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• CésarAugusto Sánchez Cardozo

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CICLO PRE UNIVERSITARIO 2006-I SEMINARIO Nº 01

GEOMETRIA 1.

Indique el valor de verdad. Todos los polígonos son conjuntos no convexos II. Alguna diferencia de dos regiones cuadrangulares no convexas es un conjunto convexo III. Algunas regiones triangulares en las que se omite el circuncentro son conjuntos convexos A)VVV B)VVF C)VFV D) FVV E) FFV

5.

I.

2.

3.

Indique el valor de verdad: I. El exterior de un plano es un conjunto II. Una recta L de un plano H separa a este plano en dos conjuntos H 1 y H2 tales que H1 H2   III. Una región cuadrada, sin dos vértices es un conjunto convexo. A) FFF B) FVF C) FFV D) VFF E) VVF

Indique el valor de verdad: La reunión de dos semiplanos es un conjunto convexo II. La intersección de una región cuadrangular de lados congruentes es siempre un conjunto convexo III. Dos rectas secantes pueden determinar coplanarmente en un circulo como mínimo un conjunto convexo A) FVF B) VVF C) FVV D) FFV E) FFF I.

6.

Indique el valor de verdad : El máximo y mínimo número de conjuntos convexos que se obtienen al intersectar tres circunferencias son 6 y 2 II. Una región poligonal equilátera es un conjunto convexo III. Tres puntos determinan un conjunto convexo A) VFF B) VFV C) FVF D) FVV E) VVF I.

7.

Indique el valor de verdad : Alguna unión de tres regiones poligonales no convexas es un conjunto convexo II. Una región triangular es la intersección de tres conjuntos convexos determinados por los puntos interiores de los ángulos del triángulo III. La intersección de un conjunto convexo con uno no convexo es un conjunto no convexo A) VFV B) VVV C) FVV D) FVF E) VVF I.

Indique el valor de verdad: I. Una región triangular, dos de cuyos lados se han omitido es un conjunto convexo II. Todos los ángulos son conjuntos no convexos III. La reunión de dos semirectas opuestas que tienen el mismo origen es un conjunto convexo A) VVF B) VFF C) FFV D) FVF E) FFF 8.

4.

Indique el valor de verdad: I. La intersección de dos semicírculos siempre es un conjunto convexo II. Una región pentagonal sin dos vértices siempre es un conjunto no convexo III. Una región triangular sin una altura es un conjunto no convexo A) VVV B) VVF C) VFF D) FFV E) FVF

CEPRE-UNI

Indique el valor de verdad : I.

Si M es una región triangular y N es el ortocentro del triángulo, entonces M–N es un conjunto no convexo

II. La intersección de 3 planos es un conjunto convexo III. La intersección de dos sectores circulares es un conjunto convexo A) VVV B) FVF C) VFV D) VFF E) FVV

GEOMETRIA

1

CICLO PRE UNIVERSITARIO 2006-I SEMINARIO Nº 01 9. Indique el valor de verdad : I. La semirrecta es un conjunto no convexo II. Si la intersección de dos conjuntos es un conjunto no convexo, entonces ninguno de los dos conjuntos es conjunto convexo III. El exterior de un plano es un conjunto convexo A) VVV B) VFV C) FVF D) VVF E) FFF

Es verdad: Toda región triangular es un conjunto convexo II. El interior de un ángulo es un conjunto convexo III. La intersección de dos conjuntos no convexos es un conjunto no convexo A) I y II B) Sólo II C) Sólo III D) I y III E) I, II y III

D) FFV 13.

De las proposiciones: I. Sean T1 y T2 las regiones triángulos ABC y ABD; entonces (T1 T2) es un conjunto convexo II. La intersección de un círculo y un cuadrado, siempre es un conjunto convexo III. Si la reunión de dos conjuntos de puntos es un conjunto convexo, entonces al menor uno de éstos es un conjunto convexo ¿Cuáles son verdaderas? A) I, II y III B) I y III C) II y III D) Sólo II E) Ninguna

14.

Indique el valor de verdad de : I. Ninguna intersección de dos conjuntos no convexos es un conjunto convexo II. Alguna reunión de dos conjuntos no convexos es un conjunto convexo III. Toda diferencia de dos conjuntos no convexos es un conjunto no convexo. A) VVF B) FVF C)VVF D) FFF E) VVV

15.

En la figura, la mABC=40. Calcule Xº.

10.

I.

11.

Dadas las siguientes proposiciones. ¿Cuáles son verdaderas? I. Si al círculo se le extrae un punto cualquiera entonces siempre queda un conjunto no convexo II. Si A es un conjunto convexo y B es un conjunto no convexo entonces A – B es un conjunto no convexo III. Todos los ángulos son conjuntos no convexos A) Sólo I B) Sólo II C) I, II y III D) Sólo III E) I y II

E) FFF

B

12.

Indique el valor de verdad : I.

L a diagonal de un cuadrado divide a su interior en dos regiones II. Si C es una región circular y T un triángulo tal que T  C entonces C–T es una región convexa. III.Sea L una recta y T un triángulo contenidos en un plano P tal que L  T   , entonces L y T determinan una partición de P de 5 elementos. A) VVV B) VFF C) FVV CEPRE-UNI

Xº º º   A

A) 40 D) 60

C

B) 45 E) 65

C) 50

GEOMETRIA

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16.

En un triángulo rectángulo isósceles ABC recto en B, E es el excentro relativo a AC se traza BM  EA . Si BM=2u. Calcule AE (en u) A) 2 2 B) 2 2  2 C) 4 D) 4 2

E) 4 2  2

17. En un triángulo ABC, las bisectrices: interior de A y exterior de C, se intersecan en E; las bisectrices de los ángulo ABC y AEC, se intersecan en Q y determinan los puntos F y J en AC . Demostrar que el triángulo FQJ es isósceles. 18. En el triángulo ABC (AB=BC), D  AB y perpendicular a DE es AC E en AC . La prolongación de





DE intercepta a un rayo CX que forma con CA un ángulo congruente con el ángulo BCA, en el punto F. Si AD=a y CF=b, calcule BD. ab 2b  a 2a  b A) B) C) 2 2 2 ba D) E) b  2a 2

19. En un triángulo ABC, AB=3, AC=11. Si mABC  90 . Halle BC, si es el mayor número entero posible. A) 8 B) 9 C) 10 D) 11 E) 12 20. En el triángulo ABC (recto en B), R, S y T son puntos de AC , AB y BC respectivamente, tales que : mSTB  mACB y mSRA  2m ACB . Si RS=3 y ST=4, halle AC. A) 10 B)11 C)9 D)8 E) 12

CEPRE-UNI

21. En el exterior de un triángulo ABC y relativo al lado BC se ubica el punto P tal que AB=BC=AP. Si m  ABC=36 y m  PAC=12, calcule m  APC. A) 12 B) 18 C) 20 D) 22 E) 24 22. En el gráfico, halle X en función de A. A E



D



B

I

a a

b

b

C

X F

A 3 A D) 45  4 A) 15 

B) 45 

A 5

C) 45 

A 4

E) 45  A

23. En un triángulo PQR se trazan las bisectrices interiores QE, RF, se ubica el punto S exterior y relativo a QR tal que la mQFS  3mSFR, mRES  3mQES, Calcule la m  QPR. Si además mQPR  mFSE  180

A) 100 D) 80

B) 110 E) 60

C) 90

24. En un triángulo ABC se traza la bisectriz BD de manera que AB=DC si m  BAC=2m  BCA entonces la mABD es: A) 60 B) 45 C) 36 D) 30 E) 22,5 GEOMETRIA

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25. En un triángulo rectángulo ABC, se ubica un punto F interior tal que: AB=BC=FC y m  BAF=15°. Halle : mFCA A) 7,5 B) 15 C) 22,5 D) 30 E) 36 26. En un triángulo ABC, m  BAC=3m  BCA y BC=15. Halle el menor valor entero que puede asumir AB A) 9 B) 5 C) 8 D) 6 E) 7 27. Se tienen los triángulos ABC y AMN,donde M  AC y B  AN, además MBC  NBC; BMN  NMC Si mBAC   . Halle la medida del ángulo que determinan las bisectrices exteriores de los ángulos N y C.    A) 90  B) 135  C) 125  4 4 2   D) 90  E) 135  2 4 28. Sobre el lado AB de un triángulo isósceles ABC (AB=BC) se construye un triángulo equilátero ABE, de modo que los puntos E y C se encuentran en el mismo semiplano con respecto a AB . Si m ABC =20, entonces la mAEC es: A) 10 B) 12 C) 15 D) 18 E) 20 29. En un triángulo rectángulo ABC (recto en B), E es un punto exterior relativo a lado Si BC . mEAC  mBCA  mECB  15 , y AB=K. Halle CE K K K 2 A) B) C) 3 2 2 D) K 2 E) K 3

CEPRE-UNI

30. En un triángulo ABC, recto en B, la mediatriz de AC intersecta en D a BC . Si DC=2(BD). Halle la m  ACB. A) 15 D) 25

B) 18 E) 30

C) 20

31. En un triángulo equilátero ABC, se ubican los puntos P en AB y Q en BC de modo AP  BQ. Halle la medida del ángulo que determinan AQ y CP. que

A) 15 D) 45

B) 20 E) 60

C) 30

32. En un triángulo ABC, se trazan los segmentos BE y BF en el exterior tales que  ABE   CBF y BA=BE, BC=BF; si m  ABE= 46, calcule la medida del ángulo obtuso determinado por AF y CE . A) 128 D) 142

B) 132 E) 134

C) 140

33. En un triángulo ABC, F es un punto interior al triángulo, si m  BAF=18, m  FAC=27, m  ACF=45 y AF=BC. Calcule la m  FBC. A) 18 D) 36

B) 27 E) 54

C) 45

34. Sea el triángulo ABC con AE y CF trazados en el exterior estando E y F en el mismo semiplano con respecto a AC . Si mBAE = mBCF=90, AE=AB, BC=CF, EG y FH perpendiculares a la





  AC G y H  AC recta ,

GE=7u

y

FH=10u, Calcule AC. (en u) A) 15 B) 17 C) 18 D) 16 E) 14

35. En el interior de un triángulo ABC se ubica un punto P de tal manera que : AB=PC, AP=8, m  BAP=m ACP . Halle AC. A) 12 B) 14 C) 16 D) 20 E) 24

GEOMETRIA

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36. En un triángulo equilátero ABC se trazan las cevianas interiores BL y CN tal que dichas cevianas interiores determinan un ángulo cuya medida es 60. Si BN=3 y LC=7, calcule AB. A) 3 B) 5 C) 7 D) 9 E) 10

41.

37. En un triángulo ABC, AB= 2.5, BC=8.5, se traza la mediana BM, de tal manera que BM pertenece a los naturales. Halle el menor valor de BM. A) 3 B) 6 C) 4 D) 7 E) 5

42.

38. En un triángulo ABC se traza la mediana tal que BM, mMBC  2mMCB , si mBAM  30, calcule m  BCM. A) 15 B) 30 C) 45 D) 60 E) 75 39. En un triángulo ABC, se traza las cevianas tal que BD y BE mBAC  2mEBC, AB=DC=AE, BD=BE. Halle la m  BAC. A) 30 B) 45 C) 60 D) 72 E) 85 40. Se

tiene el grafico 1 mTAF  mATF  90, 2 1 mTSA  mTAS  mATS 2 AT=FS. Halle la mAFS .

TAF

En un triangulo rectángulo ABC, se traza la ceviana AD, de tal manera mDAC  2mBAD. que Si mBED  mDFC  90°, DF=7u. Halle BE E  AD y F  AC .



A) 2 D) 3,5



B) 2,5 E) 4

C) 3

En un triángulo ABC. ,se traza BH AH  BC H  AC ,





mABH mHBC mBAC   . 5 3 2 Calcule la m  BAC. A) 25 B) 28 C) 30 D) 36 E) 45 43. En el interior de un triángulo ABC se ubica un punto M tal que: m BCM  3 , AB=AM=MC. Si m CAM  2 mABC  13 . y Calcule . A) 5 B) 6 C) 10 D) 12 E) 15 44. En un triángulo rectángulo ABC donde la mB = 90, se ubica un punto M en su interior de manera que: AM  BC , BM  MC y la mMAC= mMCB. Halle m  AMB. A) 80 B) 75 C) 90 D) 120 E) 85 45. Si AQ = BC. Calcule: x

A

B Xº

F T

S

A) 5 D) 30

CEPRE-UNI

B) 9 E) 45

C) 15

A

54º

24º Q

A) 5 D) 12

B) 6 E) 16

C) 8

GEOMETRIA

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C

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bisectriz exterior del ángulo A intersectándose en el punto M, por donde se traza una paralela al lado AC intersectando a la bisectriz interior del ángulo A en el punto N y a los lados AB y BC en los puntos P y Q respectivamente. Si: AP=5u, QC=7u. Halle MN. (en u) A) 10 B) 11 C) 12 D) 13 E) 14

46. En un triángulo rectángulo ABC recto en B, se traza la altura BH, las bisectrices de los ángulos ABH y HBC intersectando al lado AC en los puntos M y N respectivamente. Si: AB=8u, BC=15u. Halle MN ( en u) A) 3,5 B) 4 C) ,5 D) 6 E) 5,5 47.

48.

En un triángulo ABC, se traza la bisectriz interior del ángulo A y la bisectriz exterior del ángulo C se intersectan en E, las bisectrices de los ángulos ABC y AEC se intersectan en Q e intersecan al lado AC en M y N. Si MN=8cm. Calcule MQ (en cm). A) 6 B) 8 C) 9 D) 10 E) 12 En un triángulo ABC se traza la bisectriz exterior BM  M  AC  , L es

mediatriz de BM tal que L BC :  P . Si m  BAC=40. Halle m  CMP A) 20 B) 30 C) 40 D) 50 E) 60 49.

En un triángulo ABC se traza la mediana BM, la mABM  2mMBC y BC=2BM. Halle la medida del ángulo ABM. A) 60 B) 30 C) 72 D) 36 E) 45

50.

En un triángulo ABC isósceles AB=BC se trazan las bisectrices interiores del ángulo A y exterior del ángulo C intersectándose en P, luego se traza PH perpendicular a BC . Si BH=3 cm. Halle AC (en cm) A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 8

51.

En un triángulo ABC, se traza la bisectriz interior del ángulo C y la

CEPRE-UNI

52.

En un triángulo ABC, se trazan las alturas que se BE y AF intersecan en H; sean M y N los puntos medios de AC y BC, las mediatrices de AC y BC se intersecan en O. Demostrar que: BH=2(OM)

53. El ángulo exterior B de un triángulo

ABC mide 50, si las mediatrices de AB y BC cortan a AC en P y Q. Halle la m  PBQ A) 70 B) 75 C) 80 D) 85 E) 90 54. En un triángulo ABC recto en B, en la mediatriz de AC se ubica el punto E exterior al triángulo, se traza EF  BC , F  BC , BF=6u y FC=2u. Si M es el punto medio de AC y AM=ME. Calcule AB (en u) A) 4 B) 4 2 C) 3 6 D) 4 3 E) 8 55. En un triángulo ABC (recto en B), AE y CF son bisectrices y EM y FN son

perpendiculares

 M y N en AC

.

Si

a

AC

AB=c,

BC=a,

AC=b, calcule MN. A) c+a–2b B) c+a–b C) c+b–a D) a+b–c E) c+2a–b

GEOMETRIA

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

exterior al triángulo tal que F  L . Si m  FCB=30. Calcule la mCBF A) 20 B) 25 C) 30 D) 32 E) 36

56. En el triángulo ABC, AB=BC, AD es bisectriz interior y en el triángulo ADC se traza la bisectriz DM (interior) y 

DN (exterior) con N en AC . Si AD=5u, calcule MN (en u) A) 10 B) 12 C) 8 D) 9 E) 11

62. En un triángulo rectángulo ABC, en AC y BC se ubican los puntos D y E respectivamente, de manera que la mEAB =

57. En un triángulo ABC, AB 4), las prolongaciones de los lados determinan un conjunto de ángulos. Si la razón entre la suma GEOMETRIA

9

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de medidas de dichos ángulos y la suma de medidas de los ángulos internos del polígono dado es 6 7 , halle el número de diagonales del polígono. A) 65 B) 77 C) 90 D) 104 E) 119 87. Desde (n–5) lados consecutivos de un polígono de n lados se trazan (6n+5) diagonales medias. Calcule el número total de diagonales de este polígono. A) 65 B) 77 C) 90 D) 104 E) 119 88. Desde (n–4) vértices consecutivos de un polígono convexo de n lados, se trazan (4n+3) diagonales. Calcule n. A) 10 B) 12 C) 14 D) 16 E) 18 n vértices consecutivos de 2 un polígono convexo de n lados se n2 trazan (  4 ) diagonales. Halle el 4 número de diagonales medias del polígono. A) 36 B) 45 C) 55 D) 66 E) 78

89. Desde

90. En un polígono regular ABCD ……., las prolongaciones de AB y ED determinan un ángulo de medida 126. Halle cuántas diagonales se pueden trazar desde 8 vértices consecutivos. A) 108 B) 100 C) 106 D) 112 E) 110

ABC, ME=a, FD=b, NL=c. Calcule BQ

A) a +b+c B) a+b – c C) a –b+c D) 2a–b–c E) 2 a+b – c 92. En un cuadrilátero FGST la mTFS  mGSF  mFTS  15 , la m  FGT=90. Calcule la m  GFS. A) 15 B) 22,5 C) 30 D) 35 E) 45 93. En un cuadrilátero convexo ABCD, la m  ABC=m  ADC=90. Si AD=DC, AB=a, BC=b, DH es perpendicular a BC (H  BC ). Halle DH. A) a+b B) 2a–b C) 2b–a ab ab D) E) 2 4 94. En un cuadrilátero ABCD: mBAD  3 AB=CB=BD, mADC 3  . Halle mBCD  2 y mABC 2 m D  mB . A) 10 B) 30 C) 45 D) 60 E) 72 95.

B

91. En la figura M, N y F son puntos N medios M de los lados del triángulo D

E CEPRE-UNI A

96.

Se tiene el cuadrilátero ABCD, de diagonales perpendiculares, si la mBAC  20 , la mDAC  10 , la mBCA  50 . Halle la m  BDC. A) 60 B) 50 C) 30 D) 40 E) 45 En un cuadrilátero ABCD se cumple que AB  AD , la mBAD  60 ,

L

Q F

C

GEOMETRIA

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CICLO PRE UNIVERSITARIO 2006-I SEMINARIO Nº 01 mCAD  14 , mBCA  30 , halle la mBDC .

A) 90 D) 86

B) 88 E) 94

C) 92

97. En un cuadrilátero convexo ABCD se cumple AB  BC , AC  AD , mCBD mBAC mCAD   . 9 2 6 Halle m  BDC A) 42 B) 48 C) 52 D) 36 E) 44 98. En un cuadrilátero convexo se cumple que BC  CD, mBCA  2mCBD y AB  BD . Halle el menor valor entero de mABD , si mBDC  34 . A) 48 B) 50 C) 36 D) 45 E) 24 99. En un cuadrilátero RTSF la mTRS  m FRS  12 , mTSR  39 , mRSD  18 , se ubica en RS el punto H de modo que mTHS  90 , HS=2u. Calcule FS (en u) A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7 100. Decir cuales son verdaderos I. Si las diagonales de un cuadrilátero son perpendiculares y congruentes el cuadrilátero es un cuadrado. II. Si las diagonales de un trapecio son congruentes el trapecio es isósceles III. Las bisectrices interiores de un romboide determina un rectángulo A) I, II B)I, III C)II, III D) Solo I E) I, II, III 101. Exteriormente a acutángulo ABC CEPRE-UNI

un se

cuadrados de lados AB, BC y AC cuyos centros son D, E y F respectivamente. Si DE=6 cm. Halle BF (en cm). A) 5 B) 6 C) 8 D) 10 E) 12 102. Se tiene un triángulo ABC, se construyen los cuadrados ABEF, BCLJ y ACPQ exteriores al triángulo y de centros O1, O2 y O3 respectivamente. Demostrar que : O1O2  BO3 y O1O2  BO3 103. En un cuadrado ABCD en su interior se ubica el punto F tal que: AB=BF, m  AFD = 75, calcule la m  FBD. A) 10 B) 12 C) 15 D) 18 E) 20 104. En la figura se muestra dos pentágonos regulares. Halle X.

X

A) 60 D) 78

B) 72 E) 80

C) 75

105. Sea el paralelogramo ABCD: AB=2X–Y, BC=3X+Y2, CD=X+Y y AD=X+2Y2. Halle el perímetro. A) 100 B) 101 C) 102 D) 103 E) 104

triángulo dibujan GEOMETRIA

11