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GEOMETRIA DEL ESPACIO UNIDAD 1, 2 Y 3: FASE 5 – APLICACIÓN DE LAS UNIDADES DEL CURSO

Presentado por: SANDRA LILIANA PEÑA COD. 25235037 ANA YICELA BUITRAGO COD. 1084869659 JOSE MAURICIO JIMENEZ COD. 10175247 DIANA RUEDA CHAPARRO COD. 1099362391 ELICETH RANGEL COD. 1096949648

GRUPO 551122_4 Presentado a SAUL ENRIQUE VIDES

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD LICENCIATURA EN MATEMATICAS MAYO DE 2017

INTRODUCCIÓN

El trabajo siguiente se presenta con el propósito de reforzar conocimientos adquiridos a lo largo del curso: Geometría del espacio siendo esta una rama de la geometría que se ocupa de las propiedades y medidas de figuras geométricas en el espacio tridimensional. Entre estas figuras, también llamadas sólidos, se encuentran el cono, el cubo, el cilindro, la pirámide, la esfera y el prisma. La geometría del espacio amplía y refuerza las proposiciones de la geometría plana, y es la base fundamental de la trigonometría esférica, la geometría analítica del espacio, la geometría descriptiva y otras ramas de las matemáticas. Se usa ampliamente en matemáticas, en ingeniería y en ciencias naturales. La geometría es la base de todas las construcciones, edificaciones, ciudades en las que vivimos y vemos diariamente de paso a nuestra casa, escuela o trabajo, por eso es importante que conozcamos la geometría desde sus bases, conceptos, clasificaciones, formas, utilización y aplicaciones, para que podamos entender el mundo en el que vivimos. La Geometría ha sido desde el inicio de la humanidad un mecanismo utilizado para encontrar soluciones a los problemas más comunes ya que, facilitan la medición de estructuras sólidas reales tanto tridimensionales como estructuras planas y además bastante útil para la realización de complejas operaciones matemáticas.

PASO 3: PRESENTACIÓN DE LOS EJERCICIOS

1. Desarrollar los siguientes ejercicios y dejen registro en el foro de aprendizaje práctico.

2. Encontrar las Ecuaciones Paramétricas de la recta que pasa por los puntos P (2,-1,6) y Q (3, 1,-4). Desarrollo Las ecuaciones paramétricas se definen como: X=𝒙𝟏 +at Y=𝒚𝟏 +bt Z=𝒛𝟏 +ct Donde x1, y1 y z1 puede ser cualquiera de los dos puntos P o Q que contiene la recta y las constantes a, b y c son los números directores del vector que me define la dirección de la recta, se puede definir con dos puntos un vector director. Buscamos un vector, que va hacer igual a la coordenada de Q menos la coordenada de P PQ= (3-2) i+ (1- (-1)) j+ (-4-6) k PQ= i+2j-10k Por tanto los parámetros o las constantes del vector director van hacer: a=1, b=2 y c=-10 Definimos la ecuación paramétrica así: X= 2+1t

Y=-1+2t

Z= 6-10t

3. Encontrar la ecuación del plano que pasa por el punto (2,5,1) y que tiene un vector normal n=i-2j+3k.

Decimos que: A (2, 5, 1) ⃗ = 𝑖 − 2𝑗 + 3𝑘 𝑁 Para hallar la ecuación del plano tenemos que 𝑎(𝑥 − 𝑥1 ) + 𝑏(𝑦 − 𝑦1 ) + 𝑐(𝑧 − 𝑧1 )= 0 𝐴(𝑥1 , 𝑦1 , 𝑧1 ) ⃗ = (𝑎, 𝑏, 𝑐) = 𝑎𝑖 − 𝑏𝑗 + 𝑐𝑘 𝑁 Reemplazamos 1(x- 2)+ 2(y-5)+ 3(z-1) = 0 X-2 +2y-10+3z-3=0 Ordenamos X+2y+3z-15=0

4. Encontrar la ecuación del plano que pasa por los puntos PQ x PR= n P= (1, 2,1) Q= (-2, 3,-1)

T

R= (1, 0, 4)

R P

Q

Definimos el vector PQ PQ= Q= (-2, 3,-1) - P= (1, 2,1) se hace la resta entre el punto final y el punto inicial PQ = 〈−𝟑, 𝟏, −𝟐〉 componentes X, Y y Z Definimos el vector PR PR= R= (1, 0, 4) - P= (1, 2,1) PR= 〈𝟎, −𝟐, 𝟑〉 A continuación realizamos el producto cruz o vectorial así: PQ x PR

Hacemos un determinante de 3x3 𝑖 𝑗 𝑘 PQ x PR = −3 1 −2 0 −2 3 En la primera fila anotamos los vectores unitarios i, j y k en las direcciones positivas de los ejes x, y y z. En la segunda fila anotamos las componentes del primer vector PQ En la tercera fila anotamos las componentes del segundo vector PR

Después obtenemos las tres componentes del vector que buscamos

PQ x PR=

1 −2 −3 −2 −3 = i=j+ −2 3 0 3 0

1 =k −2

A continuación resolvemos cada uno de los determinantes PQ x PR=[𝟑 − 𝟒]i - [−𝟗 − 𝟎]j+[𝟔 − 𝟎]k

5. Calcular el volumen de un ortoedro cuyas dimensiones son 16, 12 y 8 cm. 5.

12cm

16cm

V=l*a*h

V=16cm*8cm*12cm

8cm

V=1536c𝑚3

6. El volumen de un ortoedro es 192 cm3 y dos de sus dimensiones son 8 y 6 cm. Calcular el valor de la otra dimensión

V=a·b·x 192 = 8cm * 6cm * x

192 = 48 x 192cm3 48cm2

=x

4 cm = x X = 4 cm La dimensión desconocida tiene un valor de 4 cm

7. Calcular el área lateral de un cilindro circular recto, si el radio de la base mide 4 cm y la generatriz 10 cm.

Decimos que Radio 4 cm Generatriz 10cm 𝐴𝑙 = 2𝜋𝑟 × ℎ 𝐴𝑙 = 2𝜋4𝑐𝑚 × 10 𝑐𝑚 𝐴𝑙 = 80𝜋 = 251𝑐𝑚2

8. Calcular el área total de un tronco de cono cuya altura mide 4 cm, si los radios de las bases miden 9 y 6 cm, respectivamente.

6cm

X

4cm

9cm

Observando el tronco de cono no se conoce la generatriz, ya que es un elemento que hay que conocer para poder hallar su área lateral procedemos a hallarla así:

6cm g 4cm

9cm

Como podemos ver se forma un trapecio rectángulo, y de este a la vez un triángulo rectángulo para hallar la generatriz del cono, así:

Altura h igual, a de descontamos de los 9 cm de la base mayor 6cm de la menor, y nos quedan 3cm, por teorema de Pitágoras hallamos generatriz g 4cm

3cm

𝑔2 = (4𝑐𝑚)2 + (3𝑐𝑚)2 𝑔2 = 16𝑐𝑚2 + 9𝑐𝑚2 𝑔2 = 25𝑐𝑚2 √𝑔2 = √25𝑐𝑚2 𝑔 = 5𝑐𝑚

Procedemos a sacar el área lateral con el dato de la generatriz así:

Al=Л*r+g Al=Л*15cm*5cm No olvidando que son los dos radios sumados de las bases Al= 75 Л c𝑚2 Ahora encontramos el interrogante del problema el área total. At=Al+Ab Debemos tener en cuenta que son dos bases circunferenciales, por lo que hallamos sus áreas y luego las sumamos para encontrar el área de las bases.

A=Л * 𝑟 2 A=Л * (9cm)2 A=Л * 81c𝑚2 A=Л* (6cm)2 A=Л * 36c𝑚2

A total bases = 117c𝑚2 At=75 Л c𝑚2 + 117𝑐𝑚2 At=192c𝑚2

9. Calcular el volumen de un cilindro cuyo radio y altura miden respectivamente 6,5 cm y 20 cm.

Radio=6.5cm Altura=20cm Volumen? Formula= 𝜋 ∗ 𝑟 2 ∗ ℎ V= 𝜋 ∗ (6.5𝑐𝑚2 ∗ 20𝑐𝑚 V=3.14*42.25 cm *20 cm V=2,653, 3 c𝑚2

Conclusiones

En el entorno encontramos rectas, planos, objetos, cuerpos geométricos que cumplen una serie de propiedades y son de gran utilidad para entender porque están y para qué sirven.

La geometría se encarga del estudio de las diferentes figuras que ocupan un lugar en el espacio analiza sus propiedades y busca cuáles son sus aplicaciones; es por ello que encontramos la geometría plana, la geometría analítica, geometría descriptiva entre otras y hace parte de una de las ramas de la matemática.

Durante el estudio de la presente materia conocimos el concepto y sus aplicaciones de la recta y plano en el espacio, se realizaron actividades propuestas en la unidad; como segundo tema se estudiaron los diedros y poliedros en los que también se realizaron análisis y se encontraron sus aplicaciones, y por último los cilindros, conos y esferas todos con sus análisis y aplicaciones que evidencian sus aplicaciones en nuestro entorno.

BIBLIOGRAFÍA

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Rodríguez. Patricia (01-05-2013) IMPORTANCIA DE LA GEOMETRIA [mensaje en un blog ]. Recuperado de: http://geometriapatty.blogspot.com.co/2013/05/importancia-de-lageometria-en-mi-vida.html