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FÍSICA

LIC. JAIME A. HUACANI LUQUE

FÍSICA FÍSICA - PREU Lic. Jaime A. Huacani Luque

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FÍSICA

LIC. JAIME A. HUACANI LUQUE

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e u q u L Edición

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in a c a u H e ia m

v=2m/s

¡ Lo mejor en la práctica práctica de la ciencia alucinante !

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LIC. JAIME A. HUACANI LUQUE

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LIC. JAIME A. HUACANI LUQUE

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“A toda la juventud estudiosa del del País, por un Perú mejor”

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FÍSICA - PREU

Autor: Lic. Jaime Alberto Huacani Luque

Derechos Reservados Prohibida la reproducción de esta obra por cualquier medio, total o parcialmente, sin permiso expreso del autor

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Diagramación y Composición John E. Mamani Machaca SEGUNDA EDICIÓN: marzo del 2010 PUNO - PERÚ

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FÍSICA

LIC. JAIME A. HUACANI LUQUE

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FÍSICA

LIC. JAIME A. HUACANI LUQUE

♦ Presentación

Como una contribución a la formación del educando de nuestra patria, me es grato presentar el texto de física, para el Quinto Grado de Educación secundaria, resultado de un proceso de investigación, motivo por el deseo ofrecer un auxiliar útil para la delicada labor de mis colegas que tienen a su cargo la dirección del desarrollo de la línea de acción de educativa de física.

♦ Introducción...……………………………………………… Pág. 7

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♦ Análisis Vectorial…………………………………………….Pág. 33 ♦ Estática I……………………………...……………...………Pág. 44 ♦ Estática II…………………...………………………………..Pág. 61

El inicio del estudio de la física presentar serias dificultades tanto por la naturaleza misma de esta ciencia por las circunstancias de edad, preparación previa, etc, que acompañan a los alumnos. Por estas razones he estimado necesario utilizar un lenguaje sencillo, claro y conciso, sin con ello me aporte del enfoque científico y técnico, propio de la física. Con este objetivo he preparado el presente texto de física, que estimo podrá utilizarse con provecho y sin dificultad en todos los centros educativos del Perú.

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♦ Movimiento Rectilíneo Uniforme…….…………………….Pág. 75

in a c a u H e ia m

♦ Movimiento Rectilíneo Uniforme Variado…………………Pág. 85

♦ Movimiento Vertical de Caída Libre……………………….Pág. 98

♦ Movimiento Parabólico……………………………………..Pág. 108 ♦ Dinámica…………………………………………………….Pág. 120

La publicación de un libro de física, casi siempre con lleva a la presentación o planteamiento de nuevas alternativas en la metodología de la enseñanza del curso en mención; es en tal sentido que el autor incluye en casi todos los capítulos el apoyo matemático de producto escalar y vectorial de vectores así como el análisis diferencial e integral en los cálculos matemáticos.

♦ Trabajo……………………………………………..………..Pág. 135 ♦ Potencia…………………………………...………………...Pág. 144 ♦ Energía………………………………………………………Pág. 149 ♦ Hidrostática……………………………………...………….Pág. 158

El autor realiza el desarrollo del curso formando como base al “Educando modelo” quien carece inicial mente de los conocimientos de la física elemental, para luego ir profundizando progresivamente el tema respectivo para alcanzar finalmente un nivel competitivo, dependiendo lógicamente de las metas del estudiante.

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♦ Análisis Dimensional……………..…………………………Pág. 13

Finalmente, no quiero terminar sin antes agradecer la valiosa ayuda de mi familia en especial, así como también de mis amigos y colegas quienes de una u otra forma colaboraron en la elaboración de este material. Autor

♦ Termometría………………………………………………..Pág. 169 ♦ Calorimetría………………………………………...………Pág. 172

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♦ Dilatación Térmica…………………………………………Pág. 182 ♦ Electrostática……………………………………………….Pág. 190

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FÍSICA

HISTORIA DE LA FÍSICA La Física nació como un resultado de la lucha del hombre contra las condiciones adversas y de la búsqueda de utensilios o materiales necesarios para subsistir. Desde épocas muy remotas los hombres observaron la naturaleza. Los griegos, herederos de las tradiciones científicas egipcias y babilónicas, son los primeros en ocuparse sistemáticamente de la física, y no soleen relación con los problemas inmediatos planteados para la técnica sino también en el contexto más vasto y teórico de las concepciones del mundo.

Fotoeléctrico, se descubren los rayos X y se inicia el estudio de radiactividad. A comienzo del siglo XX, destacan la teoría de la mecánica cuántica y la teoría de la relatividad de EINSTEIN; la obtención y aplicación de la energía nuclear. E n 1919 se descubre la primera reacción nuclear por Rutherford en1939 se hace funcionar la primera pila atómica por el científico Fermi; se realizan las primeras aplicaciones bélicas y al mismo tiempo se realizan aplicaciones científica de la energía nuclear. Actualmente se están perfeccionando las técnicas experimentales; destacando los avances realizados en electrónica, especialmente el nacimiento y desarrollote la cibernética; también se realizan exploraciones del espacio, por medio de satélites artificiales y vuelos espaciales.

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En los comienzos de su desarrollo, la física se considera como una ciencia dedicada a estudiar todos los fenómenos que se producen en la naturaleza. De allí que durante muchos años recibió el nombre de filosofía natural y aun es este el nombre con que se la denomina en las cátedras de física Experimental en muchas Universidades de Gran Bretaña (Inglaterra).

En la Edad Media su estudio se inicia con ALHAZEN, quien desarrollo la óptica geométrica, Galileo Galilei es el iniciador de la física Moderna. En la mecánica establece formulas del movimiento pendular, de los proyectiles, composición de la luz, velocidad de la luz, del sonido, defendió la teoría heliocéntrica, etc. Isaac Newton es la figura cumbre de esta época, descubre y utiliza el calculo infinitesimal, expone la ley de la gravitación universal explica la descomposición de la luz, etc.

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Por otro lado, a partir del siglo XIX la física restringió su campo, limitándose a estudiar más a fondo un menor número de fenómenos denominados fenómenos físicos, separándose los demás par formar parte de otras ciencias naturales. En este siglo se estudia a profundidad la electricidad; se admite la naturaleza ondulatoria de la luz; se conceptúa el electrón, el fenómeno

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Asimismo el descubrimiento de los rayos LASER, que se aplican en la cibernética, geología, medicina, etc.

LA CIENCIA

La palabra ciencia proviene del latín scire, que significa conocer, por lo tanto la ciencia, es el conjunto de conocimientos que se han ido acumulando a lo largo de la historia de la humanidad; es el estudio de las leyes que rigen los diversos aspectos de la naturaleza; el saber; es una actividad de la inteligencia del hombre; otros la definen como un método para solucionar problemas a un intento para buscar explicaciones a los fenómenos naturales. La Ciencia es parte del proceso social de la humanidad y su método se emplea en cualquier área de investigación y del conocimiento; a la vez que sus aplicaciones en los procesos técnicos hacen posible el mejoramiento de las condiciones de la humanidad. Una de las características más importantes de la ciencia, es que sus conclusiones deben estar de

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FÍSICA acuerdo con la experiencia, lo que plantea la necesidad de modificar la ley cuando se ha comprobado que es totalmente valida. Esto es, la ciencia no esta acabada, ni ha culminado su desarrollo, la ciencia se encuentra en continuo renacer.

HOMBRE Y CIENCIA Basta mirar a nuestro alrededor para darnos cuenta de cómo se producen una serie de fenómenos aceptados por la inmensa mayoría de las personas, sin mas explicaciones; los cuerpos dejados libres en el espacio caen, el rayo de luz se quiebra al penetrar en el agua, la energía del sol llega a la Tierra, el agua se evapora, etc. Una de las características mas sorprendentes del hombre es la aceptación de estos y otros innumerables fenómenos sin plantearse al porque de ellos. El hombre acepta con facilidad todo aquello que le es familiar, sin adoptar una actitud critica en su observación. Cualidad fundamental que distingue al científico, hombre con curiosidad critica, de aquel que no lo es.

A continuación daremos a conocer dos palabras muy importantes que el lector no debe olvidar. DEFINICIÓN: Es la explicación exacta y clara de una cosa. CONCEPTO: Es una idea que concibe el entendimiento. Es una opinión o juicio expresado en palabras.

OBJETOS DE LA FÍSICA

El objetivo fundamental de la física consiste en explicarlos fenómenos naturales que ocurren en la Tierra y el universo; a partir de ella se pueden desprender las predicciones que se consideren mas convenientes. La predicción del comportamiento de un fenómeno natural, se realiza con la ayuda de un sistema de leyes que han sido deducidas de la observación experimental. Así por ejemplo en el movimiento vertical de un cuerpo que cae, podemos predecir que su velocidad aumenta a medida que se aproxima al pìso, debido a la aceleración de la gravedad y que el tiempo que demora en caer dependerá de su altura.

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Si intentáramos dar una definición a la física, prácticamente seria imposible por lo tanto la física no tiene definición.

CONCEPTO DE FÍSICA

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Solo el hombre por excelencia, el hombre inteligente de mente libre, es capaz de hacer avanzar la ciencia al observar, no solo viendo, sino haciéndolo de manera critica, planteándose interrogantes, que de forma disciplinada y ordenada procurara resolver.

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La física se esfuerza siempre en presentar una imagen clara del mundo que nos rodea; estudia las interacciones de la materia con la materia o con la engría por consiguiente:

FENÓMENO: Es el cambio o modificación que sufren los cuerpos de la naturaleza, bajo la influencia de las diversas formas de engría; existen muchos fenómenos. En esta oportunidad nos ocuparemos solo de tres. A. FENÓMENO FÍSICO: Es el cambio que sufre la materia sin alterar su estructura intima. Se caracteriza por ser reversible. B. FENÓMENO QUÍMICO: Es el cambio que sufre la materia experimentando una alteración en su estructura química. Se caracteriza por ser irreversible, es decir, el cuerpo no vuelve a ser jamás lo que inicialmente era. C. FENÓMENO FÍSICO – QUÍMICO: Este fenómeno tiene algunas características del fenómeno físico y otras del químico.

PARTES DE LA FÍSICA Mecánica.- Constituye la parte fundamental de la física y sobre ella se basan las otras ramas de la física. La mecánica se encarga de estudiar los fenómenos relacionados con los movimientos o

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FÍSICA equilibrios de los cuerpos, así como las fuerzas que actúan en ellos. Calorimetría.- Estudia las mediciones referentes al calor tanto en los sólidos como en los fluidos, así como las consecuencias que produce. Acústica.- Estudia los fenómenos relacionados al sonido. Electricidad.- Estudia el efecto que producen los electrones al trasladarse de un punto a otro. Óptica.- Estudia la luz, su naturaleza, sus fuentes de producción y los fenómenos que experimenta. Magnetismo.- Estudia las propiedades referentes al imán.

Las observaciones son cualitativas (describen cualidades o características como color, sabor, olor, etc.) y cuantitativas (maneja cantidades y requiere mediciones precisas del uso de instrumentos) A partir de la observación surge el planteamiento del problema que se va a estudiar

Física Nuclear.- Se encarga de estudiar el núcleo y su estructura atómica.

Física Moderna.Estudia los fenómenos relacionados con la mecánica cuántica y la teoría de la relatividad, tiene como figura al gran científico del siglo XX: Albert Einstein.

MÉTODO CIENTÍFICO

Método de estudio sistemático de la naturaleza que incluye las técnicas de observación, reglas para el razonamiento y la preedición, ideas sobre la experimentación planificada y los modos de comunicar los resultados experimentales y teóricos. 1. OBSERVACIÓN: Es la recolección ordenada de datos. Observar significa hacer una descripción de un objeto o fenómeno utilizando directamente los órganos de los sentidos o indirectamente, por medio de instrumentos la observación consiste en. Estudio de un fenómeno que se produce en sus condiciones naturales. La observación debe ser cuidadosa, exhaustiva y exacta

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2. HIPÓTESIS: Es una explicación tentativa del problema o una respuesta temporal que se da al mismo. Consiste en suponer provisionalmente cual es la causa que posiblemente determina los hechos observados. Que puede ser verdadero o falso lo que quedara demostrado mediante la experimentación.

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Electromagnetismo.- Estudia las interacciones entre los campos electrónicos y magnéticos.

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FÍSICA

Los resultados de un experimento pueden describirse mediante tablas, gráficos y ecuaciones de manera que puedan ser analizados con facilidad y permitan encontrar relaciones entre ellos que confirmen o no las hipótesis emitidas. 4. CONCLUSIÓN: Esta tapa es la culminación del método científico. La conclusión es la evaluación y contrastación de los datos registrados que permite generalizar los hechos y establecer deducciones respecto al problema planteado con lo cual termina el proceso de investigación.

La experimentación consiste en el estudio de un fenómeno, reproducido generalmente en un laboratorio, en las condiciones particulares del estudio que interesa, eliminando o introduciendo aquellas variables que puedan influir en el. Se entiende por variable todo aquello que pueda causar cambios en los resultados de un experimento.

En un experimento siempre existe un control o un testigo, que es la parte del mismo no sometido a modificaciones y que se utiliza para comprobar los cambios que se producen, de forma que queda repetirlo cualquier experimentador que disponga del material adecuado.

Cuando la hipótesis es verificada por investigadores, se considera entonces como valida y pasa a considerarse como una teoría. Según algunas investigadoras, el método científico es el modo de llegar a elaborar teorías, entendiendo estas como configuración de leyes. Mediante la inducción se obtiene una ley a partir de las observaciones y medidas de los fenómenos naturales, y mediante la deducción se obtienen consecuencias lógicas de una teoría. Así mismo debe permitir hacer predicciones de nuevas relaciones y fenómenos que se pueden comprobar experimentalmente.

MÉTODO CIENTÍFICO

in a c a u H e ia m (Ejemplo Ilustrado)

Existen ciertas pautas que han demostrado ser de utilidad en el establecimientote la hipótesis y de los resultados que se basan en ellas; estas pautas son: probar primero las hipótesis más simples, no considerar una hipótesis como totalmente cierta y realizar pruebas experimentales independientes antes de aceptar un único resultado experimental importante.

3. EXPERIMENTACIÓN: Durante esta fase, el científico trata de probar su hipótesis bajo un experimento controlado, lo que indica planificar los medios que la permitan hacer observaciones mediciones, etc.

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OBSERVACIÓN Los cuerpos metálicos en épocas de verano incrementan sus dimensiones

HIPÓTESIS Una moneda es un cuerpo metálico, si lo frotamos se debe calentar. El calentamiento del cuerpo implica incremento de su temperatura es la razón, de este fenómeno.

EXPERIMENTO Calentamos la moneda por frotamiento o usando un mechero para que el calentamiento sea mayor. Si comparamos las dimensiones de la moneda antes y después del proceso de calentamiento notaremos que sus dimensiones se han incrementado ligeramente al aumentar la temperatura.

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CONCLUSIÓN (Nivel macroscópico) El calentamiento de un cuerpo metálico es la causa de su dilatación.

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FÍSICA

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GUIA DE PRACTICA DE LABORATORIO Nº 01

3.5.

3.6.

OBJETIVO. Poner en práctica los procesos del método científico a través de un trabajo experimental.

II.

MATERIALES. Vela Fósforo Recipiente

III. 3.1.

PROCEDIMIENTO. DESCRIBE LA VELA Y HAZ UN LISTADO (10)

in a c a u H e ia m

e u q u L

a)……………………………………….. f)………………………………… b)……………………………………….. g)………………………………… c)………………………………………... h)………………………………… d)……………………………………...… i)………………………………… e)………………………………………… j)……………………………….. 3.2.

¿QUÉ ES LO QUE HA SUCEDIDO CON LA CERA DE LA VELA?

AL CONSUMIRSE LA VELA. EXISTIRA ALGUNA RELACION CON LOS CAMBIOS QUE SUFRE LA MATERIA. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………..

3.7.

a)…………………………………………………… b)…………………………………………………… c)…………………………………………………… d)……………………………………………………

3.8.

…………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………

¿CREES QUE LA VELA SUFRA CAMBIOS EN SU ESTRUCTURA? ...............................................

J

Si la rompes:……………………………………….. Si la enciendes:…………………………………….. Si la trituras:………………………………………..

3.4.

¿CUAL DE LOS PASOS ANTERIORES TE DEMUESTRA QUE ES UN CAMBIO QUE PUEDE MODIFICAR SU ESTRUCTURA INTERNA? ……………………………………………………………………………….. Porque……………………………………………………………………...…………………… ……………………………………………………………..

in a c a u H e ia m

¿CUÁL SERIA TU FUNDAMENTO CIENTIFICO?

¿QUE PUEDES HACER CON LA VELA?

¿QUE TIPO DE CAMBIOS?

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DESPUES DE LA PRÁCTICA REALIZADA ANOTA TUS CONCLUSIONES.

a)…………………………………………………… b)…………………………………………………… c)…………………………………………………… d)…………………………………………………… 3.3.

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........................................................................................................................................... .........................................................................................................

MÉTODO CIENTÍFICO

I.

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FÍSICA

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FÍSICA

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Análisis dimensional

MAGNITUD FÍSICA

El análisis dimensional es una parte de la física que estudia la forma como se relacionan las magnitudes derivadas con las fundamentales. Tal estudio se hace básicamente para descubrir valores numéricos, a los que los llamaremos “dimensiones”, los cuales aparecen como exponentes de los símbolos de las magnitudes fundamentales.

En nuestra vida cotidiana todos tenemos la necesidad de medir longitudes, contar el tiempo o pesar cuerpos, por ejemplo podemos medir la longitud de una tubería, el volumen de un barril, la temperatura del cuerpo humano, la fuerza de un atleta, la velocidad del bus; todas estas son magnitudes o cantidades físicas.

e u q u L

Clasificación de las Magnitudes Fines del Análisis Dimensional

in a c a u H e ia m

• El análisis dimensional sirve para expresar (relacionar) las magnitudes derivadas en términos de las fundamentales.

• Sirven para comprobar la veracidad o falsedad de las fórmulas físicas, haciendo uso del principio de homogeneidad dimensional. • Sirven para deducir nuevas fórmulas a partir de datos experimentales. (Fórmulas Empíricas).

Según su origen: • Magnitudes Fundamentales • Magnitudes Derivadas Según su naturaleza: • Magnitudes Escalares • Magnitudes Vectoriales

A) MAGNITUDES FUNDAMENTALES Llamados también magnitudes base y reconocidas por el Sistema Internacional de Unidades (S.I) sirven para formar todas las magnitudes existentes, se reconocen siete magnitudes fundamentales a saber:

MAGNITUD

UNIDAD

DIMENSIÓN

Longitud

Metro (m)

L

Masa

Kilogramo (kg)

M

Tiempo

Segundo (s)

T

Temperatura Termodinámica

Kelvin (K)

θ

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FÍSICA

B) MAGNITUDES DERIVADAS En número es el grupo más grande (ilimitado) en el cada uno puede definirse por una combinación de magnitudes fundamentales y/o auxiliares. Estas combinaciones se consiguen mediante las operaciones de multiplicación, división, potenciación y radicación. Por lo tanto toda magnitud derivada tendrá la siguiente forma:

LIC. JAIME A. HUACANI LUQUE PROPIEDADES DE LAS ECUACIONES DIMENSIONALES Todo número, ángulo o función trigonométrica que se encuentra como coeficiente, tiene como ecuación dimensional igual a la unidad.

[ x ] = La i M b iT c iOd i I e i J f i N g

Ejemplo: Ec. Dimensional 1) 20Senx → [20]senx = [1]senx = 1 2) P3 → [P]3 = (ML-1T-2)3 = M3L-3T-6 Donde: “P” es presión.

Ejemplo: Área, Volumen, velocidad, aceleración, fuerza, trabajo, energía, calor, etc.

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C) MAGNITUDES ESCALARES Son aquellas magnitudes que quedan perfectamente determinadas o bien definidas con sólo conocer su valor numérico o cantidad y su respectiva unidad de medida. Ejemplo: Área, volumen, trabajo, energía, calor, etc.

longitud,

Ejemplo: Velocidad, gravedad, etc.

aceleración,

Las ecuaciones dimensionales cumplen con todas las reglas del álgebra excepto la suma y la resta.

Ejemplo: A – B → [A – B] ≠ [A] – [B] A + B → [A + B] ≠ [A] + [B] Donde A y B son magnitudes conocidas.

tiempo,

D) MAGNITUDES VECTORIALES: Son aquellas magnitudes que además de conocer su valor numérico y su unidad, se necesitan la dirección y sentido para que dicha magnitud quede perfectamente definida o determinada.

fuerza,

ECUACIONES DIMENSIONALES

Intensidad de Corriente Eléctrica

Ampere (A)

I

Llamadas también “fórmulas dimensionales”, son expresiones matemáticas que colocan a las magnitudes derivadas en función de las fundamentales, utilizando para ello las reglas básicas del álgebra, excepto la suma y resta.

Intensidad Luminosa

Candela (Cd)

J

Notación:

Cantidad de Sustancia

Mol (Mol)

N

Si: A se lee como magnitud "A"; entonces: [A]: se lee como “ecuación dimensional de A".

e u q u L

Todo número o función trigonométrica que se encuentra como componente conserva su valor.

Donde los exponentes numéricos: a, b, c, d, e, f, g, se conocen como dimensiones.

J

Ec. Dimensional → [20kg] = 1 → [Sen30°]=1 → [π/5] = 1

Ejemplo: 1) 20kg 2) Sen30° 3) π/5

PRINCIPIO DE HOMOGENEIDAD

En toda ecuación dimensional para que se encuentre correctamente escrita, todos sus miembros deben tener las mismas dimensiones. Ejemplo: “GENERAL” Si:

A + B = C - D → [ A ] = [ B] = [ C ] = [ D ]

Aplicación:

d = V it +

at 2 → Ec. Dimensional Homogénea 2  at 2    2 

[ d] = [ V i t ] = 

L = LT -1T = LT -2 T 2

[d ] = [ V ][ t ] =

[a ][ t ] [ 2]

L=L=L

2

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FÍSICA

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FÍSICA

FÓRMULAS DIMENSIONALES MÁS USUALES EN EL SISTEMA INTERNACIONAL En el cuadro siguiente encontrarás las fórmulas dimensionales de las magnitudes derivadas más usadas, las cuáles deberás de aprender en su totalidad para el buen aprendizaje y dominio de este tema. MAGNITUD DERIVADA

FÓRMULA

ÁREA

(longitud)2

VOLUMEN

(longitud)3

VELOCIDAD

longitud tiempo

ACELERACIÓN

velocidad tiempo

FUERZA

masa × aceleración

in a c a u H e ia m

FÓRMULA DIMENSIONAL

e u q u L L2

Energía

ML2T-2

PERIODO

tiempo

T

FRECUENCIA

1 tiempo

T-1

VELOCIDAD ANGULAR

frecuencia angular

ACELERACIÓN ANGULAR

velocidad angular tiempo

IMPULSO

fuerza × tiempo

LT-1

LT-2

ML2T-2

ENERGÍA

W

ML2T-2

POTENCIA

trabajo tiempo

ML2T-3

CAUDAL

volumen tiempo

L3T-1

DENSIDAD

masa volumen

ML-3

GRAVEDAD

aceleración

LT-2

PESO

masa × gravedad

MLT-2

PESO ESPECÍFICO

peso volumen

ML-2T-2

PRESIÓN

fuerza área

ML-1T-2

TORQUE

fuerza × distancia

ML2T-2

in a c a u H e ia m

e u q u L T-1 T-2

MLT-1

CARGA ELÉCTRICA

I × tiempo

INTENSIDAD DE CARGA ELÉCTRICA

fuerza carga eléctrica

MLT-3I-1

POTENCIAL ELÉCTRICO

trabajo carga

ML2T-3I-1

RESISTENCIA ELÉCTRICA

Potencial I

ML2T-3I-1

MLT-2

fuerza × distancia

J

CALOR

L3

TRABAJO

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J

IT

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PROBLEMAS PROBLEMA 01

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RESUELTOS

[m ] =

PROBLEMA 03

¿Cuál deben ser las dimensiones de A y B para que la ecuación dada sea dimensionalmente correcta?

A=

Wsenθ m(B 2 + S)

Dimensionalmente, homogénea

para

que

mL2 + K mLe + 2t 4t

Y=

e u q u L

Solución (B + S)

sea

Dimensionalmente, homogéneo.

para

que

[m][L]2 = [ K ] ML2 = [ K ]

Para finalmente calcular las dimensiones de A

[K ] = ML2

in a c a u H e ia m Wsenθ m(B 2 + S)

[W ][senθ] [ A] = [m] B2 + S  [ A] =

ML2T −2 i1 M L2 + L2 

ML2T −2 [ A] = ML2

[ A] = T −2

Para el cálculo de la energía cinética promedio de las moléculas un gas ideal monoatómico se utiliza la relación de Boltzmann.

( )

2 2

1iL

[D ]

2

3 E =   KT 2

[D ] = L

2

Ahora finalmente para hallar las dimensiones de C reemplacemos en: 2   nA   3 p = C ( B − nH ) m +   D  D   

En ella, E es la energía cinética, T es la temperatura absoluta del gas. ¿Cuáles son las dimensiones de la constante K, conocida como constante de Boltzamann?

( )

 3  [ E ] =   KT   2  

[ E ] =   [K ][T ] 3

3

in a c a u H e ia m

ML−1T −2 = [C ] L (1) L6

[C ] = ML

−8

T

e u q u L

Solución

2  nA  [ p ] = [C ][B − nH ] m +    [D ]3  D   

−2

2

ML2T −2 = 1i[ K ]θ

[K ] = ML2T −2θ −1

PROBLEMA 07

2   nA   3 p = C ( B − nH ) m +   D  D   

(p es una presión; B, un diámetro; A, un área; por ultimo, m y n, constantes adimensionales)

Solución

Dimensionalmente,

para

que

( B − nH )



 nA    D 

ML−1T −2L3 = N [ R ]θ

homogéneo.



nA   D 

2

Determina las dimensiones de ϕ en la siguiente ecuación:

V =A

2

correcto

P A2 − B 2

dimensiones de C.

(

)

Solución

Por reglas del análisis dimensional.

  sea 

1i[ g ][ϕ ]

[V ] = [ g ] 2 [ϕ ] 1

(

LT −1 = LT

)

1 −2 2

1

1 L2

= [ϕ ]

[ϕ ] = L

1 2

Solución para

que A +

homogéneo.

 A] =  [ (1)

1 = [C ] B    ( 3) (2)

De las igualdades de (1) y (2)

1 2

[ A] = 

1  B  [ A] = [B ] = 1..........(4)

[ϕ ] 2

LT −1 = L 2T −1 [ϕ ]

y,

Dimensionalmente,

2pgϕ PA2

V =A

[V ] =

1 + C es dimensionalmente B A además, = L2T 4 , hallar las B

Si el polinomio A +

2 ( p`− p ) gϕ

(V es una velocidad; A y B son áreas; p y p`, densidades; y g, la aceleración de la gravedad).

J

Dimensionalmente, para que m + 

[m] = 

PROBLEMA 05

sea

[B ] = [nH ] [B ] = [n ][H ] L = 1i[ H ] [H ] = L

[ p ][V ] = [n][R ][T ]

[R ] = ML2T −2N −1θ −1

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PROBLEMA 06

  1iL2 2  ML−1T −2 = [C ][L − 1iL] 1 +  2   L2   L  

Si la siguiente ecuación es dimensionalmente correcta, ¿Cuáles son las dimensiones de C?

Determinar las dimensiones de R, sabiendo que la expresión pV = nRT es dimensionalmente correcta, y que p es presión; V, volumen; n, cantidad de sustancia; y T, temperatura.

Solución

sea

PROBLEMA 04

homogénea

PROBLEMA 02

mL + K 2

mL2  = [ K ]

[B ]2 = [S ] [B ]2 = L2 [B ] = L

remplacemos en A =

1=

Si la siguiente ecuación es dimensionalmente correcta, halla las dimensiones de K:

Solución 2

[n ]2 [ A]2 [D ]2 2

(m es una masa; L, una longitud; e, un espacio; y t un tiempo)

(W es trabajo; m, masa; y S, área)

J

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FÍSICA

1

1 2

Del dato:

A = L2T 4 B

[ A] = L2T 4 [B ]..........(5) Reemplazando la ecuación (5) en (4)

1 +C B

sea

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FÍSICA

LIC. JAIME A. HUACANI LUQUE

[ A][B ] = 1 2 4 L T [B ][B ] = 1 [B ]2 = L−2T −4 [B ] = L

−1

( LT ) −1

T ..........(6)

[C ] = [ A] = LT 2 PROBLEMA 08 La velocidad con la que viaja un cometa esta dada por:

LC iu + B senα d 2 it

Donde L es su longitud; d, su diámetro; t, el tiempo transcurrido; u, una constante numérica; y u, un ángulo. Determinar las dimensiones de C y B.

Solución

Por principios de homogeneidad.

 LC  [V ] = 8640 2 iu  = B senα  it  d 

[V ] = [8640]

[L][C ] u = B senα [ ] [ ] [ ] [d ]2 [t ]

[V ] = 1i

J

V] = [ (1)

[L][C ] i1 = B i1 [ ] [d ]2 [t ]

[L][C ] = B [ ] 2 d ] [t ]  [   ( 3)



La potencia P de la hélice del motor de un avión esta en función de la densidad de aire D, del radio de la hélice R, y de la velocidad angular con que gira ω . Halla la formula para dicha potencia se esta se encuentra al multiplicar cada uno de los factores mencionados.

Solución

Dado que la ecuación es dimensionalmente correcta entonces:

2

ML T

−3 −3

)

x

( L )y (T −1 )

x −3 x y

−z

x −3 x + y

−z

=M L LT

ML T = M L exponentes 2

Igualamos los semejantes.

T

de

De las igualdades de (1) y (2)

[V ] =

[L ][C ]

[d ] [t ] 2

L = LT −2T x LT 0 = LT −2 + x

(c es velocidad; P, presión; D, densidad; d, diámetro)

in a c a u H e ia m exponentes

de

los

x =1 −3 x + y = 2 y =5

P = DR5ω 3

PROBLEMA 10 Halla el exponente al cual debe estar elevado el tiempo t y las dimensiones del momento de fuerza Mo para que la siguiente ecuación sea correcta:

2L 3 At x Mo + + g senθ F

[c ] =

[P ][K ]2 [D ][d ]

LT −1 = [ K ]

[ Mo ] [F ] [ Mo ]

[e ] =

términos

Solución

términos

0 = −2 + x

L=

los

es

PK 2 Dd

c=

[e] = [ A][t ]x Igualamos los semejantes.

e u q u L

Sabiendo que la siguiente expresión dimensionalmente correcta, hallar [ K ]

De las igualdades de (1) y (3)

z

z=3 Por lo tanto la formula para la potencia de la hélice del motor del avión es;

e=v

PROBLEMA 13

De las igualdades de (1) y (4)

De las igualdades (1) y (3)

[B ] = LT −1

(4)

[P ] = Newton

x =2

[P ] = [D ]x [ R ]y [ω ]z

( 2)

[V ] = [B ]

[M ] = o [F ] [L] = A t x = [ Mo ] e ] = [v ] [ [ ][ ]  [F ] g]  [ (1)  ( 3)   (2)

kgm s2

Por lo tanto estas unidades pertenecen a:

[2 ][L] = [3][ A][t ]x [e ] = [v ] [ senθ ] [g]

P = D x R yω z

(

2L   3 At   Mo  = = g   senθ   F 



e u q u L

ML2T −3 = ML−3

[P ] =

x

[ e ] = v

[C ] = L

in a c a u H e ia m

V = 8640

[P ] = MLT −2

Por principio de homogeneidad

3

PROBLEMA 09

LT −2 [ P ] = ML2T −4

Solución

L2T [C ] LT −1 = LT

Reemplazando la ecuación (6) en (5)

LIC. JAIME A. HUACANI LUQUE

(e es espacio; v, es velocidad; L, longitud; A y g, aceleraciones y f, fuerza)

[V ]2 =

−2

[ A] = L2T 4 [B ] [ A] = L2T 4L−1T −2 [ A] = LT 2

[L][C ] [d ]2 [t ] 2 L [C ] =

20

FÍSICA

ML−1T −2 ML−3L

LT −1 = [ K ] LT −2 LT −1 = [ K ] L1 2T −1

[K ] = L1 2

MLT −2

[ Mo ] = ML2T −2

PROBLEMA 14

PROBLEMA 11

Si la ecuación mostrada es dimensionalmente correcta:

J

2BA2 f= WP log n (f es frecuencia; B, masa; A, aceleración; y W, velocidad) ¿Cuáles seran las unidades de P en el S.I.?

Solución  2  [B ][ A]2 [f ] =   [W ][P ][log n]

T −1 =

(

1i M LT LT

−1

)

−2 2

[P ]i1

La

expresión

F =

( x + ym )( ymngh ) z (log 25 + y )

es

una

ecuación homogénea. (F es fuerza; m. masa; n, escalar; h, altura; y g, aceleración)

 yz 

Usando partes de la ecuación, halle:   x 

Solución Dimensionalmente, para que homogéneo.

[log 25] = [ y ] [y ] = 1

(log 25 + y )

sea

21

FÍSICA Dimensionalmente, homogéneo.

para

que

( x + ym )

sea

LIC. JAIME A. HUACANI LUQUE

([ h ] − [ h ]) ([ p ] + [ p ]) 2

[y ] =

PROBLEMA 16

MML3T −2 = [ z ]i1

MLT −2 =

M2L3T −2 [z]

 Bk − Ck 2  w =   D(Ek − F ) 

2

 yz  1iML  x  = M

Dimensionalmente, homogéneo.

PROBLEMA 15

Determinar la expresión dimensional de “y” en la siguiente ecuación:

J

homogéneo.

( h − 3h )2 ( p + π p )

para

( Bk − Ck ) 2

que

sea

[Bk ] = Ck2  [B ] = [C ][k ] L = M [k ] [k ] = M −1L

Finalmente hallemos:

y log 3 =

sen 37º

Solución

homogéneo.

 yz  2  x  = L

[ x ] [ A − y ] ........(1) [w ] = 2 = [z] [t ] Dimensionalmente, para que [ A − y ]

para

( Ek − F )

sea

[ Ek ] = [F ] [ E ][k ] = [F ] MLT −2 M −1L = [ F ]

b−b

[F ] = L2T −2

(h es altura; p, presión; y b, aceleración angular) Por propiedades resolvemos

PROBLEMA 17

Solución del

análisis

dimensional

([h] − [3][h]) ([ p ] + [π ][ p ]) = 2

[ y ][log 3]

[ b] − [b] 2 ([h] − 1i[h]) ([ p ] + 1i[ p ]) [ y ]i1 = [ b] − [ b ]

En la siguiente correcta.

expresión

w sen30º = 2

Solución Por principio de homogeneidad.

[UNA] = [UNI ] = [ IPEN ] ...........(1)

dimensionalmente

x A−y + πz 3t 2

(w es velocidad angular; A, aceleración; y t, tiempo) Se pide encontrar: [ xyz ]

sea

[UNI] = [IPEN ] [U ][N ][I] = [I ][P ][ E ][N ] [U ] = [P ][ E ] [P ][ E ] = ML2T −2

in a c a u H e ia m

[PERU ] = M2L5T −4

[x ] [w ] = 2 [t ] 2 [ x ] = [t ] [w ]2 2

PROBLEMA 19

Sabiendo que la siguiente expresión es dimensionalmente correcta, hallar las dimensiones de [z]

2

Ahora hallemos “z” de la ecuación (1)

[A − y ] [z] [ A] − [ y ] [w ]2 = [z]

(T )

=

LT

−2

− LT

[z]

[ z ] T −2 = LT −2 [z] = L Finalmente hallemos [ xyz ] [ xyz ] = 1iLT −2L

[ xyz ] = L2T −2

xy

K log ( xt + yv ) = A z

(t es tiempo; v, velocidad; y A, presión)

[w ]2 =

−1 2

e u q u L

De la expresión (1) se tiene:

[PERU ] = [P ][ E ][R ][U ] [PERU ] = ML2T −2LML2T −2

De la ecuación (1) se tiene:

J

UNA + UNI = IPEN

Hallemos las dimensiones de [PERU]

[ A] = [ y ] [ y ] = LT −2

[ x ] = ( T ) 2 ( T −1 ) [x ] = 1

que

Si la ecuación indicada es homogénea: (U es energía; y R, radio) Entonces las dimensiones de [PERU] será:

2

Hallar las dimensiones de “F” (B es altura; C, masa; y E, fuerza)

Dimensionalmente,

[ z ] = ML2

e u q u L

En la ecuación homogénea

in a c a u H e ia m

MLT

 x  A − y  w 2 sen30º  =  = 2   3t   π z  [x ] = [A − y ] [w ]2 [ sen30º] =  3  [t ]2 [π ][ z ]   [x ] = [ A − y ] [w ]2 i1 = 2 1i[ z ] 1i[t ]

[ y ] = ML

LIC. JAIME A. HUACANI LUQUE

PROBLEMA 18

Analizando la ecuación y aplicando el principio de homogeneidad

T

Ahora reemplacemos en:

−2

Solución

[ b] − [ b ] [h]2 [ p ] [y ] = [ b] 2 ( L ) ML−1T −2 [y ] = −2

[ x ] = [ ym] [ x ] = [ y ][m] [ x ] = 1i M [x ] = M

( x + ym )( ymngh ) F = z (log 25 + y ) [ x + ym][ ymngh] [F ] = [ z ][log 25 + y ] [ M + 1i M] 1iMLLT −2L  MLT −2 = [ z ][1 + 1]

22

FÍSICA

Solución

Por propiedades del analisis dimensional se tiene

2

log ( xt + yv ) = 1

[ xt + yv ] = 1

[ xt ] = [ yv ] = 1..........(1)

De la expresión (1) se tiene

[ xt ] = 1

[ x ][t ] = 1 [x ]T = 1 [ x ] = T −1

De la expresión (1) se tiene

[ yv ] = 1 [ y ][v ] = 1 [ y ] LT −1 = 1

23

FÍSICA

LIC. JAIME A. HUACANI LUQUE

[ y ] = L−1T

LT −1T = [φ ]

Finalmente los exponentes de las magnitudes físicas solo pueden ser números reales; así entonces deducimos que en la expresión original,

[φ ] = L

 xy 

el término   debe ser un número, lo que nos  z  permite calificarlo como una cantidad adimensional.

 xy   z  = 1

(A es aceleración; y f, frecuencia)

e u q u L

[ x − A] = 1 [ x ] = [ A] = 1............(1)

[z] = L

in a c a u H e ia m

[ x ] = [ A] [ x ] = LT −2

PROBLEMA 20

Para que la siguiente expresión física sea dimensionalmente homogénea. Determinar las dimensiones de “ φ ”

Luego remplacemos en la ecuación original dada

[y ] = [ x ]

[y ] = (

 vt  Sen  θ +  φ  

tg 37

3 LT −2 4

)

[y ] =

(v es velocidad; y t, tiempo)

Solución  

vt   , de donde φ 

reconocemos que lo que esta dentro del paréntesis es necesariamente un ángulo, y por ende es una cantidad adimensional.

 vt  θ + φ  = 1  

Por principio de homogeneidad tenemos

 vt   = 1...........(1) φ 

[θ ] = 

LT −2 − LT −2  T −1

3 −6 L4 T 4 LT −2T −1

Solución wt   log  x +  = número N   wt x+ = número N

Ax 2 + Bx + C At 2 + Bt + C

( [ A ] = LT −1 ; [t ] = T )

Solución

Como es dimensionalmente homogéneo

 Ax 2  =  At 2 

 vt  φ  =1   [v ][t ] = 1

 x 2  = t 2  [ x ] = [t ]

[x ] = T

Ahora:

 Ax 2  = [Bx ]

Dimensionalmente, homogénea

para

( p − R)

que

sea

[ p ] = [R ]

in a c a u H e ia m

wt  = [número ] ......(1)  N 

De la expresión (1) tenemos

[R ] = ML−1T −2

[C ] L2

[2] LT −2(ML−1T −2 − ML−1T 2 )

 L2  1−  2  L 

L3T −1 =

 wt   N  = [número ] [w ][t ] = 1 [N ]

ML−2T −2

2

[C ] L2 1

1iLT −2 ( ML−1T −2 ) ML−2T −2

L3T −1 = [C ] L2 L−2T −2 L3T −1 = [C ] L2LT −1

T −1T = [ N ]

L3T −1 = [C ] L3T −1

[N ] = 1

[C ] = 1

PROBLEMA 25

PROBLEMA 24

La ecuación que permite calcular el caudal (Q) del escape de agua por un orificio es la siguiente:

Q =

e u q u L [B ] = [ A]

L3T −1 =

[ x ] = 

J

2

Remplacemos estos valores a la ecuación.

Por principio de homogeneidad tenemos

Si el siguiente quebrado es dimensionalmente homogéneo, hallar las dimensiones de “B” Sabiendo:

 sea  

[B ] = L2

(A es aceleración; w, velocidad angular; y t, tiempo)

7

P=

1 =  A B 

k=A

PROBLEMA 22

De la expresión tenemos

[φ ] [v ][t ] = [φ ]

[ x − A][ f ]

2

homogénea

 wt  log  x +  N  

[ y ] = L2 T −9

Determinemos las dimensiones de φ a partir de la ecuación trigonométrica Sen  θ +



En la expresión correcta, hallar la ecuación dimensional de “N”

De la expresión (1) se tiene

( B)

Dimensionalmente, para que  1 − A

PROBLEMA 23

Por principio de homogeneidad

−1

Solución

Determine las dimensiones de “y” en la ecuación

y = x tg 37 ( x − A ) f

LIC. JAIME A. HUACANI LUQUE

Considerando dimensionalmente correcta a la ecuación dada ¿Cuáles son las dimensiones de B, C y R?

[ A][ x ]2 = [B ][ x ] [ A][ x ] = [B ] LT −1T = [B ] [B ] = L

PROBLEMA 21

Solución

[ x ][ y ] = [ z ] T −1L−1T = [ z ]

J

24

FÍSICA

( )

 Rv − AE  PQ =    E ( F + Q ) 

2 g( p − R)

CA

1− AB

Si la ecuación dada es dimensionalmente correcta, se puede calcular [E]

2

γ

Siendo las unidades de Q = m

3

s,

“C” es

coeficiente de descarga, “A” el área del tubo, “g” la aceleración de la gravedad, “p” es presión en el tubo y " γ " es el peso específico.

(P es peso; R, trabajo; v, velocidad; y A, aceleración)

Solución Dimensionalmente, para que homogénea

[Rv ] = [ AE ]

( Rv − AE )

sea

25

FÍSICA

LIC. JAIME A. HUACANI LUQUE

[R ][v ] = [ A][ E ] −2

2

ML T LT

−1

= LT

[ E ] = ML T 2

−2

[C ] = T

Finalmente remplacemos en: Q =

PROBLEMA 26

Q =

Si la expresión propuesta es dimensionalmente correcta, hallar [Q] (W es trabajo; m, masa; v, velocidad; g, gravedad; h, altura; x, distancia; y P, potencia)

Q =

αα

A

B

PROBLEMA 27

Solución Como es de notar, nos interesa calcular el valor de " α " y las dimensiones de A, B y C, para así calcular Q Por principio de homogeneidad

PF = ( FAV )

UNA

, es dimensionalmente correcto.

in a c a u H e ia m

[W ] = mv α  = [ Agh] = Bx sec 60  = [PC ].....(1)

De la expresión (1) se tiene

[W ] = mv

α



[W ] = [m][v ]α

(

ML2T −2 = M LT −1

)

α

(P es presión; F, fuerza; A, área; V, volumen; y U, energía) ¿Cuáles son las dimensiones de “N”?

De la expresión (1) se tiene

[W ] = [ Agh] [W ] = [ A][ g ][h] ML2T −2 = [ A] LT −2L [ A] = M

De la expresión (1) se tiene

[W ] = Bx sec 60  [W ] = [B ][ x ] ML2T −2 = [ B ] L2 [B ] = MT −2 2

De la expresión (1) se tiene

[W ] = [PC ] [W ] = [P ][C ]

Solución

[UNA] = 1 [U ][N ][ A] = 1 ML2T −2 [ N ] L2 = 1

Luego encontraremos las dimensiones de “y” elaborando la ecuación dimensional correspondiente de la relación original

mv sen ( wy − φ ) = π 2

y2

[x] 2 [m][v ] sen (wy − φ ) = [π ] 2 [y ] 1

Hallemos las dimensiones de “z” analizando la

2

in a c a u H e ia m

[x ] [m][v ] i1 = 1i 2 [y ]

(

M LT −1

)

2

=

[x ]

1 2

ym   θ + z  = 1 ym [θ ] =   = 1.........(1)  z 

T2

De la expresión (1) se tiene

Determinar las dimensiones de “E”, si: E = xz sabiendo así mismo que la expresión:

)

(

dv log mx t = y tan θ + ym z

y2

,

)

es dimensionalmente correcta. (d es densidad; m, masa; v, velocidad; y t, tiempo)

PROBLEMA 28

Si la ecuación dimensional:

mv sen ( wy − φ ) = π 2

x y2

Es dimensionalmente correcta, determinar las dimensiones de “x” e “y”. (m es masa; v, velocidad; w, velocidad angular)

Solución Determinemos las dimensiones de “y” a partir de la ecuación trigonométrica sen(wy − φ), de donde reconocemos que lo que está dentro del paréntesis es necesariamente un ángulo, y por ende es una cantidad adimensional.

J

)

z , de donde

reconocemos que lo que esta dentro del paréntesis es necesariamente un ángulo, y por ende es una cantidad adimensional

[ x ] = M2L4

(

(

función trigonométrica tan θ + ym

1 2

2

e u q u L

[d ][v ]i1 = [ y ]i1 ML−3LT −1 = [ y ] [ y ] = ML−2T −1

x

PROBLEMA 29

[N ] = M−1L−4T 2

( ) ) ( [d ][v ] log ( mx t )  = [ y ] tan (θ + ym z )   dv log mx t = y tan θ + ym z

Luego encontraremos las dimensiones de “x” elaborando la ecuación dimensional correspondiente de la relación original

Los exponentes de las magnitudes físicas solo pueden ser números reales; así entonces deducimos que en la expresión original, el término UNA debe ser un número, lo que nos permite calificarlo como una cantidad adimensional.

L2T −2 = Lα T −α α =2

J

2T −2

[ x ] = M−1T

[wy ] = 1 [w ][ y ] = 1 T −1 [ y ] = 1 [y ] = T

T2

En un experimento de Física en el laboratorio de la Institución educativa Simón Bolívar de la ciudad Juliaca - Puno. Se comprobó que la relación:

Cα

M[x ] =1 T

De la expresión (1) se tiene

Cα

e u q u L

Q =M

W = mv α + Agh − Bx sec60 + PC

Aα α B

M2 MT −2 5

LIC. JAIME A. HUACANI LUQUE

[wy − φ ] = 1 [wy ] = [φ ] = 1......(1)

ML2T −2 = ML2T −3 [C ]

[E ]

−1

26

FÍSICA

Solución

Determinemos las dimensiones de “x”, analizando

(

para la función logarítmica log mx

ML−2T −1M = [ z ]

[ z ] = M2L−2T −1

Finalmente determinemos las dimensiones de “E”

t ) , del cual

reconocemos que lo que está dentro del paréntesis es sin lugar a dudas un número real, y por ende es una cantidad adimensional.

mx  = 1  t [m][ x ] = 1 [t ]

 ym   z  = 1 [ y ][m] = 1 [z]

E=

[E ] = [E ] =

xz y2

[ x ][ z ] [ y ]2

MT −1M2L−2T −1

( ML

−2

T −1

)

[ E ] = M−1L2T −2

2

27

FÍSICA

PROBLEMA 30

LIC. JAIME A. HUACANI LUQUE

Hallar las dimensiones de “x” en la ecuación:

P = KW x R y D z

(P es potencia; W, velocidad angular; R, radio; D, densidad; K, adimensional) Hallar los valores de “x”, “y” i “z”

Solución [P ] = [K ][W ] [R ] [D ] x

y

( ) (

ML2T −3 = 1i T −1

x

Ly ML−3

)

ML2T −3 = T − x Ly M zL−3 z ML2T −3 = M z Ly −3 zT − x

z =1

mi E sec (θ + β ) = x x x x...∞ C 2

(m es masa; E, presión; y C, cantidad de movimiento)

∧ x =3

y − 3z = 2

e u q u L

De la ecuación (1) se tiene

PROBLEMA 31

La trayectoria de cierta partícula sobre una línea recta esta definida por la siguiente ecuación:

c2 x= 2is ( senφ + µk cos φ )

(x es distancia; c, velocidad; µk es adimensional) Hallar las dimensiones de “s”:

Remplacemos en la expresión dada.

J

(LT )

−1 2

L=

[s]

[ s ] = LT −2

[ x ] = ML−2T −1

PROBLEMA 33

Al profesor Jaime, se le considera una magnitud derivada, cuya expresión homogénea es:

JE 5 = ( MAMANI )

2

Hallar las dimensiones de “J”, si:

21i MA3 =

( )

cos Id 2 log(7)i x JOHN 3 + − pq y MAMANI F 2010

(A es energía cinética; d, densidad; p, volumen; q, presión; N, caudal; y E, aceleración lineal)

( )

cos Id 2 , de donde

J

[I ] = M

2

=1

−2 6

L

Finalmente calculemos [J]

[ J ][ E ]5 = [ MAMANI ]2 [ J ][ E ]5 =  M2 A2NI 

2

e u q u L

[ J ][ E ]5 = [ M]4 [ A]4 [N ]2 [I ]2 [ J ] ( LT −2 )

( ) ( ML T ) ( L T ) ( M L ) [ J ] (L T ) = L M L T L T M L 5

= L−6

5

−10

4

2

−24

−2 4

4 8

3

−8 6

[ J ] L5T −10 = L2T −10

in a c a u H e ia m Id 2  = 1

 [m ][ E ]    [C ] 

Mi ML−1T −2 MLT −1

3

−1 −2 3

reconocemos que lo que esta dentro del paréntesis es necesariamente un ángulo, y por ende es una cantidad adimensional

[ x ] = 

[2][ s ] [senφ + µk cos φ ] [c ]2 1i[ s ]i1 [c ]2 [x ] = [s ]

trigonométrica

2

[c ]2

[x ] =

función

2

[x ] =

−2 3

Hallemos las dimensiones de “I” analizando la

 [m][ E ]   [m ][ E ]    = x    [C ]   [C ] 

( senφ + µk cos φ ) = 1

3

[I ] ( ML−3 )

−1 −2 3

[ M] = L

 [m][ E ]      = x  x x x...∞     [C ] 

dimensional

−2 3

−6

Remplazando (1) en (2)

Solución

[x ] =

2

 [m][ E ]    = x x x x...∞ .........(2)  [C ]  2

del análisis ( senφ + µk cos φ ) es la unidad.

( ) = L ( ML T ) [ M] ( ML T ) = L ( ML T )

1i[ M] ML2T

[m][ E ] = x x x x...∞ [C ] [m][ E ] = x x x x...∞ 1i [C ] [m][ E ] = x x x x...∞ .........(1) [C ]

sec2 (θ + β )

in a c a u H e ia m y =5

propiedades

 21i MA3  =  pq 3     

Por propiedades del análisis dimensional tenemos: z

[I ][d ]2 = 1

Para determinar las dimensiones de “J”, tenemos que hallar las dimensiones de “M” e “I” Por principio de homogeneidad de la ecuación que nos da inicialmente, hallemos [M]

Solución

z

LIC. JAIME A. HUACANI LUQUE

Solución

PROBLEMA 32

Dada la ecuación de Potencia:

Por

28

FÍSICA

[ J ] = L−3

−1 2

−2

−2 6 2

−4 12

29

FÍSICA

LIC. JAIME A. HUACANI LUQUE

PRÁCTICA CALIFICADA PROBLEMA 01 Si la ecuación:

5 Q t = 4mD + 21

P W

Es dimensionalmente correcta; determine [D] y [P]; si: Q: Caudal ; t: tiempo m: Masa y W: Energía

Es dimensionalmente correcta; determine [K] y [Z]; si: P: Potencia v: Velocidad F: Fuerza y E: Energía

PROBLEMA 06

Rpta.:…………………

Si la ecuación:

E=

PROBLEMA 02 Si la ecuación:

F Z

Es dimensionalmente correcta; determine [Z]; si: I: Impulso F: Fuerza Rpta.:…………………

PROBLEMA 03 Si la ecuación:

P · V = E · d + QW Es dimensionalmente correcta; determine [E] y [W]; si: P: Presión ; V: Volumen d: Aceleración y Q: Caudal Rpta.:…………………

J

Si la ecuación:

I = K + mZ Es dimensionalmente correcta; determine [Z]; si: I: Impulso m: Masa Rpta.:…………………

Rpta.:…………………

Es dimensionalmente correcta; determine [K]; si: F: Fuerza t: Tiempo Rpta.:…………………

Si la ecuación:

v = AW sen53º Es dimensionalmente correcta, determine [W]; si: v: Velocidad A: Longitud

E · v = Kt + PA Es dimensionalmente correcta; determine [K] y [A] siendo: E: Energía ; v: Velocidad t: Tiempo y P: Presión Rpta.:…………………

Es dimensionalmente correcta; determine [X] e [y] si: Q: Caudal ; V: Volumen F: Fuerza y a: Aceleración Rpta.:…………………

Rpta.:…………………

Rpta.:…………………

PROBLEMA 12

in a c a u H e ia m PROBLEMA 16

Determine el valor de "b" para que la fórmula dada sea dimensionalmente correcta.

M a T 2b − a = M 6 T 4

J

Si la siguiente fórmula:

kv d Es dimensionalmente correcta, determine: [k]; si: P = Presión v = Velocidad d = Distancia

P·v=K·F–Z·E

W = 3F – 2Kt t

Dada la siguiente fórmula: 2

x+y

z

·C·D E A = Senθ · B Dimensionalmente correcta; determine: x+y+z; siendo: A: Fuerza ; B: Masa C: Longitud ; D: Densidad E: Tiempo Rpta.:…………………

P=

Rpta.:…………………

PROBLEMA 14

Si la ecuación:

e u q u L

Rpta.:…………………

Si la siguiente fórmula: n d · a = cosφ · v Es dimensionalmente correcta; determine "n"; siendo: d: Longitud a: Aceleración v: Velocidad

PROBLEMA 13 F + ay X

La energía cinética de un cuerpo depende de la masa del cuerpo (m) y de la velocidad (v). Determine la fórmula empírica de la energía cinética.

Si la expresión dada es dimensionalmente correcta. Determine: [x] e [y] m = masa t = tiempo my + x = mt–2

PROBLEMA 08

Q·V=

Rpta.:…………………

PROBLEMA 15 PROBLEMA 11

Rpta.:…………………

Si la ecuación:

fuerza de tensión (F) que soporta la cuerda, su masa (m) y su longitud (ℓ).

Rpta.:…………………

PROBLEMA 07

Si la ecuación:

LIC. JAIME A. HUACANI LUQUE

PROBLEMA 15

PROBLEMA 10

PROBLEMA 09

PROBLEMA 05 Si la ecuación:

1 K · x2 2

Es dimensionalmente correcta; determine [K]; si: E: Energía x: Longitud

in a c a u H e ia m I=W–

PROBLEMA 04

e u q u L

Rpta.:…………………

30

FÍSICA

Determine la fórmula que permite calcular la velocidad (v) de propagación de una onda transversal en la cuerda, si ésta depende de la

PROBLEMA 17

Determinar la fórmula dimensional de: F=

(Pr esión) (Volumen) Frecuencia

Rpta.:…………………

31

FÍSICA

LIC. JAIME A. HUACANI LUQUE

PROBLEMAS PROPUESTOS PROBLEMA 01

PROBLEMA 11

Halla: [A] si: 2

k=

a .b (c - 25)

B = AC; C = v → volumen B → área a) L-4 d) L

a→ altura b → área a) L4 d) L

b) L4 e) L5

c) L2

PROBLEMA 07 PROBLEMA 02 Hallar [K]

in a c a u H e ia m

P → adimensional a) L b) L2 d) 1 e) L-1

Halla [A]/[B] si la siguiente dimensionalmente correcta : A = v2 + BC C → fuerza -2

a) MLT d) T-2L-2

b) MLT e) Faltan datos

PROBLEMA 04

A → fuerza C → masa B → tiempo a) ML -1T d) MLT

3

c) L

ecuación

es

J

c) T

-2

b) MLT e) LT-2

c) MLT-2

ABK C2

b) MLT -2 e) LT-1

c) LT-2

PROBLEMA 05

b) MLT-2 e) M

c) LT-2

a) T-2 d) T

b) T-3 e) T-4

x → 4 Newtons y → 15 litros a) ML4T-2 d) MLT

D → densidad W → trabajo c) L4

De problema anterior hallar [z]: a) ML4T-2 b) 1 d) T-2 e) MLT-2

c) L3

h+b es dimensionalmente correcta. c

v → volumen t → tiempo h → altura a) LT d) T-1

b) MLT-2

b) L2T e) T-2

c) LT-1

J

y → masa k → aceleración a) M d) 1

c) LT-4

PROBLEMA 17

a) MVR d)

Z = PK +

b) MLT-2 e) LT

c) LT-1

b) LT e) MLT-2

e u q u L c) L3

En un movimiento circular un cuerpo experimenta una fuerza resultante llamada fuerza centrípeta (fcp) que depende de la masa (m) de la velocidad (v) y del radio de giro (R). Halla las fórmulas de la fcp.

D 2 (A - 2) y

-5

b) LT e) LT-3

a) LT d) LT-1

Calcula: [z]

PROBLEMA 10 a t

-2

PROBLEMA 14

PROBLEMA 09

V= +

in a c a u H e ia m

a) LT-2 d) ML3T-2 e) LT-1

PROBLEMA 13

a) LT-2 d) L

Del problema anterior si: (c→ altura ) Halla [b] a) L b) L-1 d) L2 e) L-2

F = x k e2ka;

W=

b) MLT-2 e) L3

c) T-1

N = Ke2(bc – a2)

a → diámetro e → adimensional k → presión

PROBLEMA 16

F → fuerza a→ área e → adimensional

PROBLEMA 08

k = xy – z

Halle [N]:

PROBLEMA 12 Halla [x] si:

Calcula [y]

Hallar [a.b.c] si:

Cuando un cuerpo es lanzado sobre una superficie horizontal rugosa experimenta una fuerza opuesta a su movimiento llamada rozamiento. Calcula la ecuación dimensional de rozamiento. a) F d) M2

c) L6

Halla: [k]

Calcula la ecuación dimensional del peso de un cuerpo. (m→ masa) a) M d) L2

e u q u L

b) L2 e) L-2

Si la siguiente expresión es adimensional, halla [K] K =2nP2n

PROBLEMA 03

95v 2

2

LIC. JAIME A. HUACANI LUQUE

PROBLEMA 15

Halla [k] si: a = k v ekt es dimensionalmente correcto. a → aceleración e → adimensional v → velocidad

PROBLEMA 06

Calcula [K]

32

FÍSICA

c) L T

2

MV R

b)

MV 2 R

c) MR

e) MV2

PROBLEMA 18

Cuando un cuerpo adquiere movimiento (velocidad) se dice que posee energía cinética (Ek) que depende de la masa (M) y la velocidad (V). Halla la fórmula de la EK. ( [ Ek ] = ML2T-2)

x p-y

a)

MV 2

b)

MV 2 2

d)

M 2

e)

V2 2

c) LT-2

c)

MV 3 2

33

FÍSICA

LIC. JAIME A. HUACANI LUQUE

34

FÍSICA continuación

del

otro

manteniendo

sus

características. El vector resultante ( R ) se traza uniendo el origen del primer vector con el extremo del último vector.

ANÁLISIS VECTORIAL Es verdaderamente importante que reconozcas que en nuestra naturaleza algunos fenómenos físicos requieren algo más que números y unidades físicas para quedar plenamente explicados. Para detallar algunos fenómenos se usa el Vector, y las magnitudes físicas que lo necesitan se llaman magnitudes vectoriales. VECTOR.- Es un segmento de recta orientado (flecha), que nos permite representar gráficamente a una magnitud vectorial. Los elementos de un vector son (Ver Fig. 1): •

Módulo

θ

•

 A  A

Dirección Línea de acción

 B

b) Si α=180°(A↑↓B)
R = A – B = Rmínima c) Si α = 90° (A

J

B)
R =

 A

β

 B

     R = B +A = A +B  Módulo de R

R2 = A2 + B2 – 2ABCos β

Polo

0

MÉTODOS PARA CALCULAR LA RESULTANTE

Ay  A

 Ay

a) MÉTODO DEL PARALELOGRAMO Se utiliza para calcular la resultante de dos vectores concurrentes y coplanares que tienen un mismo punto de origen. Gráficamente se construye un paralelogramo trazando paralelas a los vectores. El vector resultante se traza uniendo el origen de los vectores con la intercepción de las paralelas.

θ

α

γ β

 A

A B C = = Senθ Senγ Senβ

 B

c) MÉTODO DEL POLÍGONO Se utiliza para calcular la resultante de un conjunto de vectores concurrentes y coplanares. Es un método grafico que utiliza escalas apropiadas y consiste en trazar los vectores uno a

R=A+B+C

J

 Ax

  A=Au x

EXPRESIÓN CARTESIANA DE UN VECTOR

α

Son aquellos vectores que resultan de proyectar un vector sobre dos (o tres) ejes perpendiculares entre sí.

θ = Dirección del vector A

 R

 B

COMPONENTES RECTANGULARES DE UN VECTOR

Donde β = 180° - α. Cosβ= -Cosα

Nota: En el triángulo vectorial también se cumple la ley de Senos.

in a c a u H e ia m

Ax

Rx

e u q u L

  A uA = A

β

 A

Ry

Es aquel vector cuyo módulo es la unidad y tiene por misión indicar la dirección y sentido de un determinado vector.

 C

 R

Tgθ =

VECTOR UNITARIO

Construimos el polígono vectorial

y

Rx 2+Ry 2

β

A 2+B 2

Vector resultante:

 R

3° Se calcula el módulo de la resultante aplicando Pitágoras y su dirección aplicando la función tangente.

 C

α

b) MÉTODO DEL TRIÁNGULO Se utiliza para calcular la resultante de dos vectores concurrentes y coplanares que están uno a continuación del otro. Gráficamente se construye un triángulo, trazando el vector resultante desde el origen del primer vector hasta el extremo del segmento vector.

En general un vector se representa de la siguiente forma.

A = Módulo del vector A

e u q u L Módulo de R:

2° Se calcula la resultante en cada uno de los ejes coordenadas (Rx, Ry)

R=

 B

R2 = A2 + B2 + 2ABCosα

Casos Particulares: a) Si α=0°(A↑↑B)
R = A + B = Rmáxima

Módulo de Origen x Dirección

A=A ∠θ

 A

Vector resultante:

   R = A+B

α



Ejem. Sean A ,B y C vectores

 R

in a c a u H e ia m

La física utiliza los vectores para representar las magnitudes vectoriales. y

 

 A

LIC. JAIME A. HUACANI LUQUE

Componentes rectangulares del vector A Se cumple que: Ax = ACosα Ay = ASenα

x

d) MÉTODO DE LAS COMPONENTES RECTANGULARES Permite calcular el módulo y la dirección de la resultante de un conjunto de vectores .Pasos a seguir.

Si x e y son las componentes rectangulares de un  vector V , entonces su expresión cartesiana se  denotará como: V = (x;y), llamado par ordenado. Asimismo puede establecerse la siguiente identidad.  V = (x;y) = x ɵi + y ɵj

Ejemplo: De la figura podemos afirmar que:  A = 3iɵ + 4 ɵj = (3;4)  B = 5 ɵi + 3 ɵj = (–5;3)  C = 6 ɵi – 3 ɵj = (6;– 3)

(–5;3)

Y

3 A

B –5

(3;4)

4

O

X 3

C +6i –3j

1° Se halla las componentes rectangulares.

35

FÍSICA

LIC. JAIME A. HUACANI LUQUE

PROBLEMAS RESUELTOS

36

FÍSICA

PROBLEMA 05

PROBLEMA 07

Calcula la resultante en el siguiente sistema.

PROBLEMA 01

→

∴R=

PROBLEMA 03 Calcula R: si:

2A = 24

→

→

→

→

R = 3 A − 2 B− C

A = 12

in a c a u H e ia m B= 6

→

Por el teorema de Pitágoras: R2 = A2 +B2

R

A A = 5; B = 4; C = 3

→

25 =5

Eje “x”: → (+); ← (-)

módulos

con

144 + 36

sus

a

a

→

R = 15 – 8 – 3 = 15 – 11

PROBLEMA 02

Calcula la resultante del sistema de vectores mostrados. 8

7

J

2

5

3

4

7

2

R = 4( → )

5

Si la suma máxima de dos vectores es 28 y el cociente de sus módulos es 4/3. Calcula el módulo del mayor.

4

Solución:

→

Eje “y”: R y = 7+3 + 2 – 5 – 4 = 3 →

Ry = 3

→

A 4k = B 3k

→

→

→

Smax = A + B = 28.... (1)

Eje “x”: R x = 8 +5 + 2 – 4 –7 = 4

Rx = 4

→

Sean los vectores A y B →

Solución:

→

R y = 20Sen37° = 20 x 3/5 = 12 (↑)

120°

Solución:

A = 4k B = 3k 4k + 3k = 28 k=4

a

J 60°

de

Rx

R

R=

(12)2 + (12)2 ∴ R = 12

PROBLEMA 08

Halla el ángulo “α” si la resultante se encuentra sobre el eje “x”.

a

Por el método del paralelogramo R=

a 2+a 2+2(a)(a)Cos60°

R=

1 2a 2+2a 2 . = 3a 2 2

Reemplazando en (1)

∴ R=a 3 ∴ El mayor es 4k = 16

Por el teorema Pitágoras.

R

Ordenando el sistema

PROBLEMA 04

20Cos37°

R x = 20Cos37° - 4 = 20 x 4/5 – 4 = 12 (→)

Ry

∴R =4

4

→

En la figura calcula el valor de la resultante:

→

∴R=6 5

in a c a u H e ia m ∴ R = 4u (↑)

R = 3(5) – 2(4) – (3)

R2 = (12)2 + (6)2→ R =

20

→

Ry = 4 + 3 + 2 – 5 = 4

→

B

20Sen 37°

Eje “y”: ↑(+); ↓(-)

PROBLEMA 06

e u q u L

Descomponiendo el vector de módulo 20u.

Rx = 3 – 3 = 0

Solución:

37°

Solución:

→

C

Reemplazando los respectivos signos.

4

Solución:

→

B

4u

3u

e u q u L

2

5u

2u

R = (4) + (3)2 = 16 + 9

→

Smin = A - B = 6

A

3u

Rx 2

Sean los vectores A y B Smax = A + B = 18

Luego:

20u

Por el teorema de Pitágoras: R2 = Rx2 + Ry2

R

Ry

Solución:

Halla la resultante en:

3u

Luego:

La resultante máxima de dos vectores es 18 y la suma mínima de los mismos es 6. Calcula el módulo de la resultante cuando forman los vectores 90°.

LIC. JAIME A. HUACANI LUQUE

30 15 3

α 45°

15 2

Solución: Solución: Descomponiendo el vector de módulo 30 y 15 2 .

37

FÍSICA

LIC. JAIME A. HUACANI LUQUE Rmin = 0 = A - B

30 Senα

15

2 sen45°

7 R2 = 2(15)2 – 2(15)2 × 25 15.15.7 2 2 R = 2x(15) – 2. 5. 5

30Cosα 15 2 cos45°

→

Por dato:

R=

Ry = 0

1 2

PROBLEMA 11 Dados los vectores:

= 30Senα

15 = Senα → Senα = 1/2 30

in a c a u H e ia m ∴ α = 30°

PROBLEMA 09

Se tienen dos vectores coplanares y concurrentes cuyos módulos son 3 N y 5 N respectivamente. Determinar el ángulo que ellos deben formar entre sí para que su vector suma tenga por módulo 7 N.

Solución:

3

 A = (−3; 2)  B = 2iɵ − 3jɵ  C = 5iɵ + 2jɵ

a) Grafique los vectores.

   b) Determine: S = 2A + 3B c) Determine el módulo de la resultante de los vectores.

a)

7

θ

Solución:

b)

1 Cosθ = 2

∴ θ = 60°

PROBLEMA 10 La resultante mínima de dos vectores es cero y u resultante máxima igual a 30µ. ¿Cuál debe ser el módulo de su resultante cuando los citados vectores formen un ángulo entre si de 106º?

Solución:

c)

B

B

D

D

in a c a u H e ia m

Rpta.:…………………

PROBLEMA 02

Determine el módulo y la dirección de los vectores indicados; si cada lado de la cuadrícula es de 1u. B

ión o dul Direcc Mó

A B

C

y

A

R2 = A2 + B2 + 2ABCosθ 72 = 32 + 52 + 2(3)(5) Cosθ 49 = 34 + 30Cosθ 15 = 30Cosθ

Sean los vectores A y B

e u q u L

C

A

D

C

Rpta.:…………………

x

5

J

A

A

∴ R = 18

15 2 Cos45° = 30Senα

2×

PROBLEMA 04 Si cada lado de la cuadrícula mostrada es de 1u; complete el siguiente cuadro:

450 − 126 = 324

Luego: 15

PROBLEMA 01 Determine el módulo y la dirección de los vectores indicados; si cada lado de la cuadricula es de 4u. C

e u q u L

LIC. JAIME A. HUACANI LUQUE

PRÁCTICA CALIFICADA

A = 15

Rmax = 30 = A + B B = 15 R2 = A2 + B2 + 2ABCos106° R2 = 152+152+2(15)(15)(-Sen16°)

15 3

38

FÍSICA

C

B

   S = 2A + 3B  ɵ + 3(2iɵ − 3j) ɵ S = 2(−3iɵ + 2j)  S = −6iɵ + 4ɵj + 6iɵ − 9jɵ  S = −5jɵ

    R = A+B+C  R = −3iɵ + 2jɵ + 2iɵ − 3jɵ + 5iɵ + 2jɵ  R = 4iɵ + ɵj

J

Rpta.:…………………

PROBLEMA 03

PROBLEMA 05

Exprese los cartesiana.

siguientes

vectores

en

A

Dados los vectores:

 A = (2 ; 8)  B = −3iɵ + 8jɵ  C = −4iɵ − 3jɵ

a) Grafique los vectores. b) Determine el módulo de la resultante de los vectores. c) Determine el módulo de:

    S = 3A − B + 2C

B

D C 1u 1u

Rpta.:…………………

forma

39

FÍSICA

PROBLEMA 06 Exprese los cartesiana.

LIC. JAIME A. HUACANI LUQUE

40

FÍSICA

PROBLEMAS PROPUESTOS

PROBLEMA 10 siguientes

vectores

en

forma

Se dan:

 A = 5iˆ – 4ˆj  B = –8iˆ + 8ˆj

1u A

1u

B

y

PROBLEMA 01

PROBLEMA 05

Calcular el par ordenado que representa al vector

 Determine el vector resultante R y su módulo.

 A de modo que la resultante del conjunto de y vectores sea nula

Rpta.:…………………

PROBLEMA 11 Si: C

D

Rpta.:…………………

PROBLEMA 07

in a c a u H e ia m

 A = 2iˆ + 3jˆ ;  C = –3iˆ – 5ˆj ;

 B = –3iˆ + 4ˆj  D = 6iˆ – 8ˆj

Rpta.:…………………

PROBLEMA 08 Dados:

y

Rpta.:…………………

PROBLEMA 12

Si:

 A = 7iɵ + 3jɵ  B = −8iɵ + 9jɵ    Determine: S = 2A − B

y

Rpta.:…………………

 A = 3iˆ + 4ˆj  B = 5iˆ + 2ˆj

y



Determine el vector resultante R y su módulo.

J

e u q u L

 A = miˆ + njˆ  B = 4iˆ + 5ˆj

10

a) (-24, -2) b) (-1, -24) c) (-24, -1) d) (-12; -1) e) (–6;-1)

 C (+16, -5)

 A

PROBLEMA 02 Dado

el

x

de

vectores,

 b

PROBLEMA 03

PROBLEMA 13 Del gráfico, determine:

fuerzas es cero. Si

F2 = (4;3);

F3 = (-3;4);

F4 = (-8;-6), donde:      R = F1 + F2 + F3 + F4 = 0 .

   C = 6A − 4B

B

a) (7; -1) c) (-7; -1)

PROBLEMA 09

J

los

b) (-1, -7) d) (-7; 1)

 A =(4;2) y

vectores

 B =(2,6)

Determinar el vector AB a) 2

b) –2

d) 2 5

e) N.A.

PROBLEMA 06

c) –2 5

e u q u L

Determinar el módulo de la diferencia de los vectores mostrados: 4u a) 2u b) 3u c) 4u d) 3.5u 37° e) 6u

hallar:

  R = 2 a + b − 3c sabiendo que: | a |=3; | b |=7  | c |=+4.  a  a) 1 c b) 2 c) -1 d) -2 e) 3

Dado

in a c a u H e ia m

conjunto

Calcular F1 , si la fuerza resultante del conjunto de

Rpta.:…………………

Se dan:

37°

Determine: m y n siendo 8iˆ + 12ˆj , su resultante.

Si los orígenes de los vectores coinciden con el origen de coordenadas; grafique:

LIC. JAIME A. HUACANI LUQUE

5u

PROBLEMA 07

Calcular la resultante del conjunto de vectores Si

AB =4m y BC=10m; además: ABCD es un rectángulo C B a) 5m b) 10m c) 15m d) 8m e) 20m

 a

 b

A

D

PROBLEMA 08

En el sistema de vectores, el vector resultante tiene un módulo de 15 y posee una dirección de 53 y calcular A

 B

e) N.A.

8 2

 A

PROBLEMA 04  A = 5iˆ + 2ˆj  B = 7iˆ + 3jˆ

A

y 

Determine el vector resultante R y su módulo. Rpta.:…………………

así:

Si cada cuadrícula es de 1u. Rpta.:…………………

45°

Hallar el módulo de M . Si dicho vector se define

M = F1 - F2 + F3 - F4

F1 =(24;18),

F2

=(+14+25),

además:

F3

=(6,8),

F4 =(+12;5) a) 4

b) 4 3

d) 4 2

e) 2 2

c) –4

x

 C (2;-5)

a) (-15;-9) d) (3; 4)

b) (9;12) e) (5;3)

c) (15;9)

41

FÍSICA

LIC. JAIME A. HUACANI LUQUE y

PROBLEMA 09

F 2

Dos fuerzas coplanares dan una resultante máxima de 22u y una resultante mínima de 8u. Calcular el módulo del vector suma sí forman un ángulo de 53º a) 10u b) 15u c) 20u d) 25u e) 30u

10

53°



Si: R 2 =20u.

R2

a) 8 2

a) 5 d)

b) 3

7

c) 7

e) 9

PROBLEMA 12

BC =7m; ABCD es un rectángulo AM 5 Además: = MD 2

J B

A

c) 53º

La mínima resultante de dos vectores es 3u. Cuando forman 60º entre sí su resultante es 93 . Calcular el valor de los vectores a) 12 y 9 b) 8 y 5 c) 7 y 4 d) 6 y 3 e) N.A.

Hallar el valor del vector resultante de los tres vectores mostrados

120°

PROBLEMA 13 8u

c) 180

PROBLEMA 19

a) a 2

b) 2ª

d) 2a 3

e) 2a 2

c) a 3

B

a-b 3

2a - b 4

30°

8u

e) - 3 +5

3 +3

PROBLEMA 23

b

A

En la figura P+Q =(-

e u q u L

Se tienen dos vectores coplanares y concurrentes cuyos módulos son 3 N y 5 N respectivamente. Determinar el ángulo que ellos deben formar entre sí para que su vector suma tenga por módulo 7 N. a) 60° b) 30° c) 45° d) 53° e) 74°

PROBLEMA 24

La resultante de dos vectores es 20 u y forma con el vector de menor módulo un ángulo de 37°. Los vectores forman entre sí 53°. Calcular la medida de cada vector. a) 15 y 7 b) 16 y 12 c) 16 y 9 d) 12 y 7 e) 12 y 9

Determinar el ángulo que deben formar dos vectores A y B, para que el módulo de su resultante suma sea igual al de su resultante diferencia. a) 45° b) 60° c) 90° d) 75° e) 53°

x

J

d) 3 3

c)

PROBLEMA 25

M

- a - 2b 6

a - 3b d) 7 e)

C

a

a + 2b b) 5

b) - 3 +3

in a c a u H e ia m

Si ABCD es un paralelogramo y “M” es punto medio de AB. Hallar “x” en función de los

a)

a) 3

Dos vectores se encuentran aplicados a un mismo punto. Si uno de ellos mide 15 u y el otro 7u Calcular el módulo del vector suma, si el ángulo formado por ellos mide 53°. a) 20 b) 15 c) 10 d) 25 e)N.A.

Si de uno de los vértices de un cuadrado de lado “a” se trazan vectores a los otros vértices. Hallar el módulo de la resultante

Q =n. Calcular: m+n

D

Calcular el módulo de la resultante; se sabe que dicha resultante se encuentra a lo largo del eje X.

e) 12

PROBLEMA 21

PROBLEMA 17

8u

M

b) 90

d) 90 3

PROBLEMA 20

LIC. JAIME A. HUACANI LUQUE

PROBLEMA 22

a) 100

c)

C

 b

 a

e) 6u

vectores a y b .

Se tiene dos vectores de módulo 5u y 8u calcule la resultante cuando ambos vectores formen un ángulo de 120º. a) 3u b) 5u c) 7u d) 9u e) 8u

PROBLEMA 16

Calcular el módulo de la resultante, si AB =3m y

a) 1u b) 3u c) 5u d) 4u e) 2u

28 u.

PROBLEMA 15

Sea A = (2;3); B = (4;-3) y C = (-6,+6) Hallar:

A+2B+C .

e) N.A.

módulo de su vector suma sea a) 45º b) 30º d) 60º e) 37º

c) 16

e) F.D.

PROBLEMA 11

d) 16 3 -16

c) 16 3 -8

Se tiene dos vectores coplanares de módulos 4u y 2u. Que ángulo deben formar entre si para que el

45°

b) 8

d) 16 2

b) 8 3 +16

in a c a u H e ia m

53°

e u q u L

a) 8 3 -10

PROBLEMA 14

R1

d) 8 2 u

c) 4 2 u

Calcular: 15 A − 15 B − 15C

F 3



b) 4u

Si: A = B = C = 6.

x

30°

En el siguiente sistema de vectores calcular R1

a) 8u

PROBLEMA 18

45°

PROBLEMA 10

42

FÍSICA

D

3 ;3), sí P = m (y)

y

PROBLEMA 26     Hallar | R |, si R=A+B   | A | = 2 3u y | B | = 4u  B

 P  A

 Q

30°

60°

a) 1u d) 4u (x)

30° b) 2u e) 5u

c) 3u

43

FÍSICA

PROBLEMA 27

LIC. JAIME A. HUACANI LUQUE

44

FÍSICA

PROBLEMA 31

En el siguiente sistema de fuerzas calcular F1, si F2=80 3 N y F3=F

F1

Del gráfico; indique la veracidad (V) o falsedad (F) de las siguientes proposiciones: A

F3 30° 210°

C

e u q u L B

Al suspender un bloque en un resorte, observamos que el resorte se estira (es la acción del bloque sobre el resorte) y a su vez el resorte va deteniendo al bloque (es la acción del resorte sobre el bloque) a esta acción mutua se le conoce como interacción. También si empujamos un triciclo, levantamos una silla, jalamos un cuerpo, etc., existe interacción.

1u

F2 a) 240N d) 360N

c) 180N

a) VVF d) FVF

El módulo de la diferencia de dos vectores A y B es igual al módulo del menor de ellos. ¿Hallar el ángulo que hacen los dos vectores, si:

A+B A-B

a) 30° d) 53°

b) 45° e) 74°

PROBLEMA 29

=

c)

69

( )

b) VVV e) FVV

c) FFV







Del gráfico determine: C = 5A – 3B. 1u

A

La resultante de dos vectores es 2 7 + 2 3u . Calcular el ángulo que forman entre sí, siendo sus módulos igual a: 3 u y 5u. a) 30° b) 37° c) 45° d) 53° e) 82°

B

b) 2iˆ + 24ˆj

d) −2iˆ + 24ˆj

e) 2iˆ + 12ˆj

c) −2iˆ – 24ˆj

PROBLEMA 33

Hallar el módulo de la resultante del sistema de vectores mostrados. F

F F

α

F

α α

α F

F=20N α=30º α α

F F

a) 0

b) 20 3

d) 20(2 + 3)

e) 20(2 − 3)

c) 40 3

Estas fuerzas son de cortísimo alcance (10–15 m)

En la naturaleza todos los cuerpos están interactuando con otros de alguna manera y podemos encontrar cuatro formas bien definidas de interacción, éstas son:

• Para medir con que intensidad y en qué dirección se dá la interacción, entre dos cuerpos, utilizamos la “fuerza” cuya unidad de medida es el Newton (N). • En toda interacción a una de las acciones se le llama simplemente acción y a la otra reacción siendo sus medidas las fuerzas de acción (FA) y la fuerza de reacción (FR) respectivamente. Donde:

1. Interacción gravitacional: Se manifiestan como atracción entre dos cuerpos por causa de sus respectivas masas. Un ejemplo es la atracción gravitacional entre la tierra y el sol. 2. Interacción electromagnética: Éstas se deben a una propiedad inherente a todos los cuerpos denominado “carga eléctrica”. Las fuerzas son eléctricas si las cargas están en reposo y magnéticas si las cargas están en movimiento.

J

3. Interacción Nuclear Fuerte: Esta interacción es la que mantiene dentro del núcleo de un átomo a los protones y neutrones, venciendo las repulsiones eléctricas entre los primeros. Esta interacción surge de la teoría de los Quarks, en la cual los protones y neutrones están conformados por un trío de Quarks cada uno.

e u q u L

4. Interacción nuclear débil: Es la que existe en la desintegración que experimentan algunas partículas al hallarse en núcleos inestables. Un ejemplo es la desintegración radiactiva beta. Estas fuerzas –19 tienen un alcance de 10 m.

in a c a u H e ia m

acción del bloque sobre el resorte

1u

a) 2iˆ – 24ˆj

PROBLEMA 30

acción del resorte sobre el bloque

( )

c) 60°

cuando forman 60° entre si su resultante es: 93 ¿cuál será el módulo de la resultante cuando los vectores formen 90° entre si?

J

( )

PROBLEMA 32

5

La mínima resultante de dos vectores es 4 3 y

b) 80 e) 10

1u

 • A = –3iˆ + 3jˆ  • B = 5u   • B + C = 6iˆ + 2ˆj

in a c a u H e ia m b) 120N e) F.D

PROBLEMA 28

a) 78 d) 8

LIC. JAIME A. HUACANI LUQUE

→

→

FA = − F R

⇒

FA = FR

Tercera ley de Newton

Se le conoce también como el principio de acción y reacción.

F

F

El hombre ejerce una fuerza de acción y la pared le responde con una fuerza de reacción de igual valor.

45

FÍSICA

FUERZAS USUALES 1, Fuerza elástica (Fe) Se presenta en la parte interna de los cuerpos elásticos, actúan oponiéndose a la deformación. El inglés Robert Hooke fue el primero que estableció la relación entre la fuerza interna (F) de un resorte y su respectiva deformación (x):

LIC. JAIME A. HUACANI LUQUE

4. Tensión (T) Es una fuerza interna que aparece en hilos, cuerdas, cables, etc. oponiéndose a los efectos de alargamiento por causa de fuerzas externas que actúan en los extremos de aquellos. Esta fuerza se grafica haciendo un corte imaginario.

Ley de Hooke

e u q u L T

F=kx

T

Corte Imaginario

x F Se ha aplicado una fuerza (F) al extremo del resorte, observándose que se estira una longitud (x). k: constante de elasticidad o de rigidez del resorte.

in a c a u H e ia m

NOTA: La ley de Hooke es utilizada en los dinamómetros que son instrumentos para medir las fuerzas.

2. Fuerza de Gravedad (Fg) Es aquella fuerza con la cual la tierra atrae a todos los cuerpos que se encuentren en sus cercanías. Es directamente proporcional a la masa, estando concentrado en un punto llamado “centro de gravedad, c.g.” siendo un vector dirigido hacia el centro de la Tierra. 3. Normal (FN ) Es aquella fuerza debido al contacto entre dos superficies siendo perpendicular a la superficie de contacto y saliendo de ella la fuerza normal evita que el cuerpo se hunda en la superficie donde se apoya.

J

5. Compresión (C) Es también una fuerza interna que surge en los cuerpos rígidos cuando se les intenta aplastar por acción de fuerzas externas, provocando acercamiento entre las moléculas, las que a su vez generan una fuerza electromagnética de repulsión, siendo ésta la compresión. Haciendo un corte imaginario.

Fg Fg FN

FN

• Podemos notar que, aunque la superficie en contacto parece perfectamente pulida existen asperezas o irregularidades en dichas superficies. Las superficies presentan entrantes y salientes como una superficie de dientes. • Debido a las irregularidades entre las superficies en contacto estos se engranan, o muerden, entre sí causando por ello una dificultad al deslizamiento del cuerpo.

F F

Corte imaginario

NOTA: Las fuerzas de compresión (C), tensión (T) y normal (N) son moleculares, siendo por lo tanto de origen electromagnético. 6. Fuerza de Rozamiento (Fr ) Consideremos el siguiente sistema:

¡Ufff! ¿Por qué no resbala este bloque Haciendo una ampliación en la zona de contacto se tiene dos superficies rugosas

LIC. JAIME A. HUACANI LUQUE

• Si el cuerpo resbala sobre la superficie, la fuerza de rozamiento se llamara “fuerza de rozamiento cinético fK”. • Tener presente que la fuerza de rozamiento cinético (fk) actúa tangencialmente al plano de contacto oponiéndose al deslizamiento y presenta un módulo constante.

F

fk

Fg

in a c a u H e ia m F

Piso

fr

FN

f k = µ k FN

µ k : Coeficiente de rozamiento cinético.

FN

Rpiso Rpiso: Reacción del piso sobre el cuerpo. R piso = fr + FN

2

• Si el cuerpo no resbala respecto de la superficie la fuerza de rozamiento se llamará “fuerza de rozamiento estático (fs)”. • Tener presente que la fuerza de rozamiento estático (fs) actúa tangencialmente al plano de contacto oponiéndose al posible deslizamiento y presenta un módulo que es variable.

J

V=0

e u q u L

Fg

• Por lo anterior, cuando un cuerpo intenta resbalar o resbala sobre una superficie, siendo éstas ásperas, surge una fuerza apuesta denominada fuerza de rozamiento o fuerza de fricción (fr).

2

C C

V=0

46

FÍSICA

Fg

F

fs

Piso

FN 0

≤ fs ≤ fmáx

Cuando el Cuando el cuerpo no cuerpo está intenta resbalar a punto de resbalar

fs max = µ s FN µ s : Coeficiente de rozamiento estático.

Recuerda que: “Entre dos superficies ásperas µs > µk”

DIAGRAMA DE CUERPO LIBRE (D.C.L.)

Un diagrama de cuerpo libre es aquel gráfico donde se representan todas las fuerzas externas reales que actúan sobre un cuerpo. Para realizar un D.C.L. debemos hacer lo siguiente:

a) Aislar el cuerpo o sistema de quién queremos hacer el D.C.L. b) Graficar la fuerza de gravedad, vertical y hacia abajo. c) Graficar los demás fuerzas analizando sus contactos con otros cuerpos. Ejemplo: Aislando la esfera y graficando las fuerzas externas.

47

FÍSICA

• Como el cuerpo está en reposo, las fuerzas actuantes en el cuerpo deben dar una resultante nula; dicho de otra forma: “la fuerza resultante debe ser cero”.

FN

Fg

EQUILIBRIO DE TRASLACIÓN: Un cuerpo se encuentra en equilibrio de traslación cuando su velocidad no cambia en el transcurso del tiempo; es decir, está en reposo o con M.R.U. V=cte.

reposo

M.R.U.

e u q u L

• Por lo anteriormente expuesto; con las fuerzas sobre el cuerpo podemos construir un triángulo. Así: “Polígono de fuerzas o método del triángulo”

Consideremos una persona que sostiene sobre su cabeza una roca. Cuántas fuerzas mantienen al cuerpo en reposo.

F1

Fg

c

ΣF(↑) = ΣF(↓)

Triángulo de fuerzas

• Haciendo un análisis geométrico del triángulo de fuerzas, los módulos de las fuerzas son proporcionales a las longitudes de los lados del triángulo. F1 F2 Fg = = a c b

Algo más que línea de → debemos conocer acción de F1 de este caso (equilibrio de tres fuerzas no paralelas) es que las líneas de acción de → → F1 las fuerzas deben F2 concurrir en un punto; decimos C: punto de concurrencia entonces que las fuerzas son concurrentes.

Haciendo el D.C.L. de la roca.

Fg

Si el sistema se encuentra en equilibrio calcula el valor de la tensión si: m=35kg. (g=10m/s2)

37°

Solución: D.C.L (bloque)

in a c a u H e ia m

mg=350N

PROBLEMA 02

∴ T = 350N

F2

B

O

C

Solución:

D.C.L del nodo “O”

Si el bloque se mueve con velocidad constante, si m=10kg, calcula el coeficiente de rozamiento cinético. (g=10m/s2) V

Para el bloque TC

TB

TA

O

300N

µK

50N

m

J

53°

A

Por equilibrio ΣF( ↑ ) = ΣF (↓ ) T = 350N

TC

Por equilibrio TC=300N

Por el método del triángulo.

Solución:

D.C.L. (Bloque)

Fg = m . g =100N

fr

50N

53°

TA=3k

Luego:

TC

TA = 3 × 60 = 180N 4k

Sabemos que fr = µK × N……(1) Por equilibrio: • Σ F↑ = Σ F ↓ N = fg ⇒ N = 100N

5k = 300 k = 60

5k

37° N

F1

e u q u L

PROBLEMA 03

T

∴ µ k = 0,5

Un bloque de 30 kg está suspendido mediante las cuerdas A, B y C. Si el sistema se encuentra en equilibrio, calcula la tensión que se produce en cada cuerda.

m

b

ΣF(→) = ΣF( ← ) 50N = fr Luego: 50N = µk × N 50N = µ k × 100

•

PROBLEMA 01

F2

a

LIC. JAIME A. HUACANI LUQUE

PROBLEMAS RESUELTOS

• Por nuestros conocimientos de los vectores y sus propiedades sabemos que: Si un grupo de vectores dan resultante cero, podemos formar con ellos un polígono, colocando los vectores uno a continuación del otro.

in a c a u H e ia m

NOTA: Cuando un cuerpo está en equilibrio de traslación se cumple: ΣF(→) = ΣF(←)

J

48

FÍSICA

• Hay tres fuerzas sobre el cuerpo y cuyas líneas de acción no son paralelas.

T

V=0

LIC. JAIME A. HUACANI LUQUE

TB

TB = 4 × 60 = 240N ∴ TC=300N TA=180N TB=240N

49

FÍSICA

LIC. JAIME A. HUACANI LUQUE

Determina el valor de la fuerza F sabiendo que el bloque de 100N resbala con rapidez constante en la dirección indicada (µc = 0,4). 50

v

100N

100N

50N

30N 37°

F

v = cte µk

e u q u L

* ∑F↑ = ∑F↓ N = 100N ...(1) * ∑F
= ∑F 160 = F + Fr ; 160 = F + 0,7x100

in a c a u H e ia m PROBLEMA 06

N

fr = µs x N

∴ F = 90N

PROBLEMA 07 Del sistema que se indica, el bloque A es de 20kg. y las poleas son de 2kg. (g=10m/s2). a) Para el equilibrio mecánico del bloque B, éste debe tener como máximo una masa de... b) Si la masa del bloque B es de 8kg., ¿qué módulo tiene la reacción del piso? c) Si la reacción del piso es de 100N, ¿qué módulo tiene la tensión en la cuerda 1?

* ∑F↑ = ∑F↓ (eje “y”)

40 = F + µk x N → F = 40 -

J

∴ F = 12N

PROBLEMA 05

Determina el valor de la fuerza F si se sabe que el bloque de 100N está a punto de deslizar hacia la derecha.

µs = 0,7 160N

F

g

B

en (1)

T = 80N

En (2): 2 (80) = 20 + T1 → T1 = 140N

c)

Si RP = 100N en (3)

En (2)

2T = 20 + 100 T = 60N

A

PROBLEMA 08

Solución:

Solución:

D.C.L. (bloque en la barra)

4 × 70 10

MB = 8kg.

T1 = 200 – 100 → T1 = 100N

37°

* ∑F
= ∑F (eje “x”)

Fr = µk x N

Si:

in a c a u H e ia m (1)

N+30 = 100
N = 70N……..(1)

40N = F + Fr :

b)

e u q u L

En (3): RP = 200 – 140 → RP = 60N

Se tiene un bloque en un plano inclinado cuando el plano forma 37° con la horizontal, el bloque se encuentra a punto de deslizar. Halla el coeficiente de rozamiento estático entre las superficies.

Por equilibrio Cinético:

2T = 20 + 200 – RP RP T = 10 + 100 – ........... (*) 2 R En (1): 10mB = 100 – P 2 Notar: La masa de B es máxima cuando la reacción del piso es cero (RP=0), es decir, el bloque A está a punto de levantarse.

N

40N

Fr

(3) en (2):

∴ µs = 0,75

Por estar en Mov. Inminente se cumple el Eq. Estático.

Solución:

T1 + RP = 200 .......................... (3)

3 = µs 4

Fr

37°

D.C.L. (bloque)

2T = 20 + T1 .................... (2)

Del bloque A: ∑ F ( ↑ ) = ∑ F ( ↓ )


Tg37° = µs

µs = 0,7 F

160N

µc

F

µ .N fr Tg37° = = s N N

D.C.L. (bloque)

LIC. JAIME A. HUACANI LUQUE De la polea: ∑ F ( ↑ ) = ∑ F ( ↓ )

Del triángulo:

Solución:

PROBLEMA 04

50

FÍSICA

J

Fr

µ

T T

Mpg=20N

37°

37°

T T

mg

N

B

T1

MBg=10mB

T1

A Por equilibrio se cumple:

37°

N

mg 53°

fr

a)

T T

MAg=200N

RP

Del diagrama de cuerpo libre se tiene: Para el equilibrio de B.

∑ F (↑) = ∑ F (↓)

T = 10 mB ...................... (1)

La barra de 8kg. se encuentra a punto de resbalar sobre el plano horizontal rugosa µs=0,75, como se 2 indica. (g=10m/s ). liso

B

µs=0,75

37º A a) ¿El módulo de la reacción en los apoyos A y B son iguales? b) ¿Qué módulo tiene la fuerza de rozamiento estático en A? c) ¿El módulo de la fuerza normal en B coincide con la reacción del piso? Sustente.

Solución: D.C.L. de la barra que está a punto de resbalar luego actúa fsmáx = µ s FN

51

FÍSICA a)

LIC. JAIME A. HUACANI LUQUE

b) Reemplazamos los datos tenemos:

PROBLEMA 08 θs=

θs

=

37 º

37 º

º 37

µsFN

37º

53º

RB

θs

Fg=mg=80N

FN

RA

tg θ s = µ s = 3 ⇒ θ s = 37º 4

La figura muestra una esfera de 6kg en equilibrio. Sabiendo que la cuerda AB forma un ángulo de medida respecto de la pared vertical. Determine: a) El módulo de la tensión en la cuerda AB cuando la medida del ángulo es 37°. b) El módulo de la tensión en la cuerda AB cuando mide 53°. c) La medida del ángulo sabiendo que el módulo de la reacción de la pared sobre la esfera es 60N.

A →

→

θ

Como la barra está en equilibrio FR = 0

40N

º 37

in a c a u H e ia m º 37

RA=50N

Notamos que el tirángulo de fuerzas es isósceles, luego: RA = RB = 50N b) Como la reacción en A tiene 2 componentes se tiene que la fuerza de rozamiento estático en A tiene un módulo de:

53º

J

RA=50N

FN

fsmáx = R A sen θs = 50N sen 37º fsmáx = 30N

c) En el apoyo B la superficie es lisa, entonces no existe fuerza de rozamiento estático debido a ello la reacción normal coincide con la reacción del plano. R B = FNB = 50N

c) Reemplazando los datos tenemos: un triángulo rectángulo isósceles. ( θ = 45° ) θ

3k=60N

60N 4k

e u q u L

θ

Cuando un cuerpo está en equilibrio debido a tres fuerzas no paralelas, deben ser concurrentes y formar un triángulo de fuerzas.

Solución:

Realizamos el diagrama de cuerpo libre de la esfera y aplicamos la primera condición de equilibrio. T

T θ W

R

N

W

• W = fuerza de gravedad = mg W = 60 newtons • R : módulo de la reacción • T : módulo de la tensión

a) Reemplazando los datos tenemos: 37º

T = 5k

4k=60N

53º N=3k

e u q u L 60N

g=10m/s2

θ

T

37º

fsmáx

θs

T = 5k

LIC. JAIME A. HUACANI LUQUE

B

RB=50N

53º

Fg=80N

52

FÍSICA

J

in a c a u H e ia m

53

FÍSICA

LIC. JAIME A. HUACANI LUQUE

54

FÍSICA

PRÁCTICA CALIFICADA II

PRÁCTICA CALIFICADA I PROBLEMA 01

A

PROBLEMA 01

Si el sistema se encuentra en reposo determine la masa del bloque A. La fuerza de rozamiento sobre el bloque B es de 120N y la polea de 2kg. (g=10m/s2)

F=100N

Si la esfera de 12kg se mantiene en reposo, determine el módulo de la tensión en el hilo. (g=10m/s2)

g A

16º

e u q u L

PROBLEMA 05

Determine el módulo de la tensión en A. El bloque es de 40kg. (g=10m/s2; poleas ideales).

1,6kg

g

Rpta.:…………………

in a c a u H e ia m

A

Realice el D.C.L. de cada una de las esferas cuyas masas son: mA= 5kg; mB = 3kg, superficies lisas. (g=10m/s2). También efectúe el D.C.L. del sistema de esferas.

Rpta.:…………………

PROBLEMA 05

Si cada polea es de 6kg determine el módulo de la fuerza F. (g=10m/s2)

Rpta.:…………………

PROBLEMA 02

J

g

P

F

53º

g

Rpta.:…………………

Si las poleas son ideales, determine el módulo de la tensión en P. (g=10m/s2)

Si el bloque A está a punto de subir, determine el módulo de la tensión en P y la masa del bloque A. (g=10m/s2).

in a c a u H e ia m

Un bloque de 10kg se mantiene en reposo en un plano inclinado liso, tal como se muestra. Determine el módulo de la tensión en el hilo. (g=10m/s2)

PROBLEMA 06

Rpta.:…………………

e u q u L 1,2kg

Rpta.:…………………

g

PROBLEMA 03

B

Rpta.:…………………

g

PROBLEMA 02

LIC. JAIME A. HUACANI LUQUE

PROBLEMA 06

¿Cuál es el módulo de la fuerza de rozamiento sobre el bloque B en reposo? (g=10m/s2)

g

g

P

53º

Rpta.:…………………

PROBLEMA 03

Rpta.:…………………

¿El módulo de la tensión en cada cuerda es? El cuerpo es de 120N.

PROBLEMA 07

Cuál es el módulo de la fuerza de rozamiento sobre el bloque B. (g=10m/s2; poleas ideales).

5kg

g

J

A

37º

53º B

C

3kg

Rpta.:…………………

PROBLEMA 07

g

Si el bloque se encuentra en reposo determine el módulo de la fuerza de rozamiento sobre él. (g=10m/s2) g

Rpta.:…………………

PROBLEMA 04 Determine el módulo de la tensión en A y la masa del cuerpo B para que el sistema se encuentre en reposo. Considere polea ideal. (g=10m/s2)

Rpta.:………………… 10kg

PROBLEMA 04 20kg

Rpta.:…………………

37º

Determine el módulo de la fuerza de tensión en el hilo AB si el sistema está en reposo. (g=10m/s2)

6kg

Rpta.:…………………

10kg

55

FÍSICA

PROBLEMA 08

LIC. JAIME A. HUACANI LUQUE

PROBLEMA 11

Si el resorte está estirado 10cm, determine el módulo y la dirección de la fuerza de rozamiento sobre el bloque de 10kg para que se mantenga en reposo. (g=10m/s2; K=200N/m) K

56

FÍSICA

PROBLEMA 14

Calcular la tensión T en la cuerda, si el sistema se encuentra en equilibrio, el bloque pesa 100N. Desprecie el peso de las poleas.

PROBLEMA 17

La figura muestra un bloque de 4 kg en posición de equilibrio. Determinar la tensión en la cuerda CD . (g = 10 m/s2) 30º

C

g

LIC. JAIME A. HUACANI LUQUE

D

T

Un aro fino y liso de peso 5N está sujetado a la pared con ayuda de dos clavos sin fricción. El primero se encuentra dentro de un aro (A) y el segundo está fuera del aro (B). Determinar con qué fuerza el aro presiona sobre cada clavo. A

T

Rpta.:…………………

e u q u L

Rpta.:…………………

PROBLEMA 09 Una persona de 80 kg se encuentra parada sobre una plataforma de 30 kg de peso. Si el sistema se encuentra en equilibrio y cada polea pesa es de 10 kg, encontrar la reacción de la plataforma sobre la persona. (g = 10 m/s2)

in a c a u H e ia m

Rpta.:…………………

PROBLEMA 10

PROBLEMA 15

in a c a u H e ia m

La figura muestra un bloque de peso 10 kg en posición de equilibrio. Calcular la tensión en la cuerda BC . (g = 10 m/s2)

θ

120º

60º

A

B

Se tiene 3 esferas instaladas, según ilustra la figura, cada una de ellas pesa 60N y su radio es 20cm. Si la longitud de la cuerda que une B y C es 24 cm; calcular la tensión de la cuerda.

B

Rpta.:…………………

Rpta.:…………………

En la figura el bloque W = 20N. Calcular el valor de F para que el sistema permanezca en equilibrio, AB y BC son cables. A

120u

B

F

PROBLEMA 16

J

Determinar el valor de la fuerza F, para que el sistema se encuentre en equilibrio. Las superficies son lisas, cada esfera es de 5N y tienen igual radio. F: es paralelo al plano inclinado.

C W

F

90u

Rpta.:…………………

Rpta.:…………………

PROBLEMA 18

B

e u q u L A

A

F

Rpta.:…………………

B

Rpta.:…………………

C

PROBLEMA 13

La figura muestra un sistema de dos poleas móviles de peso 1N cada uno. Hallar la magnitud de la fuerza F, tal que, el bloque de peso 9N permanezca en equilibrio.

J

PROBLEMA 12

El sistema físico se encuentra en equilibrio. Calcular la media del ángulo. Donde los bloques: A es de 8N y B es de 6N

A

37º

Rpta.:…………………

Rpta.:…………………

C

57

FÍSICA

LIC. JAIME A. HUACANI LUQUE

PROBLEMAS PROPUESTOS PROBLEMA 01

PROBLEMA 07

PROBLEMA 04

Si la reacción del piso tiene un módulo de 40N, determine la masa del bloque. Considere la esfera 2 de 6kg. (g=10m/s ).

58

FÍSICA

Determine la deformación del resorte de K=100N/cm en el sistema en reposo. Superficies 2 lisas. (g=10m/s )

PROBLEMA 10

Para mantener a un cuerpo de 40kg en reposo se construye el siguiente sistema de poleas. Determine el módulo de F si las poleas son ideales. 2 (g=10m/s )

Si el sistema se encuentra en reposo, determine la masa del bloque. Considere que la esfera de 10kg, la polea de 2kg y las superficies lisas. (g=10m/s2)

g

g

g

LIC. JAIME A. HUACANI LUQUE

F

e u q u L

g

e u q u L

20kg

a) 1cm. d) 4cm. a) 1 kg d) 8 kg

b) 2 kg e) 10kg

PROBLEMA 02

c) 6,5 kg

b) 2cm. e) 5cm.

PROBLEMA 05

in a c a u H e ia m

¿Cuál debe ser el módulo de la fuerza F que se debe ejercer para mantener el sistema en reposo? 2 Las poleas son de 2kg cada una. (g=10m/s )

(1)

a) 10N d) 80N

a) 10N d) 80N

b) 20N e) 100N

PROBLEMA 03

J

c) 40N

g

(2)

b) 20N e) 100N

a) 10N d) 80N

b) 20N e) 100N

PROBLEMA 08

Si el sistema carece de rozamiento y las poleas son ideales, determine la masa del cuerpo B para que 2 esté en reposo. (g=10m/s ) g

a) 2min d) 7min

PROBLEMA 11

J

c) 5min

Si la esfera es de 8kg, determine el módulo de la fuerza que le ejerce la pared. Superficies lisas. (g=10m/s2)

53º

a) 40N; 4kg c) 50N; 3kg e) 80N; 4kg

b) 50N; 4kg d) 60N; 2kg

PROBLEMA 12

Si el sistema se encuentra en reposo determine el módulo de la fuerza de rozamiento sobre el bloque A. La esfera es de 5kg (g=10m/s2)

g

g

20kg

K

53º

K

a) 10 kg. d) 40 kg.

A 10cm

b) 700N/m e) 1200N/m

B

c) 800N/m

b) 20 kg. e 50 kg.

c) 30 kg.

a) 60N d) 80N

b) 20N e) 100N

c) 7,5kg

Si el sistema está en reposo, determine el módulo de la tensión en A y la masa del bloque (g=10m/s2; poleas ideales)

in a c a u H e ia m b) 3min e) 10min

PROBLEMA 09

b) 5kg e) 9kg

c) 40N

Una persona trata de poner en movimiento un gran bloque de granito. Si el módulo de la fuerza horizontal que ejerce depende del tiempo según F=0,5t, donde F está en Newton y t en segundos y el valor máximo de la fuerza de rozamiento tal que el bloque no resbale es de 300N. ¿En qué instante t el bloque empieza a resbalar?

c) 40N

PROBLEMA 06

Un sistema masa resorte se encuentra en equilibrio en la situación A y al colocar otro bloque idéntico al anterior (m=10kg) alcanza el equilibrio en la situación B. Determine la constante de rigidez del 2 resorte. (g=10m/s )

a) 500N/m d) 1000N/m

c) 3cm.

Determine el módulo de la fuerza de rozamiento sobre el bloque A para que se mantenga en reposo 2 mB=10kg y la polea (2) es de 1kg. (g=10m/s )

g

F

a) 3kg d) 8kg

c) 40N a) 10N c) 25N e) 40N

b) 20N d) 30N

59

FÍSICA

PROBLEMA 13

LIC. JAIME A. HUACANI LUQUE

PROBLEMA 16

El bloque mostrado se encuentra en reposo tal como se muestra. Determine el módulo de la fuerza de rozamiento sobre el bloque. (g=10m/s2) g

PROBLEMA 19

Un bloque metálico liso, es empujado contra una esquina formada por el plano inclinado AB y el muro BC. Si las reacciones del plano y del muro son 100N y 50N respectivamente, averiguar el peso del cubo. La fuerza externa F es horizontal.

a) 5N d) 10N

37º

D

b) 7N e) 20N

F

c) 8N

PROBLEMA 14 Si el resorte está estirado 10cm determine el módulo de la fuerza de rozamiento sobre el bloque A, las poleas son de 1kg cada uno y el sistema está en reposo.

b) 40N e) 50N

PROBLEMA 17

19kg

c) 60N

Un hombre de 70 kg está en una plataforma suspendida como se muestra. Calcular la fuerza que ejerce la persona para mantener el equilibrio. La polea móvil pesa 50N.

J

A

a) 50 N d) 80 N

in a c a u H e ia m 8kg

PROBLEMA 15

53º

B

e u q u L

C

B

a) 125 N d) 50 N

37º

b) 60 N e) 90 N

c) 70 N

El sistema físico se encuentra en equilibrio. Determinar la tensión T en la cuerda. Desprecie el peso de las poleas, los bloques A y B de 2N y 10N respectivamente.

g

37º

a) 20N d) 30N

El bloque de 10 kg se encuentra en equilibrio. Determinar el módulo de la diferencia entre las tensiones T1 – T2. (g = 10 m/s2)

53º 5kg

K=500N/m

LIC. JAIME A. HUACANI LUQUE

PROBLEMA 22

Si la barra AB mostrada en la figura es de 48N y la tensión en la cuerda CD que la sostiene es de 52N, hallar la fuerza de reacción en el pasador A, sabiendo que esta fuerza es horizontal.

C

5kg

60

FÍSICA

A

a) 10 N d) 25 N

PROBLEMA 20

120º

c) 6 N

T1

30º

T2

a) 40 N d) 5 N

La barra AB mostrada en la figura, de 12N se encuentra en equilibrio apoyado en una pared vertical y en un plano inclinado completamente lisos. Si la fuerza de reacción en el apoyo A es de 5N, hallar la la fuerza de reacción en el apoyo B.

a) 72 N d) 34 N

b) 20 N e) 0 N

PROBLEMA 21

PROBLEMA 18

PROBLEMA 23

T1

53º

T2

b) 96 N e) 14 N

c) 24 N

PROBLEMA 24

El bloque de 60 kg se encuentra en equilibrio. La polea móvil de masa despreciable puede deslizarse sobre el cable inextensible de 5m de longitud cuyos extremos A y B están fijos a las paredes verticales separadas 4m entre si. Determine el módulo de la tensión en la cuerda. (g = 10 m/s2) B

A

A

37º

c) 10 N

La esfera de 60 kg se encuentra en equilibrio, apoyada en dos superficies lisas. Determine el módulo de las reacciones en los puntos de apoyo A y B.

J

c) 25 N

La esfera de 12 kg se encuentra en equilibrio. Determinar el módulo de la diferencia entre las tensiones: T2 – T1. (g = 10 m/s2)

in a c a u H e ia m

30º

A

b) 4 N e) 8 N

c) 20 N

El bloque de 4kg se encuentra en equilibrio. Determine el módulo de la diferencia entre las tensiones T1 – T2. (g = 10 m/s2)

T

a) 2 N d) 7 N

b) 15 N e) Ninguna

e u q u L

b) 75 N e) 200 N

A

B B

a) 150 N d) 300 N

b) 200 N e) 350 N

53º

c) 250 N a) 11 N d) 15 N

b) 12 N e) Ninguna

c) 13 N

a) 800 N y 100N c) 800N y 1000N e) 200 N y 800 N

b) 6000 N y 1000 N d) 300 N y 400N

a) 300 N d) 600 N

b) 400 N e) 800 N

c) 500 N

61

FÍSICA

INTRODUCCIÓN

LIC. JAIME A. HUACANI LUQUE

figura mostrada varios brazos o palancas: d1, d2, d3.

Es muy común alrededor nuestro, observar efectos de rotación por causa de las fuerzas que actúan sobre cuerpos rígidos. Por ejemplo al hacer girar

Centro de giro

d2

un destornillador, un tirabuzón, la llave de un caño, etc. Cuando se produce una rotación hay

d1

una cupla responsable de ella. Una cupla, viene a ser, un par de fuerzas paralelas, de direcciones

in a c a u H e ia m

contrarios y de igual intensidad, aplicadas a un

mismo cuerpo. Así por ejemplo: al abrir una puerta →

se aplica una fuerza F y la rotación se produce, la →

puerta aplica esa misma fuerza F a los goznes, y estos reaccionan aplicando a la puerta una fuerza →

igual y opuesta - F . Notamos a la puerta sometida →

→

a un par de fuerzas, F y - F , esto quiere decir, que en la rotación, hay una cupla que la produce.

Pero estos efectos de rotación es necesario medirlos, de allí la necesidad de agregar un nuevo

J

concepto físico que vendría a ser: Momento de

una fuerza o torque, la cual nos expresa la

F2

e u q u L d3

F1

rotación antihoraria mientras que otras, una rotación horaria.

¿En cuál de los dos casos la persona, aplicando la misma fuerza, producirá mayor efecto de rotación?

Por convención se consideran positivos los momentos relacionados con una rotación antihoraria y negativos los relacionados con una rotación horaria.

Es obvio que en el segundo caso. Esto se explica por la mayor distancia que existe entre la fuerza aplicada y el eje de rotación.

→

F3

→

(F) por el brazo de dicha fuerza (d) , definida

como la distancia del centro de momentos, a la línea de acción de la fuerza (perpendicular trazada desde el centro de rotación a la recta donde actúa la fuerza), es decir:

Momento de una Fuerza (M )

Se denomina momento de una fuerza, o torque, a aquella magnitud vectorial que mide lo cuanto es capaz una fuerza de causar movimiento de rotación a un cuerpo en torno a un punto o recta denominado centro o eje de rotación. Por ejemplo consideremos el caso de que una persona intenta aflojar una tuerca de una llanta de un camión.

Si la línea de acción de una fuerza pasa por el centro de rotación, o centro de momentos, el momento producido por dicha fuerza es nulo. F

Mo = 0

in a c a u H e ia m M OF = F× d

Comentamos anteriormente que el efecto que una fuerza produce a un cuerpo es cambiar su estado de movimiento y deformarlos, pero además esta es capaz de producir un efecto de rotación, cuando este puede rotar alrededor de un cierto punto.

F

Línea de acción de F

d

Segunda Condición de Equilibrio

O

F

Centro de rotación

La dirección del momento de una fuerza es perpendicular al plano definido por la línea de acción de la fuerza y el centro de rotación y su dirección se denomina por la regla de la mano derecha.

J

F

Mo

d

BRAZO DE PALANCA (d)

O 0,3 m

e u q u L

El módulo del momento de una fuerza se determina multiplicando el módulo de dicha fuerza

F

0,2 m

LIC. JAIME A. HUACANI LUQUE

En un primer caso la fuerza se aplica a 0,2m de la tuerca y en un segundo caso se aplica a 0,3 m.

intensidad con que tiende a rotar un cuerpo.

Supongamos que un cuerpo rígido (por ejemplo una barra) gira alrededor de un punto (centro de giro) por la acción de una fuerza, definiremos brazo o palanca a la distancia medida perpendicularmente desde el centro de giro hasta la recta de acción de la fuerza. Así tenemos en la

62

FÍSICA

Un cuerpo se encuentra en equilibrio de rotación si el momento resultante de todas las fuerzas que actúan sobre él respecto a cualquier punto, es nula. Matemáticamente, para el caso de fuerzas coplanares, se debe cumplir que la suma aritmética de los momentos relacionados con rotaciones antihorarias debe ser igual a la suma aritmética de los momentos relacionados con rotaciones horarias. F

∑ M0

+

=

F

∑ M0

−

F

Cuando sobre un cuerpo sólo intervienen fuerzas coplanares (todas se encuentran en un mismo plano), alguna de ellas tenderán a producir una

En general, un cuerpo se encontrará en equilibrio rotacional cuando se cumplen las dos condiciones de equilibrio.

63

FÍSICA

LIC. JAIME A. HUACANI LUQUE

PROBLEMAS RESUELTOS

30N

D.C.L (barra) por la 2° Ley de Newton.

10N

2m

6m

4n

3n O

O

3m 50N

∑ M 0F =

Solución: ∑ M 0F + + ∑ M F0

∑M

M 050

F 0

=

O

5m

M 0T

M10 0

-

PROBLEMA 03

(-)

10N

6m

(-)

A

∑ M F0 = 250 – 60 – 80

J

= +110 N.m

Calcula la compresión de la barra AB de peso despreciable si la carga W pesa 60 N.

A

6m

2m 8N

s Luego: M Re = +75 − 60 0

40N

30N 6m

2m

6m 8N 12N

B W

s M Re = 15 N ⋅ m 0

El signo positivo indica que el efecto de rotación neto de la barra es en sentido antihorario.

J

4m

PROBLEMA 05

37° F

Por criterio puramente geométricos deducimos que d = 4 m Luego el momento de la fuerza F respecto del punto O será:

El segundo método implica en descomponer la fuerza F en una componente horizontal y una componente vertical y luego determinar el momento producido por cada una de estas y finalmente sumar algebraicamente estos. O

8m

4m

Determinar el valor del momento de la fuerza F = 100 N respecto del punto O.

4m Fx =60N

8m

8 M RA = M A30+ M A40 - M12 A - MA

M RA = 30 × 6 + 40 × 10 – 12 × 2 – 8 × 8

F Fy =80N 37°

O 4m F

F

Fy

Fy

M 0x = 60 N⋅ 4m ⇒ M 0x = 240 N ⋅ m

M 30 A = 180 + 400 – 24 – 64 ∴ M 30 A = 492N.m

4m

El signo positivo es porque la rotación que la fuerza produce al cuerpo es en sentido antihorario.

MF0 = 25 N ⋅ 3m ⇒ M F0 = 75 N ⋅ m

Solución:

5m

M 0F = 100 N⋅ 4m ⇒ M 0F = +400 N ⋅ m

W=30N

M0W = −30 N ⋅ 2m ⇒ M W 0 = −60 N ⋅ m

12N

3m

5m

in a c a u H e ia m F=N25

2m

Tomando momentos con respecto al punto “A”.

A

O

3m

4m

2m

37°

Solución:

O

e u q u L 53°

1m

El momento resultante respecto de un cierto punto es la resultante de los momentos generados por cada una de las fuerzas. En este caso, se obtiene sumando algebraicamente cada uno de ellos.

40N

6m

∑ M F0 = 50 × 5 – 30 × 2 - 10 × 8 ∑ M F0

d

30N

Reemplazando:

∴

∴ T = 100N

línea de acción de F

3m

Determina la resultante de las fuerzas mostradas en la figura y su posición respecto de la articulación ubicada en el punto “A”. La barra es imponderable.

(+)

50N

PROBLEMA 02

M 60N 0

T × 3n = 60 × 5n

−

F

Este problema vamos a resolverlo por dos métodos. El primer método consiste en determinar previamente la distancia del centro de momentos a la línea de acción de F.

O

60N

=

in a c a u H e ia m 30N

2m

-

M 030

e u q u L 37°

5n

Solución:

Si la barra homogénea de 3kg. se le aplica una fuerza vertical F = 25 N, determinar el módulo del momento resultante respecto del punto O. 2 (g=10m/s ).

Tomando momentos respecto al punto “O”

T

d

LIC. JAIME A. HUACANI LUQUE

PROBLEMA 04

Solución:

PROBLEMA 01 Calcula el momento resultante respecto al punto “O”

64

FÍSICA

37° F

M 0 = 80 N ⋅ 8m ⇒ M 0 = 640 N ⋅ m

65

FÍSICA Re s

Luego: M 0

LIC. JAIME A. HUACANI LUQUE

∑ M0

= −240 + 640 Re s

M0

66

FÍSICA

∑ M0

=

T(3) = 30(4)

= 400 N ⋅ m

T = 40 N Del triángulo de fuerzas construido se deduce que:

37°

A

A

5m

3m

T = 40

PROBLEMA 06 Si la masa de la barra homogénea mostrada es de 3 kg , determinar el módulo de la tensión de la cuerda horizontal y de la reacción en el pasador 2 (g=10m/s ).

30

8m

Solución:

Hagamos DCL de la barra, teniendo presente que las tres fuerzas deben ser concurrentes, y apliquemos la segunda condición de equilibrio tomando momentos respecto del punto O.

e u q u L R

Veamos la forma alternativa de resolver este

módulo ni la dirección de la reacción que

problema.

ejerce la articulación sobre la barra; por lo tanto en el DCL se trazarán las componentes

fuerzas, y que d = 4 m, se deduce de la

rectangulares de esta articulación tanto en la

figura que:

dirección horizontal como vertical.

Construyamos

el

triángulo

fuerzas

teniendo presente esto:

RV R

La primera forma consiste en aplicar la segunda condición de equilibrio, respecto del punto O, determinar el valor de la tensión T y finalmente construir el triángulo de fuerzas.

Resolviendo el triángulo rectángulo notable formado se deduce que:

Hacemos el diagrama de cuerpo libre del bloque:

T

b)

37°

3m

mg

T − mg = 0

⇒ T = mg = (2,5 kg) (10 m / s 2 ) T = 25 newtons T = 25 N Hacemos el diagrama de cuerpo libre de la barra homogénea.

4,5 N

J

F

=

T MA

45 N MA

∑ M0

=

53º

G

F

∴

B

a

∑ MA

a

A

37º

53º

F

–

Rx

T⋅ 3m = 45 N⋅ 8,

PROBLEMA 07

25N

+

Tomando momentos respecto de A y aplicando la segunda condición de equilibrio.

R = 50 N

Si la barra de una masa despreciable se encuentra en equilibrio tal como se muestra. Determine el 2 módulo de la tensión en la cuerda. (g = 10m/s ).

e u q u L

∑ Fy = 0 ⇒

T

5m

θ

d = 4m

T = 40 N

A

T

30

Cuando la fuerza de gravedad de la barra actúa en su punto medio, se demuestra, por la propiedad de la base media que d= 4 m. A partir de este momento existen dos maneras de llegar a la solución de este problema.

3m RM

Fg = 30

J

de

a)

in a c a u H e ia m

Teniendo presente la concurrencia de las tres

θ

O

Realizamos el DCL de la barra; como la

θ = 37°

37º

Determine: a) El módulo de la tensión en la cuerda. b) La cantidad de masa de la barra homogénea. c) Las componentes rectangulares en la rótula A.

Solución:

Solución:

barra está articulada en A, no sabemos el

T

R

4,5 kg

R = 50 N

in a c a u H e ia m

O

3m

B

53º

El momento resultante, es el momento producido por la fuerza F que es la resultante de los componentes

3m

LIC. JAIME A. HUACANI LUQUE

T = 120 N

PROBLEMA 08 La figura muestra una barra homogénea AB. El bloque de 2,5 kg se encuentra en equilibrio.

Ry De la segunda condición de equilibrio, la suma de momentos respecto del punto A es igual a cero.

∑

MA = 0

67

FÍSICA

a) Sobre la barra actúan 4 fuerzas (sustente si es verdadero o falso). b) Las reacciones en A y B son iguales. c) ¿Qué módulo tiene la fuerza de rozamiento estático en B?

25 N (2a) sen53º − F (a) sen53º = 0 50 N (a) sen53º = F (a) sen53º Resolviendo tenemos: F = m ⋅ g = 50 N Entonces la masa de la barra es: m = 5 kg

c)

LIC. JAIME A. HUACANI LUQUE

Solución: D.C.L. de la barra homogénea.

Fg=mg=100N

Hacemos la descomposición rectangular de la tensión:

e u q u L a

7N

25N

ℓ

liso

C.G.

ℓ

37º

16º 24N

37º

RA

A

Rx

50N

37º

a)

b)

Ry

De la primera condición de equilibrio se cumple que:

∑

Fx = 0 ⇒ Rx − 24 N = 0

M

⇒ Rx = 24 N

∑

Fx = 0 ⇒ Ry + 7 N − 50 = 0

c)

⇒ Ry = 43 N El módulo de la fuerza de reacción en A se determina mediante el teorema de Pitágoras:

J

En el apoyo A la reacción es perpendicular a la superficie horizontal, es decir es vertical. Como sobre la barra están actuando 2 fuerzas verticales, entonces la reacción en B necesariamente debe ser vertical dirigida hacia arriba. Notar que sobre la barra actúan 3 fuerzas, luego, decir que actúan 4 fuerzas es falso. Al tomar momento en el centro de gravedad (C.G.) se tiene:

in a c a u H e ia m G

RA =

Rx2 + Ry2

RB

a

A

B

B

RB C.G. =

M

RA C.G.

37º

rugoso

37º Fs = R B sen 37º

37º

Rpta.: ..........................................................

Rpta.: ..........................................................

PROBLEMA 02

( ) ⇒ f = 30N

fs = 50 3 5

s

FN

e u q u L C

53º

A

in a c a u H e ia m 30N

1m

cuerda BC. ( g = 10 m / s 2 ) .

PROBLEMA 05

La figura muestra una placa ingrávida cuadrada en equilibrio. Determinar el módulo de la fuerza F.

B

La barra homogénea de 4 kg se encuentra en equilibrio. Determine el módulo de la tensión en la cuerda BC.

F

C B

30º

A

30N

Rpta.: ..........................................................

2R B = 100N ⇒ R B = 50N Notar que la reacción en B tiene 2 componentes: La fuerza normal (FN) y la fuerza de rozamiento estática (fs) fs

B

PROBLEMA 04 Si la barra homogénea de 8kg se encuentra en equilibrio, determine el módulo de la tensión en la

ΣF(↑) = ΣF(↓)

La barra homogénea de 10kg se encuentra en equilibrio como se indica:

A

PROBLEMA 01 Indique verdadero (V) o falso (F) según corresponda: ( ) Si la suma de momentos sobre un cuerpo rígido es nula, entonces no hay traslación. ( ) Si la suma de fuerzas sobre un cuerpo rígido es nula, entonces no hay rotación. ( ) Si la suma de momentos sobre un cuerpo rígido es nula y a la vez la suma de fuerzas también es nula, entonces el cuerpo está en equilibrio total.

F

⇒ R A (a) = R B (a) RA = RB

LIC. JAIME A. HUACANI LUQUE

PRÁCTICA CALIFICADA

=

PROBLEMA 09

liso

68

FÍSICA

PROBLEMA 03

Rpta.: ..........................................................

PROBLEMA 06

Sobre la barra quebrada de masa despreciable se aplica un sistema de fuerzas. Determinar el momento resultante respecto del pasador en A. Además: AB = BC = CD = DE = 2m.

J

2kg

10N

D

E

¿A qué distancia de B se debe colocar el apoyo fijo para que la barra de masa despreciable y 3,0 m de longitud, permanezca en equilibrio?: Las poleas son ideales. A

B

20N B

RB=50N

C 30N

A

Rpta.: ..........................................................

4kg 10kg

Rpta.: ..........................................................

69

FÍSICA

PROBLEMA 07

LIC. JAIME A. HUACANI LUQUE

PROBLEMA 10

La barra homogénea de 2kg se encuentra en equilibrio. Determine el módulo de la tensión en la cuerda BC. Además: AB = BD ( g = 10 m / s 2 )

70

FÍSICA

LIC. JAIME A. HUACANI LUQUE

F

PROBLEMA 14

Si la barra de 2kg se encuentra sometido a las fuerzas que se indica. Determine el momento resultante respecto al punto “O”. (g=10m/s2).

La barra homogénea de 2kg está suspendido de la cuerda y apoyado en la articulación O. ¿Qué módulo tiene la tensión en la cuerda? (g=10m/s2).

A

4a

2a

O

C

e u q u L 3m

1kg

PROBLEMA 11 PROBLEMA 08

Si el momento resultante respecto al punto “O” es +10N.m. Determine el módulo de la fuerza F1. (Barra homogénea de 2kg). (g=10m/s2)

in a c a u H e ia m

F1

la cuerda. Además: AG = GB. ( g = 10 m / s 2 )

G

B

Rpta.: ..........................................................

PROBLEMA 09

O

2m

37º

3m

37º

Rpta.: ..........................................................

PROBLEMA 12

La barra homogénea de 2kg se encuentra afectado a las fuerzas que se indica. Para dicha posición ¿La barra gira o no? F1=10N

F2 =10N

La barra homogénea de 4kg se encuentra sin girar respecto al punto “O”. ¿Qué módulo tiene la fuerza F1? (g=10m/s2) F1

F3 =30N Rpta.: ..........................................................

5m

O

a

5a

Clavo Liso

5a

1m

PROBLEMA 13 F1=20N

in a c a u H e ia m

(1)

C.G.

Rpta.: ..........................................................

O

F2 =10N

PROBLEMA 15

Del sistema que se indica. Determine la deformación del resorte de K=20N/cm, si la barra es homogénea de 4kg. (g=10m/s2)

53º

Para la posición mostrada determine el momento de F1, F2 y F3 respecto del punto “O”.

J

e u q u L

PROBLEMA 18

La barra de 2kg está en reposo como se indica. Determine el módulo de la tensión en la cuerda (1). (g=10m/s2)

Rpta.: ..........................................................

Rpta.: ..........................................................

30º

A

F1 =20N

Rpta.: ..........................................................

Rpta.: ..........................................................

La barra homogénea de 4 kg se encuentra en equilibrio. Determinar el módulo de la tensión en

37º

D

B

Rpta.: .......................................................... 3m

A

F2=10N

2m 37º

30º

2m

3m

Rpta.: ..........................................................

PROBLEMA 16

Considerando barra de masa muy pequeña. ¿Qué módulo presenta la tensión en la cuerda? (g=10m/s2)

J

80kg

2m

3m

3m

Rpta.: ..........................................................

PROBLEMA 17 La barra homogénea de 4kg está en reposo como se indica. Determine el módulo de la máxima fuerza (F) que se debe aplicar en A para mantener el equilibrio.

37º

1kg

Rpta.: ..........................................................

71

FÍSICA

LIC. JAIME A. HUACANI LUQUE

PROBLEMAS PROPUESTOS PROBLEMA 01

O 2m

La barra homogénea de 5kg se encuentra afectado a las fuerzas que se indica. Para dicha posición. ¿La barra estará girando o no? y ¿Cuál es el momento resultante respecto al punto “O”?

53 º

a) –12Nm c) sí gira; +12Nm e) sí gira; –12Nm

in a c a u H e ia m

Para la posición mostrada determine el momento de la fuerza F1, F2 respecto al punto “O”. O

b) no gira; 0 d) no gira; +6Nm

a) –6Nm; +25Nm b) 6Nm; –24Nm c) 12Nm; 18Nm d) 20Nm; 28Nm e) –30Nm; +40Nm.

a) 5 N d) 8N

b) 6N e) 9N

c) 7N

53º

a

a) 10N d) 40N

53º F1

c) 4,8N

a) 16/25 N d) 6 N

b) 25/16 N e) 5 N

e u q u L

c) 300N

a) 10 N d) 25 N

G

b) 15 N e) 30 N

c) 20 N

PROBLEMA 12

La barra homogénea AB de 4 kg se encuentra en equilibrio. Determine el módulo de la tensión en la cuerda (1). ( g = 10 m / s 2 )

(2)

(1)

B

53º

b) 20N e) 50N

B

c) 30N

W 2kg

A a) 10 N d) 40 N

b) 20 N e) 50 N

c) 30 N

PROBLEMA 10

4a

b) 3,6N e) 6,4N

J

c) 75N

la cuerda. Además: AG = GB ( g = 10 m / s 2 ) .

A

Si la barra de 8kg se encuentra en equilibrio. Determine el módulo de la fuerza de tensión en la cuerda. (g=10m/s2).

La barra homogénea de 5kg esta en equilibrio. Determine el módulo de la tensión en la cuerda.

PROBLEMA 11

in a c a u H e ia m b) 150N e) 90N

PROBLEMA 09

O

a) 3,2 N d) 5,2N

g

b) 50N e) 125N

La barra homogénea de 6 kg se encuentra en equilibrio. Determinar el módulo de la tensión en

PROBLEMA 08

7a 37º

c) 5kg

Determine el módulo de la fuerza de tensión en la cuerda si la plancha cuadrada homogénea de 30kg permanece en reposo. (g=10m/s2)

PROBLEMA 06

Si el momento resultante respecto al punto “O” es cero. ¿Qué módulo tiene la fuerza F1? (barra homogénea de 1,2kg) (g=10m/s2)

b) 3kg e) 10kg

a) 120N d) 50N

3a

53º

0,5m

a) 7,5 kg d) 2,5kg

Si la barra homogénea de 14kg está en reposo. Determine el módulo de la tensión en la cuerda.

F2=30N

a) 100N d) 200N

4m

PROBLEMA 05

0,5m

37º

J

0,5m

O

F1 =20N

g

2m

a) –60Nm; +80Nm b) –120Nm; +160Nm c) +60Nm; –80Nm d) –80Nm; +60Nm e) 200Nm; –150Nm

PROBLEMA 03

e u q u L

F2=20N

6m

La barra homogénea de 5kg permanece en posición mostrada (horizontal), determine la masa del bloque.

0,5m

3m

F2=20N

PROBLEMA 02

4m

F1=20N

F1 =30N

LIC. JAIME A. HUACANI LUQUE

PROBLEMA 07

PROBLEMA 04

Para la posición mostrada determine el momento de la fuerza F1 y F2 respecto al punto “O”.

72

FÍSICA

c)8 N

Si la barra homogénea de 30kg se mantiene en la posición horizontal, determine el módulo de la fuerza con la que el joven jala la cuerda. (g=10m/s2)

PROBLEMA 13 La figura muestra una estructura ingrávida en equilibrio, determinar el módulo de tensión en la cuerda BC. ( g = 10 m / s 2 )

73

FÍSICA 2m

C

PROBLEMA 16 W 8kg

B

LIC. JAIME A. HUACANI LUQUE

74

FÍSICA

PROBLEMA 19

LIC. JAIME A. HUACANI LUQUE

PROBLEMA 20

La figura muestra una barra ingrávida en equilibrio. Hallar el módulo de la fuerza F.

Si la masa de la barra horizontal AB homogénea es 4,5 kg determinar el módulo de la tensión en la

Calcular el módulo de la tensión en las cuerdas (1) y (2) que mantienen en equilibrio a la placa

Desprecie la masa de las poleas. ( g = 10 m / s 2 )

cuerda que lo sostiene. ( g = 10 m / s 2 )

triangular homogénea de 6 kg. ( g = 10 m / s 2 )

4m A

a) 30 N d) 60 N

F

b) 40 N e) 70 N

c) 50 N

2a

PROBLEMA 14 La figura muestra la barra ingrávida AE en equilibrio. Determinar el módulo de las reacciones en los puntos de apoyo. Además: AB = BC = CD = DE. 30N

60N

C

B

C

D

PROBLEMA 15

de P. ( g = 10 m / s 2 )

J

L

a) 90 N d) 60 N

a) 10 N d) 50 N

c) 70 N

PROBLEMA 18

2L

La barra homogénea de 4 kg se encuentra en equilibrio. Determinar el módulo de la tensión.

B

Además: AG = GB. ( g = 10 m / s 2 ) C

W 0,5kg

30º

G B

A

P

1kg

b) 1 kg e) 2,5 kg

c) 1,5 kg

a) 60 N d) 30 N

b) 50 N e) 20 N

c) 40 N

in a c a u H e ia m b) 20 N e) 100 N

3kg

b) 80 N e) 50 N

2a

a) 1 y 5N d) 6 y 6N

A

La barra ingrávida AB se encuentra en equilibrio. Desprecie el peso de las poleas. Determine la masa

B

1kg Q

B

37º

d) 35 N y 75 N

e) Ninguna

a) 0,5 kg d) 2 kg

a

b) 45 y 65 N

c) 100 y 10N

A

( g = 10 m / s 2 )

53º

37º

A

8kg W c) 20 N

La barra AB es homogénea y de 6 kg. Determinar el módulo de la tensión en la cuerda BC.

E

a) 40 y 60 N

PROBLEMA 17

A

a

b) 10 N e) 60 N

in a c a u H e ia m 20N

A

a) 5 N d) 40 N

e u q u L

(1)

J

c) 30 N

(2)

e u q u L B

b) 4 y 2N e) Ninguna

c) 3 y 3N

75

FÍSICA

LIC. JAIME A. HUACANI LUQUE

76

FÍSICA

LIC. JAIME A. HUACANI LUQUE

PROBLEMAS RESUELTOS PROBLEMA 01

MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORME

Tiempo de encuentro a partir de: d

Se denomina así a aquel movimiento que se  caracteriza porque su velocidad V permanece constante en el tiempo. Esto implica que el móvil se mueve en línea recta y su rapidez de movimiento no cambia en el tiempo. En este tipo de movimiento el desplazamiento experimentado por el móvil es proporcional al tiempo transcurrido, lo que equivale a decir que el móvil recorre distancias iguales en tiempos iguales.

V1

V

in a c a u H e ia m d t= V

Además: Vmp=

Vm =

d V1 + V2

d t V

m s m/s

km h km/h

cm s cm/s

CONVERSIÓN DE RAPIDEZ

dtotal ; rapidez media promedio. TTota l

30m/s

TTotal

km m a h s km 5 18 × = 5 m/s h 18

; Vm = rapidez media.

J

d V1

t alc =

m km a s h m 18 20 × = 72 km/s s 5

4s

800m

5 m/s

De la figura: e1 + e2 = 700

in a c a u H e ia m

30t + 40t = 700

∴ t = 10s

PROBLEMA 02

Solución:

V1

A

b) De:

6h

J e t

e u q u L C

d

A

a) Calculo del recorrido (e) e = eAB + eBC e=5 × 4+3 × 5

12h 1h

4h v

A

200km

400km

V=

b) Calculo de la distancia (d) d = eAC
d = 20 2 + 152

∴ d = 25m

PROBLEMA 04

Una persona ubicada entre 2 montañas emite un sonido al cabo de 2s escucha el primer eco y luego de 1s, escucha el segundo eco. Determina la separación entre las montañas.(Vsonido=340m/s en el aire)

Solución:

B

Tramo AB V=

5s

e = 35m

Un móvil debe recorrer 400km en 12 horas con M.R.U a la mitad del camino sufre un desperfecto que lo detiene 1 hora. ¿Con que rapidez debe continuar su marcha, para llegar 1 hora antes de lo establecido?

t1

t2

t1

200 4h

t2 e1

km ∴ V = 50 h

V2

d V1 − V2

40m/s

100

TIEMPO DE ALCANCE Y TIEMPO DE ENCUENTRO

Tiempo de alcance se obtiene a partir de la siguiente relación:

t

2

a) De:

d

3 m/s

B

t

1

EQUIVALENCIAS

1 km = 1000m 1h = 60 min 1 m = 100cm 1min = 60 segundos 1 km = 105 cm 1h = 3600 segundos

Solución:

Solución:

UNIDADES

d V= t

t

e u q u L

t enc =

d = V⋅t

d

V2

Dos móviles van al encuentro desde dos puntos distantes igual a 800m con rapideces constantes de módulos: 30m/s y 40m/s. Halla el tiempo que demoran para estar separados 100 m por primera vez.

Seguidamente se dirigen en dirección este con una rapidez constante de 3m/s durante 5s. Determina el recorrido y la distancia durante el tiempo que fue observado el bote.

PROBLEMA 03 Un bote navega en aguas tranquilas durante 4s. Con rapidez constante de 5m/s en dirección norte.

d

e2

De la figura : i) t1 + t1 = 2s
t1 = 1s ii) t2 + t2 = 3s
t2 =1,5s d = e1 + e2

77

FÍSICA d = Vs. t1 + Vs. t2 = 340 (t1 + t2) d = 340 (1 + 1,5)

∴ d = 850m

PROBLEMA 05 Dos móviles parten separados inicialmente 900m con rapidez constante de 12m/s y 8m/s en direcciones contrarias uno al encuentro del otro simultáneamente. Calcula el tiempo que transcurre hasta estar separados 300m por segunda vez.

Solución: t

t

V1=12m /s

V2=8m/s

LIC. JAIME A. HUACANI LUQUE De la figura: t1 = t2 d1 = 30t d2 = 40t Luego: por el teorema de Pitágoras (40t)2 + (30t)2 = (500)2 Resolviendo ∴ t = 10s.

2

1

PROBLEMA 07

n

in a c a u H e ia m

+

A

d2 = 1200

(12 . t) + (8 . t) = 1200

V

n

2n

V

30m/s

J

Vm =

1

10 500 = km 9 9

D d

A

L

Solución:

o

3n

3V V 2n+V n+1

M A

J

5km/h

3V 3n ∴ Vm = 1+V n+V 2n

N

t

Dos puntos “A” y “B” distan entre si 100Km, de “A” sale un móvil que tardará dos horas en llegar a “B”, de “B” sale otro móvil hacia “A”, a donde llegará en 2,5 horas. Halla a qué distancia de “A” se cruzan.

L

o

580 m o

d = v.t

6s

B

V

o V o

L

9km/h

o

P

B o

Observador

Para el punto “B” d = V.t

t

t

L = V x 6 ………. (2)

Reempl. (2) en (1) : x 91km

De la figura: i)

t

A

580 + L = v.35………(1)

ii)

6km/h

V

o

Para el punto “A” :

ciudad “B”. Se sabe que la distancia AB es 91Km y las rapideces constantes de los móviles son 6Km/h, 5Km/h y 9Km/h respectivamente. Calcula el tiempo en que “N” equidista de “M” y “P”.

3d 3d = d d d t AB+t BC+t CD + + V n V 2n V 3n

PROBLEMA 08

40m/s

t = 35s

V

in a c a u H e ia m

A

2

Solución: i)

Dos móviles “M” y “N” parten simultáneamente desde una ciudad “A” hacia una ciudad “B”, en ese mismo instante sale otro móvil “P” desde la

C d

tren.

100 10 = h 50 + 40 9

PROBLEMA 09 V3

B

frente a una persona en 6s. Calcula la longitud del

d = ?? te =

e u q u L

completamente en 35s con rapidez constante. y

o

n

n

V2

B

∴ d = 55.6 km

d=500m

O

40km/h

d

d Vm = t

Vm =

t

t

PROBLEMA 10

D

Solución:

A

Solución:

t

t

d = 50 ×

Sabemos que:

Dos autos separados por una distancia de 500m parten con rapideces constantes de 30m/s y 40m/s en direcciones perpendiculares y dirigiéndose a un mismo punto. Luego de cuanto tiempo se cruzarán.

∴ t=7h 50km/h

3n

C

B

d

PROBLEMA 06

13t = 91

VA =50km/h ; VB=40km/h

A

20t = 1200

∴ t = 60s

5t – x + 9t = 91

Según el enunciado:

e u q u L

V

De la figura: d1

ii) dN – x + dP = 91

Solución:

Un móvil recorre tramos iguales con rapideces constantes tal como se muestra en la figura. Determina la rapidez media del móvil durante todo su recorrido

2

300 m 900m

LIC. JAIME A. HUACANI LUQUE

Si un tren pasa por un puente de 580m

V

1

78

FÍSICA

dN + x = dM 5t + x = 6 t t=x

x

B

580 + 6V = 35V 580 = 29 V → V = 20m/s.

∴ L = 120m

79

FÍSICA

LIC. JAIME A. HUACANI LUQUE

PROBLEMA 11 Dos amigos parten desde un mismo punto y en la misma dirección con rapideces iguales a 5m/s y 36m/h. Luego de 2 minutos que distancia los separará.

Solución: Haciendo dos pistas paralelas para observar mejor lo que ocurrirá.

4s A

dM + (dAC + dCB) = 2d

5 × 4 + 340 × 4 = 2d

in a c a u H e ia m

De la figura: d2 – d1 = d...(1) →

d = V.t

PROBLEMA 13

10 × 120 – 5 × 120 = d 1200 – 600 = d

∴ d =600m

J A

+ 680 = d

∴ d = 690m

Dos móviles se mueven en vías paralelas en direcciones contrarias con velocidades de módulos V1=2 m/s y V2=3m/s. Si inicialmente se encuentran separados 25m, en la forma que se indica, determinar después de qué tiempo la separación será 10m por segunda vez.

Una persona se dirige hacia un muro con rapidez constante de 5m/s si lanza un grito cuando pasa por el punto “A”. Calcula la distancia del punto “A” al muro si escucha el eco luego de 4s. (Vsonido = 340m/s) muro

10

V2

V1

desplazarse respecto a él una distancia de 35

constante.

m.

Note que cuando la esfera llega a “C”, la Como:

d

A-B-C

La esfera de un material elástico se mueve sobre una superficie horizontal lisa, como se indica. Si al llegar a la pared la esfera rebota manteniendo su rapidez: V = 5m/s A

25 m

10 m

rebotar

C-B-A

no

e u q u L

V = 5m/s

J

V = 5m/s A

El tiempo que demora la esfera en ir de ttot = tA-B-C + tC-B ............... (1)

t C-B =

V = 5m/s

V = 5m/s

B

V = 5m/s B

dA −B − C = 30 = 6s. V 5

dB-C = 20 = 4s. V 5

en (1) ttot = 10s.

c)

El desplazamiento

( d) 

es aquel vector

que parte de la posición inicial y llega a la posición final. Inicial

C

tC-B

V = 5m/s

(2)

hacia el muro con la misma rapidez hasta

al

A-B-C y retornar C-B es:

C

tA-B-C

A

b)

in a c a u H e ia m B

a) La esfera en el tramo A-B-C y al rebotar CB-A, ¿experimenta M.R.U? b) Despreciando el intervalo de tiempo del choque. El tiempo que demora la esfera en ir de A-B-C y retornar de C-B es .......... c) Para el caso (b) el desplazamiento que experimenta la esfera es ..........

t=?

(V=0)

Según el enunciado el joven sigue su marcha

y

t A −B −C =

Obs.

Solución: que escucha el eco. Entonces nos piden “d”

PROBLEMA 14

Solución:

5m/s

permanece

experimenta M.R.U.

La forma más simple y elegante de resolver

(1)

velocidad

su dirección, luego la esfera en el tramo

t = 7s

Solución:

móviles y observar el movimiento del otro.

la

velocidad cambia debido al cambio de

drel = Vrel ⋅ t 35 m = 5m / s ⋅ t

25 m

este problema es ubicarse en uno de los

En el Movimiento Rectilíneo Uniforme (M.R.U.)

C

e u q u L

a)

posee una velocidad de módulo 5m/s y debe

d

d

5m/s

B

dM

Luego: 120s

10m/s

PROBLEMA 12

t sonido (vuelta)

LIC. JAIME A. HUACANI LUQUE

tsonido (ida) + tsonido(vuelta) = 4s

1

2

muro

5m/s

Para el sonido:

120s

5m/s

Respecto de este observador, el móvil “1”

t sonido (ida) 5m/s

80

FÍSICA

C

A

d

B Final

  d = 10 i m

C

81

FÍSICA

LIC. JAIME A. HUACANI LUQUE

82

FÍSICA

PROBLEMAS PROPUESTOS

PRÁCTICA CALIFICADA PROBLEMA 01

PROBLEMA 05

Analice la veracidad o falsedad de las siguientes proposiciones respecto del movimiento mecánico: • Depende del sistema de referencia elegido. • Sus características sólo dependen de la trayectoria descrita por el móvil. • Es absoluto.

20 m/s

Un barco recorre 5 km hacia el Norte y seguidamente 12km hacia el Este. Determine el recorrido (e) y la distancia (d) del barco en dicho tramo.

Rpta.:…………………

PROBLEMA 06

in a c a u H e ia m

Rpta.:…………………

Una esfera ensartada en un alambre rígido desciende con velocidad constante. Si la sombra “s” que se proyecta en el piso tiene una rapidez de 24cm/s, determine la rapidez (en m/s) de la esfera. V alambre rígido

54 km/h

200 m

Rpta.:…………………

Pilar

Rub én

Rpta.:…………………

300 m

X(m)

A B

B

0

5

10

t(s)

PROBLEMA 03

J

40 m/s

O

PROBLEMA 07

c) 35s

Las esferas mostradas realizan un M.R.U., ¿a qué distancia del poste las esferas se encontrarán juntas?

10 m/s

20 m/s

80 m

a) 20m d) 40m

b) 25m e) 45m

40 m

c) 35m

Dos pequeñas esferas viajan con M.R.U. en vías paralelas tal como se muestra en el gráfico. ¿Luego de cuántos segundos la distancia que las separa es la menor posible? 10 m/s

180 m 37° 20 m/s

a) 2s d) 7,5s

b) 5s e) 8s

c) 7s

PROBLEMA 09 ¿Cuál es el intervalo de tiempo que transcurre desde que la esfera “A” se cruza con “B” hasta que lo hace con “C”? 5 m/s 5 m/s 7 m/s

20 m/s

a) 100m d) 130m

b) 30s e) 50s

PROBLEMA 08

Si las esferas realizan un M.R.U. determine la distancia que las separa luego de 8s. (AO = 200m; BO = 110m)

Una hormiga camina por el borde de una regla graduada. Si en t = 6s se encuentra en la marca 5cm. y en t = 10s se encuentra en la marca 45cm, determine la rapidez de la hormiga.

4 m/s

e u q u L

a) 20s d) 45s

in a c a u H e ia m

Un auto realiza un M.R.U. con 30m/s. Cuando el auto está 850m antes de llegar a una persona parada en el costado de la pista se revienta un neumático. ¿A qué distancia de la persona se encuentra el auto cuando el primero escucha el sonido? Vsonido = 340m/s a) 775m. b) 790m. c) 820m. d) 750m. e) 800m.

PROBLEMA 08

Rpta.:…………………

5 m/s

30 m

Un tren emplea 10s en ingresar a un túnel de 500m de largo y 15s en mantenerse completamente dentro del túnel. ¿Cuál es la longitud del tren? El tren realiza M.R.U. a) 120m b) 200m c) 220m d) 250m e) 500m

PROBLEMA 05

Rpta.:…………………

Dos personas realizan M.R.U. tal como se muestra. Luego de cuántos segundos, a partir del instante mostrado, estarán separados 20m por segunda vez.

PROBLEMA 02 Un tren de 250m de largo y que realiza un M.R.U. emplea 10s en mantenerse completamente dentro de un túnel de 500m de largo. ¿Cuánto tiempo empleó el tren en cruzar el túnel? a) 30s b) 15s c) 35s d) 20s e) 25s

PROBLEMA 04

PROBLEMA 07

40

Si la camioneta emplea 0,5s en cruzar el poste “A”. ¿Luego de cuántos segundos desde la posición mostrada terminará de pasar por el poste “B”? La distancia entre los postes es de 52,5m. A

100 m

PROBLEMA 06

Un auto que realiza un M.R.U. recorre “D” metros en 10s y “D + 150” metros en 22,5s. Determine la rapidez del auto a) 2m/s b) 4m/s c) 8m/s b) 12m/s e) 15m/s

Rpta.:…………………

S

54 km/h

B

36 km/h

La gráfica corresponde a dos autos: “A” y “B”. Determine la velocidad de dichos autos.

37°

J

100 m

Si los móviles realizan M.R.U. determine luego de cuántos segundos desde las posiciones mostradas, el tren “A” estará 200m. delante de “B”. Los trenes viajan en vías paralelas. A

PROBLEMA 04

e u q u L 300 m

30 m/s

PROBLEMA 02

PROBLEMA 03

PROBLEMA 01

Si los móviles realizan M.R.U. determine la distancia que los separa luego de 10s desde la posición mostrada.

Rpta.:…………………

LIC. JAIME A. HUACANI LUQUE

b) 110m e) 150m

c) 120m 60 m

60 m

83

FÍSICA a) 2s d) 7s

b) 3s e) 8s

c) 4s

PROBLEMA 10 A partir de la gráfica para dos autos “A” y “B” determine la distancia que los separa en t = 60s X(m)

16°

0

t(s)

b) 6m e) 24m

PROBLEMA 11

c) 12m

2m/s

faja transportadora

60m

a) 10s d) 30s

b) 15s e) 12s

PROBLEMA 12

c) 20s

Un niño ubicado en la orilla de un lago escucha una explosión a una distancia “d” de la orilla sobre el lago si el tiempo del sonido en el aire es 7s más que el tiempo del sonido en el agua. Calcula a que distancia ocurrió la explosión. Considera: (Vsonido(aire) = 340m/s) (Vsonido (agua) = 2720m/s) a) 2640m b) 1700m c) 850m d) 2720m e) 3225m

J

e u q u L

Un buque se traslada hacia el Este con una rapidez de 20Km/h. En un instante determinado, un segundo buque que se dirige al norte con una rapidez de 15Km/h, se halla a 125km al sur del primero. Determina la menor distancia de separación entre los buques. Considera MRU para ambos buques. a) 80Km b) 90km c) 100km d) 120km e) 125km

PROBLEMA 16

Dos móviles van en la misma dirección. El móvil de adelante viaja con una rapidez (d/4)m/s y el móvil de atrás con (d/2)m/s; si inicialmente estaban separados dKm. ¿Qué tiempo emplearán en distanciarse nuevamente dKm.? a) 8000s b) 7000s c) 6000s d) 5000s e) 4000s

PROBLEMA 17

Si la rapidez del sonido en el agua es de 1700m/s y en el aire 340m/s. Determina a que distancia de la orilla y sobre la superficie del agua explotó una bomba, si la diferencia de tiempos entre el sonido transmitido por el aire y el agua es de 80 segundos. a) 30Km b) 31Km c) 32Km d) 33Km e) 34Km

Calcula la distancia entre los puntos “P” y “Q” si un móvil que viaja a 2m/s tarda 8 minutos más que viajando a razón de 10m/s. a) 1100m b) 1200m c) 1330m d) 1400m e) 1500m

Un carro que se dirige a la rapidez de 20m/s toca la bocina en un instante determinado oyendo el chofer el eco después de 5 segundos. Determina la distancia del carro al obstáculo en el instante que se tocó la bocina, si la rapidez total del sonido es 340m/s. a) 1500m b) 1600m c) 1700m d) 900m e) 1900m

PROBLEMA 20 Dos móviles parten simultáneamente de un mismo punto en sentido opuesto con rapideces constantes de 9m/s y 6m/s. Si después de recorrer 80m y 160m respectivamente ambos retornan. ¿A que distancia del punto de partida se vuelven a encontrar? a) 124m b) 125m c) 128m d) 127m e) 126m

PROBLEMA 21

Dos nadadores parten simultáneamente de uno de los extremos y en la misma dirección de una piscina de 90m de longitud con rapideces constantes de 3m/s y 2m/s. Considerando que no pierden tiempo en voltear. ¿Después de que tiempo se cruzan por segunda vez? a) 52s b) 53s c) 72s d) 55s e) 56s

PROBLEMA 22

En la figura el muchacho se desplaza a 5m/s y los móviles “A” y “B” a 20m/s y 10m/s respectivamente. ¿Al cabo de qué tiempo el muchacho escucha el choque entre A y B? (V sonido =340m/s)

J

Dos móviles “X” e “Y se mueven con movimientos uniforme, observándose en cualquier momento que la distancia entre ellos es el triple de la distancia del móvil “Y” al punto de partida. Halla la relación de rapideces entre “X” e “Y” a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

a) 13s d) 16s

LIC. JAIME A. HUACANI LUQUE

separa a las partículas cuando B pasa por el punto de partida A? a) 50m b) 60m c) 70m d) 80m e) 90m

PROBLEMA 24 Dos móviles A y B parten simultáneamente de un mismo punto. El móvil A se desplaza a 2m/s en dirección este, mientras que B se desplaza a 1m/s en dirección norte 30° este. Determina la distancia que los separa luego de 10s.

A

B

450m

b) 14s e) 17s

c) 15s

PROBLEMA 23 Dos partículas A y B se encuentran separados 200m, si parten una hacia la otra con rapideces constantes de 20m/s y 50m/s. ¿qué distancia

e u q u L

a) 8 3 m

b) 9 4 m

d) 11 3 m

e) 12 3 m

PROBLEMA 25

in a c a u H e ia m

120m

PROBLEMA 18 PROBLEMA 13

84

FÍSICA

PROBLEMA 19

Una pelota de goma es lanzada hacia una pared vertical con rapidez constante de 20m/s, si la pared se encuentra a 400m y la pelota rebota horizontalmente perdiendo el 25% de su rapidez inicial. Calcula luego de cuanto tiempo estará a 250m del punto de lanzamiento. a) 10s b) 20s c) 30s d) 40s e) 50s

in a c a u H e ia m

En la figura calcula el tiempo que tarda el móvil en llegar al otro extremo si experimenta un M.R.U. 3m/s

PROBLEMA 14

PROBLEMA 15

37°

a) 5m d) 18m

LIC. JAIME A. HUACANI LUQUE

c) 10 3 m

Dos trenes de 50 y 100m de longitud se encuentran uno frente al otro, siendo la distancia entre sus partes delanteras de 1350m. Si parten simultáneamente uno hacia el otro con rapideces constantes de 50m/s y 25m/s. Determina después de que tiempo logran cruzarse completamente. a) 17s b) 18s c) 19s d) 20s e) 21s

PROBLEMA 26

Dos trenes con rapideces opuestas V1 y V2 demoran 6s en cruzarse completamente, pero sólo 5s si las rapideces son V1 y 3V2/2. ¿Cuánto demorará uno en sobrepasar al otro si ambos viajan en el mismo sentido con las rapideces V1 y V2? a) 10s b) 20s c) 30s d) 40s e) 50s

PROBLEMA 27

Una carreta es llevada por un caballo que mantiene en todo momento una rapidez constante. En cierto instante se rompen las riendas y la carreta queda libre deteniéndose al cabo de 10s, instante en el cual se encuentra a 80m del caballo. Hallar la rapidez del caballo. a) 14m/s b) 15m/s c) 16m/s d) 17m/s e) 18m/s

85

FÍSICA

LIC. JAIME A. HUACANI LUQUE

86

FÍSICA

LIC. JAIME A. HUACANI LUQUE

PROBLEMAS RESUELTOS PROBLEMA 01

MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORME variado

Se usa el signo:

Se denomina así a aquel movimiento rectilíneo  que se caracteriza porque su aceleración a permanece constante en el tiempo (en módulo y

En movimiento acelerado

e u q u L

Un móvil parte con una rapidez inicial de 2m/s y desarrolla un M. R. U. V. Con una aceleración de 4m/s2. Calcula el tiempo que tarda en recorrer los primeros 40m.

Solución:

En movimiento desacelerado Leyenda:

dirección). En este tipo de movimiento el valor de la

•

V0 : Rapidez inicial (m/s)

velocidad aumenta o disminuye uniformemente al

•

Vf : Rapidez Final (m/s)

transcurrir el tiempo, esto quiere decir que los

•

a

: Módulo de la Aceleración (m/s2)

cambios de velocidad son proporcionales al

•

t

: Intervalo de Tiempo (s)

tiempo transcurrido, o, lo que es equivalente, en

•

d

: Distancia (m)

in a c a u H e ia m B

J

N°

FÓRMULA

1°

Vf = V0 ± a ⋅ t

2°

d = V0 ⋅ t ±

in a c a u H e ia m

3° 4°

 V + Vf d= 0  2

2s

Vi

2t2 + 2t – 40 = 0 -4

t

5

∴ t=4s

i)

PROBLEMA 02

Una partícula parte del reposo y experimenta una aceleración constante igual a 4 m/s2. ¿Qué distancia recorrerá en el sexto segundo de su movimiento?

J

V0 =0

20m

 Vi+ Vt  t  2 

d= 

Vi + Vf =

2 × 20 =20 ……. (1) 2

ii) Vf = Vi + at Vf – Vi = 8

Solución:

6s

2

a=4m/s

5s

Vf a

t2 + t – 20 = 0

t

……………..… (2)

De (1) y (2) sumando: Vf = 14m/s

En (1)

∴ Vi = 6m/s

e6to seg

± 2a ⋅ d  ⋅t 

DV Vf - Vi 8 m/ s = = = 4m/s2 t t 2s

a=

1 (4) t2 2

40 = 2.t +

1 a ⋅ t2 2

Vf2

=

V02

1 2 at 2

e = v.t +

e u q u L

Solución: Recuerda que

t

d

∴ e6to seg = 22m

40m

ECUACIONES DEL MRUV

A

e6to seg = 2 x 11

Un móvil aumenta su rapidez en 8 m/s durante 2s, recorriendo 20 m. Halla su velocidad inicial y final es m/s.

a=4m/s2

disminuye en una misma cantidad.

Vf

1 1 (4)(6)2 (4)(5)2 2 2

PROBLEMA 03

t

2m/s

tiempos iguales la velocidad del móvil aumenta o

Vi

d =

d = Vot + De la figura: d6to seg = d6s - d5s

1 2 at 2

PROBLEMA 04 En los primeros dos segundos de movimiento un móvil recorre 8m en una pista horizontal, y un los siguientes 2 segundos recorre 16 m. Halla la aceleración del móvil.

87

FÍSICA

Luego:

Solución: 2s

Vi

LIC. JAIME A. HUACANI LUQUE

2s

a

8m

a= a=

16m

A

B

C

88

FÍSICA

equidisten de un punto Q distante a 1000m del punto de partida.

Vf - Vi t

Solución:

∴ a = 7m/s2 Tramo AB:

aAB = aBC = aAC

e u q u L

PROBLEMA 06

d = Vit + 8 = V.2 +

1 2 at 2 1 a.4 2

3m/s

Tramo AC

2

5m/s

in a c a u H e ia m (2)

Efectuando: Ec(2) – 2 × Ec(1)

a 8=8 2

PROBLEMA 05

Un auto pasa por un punto “A” con cierta rapidez luego de 4s pasa por otro punto B con una rapidez igual a tres veces su rapidez inicial. Si la distancia entre A y B es 112m. Calcula su aceleración.

V

J

3V

a

Vi.t +

112m

Sabemos que:

 V + Vf  d=  i .t  2 

 V+ 3 V   . 4
V = 14m/s  2 

d = V.t +

a.t 2

a1 . t 2 a . t2 + Vi.t + 2 = 64 2 2

B

e1= 1000 + x e2= 1000 - x

1,3m/s

J

∴ t = 20s

Dos móviles A y B parten del reposo simultáneamente de un punto P, y se desplazan en un mismo sentido con aceleraciones de 6m/s2 y 4m/s2. Halla el tiempo que debe pasar para que

7s

t

a=4m/s2

A

B 150m

C

t

t + tD + 7 = 80

t + tD = 73s...................(1) dAB + dBC = 150m

MRU

Solución:

a2

V2=0

t

2

∴ t = 4s

PROBLEMA 07

tD

De la figura:

1

(I)

Solución:

2

Dos partículas se encuentran separadas 400m; si se acercan una hacia la otra a partir del reposo y acelerando a razón de 1,5ms2 y 2,5m/s2. ¿Qué tiempo debe transcurrir para que estén separados una distancia igual a la inicial?

V1 =0

2

3t + 5t = 2(64) t2 = 16

PROBLEMA 08

a1

a1 . t 2 +a 2 . t 2 = 64 2 2

A

112 = 

Sabemos que:

2

En (1):

Solución: t = 4s

Nos piden el tiempo de encuentro en el M.R.U.V. De la figura: d1 + d2 = 64m………... (1)

= 5t

e u q u L

Un muchacho caminando a 1,3m/s recorre cierta distancia y luego se detiene un cierto tiempo para descansar. Reinicia luego su recorrido acelerando a 4m/s2 durante 7s. Halla el tiempo que estuvo detenido si en total ha recorrido 150m al cabo de 80s de haber partido inicialmente.

in a c a u H e ia m

2000

64m

1 2 1 2 a1t + a2 t = 800 2 2 1 3 2 1 5 2 × t + × t = 800 2 2 2 2 8 2 t = 800 4

PROBLEMA 09

1 (6) t2 1000 + x = 2 1 1000 – x = (4) t2 2

2

∴ a = 2m/s2

x

1 2 a1t 2 1 e2 = a2t2 2 Luego:

De la figura (II) + e2 = 800m e1

∴ t = 20s

e1 =

2

a2

1

x

De la figura:

Solución:

t2

Q

t a=4m/s2

P

64m

t1

a1

6m/s2

1 P 2

2

1

1 24 = V.4 + a.16 2

V2=0

Si dos autos parten desde el reposo con direcciones contrarias uno al encuentro del otro con aceleración constantes de 3m/s2 y 5m/s2. Calcula luego de cuanto tiempo se cruzarán.

(1)

t

V1=0

3 V- V V = 4 2

LIC. JAIME A. HUACANI LUQUE

d = 1,3t +

MRUV

1 a(7)2 = 150 2

1,3t + 98 = 150


13 t = 52 10


t = 40s

400m V1

V2

Reemplazando en (1)

∴ tD = 33s 2

(II)

1 400m

89

FÍSICA

PROBLEMA 10

dAB =

Un móvil pasa por dos puntos A y B de la carretera acelerando a 4m/s2 demorándose 12s si su rapidez al pasar por B es el triple de su rapidez al pasar por A. Halla la distancia AB 12s V

(0 + 42) × 14 → dAB = 294m 2

A

e u q u L

PROBLEMA 12

dAB=??

Si un auto inicia su recorrido con rapidez inicial de 20m/s y pisa los frenos el conductor deteniéndose al cabo de 5 segundos. Calcula el recorrido total. Solución:

V -V Por teoría, sabemos: a = f i t

in a c a u H e ia m

3 v- v
v = 24m/s 12

5s

20m/s

V0=0

J

42m/s

t2

42m/s

a=3m/s2

A

B 504m

Tramo AB: (M.R.U.V) Vf = Vo + a . t

→ 42 = 0 + 3.t1

t1 = 14s dAB =

(Vi+ Vf ). t 2

C

)

(

b) En el tramo PN el móvil desacelera: ⇒ Vf = Vo – at

Vf ) ( V+ i .t

c)

 V + Vf  d total =  o  t 2  

2

Reemplazando:

(

( 20 + 0 ) × 5 2

∴ d = 50m

Un móvil experimenta un M.R.U.V. con una 2 aceleración de 6m/s . Si se sabe que demoró en detenerse 8s: a) ¿Cuántos metros recorrió enel último segundo de su movimiento? b) ¿Con qué rapidez se encontraba inicialmente? c) ¿Cuántos metros recorrió en total?

Solución: Como el móvil demoró en detenerse t=8s, 2

entonces está desacelerando con a=6m/s .

)

d total = 48 + 0 8 2 d total = 192m.

PROBLEMA 14

PROBLEMA 13

J

a) La rapidez del automóvil es 72 km/h equivalente a 20 m/s. Si el policía alcanza al automóvil, entonces las distancias que recorren ambos son iguales: d(policía)      = d(auto) M.R.U.V.

Un automóvil, violando las reglas de tránsito se mueve a 72 km/h en una zona donde la máxima rapidez es 40 km/h. Un policía motociclista arranca en su persecución, del reposo con aceleración de módulo 0,5m/s2, justo cuando el auto pasa enfrente de él. Determinar: a) ¿Después de cuanto tiempo el policía alcanza al auto? b) ¿Qué distancia recorre el policía hasta alcanzar al auto? c) ¿Qué rapidez tiene el policía en el instante que alcanza al auto?

M.R.U.

1 Vo t + at 2 = V.t 2 Reemplazando los datos, tenemos: 1 0 + (0,5)t.t = 20t 2 Resolviendo: t = 80 segundos El policía alcanza al auto después de 80s.

e u q u L

b) Cálculo de la distancia que recorre el policía, con M.R.U.V. 1 d = Vo ⋅ t + at 2 2 Reemplazando los datos, tenemos: 1 d = 0 + (0,5)(80)2 2 d = 1600 m El policía recorre 1,6 km hasta alcanzar el automóvil.

in a c a u H e ia m

⇒ VN = Vp – at

Vo = 48m/s

Solución:

t1

N

⇒ d = 6 + 10 1 = 3m. 2

d

Sabemos que: d =

d=

M

O = Vo – 6 ( 8 )

∴ eAB = 576m

Si un auto partiendo del reposo acelera a razón de 3m/s2, si como máximo puede experimentar una rapidez de 42m/s. Calcula el mínimo tiempo que tardará en recorrer 504m.

1s.

Vf=0

a) Dado que la aceleración del móvil es 2 6m/s , esto indica que 1s. antes de detenerse tendría una rapidez de 6m/s, luego, la distancia que recorre en el último segundo será:  V + VN  d=  M  t MN 2  

Vf = 0

a

 Vf + Vi   3 v+ v  dAB =   t
dAB =  t  2   2 

PROBLEMA 11

P

∴ ttotal = t1 + t2 = 19s

B

V=6m/s

Vo=?

d = V.T → 210 = V.t2

LIC. JAIME A. HUACANI LUQUE

Solución:

t=8s

a=6m/s

Tramo BC: (M.R.U)

3V

a=4m/s2

90

FÍSICA

2

210 Luego : t2 = = 5s 42

Solución:

4=

LIC. JAIME A. HUACANI LUQUE

c) Cálculo de la rapidez del policía, con M.R.U.V: VF = Vo + a ⋅ t Reemplazando los datos, tenemos: VF = 0 + (0,5)(80)

VF = 40 m / s

En el instante que el policía alcanza al automóvil, el policía tiene una rapidez de 144 km/h.

91

FÍSICA

LIC. JAIME A. HUACANI LUQUE

PRÁCTICA CALIFICADA PROBLEMA 01

PROBLEMA 06

Un cuerpo se mueve rectilíneamente con MRUV con una aceleración constante de módulo 4m/s2. Si después de 3s de pasar por el punto A su velocidad es de módulo 14m/s, determinar su velocidad cuando pasa por el punto A.

Un móvil se mueve rectilíneamente con una desaceleración de 2m/s2. Si al pasar por un punto el valor de su velocidad es de 12m/s y después de un tiempo T éste se encuentra a 35m de dicho punto, determinar el valor de T.

Rpta.:…………………

Rpta.:…………………

PROBLEMA 02

PROBLEMA 07

e u q u L

Un cuerpo que se mueve rectilíneamente con MRUV pasa por un punto con una velocidad de 6m/s y 4s. después su velocidad es de 18m/s. Determinar el valor de su aceleración.

Un móvil que se mueve rectilíneamente con MRUV pasa por un punto con una velocidad de 5m/s y 44m más adelante su velocidad es de 17m/s. Determinar el valor de su aceleración.

Rpta.:…………………

Rpta.:…………………

PROBLEMA 03

in a c a u H e ia m

Un cuerpo se mueve con MRUV con una aceleración de –4m/s2. Si cuando pasa por un punto su velocidad tiene un valor de 5V y 2 segundos después su velocidad tiene un valor V, hallar V. Rpta.:…………………

Un móvil se mueve con MRUV con una aceleración constante de 4m/s2. Si cuando pasa por un punto el valor de su velocidad es de 5m/s, determinar a qué distancia de dicho punto se encontrará luego de 2s.

J

Rpta.:…………………

PROBLEMA 05 Un móvil que se mueve rectilíneamente con una aceleración a pasa por un punto con una velocidad de 3m/s y 4s después se encuentra a 28m de dicho punto. Determinar el valor de su aceleración a. Rpta.:…………………

PROBLEMA 11 Un móvil que se mueve con MRU pasa por un punto A con una velocidad 2V y 75m más adelante su velocidad es V. Si el tiempo que se tarda en recorrer dicho tramo es de 5s, determinar el valor de V. Rpta.:…………………

Un móvil que se encuentra desacelerando a razón de 2m/s2 pasa por un punto A con una velocidad de 20m/s y después de recorrer una distancia d su velocidad es de 12m/s. Hallar d. Rpta.:…………………

Un móvil que se mueve con MRUV con una aceleración constante de 3m/s2 pasa por un punto con una velocidad V y 36m. más adelante su velocidad es 5V. Determinar el valor de V. Rpta.:…………………

PROBLEMA 10 Un móvil que se mueve con MRUV pasa por un punto A con una velocidad de 10m/s y 3s después pasa por otro punto B con una velocidad de 16m/s. Determinar la distancia AB. Rpta.:…………………

LIC. JAIME A. HUACANI LUQUE

del valor de su velocidad cuando pasó por B, determinar su aceleración. t = 4s.

A

B

in a c a u H e ia m

Un móvil que se mueve rectilíneamente con una aceleración constante de 5m/s2 pasa por un cierto punto y 4s después el móvil se encuentra a una distancia d del punto anterior y posee una velocidad de 28m/s. Determinar d. Rpta.:…………………

Un móvil que se encuentra desacelerando a razón de 6m/s2 recorre el tramo AB mostrado en la figura en 2s. Determinar su velocidad cuando pasa por el punto B.

J

D 28m.

e u q u L

Si luego de 5s la paloma, que realiza un M.R.U., se encuentra a 25m del auto por primera vez, determine el módulo de la aceleración del auto que realiza un M.R.U.V.

10 m/s

Rpta.:…………………

PROBLEMA 14

C

16m.

PROBLEMA 16

Un móvil que se mueve con MRUV pasa consecutivamente por los puntos A, B y C. Si cuando pasa por los puntos A y C sus velocidades son de 2 y 14 m/s respectivamente y el tramo que el móvil tarda en recorrer el tramo AB es el doble del que tarda en recorrer el tramo BC, determinar el valor de su velocidad cuando pasó por el punto B.

PROBLEMA 13

t = 2s.

Rpta.:…………………

PROBLEMA 12

PROBLEMA 08

PROBLEMA 09

PROBLEMA 04

92

FÍSICA

20 m

190 m

Rpta.:…………………

PROBLEMA 17

La gráfica adjunta indica cómo se comporta la velocidad de dos partículas en el transcurso del tiempo. Si en t = 0 las partículas están juntas, determine la distancia que los separa en t = 10s V(m/s)

20

t = 2s.

A

28m.

B

Rpta.:…………………

PROBLEMA 15 Un móvil que se mueve con MRUV pasa consecutivamente por los puntos A, B, C y D. Si el valor de s velocidad cuando pasa por D es el doble

0

Rpta.:…………………

10

t(s)

93

FÍSICA

LIC. JAIME A. HUACANI LUQUE

PROBLEMAS PROPUESTOS PROBLEMA 01

PROBLEMA 06

Un movil parte del reposo y se mueve con MRUV de modo que recorre 200m en los primeros 10s. ¿Qué distancia recorrió en el tercer segundo de su movimiento? a) 6m b) 8m c) 10m d) 12m e) 14m

Un automóvil disminuye el valor de su velocidad a razón de 4m/s2. Determinar el recorrido realizado en los 2 últimos segundos de su movimiento. a) 3m b) 6m c) 2m d) 8m e) 4m

PROBLEMA 07 PROBLEMA 02 Un movil que se mueve con MRUV recorre en cada segundo 5m más que en el segundo anterior. Determinar el módulo de su aceleración. a) 1m/s2 b) 2m/s2 c) 3m/s2 d) 4m/s2 e) 5m/s2

PROBLEMA 03

in a c a u H e ia m PROBLEMA 08

¿Durante qué segundo un móvil que partió del reposo y se mueve con MRUV recorrió el triple de lo que recorrió en el tercer segundo de su movimiento? a) Cuarto b) Sexto c) Octavo d) Décimo e) Duodécimo

PROBLEMA 04

Un auto que viaja con una velocidad de 36km/h aplica los frenos y se detiene después de recorrer 50m. ¿Qué tiempo demoró en detenerse? a) 2s b) 10s c) 15s d) 20s e) 25s

J

PROBLEMA 05

Un cuerpo que tiene MRUV sale del reposo desde el punto A. ¿Qué distancia recorre en el tramo CD? 1m A t=0

a) 5m d) 12m

3m B t=1s

x C t=2s

b) 8m e) 15m

D t=4s

c) 10m

e u q u L

Un automóvil que se mueve con MRUV parte con una velocidad de 6m/s y acelera uniformemente a razón de 4m/s2. ¿Qué distancia recorre en el tercer segundo de su movimiento? a) 10m b) 12m c) 16m d) 8m e) 36m

Un móvil que se mueve con MRUV recorre “d” metros partiendo del reposo durante cierto tiempo “t” para luego recorrer 600m más durante los 10 segundos siguientes logrando triplicar su velocidad. Hallar “d”. a) 55m b) 65m c) 75m d) 85m e) 89m

PROBLEMA 09

Dos autos se encuentran separados 500m y en reposo cuando de pronto comienza a moverse simultáneamente, uno al encuentro del otro, a razón de 0,3 y 0,5m/s2. Determinar después de qué tiempo se encontrarán separados 3 500m. a) 60s b) 100s c) 80s d) 50s e) 40s

PROBLEMA 10

Tres móviles parten de un mismo punto y se mueven en la misma dirección. Los dos primeros con velocidades constantes de 50 y 80m/s y el tercero parte del reposo y se mueve con una aceleración de 13m/s2. Después de qué tiempo los dos primeros móviles equidistarán del tercero. a) 8s b) 10s c) 15s d) 18s e) 25s

94

FÍSICA

PROBLEMA 11 Un tren parte del reposo de una estación y acelera 2 a razón de 4m/s durante 10 s. A continuación viaja con velocidad constante durante 30s y finalmente desacelera a 8 m/s2 hasta que se detiene en la siguiente estación. Determine la distancia que separa las estaciones. a) 1,4 km b) 1,8 km c) 1,3 km d) 1,2 km e) 1,5 km

PROBLEMA 12 El bloque mantiene un M.R.U.V. sólo en el tramo “AB”. Si de A a C tardó 8s, determine V. V 2

/s 1m a=

/s 8m

C

m 24

b) 2 m/s e) 7 m/s

PROBLEMA 13

c) 3 m/s

Cerca de un poste pasa un tren observándose que junto al poste la velocidad de la trompa es 16 m/s y luego de 7s pasa la cola del tren con una velocidad de 22m/s halle la longitud del tren. a) 123 m b) 133 m c) 143 m d) 153 m e) 163 m

J

PROBLEMA 14

constante, halle esta aceleración si se sabe que a 25m del punto de partida la velocidad de la partícula es 5m/s menos que cuando está a 100 m. a) 0,5 m/s2 b) 1,0 m/s2 c) 1,5 m/s2 2 2 d) 2,0 m/s e) 2,5 m/s

PROBLEMA 16 La velocidad de un bus es de 24 m/s, al fallar el motor va deteníendose uniformemente hasta parar al cabo de 4s, ¿a qué velocidad iba el bus cuando faltaba 3m para detenerse en m/s? a) 1 b) 2 c) 4 d)5 e) 6

PROBLEMA 17

Un tren de 50 m comienza a ingresar a un túnel de 75m con una rapidez de 20 m/s y justo cuando sale completamente tiene una rapidez de 30 m/s, determinar la rapidez que tenía 2s antes de iniciar su ingreso al túnel. (Considerar que los cambios de la velocidad es uniforme) a) 12 m/s b) 14 m/s c) 16 m/s d) 18 m/s e) cero

PROBLEMA 15 Una partícula parte desde el reposo con aceleración constante, halle esta aceleración

e u q u L

Unos caballos tiran una carreta con una velocidad constante de 10 m/s, al romperse las riendas por la aspereza del camino desacelera la carreta con 2m/s2 mientras que los caballos siguen corriendo con la misma velocidad. Cuando la carreta llegue a detenerse, ¿a qué distancia de ésta se hallarán los caballos?, en metros. a) 11 b) 12 c) 13 d) 14 e) 15

in a c a u H e ia m A

B

a) 1 m/s d) 4 m/s

LIC. JAIME A. HUACANI LUQUE

PROBLEMA 18

Un atleta corre con una velocidad constante de 7 m/s y puede percatarse que a 18m detrás de él viene un coche con una velocidad de 4 m/s y 2m/s2 de aceleración, ¿en cuánto tiempo más el coche estará pasando al atleta? a) 3s b) 4 s c) 5 s d) 6 s e) 7 s

PROBLEMA 19

Desde el mismo lugar parten simultáneamente; un coche y un corredor de fondo, el corredor mantiene una velocidad constante de 6 m/s y el coche parte desde el reposo y acelera en la misma dirección con 4 m/s2, ¿qué distancia separa a los móviles a los 8s de la partida? a) 80 m d) 176 m

b) 90 m e) 196 m

c) 128 m

95

FÍSICA

LIC. JAIME A. HUACANI LUQUE

Muro

PROBLEMA 20 Para que una flecha salga de una arco con una velocidad de 14 m/s, recorre 0,7m. Halle la aceleración media que el arco produce sobre la 2 flecha, en m/s . a) 110 b) 120 c) 130 d) 140 e) 150

PROBLEMA 21 Un cuerpo realiza un M.R.U.V. y su velocidad varía según la gráfica. Determine el módulo de la aceleración del cuerpo. V0 m/s

(V0 +10) m/s

2s

a) 2m/s2 d) 5 m/s2

c) 4 m/s2

a) b) c) d) e)

24

16°

J

V0

L

PROBLEMA 24

D

b) 305m e) 600,5m

c) 477,5m

e u q u L

Un auto parte del reposo y acelera a 2m/s2 durante 2s luego se apaga el motor y el auto desacelera debido a la fricción, a razón de 4cm/s2 durante 10s. Entonces se aplican los frenos y el auto se detiene en 4s más. Calcula la distancia total recorrida del automóvil. a) 39,2m b) 49,2m c) 19,2m d) 39,2m e) 49,3m

PROBLEMA 25

Si la partícula realiza un M.R.U.V. y cruza los ejes x – y con un intervalo de 2,5s, determine el módulo de la aceleración de la partícula. (Vo = 7,5m/s)

y(m)

a) 255m d) 525,5m

in a c a u H e ia m b) 3 m/s2 e) 10 m/s2

PROBLEMA 22

10 m/s

2

0,5m/s 1m/s2 2 1,5m/s 2 2m/s 2 2,5m/s

x(m)

PROBLEMA 23 En el instante en que el auto empieza a acercarse al muro desde el reposo y con una aceleración constante de 10m/s2 toca el claxon. Determine “D” si el conductor escucha el eco luego de 3s de haber emitido el sonido. (Vsonido = 300m/s)

Un móvil se mueve sobre una recta con movimiento rectilíneo uniformemente variado, en el primer segundo recorrió 70m y en le tercero 100m. ¿Cuánto recorrió en los dos primeros segundos de su movimiento? a) 155m b) 255m c) 125m d) 115m e) 135m

PROBLEMA 26

Una motociclista se encuentra a 36m de un auto. Si ambos parten simultáneamente en igual sentido, donde la motociclista lo hace con una rapidez constante de 16m/s y el auto con una aceleración constante de 8m/s2. Halla la mínima distancia que pudo acercarse la moto al auto. a) 16m b) 17m c) 18m d) 19m e) 20m

PROBLEMA 27 Un móvil inicia su movimiento retardado con una rapidez inicial de 60m/s. Si la diferencia de distancias que recorrió en el primer segundo y el último segundo de su movimiento es de 48m. ¿Qué tiempo se tardó en detenerse? a) 1s b) 5s c) 3s d) 2s e) 4s

96

FÍSICA

PROBLEMA 28

PROBLEMA 33

Un móvil recorre la distancia AB a una rapidez constante de 20m/s en 10 s. Si inicia el retorno con la misma rapidez desacelerando uniformemente y llegando con rapidez nula al punto “A”. Calcula su rapidez promedio para todo el recorrido. a) 28km/h b) 38 km/h c) 48 km/h d) 58 km/h e) 68 km/h

PROBLEMA 29

J

PROBLEMA 32

b) 30m/s e) 50m/s

c) 20m/s

Dos móviles que están detenidos y separados por una distancia de 500m parten al mismo tiempo con aceleración constante de 2m/s2 y 3m/s2 desplazándose en el mismo sentido. ¿Qué tiempo emplea el segundo en adelantar 300m al primero? a) 10s b) 20s c) 30s d) 40s e) 50s

De un mismo punto parten del reposo dos autos A y B, siguiendo trayectorias rectilíneas que forman entre sí un ángulo de 90°. Si sus aceleraciones son de 2m/s2 y 2,8m/s2 respectivamente, halla la distancia que los separa al cabo de 15s. a) 287m d) 377m

b) 387m e) 487m

c) 277m

PROBLEMA 37

Dos motociclistas van al encuentro uno del otro, partiendo simultáneamente del reposo de dos ciudades “A” y “B” con las aceleraciones constantes de 3m/s2 y 7m/s2. Si la distancia AB es de 80m. ¿En que tiempo se encontrará? a) 1s d) 4s

PROBLEMA 35

PROBLEMA 36

Un móvil parte del reposo, acelerando a razón de 5m/s2 y luego frena con una desaceleración constante de 2m/s2, si el móvil estuvo en movimiento durante 28 segundos. ¿Cuál es la rapidez máxima que alcanza? a) 40m/s d) 10m/s

e u q u L

Un móvil entre el 4° y 6º segundo de su movimiento uniformemente acelerado recorre 20m más que entre el 2° y 4° segundo. Determina su aceleración. a) 1m/s2 b) 2 m/s2 c) 33m/s2 d) 4m/s2 e) 5 m/s2

in a c a u H e ia m

Un móvil que parte del reposo recorre 30m durante los dos primeros segundos. ¿Cuánto recorrerá en los dos segundos siguientes? a) 70m b) 80m c) 90m d) 60m e) 50m

PROBLEMA 31

Un auto parte del reposo con una aceleración de 760m/s2. En el instante de la partida, se suelta un globo del coche que asciende verticalmente a razón de 5m/s. ¿Qué distancia separa el globo del auto cuando éste alcanzó una rapidez de 24m/s? a) 50 b) 51 c) 52 d) 53 e) 54

PROBLEMA 34

Un auto se pone en marcha con una aceleración constante de 3m/s2 hasta alcanzar la rapidez de 8m/s, corre a esta rapidez durante cierto tiempo y luego empieza a detenerse con una aceleración negativa constante de 6m/s2, hasta que se detiene. Halla su rapidez promedio si recorrió en total 40m. a) 5,6m/s b) 5,7 m/s c) 5,8 m/s d) 5,9 m/s e) 5,5 m/s

PROBLEMA 30

LIC. JAIME A. HUACANI LUQUE

b) 2s e) 5s

c) 3s

Un automóvil viaja tras un ciclista, a la rapidez de 36km/h. Cuando el ciclista se encuentra a 300m por delante, el automóvil acelera a razón de 1,2 m/s2. Determina en cuanto tiempo lo alcanzará si el ciclista viaja a rapidez constante de 7m/s. a) 20s d) 40s

b) 30s e) 50s

c) 10s

97

FÍSICA

LIC. JAIME A. HUACANI LUQUE

98

FÍSICA

LIC. JAIME A. HUACANI LUQUE

PROBLEMA 38 Un automóvil parte del reposo y acelera uniformemente a razón de 0,5m/s2 durante un minuto, al término del cual deja de acelerar por espacio de un minuto más. Finalmente frena deteniéndose en 10 segundos. Determina la distancia total recorrida. a) 1850m b) 1950m c) 2950m d) 2750m e) 2850m

PROBLEMA 39 Un automóvil parte del reposo y con aceleración constante de 0,3m/s2, conserva este movimiento acelerado durante 2 minutos, al término de los cuales deja de acelerar, manteniendo constante su rapidez alcanzada. ¿Qué distancia recorrerá en los 5 primeros minutos del movimiento? a) 8240m b) 8640m c) 8540m d) 8440m e) 8340m

PROBLEMA 40

PROBLEMA 41

Un cohete que inicia su movimiento asciende verticalmente con una aceleración constante de 5m/s2 mientras que el combustible se quema, si el combustible se acaba luego de 200s, determina la altura máxima que alcanza el cohete (g=10m/s2) a) 50km b) 75km c) 100km d) 150km e) 175km

J

20cm

a) 4s d) 10s

b) 6s e) 12s

PROBLEMA 43

PROBLEMA 44

MOVIMIENTO VERTICAL DE CAIDA LIBRE

e u q u L

Dos autos, “A” y “B”, que se mueven con M.R.U.V. en la misma dirección, pasan simultáneamente por un punto “P” con 10m/s y 20m/s y aceleraciones de 4 ɵi (m/s 2 ) y –2 ɵi (m/s 2 )

respectivamente. ¿A qué distancia del punto “P” estará el auto “B” si “A” se encuentra 25m delante de “B”? a) 30m b) 40m c) 45m d) 60m e) 75m

PROBLEMA 45

Dos autos realizan M.R.U.V. con a1 = 4m/s2 y a2 = 3m/s2. A partir del instante mostrado, determine el tiempo que transcurre hasta que estén separados 100m.

10 m/s

PROBLEMA 42 Un vehículo inicia su movimiento con una aceleración constante de módulo 1m/s2 en el instante que la luz del semáforo cambia a verde, en ese instante un ciclista se mueve a rapidez constante de 7m/s pero está a 20m detrás del vehículo, determina el menor tiempo que debe transcurrir para que dichos móviles estén juntos.

c) 8s

Un móvil pasa por un punto con una rapidez constante de 20m/s, luego de 3s empieza a desacelerar a razón constante de 4m/s2 ¿qué recorrido realizó el móvil desde que pasa por el punto mencionado hasta detenerse?. Considera pista rectilínea. a) 50m b) 60m c) 80m d) 110m e) 100m

in a c a u H e ia m

Un auto inicia su movimiento en “A” acelerando a razón constante de 4m/s2 hasta llegar a “B” en 3s cuando pasa por B se accionan los frenos y el auto se detiene 2s después, determina la aceleración constante durante el frenado. a) 3m/s2 b) 4m/s2 c) 5m/s2 d) 6m/s2 e) 7m/s2

7m/s

V0=0

a1

a2

20 m/s

b) 3s e) 6s

e u q u L

g = 9, 8 m / s 2

Este movimiento se puede considerar un caso particular del MRUV donde la aceleración constante (la aceleración de la gravedad) es conocida de antemano. Frecuentemente, el valor de la aceleración de la gravedad g se aproxima a:

in a c a u H e ia m

Al dejar caer la esfera se inicia un movimiento de caída libre.

J

N°

Fórmula

Observ.

1°

Vf = V0 ± g ⋅ t 1 h = V0 ⋅ t ± g ⋅ t 2 2 1 h = Vf ⋅ t ± g ⋅ t 2 2

No hay h

2°

Se comprueba experimentalmente que en el vacío todos los cuerpos, sin importar su inercia, tamaño o forma, se mueven con una aceleración constante denominada aceleración de la gravedad (g). Si en un recipiente donde se ha extraído el aire se sueltan simultáneamente una esfera pesada y una pluma, éstos se moverán de una manera idéntica llegando a la base simultáneamente.

3°

pluma

No hay Vf No hay V0

4°

V 2f = V02 ± 2g ⋅ h

No hay t

5°

 V + Vf h= 0  2

No hay g

 ⋅t 

Observación: V

esfera

g ≈ 10 m / s 2

ECUACIONES DEL MVCL

Se denomina Movimiento Vertical de Caída Libre al movimiento vertical que describen los cuerpos al ser dejados caer o al ser lanzados verticalmente cerca de la superficie terrestre y sin considerar los efectos del rozamiento del aire.

76 m a) 2s d) 5s

Se verifica experimentalmente que si el cuerpo se encuentra cerca a la superficie de la tierra (alturas pequeñas comparadas con el radio de la tierra: Rt=6 400 km) la aceleración de la gravedad se puede considerar constante y su valor aproximado es:

g

Mov. desacelerado signo (-)

i)

c) 4s g

ii)

Vacío

V

Mov. acelerado signo (+)

99

FÍSICA

LIC. JAIME A. HUACANI LUQUE

100

FÍSICA

PROBLEMAS RESUELTOS

Hallando el tAB:

Solución:

Vf = V0 – gt

V=0

H = VoB x t + ½ gt

PROBLEMA 01 Se lanza un objeto, hacia abajo desde una altura de 550m, demorando 10s en llegar al piso. Calcula la rapidez de lanzamiento. (g=10m/s2)

Solución:

2

gt = V0

e u q u L

Una pelota es lanzada verticalmente hacia arriba con una rapidez de 20m/s. Calcula después de que tiempo estará bajando con una rapidez de 6m/s. (g=10m/s2)

in a c a u H e ia m

Solución: B

V=0

H = Vot + ½ gt2

C

550 = Vo × 10 + ½ (10) (10)2

J

Solución: B

i)

g

Tramo AB:

VfB = VoA – gtAB

VfC = VoB +g tBC 6= 10 x tBC → tBC = 0,6s

∴ Me piden tAB + tBC = 2,6s

PROBLEMA 04

A

tvuelo = 2tAB .....(1) Analizando el tramo BA en la caída

Un cuerpo es dejado caer en el vacío sin rapidez

h = Vot + ½ gt2 …………... (2)

altura igual a:

gt 2 2

H = 20 x 5 +

10 . (5)2 2

Luego: Restando (1) – (2)

in a c a u H e ia m

H = 100 +125

H - h = Vo t + ½ g (2t+1)

∴ H = 225m

25 = ½ (10) (2t+1) t = 2s

PROBLEMA 06

Reemplazando en (1)

H = ½(10) (2+1)2

Si una piedra es lanzada hacia arriba desde cierta altura con rapidez igual a 20m/s y el tiempo de vuelo es 9s. Calcula la altura de lanzamiento.

J

Solución: B

VB=0

Una persona que se encuentra en un globo aerostático, que se encuentra elevándose verticalmente con una rapidez de 30m/s, suelta una piedra. Si en el instante que suelta la piedra el globo se encuentra a 35m. de la tierra, determinar a qué altura se encontrará en el instante que la piedra llega a la tierra. (g=10 m/s2) V

Globo

35 m

20m/s C

A

20 m/s

inicial. Si en el último segundo recorre 25 m, se puede concluir que fue abandonado desde una

H = V0 x t +

H = Vo(t+1) + ½ g(t+1)2 .... (1)

0 = 20 – 10tAB → tAB = 2s ....(1)

45m V

De la figura:

PROBLEMA 05

A

e u q u L

Tramo CD:

∴ H = 45m

ii) Tramo BC :

Vf=0

tAB = tBC = 4s Luego: tCD = 5s

1s

25m

20m/s

∴ Vo = V = 5m/s

Un cuerpo es lanzado verticalmente hacia arriba, alcanzando una altura máxima de 45m. Calcula el tiempo de vuelo. g=10m/s2.

g

6m/s

50 = Vo × 10 → Vo = 50/10

PROBLEMA 02

Por teoría H

En (1) tvuelo = 2 x 3

PROBLEMA 03

t=10s

t

h

∴ tvuelo = 6s

V

10 . t = 20 → tAB = 2

2

→ tbajada =3s

g

550m

2

45 = ½ (10) t → t = 9s 2

LIC. JAIME A. HUACANI LUQUE

H D

Solución: En el instante que la persona del globo suelta la piedra, esta posee, respecto de la tierra, exactamente la misma velocidad del globo en módulo y dirección.

101

FÍSICA

LIC. JAIME A. HUACANI LUQUE

Debido a esto, un observador situado sobre la tierra verá que la piedra sube un poco, alcanza su altura máxima y luego desciende describiendo un MVCL.

V=0

C 2s

PROBLEMA 01

2s

B Nivel de Lanzamiento

ts

h

in a c a u H e ia m (t–7) (t+1)=0

dBC

b)

De donde se deduce que el globo se encuentra en ese instante a una altura de 245 m de la tierra.

Una piedra se lanza verticalmente con una rapidez 2 de 40m/s. (Considerando g = 10m/s ).

a) ¿Cuántos metros recorre 2s. antes de alcanzar su altura máxima? b) ¿Después de qué tiempo la piedra retorna al punto de lanzamiento? c) ¿Cuánto es su desplazamiento hasta el instante 6s. de su lanzamiento?

A

Rpta.:…………………

j

x

Dos segundos antes de alcanzar su altura máxima, la piedra está en “B”. Piden: dBC=? VC = VB – g t BC

dBC

d=30(7)

d = 210 m

Un proyectil se dispara con una velocidad de 60m/s hacia arriba. ¿Cuál es la velocidad después de 2s? (g = 10m/s2)

O = VB – 10 (2) ⇒ VB = 20m/s

De donde deducimos que después de un tiempo t=7s la piedra llega a la tierra. En este tiempo el globo se habrá elevado una distancia. d = Vglobo ⋅ t

J

e u q u L )

Piden el tiempo de retorno al punto de lanzamiento, es decir, el tiempo de vuelo (tv). tv = 2 ts .......... (1) En el tramo AC la piedra desacelera: VC = VA – gts O = 40 – 10t s ⇒ t s = 4s En (1):

c)

 V + VC  =  B  t BC 2   = 20 + 0 2 ⇒ dBC = 20m. 2

(

tv = 8s.

A los 6s. la esfera pasa por “B”, pero de retorno. Luego, el desplazamiento hasta dicho instante será:   d = d AB J .......... (2)

(

e u q u L

Rpta.:…………………

PROBLEMA 02

y

a)

Un cuerpo parte del reposo y desarrolla un movimiento vertical de caída libre. ¿En cuánto tiempo recorre los primeros 45m y cuál es su velocidad final? (g = 10m/s2)

Rpta.:…………………

Vo=40m/s

t2 – 6t–7=0

PROBLEMA 07

tb=ts

g=10m/s2

A

PROBLEMA 07

Un objeto se lanza hacia arriba con una velocidad de 40m/s. Calcular la altura máxima alcanzada por el objeto. (g = 10m/s2)

VB

d

Sea t el tiempo que tarda la piedra en llegar al suelo. Utilizamos la fórmula en donde no interviene la velocidad final (2da fórmula): 1 h = V0 t − gt 2 2

LIC. JAIME A. HUACANI LUQUE

PRÁCTICA CALIFICADA

Solución:

VB

– 35=30t–5t 2

102

FÍSICA

)

 V + VA  20 + 40 4 d AB =  B  t AB ⇒ d AB = 2 2     En (2): d = 120 J m

PROBLEMA 03

Rpta.:…………………

Se lanza un cuerpo verticalmente hacia arriba con una rapidez de 50m/s. ¿Al cabo de cuánto tiempo el cuerpo tendrá una velocidad de 40m/s hacia abajo? (g = 10m/s2) Rpta.:…………………

PROBLEMA 05

J

Un cuerpo parte del reposo y desarrolla un movimiento vertical de caída libre. ¿En cuánto tiempo recorre los primeros 45m y cuál es su velocidad final? (g = 10m/s2)

in a c a u H e ia m

Un objeto es lanzado hacia arriba con una velocidad de 30m/s. ¿Cuál es su velocidad luego de 2s? (g = 10m/s2)

PROBLEMA 04

PROBLEMA 08

Una pelota se lanza hacia arriba con una velocidad inicial de 20m/s. ¿Qué recorrido realiza la pelota hasta volver al punto inicial). (g = 10m/s2) Rpta.:…………………

PROBLEMA 06 Un cuerpo se suelta desde una altura de 80m. ¿Después de qué tiempo llega al piso? (g = 10m/s2) Rpta.:…………………

Rpta.:…………………

PROBLEMA 09

Un cuerpo es dejado caer en el vacío. Si en el último segundo de su caída recorre 35m se puede concluir que fue abandonado desde una altura igual a... Rpta.:…………………

PROBLEMA 10

Un cuerpo es lanzado verticalmente hacia arriba con una velocidad V y emplea un tiempo de vuelo de 4s. ¿Qué altura como máximo logró ascender? Rpta.:…………………

PROBLEMA 11

Desde la parte alta de un edificio se lanza una moneda verticalmente hacia arriba con una velocidad inicial de 20m/s. Si llega a la base del edificio en 5s, ¿cuál es la altura del adificio y con qué velocidad impacta? Rpta.:…………………

103

FÍSICA

PROBLEMA 12

LIC. JAIME A. HUACANI LUQUE

Desde un globo aerostático que sube con velocidad constante de 20m/s se suelta una esfera. Determine la separación entre estos hasta que la esfera se detenga. (g = 10m/s2)

Rpta.:…………………

Rpta.:…………………

PROBLEMA 13

PROBLEMA 18

Un cuerpo parte del reposo y desarrolla un movimiento vertical de caída libre. Se sabe que recorre 45m durante el último segundo de su caída. ¿Cuánto tiempo dura dicho movimiento y cuál es la velocidad final? Rpta.:…………………

Rpta.:…………………

PROBLEMA 15

Un tomate es lanzado verticalmente hacia arriba con V0=30m/s desde la parte superior de un edificio de 80m. de altura. Calcular el tiempo que emplea el tomate en llegar a la base del edificio y con qué velocidad impacta.

J

Rpta.:…………………

PROBLEMA 16

Desde una altura de 9m se lanza una piedra verticalmente hacia arriba con una rapidez V. Determine V si la esfera llega a piso luego de 3s de haber sido lanzada. (g = 10m/s2) Rpta.:…………………

e u q u L

Desde un helicóptero suspendido se suelta una granada que explosiona al impactar con el suelo. Determine qué tiempo transcurre desde que se suelta la granada hasta que el piloto escucha la explosión. (Considere: Vsonido = 360m/s; (g = 10m/s2)

in a c a u H e ia m

Una esferita se deja caer desde 45m respecto del nivel del agua y al llegar al agua su aceleración de caída se reduce a la mitad y es codirigida. ¿Qué velocidad tiene la esferita cuando llega al fondo del lago de 160m. de profundidad?

LIC. JAIME A. HUACANI LUQUE

PROBLEMAS PROPUESTOS

PROBLEMA 17

Un cuerpo cae libremente desde el reposo. Si en el último segundo de su caída libre recorre 25m, ¿desde qué altura se dejó caer y con qué velocidad impacta a la superficie?

PROBLEMA 14

104

FÍSICA

V=0

720 m

Rpta.:…………………

PROBLEMA 19

Desde cierta altura una barra de 5m. se deja caer y simultáneamente desde el piso se lanza una canica con una rapidez de 50m/s verticalmente hacia arriba. ¿Qué tiempo demora la canica en pasar completamente a la barra? Rpta.:…………………

PROBLEMA 20

Se lanza un cuerpo verticalmente hacia arriba con una rapidez de 40m/s. ¿Después de qué tiempo retorna al punto de lanzamiento? (g = 10m/s2)

Rpta.:…………………

PROBLEMA 01 Desde la base de un edificio se lanza un objeto verticalmente hacia arriba a 60 m/s, si luego de 2s se encuentra en la mitad del edificio (por primera vez). ¿Cuál es la altura del edificio? (g = 10m/s2) a) 100 m b) 200 m c) 300 m d) 400 m e) 500 m

PROBLEMA 02 Un observador situado a 35 m de altura ve pasar un objeto hacia arriba y 6s después lo ve regresar. Con que rapidez fue lanzado el objeto desde el piso. (g = 10 m/s2) a) 10 m/s b) 20 m/s c) 30 m/s d) 40 m/s e) 50 m/s

PROBLEMA 03

Desde lo alto de una torre de 180m de altura, se lanza un objeto hacia arriba con rapidez de 45 m/s. ¿Después de cuanto tiempo dicho objeto llega al piso? a) 3 s b) 4, 5s c) 7 s d) 12 s e) 15 s

J

PROBLEMA 05

PROBLEMA 07

Un cuerpo se deja en libertad desde cierta altura y se observa que en el último segundo de su caída recorre 20 m. ¿Qué rapidez tiene al impactar en el piso? a) 15 m/s b) 20 m/s c) 25 m/s d) 30 m/s e) 35 m/s

PROBLEMA 06 Desde una misma altura se deja caer un cuerpo y simultáneamente otro se lanza hacia abajo con

e u q u L

Un globo aerostático se eleva con una velocidad constante de módulo 5 m/s. Cuando se encuentra a una altura de 360 m se deja caer una piedra en llegar el tiempo que tarda la piedra en llegar a la tierra. (g = 10 m/s2) a) 6 s b) 9 s c) 12 s d) 15 s e) 18 s

in a c a u H e ia m

Se lanza un objeto hacia arriba con una rapidez de 10m/s. Después de qué tiempo la velocidad será 30 m/s. (g = 10 m/s2) a) 2 s b) 3 s c) 4 s d) 6 s e) 8 s

PROBLEMA 04

una rapidez de 2 m/s. Después de cuánto segundo estarán separados 12 m? a) 2 s b) 4 s c) 6 s d) 8 s e) 10 s

PROBLEMA 08

Desde la parte superior de una torre se lanza una piedra verticalmente hacia arriba con una rapidez de 20 m/s. A qué distancia del punto de lanzamiento se encontrará luego de segundos? (g = 10 m/s2) a) 85 m b) 95 m c) 105 m d) 115 m e) 125 m

PROBLEMA 09

Un paracaidista después de soltarse de un helicóptero, cae en forma libre 80 m, abre en ese instante el paracaídas lo cual le produce un movimiento desacelerado con a = 2m/s2; llegando al suelo con una velocidad de 2m/s. ¿Cuánto tiempo estuvo en el aire? (g = 10 m/s2) a) 20 s b) 21 s c) 22 s d) 23 s e) 24 s

PROBLEMA 10

Dos cuerpos se encuentran en una misma vertical en la Luna. En un determinado instante están separados por una distancia de 100 m y tienen velocidades iniciales opuestas de 10 m/s. Al cabo de cuánto tiempo se encontrarán? a) 1 s b) 2 s c) 3 s d) 4 s e) 5 s

105

FÍSICA

PROBLEMA 11 Determine la velocidad de la canica cuando pase por el punto medio del edificio si es lanzada verticalmente hacia abajo con 10m/s. (g = 10m/s2)

LIC. JAIME A. HUACANI LUQUE

una aceleración de 6m/s2 por efecto del agua. ¿Hasta qué altura de la superficie libre del agua ascenderá? a) 28,8m b) 26,2m c) 25,5m d) 22,5m e) 21,5m

106

FÍSICA

la primera. ¿Qué tiempo se moverá la segunda piedra hasta que la primera logra pasarla? a) 1s b) 2s c) 3s d) 4s e) 5s

PROBLEMA 21 PROBLEMA 16 80 m

a) 20m/s d) 50m/s

b) 30m/s e) 60m/s

c) 40m/s

PROBLEMA 12 Un globo aerostático sube verticalmente con rapidez de 20m/s. Cuando el globo se encuentra a una altura de 105m se suelta un tomate. Calcular el tiempo que emplea el tomate en impactar en el suelo y la velocidad de impacto. a) 2s. b) 3s. c) 5s. d) 7s. e) 9s.

PROBLEMA 13

in a c a u H e ia m

Un proyectil es lanzado verticalmente y hacia arriba desde la parte superior de una torre con V0=30m/s. Si emplea en llegar a la base de la torre 9s, calcular la altura de la torre si en el penúltimo segundo de su movimiento recorre 45m. a) 100m b) 125m c) 135m d) 150m e) 180m

J

PROBLEMA 14

Un globo aerotástico se mueve verticalmente hacia abajo con una rapidez de 20m/s. En un instante dado el piloto del globo lanza un objeto verticalmente hacia arriba con una rapidez de 35m/s respecto al globo. Simultáneamente el globo desacelera hasta detenerse en el suelo. ¿Cuál debe ser la desaceleración del globo si el objeto llega junto con el globo al suelo? b) 1m/s2 c) 1,5m/s2 a) 0.5m/s2 2 2 d) 4m/s e) 3m/s

Se deja caer una moneda desde la azotea de un edificio. Cuando pasa junto a una ventana de 2,2m de altura se observa que la moneda emplea 0,2s en recorrer la altura de la ventana. ¿Qué distancia existe entre la cima del edificio y la parte superior de la ventana? a) 5m b) 6m c) 7m d) 8m e) 9m

PROBLEMA 17

e u q u L

Un objeto cae desde un globo aéreo que baja verticalmente con una rapidez de 15m/s. Determina la altura recorrida por el objeto luego de 10 segundos. a) 650m b) 640m c) 630m d) 620m e) 610m

PROBLEMA 18

Se lanza una piedra verticalmente hacia arriba desde el fondo de un pozo de 40m de profundidad con una rapidez inicial de 30m/s. ¿Qué tiempo debe transcurrir para que la piedra pase por el borde del pozo? (g=10m/s2) a) 1s b) 2s c) 3s d) 4s e) 5s

PROBLEMA 19

Determina la altura de un edificio, sabiendo que un hombre, desde el borde de la azotea lanza una piedra verticalmente hacia arriba a 10m/s, esta llega a tierra luego de 8s. a) 220m b) 230m c) 240m d) 250m e) 260m

PROBLEMA 20 PROBLEMA 15 Una esferita de tecnopor es soltada en el fondo de un lago de 48m de profundidad y asciende con

Una piedra es lanzada verticalmente hacia arriba desde la azotea de un edificio con una rapidez de 30m/s. Otra piedra se suelta 4s después de lanzar

Hallar la altura que alcanza un cuerpo que es lanzado hacia arriba si un segundo después del lanzamiento tiene una rapidez de 40m/s. (g=10m/s2) a) 123m b) 124m c) 126m d) 125m e) 127m

PROBLEMA 22 Un cuerpo cae libremente y se conoce que recorre entre el momento que toca el piso y el antepenúltimo segundo de caída libre 300m. Halla el tiempo total de caída libre del cuerpo.(g=m/s2) a) 12s b) 13s c) 14s d) 15s e) 16s

PROBLEMA 23

Determina la altura máxima de un objeto que al alcanzar la quinta parte de dicha altura posee una rapidez de 20m/s. (g=10m/s2) a) 23m b) 24m c) 25m d) 26m e) 22m

J

PROBLEMA 25

simultáneamente el cuerpo B (esta abajo) se lanza hacia arriba con una rapidez inicial de 50m/h. ¿En que tiempo se encontrarán dichos cuerpos? (g=10m/s2) a) 2s b) 3s c) 4s d) 5s e) N.A.

PROBLEMA 27 Desde el penúltimo piso de un edificio se deja caer una piedra al mismo tiempo que del último piso se lanza hacia abajo otra piedra con una rapidez inicial de 4m/s, la distancia entre cada piso es de 7m. Calcula al cabo de qué tiempo estarán separados las piedras 3m. Dar el tiempo mínimo (g=10m/s2) a) 4s b) 3s c) 2s d) 1s e) N.A.

in a c a u H e ia m

Desde qué altura “H” se debe dejar caer un cuerpo, para que tarde 10s en recorrer los 13/49H que le falta para llegar al piso. (en metros) a) 24600m b) 24500m c) 24700m d) 24800m e) 26800m

PROBLEMA 24

LIC. JAIME A. HUACANI LUQUE

¿Qué altura máxima alcanza un cuerpo lanzado desde tierra, si en el último segundo de ascenso recorre la mitad de la altura máxima? (en pies). a) 32 b) 42 c) 34 d) 31 e) 41

PROBLEMA 28

e u q u L

Del problema anterior Calcula en que tiempo estarán separados por segunda vez la distancia de 3m las 2 últimas piedras (t máximo) a) 1,5s b) 2,5s c) 3,5s d) 4,5s e) N.A

PROBLEMA 29

Una piedra se lanza verticalmente hacia arriba desde el techo de un edifico con una rapidez inicial de 30m/s, otra piedra se deja caer 4s después que se ha lanzado la primera. Halla el tiempo en que después de soltar la segunda se encuentran ambas a la misma altura. g=10m/s2 a) 2s b) 4s c) 6s d) 8s e) N.A.

PROBLEMA 30

Se lanzan verticalmente hacia arriba 2 cuerpos con la misma rapidez inicial de 100m/s. Después de cuanto tiempo se encontrarán a la misma altura si una se lanza 4s después de haber lanzado la primera. g=m/s2. a) 15s b) 14s c) 13s d) 12s e) N.A.

PROBLEMA 26 2 cuerpos A y B se encuentran en una línea vertical separados por una distancia de 100 metros, el cuerpo A (esta arriba) se deja caer y

PROBLEMA 31 Dos piedras se lanzan verticalmente hacia arriba y en el mismo instante, desde A y B con rapideces

107

FÍSICA

de 15 y 22,5m/s respectivamente, para qué instante “t” después del lanzamiento estarán al mismo nivel las 2 piedras. A

30m

b) 2s e) N.A.

108

FÍSICA

En el instante mostrado desde el globo aerostático que asciende se lanza un objeto hacia abajo con una rapidez de 8m/s respecto del globo. Si el objeto demora en pasar de A hacia B 2s, determina V(V>8m/s; g=10m/s2) V

c) 3s

e u q u L A

25m

Un globo está ascendiendo y cuando tiene una rapidez de 48 pies/s y se encuentra a una altura de 128 pies, se lanza hacia abajo un lastre con una rapidez de 16 pies/s. ¿En cuánto tiempo el lastre llegará al suelo? (g = 32 pies/s2) a) 3s b) 6s c) 2s d) 1s e) 4s

a) 20m/s d) 28m/s

b) 24 m/s e) 30 m/s

in a c a u H e ia m PROBLEMA 36

C 1s

Se lanzan dos esferas simultáneamente tal como se muestra. Si la esfera lanzada desde A alcanza como máximo una altura “h” respectivamente del piso determina la distancia vertical que separa la esfera, cuando la esfera lanzada desde B, empieza a descender. 2V

c) 26 m/s

15m/s

VC

g

a) 1s d) 4s

Y

15m

t BC=1s

X

20m/s

Vy=10m/s

g

B

c) 3s Vy=20m/s

A

J

53°

Vx=15m/s

dx

Vy=0

C

V x=15 m/s

dy

Vx=15m/s

componentes

la  Vx y

 velocidad V , sus  Vy se analizan

3.1. Verticalmente: En esta dirección sólo existe aceleración de la gravedad, entonces  V y cambia, analizándose como un M.V.C.L.;

VD

VC=Vx=15m/s

1s

D

por tanto usaremos: Vy = Vo ± g t

1 2 gt 2 3.2. Horizontalmente: En esta dirección no  existe aceleración, entonces V x = CTE ; analizándose como un M.R.U., por tanto:

Vx=15 m/s

d y = Vo y t ±

d x = Vx t

dx: alcance horizontal

1s

E

y

Vx=15 m/s

V y=20 m/s

B h

4) Finalmente, el movimiento parabólico es compuesto

V

a) h d) 4h

b) 2h e) 5h

A

c) 3h

Vy=20m/s

independientemente.

D

A

dx

descomponer

in a c a u H e ia m C

 1) La velocidad V en cualquier posición: A; B; C; .... siempre es tangente a la parábola. 2) El móvil avanza verticalmente dy y horizontalmente dx simultáneamente

100m

b) 2s e) 5s

dx

3) Al

B

20m/s

e u q u L

15m/s E

Vy=20m/s

Al analizar el movimiento parabólico de caída libre, debemos tener en cuenta:

VA

Vy=10m/s

1s

(b)

VB

Vy=0

D

(a)

Se muestra dos esferas que experimentan MVCL a partir del instante mostrado. Determina cuánto tiempo transcurre hasta que su separación de las esferas se a 25m.

Se lanza verticalmente hacia arriba 2 piedras con intervalo de 1s. la primera tiene una rapidez de 64 pies/s y la otra 112 pies/s. ¿A qué altura sobre el nivel del suelo se encontrarán ambas? (g=32píes/s2) a) 61,44pies b) 48pies c) 64 pies d) 46 pies e) N.A.

J

V y=0

B

PROBLEMA 32

PROBLEMA 34

Vx=15 m/s

Notamos que todo cuerpo que es lanzado al aire con una velocidad cuya dirección no sea vertical describe como trayectoria una curva, tal como se muestra.

80m

PROBLEMA 33

LIC. JAIME A. HUACANI LUQUE

PROBLEMA 35

B

a) 1s d) 4s

LIC. JAIME A. HUACANI LUQUE

Movimiento Parabólico = de Caída Libre

Movimiento Horizontal (M.R.U.)

+

Movimiento Vertical (M.V.C.L.)

109

FÍSICA

LIC. JAIME A. HUACANI LUQUE

110

FÍSICA

PROBLEMAS RESUELTOS PROBLEMA 01

Vf = Vo - g

La altura de un acantilado es 20m, si desde él se lanza horizontalmente un proyectil con 10m/s. ¿Con que rapidez este proyectil llegará al mar? (g = 10 m/s2)

Solución: 10m/s

tv 2

2

Vy

Vf2 = V02 – 2g Hmax 0 = 6g – 2g Hmax 20m 10

PROBLEMA 03

in a c a u H e ia m

Trabajando en la vertical i) H = Vot + ½ gt2

Vy

Vi

20 = ½ (10)t2 → t = 2s ii) Vf B = Vo + gt Luego Vi =

Un avión vuela horizontalmente a razón de 540km/h, y a una altura de 2000m, si sueltan una bomba que justamente impacta en una base enemiga. ¿A qué distancia horizontal de la base enemiga fue soltada la bomba? (g=10m/s2).

Solución:

10 2 + 20 2 m/s

En la horizontal: 100 = 10 × tv

•

En la vertical: (En la subida) Vf = Vy – gts → Vy = 50m/s

∴ V = 10 26 ≈ 51m/s

PROBLEMA 05

J

V

Solución:

d

J

1 (10)t2 2

2000m = 5t2

Luego en la horizontal: 12 = V × tv .....(1) En la vertical (M.V.C.L)

En la horizontal (M.R.U)

∴ V = 20m/s

d

Se lanzan cuatro cuerpos con rapideces horizontales de V; 2V; 3V y 4V ubicados a una misma altura “H”. ¿Cuál de ellos llegará primero a la superficie horizontal? (g=10m/s2)

Solución:

i) En ese instante

PROBLEMA 04 12m

gt 2 2

PROBLEMA 07

80m

La rapidez de un proyectil en el punto más alto de su trayectoria es 10 m/s. Si además su alcance horizontal es de 100m. ¿Cuál fue el valor de la rapidez con la cual se lanzó el proyectil? (g = 10 m/s2) aproximadamente.

10m/s

Vyo = m/s

∴ d = 150 x 20 = 3000m

45° V

H = V0 t +

100 = V × 5

Base

H = Vot + ½ gt2

V

En la vertical V0=0; H=125m

d = V. t

t = 20s

2

Solución:

125 = 5t2 → t2 = 25 → t = 5s

En la figura halla “d”:

En la vertical:

2km =

2

10 + Vy = 10 1 + 25

→V=

e u q u L 100m

in a c a u H e ia m 2

V=10m/s

2 km = 2000m

Un proyectil es lanzado con una inclinación de 45°. Si su alcance horizontal es 12m. Determina su altura máxima. Considerar la aceleración de la gravedad en 9,8 m/s2 y despreciar la influencia del aire.

125m

Luego: ts = tb = 5s

∴ Vi = 10 5

PROBLEMA 02

V

→ tv = 10s

∴ Hmax = 3m

540km/h = 150m/s

Vy = 10 × 2 = 20m/s

•

∴ d = 10 x 4 = 40m

En la figura, calcula “V”:

100m

e u q u L

Luego:

d=V × t

PROBLEMA 06

10m/s

V = 6g ........(1)

Solución:

10m/s

En la horizontal

V

12 V×2

V=gx

LIC. JAIME A. HUACANI LUQUE

V H

2V

En la vertical Vy0 =0

3V

4V

H = 80m H = V0 t +

gt 2 2

80 = 5t2 → t = 4s

Solución: Por teoría el tiempo de caída libre vertical es el mismo para cada móvil por lo tanto los cuatro móviles llegaron al mismo tiempo a

111

FÍSICA

LIC. JAIME A. HUACANI LUQUE

tierra pero a diferentes espacios por la rapidez horizontal diferentes de cada móvil. En la vertical: (M. V. C. L) H = Vot + ½ gt

Solución:

t

80 m

2H s g

Solución:

2H s g

15m/s

V

¿En que relación deben estar las rapideces de lanzamiento de la partícula si se desea que caiga en los puntos “A” y “B”?.

e u q u L

L

Solución:

H = Vot + ½ gt2

V = 20m/s; Hmax = 80

80= ½ (10)t2 → t=4s

En la vertical (t caída)

in a c a u H e ia m Solución:

Por teoría los tiempos de caída libre son iguales por ser lanzados desde la misma altura. En la horizontal: (d = v . t)

dB= 4a = V2 × t2

J

∴ d = 215 × t = 860m

Un hombre pretende cruzar un río de 40m de ancho, donde la rapidez del hombre es de 6m/s. Si la rapidez del hombre en aguas tranquilas es de 3m/s. Determina el tiempo que tarda en cruzarlo si se lanza perpendicular a la corriente.

Solución:

Del enunciado VH = 3m/s ; Vrio = 3m/s B

C

H = V0 t +

∴

3 V1 = 4 V2

80 = 0 + 5t2 → t = 4s → tv = 8s Luego (horizontal):

d = V × tv ; tv = tiempo de vuelo. L = 20 × 8

PROBLEMA 09 El piloto de un bombardero que vuela horizontalmente con una rapidez de 200m/s a una altura de 80m, divisa un tanque enemigo que se mueve en sentido contrario a él. ¿A que distancia horizontal debe soltar una bomba para hacer blanco en el tanque que se mueve a una rapidez constante de 15m/s?

J

PROBLEMA 12

40m

VR

VH

Halla el tiempo que emplea la pelota en su recorrido de A hasta B. 15m/s

A

De la figura tAB = tAC El hombre llega por “C” Luego:

∴ tAB =

d AB 40 = = VH 3

gt 2 2

∴ L = 160m

tAC

tAB

in a c a u H e ia m

B

13,3s

gt 2 2

Reemplazando (1) en (2) 4(5t) = 5t2

t1 = t 2

Luego dividamos ambas ecuaciones:

e u q u L

4x = 5t2 ........ (2)

80m

PROBLEMA 10

a

53° 3x

H = V0 t +

V0=0

= 200 × t + 15 × t

B

4x

En la vertical: 20m/s

→ d = dbomba + dtanque

3x = 15.t x = 5t ……….... (1)

5x

El tiempo t en la vertical y la horizontal son iguales.

Luego en la horizontal: (M.R.U) d=V × t

dA= 3a = V1 × t1

d = V.t

d

Calculemos “t” en la vertical:

PROBLEMA 08

3a

15m/s

80m

→ t1 =t2 = t3 = t4 =

A

En la horizontal (M.R.U)

Sabiendo que V = 20m/s. Calcula “L”. (g=10m/s2).

t

g 2 H= t →t= 2

LIC. JAIME A. HUACANI LUQUE

PROBLEMA 11

200m/s

2

112

FÍSICA

53°

∴ t = 4s

113

FÍSICA

LIC. JAIME A. HUACANI LUQUE

PRÁCTICA CALIFICADA PROBLEMA 01

PROBLEMA 07

2

Una “canica” se lanza en “A”, luego 2s pasa por “B” con una rapidez de 20 m/s. Luego de qué tiempo desde su lanzamiento impacta en el plano inclinado. (g= 10 m/s2) g

e u q u L

LIC. JAIME A. HUACANI LUQUE

PROBLEMA 10

Se lanza horizontalmente un proyectil sobre el plano inclinado, determine el alcance que logra

PROBLEMA 04

Si el vehículo pequeño describe un MRU, en el instante en que pasa por “A”, se lanza una pelota horizontalmente con una rapidez de 40 m/s. Determine la distancia que se encuentran separadas auto y pelota cuando está última impacta al piso. Desprecie efectos del aire.

114

FÍSICA

sobre éste. (θ = 45° y g = 10m / s )

Una esferita es lanzada como se indica. Si ésta ingresa al agujero sin dificultad, ¿después de cuántos segundos del lanzamiento comienza a ingresar? (g = 10m/s2)

20m/s θ

B

40m/s

20m

A

10m/s

65m

Rpta.: ..................

A

in a c a u H e ia m

Rpta.: ..................

PROBLEMA 05

PROBLEMA 02

Una pequeña esfera es lanzada desde “A” e impacta perpendicularmente en la pared inclinada. Calcular el tiempo que emplea desde su lanzamiento hasta que ocurre el impacto (g = 10 m/s2)

Según el gráfico mostrado. Determine el ángulo de inclinación () para el lanzamiento del proyectil. (Considere despreciable la resistencia que ofrece al aire)

45°

PROBLEMA 11

PROBLEMA 08

Rpta.: ..................

45º

Rpta.: ..................

J

PROBLEMA 03

PROBLEMA 06

La piedra mostrada realiza un movimiento parabólico. si de B a C tardó 2s, determine V. (g = 10 m/s2)

Luego de lanzar el proyectil se observa que el alcance horizontal es de 60m. Determine la 8 máxima altura que alcanza senθ = . 17 V

V

C 160m

Rpta.: ..................

80m

Rpta.: ..................

VA

30 m

Rpta.: ..................

VB 37°

B

60m

Rpta.: ..................

PROBLEMA 09

Del MPCL se verifica que t AB = 2t BC Determine “H”

J

PROBLEMA 12

Una piedra se lanza horizontalmente con una rapidez de 10m/s desde la parte superior de una torre. Si llega a la superficie después de 4s, ¿qué distancia horizontal ha avanzado? (g=10m/s2)

A

B

θ A

A

θ

H

B

53°

Si los proyectiles “A” y “B” son lanzados simultáneamente desde las posiciones indicadas, determine en qué relación debe estar su rapidez de lanzamiento para que impacten. (g = 10m/s2)

α

θ

53º

in a c a u H e ia m

Determine luego se que tiempo de haber sido lanzado el proyectil, éste impacta en el plano inclinado. (g = 10 m / s ; α = 60 y θ = 30°)

50m/s

A

Rpta.: ..................

Rpta.: ..................

40m/s

50m/s

e u q u L 50 m/s

53º

Rpta.: .................. 17m C

Rpta.: ..................

115

FÍSICA

LIC. JAIME A. HUACANI LUQUE

PROBLEMAS PROPUESTOS

16º

a) 2 s d) 3 s

b) 2,2 s e) 3,5 s

PROBLEMA 04

in a c a u H e ia m b) 17,85 e) 11,25

PROBLEMA 02

5m/s

c) 15,87

Determine la rapidez con que impacta en el liso el 2

proyectil. (g = 10 m / s ) .

J

a) 85 m/s d) 100 m/s

53º

c) 2,5 s

Un avión se desplaza horizontalmente con rapidez constante de 200m/s. Si de este avión se suelta un proyectil impactando a 2000m del blanco y en el mismo instante que impacta el proyectil se suelta otro proyectil, el cual impacta en el blanco, determine la altura en la cual se desplaza el avión. (g = 10m/s2)

a) 600m d) 400m

b) 500m e) 200m

b) 30m/s e) 10m/s

A

, calcular el tiempo que demora la pelota en ingresar a la canasta.

V0

a) 4s d) 4,5s

in a c a u H e ia m

V0 = 20 2m / s

e u q u L 32m

PROBLEMA 10

Se lanza en forma oblicua una pelota con la finalidad de que ingrese a la canasta. Si el lanzamiento se efectúa con una velocidad inicial

b) 3s e) 2s

c) 3,5s

Una esfera se lanza horizontalmente con V=30m/s como el diagrama muestra. Calcula: A. El tiempo de impacto. B. La distancia “x”. C. La rapidez con que impacta el móvil. V=30m/s

15m

80m

45°

60m

a) 0,5s d) 3s

b) 1s e) 4s

PROBLEMA 08

J

c) 2s

Un proyectil es lanzado como se muestra. Determina su rapidez en el punto más alto de su trayectoria, α=37°; g=10m/s2.

10 m/s

50m/s

c) 95 m/s

Cañón

A d

PROBLEMA 03 a) 70m d) 90m

c) 40m/s

PROBLEMA 07

c) 26,5m

Desde un helicóptero se suelta un proyectil. Si 2s después se dispara (desde el cañón en tierra) otro proyectil con una rapidez de 50m/s, el cual logra impactar con el primero luego de 2s de lanzar el segundo proyectil, determine d. (g = 10m/s2)

Determine el intervalo de tiempo de “A” hasta “B”. Si se trata de un MPCL. (g = 10 m/s2)

agua

a) 20m/s d) 60m/s

140 m

b) 90 m/s e) 110 m/s

37°

V=30m/s 37°

PROBLEMA 05

80m/s

180m

e u q u L B

x

37º

El móvil que resbala por el plano inclinado sale por el punto “A” con una rapidez de 10m/s. Al cabo de qué tiempo impactará con el piso?

V0

y

10m/s

LIC. JAIME A. HUACANI LUQUE

PROBLEMA 09

En el instante en que una embarcación pasa por el punto “P” se dispara un proyectil para destruirla, tal como se muestra en la figura. ¿Con qué rapidez se disparó el proyectil si la embarcación lleva una rapidez constante y se logra destruirla en la posición “B”? (g = 10m/s2)

25 m /s

Dos jóvenes juegan en una pendiente como se muestra. A lanza la pelota con rapidez horizontal de 10 m/s y B recorre con rapidez constante de 5m/s, atrapando la pelota. Determine a qué distancia (en m) se encontraba B respecto de A en el momento del lanzamiento.

a) 18,75 d) 12,51

PROBLEMA 06

A

PROBLEMA 01

116

FÍSICA

b) 60m e) 100m

c) 80m

a) 30 m/s d) 60 m/s

Piso x

a) 4s; 100m; 80m c) 3s; 120m; 50m e) 3s; 120m; 30m

b) 4s; 120m; 50m d) 3s; 180m; 40m

PROBLEMA 11

Un cañón dispara un proyectil con un ángulo de elevación de 53° como en el diagrama. Luego de qué tiempo impactará y a que altura impactará?

α b) 40 m/s e) 70 m/s

c) 50 m/s

V0=50m/s H

90m

117

FÍSICA a) 3s; 80m d) 4s; 80m

b) 2s; 75m e) 3s; 80m

c) 3s; 75m

LIC. JAIME A. HUACANI LUQUE

a) 15m/s; 20m/s c) 12m/s; 15m/s e) 20m/s; 18m/s

b) 20m/s; 15m/s d) 15m/s; 12m/s

30 2 m/s y un ángulo de elevación de 45°. ¿Cuál será la máxima altura que alcanzará? (g=10,m/s2)

PROBLEMA 16

45m

R

b) 35m e) 50m

c) 40m a) 4s d) 4,5s

in a c a u H e ia m

En el problema anterior. ¿Cuál es el tiempo que el móvil permanece en el aire hasta impactar en el piso? Calcula además el alcance “R”. a) 6s; 120m b) 5s; 180m c) 4s; 120m d) 6s; 180m e) 5s; 100m

PROBLEMA 14

Un avión vuela horizontalmente con una rapidez de 150m/s a una altura de 78,4 m sobre un barco que se mueve a 20 m/s, en la misma dirección pero en sentido opuesto. ¿A qué distancia del barco el avión debe soltar una bomba para que impacte en el barco? (g=9,8m/s2) a) 680m b) 730m c) 846m d) 932m e) 1043m

J

PROBLEMA 15

P

O

PROBLEMA 17

b) 3s e) 2s

45°

V0

Un indio desea clavar perpendicularmente a la pared una flecha. ¿A qué distancia horizontal se debe ubicar el indio para que logre su objetivo. V=30m/s; α=37°. (g=10m/s2).

37°

y

1,2m

x

a) 110m d) 300m

e

c) 53,2m

a) Sólo I d) Sólo I y II

c) Sólo III

Se lanza una esfera desde la base de un plano inclinado, como se muestra en la figura, con una rapidez inicial de 5m/s. Halla el alcance horizontal luego que retorna a la base del plano. (g= 10m/s2).

60°

g

V0

37°

37°

a) 2s d) 5s

b) Sólo II e) Todos

b) 1,2m; 2,6m d) 8m; 2,6m

PROBLEMA 23

V2

60°

En el movimiento parabólico no se cumple: I. En la altura máxima la rapidez es cero. II. La rapidez en todo instante es la suma vectorial de las rapideces de sus movimientos componentes. III. El tiempo de vuelo, depende del ángulo de lanzamiento.

c) 210m

Los dos proyectiles se disparan simultáneamente. Calcular el tiempo de encuentro. - V1- V2 = 4m/s - e = 10m V1

b) 13,2m e) 43,2m

x

a) 8,4m; 3m c) 8m; 6m e) 6m; 8m

in a c a u H e ia m b) 159m e) 400m

PROBLEMA 20

α

a) 23,2m d) 18,2m

e u q u L

53°

45°

c) 3,5s

PROBLEMA 18

En la figura se indican los valores de algunas de las variables cinemáticas del movimiento de un proyectil en 3 posiciones diferentes. El proyectil fue disparado en O. Determina los módulos de sus velocidades en O y P, respectivamente. V =12m/s (g=10m/s2).

53°

Se lanza una pequeña piedra con una rapidez V0 = 10m/s, como en el diagrama se muestra. Si la piedra se introduce en un tubo de modo que el movimiento coincide con el eje del tubo. Calcula los valores de x; y. g=10m/s2.

V0

A

PROBLEMA 13

e u q u L

LIC. JAIME A. HUACANI LUQUE

PROBLEMA 22

Un proyectil se dispara con una rapidez de

Se lanza un cuerpo horizontalmente con una rapidez de 40m/s. ¿Cuánto tiempo tarda en impactar con tierra? (g=10m/s2).

Hmax

a) 30m d) 45m

PROBLEMA 19 30 2 m/s. Si impacta en la ventana del edificio con 50m/s. Calcula “x”, si g=10m/s2.

PROBLEMA 12 Un proyectil se dispara con una rapidez de

118

FÍSICA

J

PROBLEMA 21

b) 3s e) 10s

c) 4s

Desde un globo aerostático que asciende verticalmente con una rapidez de 6m/s, se lanza una piedra horizontal (respecto del globo) con una rapidez Vx=5m/s. Si la piedra impacta en la superficie a 15m, de la vertical del globo, determina desde que altura se lanzó la piedra. (g=10m/s2). a) 15m b) 20m c) 27m d) 25m e) 30m

a) 1m d) 4m

b) 2m e) 5m

c) 3m

PROBLEMA 24

A partir del siguiente esquema. ¿Qué medida tiene “L” en metros? 70m/s

L 37° L

119

FÍSICA a) 240m d) 180m

b) 220m e) 160m

c) 200m

LIC. JAIME A. HUACANI LUQUE

120

FÍSICA

PROBLEMA 28 Calcular el tiempo necesario para que la partícula lanzada con una velocidad de 50m/s colisione con la superficie inferior. (g = 10m/s2)

PROBLEMA 25 Si: V = 50m/s, calcula “α”

DINÁMICA

V0 53°

45m

V

b) 30° e) 45°

PROBLEMA 26

a) 5s d) 12s

c) 37°

b) 8s e) 15s

PROBLEMA 29

in a c a u H e ia m

c) 10s

Dos objetos son lanzados horizontalmente en direcciones contrarias desde la misma vertical con rapideces de 20m/s y 30m/s y alturas de 80m y 45m respecto del piso respectivamente. ¿Qué distancia separa los puntos de impacto de los cuerpos en el piso? a) 110m b) 120m c) 130m d) 150m e) 170m

Calcula el tiempo de vuelo si en “P” V = 50m/s; θ = 37°. V θ

P

e u q u L

100

α

a) 16° d) 53°

320m

PROBLEMA 30

PROBLEMA 27

c) 4s

Las esferas son lanzadas tal como se muestran, determine la distancia que las separa luego de 1s. (g = 10m/s2)

50

Que valor tiene “h” en metros, si VB=40m/s. (g=10m/s2)

J 45°°

A

m/ s

a) 20 2m

b) 30 2m

d) 60 2m

e) 70 2m

Dinámica es la parte de la mecánica que estudia la relación que hay entre el movimiento de los cuerpos y la causa que lo produce. En este caso estudiaremos la dinámica rectilínea.

→

J →

Reposo

→

FR=0

b) 50m e) 80m

60°°

c) 60m

→

ACELERACIÓN a Cuando un cuerpo cambia su rapidez o la dirección de su movimiento, éste está acelerando. La aceleración expresa la rapidez con que un 2 cuerpo cambia su velocidad. Se expresa en m/s . →

a=

→

∆ V → (cambio o var iación de velocidad) ∆ t → (int ervalo de tiempo) →

CANTIDAD DE MOVIMIENTO P Un cuerpo en movimiento no sólo se caracteriza por su velocidad, también influye la masa. Al producto de la masa por la velocidad de un cuerpo se le llama cantidad de movimiento, momentum ó ímpetu; es una cantidad vectorial, paralela y de igual dirección que la velocidad.

V

→

→

V

→

P

→

P = mV

MRU VB

e u q u L

FUERZA F La fuerza surge cuando dos cuerpos interactúan, en esta interacción la fuerza podría causar el cambio de estado de reposo o de movimiento de un cuerpo. Se mide en Newton (N).

in a c a u H e ia m

LEY DE LA INERCIA Si la fuerza neta sobre un cuerpo es nula, no se producirá cambio alguno en la rapidez o dirección del movimiento del cuerpo. Por consiguiente el cuerpo estará en reposo (caso particular del MRU) o estará moviéndose en línea recta y a velocidad constante. La inercia se manifiesta como la oposición o resistencia al cambio de estado mecánico, cuando sobre un cuerpo queremos cambiar su velocidad. →

c) 50 2m

inercia de un cuerpo. Si quisiéramos mover dos esferas, una de plástico y otra de plomo, aunque ambas de forma idéntica, resulta más difícil mover la de plomo, porque contiene más inercia, porque tiene mayor masa. La unidad de la masa en el SI es el kilogramo (kg). →

INERCIA: La inercia es una propiedad intrínseca de todos los cuerpos en el Universo. El razonamiento de Galileo sobre el movimiento rectilíneo uniforme, sin la intervención de fuerzas externas es lo que se conoce como Ley de la inercia, que contempla también, por supuesto, a los cuerpos en reposo.

FR=0

53°

37°

h

a) 40m d) 70m

m /s

b) 6s e) 12s

50

a) 8s d) 10s

LIC. JAIME A. HUACANI LUQUE

liso

MASA (m) La masa de un cuerpo está involucrada en su movimiento, porque influye en el estado del mismo, la masa es la medida dinámica de la

Unidad: Kgm/s

¿Qué cuerpo tiene mayor cantidad de movimiento? Una pelota de 0,5 kg que se mueve a 10m/s hacia el este, o un automóvil de 500kg que se mueve también a 10m/s hacia el este.

121

FÍSICA 0,5kg

500kg

10m/s

→ →

“La fuerza neta aplicada sobre un cuerpo es igual a la razón de cambio de la cantidad de movimiento del mismo, y ese cambio tiene la misma dirección en la que se aplica dicha fuerza”

10m/s

→

∧

P = 0,5 × 10 i

∧

P = 500 × 10 i

→

∧

P = 5 i kg m / s

F=

∧

P = 5000 i kg m / s

La cantidad de movimiento no sólo depende de la velocidad del cuerpo, también depende de la masa (cantidad de inercia). El automóvil tiene mayor cantidad de movimiento que la pelota. ¿Cuál de los cuerpos estudiados anteriormente será más fácil detener? ¿Por qué? La pelota tiene menor cantidad de movimiento, por esta razón, será más fácil cambiar su cantidad de movimiento hasta volverse cero (hasta detenerlo)

VARIACIÓN

LIC. JAIME A. HUACANI LUQUE

MOVIMIENTO

LA

CANTIDAD

DE

(∆ P )

Para cambiar la cantidad de movimiento de un cuerpo (si su masa es constante), es necesaria la acción de una fuerza neta. La fuerza provocará un cambio en su velocidad de

F=

e u q u L

m(V f − V i ) t

 Vf − Vi   F = m   t  

→

F = ma.....

∆P = m∆ V

J

SEGUNDA LEY DE NEWTON La Ley de la Fuerza y la Aceleración cuando la masa no varía El cambio en la cantidad de movimiento se debe a la acción de una fuerza que actuará durante cierto intervalo de tiempo. El cambio en la cantidad de movimiento de un cuerpo se da, tanto si varía su masa como su velocidad; una simplificación de la ley es considerar la masa del cuerpo constante, lo cual significa que consideraremos únicamente el cambio en la velocidad. La segunda ley es expresa en los siguientes términos.

F2

F1 + F2 = ma

a=

a

N

e u q u L

Descomponiendo la fuerza de la gravedad.

a

in a c a u H e ia m N

F2 La aceleración tiene la misma dirección que la resultante: R = ma

conoce

la

dirección

a

de

la

Centro de Giro

F4

F2

J

a=1m/s2

FC

a

liso

a

∴ a = g S enα

DINÁMICA CIRCUNFERENCIAL • Aplicación al M.C.U

F1 + F2 + F4 - F3 = ma

FR= 1N

F2senθ

F1

O

FC

VT

a

VT

F2cosθ

a

F=ma La aceleración tiene la misma dirección de la fuerza.

mgSenα = ma ⇒ gSenα = a Perpendicular al plano: N = mgCos

F3

F1

liso

Paralelo al plano:

F12 + F2 2

Siendo: R =

FR m

CASOS EN DINÁMICA RECTILÍNEA 1. Cuando actúa una sola fuerza

a

R

a

mgcosθ

mgsenθ

3. Cuando las fuerzas son perpendiculares. F1

4. Cuando se aceleración

En el sistema internacional de unidades (SI), la unidad de la fuerza es el Newton (N). Así podemos decir que: 1N es la fuerza necesaria para comunicarle a una masa de 1kg una aceleración 2 de 1m/s .

F

liso

F1 - F2 = ma La dirección de la aceleración es la de la mayor fuerza.

FR m

FR

a=

mg F2

→

De esta última expresión, al ser la masa constante, nos permite enunciar la ley como sigue: “La aceleración que experimenta un cuerpo es directamente proporcional a la fuerza neta que actúa sobre él e inversamente proporcional a su masa (m), donde la fuerza resultante y la aceleración tienen igual dirección”

∆P = P f − P i = mV f − mV i ∆P = m(V f − V i )

a

Como la masa es constante: ∆P = m(V f − V i )

V i a V f y su cantidad de movimiento cambiará de P i a P f .

F1

F1

Entonces:

LIC. JAIME A. HUACANI LUQUE

2. Cuando actúan dos fuerzas paralelas

∆P ∆t

in a c a u H e ia m DE

122

FÍSICA

F2 cos θ − F1 = ma

5. Cuando un cuerpo resbala por un plano inclinado sin rozamiento.

En esta parte de la Dinámica estudiaremos las condiciones que deben cumplir las fuerzas para que un cuerpo describa una trayectoria circunferencial. El estudio se fundamenta en la 2da Ley de Newton. Como recordaremos, en el movimiento circunferencial el móvil posee dos velocidades

123

FÍSICA

(tangencial y angular). Si el movimiento es circunferencial uniforme la velocidad tangencial se mantiene constante en su módulo pero cambia de dirección permanentemente. La rapidez con que cambia la dirección de la velocidad tangencial se mide con la aceleración centrípeta.

Vt R

¿CÓMO HALLAR CENTRÍPETA?

: Velocidad angular, en (rad/s). : Radio de giro, medido en metros (m)

Donde:

e u q u L

m : Es la masa del cuerpo, en “kg”.

Para que un cuerpo gire con movimiento circunferencial debe existir sobre él una fuerza resultante mayor que cero, dirigida hacia el centro de la circunferencia denominada “fuerza centrípeta”, lo cual origina una “aceleración centrípeta” en su misma dirección.

3.- FUERZA CENTRÍPETA (FC) Es aquella fuerza resultante en la dirección radial que origina todo movimiento circunferencial. Posee la misma dirección que la aceleración centrípeta.

FC =∑FRADIALES = m.ac

FC = ∑F RADIALES

-

∑F RADIALES

QUE VAN HACIA

QUE SALEN

EL CENTRO

DEL CENTRO

F

m

N+15 = 30N

→ N = 15N * Eje “x”: 2° Ley Newton

e u q u L

FR = m x a

Solución:

20 – fr = 3 × a

Por la Ley de Newton FR = m × a a F

FC : Es la fuerza centrípeta o fuerza resultante en dirección radial dirigida hacia el centro de rotación, se le mide en newton “N”.

in a c a u H e ia m

1.- ¿CUÁL ES LA CONDICIÓN DE TODO MOVIMIENTO CIRCUNFERENCIAL?

J

ΣF↑ = ΣF↓

Un bloque de masa m=2kg es arrastrado sobre una superficie lisa con una fuerza F=10N. Calcula la aceleración que experimenta dicho bloque.

V  2 FC = m   = m(w R) R  

ac : Aceleración centrípeta, en “m/s “ Vt : Rapidez tangencial, medida en “m/s” o rapidez lineal. R

PROBLEMAS RESUELTOS

2 t

2

LIC. JAIME A. HUACANI LUQUE

PROBLEMA 01

FC = m . ac ............(2)

= w 2R .........(1)

124

FÍSICA

FUERZA

De la Segunda ley de Newton:

Donde:

 w

LA

Reemplazando (1) en (2)

2

ac =

2.-

LIC. JAIME A. HUACANI LUQUE

a=

20 – µ . N = 3 × a 20 – 5 = 3.a F=m × a 10N = 2kg × a

in a c a u H e ia m PROBLEMA 03

10 N 10 Kg = . m/s 2 2 kg 2 Kg

a = 5 m/s2

PROBLEMA 02

Un bloque es jalado por la fuerza F=25N sobre una superficie áspera con µ = 1/3; si m=3kg. Calcula la aceleración que experimentará el bloque. F

Calcula la aceleración del bloque de 3kg si las superficies son lisas.

m

37°

J

Solución:

15N

Solución: a

15N

FR = m.a 15 = 3.a A = 5m/s2

PROBLEMA 04

D.C.L Bloque

15N

30N

m

Por la 2° ley de Newton

a

µ

a = 5m/s2

a 37°

20N

Calcula la aceleración que experimentará el bloque si F=25N, considera superficie lisas. F

5kg

53°

fr N * Eje “y” equilibrio

Solución: Descomponiendo la fuerza F.

125

FÍSICA 20N

25N

50N

a

53°

5kg

15N

N

Solo hay movimientos en la horizontal por lo tanto la fuerza de 15N genera aceleración. Por la 2° Ley de Newton.

LIC. JAIME A. HUACANI LUQUE Por la 2° Ley de Newton FR = m . a F = 24N

in a c a u H e ia m

Calcula la masa del bloque con a=2m/s2. F=60N (g=10m/s2)

e u q u L

Solución: Solución:

a=2m/s

J

PROBLEMA 06

N

igual a la normal (N).

PROBLEMA 09 V

2

Eje Radial

J F

Fcp = m × acp T – mg = m ×

V2 R

F 4M

3F 4

R=M. R=

F 4M F 4

R=

1

M

3

2M

M

V=0m/s

Solución:

mV + mg R

a

F

(4)2 T=4 × + 4 × 10 2

M

T = 72N

F 4

Un bloque es lanzado sobre un plano inclinado rugoso (µk=0.25). Si alcanza una máxima altura de 0,6m respecto a la horizontal. Determina la rapidez del lanzamiento. (g = 10m/s2)

0,6m

i) Calculo de la aceleración del sistema.

2

Reemplazando datos: F

Fr = m.a

PROBLEMA 10

La figura muestra 3 cuerpos en contacto por la acción de una fuerza “F”. La fuerza de contracto sobre el bloque 2 y 3 es:

mg

T=

8kg

M

Por la 2° Ley.

F–R=(M+2M). F–R =

R

N = 600N

F

a

R

2M

M

in a c a u H e ia m

La lectura de la balanza es numéricamente

T

Por la 2° Ley de Newton

Solución:

e u q u L a

N – 500 = 50 × 2

m = 5kg

8kg

F

Fr= m.a

Por la 2° Ley de Newton

60 – m.g = m.a

En la figura calcula “F” si el bloque acelera con liso 3m/s2.

F …. (1) 4M

Por la 2° Ley.

R=2m

60 = 12m

mg

a=

2

Fr = m.a

Por la 2° Ley de Newton en la vertical. 2

Luego:

a

a = 2m/s

m

60N

Por la 2° Ley de Newton: Fr = msist.a F = (M + 2M + M).a

Haciendo una separación de los bloques (2) y (3)

500N

m

D.C.L en el punto más bajo

Solución: Solución:

LIC. JAIME A. HUACANI LUQUE

Solución:

En la figura la pelotita pasa por el punto más bajo con una velocidad de 4m/s si la longitud de la cuerda es 2m, halla el valor de la tensión en la cuerda. m=4kg (g=10m/s2)

a = 3m/s2

g

Una persona de 50Kg se encuentra dentro de un ascensor y sobre una balanza. El ascensor acelera hacia arriba con 2m/s2 determina la lectura de la balanza.

PROBLEMA 07

15 = 5 × a

F

PROBLEMA 08

F=8 × 3

FR = m × a

PROBLEMA 05

126

FÍSICA

2M

V0 37°

M

127

FÍSICA

LIC. JAIME A. HUACANI LUQUE

128

FÍSICA

LIC. JAIME A. HUACANI LUQUE

PRÁCTICA CALIFICADA

Solución: Solución: Vf = 0m/s

a N

fr h = 0,6m

m mgCos37° 37°

mgSen37°

V

37°

30º

a) El diagrama de cuerpo libre de los bloques A y B. b) El módulo de la aceleración de los bloques. c) El módulo de la tensión en la cuerda que une a los bloques.

mg

a) D.C.L. (bloque A)

a

N

En la vertical del plano: Equilibrio
N = mgCos37° ...(1)

in a c a u H e ia m

En el Tramo “AB”: Calcula de “a” Por la 2° Ley de Nw.

T

PROBLEMA 01

PROBLEMA 05

Si el sistema se abandona en la posición que se indica. Determine la tensión en la cuerda. (g=10m/s2)

Se abandona un bloque de 5kg sobre el plano inclinado como se indica. ¿Qué módulo tiene su velocidad después de 2s? Considere que la fuerza de rozamiento del plano inclinado tiene un módulo de 10N. (g=10m/s2)

Rpta.: ..................

PROBLEMA 02 Determine el módulo de la aceleración del bloque si se encuentra afectado a las fuerzas que se indica. liso

3N

3 1 − .mgCos37° = m.a 5 4

Como: g = 10m/s2 -6–2=a
a = -8m/s2

El signo es negativo ya que está en contra del movimiento. Finalmente por M.R.U.V.

Vf 2B = V0A2 - 2ª.dAB 0 = v2 – 2.8.1 16 = v2

v = 4m/s

PROBLEMA 11 La figura muestra dos bloques A y B de masas 2kg y 4 kg respectivamente. Sabiendo que no hay rozamiento, determine:

20N D.C.L. (bloque B) T

PROBLEMA 03

PROBLEMA 06

e u q u L

Determine el módulo de la tensión de la cuerda que une a los bloques A y B de igual masa. (g=10m/s2)

Si el globo aerostático sube con una aceleración constante de 2m/s2. Determine el módulo de la tensión en la cuerda. (g=10m/s2)

a

Rpta.: ..................

20N

Rpta.: ..................

30º

-mgSen37° - fr = m.a

in a c a u H e ia m 10N

30N

10

N 10

Fr = m.a

J

e u q u L

Solución: Solución:

A

-mg.

B

A

B

Liso

5kg 5kg

Rpta.: ..................

40N

La fuerza de gravedad se representa mediante un vector vertical hacia abajo cuyo módulo es: F = m.g

b) Aplicamos la segunda ley de newton a cada bloque: bloque A: T – 10 = (2) (a) ...(1) bloque B: 40 – T = (4) (a) ...(2) sumando las ecuaciones (1) y (2): 40 – 10 = 6a ⇒ a = m/s2 ...(3)

PROBLEMA 07

J

La figura muestra dos bloques de masas 2m y 3m. Determine el módulo de la tensión en la cuerda que une los bloques, sabiendo que F = 45N. No hay rozamiento.

Rpta.: ..................

PROBLEMA 04

Determine el módulo de la tensión de la cuerda que une a los bloques A y B. (g=10m/s2)

3kg

4kg

Rpta.: ..................

3m

F

Rpta.: ..................

PROBLEMA 08 3kg

c) Calculamos el módulo de la tensión reemplazando (3) en (1): T – 10 =(2) (5) Resolviendo: T = 20 newtons

2m

La figura muestra dos bloques de masas 3m y 2m. Determine el módulo de la fuerza de reacción entre los bloques, sabiendo que F = 35N. No hay rozamiento.

129

FÍSICA F

LIC. JAIME A. HUACANI LUQUE

2m

La figura muestra tres bloques A, B y C de masas 5 kg, 3kg y 2kg respectivamente. Sabiendo que no hay rozamiento, determine el módulo de la tensión en la cuerda que une los bloques B y C.

Rpta.: ..................

( g = 10 m / s 2 )

PROBLEMA 09 Un hombre de 60 kg se encuentra en el interior de un ascensor parado sobre una báscula, ¿cuánto registrará ésta si el ascensor desciende con 2 aceleración de módulo 5m/s ?

B

A

Rpta.: ..................

PROBLEMA 10 Del techo de una cabina de ascensor, cuelga un bloque de masa 4 kg. Determine el módulo de la aceleración del ascensor para que la tensión en el

in a c a u H e ia m 2

cable sea de módulo 35N. (g = 10 m/s )

e u q u L

PROBLEMA 13

La figura muestra dos bloques A y B de masas 2kg y 3kg respectivamente. Sabiendo que no hay rozamiento, determine el módulo de la tensión en la cuerda que une a los bloques A y B. 2

( g = 10 m / s )

J

2

hay rozamiento. ( g = 10 m / s )

m

F

La masa de B es el doble de A y ambos se mueven con rapidez constante. Despreciando la masa de las poleas, determinar el coeficiente de fricción cinético entre el bloque B y el piso.

d) 1,5 m/s

B

b) 0,75 e) 0,25

PROBLEMA 02

PROBLEMA 04

a) 7,50 m/s

2

c) 10,50m/s e) 1,25 m/s

J

F

2

b) 7,5 m/s y 30 N

2

2

c) 7,5 m/s y 40N

d) 5,0 m/s y 40N

2

e) 4,5 m/s y 50N

m

PROBLEMA 05

2

b) 8,50 m/s

d) 12,50 m/s

2

PROBLEMA 03

El coeficiente de rozamiento cinético entre el bloque de 2kg y la superficie horizontal es 0,2. Determine el módulo de la aceleración del bloque. 50N

Determinar el módulo de la aceleración de los bloques de masas iguales. El coeficiente de rozamiento entre el bloque y la superficie

La figura muestra dos bloques A y B de masas 5 kg y 2 kg respectivamente. Sabiendo que no hay rozamiento, determine el módulo de la aceleración del bloque A.

B

horizontal es 0,5. (g = 10 m / s 2 )

A 37º

37º

2kg

m m

Rpta.: ..................

2

a) 7,5 m/s y 50 N

M

Rpta.: ..................

e u q u L K

in a c a u H e ia m

PROBLEMA 14

37º

2

El sistema mostrado tiene M.R.U.V., determine el módulo de la aceleración y el módulo de la tensión en la cuerda JK. La masa de la esfera es 4 kg.

c) 0,50

Determinar la aceleración máxima del bloque de masa M, tal que el bloque menor de masa m no resbale sobre el bloque mayor. El coeficiente de rozamiento entre los bloques es 0,6 y 0,8.

2

Rpta.: ..................

e) 0,5 m/s

A

a) 1,000 d) 0,15

2

B

2

c) 7,5 m/s

J

M

A

2

(g = 10 m / s 2 )

F

Rpta.: ..................

2

b) 2,5 m/s

a) 5 m/s

(g = 10 m / s 2 )

4kg

Determinar el módulo de la aceleración de la cuña de masa “M”, tal que la esfera de masa “m” permanezca en reposo respecto de la cuña. No

2

PROBLEMA 01

C

Rpta.: ..................

LIC. JAIME A. HUACANI LUQUE

PROBLEMAS PROPUESTOS

PROBLEMA 12

3m

PROBLEMA 11

130

FÍSICA

2

a) 1,43 m/s

2

c) 3,43 m/s 2

e) 5 m/s

2

b) 2,43 m/s d) 2 m/s

2

131

FÍSICA

PROBLEMA 06 Un hombre se encuentra sobre una balanza móvil sobre un plano inclinado. Si la lectora en la balanza indica 30 kg, ¡cuál es la masa real del 2

hombre?. No hay rozamiento. (g = 10 m/s )

LIC. JAIME A. HUACANI LUQUE

a) 2m/s2 d) 6m/s2

b) 4m/s2 e) 32m/s2

c) 8m/s2

4s. Halla el coeficiente de rozamiento estático entre el ladrillo y el tablón aproximadamente. a) 0,5 b) 0,58 c) 0,9 d) 1,0 e) 0,75

PROBLEMA 09 Un bloque de 5kg es lanzado sobre un piso horizontal liso. Determine el módulo de la aceleración del bloque cuando el resorte está deformado 2cm. (g=10m/s2)

e u q u L K=50N/M

45º b) 40 kg e) 70 kg

a) 30 kg d) 60 kg

2

c) 50 kg

2

a) 1m/s d) 4m/s2

b) 2m/s e) 5m/s2

PROBLEMA 10

PROBLEMA 07

in a c a u H e ia m

Un insecto de 50g asciende verticalmente por una pared áspera acelerando a razón de 1m/s2. Determine el módulo de la fuerza de reacción de la pared sobre las patas del insecto. (g=10m/s2)

a

PROBLEMA 08

J

a) b) c) d) e)

g

1N 0,5N 0,22N 0,2N 0,18N

En el instante mostrado el resorte se encuentra sin deformar, determine el módulo de la aceleración del collarín de 10kg cuando pase por A. (Desprecie todo tipo de rozamiento, K=400N/m) V

20cm

a) 10N d) 80N

PROBLEMA 13 Si las masas de los bloques “A” y “B” valen respectivamente 1Kg. y 3Kg. Determina el mínimo valor de “F” horizontal para que el bloque “A” no resbale sobre “B”. Los coeficientes de rozamiento entre los bloques valen 0,4 y 0,2 (g=10m/s2). F

c) 3m/s

b) 20N e) 100N

a) 60N d) 120N

b) 80N e) N.A

PROBLEMA 14

F

La esfera de 4kg se encuentra en reposo respecto del coche. Determine la aceleración del coche si la tensión en la cuerda es de 50N. a

a) 30m/s d) 5m/s2

a) 80N d) 20

2

liso

B

b) 60 e) N.A

J

c) 40

c) 7,5m/s

Un estudiante coloca un ladrillo sobre un tablón y gradualmente levanta un extremo, cuando la inclinación con la horizonte es de 30°, el ladrillo está por deslizar y cuando lo hace recorre 4m en

e u q u L

Halla el coseno del ángulo que forma la cuerda con la vertical, si la pequeña esfera de masa “m” gira con velocidad angular “w” constante.

L

a) Lg/w2 d) 4g/ w2L

α

w

b) g/ w2L e) 3g/ w2L

c) g/ w2 L2

a) 36N d) 12N b) 3,6 e) N.A

α

A

37°

a) 5,4 d) 1,2

Determina el módulo de la fuerza que ejerce el piso sobre la esfera de 6kg al pasar por el punto “A”. (Desprecie las asperezas y considere que en “A”, la aceleración centrípeta es de 3m/s2) (α= 60°) q O

F2

F1

PROBLEMA 12 15cm

PROBLEMA 17

in a c a u H e ia m

La figura muestra un bloque de peso 5N. El coeficiente de rozamiento cinético entre el bloque y la superficie es 0,1. Determina la aceleración del bloque en m/s2

A

g

Un bloque de 5Kg de masa se coloca sobre un plano inclinado 37° con la horizontal. Si resbala a través del plano con una aceleración de 2m/s2. ¿Cuál es el coeficiente de rozamiento cinético? a) 0,2 b) 0,3 c) 0,4 d) 0,5 e) N.A

PROBLEMA 18

PROBLEMA 15

37º

b) 15m/s e) 0

PROBLEMA 16

c) 100N

A

c) 50N

2

liso

LIC. JAIME A. HUACANI LUQUE

Calcula el máximo valor “F” horizontal para que el cuerpo “A” de 2Kg. que se halla apoyado sobre “B” de 3 Kg. no resbale. Los coeficientes de rozamiento entre los bloques valen 0,4 y 0,2 (g=10m/s2).

PROBLEMA 11

2

A

B

2

Según el gráfico determine la tensión en la cuerda. (mA = mB=10kg). (g=10m/s2) liso

132

FÍSICA

c) 2,4

b) 48N e) 60N

c) 18N

PROBLEMA 19 Sobre una superficie horizontal áspera, se lanza un bloque de 1kg con una rapidez de 10m/s. Si

133

µs=0,8 y µk=0,5 (g=10m/s2). Calcula el tiempo necesario para que se detenga. a) 1s b) 2s c) 3s d) 0,2s e) 4s

PROBLEMA 20 Si la masa de 5kg es jalada por la fuerza “F” de 50N. ¿Con qué aceleración avanza la masa si µ =0,5?. Considera (g=10m/s2) F

µ=0, 5

37°

5kg

LIC. JAIME A. HUACANI LUQUE

b) 3 m/s2 e) 6 m/s2

PROBLEMA 27

PROBLEMA 31

Calcula la rapidez angular mínima que le impide resbalar al bloque sobre la superficie cilíndrica de radio 0,4 m y coeficiente de rozamiento estático 0,25.

Un joven suelta una esfera de 4kg de la posición mostrada. Si la resistencia que ofrece el aire al movimiento de la esfera es constante y de 20N. ¿Luego de cuántos segundos de ser soltada llega al piso? (g=10m/s2)

Calcula la aceleración que experimenta el sistema mostrado. en m/s2.

w

a) 5 rad/s b) 7 rad/s c) 10 rad/s d) 11 rad/s e) 12rad/s

µe

e u q u L

PROBLEMA 21

c) 4 m/s2

PROBLEMA 24

in a c a u H e ia m

Si el bloque “m” avanza a rapidez constante y es accionado por la fuerza “F” de 50N. Calcula la fuerza de rozamiento.

µ

a) 10N b) 25N c) 50N d) 30N e) N.A.

m

PROBLEMA 22

F

J

L

θ

w O

a) 1 rad/s c) 6 rad/s e) 5 rad/s

El bloque mostrado acelera hacia la derecha a razón de 4 m/s2 tal como se muestra. ¿Cuál es el valor de la fuerza de rozamiento cinético por parte de la superficie áspera. (En N) a) 13 b) 14 c) 17 d) 18 e) 20

V

50N

a

8Kg

b) 4/3 rad/s d) 2/3 rad/s

70N

6Kg

V 4Kg

PROBLEMA 28

d) 7m/s2

a) 4 y 36 d) 5 y 40

R

5m/s

J

PROBLEMA 30

9Kg

11Kg

b) 2 y 38 e) N.A.

a

m

F

60N

c) 3 y 35

30°

a) 120N d) 60N

7 Kg

b) 100N e) 90N

c) 80N

e u q u L

Determine en cuánto tiempo el niño, que se suelta en A, llega a B. (Desprecie toda forma de rozamiento, g=10m/s2)

A

3 m/s2

¿Qué valor tiene la fuerza “F” si la masa de 20kg sube a razón de 1m/s2?. No hay rozamiento. (g=10m/s2)

Determina la aceleración del sistema mostrado y la tensión en la cuerda que une a los bloques; respectivamente en (m/s2 y N) las superficies son lisas.

a) 3 b) 5 c) 7 d) 4 e) 8

in a c a u H e ia m e)

a) 120N b) 100N c) 150N d) 80N e) 140N

30N

3 Kg

PROBLEMA 32

Sobre un bloque se aplica dos fuerzas coplanares horizontales F1 y F2 de valores 10 3 N. Cada uno y que forman un ángulo de 60° entre sí. Si el coeficiente de rozamiento cinético es 0,6 y el bloque pesa 20N. Halla la aceleración del bloque. b) 9m/s2 c) 8m/s2 a) 2m/s2

PROBLEMA 26

20N

40 m

La esfera de 4kg pasa por la posición más baja con una rapidez de 5m/s. Determina el módulo de la reacción normal en dicha posición. (g=10m/s2) (R=1m).

Determina la fuerza de contacto entre los bloques mostrados; las superficies son lisas. a) 64N b) 32N c) 48N d) 45N e) 46N

a) 3s b) 5s c) 2s d) 4s e) 1s

PROBLEMA 29

PROBLEMA 25

Calcula la rapidez angular que desarrolla la masa del péndulo físico mostrado en la figura. L=12,5 m y θ=37°.

LIC. JAIME A. HUACANI LUQUE

PROBLEMA 23

R

a) 2 m/s2 d) 5 m/s2

134

FÍSICA

5m

FÍSICA

a) 1s d) 4s

30º b) 2s e) 5s

B c) 3s

135

FÍSICA

LIC. JAIME A. HUACANI LUQUE

136

FÍSICA V

F

V F

V

LIC. JAIME A. HUACANI LUQUE →

→

F

F

F F(V)

→

∴W F = +F.d

∴W F = –F.d

A=W

∴W F= 0

W =A

F(V)

x0

→

x

•

e u q u L

Realizan un trabajo

in a c a u H e ia m

Notamos que el trabajo realizado por el oficinista se diferencia del trabajo del obrero en que este último ejerce continuamente una fuerza sobre el paquete transmitiéndole movimiento mecánico. Dicho trabajo viene acompañado de la superación de ciertas resistencias que pueden ser la gravedad, la fricción, la inercia, etc. Si no se transmite movimiento a un cuerpo, así se le aplique una fuerza no existirá trabajo mecánico por parte de dicha fuerza.

¿QUÉ ES EL TRABAJO MECÁNICO? Es el proceso de transmisión de movimientos mecánicos de un cuerpo a otro; dicha transmisión se da por medio de una fuerza.

J

Realizo un trajo mecánico porque transmito movimiento mecánico

F θ

F

in a c a u H e ia m F

X

WN = ∑ W = W

V

d

xf

Se observa:

f

J

d = xF – x0 = Ax WF = F Ax = F (xF –x0)

Y F

A

x0

xf

X

Área: A = F (xf – x0)

A = WF •

ó también:

FR: Fuerza resultante

F

x0

W = ±F × d

e u q u L V

FR

d

F4

F

Y

Siempre que la dirección de la fuerza y el de la velocidad coincide el trabajo se considera positivo. Esto significa el paso de movimientos del cuerpo “motor” al cuerpo “movido”. Si la fuerza es opuesta a la velocidad del cuerpo el trabajo es negativo. Físicamente el movimiento transmite del cuerpo “movido” al cuerpo que ejerce la fuerza. Si la fuerza es perpendicular a la velocidad el trabajo es nulo.

F1

F3

W = F × d cos θ

Consideraciones:

•

F2

cosθ

Este método gráfico, para el calcular el trabajo mecánico realizado por una fuerza constante, también se cumple cuando la fuerza varía en módulo.

→

x

TRABAJO NETO (Wneto): Es la suma del trabajo de todas las fuerzas sobre un cuerpo para un determinado tramo.

d

F : módulo de la fuerza (en N) d : distancia desplazada (en m) Unidad: 1 N × m < > Joule (J)

•

V

→

La cantidad de trabajo realizada por la fuerza se determina por la expresión.

•

forma un ángulo θ con la

 ANÁLISIS GRÁFICO ( F vs x) • Para = constante:

d

F

V

El trabajo depende de la fuerza “F” y la distancia “d” lograda en un movimiento.

 Cuando F velocidad.

xf

F1

+ W

F2

+ W

WN = W

FR

F3

+W

= FR × d

F4

137

FÍSICA

LIC. JAIME A. HUACANI LUQUE

138

FÍSICA g=10m/s2

PROBLEMAS RESUELTOS c)

PROBLEMA 01 La figura muestra un bloque de 2kg que se desplaza sobre un plano inclinado desde A hasta B. La cantidad de trabajo que realiza la fuerza de rozamiento en el tramo AB es – 40 joules. (g= 10m/s2)

F

F=23i(N)

A

in a c a u H e ia m 8m

Determine: a) La cantidad de trabajo que realiza la fuerza de gravedad entre el tramo desde A hasta B. b) La cantidad de trabajo que realiza la fuerza constante F = 23i(N) en el tramo desde A hasta B. c) La cantidad de trabajo neto en el tramo desde A hasta B.

La cantidad de trabajo hecho por la fuerza de gravedad desde A hasta B es negativo:

J mg

WA → B = − mgh = − (2)(10)(6)

b)

= − 120 joules

PROBLEMA 03

= 184 − 120 + 0 − 40

W neto

= + 24 joules

A→ B

F mg=60N

…..(1)

mg

N

Solución: Solución:

N 12

30N

50N

A N

asciende

f=12N

W

=?

Planteamos: f

b)

W

J

Sabemos que:

mg=60N

W

F

mg

∴ W F = 40.4 = 160J

Debido a que el movimiento ocurre en la horizontal.

=?

Planteamos: W

Fy = 30N

W = +F · d2

W = +100N × 8m = +800J

c)

Fx = 40N




=?

Planteamos: F

N

4m

f

WF = F × d

F=100N

37° 40N

W = –f · d1

W = –12 × 10m = –120J

PROBLEMA 02

Si el bloque de 6kg. que se muestra experimenta por parte del plano inclinado una fuerza de  rozamiento de módulo 12N y el F es una fuerza constante, entonces, desde A hacia B:

a) Determine la cantidad de trabajo de dicha fuerza de rozamiento sobre el bloque. b) Determine la cantidad de trabajo de. c) Determine la cantidad de trabajo de la fuerza de gravedad. WAF → B = Fx ⋅ dx = (23 N )(8m) = 184 joules d) Determine la cantidad de trabajo neto sobre el bloque. = + 184 J ....(2)

La cantidad de trabajo hecho por la fuerza F es positivo:

B

in a c a u H e ia m f=

N 12

µ=0

37°

f

N

f=

F

a) bloque

50N

w

F=100N

e u q u L

Un cajón de 5 Kg. es jalado una distancia de 4m en forma horizontal. Calcula el trabajo desarrollado por dicha fuerza. (g=10m/s2)

Solución:

mg

Entonces el aceleradamente.

Solución:

a)

∴ WNETO = 320 J

Reemplazando en (3) tenemos: A→ B

N

A

e u q u L

W neto

mg

WNETO = (–120)+(+800)+(–360)+(0)

La reacción normal (N) no realiza trabajo entre A y B.

C

WNETO = ∑W F

WNETO = W +W +W +W

N

6m

A

f

B

B

WNETO = ? Planteamos:

F=100N

La cantidad de trabajo neto es la suma de trabajos parciales:

neto mg WA→B = WAF→B + WA→ B + WAN→B + WAFricción →B

d)

B

v

LIC. JAIME A. HUACANI LUQUE

mg

W

= –mg · h

= –60N × 6m = –360J

PROBLEMA 04 Calcula el trabajo que realiza la fuerza F = 10N. Si el bloque se desplaza con rapidez constante de 10m/s durante 5s. desde “A” hasta “B”. F A

B

139

FÍSICA

LIC. JAIME A. HUACANI LUQUE

Solución: 10m/s

F

D:C1 (m)

PROBLEMA 01

20N

10N B

d

fk

e u q u L

i) Sabemos que: W F =F.d

500J

WNETO = WFG + wF + wN + wfK

in a c a u H e ia m g

WNETO = 240 – 10 x 3 = 210J

Conclusión : WNETO = WFR

;

PROBLEMA 08

Determine la cantidad de trabajo neto efectuado sobre el bloque al desplazarse de A hacia B si la fricción del piso sobre el bloque mide 2N.

Nos piden:

m

V0=0

µ

J

W = 300J

B

Solución:

Por el teorema del trabajo de la fuerza no conservativa (fr) y la EM.

Calcula el trabajo total o neto sobre un bloque en un recorrido de 3m. Si masa=2kg, g = 10 m/s2, µk =0,5 y F= 80 N. F 3m

J

α

mg=20N

PROBLEMA 06

m

6m/s

5m

F

Wfr = ½(4)(6)2 - mg H Wfr = 2 x 36 – 4 x 10 x 5

20m

PROBLEMA 06

Determine la cantidad de trabajo de F = 20N para un desplazamiento de 0,03 km (en Joule) F

Rpta.: ..................

B

PROBLEMA 07

3m

F=80N

liso

A

WFNC = EMfB – EMiA

µk=0,2

Rpta.: ..................

Rpta.: ..................

Determinar la cantidad de trabajo neto que se realiza sobre el cuerpo de 6kg. para trasladarlo desde A hacia B tal como muestra la figura. La fuerza F es constante. (g = 10m/s2).

W F =F.H

W F = 30.10

in a c a u H e ia m F

F=18N

PROBLEMA 03

e u q u L

Determine la potencia realizada por la fuerza F para deslizar al bloque de 20kg. lentamente en un intervalo de 2s.

10m

Calcula el trabajo que desarrolla la fuerza de rozamiento en el tramo AB. (g=10m/s2) m=4kg. A

PROBLEMA 05

PROBLEMA 02

m

Solución:

Rpta.: ..................

Rpta.: ..................

FR=Fuerza Resultante

µk=0,2

5m

0,02km

WNETO = 0 + WF + 0 +WfK

WNETO = + 80 x 3 + (-fK x d)

Calcula el trabajo desarrollado por la fuerza F = 30N para llevar el bloque de 2Kg hasta una altura de 10m. (g=10m/s2)

10m

F=10N 37º

F=20N

FK = µK.N = (0.5) x 20 = 10 N

PROBLEMA 05

F = 30N

Determine la cantidad de trabajo neto para deslizar al bloque de 4kg. de A hacia B.

N

ii) Por M.R.U: d = v . t d = 10m/s.5s = 50m Reemplazando en (1) : W F = 10N.50m =

F

PROBLEMA 04

Determine la cantidad de trabajo en Joules realizado por F sobre el bloque en el desplazamiento de A hacia B.

80N

A

LIC. JAIME A. HUACANI LUQUE

PRÁCTICA CALIFICADA

Solución:

5s

10m/s

140

FÍSICA

Determine el trabajo realizado por la fuerza de gravedad, cuando el bloque pasa desde “A” hasta “B”. (Masa del bloque = 2 kg) ( g = 10 m / s 2 ) A

4m

Rpta.: ..................

3m

37º

µk

∴Wfr = 72 – 200 = -128J Rpta.: ..................

B

141

PROBLEMA 08

LIC. JAIME A. HUACANI LUQUE

Si las fuerzas F1 y F2 tienen igual magnitud de 15N. Determinar la cantidad de trabajo neto para un recorrido de 2m. F1 V

Rpta.: ..................

PROBLEMA 01

PROBLEMA 09

B g=10m/s2

Rpta.: ..................

PROBLEMA 13

F

e u q u L

7m

PROBLEMA 14

Un bloque de 6 kg se desplaza por un terreno

Rpta.: ..................

PROBLEMA 10

Determine la cantidad de trabajo neto, realizado sobre el bloque de 10 kg en un recorrido de 5m. ( F1 = 50 N ; F2 = 30 N y no existe rozamiento)

2

horizontal con una aceleración de 2 m/s . Determine la cantidad de trabajo neto para un recorrido de 5m. Rpta.: ..................

F1

J

V

El ladrillo de 2,5kg. desciende tal como se muestra. Determine la cantidad de trabajo realizado por la fuerza de gravedad sobre el bloque en un tramo de 8m. (g=10m/s2).

Rpta.: ..................

a) 10 J d) 50 J

b) 20 J e) 40 J

in a c a u H e ia m d=5 m b) –70 J e) 45 J

PROBLEMA 06

c) 75 J

8m

PROBLEMA 03

Si el trabajo neto realizado sobre el bloque para trasladarlo de A hacia B es 35 kJ, determine la distancia d si la fuerza de rozamiento de 3 N es constante en todo el recorrido. 10 N

a) 200 J d) 320 J

liso

b) 180 J e) 400 J

c) 280 J

PROBLEMA 07

A) 3 km d) 6 km

J

d

b) 4 km e) 7 km

c) 5 km

En el diagrama, un bloque de 40N de peso, se somete a la acción de un sistema de fuerzas, donde: F1 = F2 = F3 = F4 = 20 N . Calcular la cantidad de trabajo neto de las 5 fuerzas sobre el bloque sabiendo que es desplazado 5m. F3

F

a) 250 J d) 350 J

F2

F1

37º

Rpta.: ..................

c) 30 J

El bloque de 4 kg se abandona en A y se desliza sobre la superficie lisa como se muestra. ¿Qué cantidad de trabajo neto se desarrolla sobre el bloque en dicho tramo? (g = 10m/s2).

Determine el trabajo realizado por la fuerza de módulo 80 N para trasladarlo 5 m.

PROBLEMA 11

e u q u L m

g=10 s2

B

Determine el trabajo neto realizado sobre el bloque de 7 kg para trasladar el bloque de A hacia B. 50 N 37º µ=0,25

a) 70 J d) 50 J

A

c) 15 N

PROBLEMA 04

Determine la cantidad de trabajo neto para un recorrido de 6m. (M = 8 kg). µ=0,5 100N M

Rpta.: ..................

0,1 km b) 20 N e) 5 N

PROBLEMA 02

PROBLEMA 15

37º

liso

a) 40 N d) 10 N

Rpta.: ..................

A

Determine el trabajo realizado por la fuerza de gravedad al ir de A hacia B si la esfera de 5 kg es soltada en A.

5m

Si un cuerpo cae con M.R.U., determine la cantidad de trabajo hecho por la fuerza de gravedad, en un descenso de 12m, si el aire ejerce una resistencia de 30N.

in a c a u H e ia m 9m

PROBLEMA 05

Determine el módulo de la fuerza F que realiza un trabajo de 2 kJ para trasladar un bloque de 5 kg de A hacia B.

F2

Determine la cantidad de trabajo realizado por la fuerza de gravedad y la fuerza constante “F” cuando el bloque pasa desde “A” hasta “B”. (Masa del bloque = 5 kg)

LIC. JAIME A. HUACANI LUQUE

PROBLEMAS PROPUESTOS

PROBLEMA 12

Un cajón debe moverse recorriendo 2m en una mesa, jalándolo con una fuerza de 10N, que forma un ángulo constante de 37º con la horizontal. Determine la cantidad de trabajo que efectuará esta fuerza.

F2

142

FÍSICA

37 º

FÍSICA

5m

b) 300 J e) 400 J

c) 320 J

a) 260 J d) 60 J

53º

b) 160 J e) cero

F4

c) 100 J

143

FÍSICA

LIC. JAIME A. HUACANI LUQUE

Un cuerpo de 2 kg lanzado en “A” describe la trayectoria que muestra la figura. Hallar la cantidad de trabajo de la fuerza gravitacional desde A hasta B. B

V1

5m

V2

F 3m 30º

A a) 120 J d) 80 J

b) 100 J e) 150 J

PROBLEMA 09

A

b) 100 J e) – 49

c) – 98 J

c) 60 J

e u q u L

Determina la cantidad trabajo neto para un 2

recorrido de 4m. (M = 6kg; g = 10m/s ) F=50N

Cuando se contrata un trabajo, sin importar el tiempo que tarden en hacerlo, se compra sólo trabajo. Por ejemplo, si contratamos a una persona para que pinte nuestra casa sin indicarle el tiempo, ella lo podrá realizar en 1 día, en un mes o en un año, con tal de que lo pinte todo. Pero si se compra el trabajo de un día y se quieren hacer las cosas lo más rápido posible, lo que pretendemos es conseguir una cantidad de trabajo por hora.

in a c a u H e ia m 2

el obrero en (kJ) (g = 10 m/s ) a) 7,5 b) 2,1 d) 1,3 e) 2,5

c) 2,7

53º

a) 120 J d) 40 J

Un cuerpo es afectado por una fuerza que varía con el desplazamiento x, tal como indica el gráfico. Determine la cantidad de trabajo realizado por dicha fuerza en los 5 primeros metros de desplazamiento.

10

J 0

Pero si: θ =cero, entonces……. P = F.V

a) 10 J d) 25 J

F

b) 200 J e) 500 J

c) 300 J

PROBLEMA 11

5

b) 15 J e) 30 J

x(m)

En el gráfico F versus x determine la cantidad de trabajo hecho por la fuerza entre x = 2m y x = 5m. F(N)

c) 20 J

50

PROBLEMA 11 Determine la cantidad de trabajo efectuado por F = 20N, para desplazar al bloque de 2kg desde 2

“A” hasta “B”. (g = 10m/s )

x(m)

0

a) 100 J d) 120 J

in a c a u H e ia m

Pot. = F.v.cosθ

c) 160 J

El bloque mostrado de 10 kg se desplaza 6m con la velocidad constante la cantidad de trabajo realizado por la fuerza F es (µk = 0,5) .

a) 100 J d) 400 J

F

θ

M

b) 80 J e) 240 J

e u q u L

POTENCIA INSTANTÁNEA Es el tipo de potencia que nos informa de la rapidez con que se realiza un trabajo en un intervalo de tiempo muy corto. Si la potencia es mecánica, su valor instantáneo se determina así:

V

PROBLEMA 10

F(N)

En el sistema internacional (S.I.) la unidad de potencia es el watt (W), que se define como un joule de trabajo en cada segundo: 1W = 1 J/s.

µ=0,1

PROBLEMA 09 Un obrero de 80 kg sostiene un bloque de 45 kg y sube lentamente por una escalera a una altura de 6m. Calcular la cantidad de trabajo realizado por

PROBLEMA 10

LIC. JAIME A. HUACANI LUQUE

B

PROBLEMA 08

a) – 100 J d) 98 J

144

FÍSICA

b) 105 J e) 50 J

5

c) 110 J

Este el lenguaje práctico de la industria. La potencia es justamente eso, la rapidez de hacer un trabajo.

POTENCIA MEDIA La potencia media es aquella que nos indica la rapidez con que en promedio se efectuó un trabajo determinado. POTENCIA=

TRABAJO REALIZADO TIEMPO EMPLEADO EN HACERLO

J

¡Fórmula de potencia!

Pot=

W t

EFICIENCIA (n) El trabajo útil o salida de potencia de una máquina nunca es igual a la de entrada. Estas diferencias se deben en parte a la fricción, al enfriamiento, al desgaste, contaminación,….etc. La eficiencia nos expresa la razón entre lo útil y lo suministrado a una máquina:

n=

(Pot) útil (Pot) suministrada

145

FÍSICA ESQUEMA SIMPLIFICADO

MAQUINA

P n= 3 P1

(HP = 1 horse power)

1 Kilowatt

= 1 KW = 103 W

1 Mega watt

= 1 MW = 106 W

e u q u L

1 Caballo de Fuerza

n=eficiencia 1 Caballo Vapor

TRABAJO REALIZADO TIEMPO

in a c a u H e ia m

PROBLEMAS RESUELTOS

PROBLEMA 01

= 1 Horse Power = 1 HP = 745 W

P1 = P2 +P3

PROBLEMA 02

Un motor en su funcionamiento absorve 800w de potencia, debido al calentamiento de sus piezas se libera potencia en forma de energía y su valor es 320w. Calcula su eficiencia.

PRÁCTICA CALIFICADA PROBLEMA 01

J

480 × 100% %n = 800 %n =

F

Rpta.: ..................

PROBLEMA 02

e u q u L v=1m/s

= 1 c.v. = 735 W A

in a c a u H e ia m

Rpta.: ..................

Determine la potencia consumida por el motor cuya eficiencia es 60% si se sabe que el bloque de 6kg. es elevado con velocidad constante. (g = 10m/2).

PROBLEMA 05

El bloque de 8 kg es llevado desde A hasta B con rapidez constante mediante la acción de la fuerza de 20 N. Si demora 40 s, ¿qué potencia desarrolla la fuerza de rozamiento? F=20N

v=2m/s

80m

Rpta.: ..................

800W = P.U. + 320W

P.U ×100% P.E

B

F

F

PE = PU + PP ........(1)

%n =

El bloque de 20 kg es levantado verticalmente con rapidez constante de 1 m/s. ¿Qué potencia se desarrolla sobre el bloque en el tramo AB)? (g = 10m/s2). →

Solución:

Además:

PROBLEMA 04

El bloque de 10kg. es llevado desde A hasta B sobre la superficie mostrada con rapidez constante de 4m/s mediante la acción de la fuerza constante de módulo F = 80N. ¿Qué potencia desarrolla dicha fuerza?

Por conservación de energía:


P.U. = 800 – 320 = 480W

LIC. JAIME A. HUACANI LUQUE

1KW.h = (1000W)(3600s) = 3,6.106 J 1 HP = 746W

Pperdida (P2)

PUTIL (P3 ) =

146

FÍSICA

EQUIVALENCIAS ÚTILES

Pútil (P3 )

Pabsorvida (P1)

LIC. JAIME A. HUACANI LUQUE

PROBLEMA 06

Rpta.: ..................

J

PROBLEMA 03

El generador eléctrico de eficiencia 80% alimenta a un motor de 75%. ¿Qué potencia consume el generador si la potencia útil del motor fue de 240 kW?

El bloque de 10 kg se abandona sobre el plano inclinado rugoso. Si la fuerza de rozamiento tiene un módulo de 20 N, ¿qué potencia neta se desarrolla sobre el bloque en el tramo AB? (g = 10m/s2) vA=0 A

480 % = 60% 8 B

∴%n = 60% Rpta.: ..................

Rpta.: ..................

m 12

147

FÍSICA

LIC. JAIME A. HUACANI LUQUE

148

FÍSICA

a) 12watts d) 19

PROBLEMAS PROPUESTOS PROBLEMA 01

F

b) 20 e) 50

¿Cuál es la potencia de un motor que eleva 100litros de agua por minuto a una altura de 6m? (g = 9,8m/s2 ) a) 58watts b) 20 c) 30 d) 98 e) 78

PROBLEMA 05

d = 4m a) 40watts d) 10

d = 12m

PROBLEMA 04

Si el bloque es llevado gracias a la fuerza F = 50N durante 5s. Hallar la potencia desarrollada por “F”.

c) 30

PROBLEMA 02

37º

e u q u L

Una grúa es capaz de levantar una masa de 100kg a una altura de 15m en 5s. ¿Qué potencia expresada en watts suministra la màquina? (g = 9,8m/s2 ) UNMSM a) 5400 b) 2080 c) 3000 d) 1980 e) 2940

in a c a u H e ia m

Si : F = 50N y lleva al bloque una distancia de 10m, hallar la potencia desarrollada por “F”. Considere el tiempo de 2s. F

PROBLEMA 06

Una persona de 60kg sube 20m por las escaleras de un edificio en 4min. ¿Qué potencia en watts desarrolló? (g = 10m/s2 ) a) 42 b) 150 c) 30 d) 50 e) 180

a) 48watts d) 40

b) -45 e) 38

PROBLEMA 03

b) 200 e) 50

c) 300

Encuentra la potencia (en Kw) de una grúa sabiendo que eleva 60 sacos de harina de 100kg cada uno hasta una plataforma ubicada a 3m de altura en 1 minuto (g = 10m/s2 )

PROBLEMA 09

a) 390watts d) 400

J

c) 380

a) 420watts d) -450

b) 130 e) -150

b) 3 e) 7

c) 4

PROBLEMA 08 b) 40 e) 60

c) 100

El bloque es lanzado sobre la superficie rugosa avanzando 12m en 4s. Si el rozamiento que le afecta fue de 20N, hallar la potencia desarrollada por dicho rozamiento.

a) 1/7 d) 1/4

e u q u L

b) 1/5 e) 1/18

Una máquina absorve 48 watts de potencia y realiza un trabajo de 160J en 5s. ¿Cuál es la eficiencia de esta màquina? a) 4/5 b)2/3 c)3/4 d) 5/8 e) 8/9

PROBLEMA 13 En el problema anterior, ¿Cuál es la potencia que pierde la máquina?

c) 1/6

Halle la potencia desarrollada por “F” para que el bloque de 10kg suba por por el plano inclinado a velocidad 5 m/s constante. (g = 10m/s2 ) 1/4 F 37º

c) 300

Un motor consume una potencia de 1,2kW y es capaz de elevar cargas de 108 N de peso a 10m/s. ¿Cuál es la eficiencia del motor? a) 90% b) 50 c) 30 d) 50 e) 80

J

c) 16

PROBLEMA 14

in a c a u H e ia m

El bloque mostrado avanza a velocidad constante V = 5m/s , por medio de F = 30N. ¿Cuál es la potencia que desarrolla el rozamiento? v = 5m/s

PROBLEMA 12 a) 9 d) 5

a) 50watts d) 80

b) 450 e) 360

b) 15 e) 18

La grúa mostrada absorve una potencia de 2000watts, y está levantando el bloque de 100N a la velocidad de 5m/s. Entonces su eficiencia es :

PROBLEMA 15

PROBLEMA 10

PROBLEMA 11

Un vendedor ambulante aplica una fuerza de 100N para empujar un carrito, una distancia de 60m. Hallar la potencia desarrollada al cabo de 1minuto que duró el recorrido.

c) -60

El bloque mostrado avanza a la velocidad de 2m/s gracias a la fuerza F = 200N. Hallar la potencia de F. v = 2m/s

PROBLEMA 07

a) 100watts d) 150

LIC. JAIME A. HUACANI LUQUE

a) 200watts d) 500

b) 300 e) 100

c) 400

PROBLEMA 16

El bloque de 20 kg es llevado desde A hasta B sobre el plano horizontal con una fuerza de F = 100 N. ¿Qué potencia desarrolla dicha fuerza si la fuerza de rozamiento tiene un módulo de 40 N?

F=100 N

rugoso

vo=0

a) 100 W d) 400 W

6m

b) 200 W e) 500 W

c) 300 W

149

FÍSICA

LIC. JAIME A. HUACANI LUQUE

150

FÍSICA

Energía Potencial Gravitatoria (EPG) Forma de energía que posee un cuerpo debido a su interacción gravitacional con la Tierra. Depende de la posición vertical respecto de la superficie ó nivel de referencia (N.R) horizontal elegido.

LIC. JAIME A. HUACANI LUQUE

Energía Mecánica (EM) Es la energía total debido al movimient o e interacción de un cuer po con los demás cuerpos.

C.G.

EPG = +mgh Tengo mucha energía

in a c a u H e ia m

• “La energía es la medida escalar de las diversas formas de movimiento e interacciones de la materia” • Sin embargo el concepto extraído del que hacer diario y que es muy práctico dice: “La energía es aquella cantidad que posee o puede adquirir un cuerpo dotándolo de capacidad para realizar trabajo”.

Por ejemplo de la figura del obrero emplea su energía en realizar trabajo, cuando se realiza trabajo, la energía del cuerpo varía por tanto dicha variación es igual a la cantidad de trabajo.

∆E = W

∆E = E final – E inicial

J

E. Eléctrica: 200J

Y

• “En todo proceso de la naturaleza la energía no se crea ni se destruye, sólo cambia de forma (se transforma) pero se conserva en cantidad total al incio y al final del proceso”.

e u q u L

E. luminosa: 170 J

FORMAS USUALES DE ENERGÍA: Energía Cinética (EC) Es aquella que posee todo el cuerpo (o sistema) en movimiento. Depende de su rapidez.

EC =

1 mv2 2

N.R.

h Superficie terrestre

EM = EC + EPG + EPE Nivel de Referencia (N.R.)

v m m : masa (en kg) v : rapidez (en m/s) EC → en Joules (J)

Energía Potencial Es quella que almacenan los cuerpos y que se determina por la posición mutua entre los cuerpos en interacción o bien de sus componentes (moleculas; átomos).

N.R.: Nivel de referencia

in a c a u H e ia m E PG = mgh

m : masa (en kg)

g = 9,8m/s2 ó 10m/s2

h : altura medida desde el nivel de referencia (N.R) elegido,

• En la naturaleza la energía se manifiesta en innumerables formas:

e u q u L h

E. luminosa: 30 J


E TOTAL FINAL = E TOTAL INICIAL

Unidad en el S.I.: Joule (J) Otras: Caloría (cal), electronvoltio (eV); BTU; kilowatt - hora (kWh).

PRINCIPIO DE CONSERVACIÓN TRANSFORMACIÓN DE LA ENERGÍA

v

Me quedé sin energía

hasta el centro de gravedad (C.G) del cuerpo.

CONSERVACIÓN DE LA ENERGÍA MECÁNICA Si sobre un cuerpo o sistemas sólo se realiza trabajo por parte de la fuerza de gravedad y/o la fuerza elástica entonces su energía mecánica se conserva. Dichas fuerzas se denominan fuerzas conservativas:

E FINAL = E INICIAL = Constante

• Algunos casos de conservación de la “EM”

Energía Potencial Elástica (EPE) Todo cuerpo elástico (resorte, liga) al deformarse adquiere energía potencial elástica (EPE)

J

Caída libre: Sólo existe mg W = mgh ∴EM= cte.

x

liso V R

2 E PE = 1 K x 2 x: longitud que se deforma el resorte (cm; m)  N N K: constante de rigidez del resorte  ;   cm m 

R V El piso no realiza trabajo: WR = O sólo W = mgh ∴EM= cte.

151

FÍSICA

LIC. JAIME A. HUACANI LUQUE

152

FÍSICA

a) c)

PROBLEMA 01 Un bloque parte del reposo en A, resbala por una rampa AB , perdiendo en este tramo, por efecto del rozamiento el 10% de su energía mecánica. En el punto B inicia un movimiento parabólico, tal que, en el punto C su velocidad es horizontal de módulo 5 m/s. La masa del bloque e 2 kg. (g = 10 m/s2)

VA =0

A

C

10m

5m/s H

Determine: a) La cantidad de energía mecánica en A respecto de la línea de referencia. b) La cantidad de energía mecánica en B y la cantidad de trabajo realizado por la fuerza de rozamiento en el tramo de A hasta B. c) La altura máxima H que alcanza respecto de la línea de referencia.

Solución:

En el punto A la rapidez es nula, por consiguiente no hay energía cinética. La cantidad de energía mecánica es: EM(en A) = Ec ( A) + E p ( A)

A

J

La cantidad de energía mecánica en B es el 90% de la cantidad de energía mecánica en A. EM (en B) = 90% EM(en A) = 0,90 (200J) = 180 joules

La cantidad de trabajo que realiza la fuerza de rozamiento en el tramo AB es el 10% de la cantidad de energía mecánica en A. fricción = − 10% EM (en A) A→ B

W

= – 0,10 (200J) = – 20 joules

1s

80 m

C v=20m/s h2

N.R.

En “C”:

E M ( C )= 1 mvC+mgh 2 2 2


E M ( A )=3×10×80=2 400 J

b)

En B: 1 segundo después:

Pero:

e u q u L

( vO + v F )

t

E M ( B ) = E C ( B ) + E PG ( B )

d AC =

2 E M ( B )= 1 mvB+mgh1 ........ (1) 2

⇒ d AC = 2400 J

Pero: d AB =

(vO + vF ) × t ( 0 + 10 ) = ×1 2

2

d)

2

=

( 2 + 20 ) 2 2

La energía mecánica es la misma en

in a c a u H e ia m

cualquier instante, es decir, se conserva.


d AB=5 m.: h1=80–5=75 m.

Y esto ocurre porque sólo existe trabajo

En (1):

de la fuerza de gravedad

B v=10m/s

c)

E M ( A )=Ep · g=mgh

v=0; m=3 kg

h1

D

2

En A:

1s

= 0 + mghA = (2)(10)(10)=200 joules ...(1)

b)

e u q u L

Se suelta una sandía de 3 kg en el aire, desde el reposo y desde una altura de 80m. respecto del 2 piso. (g=10m/s ). Despreciando la resistencia del aire y asumiendo el piso como nivel de referencia: a) Determine su energía mecánica al ser soltada. b) Demuestre que su energía mecánica es 2400J un segundo después de ser soltada. c) Demuestre que su energía mecánica es 2400J dos segundos después de ser soltada. d) Explique qué sudcede con la energía mecánica en cualquier instante.

in a c a u H e ia m B

a)

Aplicamos el principio de conservación de la energía mecánica en el tramo de B a C. EM(en B) = EM (en C) 1 EM (en B) = mVC2 + mghC 2 1 180 = (2)(5)2 + 2(10)(H ) 2 180 = 25 + 20H Resolviendo tenemos: H = 7,75 m

PROBLEMA 02

E M ( B )= 1 × 3 × 10 + 3 × 10 × 75 = 2 400 J 2

Solución:

PROBLEMAS RESUELTOS

LIC. JAIME A. HUACANI LUQUE

J

153

FÍSICA

LIC. JAIME A. HUACANI LUQUE

154

FÍSICA

PRÁCTICA CALIFICADA

PROBLEMA 12

K=200N/m

m

PROBLEMA 01 Un melón de 800g. es lanzado al vacío con la

4 0,

37º v

→

velocidad v =–5 ɵj m/s . Determine su energía cinética al cumplirse 2 segundos desde su → 2 lanzamiento.  g =–10 ɵj m/s    Rpta.: ..................

PROBLEMA 05

PROBLEMA 02 Una esfera es abandonada en A moviéndose sobre la supreficie lisa. ¿Con qué rapidez llega a B, en m/s? (g = 10m/s2). A

e u q u L

Si el bloque de 1,25 kg es soltado en A, determine la máxima deformación del resorte. (K = 300N/m).

in a c a u H e ia m

h=3m

2m

A

liso Rpta.: ..................

liso

PROBLEMA 03

PROBLEMA 06

El bloque se abandona en A sobre la superficie lisa. Determine cuánto demora en ir de B a C. (g = 10m/s2).

Si la esfera es soltada en A, determine su rapidez al pasar por B. (g = 10m/s2).

J A

1,8m

1m

37º

B

Rpta.: ..................

PROBLEMA 07 Rpta.: ..................

PROBLEMA 04 Si el bloque de 2 kg comprime al resorte como máximo 0,4m. Determine la rapidez v del bloque.

El collarín de 1 kg se encuentra soldado al resorte de constante de elasticidad K=260N/m. Si se abandona en A cuando el resorte no está deformado, ¿qué rapidez presenta al pasar por B? (g = 10m/s2).

Suponga una persona de 75 kg viajando dentro de un auto a 72 km/h y sin cinturón de seguridad. De pronto se produce un accidente de tránsito y la persona salió disparada con consecuencias fatales, esto es debido a que equivale caer verticalmente desde una altura de (en m): Rpta.: ..................

37º

PROBLEMA 13 Rpta.: ..................

PROBLEMA 08 Un cuerpo de 5 kg cae libremente desde una altura de 3m, determine la cantidad de energía cinética del cuerpo en el momento de llegar al suelo. (g = 2

10 m/s )

Rpta.: ..................

PROBLEMA 10

Determine la cantidad de energía cinética (en k) de una bala de fusil de masa 50 gramos que sale del cañón del arma con rapidez de 900 m/s. 2

J

(g = 10m )

Rpta.: ..................

e u q u L

Se lanza un proyectil de 1 kilogramo de masa desde el suelo con velocidad inicial 3i+4j(m/s). ¿Cuál es la variación de la cantidad de energía cinética (en J) entre el punto de lanzamiento hasta que alcanza la altura máxima?

in a c a u H e ia m

Rpta.: ..................

Un resorte de constante elástica K = 20 N/cm se encuentra estirado 10 cm. Determine la cantidad de energía. Determine la cantidad de energía potencial elástica almacenada en el resorte (en J):

120cm

Rpta.: ..................

B

PROBLEMA 09

Rpta.: ..................

B

LIC. JAIME A. HUACANI LUQUE

Rpta.: ..................

PROBLEMA 14

Se lanza un proyectil de 0,3 kilogramos desde el suelo, en el instante t = 0, con velocidad 30i+70j(m/s). ¿Cuál es la cantidad de la energía cinética (en J) en el instante t = 4s? Rpta.: ..................

PROBLEMA 15

El bloque se abandona en “A”. ¿Qué tiempo tardará en recorrer el tramo horizontal 2

BC = 3m? (g = 10 m/s ) No hay rozamiento. A

1,8m

PROBLEMA 11

Un avión de papel de 50 gramos tiene rapidez 8 m/s en el instante que se encuentra a 3 metros del piso. Determine la cantidad de energía mecánica (en J) del avión respecto del piso. 2

(g = 10m ) Rpta.: ..................

B

Rpta.: ..................

C

155

FÍSICA

LIC. JAIME A. HUACANI LUQUE

PROBLEMAS PROPUESTOS PROBLEMA 01 Un bloque de 8 kg se desplaza por acción de la fuerza F = 50N. Sabiendo que el coeficiente cinético es 0,2 entre el bloque y el piso horizontal, determine la cantidad de trabajo realizado por “F” al cabo de 4s de estar actuando. El bloque inicia 2

su movimiento desde el reposo. (g = 10 m/s ) F 37º

a) 20 J d) – 10

PROBLEMA 02

2m Al bloque de la figura se le aplica una fuerza externa F que vence la resistencia que ejerce el resorte, logrando deformarlo una distancia x = 1,2m, la fuerza externa vario desde cero hasta F = 80 N. Calcular la cantidad de trabajo desarrollado por el resorte. Desprecie el rozamiento.

c) 62 J

in a c a u H e ia m

En la figura un bloque de 9 kg es sometido a la acción de un sistema de fuerzas, donde: F1 = 50 N y F2 = 40 N . Calcular la cantidad de trabajo que desarrolla para un recorrido “d”, sabiendo que realiza una cantidad de trabajo de + 400J. F2

F1

60º

37º

b) – 200 J e) – 150 J

J

PROBLEMA 03

e u q u L K

F

c) 100 J

Un bloque de 2kg se desplaza desde A hasta B por acción de la fuerza F = 20 i (N). Determinar el trabajo neto desde A hasta B sabiendo que la fuerza de rozamiento realiza una cantidad de

b) –150 J e) 200 J

6m

4m K

A

a) 179J d) 280

Calcule la energía cinética del automóvil de masa 600kg.

e u q u L

b) 240 e) 218

PROBLEMA 11

c) 320

Calcule la EM en (A) y (B) para el bloque de 2kg.

in a c a u H e ia m (A)

Vi = 0

V = 20m/s

b) 140 e) 118

B

b) 20 m/s e) 50 m/s

PROBLEMA 08

a) 7KJ d) 5

J

PROBLEMA 09

c) 30 m/s

b) 4 e) 18

a) 50 y 30J d) 16;16

(B)

c) 9

c) 120

PROBLEMA 10 Calcule la energía mecánica del avión de juguete de 4kg respecto del suelo.

b) 40;20 e) 80,16

c) 60;60

PROBLEMA 12

Evalúe la energía mecánica del bloque de 4kg cuando pasa por la posición mostrada.

Calcular la energía potencial gravitatoria con respecto al piso de una piedra de 4kg ubicada a una altura de 3m.(g =10m/s2 ) b) 140 e) 118

V = 4m/s

c) 120

Encontrar la energía cinética de un vehículo de 20kg cuando alcance una velocidad de 72km/h.

a) 79J d) 155

B

a) 10 m/s d) 40 m/s

c) –100 J

PROBLEMA 07

a) 120KJ d) 155

La figura muestra una partícula m = 1 kg atada a un resorte de longitud natural 3m y constante elástica K = 200 N/m. La partícula se abandona en la posición A y puede moverse libremente sin fricción a través de un riel de forma eclíptica. Si el sistema está contenido en un plano horizontal, determinar la rapidez de la partícula cuando pasa por la posición “B”.

2

10m

a) 100 J d) 150 J

4m

F

F

5m

x

P.E. Posición de Equilibrio a) No puede calcularse b) 48 J c) 96 J d) – 96 J e) – 48 J

trabajo de – 80 J. (g = 10 m/s )

5m

20m

PROBLEMA 05

9kg

a) 200 J d) – 100 J

c) 0

10m/s

Se suelta un bloque de 1 kg desde el punto A. ¿Cuál es la enregía cinética de dicho bloque al pasar por C?

PROBLEMA 04

P.E.

b) 720 J e) 800 J

LIC. JAIME A. HUACANI LUQUE

PROBLEMA 06

b) – 20 e) 10

8kg

a) 72 J d) 620 J

156

FÍSICA

a) 112J d) 115

4m/s 2m

b) 120 e) 108

c) 122

PROBLEMA 13 El bloque de masa 4kg se suelta en (A). ¿Con qué velocidad llega al pasar por (B)?

157

FÍSICA A

liso

V

B c) 22

b) 10 e) 8

Se lanza una pelota de 0,5kg verticalmente hacia arriba, con una velocidad de 20m/s. Calcular su energía potencial gravitatoria cuando alcance su máxima altura (g = 10m/s2 ) a) 100J b) 140 c) 120 d) 170 e) 110

PROBLEMA 18

PROBLEMA 14

B

A

in a c a u H e ia m

V= 30m/s

a) 100J d) 70

a) 32m d) 35

b) 50 e) 48

PROBLEMA 15

J

¿QUÉ ES LA PRESIÓN? Para responder a ello; consideramos lo siguiente: dos ladrillos de 2 kg cada uno se encuentran apoyados sobre un colchón de espuma; tal como se muestra:

2m

b) 40 e) 80

Determinar la energía mecánica de un avión de 2.103 kg que vuela a razón de 40m/s a una altura de 200m. (g = 10m/s2 ). a) 1600KJ b) 4000 c) 5600 d) 7020 e) 1800

B

40m

b) 5 10

d) 30 5

e) 50 3

c) 45

Notamos entonces que la fuerza que ejerce el ladrillo sobre su base de apoyo en el caso(2) se distribuye en una menor superficie que en el caso(1), entonces cada una unidad de área de la base en el caso(2) soporta mayor fuerza; por ello el colchón experimenta una mayor fuerza; por ello el colchón experimenta una mayor deformación. Luego, para caracterizar la distribución de una fuerza normal sobre una superficie, empleamos una magnitud tensorial denominada presión (P); la cual se define matemáticamente así: F P= N A

e u q u L

N : Pascal(Pa) m2 Donde: FN: Fuerza normal a la superficie. A: Área de la superficie.

Unidad:

PRESIÓN DE UN LÍQUIDO EN REPOSO (PRESIÓN HIDROSTÁTICA)

Consideremos un recipiente que contiene agua; tal como se muestra.

ρL h

A

FN=20N

200m

FN=20N

J

Con un bloque de 0,5kg de masa se comprime un resorte de constante elástica “K”, en 0,10m al soltar el bloque se mueve sobre la superficie horizontal sin rozamientos, según el gráfico, colisionando finalmente en el punto “P”, si se considera que g= 10m/s2 , el valor de “K” en N/m es : x

PROBLEMA 16 Un móvil de 3kg parte con una velocidad de 2m/s y acelera a razón de 2m/s2. Calcular la variación de su energía cinética al cabo de 5 s. a) 420J b) 240 c) 220 d) 270 e) 210

(2)

¿QUÉ OBSERVAMOS? Notaremos que el caso (2) el ladrillo se hunde más que de el caso (1). Pero, ¿Cómo es posible que ocurra esto si en ambos casos la fuerza que ejercen los ladrillos sobre el colchón es la misma? Para responder adecuadamente es necesario hacer una separación imaginaria en cada caso.

PROBLEMA 20

a) 3 10 m/s

LIC. JAIME A. HUACANI LUQUE

in a c a u H e ia m (1)

c) 20

PROBLEMA 19

V

140m

10m

¿QUÉ ES UN FLUIDO? Entendemos por fluido a toda sustancia que tiene la propiedad de expandirse libremente (líquido o gas), de adoptar fácilmente la forma del recipiente que lo contiene y una de sus propiedades más importante es la de ejercer y transmitir “presión” en todas las direcciones.

c) 45

Si Betito de 20kg es impulsado en “A” con velocidad inicial de 50m/s, hallar la velocidad final con la que pasará por “B” 50m/s A

e u q u L

Encontrar la variación de energía potencial gravitatoria que experimenta el cuerpo de 0,5kg al ir de la posición “A” hasta “B” (g=10m/s2 ).

El bloque mostrado se lanza desde (A) con velocidad de 30m/s. ¿Hasta que altura màxima logrará subir? liso

A

158

FÍSICA

PROBLEMA 17

5m

a) 12m/s d) 15

LIC. JAIME A. HUACANI LUQUE

FN=20N

5N

5N 5N 5N

FN=20N 10N 10N

Luego colocamos cuidadosamente una moneda en el fondo del recipiente, entonces podemos notar que por encima de la superficie de la moneda existe una columna de líquido que la “presiona” al apoyarse en ella contra la base del recipiente.

mg

h

A FN

1m 1m a) 250 d) 300

b) 100 e) 180

c) 240

1µ

1µ

1µ

FN

1µ A

159

FÍSICA

Hagamos una separación imaginaria entre la columna de líquido y la moneda. Luego la presión de la columna de líquido sobre la moneda será.

PH =

FN A

líquido, se tiene:

∑ F (↑ ) = ∑ F (↓)

FN = mg m → Masa de la columna del líquido por encima de la moneda. En β: PH =

Si hacemos un pequeño orificio en la pared vertical del recipiente; nótese que el chorro de agua que sale del agujero 2, logra un mayor alcance que elchorro que sale del agujero 1 debido a la mayor presión (siendo 1 y 2 puntos cercanos).

... (β)

Para el equilibrio mecánico de la columna de

LIC. JAIME A. HUACANI LUQUE

•

PARA UN GAS La presión es la misma en todos los puntos cuando se tienen pequeñas cantidades del gas. Sin embargo en la atmósfera, la presión que ésta nos ejerce depende de la altura respecto del nivel del mar a la cual nos encontramos.

mg ρLiq V g = A A hAg PH = ρLiq A

in a c a u H e ia m

Simplificando A obtenemos: PH = ρLiq hg Donde:

PH: Presión hidrostática

Si se desea conocer la presión total en la cara de la moneda, debemos tomar en cuenta la presión debido a la atmósfera que se transmite a través del líquido y se manifiesta sobre la cara de la moneda.

P

GAS

P

P

P

J P1

H2O P2 P3 P4

P1 P2

P4

P3

(1) (2)

Vasos comunicantes Línea isóbara

A

B

En A: En B:

C

PRINCIPIO DE PASCAL Como ya hemos planteado, los sólidos transmiten presión sólo en la dirección de la fuerza que se aplica, en cambio los fluidos debido a la gran movilidad de sus partículas “transmiten la presión adicional que se les comunica en todas las direcciones y con igual valor”.

B

PA = Patm + PA = Patm + ρLíqghA PB = Patm + PB = Patm + ρLíqghB

Líquido

P1 =8Pa

'

¡La presión adicional (2Pa) se transmite en todas las direcciones y con igual valor!

P0 P0 P0

P0

e u q u L

P0

P0

P0

P0

P0

P0

P0

P0

F2 P 0

P0

P0

P0

P0

Cuando, sobre el pistón de área A1 se aplica una fuerza F1, el líquido transmite una presión adicional P0 a todos los puntos del recipiente en contacto con él.

P0 =

F1 ... (1) A1

Luego sobre el pistón de área “A2” el líquido le ejerce una fuerza adicional. F2 = P0 A2 ... (2) Ahora; reemplazamos (1) en (2):

F  F2 =  1  · A 2 ⇒  A1 

A  ∴ F2 =  2  · F1  A1 

F=2N

J P1

Notemos: como A2 > A1; entonces F2 > F1; esto significa que la prensa hidráulica multiplica la fuerza. Este sistema es muy utilizado en los grifos para elevar autos; en los ascensores, etc.

1m 2

Líquido

P2=8Pa

∴ PB – PA = ρLíqg [ hB − h A ]

“La diferencia de presiones en un líquido es numéricamente igual al producto de la densidad del líquido, gravedad y la diferencia de profundidades” y con ello se deduce que:

'

P1 = 4 P a y P2 = 10 P a

in a c a u H e ia m Pistón 1m 2

ρL A

Luego, la nueva presión será:

A1

P1=2Pa

hB

LIC. JAIME A. HUACANI LUQUE

Aplicación: En la prensa Hidráulica

PA = PB = PC

P

hA

Al nivel del mar: Patm = 1atm = 105Pa

PARA LÍQUIDOS La presión depende de la profundidad. Línea Isóbara

“Todos los puntos de un mismo líquido en reposo y que se encuentran a un mismo nivel soportan la misma presión hidrostática”

PRINCIPIO FUNDAMENTAL DE LA HIDROSTÁTICA Consideramos dos puntos dentro de un mismo líquido de densidad ρL tal como se muestra:

PTotal = Patm + PH

•

P

P

ρlíq: Densidad del líquido(kg/m3) h: Profundidad(m)

Es decir:

P

e u q u L

160 160

FÍSICA

Sabemos que F origina una presión (adicional);

P0 =

F 2N = = 2Pa A 1m

A  NOTA: El cociente  2  , se le denomina  A1  ventaja mecánica

PRINCIPIO DE ARQUÍMEDES Cuando un cuerpo se encuentra sumergido total o parcialmente en un líquido notamos que se eleva con una mayor facilidad que cuando se encuentra fuera de él.

161

FÍSICA

¿Cómo explicamos este hecho? Consideremos para esto un cilindro homogéneo sumergido completamente en un líquido de densidad ρlíq, tal como se muestra:

h1

F1 P1

F3 P4 P5

= P5A – P1A “Reposo”

= (P5 – P1)A =ρLíquido g(h2 – h1)A

P2 P3

P3

F4 P4 P5

F2

Se puede notar al líquido ejercer sobre las paredes del cilindro cierta fuerza; donde: • En la horizontal: • En la vertical: Como la superficie es la misma y h2 > h1 entonces la presión hidrostática en la cara inferior es mayor que la presión hidrostática que en la cara superior (P5> P1); en tal sentido: F2 > F1; por lo tanto existe por parte del líquido

J

una fuerza resultante vertical dirigida hacia arriba, a la cual la denominaremos empuje hidrostático (E). Donde: E = F2 – F1

P1

P2

h2

LIC. JAIME A. HUACANI LUQUE

e u q u L

162

FÍSICA

PROBLEMAS RESUELTOS

Solución:

PROBLEMA 01 Calcular la densidad de cierto cuerpo, que al ser pesado en el aire el dinamómetro indica 200N y al ser “pesado” en cierto líquido 160N (ρL=800 kg/m3)

Solución:

F3 = F4

∴

En general:

in a c a u H e ia m

Fg=200N

E = ρLiq. g.Vsumergido

“Todo cuerpo sumergido total o parcialmente en un fluido de una fuerza vertical y dirigida hacia arriba denominada: “empuje”; esta fuerza actúa en el centro geométrico de la parte sumergida”.

LIC. JAIME A. HUACANI LUQUE

Aire

200N = ρc . g. Vc ....(1) ρc = Dens. del cuerpo Vc = Volumen del cuerpo

Por la 2° Ley de New. FR = ma Eh – mg = m.a .....(1) Sabemos que : m = ρ.V ; Eh =ρ1 x g .Vs En (1) ρL . g . Vs - ρc . Vc . g = ρc .Vc . a (ρL - ρc) . g = ρc . a

N = 200N

mg

in a c a u H e ia m

Cierto líquido

2s

Por equilibrio

Fg

Fg

Eh

N

Luego :

=

Pes o

N + Eh

Peso aparente

Empuje hidróstatico

200N = 160N + Eh

Reempl. en ( 1 ) :

J

200 = ρc . 10 . 5 . 10-3

→ ρc =

200 =4 .103 kg/m3. 5 x 10 −2

V0=0

→ ρc = 625kg/m3

PROBLEMA 03

En la figura se muestra un recipiente conteniendo dos líquidos de densidades ρ1=1,5g/cm3 y ρ2=2,5g/cm3 Si el recipiente está en contacto con el aire, calcular la presión en “A” y en “B”.

g=10m/s2

A

PROBLEMA 02 En el fondo de un recipiente con agua se encuentra una esferita de tecnopor, se suelta y llega a la superficie del agua con una rapidez de 12m/s y en 2s. Calcular la densidad de la esferita. a = 6m/s2

Eh

ρ L .g 1000.10 = ρc → ρ c = g+a 16

ρL . g . Vs = 40N

800 . 10.Vs = 40 → Vs = 0,5x10-2 m3 ....(2)

a=6m/s2

Despejando ρc : Dens. del cuerpo

En = 40N

Vs = Vc

e u q u L 12m/s

8cm

B

10cm

163

FÍSICA

LIC. JAIME A. HUACANI LUQUE Sabemos que :

Solución : ∆PA →B = PB - PA = (Patm + Ph)B - PAtmA ∆PAB = PhB .....(1) ∆PhB = PAm + PmB …..(2) A PAm = ρL . g . H = = 15000 . 8 . 10-2 = 1200 Pa. M PmB = ρL . g. h

FN FgCos 37° = A S

P=

200.Cos 37° N 8.10 −2 m2 →P=

= 25000 . 10-1 PmB = 2500Pa

PROBLEMA 05

Reemplazando en (2) PhB = 1200 + 2500 = 3700Pa

PROBLEMA 04

g=10m/s2

80cm

P atm=105Pa

160 .10 2 = 2000 Pa 8

e u q u L

c)

g=10m/s2

Solución:

( H2 O )

Phid

(H2O )

=ρ H (

m

kg m ⋅ 10 ⋅ 2 ⋅10−3 m 3 m3 s2 E = 20 newtons ………(1) E = 1000

5

× 1 m = 10 N

2

2O)

gh=10

3 kg m

3

2

× 10 m2 × 1m

b)

s

4

= 10 P a

Ptotal = Patm + Phid H (

5

El módulo de la fuerza de gravedad: W = m.g.

W =ρ

2O )

4

e u q u L

sustancia

kg

⋅g⋅V

4

c)

m3

⋅ 10

D.C.L. (bloque):

in a c a u H e ia m EH

2O

E

E H 2 O = ρ H 2 O × g×Vcubo 3

4

E H 2 O = 10 × 10 × 1 = 10 N

PROBLEMA 06

Se muestra un bloque de 2 litros y densidad 300 kg/m3, g = 10 m/s2.

d)

W T

De la primera condición de equilibrio:

∑ Fy = 0

⇒ T+W = E

T =E–W

J

J

K Determinar: a) El módulo de la fuerza de empuje. b) El módulo de la fuerza de gravedad sobre el bloque. c) El diagrama de cuerpo libre del bloque. d) El módulo de la tensión en la cuerda JK. 5 N m

m

⋅ 2 ⋅ 10−3 m 3 s2 W = 6 newtons …………(2) W = 300

=

= 10 Pa+10 Pa=11×10 P a

FAIRE

En la cara de área A: P = F A 37°

Phid

aire o atmósfera

Presión de la atmósfera: Patm=10

2

N

AIRE AGUA

37°

a)

5

En la fase inferior:

Solución:

FgCos37°=FN

S

E = ρagua ⋅ g ⋅ Vsumergido

d)

a) Determine el módulo de la fuerza que el aire ejerce en la base superior. b) Determine la presión que ejerce el agua en la base inferior. c) Determine la presión total en la base inferior de dicho cubo. d) Determine la fuerza de empuje del agua sobre el bloque.

37°

Fg

b)

LIC. JAIME A. HUACANI LUQUE

Faire A

Faire = Patm × A = 10

Se tiene un cubo de 1m. de arista que está sumergido con su base superior a ras del agua, tal como se muestra.

in a c a u H e ia m

En la figura se muestra un cuerpo de 20kg apoyado sobre la superficie inclinada. Calcular la presión que ejerce el cuerpo sobre la superficie inclinada. (g=10m/s2)

J


Patm =

P=

B

164

FÍSICA

Solución:

2

a)

Principio de Arquímides: El módulo de la fuerza de empuje es directamente proporcional al volumen sumergido.

. . . (3)

Reemplazando (1) y (2) en (3): T = 14 newtons

165

FÍSICA

LIC. JAIME A. HUACANI LUQUE

166

FÍSICA

LIC. JAIME A. HUACANI LUQUE

A

PRÁCTICA CALIFICADA

2a a

PROBLEMA 01

PROBLEMA 04

Un sólido que tiene forma de una pirámide de 80 kg, se encuentra apoyado sobre una superficie horizontal. Determine la presión que ejerce el 2

sólido sobre el piso. (g = 10 m/s ).

B

Determinar el módulo de la fuerza F, sabiendo que el sistema se encuentra en equilibrio. El bloque Q de 3 000 kg se encuentra en reposo. Los émbolos 2 tienen de masa despreciable y áreas A1 = 0,1 m 2

e u q u L

y A2 =1,0 m . Donde b = 3a, densidad del agua 3 2 = 1000 kg/m , g = 10 m/s . a

b

(1)

(2)

F

2m

in a c a u H e ia m

2m Rpta.: ..................

PROBLEMA 02

agua 30º

PROBLEMA 10 PROBLEMA 07 Determine la presión total que existe en A si la 5 presión atmosférica es Patm = 10 Pa (g = 10m/s2).

1m

PROBLEMA 05

J

agua

gas

En el recipiente se tiene 2 líquidos no misibles. ¿Qué densidad tiene el líquido A si el líquido B es aceite?

8m

J

A

Rpta.: .................. Rpta.: ..................

A nivel del mar la presión atmosférica es 100 kPa. En el interior del agua, hallar la presión total a 4m de profundidad. Densidad del agua = 1000 kg/m Rpta.: ..................

3

F

2cm2

PROBLEMA 11

Determine la masa del bloque si está sumergido en 2 líquidos no misibles de densidades: 0,8gr/cm3 y 1gr/cm3. (g = 10m/s2).

20cm

8cm

PROBLEMA 03

6a

Rpta.: ..................

PROBLEMA 08

10cm

aceite

a

Rpta.: ..................

En el barómetro mostrado determinar la cantidad de presión del gas. El líquido contenido en el tubo 3 es agua. Densidad del agua = 1 000 kg/m , 2 g = 10 m/s . Presión atmosférica = 100 kPa.

aire

in a c a u H e ia m 2m

agua

e u q u L

Determine el módulo de la fuerza F para el equilibrio del sistema.

1,8m

Rpta.: ..................

En la figura mostrada determinar la presión hidrostática en el punto A. 3 Densidad del agua = 1000 kg/m , 3 2 Densidad del aceite = 800 kg/m , g = 10 m/s .

Rpta.: ..................

Rpta.: ..................

5cm

Rpta.: ..................

PROBLEMA 06 La figura muestra una esfera de 4 litros y densidad 1 500 kg/m3, sumergido totalmente en agua, en equilibrio. Determinar el módulo de la tensión en 3

la cuerda AB. Densidad del agua = 1000 kg/m , 2 g = 10 m/s .

PROBLEMA 09 Si el bloque está en reposo y sumergido en el agua como se indica, determine la relación de densidades del líquido y del bloque.

Rpta.: ..................

20cm 30cm

167

FÍSICA

LIC. JAIME A. HUACANI LUQUE

PROBLEMAS PROPUESTOS PROBLEMA 01 Determine la profundidad de un lago si se sabe que la relación de presiones total entre el fondo y un punto ubicado a 5m. de profundidad es 2. a) 8m. b) 9m. c) 10m. d) 11m. e) 12m.

PROBLEMA 02 En la figura A y B son partículas de agua, el líquido que está en la parte inferior presenta una densidad de 2,8 g/cm3. Determine la diferencia de presiones que existe entre los puntos A y B. B

A 30cm

a) 5% d) 15%

20cm

c) 10%

PROBLEMA 06

PROBLEMA 07

e u q u L

Calcula la presión que ejerce una fuerza de 40N al ser aplicada en una superficie de 6m2, la fuerza actúa con una inclinación de 37° respecto al plano horizontal. a) 2Pa b) 4Pa c) 6Pa d) 1Pa e) 5Pa

PROBLEMA 08

a) 12 400 Pa c) 10 400 Pa e) 14 400 Pa

PROBLEMA 03

b) 9 400 Pa d) 11 400 Pa

Un cubo de 2m. de arista sumergido en agua experimenta una fuerza de 200KN sobre su cara superior. Determine la fuerza sobre la cara inferior del cubo debido al agua. (g = 10m/s2). a) 200 KN d) 250 KN

J

PROBLEMA 04

b) 280 KN e) 220 KN

b) 400 KN

¿A qué profundidad dentro de un lago se encuentra sumergido un buzo que soporta una presión total de 3,5 Atm? a) 25m b) 20m c) 27m d) 28m e) 30m

PROBLEMA 05 En un lago flota un témpano de hielo. ¿Qué porcentaje del volumen de dicho cuerpo emerge? ϑ=0,9g/cm3.

LIC. JAIME A. HUACANI LUQUE

PROBLEMA 11

Un cuerpo cilíndrico compacto y homogéneo flota sumergido parcialmente en un líquido (ρL=990 kg/m3) el volumen sumergido es el 70% de su volumen total. Calcular la densidad del cilíndrico. a) 690 Kg/m3 b) 691 Kg/m3 3 c) 693 Kg/m d) 695 Kg/m3 e) N.A.

in a c a u H e ia m 60cm

b) 7% e) 20%

168

FÍSICA

Calcula el tiempo que tarda una esferilla (ρesferilla =800 kg/m3) para llegar a la superficie del agua. Si fue soltada en el fondo de un lago de 20m de profundidad. a) 2s b) 3s c) 5s d) 4s e) 8s

Un bloque de plomo flota sobre mercurio. Si la densidad del plomo es 10,2 g/cm3 y la del mercurio 13,6 g/cm3. ¿Cuál es la fracción del bloque de plomo que se sumerge? a) 0,85 d) 0,95

b) 0,65 e) 0,35

a) Flota en el agua b) Se hunde en el agua c) Tiene densidad igual a la del agua d) Falta conocer el volumen e) N.A.

Calcular la densidad de cierto cuerpo, que al ser pesado en el aire el dinamómetro indica 200N y al ser “pesado” en cierto líquido 160N (ρL=800 kg/m3). a) 20 k/m3 b) 30 k/m3 3 d) 200 k/m3 c) 350 k/m e) 4000 k/m3

in a c a u H e ia m b) 5 m/s2 d) 6,3 m/s2

e) N.A.

Un cuerpo de 30N se sumerge totalmente en un líquido de densidad 2g/cm3 y la lectura de un dinamómetro acoplado al cuerpo indica 20N. ¿Qué lectura indicará el dinamómetro al sumergir dicho cuerpo totalmente en agua? a) 20N b) 25N c) 30N d) 35N e) 32N

PROBLEMA 18

Indicar (V) o (F) en las siguientes proposiciones:

Una pieza de metal, cuelga de un dinamómetro, el cual indica 40N. Se sumerge dicho metal en ácido sulfúrico y el dinamómetro marca 30N. Calcular la densidad del metal. ρH2SO4=1800kg/m3

J

a) 2000kg/m3 c) 5400kg/m3 e) 8600kg/m3

b) 4000kg/m3 d) 7200kg/m3

I.

II.

III.

IV.

PROBLEMA 10 3

Una esferita cuya densidad es 800 kg/m es soltada en el fondo de un lago de 5m de profundidad. Calcular el tiempo que tarda la esferita en llegar a la superficie. a) 1s b) 2s c) 3s d) 4s e) 5s

e u q u L

Sobre la superficie de agua de un recipiente, esta flotando un bloque de hielo. ¿Qué sucede con el nivel del líquido cuando el hielo se derrite? a) Sube b) Baja. c) Se mantiene igual. d) No se puede saber. e) N.A.

PROBLEMA 17

¿Con qué aceleración se hunde un cubo de aluminio de 10cm de arista y densidad 2,7g/cm3 en un recipiente con agua? (g=10m/s2)

PROBLEMA 14

PROBLEMA 09

PROBLEMA 16

Si se unen volúmenes iguales de dos materiales, uno con una densidad, la mitad que la del agua, el cuerpo resultante:

a) 2,7 m/s2 c) 3,2 m/s2

agua

c) 0,75

PROBLEMA 12

PROBLEMA 13

aceite

a) 220g b) 600g c) 300g d) 680g e) 110g

PROBLEMA 15 Un bloque cúbico de madera de 10cm de arista, flota estando su cara inferior 2cm debajo de la superficie de separación. Densidad del aceite es: 0,6g/cm3. Hallar la masa del bloque:

Si la densidad de un cuerpo sólido es menor que la de un líquido, entonces el cuerpo se mantiene parcialmente sumergido en dicho líquido. Si en la luna, una lata e gaseosa vacía flota en agua, en la tierra; ésta se sumergirá totalmente. El volumen de la parte sumergida de una pelota es mayor en una tina con agua que en una piscina. Si sobre un cuerpo sumergido en un líquido la presión hidrostática aumenta, entonces, el empuje hidrostático sobre dicho cuerpo también aumentará.

a) VFFV d) FVFV

b) VFFF e) VFVV

c) VFVF

169

FÍSICA

LIC. JAIME A. HUACANI LUQUE

170

FÍSICA 4.- Variación de la temperatura (∆T):

La variación de temperatura significa aumento o disminución de temperatura y todos sus sinónimos, como incremento, etc.

TERMOMETRÍA Es parte del Calor, que se encarga de la medición de la Temperatura y sus diversas propiedades.

GRÁFICA DE LAS TEMPERATURAS: °C 100

Pto Eb. (agua)

100

TEMPERATURA Es un magnitud física tensorial; que mide el grado de vibración, movimiento o excitación de las moléculas en un cuerpo o sustancia.

ESCALAS TERMOMÉTRICAS:

0

Pto F. (agua)

- 273 C. Ab.

in a c a u H e ia m

1.- Escalas relativas.

Pueden tener temperaturas positivas o negativas; las escalas relativas son las escalas Celsius (°C) y Fahrenheit (°F).

2. Escalas Absolutas.

Tienen temperaturas positivas, solo positivas. De donde se deduce que la menor temperatura en estas escalas es el cero; las escalas absolutas son las escalas Kelvin ( K ) y Rankine (°R ).

3.- Cero Absoluto.

Temperatura ideal, es la menor temperatura que pueda existir en la cual correspondería a una ausencia total del movimiento molecular (reposo). (Sólo se cumple en teoría). Basándose en determinadas propiedades de los gases, se ha calculado que la temperatura correspondiente al cero absoluto es de –273°C. Mediante distintos procedimientos se ha conseguido alcanzar valores de unas pocas millonésimas de grado por encima del cero absoluto.

J

Nota: En toda escala absoluta el cero absoluto es igual a cero ( 0 ), en la escala Celsius es –273ºC y en la escala Fahrenheit –460ºF.

ESCALAS

∆T = TFinal _ TInicial

°F 212

DE

K

R 672

373

e u q u L 180

32

- 460

100

En el Sistema Internacional de Unidades la temperatura se mide en Kelvin.

180

273

0

492

Bien, para establecer las fórmulas una de conversiones y otra de variaciones es necesario conocer el:

5.- Teorema de Thales:

En este caso para reconocer una variación recuerde estas palabras: Aumenta en = variación Disminuye en = variación En ambos casos aplique variaciones.

Tres o más paralelas determinan sobre dos ó más secantes segmentos proporcionales.

m

b

n

Aumento hasta = temperatura estable

c

p

Disminuye hasta = temperatura estable

Se cumple:

°C − 0 ° F − 32 K − 273 R − 492 = = = 100 − 0 212 − 32 373 − 273 672 − 492 °C − 0 °F − 32 K − 273 R − 492 = = = 100 180 100 180 °C ° F − 32 K − 273 R − 492 = = = 5 9 5 9

Deducciones:

R =º F + 460

Donde:

J

Deducciones:

e u q u L

∆° F = ∆R ∆°C = ∆K ∆T = TFinal − TInicial

2. Un trozo de metal se encuentra a 182 ºC y aumenta su temperatura en 81 ºR. ¿Cuál es la lectura final en Kelvin? A. 421 B. 408 C. 850 D. 500 E. 376

a−c m− p = b−c n− p

3. Un cuerpo metálico que se encuentra a 122ºF es calentado aumentando su temperatura en 45R. Determinar la temperatura final del metal en grados Celsius. A. 25 B. 30 C. 45 D. 75 E. 103

a, b y c: son temperaturas.

m, n y p: son temperaturas. Ejemplo.- Hallar “x”:

B.- FORMULA PARA VARIACIONES: Esta formula se aplica cuando hay disminución de temperatura.

de

1. En un laboratorio de investigación, un científico midió la temperatura a la cual cierto gas se licua, encontrando un valor extremadamente bajo. ¿Cuál de los valores siguientes cree usted que pudo haber obtenido ese científico? Explique. A. -327ºC B. -15K C. - 253ºC D. -860R E. -10-5K

a−b m−n = b−c n− p

En ambos casos se utiliza la formula de conversiones, Aplicando el teorema de Thales, tenemos:

formulas

∆°C ∆° F ∆K ∆R = = = 5 9 5 9

in a c a u H e ia m

a

las

∆°C ∆° F ∆K ∆R = = = 100 180 100 180

0

A. FORMULA PARA CONVERSIONES: Esta formula se utiliza para temperaturas estables. Ud. puede ayudarse en la solución de problemas recordando que; si en un problema encuentras estas palabras:

K = º C + 273 ;

LIC. JAIME A. HUACANI LUQUE

aumento o

4. Un termómetro con escala arbitraria tiene como punto de fusión del hielo - 40º y como punto de ebullición del agua 160º, cuando en este termómetro se lee 40º. ¿Cuánto se lee en la escala Rankine? A. 423° B. 564° C. 582° D. 630° E. NA.

171

FÍSICA

5. Se tiene dos escalas termométricas “A” y “B” de tal modo que el agua hierve a 240A y 180B. Si al aumentar la temperatura en 1°A equivale a aumentar esta en 1,5°B. ¿A qué temperatura coinciden las escalas A y B? A. 120° B. 360° C. 400° D. 530° E. 720° 6. ¿Para qué temperatura se cumplirá la siguiente relación? K+ 2F = 2R – 9C A. 347,7K D. 337,7K

B. 331K E. 332K

C. 37

7. ¿Para qué temperatura en ºF se cumple la siguiente relación?

(º C − 10)( K − 263) = 12(5−º C) A. 10 D. 35

K

C. 22,5

B.

255,2

C.

K

K

D.

F

K

F

F

- 255,2

E. N.A.

o

F

-180

J

B. –2ºF E. –6ºF

11. Se construye un termómetro de mercurio, observándose que la temperatura del hielo fundente es –10ºM y al contacto con un cuerpo que esta a 15ºC, la lectura es 30ºM obténgase la formula entre esta escala y la centígrada.

º C (2º M + 32) = 4 3 º C (º M + 10) = C. 3 8 º C (º M + 32) = E. 5 2

A.

9. A un cuerpo que estaba a 10 ºC se le incrementó su temperatura en 18ºF; luego se le disminuyó en 5 K, y finalmente se le incremento en 36. ¿Cuál será su temperatura final en ºC? A. 35 B. 65 C. 15 D. 25 E. 5 10. En un termómetro malogrado cuya escala esta en ºF el agua hierve a 178º. ¿A que temperatura debe congelar el agua en dicho termómetro?

º C (º M − 18) = 2 5 (º M − 18) D. º C = 3

B.

e u q u L

12. Una escala termométrica absoluta Q marca 160Q para –43ºC. Para una sustancia que inicialmente estaba a –16ºF y que experimenta un calentamiento de 80Q, ¿Cuál será su temperatura final en ºF? A. 191ºF B. 201ºF C. 161ºF D. 180ºF E. 151ºF

14. Cierto liquido se encuentra a 288 K, se encuentra sumergido en el un termómetro que a temperaturas bajas marca en kelvin y a las altas en Rankine, Dicho liquido se calienta hasta 636ºR y se sabe que por cada ºC que aumenta se evapora 0,5 gramos del líquido.¿Cuánto se evaporó? A. 45,5 g B. 32,5 g C. 26,5121 g D. 20,5 g E. 14,5 g

15. En un termómetro con columna uniforme de mercurio solo aparecen dos marcas: 36ºC y 37ºC la longitud de la columna entre estas marcas es 1 cm. Una persona se pone el termómetro y constata que la columna de mercurio mide 2,3 cm por encima de la marca de 37ºC. Su temperatura es: A. 38, 3ºC B. 39,2ºC C. 39,8º C

D. 39,3º C

172

FÍSICA

LIC. JAIME A. HUACANI LUQUE

C. –8ºF

13. Se tiene dos escalas termométricas A y B, de tal modo que el agua hierve a 200ºA y 60ºB. Si al aumentar la temperatura en 2ºA equivale a aumentar esta en 3ºB, calcular a qué temperatura coinciden las escalas A y B. A. 630 B. 220 C.480 D. 360 E. 380

180

o

A. –1ºF D. –4ºF

in a c a u H e ia m B. 20 E. 46,4

8. ¿Cuál de los siguientes gráficos relaciona las escalas: K y ºF?. A.

LIC. JAIME A. HUACANI LUQUE

E. 41,3º C

CALORIMETRÍA Es la parte de la Física que estudia las transferencias de calor que se producen entre los cuerpos cuando se encuentran a diferentes temperaturas hasta que todos se encuentran a una misma temperatura común.

CALOR (Q)

UNIDADES DE CALOR Sistema Internacional de Unidades (S.I.)

e u q u L

Joule (J)

Sistemas Térmicos Particulares

C.G.S. M.K.S

Caloría (cal)

Kilocaloría (Kcal)

Es aquella forma de energía que se transfiere desde los cuerpos que se encuentran a mayor temperatura (calientes) hacia los cuerpos que se encuentran a menor temperatura (fríos). Debes saber que al calor también se le conoce como

Equivalencias:

Energía Térmica.

TRANSFERENCIA DE CALOR

in a c a u H e ia m Q

A

B

¡IMPORTANTE!

J

Para que el calor se transfiera de un cuerpo a otro, éstos deben tener diferentes temperaturas

¡Para recordar! El calor es una forma de energía no almacenable y se puede transferir por conducción, por convección y por radiación.

1Kcal = 1000 cal 1cal = 4,18 J 1J = 0,24 cal

Se ha visto que el calor es una manifestación del tránsito de energía. Sólo tiene sentido hablar de calor cuando nos referimos a una transferencia de energía interna de un lugar a otro. El calor puede transmitirse a través de un medio sustancial o sin éste, por ello encontramos tres formas de propagación del calor que son:

1. Por Conducción: metales especialmente. 2. Por Convección: fluidos (líquidos, gases). 3. Por Radiación: radiación infrarroja. 1. POR CONDUCCIÓN

Es la forma de transmisión del calor en la cual una molécula transmite a otra contigua su energía cinética. Esto se produce como resultado de la actividad molecular en donde las partículas con mayor energía cinética chocan con aquellas que poseen menor energía cinética, de tal forma que el calor se transfiere a través de un cuerpo. Debes saber que son los sólidos son quienes transmiten el calor por conducción, pero en algunos casos los fluidos pueden conducir el calor

173

FÍSICA

siempre y cuando se encuentren en contacto con un sólido. Los metales son buenos conductores del calor por ejemplo: la plata, el cobre y el aluminio. La madera, el papel y el aire son malos conductores o aislantes del calor

Calor

Conforme se propaga el calor, las tachuelas pegadas con cera a la varilla metálica se va desprendiendo.

LIC. JAIME A. HUACANI LUQUE

Unidades:

3. POR RADIACIÓN

Es la forma de transmisión del calor que se efectúa por medio de las ondas electromagnéticas conocidas como la radiación infrarroja. Esto se produce como resultado de la vibración de los átomos y moléculas de los cuerpos, los cuales emiten ondas electromagnéticas que se propagan a través de cuerpos transparentes e incluso en el vacío viajando a la velocidad de la luz, estas ondas se conocen como la radiación infrarroja.

e u q u L

Debes saber que la energía térmica que llega desde el Sol hacia la Tierra se transfiere por radiación, y que todos los cuerpos debido a la temperatura que tienen, emiten radiación infrarroja.

in a c a u H e ia m

2. POR CONVECCIÓN

Este fenómeno se puede apreciar cuando se calienta el agua en un recipiente, tal como se aprecia en la figura, como podrás observar, el líquido del fondo se calienta primero, se dilata, disminuye de densidad y por lo tanto fluye hacia arriba, originando que el agua fría de mayor densidad descienda. Este proceso se repite originándose así una corriente de fluido denominada corriente de convección.

J

El flujo de líquido es debido al calentamiento de las capas en contacto con el fondo del recipiente. Durante el calentamiento del agua se produce el fenómeno de la convección.

cal Kcal J , , g.°C Kg.°C Kg.°C

EQUILIBRIO TÉRMICO CeHIELO= 0,5 cal g.C CeAGUA= 1 cal g.C CeVAPOR = 0,5 cal g.C

Es la cantidad de calor ganado o perdido que necesita la masa de una sustancia para que la temperatura varíe en un grado Celsius.

cantidad de calor que gana o pierde la sustancia. ∆ T: variación de temperatura debido a “Q”.

Unidades:

cal Kcal J , , °C °C °C

Donde: Q : Cantidad de calor que gana o pierde la sustancia. m : masa de la sustancia. ∆ T: variación de temperatura debido a “Q”.

CALOR SENSIBLE (QS)

Es la cantidad de calor que las sustancias utilizan íntegramente para aumentar o disminuir su temperatura en un mismo estado físico. Es la cantidad de calor para cuerpos o sustancias que no cambian de fase.

J

Q = m.Ce.∆T

Donde: Q : cantidad de calor ganado o perdido. m : masa de la sustancia. Ce : Calor específico. T: variación de temperatura debido a “Q”

e u q u L

PRINCIPIO FUNDAMENTAL DE LA CALORIMETRÍA

in a c a u H e ia m Q C= ∆T

CALOR ESPECÍFICO (Ce)

Q Ce = m.∆T

“Si dos cuerpos a diferentes temperaturas son puestos en contacto, entre ellos existirá transferencia de calor, la cual culminará cuando ambos cuerpos alcancen la misma temperatura (Teq) y consigan por lo tanto el Equilibrio Térmico”.

CAPACIDAD CALORÍFICA (C)

Q :

Es la propiedad térmica de las sustancias que nos indica la cantidad de calor que debe ganar o debe perder la unidad de masa de la sustancia para que su temperatura aumente o disminuya en un grado Celsius.

*Cuando un cuerpo gana calor (+Q) *Cuando un cuerpo pierde calor (-Q)

*Para el Agua:

Donde:

Por radiación el Sol emite una gran cantidad de energía hacia la tierra a través del espacio.

LIC. JAIME A. HUACANI LUQUE

Observación:

Ondas Electromagnéticas

Es la forma de transmisión del calor que se manifiesta como flujos ascendentes y descendentes de fluidos.

En este caso se produce un movimiento de la sustancia caliente con lo cual se transfiere el calor de un lugar a otro.

174

FÍSICA

Cuando mezclamos dos o más cuerpos a diferentes temperaturas, ocurre que el calor que pierden los cuerpos calientes lo ganan los cuerpos fríos.

ΣQGANADO +

(cuerpos fríos)

ΣQPERDIDO

=0

(cuerpos calientes)

MÉTODOS PRÁCTICOS:  Para mezcla de sustancias iguales sin cambio de Fase:

Teq =

m1.T1 + m2 .T2 + ..... + mn .Tn m1 + m2 + ..... + mn

 Para mezcla de sustancias diferentes sin cambio de fase:

Teq =

m1.Ce1.T1 + m2.Ce2.T2 + ... + mn.Cen.Tn m1.Ce1 + m2.Ce2 + ... + mn.Cen

EL CALORÍMETRO Es un recipiente que se usa para calcular calores específicos. Este recipiente, se encuentra aislado convenientemente con el propósito de evitar pérdidas de calor al medio ambiente.

175

FÍSICA

LIC. JAIME A. HUACANI LUQUE

El calorímetro contiene agua, cuya masa se ha medido previamente, y un termómetro sumergido en él, que mide la temperatura.

Termómetro

Material aislante

DIAGRAMA “T” vs “Q” (Para el agua)

Sublimación Directa Vaporización

Fusión

Gas (Vapor)

Líquido

Sólido

Solidificación

Condensación

*Para el Agua:

H2O

Equivalente en Agua de un Calorímetro

 

Tfusión = Tsolidificación = 0°C Tvaporización = Tcondensación = 100°C

in a c a u H e ia m

Se define como la masa de agua (masa equivalente) que multiplicada por su calor específico es igual al producto de la masa del Calorímetro por el calor específico del material que forma el Calorímetro.

mE .CeH2 O = mCalorímetro .CeCalorímetro Donde: mE = masa equivalente en agua en gramos.

e u q u L

A la presión de una atmósfera sus temperaturas de cambios de fase son:

CALOR LATENTE (L)

El calor latente determina la cantidad de calor que se le debe entregar o sustraer a la unidad de masa para que esta cambie de fase.

L=

Q m

Unidades:

cal/g ; kcal/kg ;

CAMBIOS DE FASE

Existen principalmente 3 fases: sólido, líquido y gaseoso.

Todo cambio de fase se realiza a cierta presión y temperatura las cuales permanecen constantes mientras se produzca dicho cambio. Cuando la sustancia está en condiciones de cambiar de fase (temperatura de cambio de fase) dicho cambio se puede producir por ganancia o pérdida de calor de la sustancia.

J

La fusión y la vaporización se producen por ganancia de calor en cambio la solidificación y condensación son por pérdida de calor. El calor en el cambio de fase realiza un reordenamiento molecular de la sustancia.

Luego:

J/kg

QL = m.L

Donde: QL: cantidad de calor latente que debe ganar o perder la sustancia para cambiar de fase.

Para el Agua (P = 1atmósfera)  Para T = 0°C Lfusión = Lsolidificación = 80 cal/g

100 0 Hielo Agua + Agua

Hielo Q1

Q2

Agua + Vapor de Agua

Q3

Vapor de agua

Q4

Q(cal)

EQUIVALENCIA DE LA ENERGÍA MECÁNICA Y EL CALOR (EFECTO JOULE)

El científico británico James Prescott Joule, demostró que un trabajo mecánico determinado producía siempre una misma cantidad de calor. Al dejar caer pesas de diferentes alturas, la energía potencial que poseen se transforma en el trabajo capaz de hacer mover las paletas del calorímetro. Comprobó además, que para una misma cantidad de agua, siempre se conseguía un mismo aumento de temperatura con una energía potencial dada. Así, encontró que para aumentar en un grado centígrado cada gramo de agua era necesaria una energía de 4,18 Joule. En función de esta cifra se introdujo una unidad de calor: la caloría (cal), que se define como la cantidad de calor que debe absorber un gramo un gramo de agua para que su temperatura aumente en un grado centígrado (de 14,5°C a 15,5°C). La relación entre Joule y caloría se llama EQUIVALENTE MECÁNICO DE CALOR.

J

LIC. JAIME A. HUACANI LUQUE

EJERCICIOS DE CLASE

T( C)

Sublimación Inversa

Metal que forma la estructura

176

FÍSICA

01.-Un cuerpo de masa 5 g y de calor específico Ce=0,02 cal/g°C, aumenta su temperatura en 400°C. Determine el calor (cal) absorbido por dicho cuerpo. A) 10 B) 20 C) 30 D) 40 E) 50

in a c a u H e ia m

1 cal = 4,18 J

1 J = 0,24 cal

 Para T = 100°C Lvaporización = Lcondensación = 540 cal/g La energía potencial de las pesas se transforma en calor debido al rozamiento de las paletas con el agua.

e u q u L

02.-40 g de un cierto material aumenta su temperatura en 200°C. Determine la cantidad de calor absorbido por dicha masa. (Ce = 0,04 cal/g°C) A) 320 cal B) 330 cal C) 120 cal D) 140 cal E) 72 cal 03.-8 g de agua a 30°C absorben 40 cal de calor. Hallar la temperatura final del agua. A) 35°C B) 40°C C) 45°C D) 55°C E) 65°C 04.-30 g de sustancia (Ce = 0,2 cal/g°C) absorben 240 calorías. Si inicialmente estaba a 40°C, determine su temperatura luego de absorber dicho calor. A) 45°C B) 55°C C) 65°C D) 75°C E) 80°C 05.-Si se mezclan 200 g de Agua a 20°C con 500 g de Agua a 50°C y con 800 g de Agua a 80°C. Determinar la temperatura de equilibrio. A) 60°C B) 70°C C) 40°C D) 65°C E) 30°C

177

FÍSICA

06.-En un recipiente de calor específico despreciable se mezclan 100 g de agua a 10°C con 300 g de agua a 30°C y con 600 g de agua a 60°C. La temperatura de equilibrio es: A) 42°C B) 44°C C) 46°C D) 48°C E) 52°C 07.-Se mezclan “M” g de agua a 10°C con 50 g de agua a 80°C. Si la temperatura de equilibrio es de 60 °C, determine la masa “M” A) 10 g B) 20 g C) 30 g D) 35 g E) 38 g

11.-Indicar si las siguientes proposiciones son verdaderas (V) o falsas (F). ( ) El calor se puede propagar en el vacío ( ) El calor puede expresarse en joule y la temperatura en kelvin ( ) La capacidad calorífica de un cuerpo metálico depende de su masa A) VVV B) VFV C) VFF D) FVV E) FFF

09.-En un recipiente térmicamente aislado, se mezclan 30 g de una sustancia “A” a 40°C con otra “B” a 80°C. Siendo la masa de B de 50 g, determine la temperatura de equilibrio de la mezcla. (CeA=0,5cal/g°C y CeB=0,2cal/g°C) A) 42°C B) 45°C C) 50°C D) 56°C E) 62°C 10.-Se mezclan 30 g de agua a 20°C con “x” g de agua a 60°C. Si la temperatura de equilibrio es de (300/7) °C. Determine “x”. A) 10 g B) 20 g C) 30 g D) 40 g E) 50 g

e u q u L

12.-Se tiene un cubito de 10 g de hielo que se encuentra a 0°C; se dispone de una fuente de calor que puede entregar 900 cal. ¿Cuál sería la temperatura final del hielo? A) 8°C B) 10°C C) 12°C D) 15°C E) 20°C

in a c a u H e ia m

08.-Se desea saber la temperatura final de una mezcla compuesta por 20 g de una sustancia “A” (Ce = 0,06 cal/g°C) a 40°C con otra sustancia “B” (Ce = 0,02 cal/g°C) a 80°C cuya masa es de 100 g. A) 61°C B) 65°C C) 70°C D) 72°C E) 52°C

J

LIC. JAIME A. HUACANI LUQUE

13.-Determinar la cantidad de calor necesario para convertir 2Kg de hielo a -10 °C en agua a la temperatura de 0°C. A) 180 kcal B) 160 kcal C) 70 kcal D) 120 kcal E) 170 kcal 14.-Tenemos 40 g de Agua a 0°C. ¿Qué cantidad se le debe extraer para convertirlo en hielo a 10°C? A) 2800 cal B) 3100 cal C) 3400 cal D) 4200 cal E) 5100 cal 15.-Si a 3 g de vapor de agua a 100°C se le extraen 1620 cal, su temperatura final será. A) 90°C B) 80°C C) 95°C D) 100°C E) 72°C

178

FÍSICA

16.-Se tiene 50 g de hielo a temperatura de -10°C. ¿Qué cantidad de calor es necesario para transformarlo en vapor de agua a 120°C? A) 60420 cal B) 7200 cal C) 8940 cal D) 12450 cal E) 36750 cal 17.-Si mezclamos 20 g de hielo a -60°C con “M” g de vapor de agua a 100°C se obtiene una temperatura de equilibrio de 40°C. Entonces el valor de “M” es: A) 12 B) 5 C) 8 D) 15 E) 10

19.-Una muestra de mineral de 10 g de masa recibe calor de modo que su temperatura tiene un comportamiento como el mostrado en la figura. Determinar los calores latentes específicos de fusión y vaporización en cal/g.

180

J

40

-20 -40

A) 3 y 8 B) 10 y 15 C) 8 y 15 D) 6 y 15 E) 7 y 10

20.-En la figura se muestra la cantidad de calor entregada a un cuerpo versus la temperatura. Determine el calor latente de fusión (en cal/g), si la masa del material es de 50g. T(°C)

40

5 200 -20

A) 10 B) 6 C) 4 D) 8 E) 12

in a c a u H e ia m

18.-En un calorímetro de equivalente en agua igual a 20 g, se tiene 180 g de agua en equilibrio térmico con 100 g de hielo. Si se inyecta 20 g de vapor de agua a 100°C. ¿Cuál es la temperatura de equilibrio? A) 10°C B) 0°C C) 20°C D) 15°C E) 23°C

T( C) 230

LIC. JAIME A. HUACANI LUQUE

100 250

400

450 Q(cal)

e u q u L 600

800

Q(cal)

21.-Un bloque de hielo de 6kg a 0°C es lanzado sobre una superficie rugosa recorriendo 8 m hasta detenerse. Calcular la masa de hielo (en g) que se derrite debido a la fricción, suponiendo que todo el calor liberado es absorbido por el hielo y la velocidad de lanzamiento es 4 m/s. A) 0,6 B) 0,15 C) 0,14 D) 6,9 E) 3,3 22.-Una patinadora de 55 kg se mueve sobre hielo a 7,5 m/s y se desliza hasta detenerse. Suponiendo que el hielo se encuentre a 0°C y que el 50% del calor generado por fricción es absorbido por el hielo, ¿cuánto de hielo (en g) se funde? A) 10°C B) 0°C C) 20°C D) 15°C E) 23°C 23.-Determine la altura de agua (en mm) a 10°C que se necesita para fundir una capa de hielo de 5 mm de espesor. Considere despreciable la capacidad calorífica del recipiente. Ρhielo = 900 kg/m3 , Ρagua = 1000 kg/m3

179

FÍSICA

h

Agua a 10°C

5 mm

Hielo a 0°C

A) 28 B) 10 C) 15 D) 46 E) 36

PROBLEMAS PROPUESTOS 01.-Un cuerpo tiene una capacidad calorífica de 6 cal/°C y su masa es de 300g. Si su temperatura pasa de 16°C a 26°C. ¿Qué cantidad de calor habrá absorbido? A) 50 cal B) 60 cal C) 70 cal D) 120 cal E) 80 cal

A) 34,66°C B) 35°C C) 38°C D) 50°C E) 70°C 05.-En un calorímetro de equivalente en agua igual a 20 g, se tiene 280 g de agua a la temperatura de 15°C. Si se introduce un bloque metálico de 400 g a 100°C se logra una temperatura de equilibrio de 25°C. Hallar el “Ce” del metal en cal/g°C. A) 0,9 B) 0,8 C) 0,6 D) 1,2 E) 0,1

in a c a u H e ia m

02.-Si la cantidad de calor necesario para aumentar en 100°C la temperatura de 10 kg de un metal es 100 kcal, ¿qué porcentaje de calor se disipa al medio exterior? (Ce = 0,085 cal/g°C) A) 5% B) 10% C) 15% D) 20% E) 25%

03.-Un cuerpo de masa “m” de cierta sustancia necesita recibir 100 cal por elevar su temperatura en 125 °C. ¿Cuántas calorías debe de recibir una masa “2m” de la misma sustancia para elevar su temperatura en 250 °C? A) 100 B) 200 C) 300 D) 400 E) 500

J

LIC. JAIME A. HUACANI LUQUE

04.-En un recipiente vaciamos 200 g de agua a 20°C, 40 g de agua a 40°C y 60 g de agua a 80°C. Calcular la temperatura de equilibrio.

e u q u L

06.-Se tiene en un recipiente 100 g de agua a la temperatura de 20°C. Si se introduce un trozo de metal de 400 g y a la temperatura de 100°C, determinar la temperatura final de equilibrio, si el calor específico del metal es 0,11 cal/g°C. A) 20°C B) 32,2°C C) 12,6°C D) 44,4°C E) 52,2°C 07.-Se mezclan masas iguales de tres líquidos A, B y C cuyas temperaturas son de 20; 40 y 60°C respectivamente. Si: 1 1 Ce(A) = Ce(B) = Ce(C) 5 4 Hallar la temperatura final de la mezcla. A) 40°C B) 46°C C) 20°C D) 23°C E) 57°C 08.-Se tiene 30g de agua a 60°C. Determinar la cantidad de calor que se requiere para tener 30 g de vapor de agua a 120°C. A) 15,2 kcal B) 17,7 kcal C) 18,6 kcal D) 19,0 kcal E) 20,0 kcal

180

FÍSICA

09.-Se tiene 360 g de agua a 20°C. ¿Qué cantidad de calor se debe extraer para convertirla en hielo a 0°C? A) 6 kcal B) 12 kcal C) 18 kcal D) 24 kcal E) 36 kcal 10.-Si mezclamos 20 g de hielo a -60°C con “M” gramos de vapor de agua a 100°C se obtiene una temperatura de equilibrio de 40°C, entonces el valor de M es: A) 12 B) 5 C) 8 D) 15 E) 10

12.-El gráfico representa la temperatura “T” en función del calor absorbido por 20 g de cierto líquido. ¿Cuánto vale el calor latente de evaporación del líquido si: Tg =10-1? (en cal/g) T( C)

J

a 80°C en el calorímetro. ¿Cuál será la temperatura de equilibrio? A) 23,5°C B) 30,5°C C) 19,5°C D) 47,5°C E) 42,3°C 14.-En un calorímetro de 500 g y calor específico 0,03 cal/g°C se tiene 50 g de hielo a -10°C, se vierte en el calorímetro 70g de agua a 40°C. Encuentre usted las condiciones finales del sistema. A) Agua 100 g; hielo 20 g a 0°C B) Agua 80 g; hielo 40 g a 0°C C) Agua 45 g; hielo 75 g a 0°C D) Agua 120 g a 2°C E) Agua 120 g a 23°C

in a c a u H e ia m

11.-En un calorímetro de equivalente en agua igual a 20 g, se tiene 180 g de agua en equilibrio térmico con 100 g de hielo. Si se inyecta 20 g de vapor de agua a 100°C, ¿cuál es la temperatura de equilibrio? A) 10°C B) 0°C C) 20°C D) 15°C E) 23°C

70

LIC. JAIME A. HUACANI LUQUE

θ

5 700

Q(cal)

A) 150 B) 200 C) 250 D) 300 E) 350 13.-En un calorímetro de equivalente en agua 20 g se tiene 180 g de agua a 15°C, un bloque metálico de 500 g y Ce=0,03 cal/g°C ingresa

e u q u L

15.-Se mezclan igual cantidad de masa de hielo a 0°C y vapor de agua a 100°C, en un recipiente de capacidad calorífica despreciable. ¿Cuál es la temperatura final de equilibrio? A) -10°C B) 0°C C) 15°C D) 100°C E) 141°C 16.-Se tiene en un recipiente 100 g de agua a la temperatura 20°C. Si se introduce un trozo de metal de 400 g y a la temperatura de 100°C, determinar la temperatura final de equilibrio, si el calor específico del metal es 0,11 cal/g°C. A) 20°C B) 32,2°C C) 12,6°C D) 44,4°C E) 52,2°C 17.-En un calorímetro de capacidad calorífica despreciable se tiene 45 g de hielo a la temperatura de -24°C. Si se hace ingresar 26 g de vapor de agua a 100°C, hallar la temperatura final de equilibrio. A) 100°C B) 0°C C) 36°C D) 56°C E) 13°C

181

21.-Una masa “m” de cierto metal experimenta una variación de temperatura de acuerdo a la siguiente gráfica al entregarle calor. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s) si la presión es constante?

J

T( C) T2

B

T1 T0 0

III. El calor latente de fusión del material es (Q2 – Q1)/m A) Sólo I B) I y II C) I y III D) II y III E) Sólo II 22.-En un recipiente se tiene agua a 0°C. Si se introduce 800 g de hielo a -10°C. ¿Qué cantidad de agua se solidificará? A) 20 g B) 30 g C) 40 g D) 50 g E) 80 g

in a c a u H e ia m

20.-En un recipiente de capacidad calorífica despreciable se tiene “X” gramos de hielo a 0°C, en contacto con “Y” gramos de vapor de agua a 100°C. Determinar la relación entre X e Y, para lograr que todo el contenido logre su equilibrio térmico, obteniendo sólo líquido a 100°C. A) X=3Y B) Y=3X C) X=Y D) X=4Y E) Y=4X

D

E

C

A

Q(cal) Q1

Q2

Q3

Q4

I. En el tramo BC existe un cambio de fase II. El calor específico de la sustancia líquida es (Q1 + Q2)/m(T2 – T1)

LIC. JAIME A. HUACANI LUQUE

e u q u L

23.-Un bloque de plata (Ce=0,06 cal/g°C) de 200 g de masa se encuentra a 21°C. ¿Qué cantidad de calor debe suministrársele para derretirlo, si la temperatura de fusión es 961°C y su calor latente de fusión es 21 cal/g? A) 10 Kcal B) 14,4 Kcal C) 15 kcal D) 15,48 kcal E) 16,724 kcal 24.-En un calorímetro de equivalente en agua igual a 10 g contiene 150 g de agua a 0°C. Se introduce un bloque metálico de 200 g a 200°C. Hallar la temperatura de equilibrio. (Cemetal=0,02 cal/g°C) A) 2°C B) 2,01°C C) 3°C D) 4,87°C E) 5°C

25.-En un calorímetro de calor específico despreciable se tienen 1000 g de agua a cierta temperatura. Si un cuerpo metálico se introduce a 65°C, entonces la temperatura de equilibrio es de 50°C, pero si el cuerpo metálico se introduce a 30°C, entonces la temperatura de equilibrio es de 25°C. Determine la temperatura inicial del agua. A) 5°C D) 12,5°C

B) 7,5°C E) 15°C

C) 10°C

Denominamos “dilatación térmica” cuando las dimensiones de un cuerpo (longitud, superficie o volumen), varían como una consecuencia de los cambios en la temperatura del cuerpo. Dependiendo de las dimensiones predominantes del cuerpo, las dilataciones pueden ser:

-

Lineales.

Superficiales. Volumétricas. * Cuando la temperatura de un cuerpo aumenta, se dice que sufre una dilatación positiva (dilatación), y si disminuye se dice que sufre una dilatación negativa (contracción). ¡Importante!

* El coeficiente de dilatación es un valor que indica cuán rápido se dilata o se contrae un cuerpo, y depende del tipo de material del que está hecho el cuerpo. °C-1

Unidad:

e u q u L ó

1/°C

-Para la dilatación lineal se debe emplear las siguientes fórmulas:

∆L = L 0 .α.∆T L f = L 0 .(1 + α.∆T)

I) II)

in a c a u H e ia m

DILATACIÓN SUPERFICIAL

Se aplica para el caso de placas o láminas muy delgadas donde sólo interesa la variación del área de su superficie. 0 Ca lo r

19.-Calcular la temperatura de equilibrio al mezclar 40 g de agua a 10°C con 60 g de agua a 30°C y con 120 g de agua a 60°C. A) 36,65°C B) 59,14°C C) 42,72°C D) 53,5°C E) 24°C

182

FÍSICA

A

T0

La dilatación de un sólido se debe al aumento de la agitación molecular debido al aumento de la temperatura

DILATACIÓN LINEAL

Se aplica para cuerpos muy delgados o elementos muy finos (alambres, varillas, barras, vigas, puentes, etc.) donde su dimensión principal es su longitud.

lor

18.-Si en un calorímetro ideal, se introducen hielo a -10°C con agua a 85°C en iguales cantidades, entonces podemos afirmar que en el equilibrio habrá: A) Agua a temperatura sobre 0°C B) Hielo a temperatura bajo 0°C C) Solamente hielo a 0°C D) Solamente agua a 0°C E) Agua y hielo a 0°C

LIC. JAIME A. HUACANI LUQUE

Ca

FÍSICA

T0

Tf

Donde:

J

L

L0

Lf

∆L = L f − L 0 ∆T = Tf − T0

-Coeficiente de Dilatación Lineal (α ) Se define como la variación porcentual de la longitud por cada variación de temperatura.

Donde:

S

Af Tf

∆S = A f − A 0 ∆T = Tf − T0

-Coeficiente de Dilatación Superficial (β ) Se define como la variación porcentual del área de la superficie por cada variación de temperatura.

Unidad: °C-1 ó 1/°C *Observación: -Como podemos observar, la dilatación superficial hace que el cuerpo se dilate en sus dos dimensiones (largo y ancho), lo cual nos indica que equivale a dos dilataciones lineales, por lo tanto se deduce lo siguiente:

β = 2α

183

FÍSICA

LIC. JAIME A. HUACANI LUQUE

-Para la dilatación lineal se debe emplear las siguientes fórmulas: I) ∆S = S0 .β.∆T II) S f = S0 .(1 + β.∆T)

r

volumen “Δ V”.

I)

∆V = V0 .γ.∆T

II)

Vf = V0 .(1 + γ.∆T)

e u q u L

Ca lor

R0

-Coeficiente de Dilatación Volumétrico (ϒ ) Se define como la variación porcentual del volumen por cada variación de temperatura. Unidad:

°C-1

T

ó

L0

*Observación: -Se puede observar que la dilatación volumétrica hace que el cuerpo se dilate en sus tres dimensiones (largo, ancho y altura), de lo cual se deduce que esta dilatación equivale a tres dilataciones lineales, entonces:

in a c a u H e ia m

Cuando la temperatura aumenta en un cuerpo sólido, su volumen aumenta, por lo tanto su densidad disminuye, pero manteniendo constante su masa. *Consideremos un cuerpo de masa “m”, de volumen inicial “V0” y temperatura inicial “T0” entonces, su densidad inicial será:

V0

m

J

ρ0 =

T0

m V0

Tf

Vf

m

ρf =

Tf

m Vf

Metal “B”(αB)

-Casos Particulares:

1.-Si α A=α B, las barras se dilatan en igual longitud. Además, las barras no se arquean.

T0

…….(II)

  

Metal “A”(αA)

…….(I)

*Aumentamos la temperatura hasta “Tf”, por lo tanto el volumen se incrementa hasta “Vf”, obteniéndose una densidad final “ f”.

T0

ρ0 1 + γ .∆T

BARRA BIMETÁLICA (Termocupla) Es aquella formada por dos tiras metálicas diferentes firmemente unidas.

VARIACIÓN DE LA DENSIDAD ( ρ ) CON LA TEMPERATURA (T):

Lf

1/°C

ρf =

 − ρ 0 .γ .∆T ∆ρ =   1 + γ .∆T

A f = A0 (1 + β .∆T )

“α ” doblada de tal modo que la distancia entre sus extremos es “L0” cuando está a una temperatura “T0”, se calienta hasta una temperatura “Tf”, entonces la distancia entre los extremos del alambre aumenta hasta tener una longitud “Lf”.

e u q u L

m ……....(V) V0 .(1 + γ .∆T )

-Incremento de la densidad (Δ ρ ):

*Se cumple que:

II) Si tenemos un alambre o varilla de coeficiente

…………(IV)

Reemplazando (I) en (V):

Tf Af

m Vf

Reemplazando (III) en (IV):

ρf =

A0

Rf

R f = R 0 .(1 + α.∆T)

∆T = Tf − T0

ρf =

T0

ΔT

*Se cumple que:

J

círculo de área “A0” y luego se calienta la placa hasta una temperatura “Tf”, el orificio se dilata junto con la placa hasta tener un área “Af”.

ΔV

∆V = Vf − V0

-La densidad final “ρ f”

β ” a una temperatura “T0”, y se le extrae un

I) Si tenemos un aro o anillo de alambre, de

in a c a u H e ia m Tf

V f = V0 .(1 + γ .∆T )……..(III)

III) Si se tiene una placa metálica de coeficiente “

PROPIEDADES

V0

Vf

Donde:

-El volumen final “Vf”

coeficiente de dilatación lineal “α ” y radio “R0”, se calienta, entonces el aro se dilata y el radio aumenta hasta “Rf”.

T0

LIC. JAIME A. HUACANI LUQUE

L f = L 0 .(1 + α.∆T)

DILATACIÓN VOLUMÉTRICA

Ca lo

*Se cumple que:

γ = 3α -Para la dilatación Volumétrica se debe aplicar las siguientes fórmulas:

Es el caso más general de dilatación térmica. Todos los cuerpos aumentan su volumen cuando su temperatura aumenta. Consideremos un cilindro de volumen inicial “V0” a la temperatura “T0”, luego calentamos dicho cilindro hasta “Tf”, entonces sufre un aumento de

184

FÍSICA

A Tf B

A B

∆L

2.-Si α A>α B, la barra “A” se dilatará más que la barra”B”. El sistema se arqueará.

185

FÍSICA

tgθ = A

3.-Si α A