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UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD Escuela de Ciencias Básicas, Tecnología e Ingeniería - ECBTI

Calculo Diferencial – 100410_197 Momento 3: Actividad Colaborativa Unidad 3 - Análisis de las derivadas y sus aplicaciones.

CALCULO DIFERENCIAL

FASE 6- TRABAJO COLABORATIVO-UNIDAD 3

UNIDAD No 3 TEOREMAS DE CONSERVACIÓN.

Presentado a: JUAN GABRIEL CABRERA Tutor

Entregado por:

CRISTIAM JAVIER OSOSRIO Código: 1026267010 BRIAN TORRES Código: 1026291085 CAROLINA MENDEZ CODIGO: 1030551822 MIGUEL STEVEN LOPEZ IVAN ALBERTO PARRA GONZALEZ CC 1030557533 Grupo: 100410_594

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA - UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS TECNOLOGÍA E INGENIERÍA 19 noviembre BOGOTA

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INTRODUCCION El siguiente trabajo tiene como objetivo mostrar al estudiante conceptos y reglas claras sobre la derivación, estos son métodos que podremos emplear para el cálculo de las derivadas dentro de una función que dependiendo de su tipo se determina sobre cual se desarrollará; dentro de las reglas de derivación tenemos: Dentro del siguiente trabajo desarrollaremos una serie de ejercicios donde además de Reglas de derivación aplicaremos derivadas implícitas, y derivadas de orden superior, con los cuales daremos por sentadas las bases que nos permitirán tener una experiencia práctica en la unidad tres de este curso: Análisis de las derivadas y sus aplicaciones.

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ESTUDIANTE 2 CRISTIAM OSORIO 𝟑𝒙

1. 𝒇(𝒙) 𝒙𝟑 +𝟕𝒙−𝟓 Solución Aplicando las reglas de la derivación calcular la siguiente derivada: 𝑓(𝑥) =

𝑥3

3𝑥 + 7𝑥 − 5

 Sacamos la constante: 𝑓(𝑥) = 3

𝑥 𝑥 3 + 7𝑥 − 5 𝑓 ′

 Aplicamos la regla del cociente que dice: (𝑔) =

𝑓 ′ .𝑔−𝑓 .𝑔′ 𝑔2

𝑑 𝑑 3 (𝑥)(𝑥 3 + 7𝑥 − 5) − (𝑥 + 7𝑥 − 5) 𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝑓′(𝑥) = 3 (𝑥 3 + 7𝑥 − 5)2  Resolvemos las Derivadas 𝑑

 Por regla de derivación tenemos que 𝑑𝑥 𝑥 = 1

𝑓′(𝑥) = 3

𝑑 3 (𝑥 + 7𝑥 − 5) 𝑥 𝑑𝑥 (𝑥 3 + 7𝑥 − 5)2

1 ∗ (𝑥 3 + 7𝑥 − 5) −

 Ahora derivamos (𝑥 3 + 7𝑥 − 5) usando la regla de la suma tenemos que: 𝑑 𝑑𝑥 𝑑 𝑑𝑥 𝑑 𝑑𝑥

𝑥 3 = 3𝑥 2 7𝑥 = 7 5=0

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 Tenemos entonces que

𝑓′(𝑥) = 3

𝑑 𝑑𝑥

(𝑥 3 + 7𝑥 − 5) = (3𝑥 2 + 7 − 0) y quedaría:

1 ∗ (𝑥 3 + 7𝑥 − 5) − (3𝑥 2 + 7) 𝑥 (𝑥 3 + 7𝑥 − 5)2

 Realizamos las operaciones: 𝑓′(𝑥) = 3

𝑥 3 + 7𝑥 − 5 − 𝑥(3𝑥 2 + 7) (𝑥 3 + 7𝑥 − 5)2

𝑓′(𝑥) = 3

𝑥 3 + 7𝑥 − 5 − 3𝑥 3 − 7𝑥 (𝑥 3 + 7𝑥 − 5)2

 Simplificamos: −2𝑥 3 − 5 𝑓′(𝑥) = 3 3 (𝑥 + 7𝑥 − 5)2  Finalmente utilizamos ley de multiplicar fracciones: 𝑓′(𝑥) =

3(−2𝑥 3 − 5) (𝑥 3 + 7𝑥 − 5)2

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2. 𝒙𝟑 + 𝒚𝟑 = 𝟒 Solución 𝟑

𝒙𝟑 + 𝒚𝟑 = 𝟒: 𝒚 = √𝟒 − 𝒙𝟑 Dominio de 𝟑

√𝟒 − 𝒙𝟑 [𝑺𝒐𝒍𝒖𝒄𝒊𝒐𝒏 𝒊𝒏𝒕𝒆𝒓𝒗𝒂𝒍𝒐 𝒅𝒆 𝒏𝒐𝒕𝒂𝒄𝒊ó𝒏 ∶ −∞ < 𝒙 < ∞ (−∞. ∞) ]

Rango de 𝟑

√𝟒 − 𝒙𝟑 [𝑺𝒐𝒍𝒖𝒄𝒊𝒐𝒏 𝒊𝒏𝒕𝒆𝒓𝒗𝒂𝒍𝒐 𝒅𝒆 𝒏𝒐𝒕𝒂𝒄𝒊ó𝒏 ∶ −∞ < 𝒇(𝒙)∞ (−∞. ∞) ]

Puntos de interpretación del eje 𝟑

𝟑 𝟑 𝑷𝒖𝒏𝒕𝒐𝒔 𝒅𝒆 𝒊𝒏𝒕𝒆𝒓𝒑𝒓𝒆𝒕𝒂𝒄𝒊ó𝒏 𝒅𝒆𝒍 𝒆𝒋𝒆 √𝟒 − 𝒙𝟑 𝑿 ( √𝟒, 𝟎), 𝒀(𝟎, √𝟒)

𝟑

√𝟒 − 𝒙𝟑

𝟑

𝟑

√𝟒 − 𝒙𝟑 (𝟎, √𝟒) ( 𝟑√𝟒, 𝟎),

3. 𝒇(𝒙) = 𝟏𝟎𝒙𝟒 − 𝟖𝒙 + 𝟕 ; f ′′′′(x)

𝟒𝟎𝒙𝟑 -8 Sustituye la variable x con x en la expresión 𝟑

𝒇`(𝒙)𝟒𝟎(𝒙) − 𝟖 Se quita el paréntesis

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𝒇`(𝒙)𝟒𝟎𝒙 − 𝟖

Orden superior 𝒇"(𝒙)𝟏𝟐𝟎𝒙

𝟐

𝒇"(𝒙)𝟐𝟒𝟎

Fase 2

En Geogebra, graficar la siguiente función encontrar la pendiente de la recta tangente en varios puntos.

1. 𝒇(𝒙) = 𝒆𝒙

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2. 𝒇(𝒙) = 𝒕𝒂𝒏(𝒙)

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DESARROLLO DE LA FASE 3

Una derivada expresa el incremento de una magnitud con respecto a otro, en nuestra vida cotidiana vemos incrementos constantemente, cuando vamos en un vehículo, podemos representar por medio de un derivada el incremento de velocidad que este toma, cuando estamos en un supermercado y vemos que un producto incremento su precio con respecto a días anteriores, cuando hacemos ejercicio e incrementa nuestro pulso, en todos estos casos podemos utilizar derivadas. En mi carrera como profesional (ingeniero de sistemas) se pueden utilizar las derivadas en muchos momentos como por ejemplo:

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Cuando miramos el incremento del peso en una base de datos o cualquier archivo o programa, cuando revisamos y medimos el incremento de señales bien sean, electrónicas, digitales, radio enlaces, etc. BRIAN TORRES

1er ejercicio

𝑓(𝑥) = 𝐶𝑜𝑠 √2𝑥 −4 + 2

𝑓´(𝑥) = 𝐶𝑜𝑠 √2𝑥 −4 + 2 ∗

𝑓´(𝑥) =

1 2√2𝑥 −4 + 2

∗ −4𝑥 + 2

𝐶𝑜𝑠 (√2𝑥 −4 + 2) ∗ (−4𝑥 + 2) 2√2𝑥 −4 + 2

𝑓´(𝑥) =

𝐶𝑜𝑠 2.25 ∗ −2 2 ∗ 2.25

𝑓´(𝑥) =

1.9 4.5

2do ejercicio

𝑥 2 𝑦 − 𝑥𝑦 2 + 𝑦 2 = 14 Aplicó la regla de la suma y diferencia

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(𝑓 𝑔) = (𝑓 𝑔)

𝑑 𝑑 𝑑 (𝑥 2 𝑦) − (𝑥𝑦 2 ) + (𝑦 2 = 14) 𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑥

Aquí procedo a hacer la primera parte.

𝑑 (𝑥 2 𝑦) 𝑑𝑥

Saco la constante (a*f) 𝑑

𝑦 𝑑𝑥 (𝑥 2 ) 𝑑

Ahora aplicó la regla de la potencia 𝑑𝑥 (𝑥 𝑎 ) = 𝑎 ∗ 𝑥 𝑎−1 𝑦 ∗ 2𝑥 2−1

Se simplifica en resultado anterior

2 𝑦𝑥

Ahora procedo a hacer la segunda parte de la función.

𝑑 (𝑥𝑦 2 ) = 𝑦 2 𝑑𝑥

𝑑 (𝑥𝑦 2 ) 𝑑𝑥

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Nuevamente calculo la constante a*f

𝑦2

𝑑 (𝑥) 𝑑𝑥

Aplicó la regla de la derivación

𝑑 𝑑𝑥

(𝑥) = 1

𝑦2 ∗ 1 Simplifico el resultado anterior multiplicándolo por 1

𝑦2

Por último, hago la tercera parte.

𝑑 ( 𝑦 2 = 14) = 0 𝑑𝑥

𝑑 ( 𝑦 2 = 14) 𝑑𝑥

Calculo la derivada de una constante

𝑑 (𝑎) = 0 𝑑𝑥

2 𝑦𝑥 − 𝑦 2 + 0

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Simplifica el resultado anterior

−𝑦 2 + 2 𝑥𝑦

3er Ejercicio

𝑓 (𝑥) = 6𝑥 2 + 5𝑥 − 6

;

𝑓´´´´ (𝑥)

𝑓´ (𝑥) = 12𝑥1 + 5𝑥1 − 6 𝑓´´ (𝑥) = 12𝑥 + 5𝑥 𝑓´´´ (𝑥) = 0 𝑓´´´´ (𝑥) = 0

𝑓(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛 (𝑥)

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4 𝑓(𝑥) = ( ) 𝑥

En ambos ejercicios se pueden observar las siguientes propiedades:

Tal y como lo indico el tutor, se deben manejar colores diferentes a los de los demás grupos, teniendo en cuenta esto:

De color azul, se trazan las funciones de cada ejercicio

De color rosado, se traza la recta de la tangente de cada ejercicio

De color negro, se traza la derivada que tiene cada una de las funciones de ambos ejercicios



De igual manera, se agrega un punto, el cual permite arrojar algunos datos de la gráfica en el espacio que este recorre.

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MIGUEL STEVEN LOPEZ

Primera Parte.

𝑓(𝑥) = 4𝑥. 𝑒 3𝑥 =4

𝑑 2 = 𝑥. 𝑒 3𝑥 +1 𝑑𝑥

= 4( =

2 +1

𝑑 𝑑𝑥

𝑥. 𝑒 3𝑥

2 +1

𝑑 𝑥=1 𝑑𝑥

= 4(1. 𝑒 3𝑥 = 4( 𝑒 3𝑥

𝑑

𝑥. 𝑒 3𝑥

𝑑𝑥

2 +1

)𝑥)

𝑑 3𝑥 2+1 2 𝑒 = 𝑒 3𝑥 +1 . 6𝑥 𝑑𝑥

2 +1

2 +1

+(

. 6𝑥 +𝑒 3𝑥

+ 6𝑒 3𝑥

2 +1

2 +1

. 6𝑥𝑥)

. 𝑥 2)

Segunda Parte

𝑥 3 + 𝑥𝑦 + 𝑦 2 = 8 =

𝑑 𝑑 (𝑥 3 + 𝑥𝑦 + 𝑦 2 ) = (8) 𝑑𝑥 𝑑𝑥

=

𝑑 𝑑 𝑑 (𝑥 3 + 𝑥𝑦 + 𝑦 2 ) = 3𝑥 2 + 𝑦 + 𝑥 (𝑦) + 2𝑦 (𝑦) 𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑥

=

𝑑 (8) = 0 𝑑𝑥

Despejando y: ~ 15 ~

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3𝑥 2 + 𝑦 + 𝑥𝑦 + 2𝑦𝑦 = 0 3𝑥 2 + 𝑦 + 𝑥𝑦 + 2𝑦𝑦 − (3𝑥 2 + 𝑦) = 0 − (3𝑥 2 + 𝑦) 𝑥𝑦 + 2𝑦𝑦 = −𝑦 − 3𝑥 2 𝑦(2𝑦 + 𝑥) = −𝑦 − 3𝑥 2

−𝑦 − 3𝑥 2 𝑦= 2𝑦 + 𝑥 𝑑 −𝑦 − 3𝑥 2 (𝑦) = 𝑦 = 𝑑𝑥 2𝑦 + 𝑥

Tercera Parte 𝑓(𝑥) = 𝑥 3 + 3𝑥 2 + 3𝑥 + 1; 𝑓′′′′(𝑥) =

𝑑 (𝑓(𝑥) = 𝑥 3 + 3𝑥 2 + 3𝑥 + 1) = 4𝑓𝑥 3 + 6𝑥 + 3 𝑑𝑥

=

𝑑 (4𝑓𝑥 3 + 6𝑥 + 3) = 12𝑓𝑥 2 + 6 𝑑𝑥

=

𝑑 (12𝑓𝑥 2 + 6) = 24𝑓𝑥 𝑑𝑥

=

𝑑 (24𝑓𝑥) = 24𝑓 𝑑𝑥

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Geogebra F(x)= Ln(x)

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F(x)= 𝒙 𝟐

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IVAN ALBERTO PARRA GONZALEZ



𝑓(𝑥) = √𝑥𝐶𝑜𝑠 2𝑥 =

𝑑 𝑑 (√𝑥)𝐶𝑜𝑠( 2𝑥) + (cos(2𝑥))√𝑥) 𝑑𝑥 𝑑𝑥 =

𝑑 (√𝑥) 𝑑𝑥

=

𝑑 1 (𝑥 2 ) 𝑑𝑥

1 1 = (𝑥 2−1 ) 2 𝒅 𝟏 (√𝒙) = 𝒅𝒙 𝟐√𝒙

𝑑 = 𝐶𝑜𝑠( 2𝑥) 𝑑𝑥 𝑑 𝑑 𝐶𝑜𝑠( 𝑢) (2𝑥) 𝑑𝑢 𝑑𝑥 𝑑 𝐶𝑜𝑠( 𝑢) = −𝑠𝑒𝑛(𝑢) 𝑑𝑢 𝑑 (2𝑥) = 2 𝑑𝑥 −2 𝑆𝑒𝑛(2𝑥) =

1 2√𝑥 =

cos(2𝑥) + (−2𝑠𝑒𝑛(2𝑥))√𝑥

𝐜𝐨𝐬(𝟐𝒙) 𝟐√𝒙

− 𝟐√𝒙 𝒔𝒆𝒏(𝟐𝒙)

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Derivadas Implícitas: Calcular



𝑑𝑦 𝑑𝑥

4𝑥 3 − 4𝑦𝑥 + 4𝑦 2 = 8

𝑑𝑦 𝑑𝑦 𝑑𝑦 (4𝑥 3 ) − (4𝑦𝑥) + (4𝑦 2 = 8) 𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑥 4

𝑑 3 (𝑥 ) 𝑑𝑥

= (4)(3𝑥 3−1 ) 𝒅 (𝟒𝒙𝟑 ) = 𝟏𝟐𝒙𝟐 𝒅𝒙

𝑑𝑦 (4𝑦𝑥) 𝑑𝑥 4𝑦

𝑑 (𝑥) 𝑑𝑥

= 4𝑦(1) 𝒅 (𝟒𝒚𝒙) = 𝟒𝒚 𝒅𝒙

𝑑𝑦 (4𝑦 2 = 8) 𝑑𝑥 𝒅𝒚 (𝟒𝒚𝟐 = 𝟖) = 𝟎 𝒅𝒙

12𝑥 2 − 4𝑦 + 0 𝟏𝟐𝒙𝟐 − 𝟒𝒚

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Derivadas de orden superior 

𝑓(𝑥) = 2𝑥 ; 𝑓 ′′′ (𝑥)

𝑓(𝑥) = 2𝑥 ; 𝑓 ′′′ (𝑥) =

𝑑 𝑥𝑙𝑛(2) (𝑒 ) 𝑑𝑥

=

𝑑 𝑢 𝑑 (𝑒 ) (𝑥𝑙𝑛(2)) 𝑑𝑢 𝑑𝑥

=

𝑑 (𝑥𝑙𝑛(2)) = ln(2) 𝑑𝑥 = 𝑒 𝑥𝑙𝑛(2) ln(2) 𝑒 𝑥𝑙𝑛(2) = 2𝑥 = ln(2)2𝑥 =

𝑑2 (ln(2)2𝑥 ) 𝑑𝑥 2

=

𝑑 (ln(2)2𝑥 ) 𝑑𝑥

= ln(2) = ln(2)

𝑑 𝑥𝑙𝑛(2) (𝑒 ) 𝑑𝑥

𝑑 𝑢 𝑑 (𝑒 ) (𝑥𝑙𝑛(2)) 𝑑𝑢 𝑑𝑥

𝑑 𝑢 (𝑒 ) = 𝑒 𝑢 𝑑𝑢 𝑑 (𝑥𝑙𝑛(2)) = ln(2) 𝑑𝑥 = ln(2) 𝑒 𝑥𝑙𝑛(2) ln(2) = 𝑙𝑛2 (2)𝑒 𝑙𝑛(2)𝑥 = 𝑒 𝑥𝑙𝑛(2) = 2𝑥 = 𝑙𝑛2 (2)2𝑥 =

𝑑 (𝑙𝑛2 (2)2𝑥 ) 𝑑𝑥

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= 𝑙𝑛2 (2)

= 𝑙𝑛2 (2) = 𝑙𝑛2 (2)

𝑑 𝑥 (2 ) 𝑑𝑥

𝑑 𝑥𝑙𝑛(2) (𝑒 ) 𝑑𝑥

𝑑 𝑢 𝑑 (𝑒 ) (𝑥𝑙𝑛(2)) 𝑑𝑢 𝑑𝑥

𝑑 𝑢 (𝑒 ) = 𝑒 𝑢 𝑑𝑢 𝑑 (𝑥𝑙𝑛(2)) = ln(2) 𝑑𝑥 = 𝑙𝑛2 (2)𝑒 𝑢 ln(2) = 𝑙𝑛2 (2)𝑒 𝑥𝑙𝑛(2) ln(2)

= 𝒍𝒏𝟑 (𝟐) 𝟐𝒙

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Fase 2 Geogebra 

𝒇(𝒙) = 𝒄𝒐𝒔(𝒙)

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

𝑓(𝑥) = √𝑥

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CAROLINA MENDEZ 𝒇(𝒕) = (𝒕𝟐 + 𝟏) ∗ (𝒕𝟑 + 𝒕𝟐 + 𝟏) 𝑡2𝑡3 + 𝑡2𝑡2 + 𝑡2 ∗ 1 + 1 ∗ 𝑡3 + 1 ∗ 𝑡2 + 1 ∗ 1 Se agrupan términos semejantes: 𝑡3𝑡2 + 1 ∗ 𝑡3 + 𝑡2𝑡2 + 1 ∗ 𝑡2 + 1 ∗ 𝑡2 + 1 ∗ 1 Se suman elementos similares: 𝒕𝟓 + 𝒕𝟑 + 𝒕𝟒 + 𝟐𝒕𝟐 + 𝟏

𝑑𝑦

1. Derivadas Implícitas: Calcular 𝑑𝑥 √𝒙𝒚 = 𝒙 − 𝟐𝒚 Se trata a y como y(x)

Derivar ambos lados de la ecuación con respecto a x 𝑑 (√𝑥𝑦) 𝑑𝑥 Se aplica la regla de la cadena: 𝒅𝒇(𝒖) 𝒅𝒇 𝒅𝒖 = ∗ 𝒅𝒙 𝒅𝒖 𝒅𝒙 𝒇 = √𝒖,

𝒖 = 𝒙𝒚 𝑑 𝑑 (√𝑢) (𝑥𝑦) 𝑑𝑢 𝑑𝑥 𝑑 (√𝑢) 𝑑𝑢

Se aplican las leyes de los exponentes: 𝟏

√𝒂 = 𝒂𝟐 1 𝑑 (𝑢2 ) 𝑑𝑢

Se aplica la regla de la potencia:

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𝒅 𝒂 (𝒙 ) = 𝒂 ∗ 𝒙𝒂−𝟏 𝒅𝒙 1 1−1 𝑢2 2 Se simplifica: 1

𝑢2−1 1 −1 𝑢 2 2 Se aplican las leyes de los exponentes: 𝒂−𝒃 =

𝟏 𝒂𝒃

𝟏

𝟏

𝒖−𝟐 =

√𝒖 1 1 ∗ 2 √𝑢

Se multiplican fracciones: 1∗1 2√𝑢 Se aplica la regla de 1 * a=a: 1 2√𝑢 

𝑑 (𝑥𝑦) 𝑑𝑥

Se aplica la regla del producto:

𝑑 𝑑 (𝑥)𝑦 + (𝑦)𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑥 Se aplica regla de derivación: 𝑑 (𝑥) = 1 𝑑𝑥 Entonces:

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1∗𝑦+

𝑑 (𝑦)𝑥 𝑑𝑥

Se simplifica: 𝑦+𝑥

𝑑 (𝑦) 𝑑𝑥

Se unifican las ecuaciones quedando: 1 2√𝑢

(𝑦 + 𝑥

𝑑 (𝑦)) 𝑑𝑥

Se sustituye en la ecuación u=xy 1 2√𝑥𝑦

(𝑦 + 𝑥

𝑑 (𝑦)) 𝑑𝑥

Se multiplican fracciones: 1 (𝑦 + 𝑥

𝑑 (𝑦)) 𝑑𝑥

2√𝑥𝑦 Se aplica la regla de 1 * a=a 𝑑 (𝑦) 𝑑𝑥 2√𝑥𝑦

𝑦+𝑥



𝑑 (𝑥 𝑑𝑥

− 2𝑦)

Se aplica la regla de la suma/diferencia: 𝑑 𝑑 (𝑥) − (2𝑦) 𝑑𝑥 𝑑𝑥 Se aplica la regla de derivación: 𝑑 (𝑥) = 1 𝑑𝑥 Por otro lado: 𝑑 (2𝑦) 𝑑𝑥

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Se saca constante: 2

𝑑 (𝑦) 𝑑𝑥

Entonces: 𝑑 𝑑 (𝑥) − (2𝑦) 𝑑𝑥 𝑑𝑥

𝑑

= 1 − 2 𝑑𝑥 (𝑦)

Por lo tanto: 𝑑 (𝑦) 𝑑 𝑑𝑥 = 1 − 2 (𝑦) 𝑑𝑥 2√𝑥𝑦

𝑦+𝑥

𝑑

Por conveniencia, se escribe 𝑑𝑥 (𝑦) como y

𝑦 + 𝑥𝑦´ 2√𝑥𝑦

= 1 − 2𝑦´

Se suma 2y´a ambos lados: 𝑦 + 𝑥𝑦´ 2√𝑥𝑦

+ 2𝑦´ = 1 − 2𝑦´ + 2𝑦´

Se simplifica: 𝑦 + 𝑥𝑦´ 2√𝑥𝑦

+ 2𝑦´ = 1

Se multiplica ambos lados por 2√𝑥𝑦: 𝑦 + 𝑥𝑦´ 2√𝑥𝑦

∗ 2√𝑥𝑦 + 2𝑦´ ∗ 2√𝑥𝑦 = 1 ∗ 2√𝑥𝑦

Se simplifica: 𝑦 + 𝑥𝑦´ + 4𝑦´ √𝑥𝑦 = 2√𝑥𝑦 Se resta y a ambos lados 𝑦 + 𝑥𝑦´ + 4𝑦´ √𝑥𝑦 − 𝑦 = 2√𝑥𝑦 – 𝑦 Se simplifica: 𝑥𝑦´ + 4𝑦´ √𝑥𝑦 = 2√𝑥𝑦 – 𝑦

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Se toma la primera ecuación y se factor iza el termino común y´: 𝑥𝑦´ + 4𝑦´ √𝑥𝑦 𝑦´(𝑥 + 4 √𝑥𝑦)=2 √𝑥𝑦 − 𝑦 Se divide ambos lados entre 𝑥 + 4√𝑥𝑦 𝑦´(𝑥 + 4 √𝑥𝑦) 𝑥 + 4√𝑥𝑦

𝑦´(𝑥+4 √𝑥𝑦) 𝑥+4√𝑥𝑦 2 √𝑥𝑦 𝑥+4√𝑥𝑦

−

=

2 √𝑥𝑦 𝑥 + 4√𝑥𝑦

−

𝑦 𝑥 + 4√𝑥𝑦

se eliminan los términos comunes, entonces es igual a= y´

𝑦 𝑥+4√𝑥𝑦

𝑎

𝑏

se aplica regla 𝑐 ± 𝑐 =

𝑎±𝑏 𝑐

2 √𝑥𝑦 − 𝑦 𝑥 + 4√𝑥𝑦 Se multiplica por el conjugado: (2 √𝑥𝑦 − 𝑦) (𝑥 − 4√𝑥𝑦) (𝑥 + 4√𝑥𝑦) (𝑥 − 4√𝑥𝑦 (2 √𝑥𝑦 − 𝑦) (𝑥 − 4√𝑥𝑦) 𝑥 2 − (4√𝑥𝑦)2 (2 √𝑥𝑦 − 𝑦) (𝑥 − 4√𝑥𝑦) 2

𝑥 2 − (42 (√𝑥𝑦) ) (2 √𝑥𝑦 − 𝑦) (𝑥 − 4√𝑥𝑦) 𝑥 2 − (42 )𝑥𝑦 (2 √𝑥𝑦 − 𝑦) (𝑥 − 4√𝑥𝑦) 𝑥 2 − 16𝑥𝑦 Entonces: (𝟐 √𝒙𝒚 − 𝒚) (𝒙 − 𝟒√𝒙𝒚) 𝒅 (𝒚) = 𝒅𝒙 𝒙𝟐 − 𝟏𝟔𝒙𝒚

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2. Calcular las siguientes derivadas de orden superior 𝒇(𝒙) = 𝒆𝒙 ; 𝒇′′′(𝒙) 𝑓 3 (𝑥) = 𝑒 𝑥 Se despeja f(x) para f(x)3(x)=ex 𝑓(𝑥)3 (𝑥) = 𝑒 𝑥 Se dividen ambos lados entre x 𝑓(𝑥)3 𝑥 𝑒 𝑥 = ;𝑥 ≠ 0 𝑥 𝑥 𝑓(𝑥)3 =

𝑒𝑥 ;𝑥 ≠ 0 𝑥

Para xn = f(a), n es impar, la solución es x= 𝑛√𝑓(𝑎) 𝟑 𝒆𝒙 𝒇(𝒙) = √ ; 𝒙 ≠ 𝟎 𝒙

EJERCICIOS ESTUDIANTE N° 4 FASE 2 -GEOGEBRA 1. 𝒇(𝒙) = 𝒙𝟑

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Calculo Diferencial – 100410_197 Momento 3: Actividad Colaborativa Unidad 3 - Análisis de las derivadas y sus aplicaciones. 𝟏

2. 𝒇(𝒙) = (𝒙)

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Calculo Diferencial – 100410_197 Momento 3: Actividad Colaborativa Unidad 3 - Análisis de las derivadas y sus aplicaciones.

CONCLUSIONES Hemos observado que las derivadas expresan el incremento de una magnitud, podemos observar este incremento a medida que (x) cambia su valor en una función, por medio de los ejercicios planteados a lo largo del curso podemos ver una mejora de nuestras capacidades para desarrollar sucesiones, progresiones, límites y derivadas, Unidades presentadas en el curso calculo diferencial, pero es esta ultima el tema desarrollado en este trabajo, tema el cual hemos explorado para adquirir conceptos, aprender reglas y así poder desarrollar los ejercicios planteados para dar cumplimiento con esta fase.

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BIBLIOGRAFIA

 Rondón, J. (2010). 100410 – Cálculo Diferencial. Unidad 2 – Análisis de las derivadas y sus aplicaciones. Pág. 88-231. Universidad Nacional Abierta y a Distancia. Recuperado de: http://hdl.handle.net/10596/4806  Universidad Nacional de Córdoba. (2011). Reglas de la derivación. Córdoba, Argentina. Recuperado de la URL: http://www.famaf.unc.edu.ar/~rojo/intro_fisica/reglas_de_derivacion.pdf  Julio Alberto Ríos Gallego. (11-Feb-2010). DERIVACION IMPLICITA – Ejercicio 1. Recuperado de: https://www.youtube.com/watch?v=oneC1gsSQaM  Julio Alberto Ríos Gallego. (02-Oct-2012). DERIVADAS DE ORDEN SUPERIOR – Ejercicio 3. Recuperado de: https://www.youtube.com/watch?v=mvpBs_D1XKk  Julio Alberto Ríos Gallego. (14-Feb-2010). DERIVACIÓN DE FUNCIONES Ejercicios 3, 4 y 5. Recuperado de: https://www.youtube.com/watch?v=91UZ9S19Oo

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