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"A ñ o d e l D i á l o g o y R e c o n c i l i a c i ó n N a c i o n a l "

UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE SAN MARCOS (Universidad del Perú, DECANA DE AMERICA)

FACULTAD DE CIENCIAS ADMINISTRATIVAS ESCUELA DE ADMINISTRACIÓN CURSO: Estadística Aplicada PROFESOR: Vicente Armas, Edgar ALUMNO: Arista Reyes, Jordan Steven CÓDIGO: 17090257 AULA: 201 TURNO: Tarde SECCIÓN: 3

CIUDAD UNIVERSITARIA, JUNIO DE 2018

INTRODUCCIÓN En el presente trabajo de Estadística se muestra la aplicación de la distribución binomial y normal. En estadística, la distribución binomial es una distribución de probabilidad discreta que cuenta el número de éxitos en una secuencia de n ensayos de Bernoulli independientes entre sí, con una probabilidad fija p de ocurrencia del éxito entre los ensayos. Un experimento de Bernoulli se caracteriza por ser dicotómico, esto es, sólo son posibles dos resultados. A uno de estos se denomina éxito y tiene una probabilidad de ocurrencia p y al otro, fracaso, con una probabilidad q = 1 – p.

En estadística y probabilidad se llama distribución normal, distribución de Gauss o distribución gaussiana, a una de las distribuciones de probabilidad de variable continua que con más frecuencia aparece aproximada en fenómenos reales.

Por lo cual he aplicado los conocimientos para la solución de los ejercicios.

OBJETIVOS

➢ Identificar los conceptos de función de probabilidad y función de densidad para variables aleatorias discretas y continuas, respectivamente. ➢ Reconocer la distribución binomial y el contexto de su aplicación. ➢ Reconocer la distribución normal y el contexto de su aplicación.

MARCO TEORICO

La distribución binomial La distribución binomial es una distribución de probabilidad discreta que cuenta el número de éxitos en una secuencia de n ensayos de Bernoulli independientes entre sí, con una probabilidad fija p de ocurrencia del éxito entre los ensayos. Un experimento de Bernoulli se caracteriza por ser dicotómico, esto es, sólo son posibles dos resultados. A uno de estos se denomina éxito y tiene una probabilidad de ocurrencia p y al otro, fracaso, con una probabilidad q = 1 – p. ✓ La distribución binomial posee las siguientes características: A. Cada resultado se clasifica en una de dos categorías mutuamente excluyentes. B. La distribución es resultado de la cuenta del número de éxitos en una cantidad fija de ensayos C. La probabilidad de un éxito es la misma de un ensayo al siguiente. D. Cada ensayo es independiente. E. Una probabilidad binomial se determina de la siguiente manera:

F. La media se calcula de la siguiente manera:

G. La varianza es:

La distribución Normal La distribución normal (en ocasiones llamada distribución gaussiana) es la distribución continua que se utiliza más comúnmente en estadística. ❖ La distribución de probabilidad normal es una distribución continua con las siguientes características: A. Tiene forma de campana y posee una sola cima en el centro de la distribución. B. La distribución es simétrica. C. Es asintótica, lo cual significa que la curva se aproxima al eje X sin tocarlo jamás. D. Se encuentra completamente descrita por su media y su desviación estándar. E. Existe una familia de distribuciones de probabilidad normal. 1. Se genera otra distribución de probabilidad normal cuando cambia la media o la desviación estándar. 2. La distribución de probabilidad normal queda descrita por medio de la fórmula:

❖ La distribución de probabilidad normal estándar es una distribución normal particular.

A. Posee una media de 0 y una desviación estándar de 1. B. Toda distribución de probabilidad normal puede convertirse en una distribución de probabilidad normal estándar mediante la fórmula:

C. Al estandarizar una distribución de probabilidad normal, se indica la distancia de un valor de la media en unidades de desviación estándar. ❖ La distribución de probabilidad normal puede aproximar una distribución binomial en ciertas condiciones. A. nπ y n (1 – π) deben ser (ambos) por lo menos 5. 1. n es el número de observaciones. 2. π es la probabilidad de un éxito. B. Las cuatro condiciones de una distribución de probabilidad binomial son: 1. Sólo hay dos posibles resultados. 2. π permanece igual de una prueba a otra. 3. Las pruebas son independientes. 4. La distribución es el resultado de la enumeración del número de éxitos en una cantidad fija de pruebas. C. La media y la varianza de una distribución binomial se calculan de la siguiente manera:

D. El factor de corrección de continuidad de 0.5 se emplea para extender el valor continuo de X media unidad en cualquier dirección. Esta corrección compensa la aproximación a una distribución discreta por medio de una distribución continua.

PROBLEMA 1: En una distribución Bim(10;0.2), calcula p(X=3), p(x≤2), p(x>2),𝜎, µ Datos: n=10; p=0.2; q=0.8 1. 𝑃(𝑥 = 3) 𝑃(𝑥 = 3) = 𝐶310 (0.2)3 (0.8)7 10! 𝑃(𝑥 = 3) = × 8 × 10−3 × 0.2097152 3! 7! 𝑃(𝑥 = 3) = 0.201326592 Usando la tabla: 𝑃(𝑥 = 3) = 0.201 2. 𝑃(𝑥 ≤ 2) 𝑃(𝑥 ≤ 2) = 𝑃(𝑥 = 0) + 𝑃(𝑥 = 1) + 𝑃(𝑥 = 2)  𝑃(𝑥 = 0) = 𝐶010 (0.2)0 (0.8)10 =0.677  𝑃(𝑥 = 1) = 𝐶110 (0.2)1 (0.8)9=0.268435456  𝑃(𝑥 = 2) = 𝐶210 (0.2)2 (0.8)8=0.301989888 𝑃(𝑥 ≤ 2) = 0.677 +0.268435456+0.301989888 = 0.6777995264 Usando la tabla: 𝑃(𝑥 ≤ 2) = 𝑃(𝑥 = 0) + 𝑃(𝑥 = 1) + 𝑃(𝑥 = 2) 𝑃(𝑥 ≤ 2) = 0.107 + 0.268 + 0.302 𝑃(𝑥 ≤ 2) = 0.677 3. 𝑃(𝑥 > 2) 𝑃(𝑥 > 2) = 1 − 𝑃(𝑥 ≤ 2) 𝑃(𝑥 > 2) = 1 − 0.677 𝑃(𝑥 > 2) = 0.323 4. 𝜇 = 𝑛𝑝 = 10(0.2) = 2 5. 𝜎 = √𝑛𝑝𝑞 = √10(0.2)(0.8) = 1.264911064

PROBLEMA 2: Una urna contiene 40 bolas blancas y 60 bolas negras. Sacamos 8 veces una bola, devolviéndola, cada vez, a la urna. ¿Cuál es la probabilidad de que 5 sean blancas? Si repetimos 10 veces la experiencia, ¿Cuánto vale la media y la desviación típica? Probabilidad Binomial: P(x) = nCx πx(1 – π)n – x Media:

𝜇 = 𝑛𝜋 Desviación: 𝜎 = √𝑛𝜋(1 − 𝜋) a) Sacan 8 veces la bola ¿Cuál es la probabilidad de que 5 sean blancas? Datos:

n=8 x = 5 blancas 𝜋 = 0.4

Resolución: P(x) = nCx 𝜋 𝑋 (1 − 𝜋)𝑛−𝑋 P(5) = 8C5 (0.4)5 (1 − 0.4)8−5 8! P(5) = (0.01024)(0.216) 5! 3! 6𝑋7𝑋8 P(5) = (0.01024)(0.216) 1𝑋2𝑋3 P(5) = (56)(0.01024)(0.216) 𝐏(𝟓) = 𝟎. 𝟏𝟐𝟑𝟖𝟔𝟑𝟎𝟒 b) Repitiendo 10 veces la experiencia, ¿Cuánto vale la media y la desviación típica? Resolución:  Media: 𝝁 = 𝒏𝝅 𝝁 = 10(0.4) 𝝁=𝟒 

Desviación:

𝜎 = √𝑛𝜋(1 − 𝜋)

𝜎 = √10(0.4)(0.6) 𝝈 = 𝟏. 𝟓𝟒𝟗

PROBLEMA 3: Una urna contiene 3 bolas rojas y 7 verdes. Se saca una al azar, se anota el color y se vuelve a meter; y se realiza 5 veces esta experiencia. Calcula la probabilidad de obtener: a) tres rojas b) menos de tres rojas c) más de tres rojas d) alguna roja. Resolución: n=5 p=0.3 q=0.7 a) tres rojas 𝑛!

P(X=x) = (𝑥!∗(𝑛−𝑥)!).𝑝 𝑥 . (𝑞)𝑛−𝑥 5!

P(X=3) = (3!∗(2)!).(0.3)3 . (0.7)2 =10*(0.3)3 . (0.7)2 P(X=3) =0.1323 Respuesta: La probabilidad de obtener 3 rojas es de 13.23% b) menos de tres rojas P(X1.591) =1 – F (1.591) De la tabla de Z =1 - 0.94408 =0.05592  En una población con 2600 personas se desea saber ¿Cuántas tendrían un C.I. superior a 1.3? 0.05592*2600 = 145 El número de personas es de 145. b) P (Z 2) = 𝑃(𝑥 = 3) + 𝑃(𝑥 = 4)  𝑃(𝑥 = 3) = 𝐶34 (0.25)3 (0.75)1 = 0.046875  𝑃(𝑥 = 4) = 𝐶44 (0.25)4 (0.75)0 = 3.90625 × 10−3

∴ 𝑃(𝑥 > 2) = 0.046875 + 3.90625 × 10−3 = 0.05078125 PROBLEMA 16: La duración media de un lavavajillas es de 15 años y su desviación típica 0’5. Sabiendo que la vida útil del lavavajillas se distribuye normalmente, hallar la probabilidad de que al adquirir un lavavajillas, este dure más de 15 años.

𝑧=

Distribución de probabilidad normal estándar:

𝑥−𝜇 𝜎

A. Hallar la probabilidad de que al adquirir un lavavajillas, este dure más de 15 años. Datos:

x = 15 𝜋 = 0.5 𝜎 = 0.5

𝑧=

Resolución:

𝑧=

𝑥−𝜇 𝜎

15 − 15 0.5 Z=0

Cuando Z = 0, tabla indica que el área bajo la curva es de 0.5

7.5

15

7.0

0.5 55

Rpta: La probabilidad de adquirir in lavavajillas que dure más de 15 años es de 7.0

PROBLEMA 17: Una determinada raza de perros tiene cuatro cachorros en cada camada. Si la probabilidad de que un cachorro sea macho es de 0’55, se pide: a) Calcular la probabilidad de que en una camada dos exactamente sean hembras. b) Calcular la probabilidad de que en una camada al menos dos sean hembras Resolución: n=4 p=0.45 q=0.55 𝑛!

P(X=x) = (𝑥!∗(𝑛−𝑥)!).𝑝 𝑥 . (𝑞)𝑛−𝑥 a) Calcular la probabilidad de que en una camada dos exactamente sean hembras 𝑛!

P(X=x) = (𝑥!∗(𝑛−𝑥)!).𝑝 𝑥 . (𝑞)𝑛−𝑥 4!

P(X=2) = (2!∗(2)!).(0.45)2 . (0.55)2 = 6*(0.45)2 . (0.55)2 =0.3675375 Respuesta: La probabilidad de obtener exactamente dos hembras en una camada es de 36.75% b) Calcular la probabilidad de que en una camada al menos dos sean hembras

P(X≥2) = 1-P(X 20) = 1 – p(x< 20) =1 – p ( = 1 –p (z < 2) =1 – (0.97725) = 0.02275

Probabilidad de que el próximo vuelo llegue con más de 20 minutos de retraso es 0.02275. PROBLEMA 20: El peso medio de los estudiantes de los estudiantes de un colegio es 60 kg y la desviación típica es de 6kg. Suponiendo que los pesos están normalmente distribuidos. a) ¿Cuál es la probabilidad de que un estudiante pese menos de 64kg? 𝑥 ~ 𝑁 ( 60; 36) 𝑃 (𝑋 < 64) Estandarizando: 𝑋−𝑢 64 − 𝑢 𝑃 ( < ) 𝜕 𝜕 64 − 60 𝑃 (𝑍 < ) 6 𝑃 ( 𝑍 < 0.666) = 0.74215 = 74,2 % b) ¿Cuál es la probabilidad de que un estudiante pese 57 kg o más? 𝑥 ~ 𝑁 ( 60; 36) 𝑃 (𝑋 > 57) Estandarizando: 𝑋−𝑢 57 − 𝑢 1− 𝑃 ( < ) 𝜕 𝜕 57 − 60 1− 𝑃 (𝑍 < ) 6

1− 𝑃 ( 𝑍 < −0.55) = 0.69146 ≅ 69,1% C) Si los estudiantes son 200, ¿Cuántos cabe esperar que pesen más de 57 kg y menos de 64 kg?  Para el área entre 57 y la media 60. 57 − 60 = −0.5 6 𝑓(−0.5) = 0.30854 𝑓(0) = 0.5000 𝑃𝑜𝑟 𝑙𝑜 𝑡𝑎𝑛𝑡𝑜 𝑎𝑟𝑒𝑎 𝑠𝑜𝑙𝑖𝑐𝑖𝑡𝑎𝑑𝑎 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 𝑙𝑎 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑎 𝑦 57, 𝑒𝑠 𝑙𝑎 𝑑𝑖𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 = 0.19146 𝑍=



Para el área entre la media 60 y 64 𝑍=

64 − 60 = 0.666 6

𝑓(0.666) = 0.74537 𝑓(0) = 0.5000 𝑃𝑜𝑟 𝑙𝑜 𝑡𝑎𝑛𝑡𝑜 𝑎𝑟𝑒𝑎 𝑠𝑜𝑙𝑖𝑐𝑖𝑡𝑎𝑑𝑎 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 𝑙𝑎 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑎 𝑦 64, 𝑒𝑠 𝑙𝑎 𝑑𝑖𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 = 0. 24537 RESP: 𝐴𝑟𝑒𝑎 𝑝𝑒𝑑𝑖𝑑𝑎 = 0.19146 + 0.24537 = 0.43683 ≅ 43,6% PROBLEMA 21:

Considérense las tres distribuciones binomiales Bin (10; 0.1), Bin (200; 0.1) y Bin (2000; 0.1) y explicar cuál de ellas se puede aproximar mejor y cuál peor por una distribución normal, justiciando la respuesta  Bin (10; 0.1) n=10 p=0.1 q=0.9  Para pasar de una binomial a una normal se tiene que considerar que np y nq sean mayores o iguales a 5 np= 10*0.1 nq= 10* 0.9 np= 1 nq= 9  Por lo que no necesita aproximarse a la normal. Bin (200; 0.1) np= 200*0.1 nq= 200* 0.9 np= 20 nq= 180  Aquí sí se puede aproximar a la normal Bin (2000; 0.1) np= 2000*0.1 nq= 2000* 0.9 np= 200 nq= 1800  Aquí sí se puede aproximar la normal. PROBLEMA 22: Una encuesta revela que el 20 % de la población es favorable a un político y el resto es desfavorable. Elegidas seis personas al azar, se desea saber: X = Numero de población favorable a un político 𝑛=6 𝑝 = 0.2 𝑋~𝐵𝑖𝑛(6; 0.2) a) La probabilidad de que las seis personas sean desfavorables. 𝑛 1 − 𝑃(𝑋 = 𝑥) = 1 − ( ) 𝑝 𝑥 (1 − 𝑝)𝑛−𝑥 𝑥 6 1 − 𝑃(𝑋 = 6) = 1 − ( ) 0.26 (0.8)6−6 = 1 6 b) La probabilidad de que las seis personas sean favorables.

𝑛 𝑃(𝑋 = 𝑥) = ( ) 𝑝 𝑥 (1 − 𝑝)𝑛−𝑥 𝑥 6 𝑃(𝑋 = 6) = ( ) 0.26 (0.8)6−6 = 0 + 6 PROBLEMA 23: En un examen a un gran número de estudiantes, se comprobó que las calificaciones obtenidas correspondían razonablemente a una distribución normal con calificación media de 6 y desviación típica de 1. Elegido al azar un estudiante, calcular cuál es la probabilidad de que su calificación este comprendida entre 6,7 y 7,1. x−µ 𝑧= µ= 6 𝜎= 1 𝜎  p(6,7 ≤x≤ 7,1)= f(7,1) – f(6,7)  p(6,7 ≤x≤ 7,1)= 1,1 – 0,7  p(0,7 ≤z≤ 1,1)=  usando la tabla estadística:  p(1,1)= 0.8643  p(0,7)= 0.7580  p(1,1)-p(0,7)= 0.8643- 0.7580  p(1,1)-p(0,7)= 0,1063 RESP. La probabilidad de que su calificación este comprendida entre 6,7 y 7,1 es de 10, 63% PROBLEMA 24:

El tiempo necesario para que una ambulancia llegue a un centro deportivo se distribuye según una variable normal de media 17 minutos y desviación típica 3 minutos. DATOS: µ=17 ơ =3 a) Calcular la probabilidad de que el tiempo de llegada est´e comprendido entre 13 y 21 minutos. X(13 20) = 1 − 𝑃(𝑥 ≤ 20) 𝑥 − 𝜇 20 − 25 = 1 − 𝑃( ≤ ) 𝜎 4,33 𝑥−𝜇 = 1 − 𝑃( ≤ −1,154) 𝜎 = 1 − 0,12507 = 𝟎, 𝟖𝟕𝟒𝟗𝟑

b) Calcular la probabilidad de que de las 20 primeras preguntas acierte a lo sumo 4. 𝑛 = 4; 𝑝 =

1 3 = 0,25; 𝑞 = = 0,75 4 4 𝑃(𝑥 ≤ 4) = 𝑃(0) + 𝑃(1) + 𝑃(2) + 𝑃(3) + 𝑃(4)

𝐷𝑜𝑛𝑑𝑒: 𝑃(𝑥) = 𝐶𝑥𝑛 𝑝 𝑥 𝑞𝑛−𝑥 Haciendo uso del método binomial: 𝑃(0) = 𝐶04 (0,25)0 (0,75)4 = 0, 316406 Haciendo uso de la tabla: P(1)= 0,422 ; P(2)=0,211 ; P(3)=0,047 ; P(4)=0,004  𝑃(𝑥 ≤ 4) = 𝑃(0) + 𝑃(1) + 𝑃(2) + 𝑃(3) + 𝑃(4) 𝑃(𝑥 ≤ 4) = 0,316 + 0,422 + 0,211 + 0,047 + 0,004 𝑃(𝑥 ≤ 4) = 1 PROBLEMA 26: En un gran estadio deportivo se quiere instalar focos para iluminar el campo de juego. El suministrador asegura que el tiempo de vida de los focos es, aproximadamente, normal con media de 40 horas y desviación típica 4 horas. a) Escogiendo un foco al azar, ¿cuál es la probabilidad de que luzca al menos 30 h? b) Si se compran 1500 focos, ¿cuántos se puede esperar que luzcan por lo menos 30 h? Solución: 𝑥−𝜇

𝑧= 𝜎 40 − 30 𝑧= 4 𝑧 = 2.5 𝑃(𝑥 ≥ 2.5) = 0.5 − 𝑃(0 ≤ 𝑥 ≤ 2.5) 𝑃(𝑥 ≥ 2.5) = 0.5 − 0.49379 𝑃(𝑥 ≥ 2.5) = 0.621 a)

b) 𝑅𝑝𝑡𝑎 = 1500 ∗ 0.621 = 931.5 PROBLEMA 27:

La probabilidad de nacimientos de niños varones en España es de 51.7%. Calcula la probabilidad de que una familia con 5 hijos tenga: a) Por lo menos una niña. b) Por lo menos un niña. Este problema se ajusta a una distribución de probabilidad de una variable aleatoria discreta, siendo esta X” nº de niñas en cada nacimiento”. En particular, sigue una distribución binomial B (5, 0.483) ya que se cumplen las siguientes condiciones:

-

En cada nacimiento sólo son posibles dos resultados (niño o niña) - La probabilidad de nacer niña, p = 0,483 es constante. - Cada nacimiento es independiente del anterior. - Hablamos de un número determinado de nacimientos (5)

a) La probabilidad que nos piden es P(X≥ 1) = 1 – P(X≤0) = 1- 0,0345 = 0, 9631 RESP: La probabilidad de que en una familia de 5 hijos haya nacido por lo menos una niña es aproximadamente 96%. b) La probabilidad que nos piden es P(X≥ 1) = 1 – P(X≤0) = 1- 0.0263 = 0.9737 RESP: La probabilidad de que en una familia de 5 hijos haya nacido por lo menos un niño es aproximadamente 97%.

PROBLEMA 29: DATOS: 𝑛 = 200; 𝜇 = 65; 𝜎 = 8 a) 𝑃(𝑥 > 6) = 1 − 𝑃(𝑥 < 6) 𝑋 − 𝜇 61 − 65 𝑃(𝑥 > 6) = 1 − 𝑃( < ) 𝜎 8 𝑃(𝑥 > 6) = 1 − 𝑃(𝑍 < 0.5) 𝑃(𝑥 > 6) = 1 − 0.30854 = 0.69146 b) 𝑃(63 < 𝑥 < 69) = 𝑃(𝑥 < 69) − [1 − 𝑃(𝑥 < 63)] 𝑥 − 𝜇 69 − 65 𝑥−𝜇 63 − 65 𝑃(63 < 𝑥 < 69) = ( < ) − [1 − 𝑃 ( )< ] 𝜎 8 𝜎 8 𝑃(63 < 𝑥 < 69) = (𝑧 < 0.5) − [1 − 𝑃 < −0.25] 𝑃(63 < 𝑥 < 69) = 0.69146 − [1 − 0.40129] 𝑃(63 < 𝑥 < 69) = 0.69146 − 0.59875 𝑃(63 < 𝑥 < 69) = 0.09275 PROBLEMA 30: De 1000 medidas de tallas se obtuvo una media de 165 cm y una desviación típica de 8 cm. Se supone que la distribución es normal y se pide: 𝜎=8

Datos: I.

𝜇 = 165 𝑐𝑚

Decir cuántas medidas son menores de 157 cm.

𝑥−𝜇 𝜎 157 − 165 𝑧= 8 𝑧 = −1 Cuando Z = -1, tabla indica que el área bajo la curva es de 0.3413 𝑧=

0.3413 82.1587

157

165

Rpta: La probabilidad de que las medidas sean menores de 157cm es de 8215.87% del total, en consecuencia son en total 677, 809 medidas menores de 157 cm II. Cuántas se hallan entre 167 y 181 cm Datos:  1er valor en 167: 𝑥−𝜇 𝑧= 𝜎 167 − 165 𝑧= 8 𝑧 = 0.25  2do valor en 181: 𝑥−𝜇 𝜎 181 − 165 𝑧= 8 𝑧=2 𝑧=

Realizando una diferencia (2 - 0.25). Cuando Z = 1.75, tabla indica que el área bajo la curva es de 0.459

0.4599 82.5

165

167

181

Rpta: La probabilidad de que las medidas se hallen entre 167 y 181 es de 45.99% del total, en consecuencia son en total 37945 medidas menores entre 167 y 181 cm.

PROBLEMA 31: La probabilidad de que un estudiante obtenga el tıtulo de arquitecto es de 0’3. Calcular la probabilidad de que de un grupo de siete estudiantes matriculados en primer curso: a) los siete finalice la carrera. b) al menos dos acaben la carrera. Resolución: n=7 p=0.3 q=0.7 𝑛! ).𝑝 𝑥 . (𝑞)𝑛−𝑥 𝑥!∗(𝑛−𝑥)!

P(X=x) = (

a) los siete finalicen la carrera 7!

P(X=7) = (7!∗(0)!).(0.3)7 . (0.7)0 =0.0002187 Respuesta: La probabilidad de que los siete finalicen la carrera es de 0.02187% b) al menos dos acaben la carrera. P(X≥2) = = 1-P(X5)= 1- p (𝑥 ≤5) = 1 – 0+ =0+ c) no asista a clase ningún alumno. Bin (n=10; p=0.05; x=10)= 0+ d) falte a clase un único alumno. Bin (n=10; p=0.05; x=1)= 0.315 e) falten a clase menos de 3 alumnos. Bin (n=10; p=0.05; x≤2)= 0.086

PROBLEMA 36: La estatura de una población se distribuye normalmente con media 170 cm y desviación típica 6 cm. Calcular la probabilidad de que elegido un individuo al azar tenga su estatura comprendida entre 158 y 162 cm. 𝑋~𝑁(170; 36)  Tipificación: X= 158 𝑋 − 𝜇 158 − 170 𝑧= = = −2 𝜎 6 𝐹(−2) = 0.02275

 X= 162 𝑋 − 𝜇 162 − 170 𝑧= = = −1.3333 𝜎 6 𝐹(−1.33) = 0.09176 𝐹(−1.33) − 𝐹(−2) = 0.09176 − 0.02275 = 0.06901

PROBLEMA 37: Tiramos una moneda perfecta 100 veces. Hacemos la predicción de que saldrá un número de caras comprendido entre 44 y 56. Calcula la probabilidad de no acertar.  p(6,7 ≤x≤ 7,1) 44−50 x= 6,7  𝑧 = z= -1,2 5 56−50

x=7,1  𝑧 = z=1,2 5  p(-1,2 ≤x≤ 1,2)= p(1,2)-p(-1,2)  usando la tabla estadística:  p(-1,2 ≤x≤ 1,2)= 0,8849 – 0,1150  p(-1,2 ≤x≤ 1,2)=0,7699

RESP. La probabilidad de no acertar en 76.99%

PROBLEMA 38: Una normativa europea obliga a que en los envases de yogur no debe haber menos de 120 gr. La máquina dosificadora de una empresa láctea hace los envases de yogur según una ley normal de desviación típica de 2 gr. y media 122 gr. DATOS: µ=122 ơ =4 a) ¿Qué tanto por ciento de los envases de yogur de esa empresa cumplira la normativa? P(x>120) X~N (122, 4) 𝑥−µ 𝑡−µ 1−𝑃( ≤ ) ơ ơ 𝑥 − 122 120 − 122 1−𝑃( ≤ ) 2 2 120 − 122 1 − 𝑃 (𝑧 ≤ ) 2 1 − 𝑃(𝑧 ≤ −1) 1-f(-1) = 1-0.15866= 0.84134 b) ¿Cual deberá ser la media de la ley normal con la cual la maquina dosificadora debe hacer los envases para que el 98 % de la producción de yogures de la empresa cumpla la normativa? (La desviación típica sigue siendo de 2 gr.). X~N(122, 4) 𝑥−µ 𝑡−µ 1−𝑃( ≤ ) ơ ơ 𝑥 − µ 120 − µ 1−𝑃( ≤ ) 2 2 120 − µ 1 − 𝑃 (𝑧 ≤ ) 2 120 − µ 1 − 𝑓( ) = 0.98 2 120−µ 2

 Entonces, -0.85 =

= 121.7

RESP: µ = 121.7 PROBLEMA 39: Se ha aplicado un test de fluidez verbal a 500 alumnos de primero de E.S.O de un centro de secundaria. Se supone que las puntuaciones obtenidas se distribuyen según una normal de media 80 y desviación típica 12. Se pide: 𝑥: 𝑛º 𝑑𝑒 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 𝑜𝑏𝑡𝑒𝑛𝑖𝑑𝑎𝑠 𝑁(80; 12) a) ¿Qué puntuación separa el 25% de los alumnos con menos fluidez verbal? Sea x el valor de la variable que separa el 25% de los alumnos con menor fluidez verbal. 𝑥 − 𝜇 𝑥1 − 80 𝑥1 − 80 25% = 𝑃(𝑥 ≤ 𝑥1) = 𝑃 ( ≤ ) = 𝑃 (𝑍 ≤ ) = 0,25 𝜎 12 12 𝑥1 − 80 = −0,67 12 𝑥1 − 80 = −8,04 𝒙𝟏 = 𝟕𝟏, 𝟗𝟔

Por tanto, el 25% de los alumnos con menor fluidez verbal obtiene puntuaciones en el test inferiores a 71'96. b) ¿A partir de qué puntuación se encuentra el 25% de los alumnos con mayor fluidez verbal? Sea x2 el valor de la variable que separa el 25% de los alumnos con menor fluidez verbal. 25% = 𝑃(𝑥 > 𝑥2) = 1 − 𝑃(𝑥 ≥ 2)  0,75 = 𝑃(𝑥) ≤ 𝑥2 = 𝑃 (𝑍 ≤

𝑥2−80 ) 12

 𝐸𝑛𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑃(𝑧 ≤ 0,67) = 0,7486 𝑦 𝑃(𝑥 ≤ 0,68) = 0,7517  𝑇𝑜𝑚𝑎𝑚𝑜𝑠 0,67, 𝑦𝑎 𝑞𝑢𝑒 𝑒𝑙 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑐𝑢𝑦𝑎 𝑝𝑟𝑜𝑏𝑎𝑏𝑖𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑚𝑎𝑠 𝑠𝑒 𝑎𝑝𝑟𝑜𝑥𝑖𝑚𝑎. 𝑥2 − 80 = 0,67 12 𝒙𝟐 = 𝟖𝟖, 𝟎𝟒 Por tanto, el 25% de los alumnos con mayor fluidez verbal obtiene puntuaciones en el test superiores a 71'96. PROBLEMA 40: La media de ventas diarias de un vendedor de unos grandes almacenes es de 950 ¿Y la desviación típica es de 200 ¿Suponiendo que la distribución de ventas es normal, ¿cuál es la probabilidad de vender más de 1250 ¿en un día? a) Se tipifica la variable x: 𝑥−𝜇 𝑧= 𝜎 1250 − 950 𝑧= 200 𝑧 = 1.5 Siguiendo: 𝑃(𝑥 ≥ 1.5) = 0.5 − 𝑃(0 ≤ 𝑥 ≤ 1.5) 𝑃(𝑥 ≥ 1.5) = 0.5 − 0.43319 𝑃(𝑥 ≥ 1.5) = 0.06681

RESP: la probabilidad de vender mas de 1250 en un dia es 6.68% PROBLEMA 41: En un dado trucado, la probabilidad de sacar un 6 es el doble que la de cualquiera de los restantes números. Se lanza el dado 20 veces, ¿cuál es la probabilidad de que salga 6 más de quince veces? RESP: La probabilidad es cero, debiéndose interpretar este resultado como probalísticamente imposible, aunque en la práctica puede darse. PROBLEMA 43: Cierto tipo de batería dura un promedio de 3 años, con una desviación típica de 0’5 años. Suponiendo que la duración de las baterías es una variable normal: a) ¿Qué porcentaje de baterías se espera que duren entre 2 y 4años? 𝑃(𝑋 ≤ 4) − 𝑃(𝑋 ≤ 2) 4−3 2−3 𝑃 (𝑧 ≤ ) − 𝑃(𝑧 ≤ ) 0.5 0.5 𝑃(𝑧 ≤ −2) − 𝑃(𝑧 ≤ 2) 0.97725 − 0.02275 = 0.9545 b) Si una batería lleva funcionando 3 años, ¿cuál es la probabilidad de que dure menos de 4’5 años? 𝑃(𝑋 ≤ 4.5) − 𝑃(𝑋 ≤ 3) 0.5

4.5 − 3 ) − 0.5 0.5 0.5 𝑃(𝑧 ≤ 3) − 0.5 0.5 0.99865 − 0.5 = 0.9973 0.5 𝑃 (𝑧 ≤

PROBLEMA 44: Se conoce, por estudios previos, que la proporción de reses que enfermaran después de suministrarles una determinada vacuna es del 2 %. Una granja tiene 600 reses que son vacunadas. 𝑛 = 600; 𝑝 = 0.02; 𝑞 = 0.98 a) Determina el número esperado de reses que no enfermaran. 𝑛 ∗ 𝑞 = 600 ∗ 0.98 = 588 b) Halla la probabilidad de que el número de reses que enferman sea, como máximo 20. 𝑃(𝑋 ≤ 20; 600; 0.02) = 0.989169 c) Determina la probabilidad de que el número de reses que no enferman sea, como mínimo, 590. 𝑃(𝑋 ≥ 590; 600; 0.98) 1 − 𝑃(𝑋 ≤ 589; 600; 0.98) 1 − 0.654892 = 0.345108 PROBLEMA 45: En una empresa que fabrica microcircuitos se ha comprobado que el 4 % de estos son defectuosos. Un cliente compra un paquete de 500 microcircuitos procedentes de la fábrica. Determina: 𝑛 = 500; 𝑝 = 0.04; 𝑞 = 0.96 a) Número esperado de microcircuitos no defectuosos. 𝑛 ∗ 𝑞 = 500 ∗ 0.96 = 480 b) Probabilidad de que se encuentre más del 5 % de microcircuitos defectuosos. 5%𝑛 = 5% ∗ 500 = 25 𝑃(𝑋 > 25; 500; 0.04) 1 − 𝑃(𝑋 ≤ 25; 500; 0.04) 1 − 0.892364 = 107636 c) Probabilidad de que el número de microcircuitos defectuosos este entre 20 y 30 (sin incluir). 𝑃(20 < 𝑋 < 30; 500; 0.04) 𝑃(𝑋 ≤ 29; 500; 0.04) − 𝑃(𝑋 ≤ 21; 500; 0.04) 0.968570 − 0.645454 = 0.323116