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4 EJERCICIOS GAMMA Y EXPONENCIAL 6.39 Utilice la función gamma con y= √ 2 x para demostrar que Γ

( 12 )=√ π .

∞

Γ ( z )=∫ e−t t z −1 dt 0

∞

1

∞

−1 1 Γ =∫ e−t t 2 dt=∫ e−t t 2 0 0

()

−1 2

∞

dt =∫ 0

e−t dt √t

t=u2 u= √t dt=2u du ∞

∞

2

e−u ¿∫ 2u du=2∫ e−u d u u 0 0 2

2

Al multiplicarse po 2 la funcione−u , su grafica se formaria una parabola donde suslimitesira de−∞ a+ ∞ ∞ −u

Respuesta:=∫ e

2

du= √ π

0

6.40 En cierta ciudad, el consumo diario de agua (en millones de litros) sigue aproximadamente una distribución gamma con α = 2 y β = 3. Si la capacidad diaria de dicha ciudad es de 9 millones de litros de agua, ¿cuál es la probabilidad de que en cualquier día dado el suministro de agua sea inadecuado? ∞

x 3

x −x P ( x> 9 )=∫ x dx=− e 3 −e 3 9

−x 3

|∞9

¿ 4 e−3 Respuesta : 0.1992 6.41 Si una variable aleatoria X tiene una distribución gamma con α = 2 y β = 1, calcule P(1.8 < X < 2.4). 2.4

P ( 1,8< x< 2,4 )=∫ xe−4 dx=−xe− x −e−x 2.4=2.8 e−1.8 −3.4 e−2.4 1.8 1.8

|

Respuesta: 0.1545 6.44 En cierta ciudad el consumo diario de energía eléctrica, en millones de kilowatts-hora, es una variable aleatoria X que tiene una distribución gamma con media μ = 6 y varianza σ 2= 12. a) Calcule los valores de α y β. b) Calcule la probabilidad de que en cualquier día dado el consumo diario de energía exceda los 12 millones de kilowatts-hora.

Literal a μ=α β=6 σ 2=α β 2=12

α=

6 β

6 β=12 Respuesta: β =2 α=3

Literal b ∞

x

P ( x>12 ) =

1 ∫ x2 e 2 dr 16 12

P ( x>12 ) =

1 −2 x 2 e 2 −8 xe 2 −16 e 16

[

Respuesta: 0.0620

−x

−x

−x 2

]|12∞ =25 e

−6