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UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA ALGEBRA, TRIGONOMETRÍA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA TAREA 4 DESARROLLAR EJERCICIOS UNIDAD 3

TUTOR: CODIGO : 301301A_474

CUNDINAMARCA CEAD ZIPAQUIRA AÑO 2018

Introducción El siguiente documento contiene el desarrollo de diez ejercicios correspondientes a las temáticas geometría analítica, sumatoria y productoria, además del trabajo con la herramienta GeoGebra 5 en cada uno de los ejercicios.

Desarrollo de los ejercicios

Ejercicio 1: La Recta

Ejercicios propuestos: 3. La torre de control de un aeropuerto registra la posición de una aeronave comercial de pasajeros en el punto A (-2,5) y calcula que manteniendo su trayectoria pasará por B (6, -3), avanzando a 750km/h. Inmediatamente después, el aeropuerto detecta otra aeronave en C (-5,-6) y estima que, en 10 minutos, a la misma altitud, encontrará en ángulo recto la trayectoria de la primera aeronave.

Distribución A (-2,5) B (6,-3) C (-5,-6) V=750K/H a) Calcula la pendiente de ambas trayectorias 𝑀𝐴𝐵 =

𝑦2 − 𝑦1 −3 − 5 −8 = = −1 𝑥2 − 𝑥1 6+2 8

Rta: la pendiente de las trayectorias es -1 Geogebra

b) Encuentra las coordenadas del punto de intersección

𝑦 − 𝑦 = 𝑚(𝑥 − 𝑥1) 𝑦 − 5 = −1(𝑥 + 2) 𝑦 = −𝑥 − 2 + 5 𝑦 = −𝑥 + 3 𝑦 + 6 = 1(𝑥 + 5) 𝑦 =𝑥+5−6 𝑦 =𝑥−1 Igualdad −𝑥 + 3 = 𝑥 − 1 −𝑥 − 𝑥 = −1 − 3 −2𝑥 = −4 4 𝑥= 2 𝑋=2 𝑦 = 2−1 𝑦=1

Rta: Las coordenadas del punto de intersección son x=2 y=1. c) Determina en cuántos minutos alcanzará la primera aeronave dicho punto D = 𝐴(−2.5)𝐼(2,1) D=√(2 + 2)2 + (1 − 5)2 D=√16 + 16 x=√32 Entonces para determinar cuánto tiempo utilizamos la fórmula de distancia sobre tiempo. 𝑇=

X V

𝑇=

√32 ∗ 60 = 0.45 𝑚𝑖𝑛 750

Rta: la segunda aeronave el punto de intercesión en 0.45 min. d) ¿Existe riesgo de que ocurra un accidente?

Rta: No hay riesgo de colisión por que las dos aeronaves no pasan al mismo tiempo por el punto de intercesión.

4. Te asocias con un amigo y pones un negocio para renta de películas en DVD. Observas, al término del primer mes, que cuando el precio del alquiler es de $ 26 pesos por película, la renta promedio diaria es de 60 películas, y cuando es de $ 31 pesos, el alquiler disminuye a 30 películas.

Distribución A (60,26), B (30,31)

a) Escribe un modelo que relacione precio de alquiler y con número de x de videos alquilados. 𝑀𝐴𝐵 =

𝑦1−𝑦2 𝑥2−𝑥1

31−26

5

1

= 30−60 = −30=− 6

Rta: el modelo de relación nos indica que por 1 peso se pueden alquilar 6 películas. Geogebra

b) Determina la pendiente: ¿Qué significado tiene en este modelo?

Rta: Que mayor número de películas alquiladas menor va ser su costo.

c) ¿A partir de qué precio nadie rentaría películas en tu negocio? −1 (𝑥 − 60) 6 −1 𝑦 − 26 = 𝑥 + 10 6 −1 𝑦= 𝑥 + 10 + 26 6 −1 𝑦= 𝑥 + 36 6 −1 (0) + 36 𝑦= 6 𝑦 = 36 𝑦 − 26 =

Rta: A partir de 36 pesos nadie rentaría películas.

Ejercicio 2: Circunferencia y Elipse

Ejercicios propuestos: 7. Una empresa que fabrica zapatos puede producir zapatos para caballero o para dama modificando el proceso de producción. Las cantidades posibles x y y (en cientos de pares) están relacionadas por la ecuación:

𝑥 2 + 𝑦 2 + 40𝑥 + 30𝑦 = 975

Dibuje la curva de transformación de productos de esta empresa.

8. En ciertas construcciones antiguas, y en otras recientes, el diseño del espacio en algunos salones permite escuchar en un sitio especial lo que se habla en otro lugar del mismo recinto, sin que en otros puntos se escuche la plática. Debido a esta peculiaridad, estas salas son conocidas como cámara de los secretos.

Cerca de la ciudad de México, en uno de los patios del antiguo Convento del Desierto de los Leones, podemos apreciar una de estas cámaras construida en el siglo XVII. Aprovechando una particularidad de las elipses, tales construcciones poseen una

bóveda elíptica y sitúan los focos justamente en los puntos desde los cuales se transmite o escucha el mensaje.

La ecuación 16x2 + 41y2 – 131,20y – 551,04 = 0 describe la sección elíptica de un salón con cámara de los secretos.

a) ¿A qué distancia del centro deben estar situadas dos personas para que una escuche lo que habla la otra? b) ¿Cuál es, desde el piso, la máxima altura que alcanza la bóveda del salón? Ejercicio 3: Hipérbola y Parábola

Cada uno de los estudiantes leerá atentamente los ejercicios propuestos a continuación y debe seleccionar dos de los ejercicios referenciados y anunciar su escogencia en el foro, por medio de la Tabla 1.

Para el desarrollo de esta tarea, es necesario que el estudiante revise en el Entorno de Conocimiento (Unidad 3), las siguientes referencias:



Ortiz, C. F. J. (2014). Matemáticas 3 (2a. ed.). México, D.F., MX: Larousse - Grupo Editorial Patria. Páginas 112 – 121.



Rondón, J. (2017). Algebra, Trigonometría y Geometría Analítica. Bogotá D.C.: Universidad Nacional Abierta y a Distancia. Páginas 310 - 323.

Ejercicios propuestos: 10. Un túnel con arco parabólico en la carretera Cali – Buenaventura, tiene una altura máxima en su centro de 6,4 metros en su centro y su anchura al nivel del suelo es de 5,6 metros.

a) ¿A qué distancia del punto más bajo del cable se ubica el foco? (Distancia Focal)

b) Escriba la ecuación del perfil parabólico de acuerdo con el bosquejo realizado c) ¿A qué distancia del centro la altura del túnel es de 4 metros? 11. El chorro de agua que sale de la manguera con que riegas un jardín sigue una trayectoria que puede modelarse con la ecuación x2 – 10x +20y -15 = 0, con las unidades en metros. ¿Cuál es la máxima altura que alcanza el chorro de agua? Ejercicio 4: Sumatoria

Cada uno de los estudiantes leerá atentamente los ejercicios propuestos a continuación y debe seleccionar dos de los ejercicios referenciados y anunciar su escogencia en el foro, por medio de la Tabla 1.

Para el desarrollo de esta tarea, es necesario que el estudiante revise en el Entorno de Conocimiento (Unidad 3), las siguientes referencias:



Mesa, O. J., & González, P. L. (2009). Propiedades de las sumatorias. Córdoba, AR: El Cid Editor | apuntes. Páginas 1 – 9



Martínez, B. C. (2011). Estadística básica aplicada (4a.ed.). Bogotá, CO: Ecoe Ediciones. Páginas 33 – 36.



Rondón, J. (2017). Algebra, Trigonometría y Geometría Analítica. Bogotá D.C.: Universidad Nacional Abierta y a Distancia. Páginas 348 – 354.

Ejercicios propuestos:

14. Un contador maneja las finanzas de 7 clientes codificados del 1 al 7. En 6 bancos que denomina por confidencialidad banco 1, banco, 2, etc. En la siguiente tabla se muestra el dinero con que cuenta cada cliente en cada banco:

Banco(i) \Cliente (j)

1

2

3

4

5

6

7

1

$ 6.410.962

$ 9.327.965

$ 1.900.387

$ 4.124.495

$ 5.385.308

$14.558.333

$11.805.339

2

$ 6.392.716

$12.156.984

$ 8.412.177

$ 5.295.015

$ 8.475.572

$12.698.912

$ 5.118.183

3

$14.706.292

$11.361.969

$11.339.105

$ 8.578.405

$ 4.786.921

$13.850.765

$11.476.590

4

$10.048.815

$14.624.637

$11.407.585

$10.510.975

$ 5.364.972

$ 9.142.938

$ 5.020.781

5

$ 6.806.785

$ 9.716.011

$11.737.031

$ 4.232.126

$ 4.182.149

$ 6.801.151

$ 8.481.249

6

$13.363.962

$ 4.014.742

$ 6.724.977

$14.750.135

$14.693.597

$10.953.334

$11.314.625

a) El total de dinero con que cuenta el cliente 2, se representan por:

6

D i 1

i2

Utilice la definicion de sumatoria para calcular este total de dinero.

b) Represente en notación de sumatorias, el dinero total que administra el Contador en cuentas del banco 4

15. En una institución educativa hay 6 cursos, denominados del 1 al 6. Para cada uno de los cuales hay 5 secciones de estudiantes.

Curso (i) /sección (j)

1

2

3

4

5

1

30

25

22

42

31

2

31

23

36

20

37

3

34

30

34

31

27

4

25

34

28

20

31

5

23

20

35

36

26

6

23

25

29

39

33

a) Usando la notación de sumatorias, el número total de estudiantes del curso 2 es:

5

n j 1

2j

Encuentre el número total de estudiantes para este curso, aplicando la definición de sumatoria.

b) Identifique la notación de sumatorias que representa al número total de estudiantes que pertenecen a la sección 4. Ejercicio 5: Productoria

Cada uno de los estudiantes leerá atentamente los ejercicios propuestos a continuación y debe seleccionar dos de los ejercicios

referenciados y anunciar su escogencia en el foro, por medio de la Tabla 1.

Para el desarrollo de esta tarea, es necesario que el estudiante revise en el Entorno de Conocimiento (Unidad 3), las siguientes referencias:



Martínez, B. C. (2011). Estadística básica aplicada (4a.ed.). Bogotá, CO: Ecoe Ediciones. Páginas 36 – 38.



Rondón, J. (2017). Algebra, Trigonometría y Geometría Analítica. Bogotá D.C.: Universidad Nacional Abierta y a Distancia. Páginas 360 -365.

Ejercicios propuestos: 17. Una fábrica de juguetes, la cual es responsable de producir la muñeca de moda, ha diseñado un kit de guardarropa para esta muñeca, el cual está compuesto de tres vestidos: un azul, un gris y un negro; así como también de dos pares de zapatos: un par de color rojo y un par de color amarillo. ¿Cuántas formas de organizar la ropa para esta muñeca se puede lograr con este kit de guardarropa?

18. Una permutación es un arreglo donde los elementos que lo integran y su orden no importa. Considere el siguiente conjunto: {a,b,c,d}.

¿Cuántas permutaciones de tres elementos pueden obtenerse de este conjunto?