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• 3.7.- Flotación y Estabilidad de Cuerpos Sumergidos. •

3.7.1.- Principio de Arquímedes.

•

El principio de Arquímedes dice que un cuerpo sumergido total o parcialmente en un medio fluido, experimenta un empuje hacia arriba y no tiene componentes horizontales (Fx =Fy = 0); y es igual al peso del volumen del fluido desalojado. Este empuje se encuentra situado en el centro de gravedad del volumen desplazado y se llama centro de empuje. ▼ V1

A

BB γc

Vc D

γ

γc C

•

Aplicando la ley hidrostática de presiones la fuerza hacia arriba ejercida por el líquido sobre el fondo del cuerpo sumergido es igual al peso del líquido real o imaginario que está por encima de la superficie ADC

•

FADC ↑ = γ (V1 +Vc)

•

La fuerza hacia abajo sobre la superficie superior del cuerpo sumergido es igual al peso del líquido sobre ella

•

FABC ↓ = γ V1

•

Por lo tanto el cuerpo está sometido a un empuje ascensional que corresponde a la resultante de estas dos fuerzas:

•

E ↑ = FADC ↑ - FABC ↓

•

E ↑ = γ Vc

Empuje Ascensional

Principio de Arquímedes

• Principio de Arquímedes: •

Todo cuerpo sumergido total o parcialmente en un líquido experimenta un empuje ascensional igual al peso del líquido que desaloja.

•

Sobre el cuerpo actúa también el peso W, por lo tanto si: – W > E el cuerpo se hunde totalmente – W < E el cuerpo sale a la superficie – W = E el cuerpo permanece sumergido en la posición que se le deje.

•

El volumen del fluido desalojado por el cuerpo se denomina Volumen de Carena y su centro de gravedad se llama Centro de Carena.

• Definición de Estabilidad: • •

Un cuerpo se encuentra en equilibrio: – (a) Estable: si frente a un desplazamiento elemental, vuelve a su posición original. – (b) Inestable: si frente a un desplazamiento elemental tiende a alejarse de su posición original – (c) Indiferente: si frente a un desplazamiento elemental queda en la nueva posición sin tender a volver ni alejarse de su posición inicial.

▼

(a)

(b)

(c)

• 3.7.2.- Equilibrio de Cuerpos Totalmente Sumergidos •

En el caso de cuerpos totalmente sumergidos el Empuje E es igual al Peso del cuerpo P.

• E=W

•

Considérese un cuerpo sumergido, en el seno de un líquido; si está en equilibrio, la suma de fuerzas que actúan sobre él debe ser nula. Sobre el cuerpo actúan dos campos de fuerzas: las fuerzas másicas, distribuidas uniformemente en toda la masa del cuerpo; cuya resultante tiene dirección vertical, hacia abajo, aplicada en el centro de gravedad de la masa del cuerpo, G; y las fuerzas de presión del líquido, distribuidas en toda la superficie del cuerpo, cuya resultante tiene dirección vertical, hacia arriba, y aplicada en el centro de gravedad del volumen del cuerpo C

•

En equilibrio, los módulos de las resultantes deben ser iguales. La clave está en la posición relativa de los dos centros de aplicación, se tienen los siguientes casos de equilibrio:

•

Equilibrio estable: GC > 0, el centro de gravedad está por debajo del centro de empuje, con lo que cualquier desequilibrio, genera un par de fuerzas equilibrantes, que devuelve al cuerpo a su posición de equilibrio inicial. El valor del par equilibrante, T, viene determinado por el ángulo de desequilibrio y la distancia entre el centro de gravedad del cuerpo y el centro de empuje T = E GC senα

C sobre G

•

Equilibrio inestable: GC < 0, el centro de gravedad está por encima del centro de empuje, con lo que cualquier desequilibrio, genera un par de fuerzas desequilibrantes, que alejan al cuerpo a su posición de equilibrio inicial.

C bajo G

•

Equilibrio indiferente: GC = 0, el centro de gravedad del cuerpo coincide con el centro de empuje, con lo que cualquier desequilibrio, saca al cuerpo de su equilibrio inicial, y lo deja en un nuevo estado de equilibrio. E

C

G W

C=G

•

3.7.3.- Equilibrio de Cuerpos Parcialmente Sumergidos.

•

Para cuerpos flotantes (parcialmente sumergidos) el criterio de estabilidad anterior no es válido. W

W

G1

G C

C1

E

E

•En equilibrio E = W •G y C en la misma vertical

W

G2 C2 E

•Momento Volcante

•Momento Volcante

•Se desplaza G a G1

•Se desplaza G a G2

•Cambia C a C1

•Cambia C a C2

•Cambian volúmenes. Pero sigue estable y se restituye equilibrio

•Cambian volúmenes. Es inestable y se vuelca

• Equilibrio de Cuerpos Parcialmente Sumergidos: •

En el caso de objetos flotando, la parte inferior del objeto está sumergida, y la parte superior está emergida; la separación entre ambas partes es la intersección del plano horizontal de la superficie libre con la superficie del objeto, y se denomina línea de flotación. La resultante de las fuerzas de presión distribuidas a lo largo de toda la superficie mojada (evidentemente sólo la parte sumergida) es una fuerza vertical hacia arriba, de módulo igual al peso del volumen de líquido desalojado, con su centro de aplicación en el centro de gravedad del volumen sumergido:

•

Eje de flotación: Es el eje que pasa por el centro de gravedad G del cuerpo y es normal al plano de flotación.

•

Metacentro: Corresponde a la intersección del eje de flotación con la vertical que pasa por el nuevo centro de carena cuando el cuerpo flotante se gira en un ángulo pequeño. Eje de flotación

▼

G

G C

C1 M: Metacentro

•

Criterios para definir la estabilidad de cuerpos flotantes.

•

Equilibrio Estable: Cuando la distancia metacéntrica es positiva (El Metacentro M está sobre el Centro de Gravedad G.

W

W

M

G1

G C

C1

E

E

W

G2 C2 M E

Equilibro Inestable: Cuando la distancia metacéntrica es negativa (El Metacentro M está bajo el Centro de Gravedad G. Equilibrio Neutro o Indiferente: Cuando la distancia metacéntrica es nula, es decir el Metacentro coincide con el centro de Gravedad G

•

Para determinar la distancia metacéntrica se analizará la estabilidad de un cuerpo flotante sometido a una rotación pequeña Δθ alrededor del eje de flotación, de modo que al lado izquierdo se desplaza un volumen de agua igual al que abandona el lado M derecho. ΔF

ΔF

θ X

G C’ e

E’

L C

W E

•

Producto del volumen desplazado en el lado izquierdo se desarrolla una fuerza ΔF↑ y al lado derecho una fuerza de igual magnitud pero hacia abajo ΔF↓. Estas fuerza forman un par P en dirección del eje Y.

•

El sistema de fuerzas en rojo es equivalente a la fuerza única E’ aplicada en C’

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Para determinar e se debe igualar los momentos de ambos sistemas de fuerza respecto a un eje paralelo a Y que pase por C’ • •

•

-Ee+P=0 e = P/E = P/W

Geométricamente e = MC sen Δθ

•

•

Para evaluar P

P  F x    x dV    x 2 tg dA

S0: superficie de flotación

S0

S0

P   tg  x 2 dA   tg I yy S0

•

Iyy: Segundo momento del área de flotación S0 respecto al eje Y

 tg I yy  e W MC  •

e  tg  I yy sen W sen

Para ángulos muy pequeños

tg 1 sen

 I yy MC  W

 I yy MG  MC  L  L W Distancia Metacéntrica

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Un valor positivo de MG implica que MC > L y por lo tanto se trata de un equilibrio estable, mientras que valores negativos significan que MC < L y se trata de un equilibrio inestable.

•

Esta metodología es válida para ángulos Δθ pequeños (Δθ < 5°). Para valores mayores las relaciones anteriores dejan de tener validez.

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El criterio de estabilidad es menos relevante a medida que los balanceos son mayores. Un oleaje lateral fuerte puede volcar un barco y hacer que zozobre.