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Utilizar los teoremas del seno y del coseno, junto con esquemas de los triángulos de fuerzas. Para resolver los problemas siguientes. Determinar el modulo de la resultante R y el ángulo 𝜃 que forman la recta soporte de la resultante y el eje x en los que sigue: 2.1 Las dos fuerzas representadas en la figura P2-1 𝑐 2 = 𝑎2 + 𝑏 2 − 2𝑎𝑏 cos 𝜃𝑥 𝑐 = √(120𝑁)2 + (90𝑁)2 − 2(120𝑁)(90𝑁) cos 90° 𝑅 = 𝑐 = 150𝑁 90𝑁 150𝑁 = , sin 𝜃𝑟 sin 90°

sin−1

3 = 36.86° 5

2.2 Las dos fuerzas representadas en la figura P2-2 𝑐 2 = 𝑎2 + 𝑏 2 − 2𝑎𝑏 cos 𝜃𝑥 𝑐 = √(60𝑁)2 + (54𝑁)2 − 2(60𝑁)(54𝑁) cos 120° 𝑅 = 𝑐 = 98.77𝑁 54𝑁 98.77𝑁 = sin 𝜃𝑟 sin 120°

,

sin−1 . 4734 = 28.25°

2.3 Las dos fuerzas representadas en la figura P2-3 𝑐 2 = 𝑎2 + 𝑏 2 − 2𝑎𝑏 cos 𝜃𝑥 𝑐 = √(480𝑁)2 + (400𝑁)2 − 2(480𝑁)(400𝑁) cos 82° 𝑅 = 𝑐 = 580.48𝑁 400𝑁 580.48𝑁 = sin 𝜃𝑟 sin 82°

,

sin−1 . 6823 = 43.02°

2.4 Las dos fuerzas representadas en la figura P2-4 𝑐 2 = 𝑎2 + 𝑏 2 − 2𝑎𝑏 cos 𝜃𝑥 𝑐 = √(250𝑁)2 + (200𝑁)2 − 2(250𝑁)(200𝑁) cos 130° 𝑅 = 𝑐 = 408.38𝑁 200𝑁 408.38𝑁 = sin 𝜃𝑟 sin 130°

sin−1 . 3751 = 22.03°

,

2.5 Las dos fuerzas representadas en la figura P2-5 5 tan−1 ( ) = 59.03° 3 𝑐 2 = 𝑎2 + 𝑏 2 − 2𝑎𝑏 cos 𝜃𝑥 𝑐 = √(90𝑁)2 + (110𝑁)2 − 2(90𝑁)(110𝑁) cos 59.03° 𝑅 = 𝑐 = 100.05𝑁 90𝑁 100.05𝑁 = sin 𝜃𝑟 sin 59.03°

,

sin−1 . 7713 = 50.47°

2.6 Las dos fuerzas representadas en la figura P2-6 5 tan−1 ( ) = 68.19° 2

5 tan−1 ( ) = 22.61° 12

𝑐 2 = 𝑎2 + 𝑏 2 − 2𝑎𝑏 cos 𝜃𝑥 𝑐 = √(170𝑁)2 + (210𝑁)2 − 2(170𝑁)(210𝑁) cos 45.59° 𝑅 = 𝑐 = 151.77𝑁 170𝑁 151.77𝑁 = sin 𝜃𝑟 sin 45.59°

,

sin−1 . 8001 = 53.13°

𝜃𝑟 = 53.13° − 23.61° = 30.53°

2.7 Las dos fuerzas representadas en la figura P2-7

2.8 Las dos fuerzas representadas en la figura P2-8

2.9 Las tres fuerzas representadas en la figura P2-9

2.10 Las tres fuerzas representadas en la figura P2-10

2.11 Las tres fuerzas representadas en la figura P2-11

2.12 Las tres fuerzas representadas en la figura P2-12

2.13 Las tres fuerzas representadas en la figura P2-13

2.14 Las tres fuerzas representadas en la figura P2-14

2.15 Las cuatro fuerzas representadas en la figura P2-15

2.16 Las cuatro fuerzas representadas en la figura P2-16

Utilizar los teoremas del seno y del coseno, junto con esquemas de los triángulos de fuerzas, para resolver los problemas siguientes. Determinar las magnitudes de las componentes u y v de 2.17 La fuerza de 1000N representada en la figura P2-17

Escriba aquí la ecuación. 2.18 La fuerza de 750N representada en la figura P2-18

2.19 La fuerza de 650N representada en la figura P2-19

2.20 La fuerza de 25kN representada en la figura P2-20

Utilizar el método de las componentes rectangulares para resolver los problemas siguientes. Determinar el modulo R de la resultante y el ángulo 𝜃𝑥 que forma su recta soporte con el eje x. 2.47 Las tres fuerzas representadas en la figura P2-47

∑ 𝐹𝑥 = 600𝑁 cos 60° + 300𝑁 cos 180° + 750𝑁 cos 327° = 629.0029𝑁 ∑ 𝐹𝑦 = 600𝑁 sin 60° + 300𝑁 sin 180° + 750𝑁 sin 327° = 111.1359 𝑁 𝐹𝑅 = √∑ 𝐹𝑥 2 + ∑ 𝐹𝑦 2 = √(629.0029𝑁)2 + (111.1356𝑁)2 = 638.7454𝑁 tan 𝜃𝑅 =

∑ 𝐹𝑦 ∑ 𝐹𝑥

𝜃𝑅 = tan−1

∑ 𝐹𝑦 111.1359𝑁 = tan−1 = 10.01° ∑ 𝐹𝑥 629.0029𝑁

2.48 Las tres fuerzas representadas en la figura P2-48

∑ 𝐹𝑥 = 5𝑘𝑁 cos 32° + 3𝑘𝑁 cos 110° + 4𝑘𝑁 cos 325° = 6.490788𝑘𝑁 ∑ 𝐹𝑦 = 5𝑘𝑁 sin 32° + 3𝑘𝑁 sin 110° + 4𝑘𝑁 sin 325° = 3.174368𝑘𝑁

𝐹𝑅 = √∑ 𝐹𝑥 2 + ∑ 𝐹𝑦 2 = √(6.490788𝑘𝑁)2 + (3.174368𝑘𝑁)2 = 7.225437𝑘𝑁 tan 𝜃𝑅 =

∑ 𝐹𝑦 ∑ 𝐹𝑥

𝜃𝑅 = tan−1

∑ 𝐹𝑦 3.174368𝑘𝑁 = tan−1 = 26.06° ∑ 𝐹𝑥 6.490788𝑘𝑁

2.49 Las tres fuerzas representadas en la figura P2-49

∑ 𝐹𝑥 = 25𝑘𝑁 cos 30° + 20𝑘𝑁 cos 60° + 10𝑘𝑁 cos 165° = 21.991376𝑘𝑁 ∑ 𝐹𝑦 = 25𝑘𝑁 sin 30° +20𝑘𝑁 sin 60° +10𝑘𝑁 sin 165° = 32.408698 𝑘𝑁 𝐹𝑅 = √∑ 𝐹𝑥 2 + ∑ 𝐹𝑦 2 = √(21.991376𝑘𝑁)2 + (32.408698𝑘𝑁)2 = 39.165601𝑘𝑁 tan 𝜃𝑅 =

∑ 𝐹𝑦 ∑ 𝐹𝑥

𝜃𝑅 = tan−1

∑ 𝐹𝑦 32.408698𝑘𝑁 = tan−1 = 55.84° ∑ 𝐹𝑥 21.991376𝑘𝑁

2.50 Las tres fuerzas representadas en la figura P2-50

3 tan−1 ( ) = 36.86° 4 2 tan−1 ( ) = 63.43° 1 3 tan−1 ( ) = 30.96° 5

∑ 𝐹𝑥 = 800𝑁 cos 36.86° + 500𝑁 cos 116.57° + 750𝑁 cos 149.04° = −226.7075𝑁 ∑ 𝐹𝑦 = 800𝑁 sin 36.86° +500𝑁 sin 116.57° +750𝑁 sin 149.04° = 1312.9133𝑁 𝐹𝑅 = √∑ 𝐹𝑥 2 + ∑ 𝐹𝑦 2 = √(−226.7075𝑁)2 + (1312.9133𝑁)2 = 1332.3429𝑁 tan 𝜃𝑅 =

∑ 𝐹𝑦 ∑ 𝐹𝑥

𝜃𝑅 = tan−1

∑ 𝐹𝑦 1312.9133𝑁 = tan−1 = −80.20 + 180° = 99.8° ∑ 𝐹𝑥 −226.7075𝑁

2.51 Las tres fuerzas representadas en la figura P2-51 1 tan−1 ( ) = 26.56° 2 2 tan−1 ( ) = 63.43° 1 1 tan−1 ( ) = 26.56° 2

∑ 𝐹𝑥 = 1000𝑁 cos 26.56° + 2000𝑁 cos 63.43° + 5000𝑁 cos 153.66° = −2691.8361𝑁 ∑ 𝐹𝑦 = 1000𝑁 sin 26.56° +2000𝑁 sin 63.43° +5000𝑁 sin 153.66° = 4454.3966𝑁 𝐹𝑅 = √∑ 𝐹𝑥 2 + ∑ 𝐹𝑦 2 = √(−2691.8361𝑁)2 + (4454.3966𝑁)2 = 5204.5778𝑁

tan 𝜃𝑅 =

∑ 𝐹𝑦 ∑ 𝐹𝑥

𝜃𝑅 = tan−1

∑ 𝐹𝑦 4454.3966𝑁 = tan−1 = −58.8550° + 180° = 121.145° ∑ 𝐹𝑥 −2691.8361𝑁

2.52 Las cuatro fuerzas representadas en la figura P2-52 5 tan−1 ( ) = 22.61° 12 12 tan−1 ( ) = 67.38° 5 1 tan−1 ( ) = 45° 1

∑ 𝐹𝑥 = 10𝑘𝑁 cos 22.61° + 8𝑘𝑁 cos 67.38° + 6𝑘𝑁 cos 145° + 5𝑘𝑁 cos 180° = 2.393459𝑘𝑁 ∑ 𝐹𝑦 = 10𝑘𝑁 sin 22.61° +8𝑘𝑁 sin 67.38° +6𝑘𝑁 sin 145° + 5𝑘𝑁 sin 180° = 14.670631𝑘𝑁 𝐹𝑅 = √∑ 𝐹𝑥 2 + ∑ 𝐹𝑦 2 = √(2.393459𝑘𝑁)2 + (14.670631𝑘𝑁)2 = 14.864590𝑘𝑁 tan 𝜃𝑅 =

∑ 𝐹𝑦 ∑ 𝐹𝑥

𝜃𝑅 = tan−1

∑ 𝐹𝑦 14.670631𝑘𝑁 = tan−1 = 80.73° ∑ 𝐹𝑥 2.393459𝑘𝑁

2.53 Las cuatro fuerzas representadas en la figura P2-53

1 tan−1 ( ) = 26.56° 2 5 tan−1 ( ) = 68.19° 2 5 tan−1 ( ) = 59.03° 3 2 tan−1 ( ) = 21.80° 5

∑ 𝐹𝑥 = 900𝑁 cos 26.56° + 600𝑁 cos 68.19° + 300𝑁 cos 120.97° + 700𝑁 cos 158.2° = 223.6210𝑁 ∑ 𝐹𝑦 = 900𝑁 sin 26.56° +600𝑁 sin 68.19° +300𝑁 sin 120.97° + 700𝑁 sin 158.2° = 1476.6624𝑁 𝐹𝑅 = √∑ 𝐹𝑥 2 + ∑ 𝐹𝑦 2 = √(223.6210𝑁)2 + (1476.6624𝑁)2 = 1493.4964𝑁 tan 𝜃𝑅 =

∑ 𝐹𝑦 ∑ 𝐹𝑥

𝜃𝑅 = tan−1

∑ 𝐹𝑦 1476.6624𝑁 = tan−1 = 81.38° ∑ 𝐹𝑥 223.6210𝑘𝑁

2.54 Las cinco fuerzas representadas en la figura P2-54

∑ 𝐹𝑥 = 300𝑁 cos 45° + 150𝑁 cos 112° + 400𝑁 cos 158° + 80𝑁 cos 207° + 250𝑁 cos 342° = −48.4488𝑁 ∑ 𝐹𝑦 = 300𝑁 sin 45° +150𝑁 sin 112° +400𝑁 sin 158° + 80𝑁 cos 207° + 250𝑁 cos 342° = 387.4787𝑁 𝐹𝑅 = √∑ 𝐹𝑥 2 + ∑ 𝐹𝑦 2 = √(−48.4488𝑁)2 + (387.4787𝑁)2 = 390.4958𝑁 tan 𝜃𝑅 =

∑ 𝐹𝑦 ∑ 𝐹𝑥

𝜃𝑅 = tan−1

∑ 𝐹𝑦 387.4787𝑁 = tan−1 = −82.87° + 180° = 97.12° ∑ 𝐹𝑥 −48.4488𝑁

Utilizar el método de las componentes rectangulares para resolver los problemas siguientes. Determinar el modulo R de la resultante y los ángulos 𝜃𝑥 , 𝜃𝑦 y 𝜃𝑧 que forma su recta soporte con los semiejes positivos x,y y z de coordenadas.

2.55 Las tres fuerzas representadas en la figura P2-55

∑ 𝐹𝑥 = −(35𝑐𝑜𝑠26𝑠𝑒𝑛30) + (50𝑐𝑜𝑠50𝑐𝑜𝑠30) + (20𝑐𝑜𝑠36𝑠𝑒𝑛33) X=20.9170

∑ ∑

𝑓𝑧 = −35𝑠𝑒𝑛26 + 50𝑠𝑒𝑛50 − 20𝑠𝑒𝑛36 𝑧 = 41.8895

𝑓𝑦 = 35𝑐𝑜𝑠26𝑐𝑜𝑠30 − 50𝑐𝑜𝑠50𝑠𝑒𝑛30 + 20𝑐𝑜𝑠36𝑐𝑜𝑠33 𝑦 = 24.7435

FR=52.9574 KN X= 66.73 Y= 62.14 Z= 37.72

2.56 Las tres fuerzas representadas en la figura P2-56

∑ 𝐹𝑥 = 10𝑘𝑛 𝑐𝑜𝑠26° cos 42° + 24𝑘𝑁 cos 50°𝑐𝑜𝑠60° − 16𝑘𝑛 𝑐𝑜𝑠40° 𝑠𝑒𝑛35° = 7.3626𝑘𝑁 ∑ 𝐹𝑦 = −10𝑘𝑛 𝑐𝑜𝑠26° 𝑠𝑒𝑛42° − 16𝑘𝑛 𝑐𝑜𝑠40° 𝑐𝑜𝑠35° + 24𝑘𝑁𝑐𝑜𝑠50° 𝑠𝑒𝑛60° = −2.6941𝑘𝑁 ∑ 𝐹𝑧 = 10𝑘𝑁 sin 26° + 16𝑘𝑁 sin 40° + 24𝑘𝑁 sin 50° = 33.0533𝑘𝑁 𝐹𝑅 = √(7.3656𝑘𝑁)2 + (−2.6941𝑘𝑁)2 + (33.0533𝑘𝑁)2 = 33.9703𝑘𝑁 𝜃𝑥 = 77.48°

𝜃𝑦 = 94.54°

𝜃𝑧 = 13.34°

2.57 Las tres fuerzas representadas en la figura P2-57

𝐹1 = 500𝑁

𝐹2 = 800𝑁

𝐹2 = 700𝑁

𝑥=0

𝑥 = 4𝑚

𝑥 = 2𝑚

𝑦 = 2𝑚

𝑦 = 4𝑚

𝑦=0

𝑧 = 2𝑚

𝑧=0

𝑧 = 2𝑚

𝐷 = 2.8284

𝐷 = 5.6568𝑚

𝐷 = 2.8284𝑚

0𝑚 4𝑚 2𝑚 ∑ 𝐹𝑥 = 500𝑁 ( ) + 800𝑁 ( ) + 700𝑁 ( ) = 1060.65𝑁 2.8284𝑚 5.6568𝑚 2.8284𝑚 2𝑚 4𝑚 0𝑚 ∑ 𝐹𝑦 = 500𝑁 ( ) + 800𝑁 ( ) + 700𝑁 ( ) = 919.23𝑁 2.8284𝑚 5.6568𝑚 2.8284𝑚 ∑ 𝐹𝑥 = 500𝑁 (

2𝑚 0𝑚 2𝑚 ) + 800𝑁 ( ) + 700𝑁 ( ) = 848.52𝑁 2.8284𝑚 5.6568𝑚 2.8284𝑚

𝑅 = √(1060.65𝑁)2 + (919.23𝑁)2 + (848.52𝑁)2 = 1640𝑁 𝜃𝑥 = 49.65°

𝜃𝑦 = 55.90°

𝜃𝑧 = 58.8°

2.58 Las tres fuerzas representadas en la figura P2-58 𝐹1 = 10𝑘𝑁

𝐹2 = 12𝑘𝑁

𝐹2 = 15𝑘𝑁

𝑥 = 2𝑚

𝑥 = 4𝑚

𝑥=0

𝑦 = 5𝑚

𝑦 = 5𝑚

𝑦 = 2𝑚

𝑧=0

𝑧 = 4𝑚

𝑧 = 4𝑚

𝐷 = 5.38𝑚

𝐷 = 7.54𝑚

𝐷 = 4.47𝑚

2𝑚 4𝑚 0𝑚 ∑ 𝐹𝑥 = 10𝑘𝑁 ( ) + 12𝑘𝑁 ( ) + 15𝑘𝑁 ( ) = 10.0706𝑘𝑁 5.38𝑚 7.54𝑚 4.47𝑚 ∑ 𝐹𝑦 = 10𝑘𝑁 (

5𝑚 5𝑚 2𝑚 ) + 12𝑘𝑁 ( ) + 15𝑘𝑁 ( ) = 6.708𝑘𝑁 5.38𝑚 7.54𝑚 4.47𝑚

0𝑚 4𝑚 4𝑚 ∑ 𝐹𝑥 = 10𝑘𝑁 ( ) + 12𝑘𝑁 ( ) + 15𝑘𝑁 ( ) = 19.7736𝑘𝑁 5.38𝑚 7.54𝑚 4.47𝑚 𝑅 = √(10.0706𝑘𝑁)2 + (6.708𝑘𝑁)2 + (19.773𝑘𝑁)2 = 23.9384𝑘𝑁 𝜃𝑥 = 72.02°

𝜃𝑦 = 42.82°

𝜃𝑧 = 52.71°

2.59 Las tres fuerzas representadas en la figura P2-59

2.60 Las tres fuerzas representadas en la figura P2-60

2.67 A un punto de un cuerpo se aplican dos fuerzas en la forma que se indica en la figura P2-67. Determinar a. El módulo, dirección y sentido (ángulos 𝜃𝑥 , 𝜃𝑦 y 𝜃𝑧 ) de la resultante R de las dos fuerzas. b. El módulo de la componente rectangular de la fuerza F1 según la recta soporte de la fuerza F2 c. El ángulo ∝ que forman las fuerzas F1 y F2 𝐹2 = 120𝑁 𝑥 = 120 cos 60° cos 53.13 𝑦 = 120 cos 60° sin 53.13° 𝑧 = 120 sin 60° 𝐹𝑥 = 36𝑁 𝐹𝑦 = −47.99𝑁 𝐹𝑧 = 103.92𝑁

𝐹1 = 150𝑁

∑ 𝐹𝑥 = 29.45𝑁 + 36𝑁 = 65.45𝑁

𝑥 = 1.5𝑚 𝑦 = 6𝑚 𝑧 = 4.5𝑚 𝐷 = 7.64𝑚 1.5𝑚 𝐹𝑥 = 150𝑁 ( ) = 29.45𝑁 7.64𝑚 6𝑚 𝐹𝑦 = 150𝑁 ( ) = 117.80𝑁 7.64𝑚 𝐹𝑧 = (

∑ 𝐹𝑦 = 117.80𝑁 − 47.99𝑁 = 69.81𝑁 ∑ 𝐹𝑧 = 88.35𝑁 + 103.92𝑁 = 192.27𝑁 𝐹𝑅 = √(65.45𝑁)2 + (69.81𝑁)2 + (192.27𝑁)2 = 214.62𝑁 𝜃𝑥 = 72.25° 𝜃𝑦 = 71.05° 𝜃𝑧 = 26.44°

4.5𝑚 ) = 88.35𝑁 7.64𝑚

2.68 Al bloque de anclaje de la figura P2-68 se aplican tres fuerzas mediante cables. Determinar

a. El módulo, dirección y sentido (ángulos 𝜃𝑥 , 𝜃𝑦 y 𝜃𝑧 ) de la resultante R de las tres fuerzas. b. El módulo de la componente rectangular de la fuerza F1 según la recta soporte de la fuerza F2 c. El ángulo ∝ que forman las fuerzas F1 y F2

3.1 Determinar los módulos de las fuerzas F2 y F3 que hagan que este en equilibrio el punto de la figura P3-1

∑ 𝐹𝑥 = 300𝑁 cos 180° + 𝐹2 cos 60° + 𝐹3 cos 315° = 0 ∑ 𝐹𝑦 = 300𝑁 sin 180° + 𝐹2 sin 60° + 𝐹3 sin 315° = 0 −300𝑁 + .5𝐹2 + .7071𝐹3 = 0 . 8660𝐹2 − .7071𝐹3 = 0 1.366𝐹2 = 300𝑁

𝐹2 =

300𝑁 = 219.6193𝑁 1.366

𝐹3 =

300𝑁 − .5(219.6193𝑁) = 268.97𝑁 . 7071

3.2 Determinar los módulos de las fuerzas F3 y F4 que hagan que este en equilibrio el punto de la figura P3-2

∑ 𝐹𝑥 = 8𝑘𝑁 cos 180° + 5𝑘𝑁 cos 90° + 𝐹3 cos 45° + 𝐹4 cos 300° = 0

∑ 𝐹𝑦 = 8𝑘𝑁 sin 180° + 5𝑘𝑁 sin 90° + 𝐹3 sin 45° + 𝐹4 sin 300° = 0 −8𝑘𝑁 + .7071𝐹3 + .5𝐹4 = 0 −(5𝑘𝑁 + .7071𝐹3 − .8660𝐹4 = 0) 1.366𝐹4 = 13𝑘𝑁

𝐹4 =

13𝑘𝑁 = 9.516837𝑘𝑁 1.366

𝐹3 =

8𝑘𝑁 − .5(9.516837𝑘𝑁) = 4.584332𝑘𝑁 . 7071

3.3 Determinar los módulos de las fuerzas F1 y F2 que hagan que este en equilibrio el punto de la figura P3-3 2 tan−1 ( ) = 63.43° 1 2 tan−1 ( ) = 63.43° 1 1 tan−1 ( ) = 26.56° 2 1 tan−1 ( ) = 45° 1

∑ 𝐹𝑥 = 𝐹1 cos 116.57° + 𝐹2 cos 243.43° + 10𝑘𝑁 cos 26.56° + 12𝑘𝑁 cos 315° = 0 ∑ 𝐹𝑦 = 𝐹1 sin 116.57° + 𝐹2 sin 243.43° + 10𝑘𝑁 sin 26.56° + 12𝑘𝑁 sin 315° = 0 . 8943(−.4472𝐹1 − .4472𝐹2 + 8.9446𝑘𝑁 + 8.4852𝑘𝑁 = 0) . 4472(.8943𝐹1 − .8943𝐹2 + 4.4713𝑘𝑁 − 8.4852𝑘𝑁 = 0) −.3999𝐹1 − .3999𝐹2 + 7.9991𝑘𝑁 + 7.5883𝑘𝑁 = 0 . 3999𝐹1 − .3999𝐹2 + 1.9995𝑘𝑁 − 3.7945𝑘𝑁 = 0 −.7998𝐹2 = −13.7924𝑘𝑁 𝐹1 =

𝐹2 =

−13.7924𝑘𝑁 = 17.2448𝑘𝑁 −.7998

−15.5874𝑘𝑁 + .3999(17.2448𝑘𝑁) = 21.7334𝑘𝑁 −.3999

3.4 Determinar los módulos de las fuerzas F1 y F2 que hagan que este en equilibrio el punto de la figura P3-4 1 tan−1 ( ) = 45° 1 3 tan−1 ( ) = 36.86 ° 4 12 tan−1 ( ) = 67.38° 5 4 tan−1 ( ) = 53.13 ° 3

∑ 𝐹𝑥 = 𝐹1 cos 135° + 𝐹2 cos 216.86° + 520𝑁 cos 67.38° + 600𝑁 cos 306.87° = 0 ∑ 𝐹𝑦 = 𝐹1 sin 135° + 𝐹2 sin 216.86° + 520𝑁 sin 67.38° + 600𝑁 sin 306.87° = 0 −.7071𝐹1 − .8001𝐹2 + 200𝑁 + 360𝑁 = 0 . 7071𝐹1 − .5998𝐹2 + 479.99𝑁 − 479.99𝑁 = 0 −1.3999𝐹2 = −560𝑁 𝐹1 =

𝐹2 =

−560𝑁 = 400𝑁 −1.3999

−560𝑁 + .8001(400𝑁) = 339.35𝑁 −.7071

3.5 Determinar el módulo y el ángulo director 𝜃 de la fuerza F4 que hagan que este equilibrio el punto de la figura P3-5

∑ 𝐹𝑥 = 300𝑁 cos 160° + 650𝑁 cos 208° + 750𝑁 cos 325° + 𝐹4 cos 𝜃 = 0 ∑ 𝐹𝑦 = 300𝑁 sin 160° + 650𝑁 sin 208° + 750𝑁 sin 325° + 𝐹4 sin 𝜃 = 0 ∑ 𝐹𝑥 = −281.90𝑁 − 573.91𝑁 + 614.36𝑁 + 𝐹4 cos 𝜃 = 0 ∑ 𝐹𝑦 = 102.60𝑁 − 305.15𝑁 − 430.18𝑁 + 𝐹4 sin 𝜃 = 0 𝐹4 cos 𝜃 = 241.45𝑁 ∑ 𝐹𝑦 632.73𝑁 𝜃𝐹4 = tan−1 ( ) = tan−1 ( ) = 69.1° ∑ 𝐹𝑥 241.45𝑁

𝐹4 sin 𝜃 = 632.73𝑁 𝐹4 =

241.45𝑁 = 676.87𝑁 cos 69.1°

3.6 Determinar el módulo y el ángulo director 𝜃 de la fuerza F4 que hagan que este equilibrio el punto de la figura P3-6

∑ 𝐹𝑥 = 3𝑘𝑁 cos 110° + 7𝑘𝑁 cos 206° + 4𝑘𝑁 cos 325° + 𝐹4 cos 𝜃 = 0 ∑ 𝐹𝑦 = 3𝑘𝑁 sin 110° + 7𝑘𝑁 sin 206° + 4𝑘𝑁 sin 325° + 𝐹4 sin 𝜃 = 0 ∑ 𝐹𝑥 = −1.0260𝑘𝑁 − 6.2915𝑘𝑁 + 3.2766𝑘𝑁 + 𝐹4 cos 𝜃 = 0 ∑ 𝐹𝑦 = 2.8190𝑘𝑁 − 3.0685𝑘𝑁 − 2.2943𝑁 + 𝐹4 sin 𝜃 = 0 𝐹4 cos 𝜃 = 4.0409𝑘𝑁 ∑ 𝐹𝑦 2.5438𝑘𝑁 𝜃𝐹4 = tan−1( ) = tan−1 ( ) = 32.19° ∑ 𝐹𝑥 4.0409𝑘𝑁

𝐹4 sin 𝜃 = 2.5438 𝑁 𝐹4 =

4.0409𝑘𝑁 = 4.7748𝑘𝑁 cos 32.19°

3.7 Determinar el módulo y el ángulo director 𝜃 de la fuerza F4 que hagan que este equilibrio el punto de la figura P3-7

∑ 𝐹𝑥 = 2𝑘𝑁 cos 26° + 4𝑘𝑁 cos 73° + 10𝑘𝑁 cos 154° + 𝐹4 cos 𝜃 = 0 ∑ 𝐹𝑦 = 2𝑘𝑁 sin 26° + 4𝑘𝑁 sin 73° + 10𝑘𝑁 sin 154° + 𝐹4 sin 𝜃 = 0 ∑ 𝐹𝑥 = 1.7975𝑘𝑁 + 1.1694𝑘𝑁 − 8.9879𝑘𝑁 + 𝐹4 cos 𝜃 = 0 ∑ 𝐹𝑦 = .8767𝑘𝑁 + 3.8252𝑘𝑁 + 4.3837𝑁 + 𝐹4 sin 𝜃 = 0 𝐹4 cos 𝜃 = 6.021𝑘𝑁

𝐹4 sin 𝜃 = −9.0856𝑘 𝑁

∑ 𝐹𝑦 2.5438𝑘𝑁 𝜃𝐹4 = tan−1( ) = tan−1 ( ) = 32.19° ∑ 𝐹𝑥 4.0409𝑘𝑁

𝐹4 =

4.0409𝑘𝑁 = 4.7748𝑘𝑁 cos 32.19°

3.8 Determinar el módulo y el ángulo director 𝜃 de la fuerza F4 que hagan que este equilibrio el punto de la figura P3-8

∑ 𝐹𝑥 = 500𝑁 cos 117° + 750𝑁 cos 150° + 1000𝑁 cos 240° + 𝐹4 cos 𝜃 = 0 ∑ 𝐹𝑦 = 500𝑁 sin 117° + 750𝑁 sin 150° + 1000𝑁 sin 240° + 𝐹4 sin 𝜃 = 0 ∑ 𝐹𝑥 = −226.99𝑁 − 649.51𝑁 − 500𝑁 + 𝐹4 cos 𝜃 = 0 ∑ 𝐹𝑦 = 445.50𝑁 + 375𝑁 − 866.02𝑁 + 𝐹4 sin 𝜃 = 0

3.9 Una esfera homogénea que pesa 50N se apoya sobre dos planos lisos que forman una V según se indica en la figura P5-9. Determinar las fuerzas que dichos planos ejercen sobre la esfera en los puntos de contacto Ay B.

∑ 𝐹𝑥 = 𝐴 cos 45° + 𝐵 cos 120 ° + 50𝑁 cos 270° = 0 ∑ 𝐹𝑦 = 𝐴 sin 45° + 𝐵 sin 120° + 50𝑁 sin 270° = 0 . 7071𝐴 − .5𝐵 = 0

− 1.366𝐵 = −50𝑁

−(. 7071𝐴 + .866𝐵) = 50𝑁

𝐵= 𝐴=

−50𝑁 = 36.6𝑁 −1.366

. 5(36.6𝑁) = 25.88𝑁 . 7071

3.10 Un bloque de masa de 10 kg está en equilibrio sobre una superficie horizontal lisa por la acción de dos cables flexibles, en la forma que se indica en la figura P3-10. Determinar la fuerza que la superficie horizontal ejerce sobre el bloque y el ángulo 𝜃 que forma el cable inclinado con la horizontal 𝑊 = 𝑚𝑔 𝑊 = (10𝑘𝑔) (9.81

∑ 𝐹𝑥 = 300𝑁 cos 180° + 500𝑁 cos 𝜃 + 98.1𝑁 cos 270° = 0

𝑚 ) = 98.1𝑁 𝑠2

300 𝜃 = cos −1 ( ) = 53.13° 500

∑ 𝐹𝑦 = 300𝑁 sin 180° + 500𝑁 sin 53.13° + 98.1𝑁 sin 270° + 𝐹𝑁 sin 90° = 0

3.11 Se utilizan dos cables flexibles A y B para sostener un semáforo que pesa 1100N en la forma que se indica en la figura P3-11. Determinar la tensión de cada cable.

𝑇𝐴 + 𝑇𝐵 = 1100𝑁 ∑ 𝑇𝑥 = 𝑇𝐴 cos 160° + 𝑇𝐵 cos 25° + 1100𝑁 cos 270° = 0 ∑ 𝑇𝑥 = 𝑇𝐴 sin 160° +𝑇𝐵 sin 25° + 1100𝑁 sin 270° = 0 −.3213𝑇𝐴 + .3099𝑇𝐵 = 0 . 3213𝑇𝐴 + .3970𝑇𝐵 = 1033.56𝑁

. 7069𝑇𝐵 = 1033.56𝑁 𝑇𝐴 =

.3420(−.9396𝑇𝐴 + .9063𝑇𝐵 = 0) .9396(.3420𝐹𝐴 + .4226𝑇𝐵 = 1100𝑁) 𝑇𝐵 =

1033.56𝑁 = 1462.10𝑁 . 7069

1100𝑁 − .4226(1462.10𝑁) = 1409.69𝑁 . 3420

3.12 Tres cilindros homogéneos lisos A, B y C están apilados dentro de una caja tal como se indica en la figura P3-12. Cada cilindro tiene un diámetro de 250mm y una masa de 245kg. Determinar: a. La fuerza que el cilindro B ejerce sobre el A b. Las fuerzas que sobre el cilindro B ejercen, en D y E, las superficies vertical y horizontal.

𝑊 = (245𝑘𝑔) (9.81

𝑚 ) = 2403.45𝑁 𝑠2

∑ 𝐹𝐴𝑥 = 𝐵 cos 40° + 𝐶 cos 140° + 2403.45 cos 270° = 0 ∑ 𝐹𝐴𝑦 = 𝐵 sin 40° + 𝐶 sin 140° + 2403.45 sin 270° = 0 . 6427(. 766𝐵 − .766𝐶 = 0)

.9846𝐵 = 1841.0427𝑁

. 766(. 6427𝐵 + .6427𝐶 = 2403.45𝑁)

𝐶=

𝐵=(

1841.0427𝑁 ) = 1869.8382𝑁 . 9846

−.766(1869.8382𝑁) = 1869.8382𝑁 −.766

∑ 𝐹𝐵𝑥 = 1869.8382𝑁 cos 40° + 𝐷 cos 180° + 𝐸 cos 270° = 0 ∑ 𝐹𝐵𝑦 = 1869.8382𝑁 sin 40° + 𝐷 sin 180° + 𝐸 sin 270° = 0 −𝐷 = −1432.3791𝑁

𝐷 = 1432.3791𝑁

−𝐸 = −1201.9088𝑁

𝐸 = 1201.9088𝑁

3.16 Un cuerpo de masa 250 kg pende del sistema de cables flexibles representado en la figura P316. Determinar las tensiones de los cables A, B, C y D

𝑊 = (250𝑘𝑔) (9.81

𝑚 ) = 2452.5𝑁 𝑠2

∑ 𝐹𝑥 = 𝐷 cos 180° + 𝐶 cos 60° + 2452.5𝑁 cos 270° = 0 ∑ 𝐹 = 𝐷 sin 180° + 𝐶 sin 60° + 2452.5𝑁 sin 270° = 0 −.866(−𝐷 + .5𝐶 = 0)

.866𝐷 = 1226.25𝑁

. 5(. 866𝐶 = 2452.5𝑁)

𝐷=

1226.25𝑁 = 1415.99 . 866

𝐶=

2425.5𝑁 = 2831.98𝑁 . 866

∑ 𝐹𝑥 = 𝐴 cos 140° + 𝐵 cos 30° + 2831.98𝑁 cos 240° = 0 ∑ 𝐹𝑦 = 𝐴 sin 140° + 𝐵 sin 30° + 2831.98𝑁 sin 240° = 0 . 6427(−.766𝐴 + .866𝐵 = 1415.99𝑁) . 766(. 6427𝐴 + .5𝐵 = 2452.56𝑁)

.9395𝐵 = 2788.71𝑁 𝐴=

𝐵=

2788.71𝑁 = 2968.29𝑁 . 9395

2452.56 − .5(2968.29𝑁) = 1507.79𝑁 . 6427