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• Julio Guadalupe Halanocca

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CICLO PRE UNIVERSITARIO 2006-II

GEOMETRIA 1. Indique el valor de verdad de las siguientes proposiciones: I. En todo poliedro se cumple que el número de caras aumentado en su número de vértices es igual a su número de aristas aumentado en dos unidades. II. Existen poliedros no convexos cuyas caras son todas regiones poligonales convexas. III. Un poliedro que tiene sus ángulos diedros y sus ángulos poliedros congruentes y cuyas caras son regulares y congruentes es un poliedro regular. A) VVV B) FFV C) FVF D) VVV E) FFF 2. ¿Cuántos poliedros se pueden formar con 6 triángulos equiláteros de lado L y un hexagono regular de lado L. A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4 3. ¿Cuántos vértices tiene el poliedro formado por 6 regiones triangulares, 10 regiones cuadrangulares y 20 pentagonales? A) 40 B) 42 C) 45 D) 47 E) 48 4. En un poliedro convexo, el número de caras, más el número de vértices y más el número de aristas es 28. Si los ángulos en todas las caras suman 1800°. Halle el número de caras. A) 8 B) 9 C) 10 D) 12 E) 14

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SEMINARIO Nº 05

5. En un poliedro convexo se cumple C+V+A=30. Donde C representa el número de caras. V el número de vértices y A el número de aristas. Si las medidas de todas las caras suman 1800°, halle el número de caras. A) 7 B) 8 C) 9 D) 10 E) 12 6. Un poliedro convexo tiene 33 vértices y esta conformado por 8 caras que son regiones triangulares, 9 caras que son regiones cuadrangulares y m caras que son regiones pentagonales. Calcule el número de diagonales del poliedro. A) 250 B) 390 C) 410 D) 528 E) 560 7. Un poliedro convexo tiene 33 vértices y está conformado por 8 caras triangulares, 9 caras cuadrangulares y m caras pentagonales. Halle m. A) 9 B) 10 C) 11 D) 12 E) 13 8. Un poliedro convexo está formado por n regiones cuadradas y 4n regiones triangulares. Siendo 8 el número de vértices, halle: n. A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6 9. Las caras de un poliedro convexo son regiones pentagonales; si las caras fueran regiones triangulares, se necesitarían 20 caras más para que el número de aristas no varíe. Cuántas caras tiene el poliedro. A) 20 B) 25 C) 30 D) 35 E) 40

GEOMETRIA

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10.

Dadas las proyecciones H, F y P de un sólido. Calcule su número de caras.

H

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13.

Un poliedro convexo tiene cinco caras. Entonces el número de vértices es: A) 5 B) 6 C) 7 D) 5 ó 6 E) 6 ó 7

14.

Indique el valor de verdad de las siguientes proposiciones: I. Sólo existen 3 pares de poliedros regulares conjugados. II. Si se unen los puntos medios de las aristas de un hexaedro regular, se obtiene un poliedro de 12 caras. III. En todo poliedro regular, la intersección de los ejes de simetría contiene a su centro de simetría A) VVV B) VVF C) FVF D) VFF E) VFV

15.

En un tetraedro regular, calcule la medida del ángulo diedro que forman dos caras adyacentes.

P F

A) 8 D) 12

11.

B) 9 E) 14

C) 10

Se tiene un prisma de C caras y V V C V C  4 C4 C4 B) C) 3C  8 2C C4 E) C

vértices, simplifique: E  C4 C4 C4 D) 3C

A)

12.

En un plano P se ubica un cuadrilátero ABCD, y en el interior del cuadrilátero se ubica el cuadrilátero A ' B ' C ' D ' . Exterior al plano P se ubican los puntos E y E ' de manera que EE '  P, EE ' P   , siendo E más alejado que E ' respecto al plano P. Halle la relación entre el número de vértices (V), número de caras (C) y número de aristas (A) en el poliedro E ABCD D 'C ' B ' A ' E ' A) V+C=A+2 B) V–C=A+1 C) V+C=A+3 D) V+C=A+4 E) V–C=A+2

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2 3  1 C) Arc cos   4  1 E) Arc cos   6

A) Arc cos  

 1 3  1 D) Arc cos   5

B) Arc cos  

16.

En un tetraedro regular , la suma de las longitudes de sus aristas es 48 cm. Halle el área de la superficie total en cm2. A) 24 3 B) 32 3 C) 48 3 D) 64 3 E) 80 3

17.

En un tetraedro regular ABCD, G es el baricentro de la cara DAC. En la altura del tetraedro relativo a la cara BAD se ubica M tal que la mAMD  90 . Luego se traza GM cuya prolongación intercepta a BC en F. Si GM=12, halle MF. A) 6 B) 7,5 C) 9 D) 10,5 E) 12 GEOMETRIA

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22. 18.

En un tetraedro regular ABCD, de arista a, se traza la altura DH. Halle la distancia entre DH y BC . a 3 6 a 3 D) 2

A)

19.

a 2 6 a 6 D) 4

a 6 3

B C

a 2 4 a 2 E) 3

B)

C)

a 6 6 a D) 3

a 3 3 a E) 2

B)

a 3 3

A) 30° D) 60° 23.

C)

a 2 2

Se proyecta un octaedro regular de arista a sobre un plano que contiene a una de sus caras. Halle el área de la proyección. a2 3 2 5 D) a2 3 2

A)

B) a2 3 E) 3a2 3

C)

5 2 a 3 8

D

A

En un tetraedro regular ABCD tiene por arista a, halle la distancia entre dos aristas opuestas. A)

21.

C)

En un octaedro regular de arista a, halle la longitud del segmento que une los baricentros de dos caras consecutivos. A)

20.

a 2 4 a 2 E) 2

B)

En la figura mostrada se tiene un dodecaedro regular, calcule el valor del ángulo que forman AB y CD .

B) 45° E) 90°

En un tetraedro regular ABCD, de arista a, se ubican los puntos medios M y N de AB y AD . Halle el área de la sección que produce un plano que contiene a M, N y es paralelo a AC . a2 8 a2 D) 4

a2 6 a2 3 E) 3

A)

24.

C) 53°

B)

C)

a2 2 4

Se traza un plano secante a un tetraedro ABCD, tal que la sección determinada sea paralela a las aristas AB y CD. Si estas aristas son cruzadas y forman un ángulo que mide  . Halle el área máxima de la sección determinada. AB.CD Sen 2 AB.CD C) Sen 8

A)

AB.CD Sen 4 AB.CD D) Sen 16

B)

E) AB.CD Sen

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GEOMETRIA

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25.

Halle la distancia entre dos caras opuestas de un octoedro regular de arista a. a 2 6 a 6 D) 4

A)

26.

3 8 5 D) 8

2 3 2 E) 5

B)

C)

 1 3  1 C) Arc cos   2  1 E) Arc cos     5

16 5 19 D) 5

En un hexaedro regular de arista 2u. Halle la menor longitud del recorrido que se puede realizar pasando por todas sus caras. Partiendo de un extremo y llegando al otro extremo de la misma arista. A) 6 B) 8 C) 10 D) 12 E) 14

30.

Dado un tetraedro regular de arista “a”, determine el área total del poliedro que se forma al unir los puntos medios de los lados de cada cara del poliedro dado. Area del tetraedro es St.

1 2

St 4 2St D) 3

C)

18 5

St 2

32.

En un octaedro regular ABCDEF de diagonales AC, BD y EF, M es punto medio de DF , calcule la medida del ángulo formado por las rectas EM y AF. 3 5 10 5 C) Arc Cos 10

A) Arc sen

E) Arc cos

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C)

En un cubo ABCD–EFGH, Q es punto medio de HG ; L, M y N son los centros de las caras BCGF, ADHE, EFGH respectivamente, calcule la medida del ángulo que forman LQ y MN . A) 60 B) 75 C) 85 D) 90 E) 121

 1  3  1 D) Arc cos     2

17 5 21 E) 5

B)

31.

B) Arc cos   

B)

St 3 4 E) St 5

A)

La longitud de la arista de un octaedro regular es el triple de la longitud de la arista de un icosaedro regular. Halle la relación entre las áreas de las superficies de tales poliedros. A)

29.

a 6 6

En un octaedro regular, calcule la medida del ángulo diedro que determinan dos caras adyacentes. A) Arc cos  

28.

C)

Se tienen dos tetraedros regulares donde la altura de uno de ellos es la mitad de la arista del otro. ¿En qué relación están sus áreas?. A)

27.

a 3 4 a 6 E) 3

B)

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B) Arc cos D)

Arc sen

3 5 5

GEOMETRIA

3 5 10

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3 5 5

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33.

34.

35.

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Halle el valor de verdad: - El tetraedro tiene 6 planos de simetría. - El hexaedro regular tiene 9 planos de simetría. - El octaedro regular tiene 9 planos de simetría. A) VVV B) VVF C) VFF D) FFF E) FVV

Indique el valor de verdad de las siguientes proposiciones: I. Todos los poliedros regulares tienen centro de simetría. II. El octaedro regular tiene 9 planos de simetría. III. El icosaedro regular tiene 15 ejes de simetría A) VFV B) VVF C) VVV D) VFF E) FVV

1 6 1 D) 2

A) D)

a

2

4 a

2

6

6

B)

a

2

3

C)

3

a

2

Se tiene un rectángulo ABCD, tal que

3 2 S 8 3 2 D) S 4

A)

2

a 2

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A

M

B

3 3 S 8 3 3 E) S 4

B)

C)

3 5 S 8

Un tetraedro regular ABCD tiene su cara BCD, contenida en un plano P. Si A ' B 'CD es el tetraedro simétrico con respecto a un plano Q perpendicular al plano P. Si la arista del tetraedro mide a. Halle el área de la región ABB ' A ' . 2a 2 3 D) 2a2

A) eje

AB 1  , AB ' CD ' es el simétrico de BC 2

ABCD respecto al lado AC, si: BC AD '  M y el área de la región rectangular ABCD es igual a S2. Halle MD ' .

3

En la figura se tiene un hexaedro regular y uno de sus ejes de simetría . AM=2MB; si M ' es el simétrico de M con respecto al eje en que relación divide M ' a la arista que lo contiene.

1 3

38.

39. 36.

C)

En un hexaedro regular ABCD– EFGH con centro de simetría en O se ubican M en DH al que DM=MH y P en AM tal que AP=3(PM). Se traza una recta L perpendicular al plano AMG y que pase por O. Si la longitud de la arista del hexaedro es 8 cm. y P ' es el simétrico de P recto a L, halle la distancia de P ' a la arista FG en cm. A)1,5 B) 2 C) 2,5 D) 3 E) 3,5

2

E)

B)

37.

En un tetraedro regular de arista a, se traza un plano de simetría por una arista, halle el área de la sección que determina el plano. 2

1 4 2 E) 3

A)

2 2 2 a 3 E) 2 2a2

B)

GEOMETRIA

C)

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2 2 a 2

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40.

Si A es el número total de aritas de un prisma. Halle el número total de sus vértices. 1 3 3 D) A 2

A) A

41.

42.

43.

B)

2 A 3

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44.

C) A

Una piscina de 10 m de ancho tiene una sección longitudinal que se muestra en la figura. Halle la cantidad de agua que se necesita para llenarla en m3.

E) 2A

En un paralelepípedo rectangular su diagonal mide 10u y forma un ángulo de 45° con la base y un ángulo de 30° con una cara lateral. Calcule el volumen del paralelepípedo en u3. A) 100 2 B) 110 2 C) 115 2 D) 120 2 E) 125 2 La suma de las medidas de las aristas de un paralelepípedo rectangular es 48 cm. La suma de los cuadrados de las medidas de su ancho, altura y profundidad es 50 cm2. El área de la base es 12 cm2. Halle su volumen en cm3. A) 50 B) 60 C) 70 D) 80 E) 90 En un prisma oblicuo cuyo número de aristas es A. Halle la suma de las medidas de los ángulos diedros. A) 120 (A–1) B) 120(A–2) C) 120(A–3) D) 120(A–4) E) 120(A–5)

1m

2m 4m

10m

A) 650 D) 800 45.

5m

5m

B) 700 E) 850

C) 750

En la figura el sólido esta constituido por dos prismas rectos con bases cuadradas y triangulares, con la particularidad de que la base triangular es un triangulo rectángulo isósceles. Si el perímetro de la cara ABCD es 24u ¿Cuál debe ser el lado del cuadrado para que el volumen sea máximo?.

D C

A

A)6u D) 8,4u

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B

B) 7u E) 9,6u

GEOMETRIA

C) 8u

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46.

En un prisma triangular oblicuo, el área de una cara lateral es A u2, la distancia de la arista opuesta a dicha cara es a u. Halle el volumen. Aa 6 Aa D) 2

A)

47.

48.

49.

B)

Aa 4

C)

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50.

Aa 3

El área lateral de un prisma pentagonal oblicuo es A, la sección recta del prisma es un pentágono circunscrito a una circunferencia de radio r. Halle el volumen del prisma. A)

E) Aa

En un prisma oblicuo la medida del ángulo diedro que forma el plano de la base con su sección recta es 60°, si la altura del prisma es 20u. Calcule la longitud de su arista lateral (en u). A) 20 B) 25 C) 30 D) 35 E) 40 Las área en u2 de tres caras de un paralelepípedo rectángulo son: A, B, C. Demuestre que el volumen se expresa: ABC .

3 2 d  h2  h 24 3 2 B) d  h2  h 36

3 2 d h 4 3 2 D) d  h2  h 12 3 2  E) d h 8

Ar 3 3 E) Ar 2

B)

D) Ar 51.

Ar 2

Se tiene un prisma recto cuyas bases son trapecios rectangulares cuyas diagonales son perpendiculares, los lados paralelos miden a y b donde 2 1 1   . Si h a b

h es la altura del prisma. Halle el volumen del prisma. A)  ab  B)  ab  C)ab 2 D)  ab  E)  ab  1 4

3

1 2

2

52.

Halle el volumen(en u3) de un prisma oblicuo; si el área lateral, el área de la sección recta y el perímetro de la sección recta mide 200u2, 40u2 y 4u. A)1000 B) 1200 C) 1500 D)1800 E) 2000

53.

El área lateral de un prisma triangular oblicuo es A , el radio de la circunferencia inscrita en la sección recta mide r . Halle el volumen del prisma.

C)

Ar 6 Ar 3 D) 2

Ar 3 Ar 6 E) 6

A)

54.

B)

C)

Ar 2

En una piscina de largo a metros, ancho b metros y c metros de alto, se introducen L litros de agua. ¿A qué distancia del borde llega el agua? 1000abc  L 1000 ab 10abc  L C) 10 ab

A)

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C)

(a