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• Angel Miguel Delgado Tapahuasco

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2.1 Dos fuerzas P y Q se aplican en el punto A del gancho que se muestra en la figura. Si se sabe que P=75N y Q=125N, determine en la forma gráfica la magnitud y la dirección de su resultante mediante.

Solución: a) La ley del paralelogramo.

Ley de Coseno: 𝑅 2 = 𝑃2 + 𝑄 2 − 2𝑃𝑄 Cos 125° 𝑅 2 = (75)2 + (125)2 − 2(75)(125) Cos 125° 𝑅 = 179 𝑁

A

70°

55°

A

α

20+α

Q =125 N

P =75 N

P

R

125°

Q

b) La regla del triángulo.

Ley de Seno:

𝑅 𝑄 = Sen 125° Sen(20 + 𝛼) 179 125 = Sen 125° Sen(20 + 𝛼) Sen(20 + 𝛼) =

125 ∗ Sen 125° 179

Sen(20 + 𝛼) = 0.572 20 + 𝛼 = 34.89° 𝛼 = 14.89° Dirección = 90° - 14.89° =75.11°

A

20°+α

𝑃⃗ = 75 𝑁

35°

𝑅⃗ Y

⃗ = 125𝑁 𝑄

X 75.11°

α

𝑅⃗ = 179 𝑁

2.2 Dos fuerzas P y Q se aplican en el punto A del gancho que se muestra en la figura. Si se sabe que P=60lb y Q=25lb, determine en la forma gráfica la magnitud y la dirección de su resultante mediante.

Solución: a) La ley del paralelogramo.

Ley de Coseno: 𝑅 2 = 𝑃2 + 𝑄 2 − 2𝑃𝑄 Cos 125° 𝑅 2 = (60)2 + (25)2 − 2(60)(25) Cos 125° 𝑅 = 77.1 𝐿𝑏

Y

20°

𝑅⃗ 70°

X 70°

55° 20°

35°

⃗ = 25 𝐿𝑏 𝑄

α 𝑃⃗

125°

𝑅⃗

b) La regla del triángulo. ⃗ 𝑄

Ley de Seno: α

𝑅 𝑄 = 𝑆𝑒𝑛 125° 𝑆𝑒𝑛(𝛼) 77.1 25 = 𝑆𝑒𝑛 125° 𝑆𝑒𝑛(𝛼)

𝑃⃗ = 60 𝐿𝑏 𝑅⃗

77.1 ∗ 𝑆𝑒𝑛(𝛼) = 25 ∗ 𝑆𝑒𝑛 125° 125°

𝑆𝑒𝑛(𝛼) =

25 ∗ 𝑆𝑒𝑛 125° 77.1

𝑆𝑒𝑛(𝛼) = 0.27 𝛼 = 15.4°

Dirección = 70° + 15.4° = 85.4°

2.3 Los tirantes de cable AB y AD ayudan a sostener al poste AC. Si se sabe que la tensión es de 120lb en AB y 40lb en AD, determine gráficamente la magnitud y la dirección de la resultante de las fuerzas ejercidas por los tirantes en A mediante.

Solución: a) La ley del paralelogramo.

A α = 51.3° 𝛿

120 Lb

β = 59.0° 40 Lb

𝛼 = 𝑇𝑎𝑛(𝛼) 𝛼=

10 5 = 8 4

𝛼 = tan−1 (5/4) 𝛼 = 51.3°

𝛽 = 𝑇𝑎𝑛(𝛽) 𝛽=

10 5 = 6 3

𝛽 = tan−1(5/3) 𝛽 = 59.0°

𝛼 + 𝛽 = 51.3° + 59.0° = 110.4°

Ley de Coseno: 𝑅 2 = (𝐴𝐷)2 + (𝐴𝐵)2 − 2(𝐴𝐷)(𝐴𝐵)𝐶𝑜𝑠(110.4°) 𝑅 2 = 402 + 1202 − 2(40)(120)𝐶𝑜𝑠(110.4°) 𝑅 = 139.1 𝐿𝑏

b) La regla del triángulo.

A α = 51.3° 𝜃

𝛿

120 Lb

59.0° 40 Lb 𝑅⃗

Ley de Seno: 𝑅 𝐴𝐷 = 𝑆𝑒𝑛 110.4° 𝑆𝑒𝑛(𝜃) 139.1 40 = 𝑆𝑒𝑛 110.4° 𝑆𝑒𝑛(𝜃) 139.1 ∗ 𝑆𝑒𝑛(𝜃) = 40 ∗ 𝑆𝑒𝑛 110.4° 𝑆𝑒𝑛(𝜃) =

40 ∗ 𝑆𝑒𝑛 110.4° 139.1

𝑆𝑒𝑛(𝜃) = 0.27 𝜃 = 15.6°

Dirección = α + 𝜃 Dirección = 51.3° + 15.6° = 66.9° ≈ 67°

2.4 Se aplican las fuerzas en el punto B de la viga AB que se muestra en la figura. Determine gráficamente la magnitud y la dirección de su resultante mediante.

Solución: a) La ley del paralelogramo.

B 50°

30° α

2 kN

Ley de Coseno: 𝑅 2 = (𝑃)2 + (𝑄)2 − 2(𝑃)(𝑄)𝐶𝑜𝑠(80°) 𝑅 2 = 22 + 32 − 2(2)(3)𝐶𝑜𝑠(80°) 𝑅 = 3.30 𝐾𝑁

b) La regla del triángulo.

B 30° α 3 kN

𝑅⃗

40°

2 kN

Ley de Seno: 𝑅 𝑄 = 𝑆𝑒𝑛 80° 𝑆𝑒𝑛(40 + 𝛼) 3.30 3 = 𝑆𝑒𝑛 80° 𝑆𝑒𝑛(40 + 𝛼) 3.30 ∗ 𝑆𝑒𝑛(40 + 𝛼) = 3 ∗ 𝑆𝑒𝑛 80°

𝑆𝑒𝑛(40 + 𝛼) =

3 ∗ 𝑆𝑒𝑛 80° 3.30

𝑆𝑒𝑛(40 + 𝛼) = 0.9 40 + 𝛼 = 63.54° 𝛼 = 23.54°

𝐷𝑖𝑟𝑒𝑐𝑐𝑖ó𝑛: 90° − 𝛼 = 90° − 23.54° = 66.46°

2.5 La fuerza de 300lb se debe descomponer en componentes a lo largo de las líneas a-a’ y b-b’.

Solución: a) Determine por trigonometría el ángulo α si sabe que la componente a lo largo de aa’ es de 240lb. 𝑆𝑒𝑛 𝛽 𝑆𝑒𝑛 60° = 240 𝐿𝑏 300 𝐿𝑏 𝑆𝑒𝑛 𝛽 =

240 𝐿𝑏 ∗ 𝑆𝑒𝑛 60° 300 𝐿𝑏

𝑆𝑒𝑛 𝛽 = 0.69282 𝛽 = 43.854° 𝛼 + 𝛽 + 60° = 180° 𝛼 = 180° − 60° − 43.854° 𝛼 = 76.146° 𝐹𝑏𝑏′

β 60° α 𝐹𝑎𝑎′

F = 300Lb

b) ¿Cuál es el valor correspondiente de la componente a lo largo de b-b’? 𝐹𝑏𝑏′ 300 𝐿𝑏 = 𝑆𝑒𝑛 76.146° 𝑆𝑒𝑛 60° 300 𝐿𝑏 ∗ 𝑆𝑒𝑛 76.146° 𝑆𝑒𝑛 60° = 336 𝐿𝑏

𝐹𝑏𝑏′ = 𝐹𝑏𝑏′

2.6 La fuerza de 300lb se debe descomponer en componentes a lo largo de las líneas a-a’ y b-b’.

Solución: a) Determine por trigonometría el ángulo α si sabe que la componente a lo largo de bb’ es de 120lb. 𝑆𝑒𝑛 𝛼 𝑆𝑒𝑛 60° = 120 𝐿𝑏 300 𝐿𝑏 𝑆𝑒𝑛 𝛼 =

120 𝐿𝑏 ∗ 𝑆𝑒𝑛 60° 300 𝐿𝑏

𝑆𝑒𝑛 𝛼 = 0.34641 𝛼 = 20.268° 𝛼 + 𝛽 + 60° = 180° 𝛽 = 180° − 60° − 20.268° 𝛽 = 99.732°

𝐹𝑏𝑏′ = 120𝐿𝑏

F = 300Lb

β α

60° 𝐹𝑎𝑎′

b) ¿Cuál es el valor correspondiente de la componente a lo largo de a-a’? 𝐹𝑎𝑎′ 300 𝐿𝑏 = 𝑆𝑒𝑛 99.732° 𝑆𝑒𝑛 60°

300 𝐿𝑏 ∗ 𝑆𝑒𝑛 99.732° 𝑆𝑒𝑛 60° 𝐹𝑎𝑎′ = 341 𝐿𝑏 2.7 Se aplican dos fuerzas en el gancho de apoyo que se muestra en la figura. Si se sabe que la 𝐹𝑎𝑎′ =

magnitud de P es 35N, determine por trigonometría.

Solución: a) El ángulo α requerido, si las resultante R de las dos fuerzas aplicadas en el gancho debe ser horizontal.

β 50 N

P = 35 N

α

25° 𝑅⃗

𝑆𝑒𝑛 𝛼 𝑆𝑒𝑛 25° = 50 𝑁 35 𝑁 𝑆𝑒𝑛 𝛼 ∗ 35𝑁 = 50𝑁 ∗ 𝑆𝑒𝑛 25° 𝑆𝑒𝑛 𝛼 =

50𝑁 ∗ 𝑆𝑒𝑛 25° 35𝑁

𝑆𝑒𝑛 𝛼 = 0.6037 𝛼 = 37.14°

b) La magnitud correspondiente de R.

Β = 117.86° P = 35 N

50 N

α = 37.14°

𝑅⃗

𝑅 2 = (𝑁)2 + (𝑃)2 − 2(𝑁)(𝑃)𝐶𝑜𝑠(117.86°) 𝑅 2 = 502 + 352 − 2(50)(35)𝐶𝑜𝑠(117.86°) 𝑅 = 73.2 𝑁