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Econometría Msc. Alexander Andrade C.

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MODELO CLÁSICO DE REGRESIÓN LINEAL NORMAL (MCRLN)

Ecometría. Msc. Alexander Andrade C.

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MODELO CLÁSICO DE REGRESIÓN LINEAL NORMAL (MCRLN) • La teoría clásica de inferencia estadística esta formada por dos ramas: • La estimación • Prueba de hipótesis • El objetivo del análisis de regresión consiste en: • Estimar la Función de Regresión Muestral (FRM) • Realizar inferencias respecto a la Función de Regresión Poblacional (FRP). Por ejemplo, que tan cerca esta el parámetro estimado 𝛽𝑘 del verdadero valor del parámetro 𝛽𝑘

Como 𝛽𝑘 es una variable aleatoria, se necesita conocer su distribución de probabilidad para hacer inferencias.

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MODELO CLÁSICO DE REGRESIÓN LINEAL NORMAL (MCRLN) • El Modelo Clásico de Regresión Lineal no requiere de ningún supuesto sobre la distribución de la probabilidad de 𝜇𝑖 , solo requiere que el valor de su media sea cero y su varianza sea constante finita. • El MCRLN en cambio supone: 𝜇𝑖 ~𝑁 (0, 𝜎 2 ) 𝜇𝑖 sigue una distribución normal con parámetros de media 0 y varianza 𝜎2.

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MODELO CLÁSICO DE REGRESIÓN LINEAL NORMAL (MCRLN) ¿Por qué asumir el supuesto de normalidad?

• Teorema del Límite Central (TLC): Si existe un gran número de variables aleatorias independientes e idénticamente distribuidas, su distribución de probabilidad tiende a ser normal a medida que el número de tales variables se incrementa indefinidamente. • Una propiedad de la distribución normal es que cualquier función lineal de variables normalmente distribuidas estará también normalmente distribuida. Considerando que los estimadores de MCO 𝛽1 y 𝛽2 , son funciones lineales de 𝜇𝑖 , entonces, 𝛽1 y 𝛽2 están normalmente distribuidas. • La suposición de normalidad, no solo ayuda a derivar las distribuciones de probabilidad exactas de MCO, sino también, permite utilizar las pruebas estadística 𝑡, 𝐹, 𝜒 2 para los modelos de regresión. Econometría. Msc. Alexander Andrade C.

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MODELO CLÁSICO DE REGRESIÓN LINEAL NORMAL (MCRLN) Propiedades de los Estimadores MCO bajo el supuesto de normalidad 1. Son insesgados (valor promedio igual al valor verdadero).

2. Tienen varianza mínima o son estimadores eficientes. 3. Presentan consistencia, a medida que el tamaño de la muestra aumenta indefinidamente, los estimadores convergen hacia sus verdaderos valores poblacionales.

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MODELO CLÁSICO DE REGRESIÓN LINEAL NORMAL (MCRLN) Propiedades de los Estimadores MCO bajo el supuesto de normalidad 4. 𝛽1 (al ser una función lineal de 𝜇𝑖 ) esta normalmente distribuida: 𝛽1 ~𝑁(𝛽1 , 𝜎𝛽21 ) Donde: Media: 𝐸 𝛽1 = 𝛽1 var(𝛽1 ):

𝜎𝛽21

=

𝑥𝑖 2 2 2𝜎 𝑛 𝑋𝑖

Entonces de acuerdo a las propiedades de la distribución normal, se puede definir la variable Z como: 𝛽1 − 𝛽1 𝑍= 𝜎𝛽1 Que sigue una distribución normal estándar, es decir, una distribución normal con media cero y varianza unitaria. 𝑍~𝑁(0,1) Econometría. Msc. Alexander Andrade C.

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MODELO CLÁSICO DE REGRESIÓN LINEAL NORMAL (MCRLN) Propiedades de los Estimadores MCO bajo el supuesto de normalidad 5. 𝛽2 (al ser una función lineal de 𝜇𝑖 ) esta normalmente distribuida: 𝛽2 ~𝑁(𝛽2 , 𝜎𝛽22 ) Donde: Media: 𝐸 𝛽2 = 𝛽2 var(𝛽2 ):

𝜎𝛽22

=

𝜎2 𝑋𝑖 2

Entonces de acuerdo a las propiedades de la distribución normal, se puede definir la variable Z como: 𝛽2 − 𝛽2 𝑍= 𝜎𝛽2 Que sigue una distribución normal estándar, es decir, una distribución normal con media cero y varianza unitaria. 𝑍~𝑁(0,1) Econometría. Msc. Alexander Andrade C.

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MODELO CLÁSICO DE REGRESIÓN LINEAL NORMAL (MCRLN)

6. (𝑛 − 2)(𝜎 2 /𝜎 2 ) esta distribuida como la distribución 𝜒 2 con n-k g. de l.; así se puede conocer el verdadero valor de 𝜎 2 a partir de 𝜎 2 . Econometría. Msc. Alexander Andrade C.

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REGRESIÓN CON DOS VARIABLES: ESTIMACIÓN DE INTERVALOS Y PRUEBA DE HIPÓTESIS

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INTERVALOS DE CONFIANZA PARA LOS COEFICIENTES DE REGRESIÓN 𝜷𝟏 Y 𝜷𝟐

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INTERVALOS DE CONFIANZA PARA LOS COEFICIENTES DE REGRESIÓN 𝛽1 Y 𝛽𝟐 Bajo el supuesto de normalidad de 𝜇𝑖 , los estimadores MCO 𝛽1 y 𝛽2 son en sí mismos normalmente distribuidos. Tomando la variable estandarizada Z de 𝛽2 : 𝑍=

𝛽2 −𝛽2 ; 𝜎𝛽 2

𝑍=

𝛽2 −𝛽2 ; 𝑒𝑒(𝛽2 )

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INTERVALOS DE CONFIANZA PARA LOS COEFICIENTES DE REGRESIÓN 𝛽1 Y 𝛽𝟐 Llamemos ahora a Z, la variable: 𝑡 =

𝛽2 −𝛽2 𝑒𝑒(𝛽2 )

Se puede demostrar que la variable t sigue una distribución t con 𝑛 − 𝑘 grados de libertad (g. de l.) y de esta manera se puede construir el intervalo de confianza para 𝛽2 de la siguiente forma: Pr −𝑡𝛼 2 ≤ 𝑡 ≤ 𝑡𝛼

2

=1−𝛼

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INTERVALOS DE CONFIANZA PARA LOS COEFICIENTES DE REGRESIÓN 𝛽1 Y 𝛽𝟐 Reemplazando por el valor de 𝑡 = Pr −𝑡𝛼 2 ≤

Pr 𝛽2 −𝑡𝛼

2

𝛽2 −𝛽2 𝑒𝑒(𝛽2 )

𝛽2 − 𝛽2 𝑒𝑒(𝛽2 )

≤ 𝑡𝛼

=1−𝛼

2

𝑒𝑒(𝛽2 ) ≤ 𝛽2 ≤ 𝛽2 +𝑡𝛼

2

𝑒𝑒(𝛽2 ) = 1 − 𝛼

Nótese que la amplitud del intervalo de confianza es proporcional al error estándar del estimador. Econometría. Msc. Alexander Andrade C.

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INTERVALOS DE CONFIANZA PARA LOS COEFICIENTES DE REGRESIÓN 𝛽1 Y 𝛽𝟐 Intervalo de confianza

Pr 𝛽2 −𝑡𝛼

2 𝑒𝑒(𝛽2 ) ≤ 𝛽2 ≤ 𝛽2 +𝑡𝛼

2 𝑒𝑒(𝛽2 ) = 1 − 𝛼

Nivel de confianza

Pr 𝛽2 −𝑡𝛼

2 𝑒𝑒(𝛽2 ) ≤ 𝛽2 ≤ 𝛽2 +𝑡𝛼

2 𝑒𝑒(𝛽2 ) = 1 − 𝛼

Nivel de significancia 0