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UNIVERSIDAD TÉCNICA DE MACHALA UNIDAD ACADÉMICA DE INGENIERÍA CIVIL CARRERA DE INGENIERÍA CIVIL

RESISTENCIA DE MATERIALES I UNIDAD II TORSIÓN

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Ing. Civil Leyden Carrión Romero, Mgs.

SEMANA NO. 5 TEMA: TORSIÓN OBJETIVO: Determinar la deducción de la formula de torsión generada en barras a través de modelos matemáticos específicos para interpretar el comportamiento en el elemento. T ´

T´ B

T A

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B A

T

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TORSIÓN: En este capítulo se estudia el problema de la torsión y sus aplicaciones, pero sólo en el caso de árboles de sección circular o de tubos de pared delgada.

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TORSIÓN La torsión se refiere al torcimiento de una barra recta al ser cargada por momentos (o pares de torsión) que tienden a producir una rotación alrededor del eje longitudinal de la barra.

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TORSIÓN

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En la figura se presenta un caso idealizado de carga torsional, que muestra una barra recta soportada en un extremo y cargada por dos pares de fuerzas iguales y opuestas. El primer consiste en las fuerzas P1 que actúan cerca del punto medio de la barra y el segundo par consiste en las fuerzas P2 que actúa en el extremo. Cada par de fuerza forma un par que tiende a torcer la barra respecto a su eje longitudinal. Ing. Civil Leyden Carrión Romero, Mgs.

TORSIÓN

Los momentos que producen torcimiento en una barra, como los momentos T1 y T2 en la figura se llaman pares o momentos de torsión .

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DEFORMACIONES TORSIONANTES Para el análisis de la torsión consideraremos una barra prismática de sección transversal circular sometida a pares de torsión T que actúan en los extremos. Las Secciones transversales de la barra idénticas y sometidas al mismo par interno T decimos que la barra esta en torsión pura.

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DEFORMACIONES TORSIONANTES Como ayuda para visualizar la deformación de la barra, conviene imaginar que el extremo izquierdo de la barra mostrada en la figura está fijo. Entonces, por la acción del par T, el extremo derecho girara (con respecto al extremo izquierdo) un pequeño Ø, conocido como ángulo de torsión (o ángulo de rotación).

El ángulo de torsión cambia a lo largo del eje de la barra y en secciones intermedias tendrá un valor Ø (x) entre cero en el extremo izquierdo y Ø en el extremo derecho. 8

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DEFORMACIONES TORSIONANTES Consideremos ahora un elemento de la barra entre dos secciones transversales a una distancia dx entre ellas según la figura. Sin embargo los ángulos en las esquinas ya no son iguales a 90°. El elemento esta en estado de cortante puro.

La cantidad dØ/dx es la razón de cambio del ángulo de torsión Ø con respecto a la distancia x medida a lo largo del eje de la barra. Denotaremos dØ/dx con el símbolo Ө y lo llamaremos ángulo de torsión por unidad de longitud Ө= dØ/dx

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DEDUCCION DE LAS FORMULAS DE TORSIÓN Para deducir las fórmulas de la torsión se debe establecer una serie de hipótesis que puedan demostrarse matemáticamente y algunas de ellas, comprobarse experimentalmente. Las dos primeras corresponden a secciones circulares. 1.- Las secciones circulares permanecen circulares después de la torsión. 2.- Las secciones planas permanecen planas y no se alabean después de la torsión. 3.- La proyección sobre una sección transversal de una línea radial de una sección permanece radial después de la torsión.

4.- El árbol sometido a la acción de pares torsores o torsionantes que actúan en planos perpendiculares a su eje. 5.- Los esfuerzos no sobrepasan el limite de proporcionalidad.

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DEDUCCION DE LAS FORMULAS DE TORSIÓN En la figura 3-1 se muestran dos proyecciones de un árbol circular macizo. Al aplicar un momento torsionante T a los extremos del árbol, una generatriz cualquiera, tal como AB, en la superficie del cilindro, inicialmente recta y paralela al eje, se tuerce formando una hélice AC, al tiempo que la sección en B gira un cierto ángulo Ө respecto de la sección A.

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DEDUCCION DE LAS FORMULAS DE TORSIÓN En realidad, todas las rebanadas empiezan a girar al mismo tiempo sobre las anteriores, tan pronto como se aplica el momento torsionante, y el ángulo total de torsión Ө de uno a otro extremo aumenta si el momento de torsión se incrementa. Consideremos ahora una fibra cualquiera a una distancia ρ del eje del árbol. Por la hipótesis 3 planteada, el radio de dicha fibra gira también el mismo ángulo Ө, produciéndose una deformación tangencial δs igual a DE. La longitud de esta deformación es el arco de círculo de radio ρ y el ángulo Ө y viene dada por:

La expresión (c) se suele llamar ecuación de compatibilidad, ya que los esfuerzos expresados por ella son compatibles con las deformaciones elásticas. 12

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DEDUCCION DE LAS FORMULAS DE TORSIÓN Obsérvese que los términos de paréntesis son constantes que no depende de la posición de la fibra; de aquí que el esfuerzo cortante en un punto interior sea el producto de una constante por su distancia al centro es decir, la distribución de esfuerzos a lo largo de cualquier radio varia linealmente con la distancia al centro de la sección. La figura representa gráficamente esta variación a lo largo de OB; el esfuerzo cortante máximo, τmáx., tiene lugar evidentemente en la fibras exteriores.

(c)

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DEDUCCION DE LAS FORMULAS DE TORSIÓN En la figura se ve el diagrama de cuerpo libre correspondiente a la sección M-N de la figura anterior. Un elemento diferencial de área de esta sección estará sometido a una fuerza resistente dP= τ dA, ya que al ser diferencial se puede admitir que el esfuerzo es constante dentro del elemento. Como la misión de estas fuerzas resistentes, que representan la acción sobre esta sección de la parte suprimida del solido, es oponerse al momento torsionante aplicado T, han de tener la dirección perpendicular al radio para producir el máximo efecto.

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DEDUCCION DE LAS FORMULAS DE TORSIÓN Para que se cumplan las condiciones de equilibrio estático, apliquemos la condición ƩM = 0, es decir, que el par torsor resistente ha de ser igual al momento torsionante aplicado. El par resistente T, es la suma de los momentos respecto al centro de todas las fuerzas diferenciales dP:

A fin de expresar ϴ en unidades apropiadas (radianes), T debe estar en N.m y L en m; J por supuesto esta en m4 y G, en N/m2. Si deseamos expresar ϴ en grados, multiplicamos el segundo miembro de la ecuación (3-1) por la fracción unitaria , 180 grad/Π rad = 57.3 grad/rad. 15

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DEDUCCION DE LAS FORMULAS DE TORSIÓN Sustituyendo el valor de G ϴ/L en la ecuación (c) por su equivalente T/J dado por (3-1) se obtiene: (3-2)

Para calcular el maximo esfuerzo cortante, que es la expresión mas utilizada en la practica, se sustituye ρ por el radio r del árbol, es decir: (3-2a) Al haber aplicado la ley de Hooke en la deducción de la formulas, los esfuerzos no deben sobrepasar el limite de proporcionalidad. Además, conviene insistir en que estas expresiones solo son validas en le caso de secciones circulares, llenas y huecas.

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DEDUCCION DE LAS FORMULAS DE TORSIÓN En la figura se muestran los valores del momento polar de inercia para secciones circulares. (3-2b) (3-2c)

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DEDUCCION DE LAS FORMULAS DE TORSIÓN En muchas aplicaciones practicas, los arboles se utilizaran para transmitir potencia. Del estudio de la dinámica se sabe que la potencia P transmitida por un par constante T que gira a velocidad angular constante ω está dada por P= T ω donde ω esta medida en radianes por unidad de tiempo, Si el árbol gira a una frecuencia de f revoluciones por unidad de tiempo, ω = 2 Π f , y se tiene P= T 2 Π f

Así, el momento torsionante transmitido puede expresarse como T= P/ 2 Π f Como P medida en watts (1W = 1N . m/s) y f en revoluciones por segundo (r/s), la ecuación anterior determinara el momento torsionante en newton-metros.

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TRABAJO AUTONOMO 5: Consulta sobre TORSIÓN de los Libro de la Biografía utilizados en el semestre :

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!GRACIAS¡

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