler V+C=A+2

9.

En un poliedro convexo O–ABC: OA  17 , OB=OC=6, AB=AC=5 y BC=8. Halle la distancia trazada del punto medio de la altura OH a la cara OBC. 5 6 5 D) 4

A)

10.

Perfil D

Frontal

Horizontal

12 , halle la suma de los caras es 7

5.

B)

se y la la

2 A 2ABC  A 2AMC  ABMC  A 2AMB

En un poliedro se cumple que el número de caras es igual al número de vértices. Si la razón entre el número de aristas y el número de números de caras, aristas y vértices. A) 24 B) 26 C) 28 D) 30 E) 32

En un tetraedro M–ABC cumplen: MA2+MB2+MC2=40u2 AB2+BC2+AC2=20u2. Halle distancia de M al baricentro de región ABC.

2 5 5 5 E) 2

B)

C)

5 3

Las caras de un poliedro convexo son: 8 regiones triangulares, 9 regiones cuadrangulares y K regiones pentagonales. Si el poliedro tiene 33 vértices, entonces halle K. A) 10 B)12 C)14 D) 15 E) 18

GEOMETRIA

1

CICLO PRE UNIVERSITARIO 2007-I SEMINARIO Nº 05

11.

En un tetraedro regular de arista a. Calcule el área de la región determinada por un plano que contiene al punto de intersección de las alturas del tetraedro y es paralelo a una de las caras. 9a2 3 64 13a2 D) 3 64

A)

12.

2 2 3 E) Arc tg 2

D) Arc tg

14.

4 3

CEPRE-UNI

 4  7  1 E) Arc cos    3

16.

 1  6

D) Arc cos  

En un tetraedro regular de arista a, halle la distancia entre la altura del tetraedro y la altura de una de las caras, si estas se cruzan. A)

a 2 7 4a

D) 17.

7

B) E)

2a 7 a

C)

3a 7

7

En un tetraedro regular de arista a, halle el radio de la esfera ex–inscrita relativa a una de sus caras. A) D)

a 6 3a 2 6

B) E)

2a 6 4a

C)

3a 6

6

18.

En un hexaedro regular ABCD– EFGH halle la medida del ángulo diedro que forman los planos EBC y EDG. A)45 B) 60 C)53 D)75 E) 90

19.

En un hexaedro regular de arista a, halle la distancia entre las diagonales de dos caras adyacentes, si estas se cruzan.

E) 2

En un tetraedro regular A–BCD en BC y BD se ubican los puntos P y Q respectivamente tal que BQ  2(QD)  2(BP)  4 . Halle el área de la región APQ. A) 5 2 B) 5 3 C) 4 3 D) 6 3 E) 10 3

 3  7

B) Arc cos  

C) Arc cos  

2 3

En un tetraedro regular V–ABC, AB  6 , se traza la altura VH y con diámetro VH se traza la semicircunferencia que intercepta a la arista VB en el punto P. Calcule la longitud de la proyección de VP sobre VH. A) 0,5 B) 1 C) 2 D)

 2  3

7a2 11a2 3 C) 3 64 64 17a2 E) 3 64

En un tetraedro regular ABCD se ubica un punto P en la altura AH de la cara ADC, 3(AP)=2(PH). Halle la medida del ángulo diedro determinado por los planos BPD y BCD. A) Arc tg 2 B) Arc tg 3

En un tetraedro regular, halle la medida del ángulo que determinan dos medianas de sus caras, si estas se cruzan. A) Arc cos  

B)

C) Arc tg

13.

15.

A)

a 3

B)

2a 3

C)

GEOMETRIA

3a 3

2

CICLO PRE UNIVERSITARIO 2007-I SEMINARIO Nº 05 4a 5a

D)

20.

D)

22.

23.

3

a

B)

2 a

E)

5

a 3 2a

C)

1    2 5

25.

En un poliedro regular de 30 aristas cuya longitud mide l . Calcule el área de la superficie poliédrica, si tiene el menor número de vértices. A) 5l 2 3 B) 6l 2 3 C) 7l 2 3 D) 8l 2 3 E) 9l 2 3

26.

¿Cuántos planos de simetría tiene el octaedro regular? A)6 B) 4 C) 8 D) 9 E) 12

27.

Halle la suma de las áreas de las secciones que determinan los planos de simetría en un hexaedro regular de arista a. A) 3a2  2 2  1 B) 3a2  1  2  C) 3a2  2  2  D) 3a2 2 E) 9a2

28.

Indique el valor de verdad de las proposiciones: I. El tetraedro regular tienen centro de simetría II. El tetraedro regular tiene 6 planos de simetría III. El hexaedro regular tiene 9 ejes de simetría IV. El hexaedro regular tiene 9 planos de simetría A)VVVV B)FFVV C)FVVF D)FVFV E) FVVV

29.

Indique verdadero o falso: I. En todos los poliedros regulares las aristas cruzadas son ortogonales II. En el icosaedro regular y en el dodecaedro se trazan 36 y 100 diagonales respectivamente

a 6

6

Halle le número de diagonales del poliedro que resulta de unir los puntos medios de las aristas de un hexaedro regular. A)20 B) 30 C)35 D)40 E) 48 En un octaedro regular P–ABCD–Q, en las aristas PB y PD se ubican los puntos M y N tal que MN // BD y en CQ se ubica el punto F. Halle el ángulo que determinan MN y AF . A)30 B) 45 C)60 D)75 E) 90 En un octaedro regular de arista a, halle la longitud del segmento que une un vértice con el baricentro de la cara opuesta. A)

a 4

a 2 E) 2a 2

B)

D)2a 24.



E) Ar cos 

3

En un hexaedro regular de arista a, halla la distancia entre la diagonal del hexaedro y la diagonal de una cara, si estas se cruzan. A)

21.

E)

C)a

Halle la medida de un ángulo diedro en el icosaedro regular de dos caras adyacentes. 

 5 5  B) Ar cos    3 5    5  1 C) Ar cos   D) Ar cos    5  6 

A) Ar cos  

CEPRE-UNI

GEOMETRIA

3

CICLO PRE UNIVERSITARIO 2007-I SEMINARIO Nº 05

III.

El poliedro conjugado del octaedro regular es el hexaedro regular A)VVV B)VVF C)VFV D)FVV E) FFV

30.

31.

Un tetraedro regular O' A 'B'C' es el simétrico respecto a un plano perpendicular al plano que contiene a su base, de otro tetraedro regular O– ABC. Si BC es paralelo al plano de simetría y dista 2u de el y AB  2 3u . Halle O' A (en u). A) 6 2 B) 4 2 C) 8 2 D) 6 3 E) 4 3

35.

Halle el área de la sección determinada por un plano de simetría de un tetraedro regular de arista a.

36.

Si un prisma tiene 3n aristas. Halle el número de caras. A) 3n 1  2 B) 3n  5 C) 3n 1  2 D) 3n  2  2 E) 3n  2

37.

La suma diedros de 2160°. Halle prisma. A)6 D) 9

A)

a2

2 2 a2 3 D) 4

32.

a3 72 a3 D) 8

a2 2

C)

a2 2 3

a2 2 E) 5

a3 12 a3 E) 27

B)

C)

A 2 3 A D)  1 3

A 1 3 A E) 3

B)

C)

D)

CEPRE-UNI

21 2 2 27 2 E) 2

B)

17 5 2

C)

15 3 2

de todos los ángulos un prisma oblicuo es el número de caras del B) 7 E) 10

C) 8

ABCDEF  A 'B'C'D'E'F'

38.

es un prisma oblicuo donde la distancia de de la AA ' a DD' es el cuádruplo distancia de BB' a EE' y la suma de estas distancias es igual a la longitud de una arista lateral e igual a 10. La suma de las áreas de B'BEE ' y A ' ADD' es la mitad del área lateral del prisma, Halle el perímetro de la sección recta. A)18 B) 20 C) 22 D) 24 E) 28

39.

Calcule el área lateral de un prisma oblicuo (en cm2), cuya sección recta es un hexágono regular de 12 3cm2 de área. La altura del prisma mide 6 3cm y además se sabe que las

a3 24

A 2 3

En un octaedro regular M–ABCD–N el área de la región determinada por un plano que contiene el punto medio

El volumen de un octaedro regular P–ABCD–Q es 72 2 . Calcule el área de la sección que determina, un plano paralelo a PQ y AB , si contiene al punto medio de AP . A) 7 2

En un prisma de A aristas, halle el número total de caras. A)

34.

B)

Calcule el volumen del poliedro que se obtienen al unir un vértice de un cubo con los centros de las caras que concurren en el vértice opuesto, si la arista del cubo mide a. A)

33.

de MB y paralelo a la cara MCD es 9 3 . Halle el volumen del octaedro. A) 30 3 B) 32 3 C) 34 3 D) 36 3 E) 38 3

GEOMETRIA

4

CICLO PRE UNIVERSITARIO 2007-I SEMINARIO Nº 05

aristas forman ángulos de 60° con la base. A) 130 2 B) 136 2 C) 144 2 D) 145 2 E) 150 2 40.

41.

En un prisma triangular regular el volumen es 36m3. Calcule el área de la sección paralela (en cm2) a una de las caras laterales que distan 1 cm. de la arista opuesta, si el lado de la base mide 4cm. A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7

Una región cuadrada en el que se ha trazado la diagonal, se dobla de modo que forma la superficie lateral de un prisma cuadrangular regular y la diagonal del cuadrado se ha convertido en una línea quebrada no plana conformado por cuatro segmentos. Halle la medida del ángulo que determinan dos de los segmentos consecutivos. 

1 4

B) 11 3

D) 14 3 44.

C)

25 3 2

E) 16 3

En un prisma triangular regular

ABC  A 'B 'C' en el cual todas sus

aristas son congruentes, se ubica D en la prolongación de AB de modo que

AD 2  . Halle la medida del BD 1

ángulo diedro determinado por la base ABC y el plano que pasa por D, B' y el punto medio de AC . A) 15 B) 30

mC'BD  mBC'C.

Por los puntos D, C’ y B pasa un plano y determina en el prisma una sección de área 9m2. Si la altura AT de la base ABC mide 4m, halle el volumen del prisma (en cm2). A) 32 B) 36 C) 40 D) 42 E) 50



3  55

C) Arc cos   

E) Arc cos  



2  41

D) Arc cos  

7  19

45.

Calcule el volumen de un paralelepípedo rectangular, si las longitudes de 3 aristas que concurren en un mismo vértice están en progresión aritmética, la suma de las longitudes de dichas aristas es 24cm y el área total del sólido es 300 cm2. A) 156cm3 B) 160cm3 C) 168cm3 D) 170cm3 E) 176cm3

46.

En el rectoedro ABCD–EFGH dos caras adyacentes son regiones cuadradas, se ubica O punto medio CP 1  . Se PG 3

A) 120

B) Ar cos   

de BF , P  CG tal que

C) 130

D) 145

traza un plano que pasa por los puntos P, Q y E. Halle el área de la sección producida en el rectoedro si la arista mide K.





1 5

E) Ar cos    

43.

A) 10 3

Se tiene un prisma triangular recto ABC  A 'B'C' y en la arista lateral AA ' se ubica el punto D tal que

m C'DB  90,

42.

la longitud del segmento que une el punto O con el centro de la cara ACFD es 5cm. Entonces el área de la región triangular OFA (en cm2) es:

En un prisma triangular recto ABC– DEF se cumple AB=4 cm., BE=6cm y DC=10cm. O es punto medio de BE y

CEPRE-UNI

A)

K2 2

B) k2

C)

GEOMETRIA

3k 2 2

5

CICLO PRE UNIVERSITARIO 2007-I SEMINARIO Nº 05 K 2 21 K 2 22 D) E) 4 5

C) E)

47.

En un paralelepípedo cada una de las aristas mide K, en uno de los ángulos poliedros, cada una de sus caras miden 60. Halle el volumen del prisma. 3K 3 4 K3 3 D) 3

A)

48.

L3 2 3L3 D) 43

L3 16 5L3 E) 71

B)

C)

2L3 27

K3 2 D) K 3 5

B)K3

A)

S1S2S3 2

CEPRE-UNI

S22  S1  S2  7

Por cada una de las aristas de un tetraedro se ha trazado un plano paralelo a la arista opuesta. Calcule la relación entre el volumen del sólido obtenido y el volumen del tetraedro. A)2:1 B) 3:1 C) 4:1 D) 5:2 E) 7:2

53.

El área total de un paralelepípedo rectangular es 142cm2. La diagonal de la base mide 58 cm. y las tres dimensiones suman 15cm, calcule el volumen del paralelepípedo en cm3. A) 90 B) 100 C) 105 D) 10 E) 110

54.

En un paralelepípedo rectangular la arista lateral mide (4-x) y las aristas de la base miden x y 3x. Halle el área lateral del prisma, si el volumen es máximo (en cm2). A)

S12S32 S1  S2

4

52.

E) K 3 6

B)

S12  S1  S2 

Las diagonales de tres caras diferentes de un paralelepípedo rectangular miden 61cm, 74cm y 85cm . Calcule su volumen (en cm3). A)200 B) 210 C) 215 D)230 E) 250

C) 2K3

Las bases de un paralelepípedo recto, son rombos cuyas regiones tienen áreas S1. Las áreas de las regiones de las secciones que determinan los planos diagonales son S2 y S3. Halle el volumen del paralelepípedo.

D)

51.

k3 2 2

En un paralelepípedo rectangular ABCD  A 'B'C 'D' se traza BH  AC, y Si AM  A 'C C'F  A 'C . BH=AM=MF=K, entonces el volumen del paralelepípedo es: A)

50.

C)

Se tiene una lamina cuadrada de lado L, se construye una caja abierta cortando en las esquinas regiones cuadradas. Determine la mayor capacidad de la caja. A)

49.

K3 5 7 3 K E) 2

B)

S1S2S3 3

232 7

D) 27 55.

B)

241 11

C)

256 9

E) 30

En un tronco de prisma recto cuadrangular con caras laterales paralelas, se determina interiormente por otro tronco cuyas bases tienen vértices en los puntos medios de los lados de las bases del primer tronco. ¿Qué relación de volúmenes existe

GEOMETRIA

6

CICLO PRE UNIVERSITARIO 2007-I SEMINARIO Nº 05

entre el tronco original y el tronco formado? 1 2 2 D) 1

2 3 4 E) 3

A)

56.

B)

V S1  S2 2V C) 3(S1  S2 ) V E) 2S1  3S2

59.

2V S1  S2 3V D) 2(S1  S2 )

En

el

ABCD–EFGH  FG en la base inferior  , FG=12, EF  2 3 y AE=8. Sobre el plano que contiene a FG se construye el triángulo equilátero FGN cuyos lados FN y GN intersecan a EH en P y Q respectivamente. Halle el volumen de BMNFG si M  AH y MP  EH .

242 3 4 121 2 E) 3

C)

60.

61.

5 2 2

B)

3b2  a2 18a2b2 3

D)

a2  b2 18a2b2 3

18a3b 3

3a2  b2 18a3b 3 2a2  b2

2a2  b2

En la pirámide regular O–ABCD, la distancia de B a OD es 4 2 y las regiones AOC y ABCD son equivalentes. Halle el volumen de la pirámide.

D)

62.

E)

18ab3 3

A) 32 3

121 3 3

En un tronco de prisma recto (ABCD es un rectángulo) cuya diagonal mide 5, y AE y CG miden 4 y 1. Halle AB para que el volumen sea máximo. A)3 B)4 C) 2

CEPRE-UNI

E)

D) 112 2

ABCD  EFGH

D) 5

C)

rectoedro

B)

En una pirámide regular triangular los inradios de la base y de una cara lateral miden a y b. Calcule el área lateral. A)

B)

A) 112 3

58.

3 2

ABCD–EFGH es un tronco de paralelepípedo oblicuo. Si el área de ADHE es S1, el área de FBGC es S2 y el volumen del tronco es V; calcule la distancia entre las caras laterales opuestas ya citadas. A)

57.

C)

B) 40 3

160 10 3

E)

C)

40 10 3

40 3 3

En el interior de un tetraedro regular se ubica un punto P. Si la suma de las distancias P a las 4 caras es 20, calcule la longitud de la arista del tetraedro. A) 6 6 B) 8 6 C) 10 6 D) 12 6 E) 15 6 En

la

pirámide

 ABCD es trapecio con

O–ABCD

AB // CD  AB=12

y CD=6. Si el poliedro se proyecta sobre un plano perpendicular a AB , el área de la proyección es 20u 2, halle el volumen de esta pirámide (en u2). A)100 B)110 C)120 D)140 E) 150

GEOMETRIA

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CICLO PRE UNIVERSITARIO 2007-I SEMINARIO Nº 05

65. 63.

Se traza desde A (punto exterior a un plano P) una perpendicular AB a dicho plano tal que con los puntos B, C y D que pertenecen al plano se determina el triedro equilátero A–BCD con caras de 60°. Si BC  6, halle el volumen de la pirámide ABCD. 2 3 5 D) 3

A)

B) 1 E)

C)

4 3

1 3 1 3 C) R 2 3 2 3 E) R 3 3

1 3 R 2 2 2 3 D) R 2 3

3 A) R 3

66.

3 4

Halle el volumen de una pirámide regular cuadrangular cuya base está inscrita en una circunferencia de radio R y en cuyos diedros básicos miden 45°. B)

En el tetraedro O–ABC se ubican los puntos D,E,F,G y H en OA,OB,OC, BC y AC respectivamente

64.

En la figura, SAOB=SBOC=SAOC y SABC=27u2. Halle el área total de la pirámide O–ABC.

tal

y Si los volúmenes de FH // OA. O–DEF y C–HFG son V1 y V2, Calcule el volumen de O–ABC. A) 3 V1V2 B) 3 V1  3 V2

O

A

C

B

A) 30  3  1 C) 24  3  1 E) 18  3  1

CEPRE-UNI

B) 27  3  1 D) 21 3  1

67.

que

FE // BC,DF // AC,FG // OB

V12  3 V22

C)

3

D)

E)

 3 V1  3 V2 

V1V2 V1  V2

3

Las pirámide O–ABC y O  A 'B'C' OA y OA', tienen sus aristas OB y OB', OO y OC' opuestas por el vértice O y sus bases contenidas en planos paralelas. Si la distancia entre las bases es 9 cm., SABC=25u2 y SVA 'B ' C '  4u2 , calcule la suma de los volúmenes de O–ABC y O  A 'B 'C'. 395 3 u 7 393 3 u D) 7

A)

B)

397 3 399 3 u C) u 7 7

E) 55u3

GEOMETRIA

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CICLO PRE UNIVERSITARIO 2007-I SEMINARIO Nº 05

72. 68.

Si O–ABCD es una pirámide regular cuadrangular y un plano secante intercepta a OA en E, a OB en F, a OC en G y a OD en H, demostrar que: 1 1 I 1    OE OG OF OH

69.

V  V1V2

73.

En el tronco de pirámide regular cuadrangular ABCD–EFGH, m FHD  45. ¿Cuál es la razón entre el área de la región BDHF y el área lateral del tronco. 3 A) 3 3 D) 4

6 B) 2 6 E) 4

71.

ON OP OA   . 2 3 4

A)

3 C) 6

1 9

D)

2 29 5 E) 34

B)

4 31

C)

3 29

24 4

3

45 4 27 D) 4

A)

75.

B) 11 E)

C)12

35 3

Las aristas de la base de una pirámide triangular regular miden a y sus ángulos diedros laterales miden 90° cada uno, halle el volumen del sólido piramidal. a3 8 a3 D) 2 12

A)

CEPRE-UNI

la

Halle el volumen del prismatoide cuyas vistas horizontal y frontal se muestran a continuación.

2

Un tronco de pirámide cuyas bases son regiones cuadradas y una cara lateral es perpendicular a las bases, está circunscrito a una esfera. Si los perímetros de las bases suman L y el producto de las longitudes de dos aristas básicas distintas es K, calcule el volumen del tronco de pirámide.

Calcule

relación entre los volúmenes de los sólidos O–MNP y MNP–ABC.

A un tronco de pirámide de bases paralelas cuyas áreas son S1 y S2 (S1>S2) y se le intercepta con un plano paralelo a dichas bases determinando sobre la altura del tronco segmentos de longitudes m y n. La distancia m se mide a partir de la base menor. Demostrar que el área S de la sección determinada por el plano secante es:  m S1  n S2 S   m n 

En el tetraedro regular O–ABC se ubican sobre OA,OB y OC los puntos M, N y P tales que OM 

74. 70.

En el tronco de pirámide de bases ABC  A 'B'C' paralelas los volúmenes de B' ABC y A  A 'B'C' son V1 y V2. Demuestre que el volumen de ACB 'C' es:

6 3 a 24 3 3 E) a 12

B)

C) 6 6a3

GEOMETRIA

9

CICLO PRE UNIVERSITARIO 2007-I SEMINARIO Nº 05

76.

77.

78.

Halle la distancia del vértice A al plano VCD en una pirámide regular V–ABCD de altura 4u y área de su base 36u2 (en u). A)2 B) 4 C)5.2 D)4.8 E) 5

Las caras laterales de una pirámide O–ABC forman con la base ángulos de 45°, si AB=13u, BC=15u, AC=14u entonces el volumen del sólido piramidal O–ABC es: A)80u3 B) 100u3 C) 112u3 D)116u3 E) 120u3

82.

Por una arista básica de una pirámide cuadrangular regular de área lateral 4b2 se trazan un plano que determina en la cara opuesta una región triangular de área a2, halle el área de la superficie lateral de la pirámide determinada por encima del plano P1.  2 A)ab B) a  b C) a2+b2

Se traza un plano secante paralelo a la cara ABE y secante a las aristas AC, AD, ED y BC de una pirámide regular A–BCDE de volumen V en los puntos P, Q, R y T respectivamente. Si AP=PC calcule el volumen del sólido QDR–PCT. 6V 17 5V D) 16

7V 16 3V E) 7

B)

C)

4V 7

2

D)(a+b) 83.

Un sólido piramidal cuyas aristas laterales de longitudes 2l , forman con la base trapecial isósceles ángulos de 60°. Si los tres lados de menor longitud en la base miden l cada uno, entonces el volumen del sólido piramidal es: l3 3 2 3l 3 D) 2

A)

80.

B) 3u3C)4u3 E) 6u3

81.

A)

79.

A)2u3 D)5u3

Halle el recorrido mínimo que debe hacer una hormiga en ir y regresar al punto A pasando por el punto C y no por la base de una pirámide regular V–ABCD de arista de longitud l . A) 2l B) 3l C) l 2 D) 2l 3 E) l 3

B) E)

1l 3 3

C)

3l 3 4

2l 3

Una hoja cuadrada ABCD es doblada por PD un ángulo de 30° en donde P  BC, 3PB=PC=3u. Halle el volumen del sólido limitado por la pirámide cuya base es la región ABPD y el vértice es la posición final del punto C.

CEPRE-UNI

E) (a-b)2

En las aristas laterales OA y OD de un pirámide regular O–ABCD de volumen V y aristas congruentes. Se ubican los puntos F y E tal que DE=5EO y OF=FA, el plano determinado por E, F y B intercepta a la arista OC en G halle el volumen del sólido O–EFBG V 10 3V D) 40

A)

84.

2

V 5 5V E) 6

B)

C)

4V 30

Halle el volumen del sólido piramidal triangular, cuyas caras laterales de arista común de 8u y perpendiculares entre sí, miden S1 y S2 . S1S2 6 SS D) 1 2 3

A)

B) S12  S22 E)

C)

S1S2 12

S1S2

GEOMETRIA

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CICLO PRE UNIVERSITARIO 2007-I SEMINARIO Nº 05

85.

La suma de las alturas de dos pirámides con vértice común y bases paralelas y aristas colineales en correspondencia es de 10u, las áreas de las bases miden 2 y 8u2. Halle la suma de los volúmenes de las pirámides. A) 18u3 B) 20u3 C) 25u3 D)

86.

100 3 u 3

V 6 V D) 3

V 4 V E) 5

B)

90.

C)

V 2

C) V  V1V2 E)

Un plano P intercepta a las aristas laterales de una pirámide triangular regular de aristas congruentes determinándose por encima de P una nueva pirámide cuya suma de las inversas de sus aristas laterales es 2u, calcule la longitud de la porción de altura que determina el plano P en la pirámide inicial. A) 2 3

Por un punto de una arista lateral de una pirámide triangular de volumen V se trazan dos planos uno paralelo a una cara lateral y el otro paralelo a la base determinándose dos nuevas pirámides de volúmenes V1 y V2, halle una relación entre V1, V2 y V. A) 3 V  3 V1  V2

88.

80 3 u 7

Halle el volumen del sólido cuyas aristas resultan de unir los puntos medios de las aristas de una pirámide triangular de volumen V. A)

87.

E)

D)6V E) 7V 89. Un plano P intercepta a las arista laterales OA, OB, OC, OD de una pirámide regular O–ABCD de aristas congruentes en los puntos E, F, G y M respectivamente, si las distancias de O a EG y FM son iguales y EG mide 6u. Calcule FM A)3u B)4u C)5u D)6u E) 7u

V1  V2 2 3 D) V  3 V1  3 V2

B) V 

V12  V22 2

2 7 3 E) 2

B)

C)

1 6 2

D) 3 91. Halle el volumen mínimo limitado por una pirámide regular cuadrangular cuyas aristas laterales pasan por los vértices de la cara superior de un cubo de arista a y cuya base esta en el mismo plano que contiene a la cara interior del cubo. 5 6 9 3 D) a 4 3 A) a

2 3 4 3 E) a 5 3 B) a

3 2

3 C) a

En una pirámide V–ABC se ubica el punto D en VC y E en la mitad de CB tal que el plano que contiene al triángulo ABD sea plano bisector del ángulo diedro V–AD–E; la prolongación de la altura trazada desde V hacia el plano bisector intercepta a la cara ABC en G punto medio de AE , el volumen de ABGD es V, calcule el volumen de V–ABC. A)3V B)4V C)5V

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