• Author / Uploaded
• zarzosa rabanal

• Categories
• Resistencia de materiales
• Tensión (Mecánica)
• Cantidad
• Mecánica clásica
• Física y matemáticas

Citation preview

UNI VER

UNIVERSIDAD NACIONAL DE TRUJILLO

SIDUNIVERSIDAD NACIONAL DE TRUJILLO

NA CIO

FACULTAD DE INGENIERIA E.A.P DE INGENIERIA DE MECANICA

NAL “PROBLEMAS DE PLACAS Y BOVEDAS”

TRU JILL

A C U LT A D D E IN G E NI E RI A

PROFESOR

: AGUADO MERE HECTOR

CURSO

: RESISTENCIA DE

ALUMNOS

:

MATERIALES II.

NEGRON MONJA, GIANCARLO. PERALES PEREYRA, AUGUSTO NAPOLEÓN. CARRANZA CORONADO, GERSON. PAREDES AVILA, JAVIER.

RESISTENCIA DE MATERIALES II.

UNIVERSIDAD NACIONAL DE TRUJILLO

NO VIEMBRE DEL 2015

EJERCICIOS RESUELTOS. 1.

Una lámina rectangular libre de espesor flexión por momento por unidad de longitud

h=0.6 cm

se encuentra sometida a

M x =600 N . m/m.

distribuidos a lo largo de los bordes paralelos al eje

Uniformemente

y . Hallar el momento torsor

máximo en la lámina, así como las tensiones normales y tangenciales máximas. Determinar así también los radios de curvatura principales de la superficie media de la lámina. La lamina es de acero (

E=2 x 10 5 MPa , μ=0.3 ¿ .

solucion :

la lamina libre flexa por una superficie de doblecurvatura cada tira de lamina , p erpendicular al eje y , se somete a flexionbajo la accion de los momentos M x igual que una simple viga.

6 x 10 (¿¿−3) =108 =100 MPa . 6. M 6 ( 600 ) σ x max ¿ 2 x = ¿ h 2

En direcciondel eje y no existen momentos flectores y σ y =0. Las tensiones tangenciales maximas son :

τ max =

σ x max−σ y 100 MPa . = =50 MPa . 2 2

El momento torsor maximo es :

−3 2 h2 50 MPa . ( 6 x 10 ) K max =τ max . = =300 N . m/m. 6 6

RESISTENCIA DE MATERIALES II.

UNIVERSIDAD NACIONAL DE TRUJILLO losradios de curvatura principales serian: EJ 2 x 10 5 x 6 3 x 10 −9 ρ x= = =6 m ; laconvexidad estadirigida haciaabajo . Mx 600 x 12 x 10 −6

ρ y=

2.

−EJ 2 x 10 5 x 6 3 x 10 −9 = =−20 m; la convexidad esta dirigidahacia arriba . μ . Mx 0.3 x 600 x 12 x 10 −6

Una lámina rectangular libre de espesor por

momentos

M x =300 N . m/m .

y

h=0.4 cm se halla expuesta a flexión

M y =100 N .m/m .

Uniformemente

distribuidos a lo largo de sus bordes. Determinar las tensiones normales y tangenciales máximas en la lámina y comprobar su resistencia con ayuda de la teoría energética de resistencia usando la tensión admisible igual a 120MPa.

solucion :

RESISTENCIA DE MATERIALES II.

UNIVERSIDAD NACIONAL DE TRUJILLO 4 x 10 4 x 10 (¿¿−3) 2=37.5 MPa . 6. M 6 ( 100 ) (¿¿−3) 2=112,5 MPa . ; σ y max ¿ 2 y = ¿ h 6. M 6 ( 300 ) σ x max ¿ 2 x = ¿ h

τ max =

σ x max−σ y max 112.5−37.5 = =37.5 MPa . 2 2

Enla teoria energeticala conduccionde resistenciacumple : 2 2 2 2 2 σ e = √ . ( σ 1−σ 2 ) + ( σ 2−σ 3 ) + ( σ 3−σ 2 ) = √ . √ 752 +37.52 +112.5 2=99 MPa . 2 2

√

lo que viene a ser muchomenor que 99 MPa

√ 12

Entonces la lámina perderá su estabilidad cunado en ella se formen semiondas: k=4.2 RESISTENCIA DE MATERIALES II.

UNIVERSIDAD NACIONAL DE TRUJILLO La rigidez cilíndrica de la lámina: 3

Eh =3.47 D= 12(1−μ2) σ=2.88 MPa < σprom En el caso que se aplique en los bordes largos, m=1, k=4.95, σ=1.32MPa

2.

Determinar el grosor h de una lámina a partir de su estabilidad en compresión por los bordes cortos. La lamina esta simplemente apoyada por 5

su contorno. Viene dado: a=35cm, b=10cm, E=2 ¿ 10

MPa, μ=0.28, el

coeficiente de reserva de estabilidad es n=1.5

P∗n 4.5∗10 3 σ= bh = h

La rigidez cilíndrica de la lámina es



E h3 10 3 D= 12(1−μ2) =1.8* 10 h

√ 12

Si la relación de lados (a/b)=3.5 >

; la lámina perderá la

estabilidad con la formación de m=4, semiondas a lo largo de la lámina. El grosor de la lámina se determina a partir de la condición σ=

3 π 2 kD 4.5∗10 h b2 h =

−3

Entonces m=1.84* 10

=1.84 mm

RESISTENCIA DE MATERIALES II.

UNIVERSIDAD NACIONAL DE TRUJILLO

3.

Una lámina cuadrada de lado b=20cm con apoyos articulados en su contorno esta comprimida en dos mutuamente perpendiculares por fuerzas lineales iguales N. Determinar la tensión critica, si el groso h=0.4cm. E=7* 4

10

MPa, μ=0.3 ¿Cuánto menos es esta tensión en comparación con el

caso cuando la lámina se comprime en una sola dirección?

La lamina cuadrada perderá su estabilidad, formando una semionda en cada sentido de compresión: m==n=1

π 2 kD σx=σy= b2 h

RESISTENCIA DE MATERIALES II.

UNIVERSIDAD NACIONAL DE TRUJILLO mb 2 2 +n a ¿ ¿ =2 ¿2 ¿ k=¿ E h3 D= 12(1−μ2) =410 Nm Entonces

σx=σy= 50.6 MPa

4.

Una lámina de longitud a=40cm, ancho b=20cm, grosor h=0.3 cm esta comprimida longitudinalmente por esfuerzos lineales Nx. Determinar en cuanto disminuirá las tensiones críticas, si a la lámina se le aplican adicionalmente unos esfuerzos de compresión Ny=Nx/2 en dirección 5

trasversal. Considerar que E=2* 10 MPa , μ=0.25

3

Eh D= 12(1−μ2) =480

RESISTENCIA DE MATERIALES II.

UNIVERSIDAD NACIONAL DE TRUJILLO k π2 D b2 h

σ=

6



Si la compresión es unidimensional k=4, σ=158 ¿ 10



Si la compresión es en dos direcciones mutuamente perpendiculares;

, Pa=158

Ny/Nx=0.5 2

k=

2

(0.5 +1) =2.08 , σ=82 0.52 +0.5

Entonces, ∆σ=158-82=76MPa

Problema 1: Determinar las flechas máximas en la placa solicitada por una carga uniforme distribuida p, en el caso siguiente de apoyo de la placa: placa empotrada en su contorno. El radio de la placa es R y su espesor es h.

Solución: Comenzamos la solución del problema por la determinación de la fuerza cortante Q. En la parte central de la placa de radio r. Por la ecuación de equilibrio nos da:

RESISTENCIA DE MATERIALES II.

UNIVERSIDAD NACIONAL DE TRUJILLO

Q.2 πr

=

pπ r

2

;

Q=

p .r 2

De la expresión de doble integración obtenemos lo siguiente:

c p .r 3 ϑ (r )=c 1. . r + 2 − r 16. D En este caso el ángulo de giro

ϑ

3

, donde

E.h D= 2 12(1−u )

en el centro de la placa (cuando r=0) es

igual a cero. Esto puede ocurrir solamente cuando

c 2=0 . Entonces la

ecuación se reduce a: 3

ϑ (r )=c 1 . r−

p.r 16. D ………………………(1)

También sabemos por las condiciones de contorno o frontera que cuando

ϑ =0, de donde se obtiene,

r=R, el ángulo

2

c 1= 2

p.R 16. D , Entonces la ecuación (1) se reduce a:

3

R . r−r p ϑ (r )= ¿ ) 16. D

De la expresión

ϑ=

−dw dr

obtenemos la ecuación de la flecha W en función

del radio:

w (r )=

Donde

p 1 r4 [c3 − . R2 . r 2+ ] 16. D 2 4 c3

se obtiene de la condición de que el desplazamiento w en el

contorno es igual a cero. Así:

1 4 C3 = . R 4

Entonces:

w (r )=

p 2 2 2 ( R −r ) …………………………..(2) 64. D

RESISTENCIA DE MATERIALES II.

UNIVERSIDAD NACIONAL DE TRUJILLO Como el problema nos pide la flecha máxima la cual se dará cuando r=0 por tanto la flecha máxima es:

w max=

p . R4 64. D

Problema 2 Determinar las flechas máximas en la placa solicitada por una carga uniforme distribuida p, en el caso siguiente de apoyo de la placa: placa apoyada libremente en su contorno. El radio de la placa es R y su espesor es h.

Solución: Comenzamos la solución del problema por la determinación de la fuerza cortante Q. En la parte central de la placa de radio r. Por la ecuación de equilibrio nos da: Q.2 πr

=

Q=

pπ r 2

p .r 2

De la expresión de doble integración obtenemos lo siguiente,

c p .r 3 ϑ (r )=c 1. . r + 2 − r 16. D En este caso también el ángulo de giro

ϑ

, donde

E . h3 D= 12(1−u 2)

en el centro de la placa (cuando

r=0) es igual a cero. Esto puede ocurrir solamente cuando

c 2=0 .

Entonces la ecuación se reduce a:

ϑ (r )=c 1 . r−

p . r3 16. D ………………………(1)

RESISTENCIA DE MATERIALES II.

UNIVERSIDAD NACIONAL DE TRUJILLO En este caso son nulas las tensiones radiales o momentos radiales en el contorno. Por lo tanto, de acuerdo a la primera de la expresiones obtendremos para r=R;

dϑ u . ϑ + =0 dr r De esta ecuación de obtiene la constante

c 1 . La ecuación (1) nos dará en

este caso: 2

C1 −

(

2

)

3. p . R p.R +u . C1 − =0 16. D 16. D

De donde hallamos,

C1 =

ϑ (r )=

p . R2 ( 3+u ) . 16. D ( 1+u ) , entonces la ecuación (1) es:

[

p ( 3+u ) 2 . R .r −r 3 16. D ( 1+u )

]

La ecuación de los desplazamientos es la siguiente, determinada por la siguiente expresión

ϑ=

w (r )=

−dw dr

( 3+u ) R2 . r 2 r 4 p [c3 − . + ] 16. D (1+u ) 2 4

La constante

c3

se determina, de nuevo, de tal manera que sea nulo el

desplazamiento w en su contorno,

R4 5+u c 3= . 4 1+u De donde obtenemos lo siguiente:

w (r )=

p 1 (5+ u ) 4 1 ( 3+u ) 2 2 1 4 [ . .R − . . R . r + . r ] ………………….. (2) 16. D 4 ( 1+u ) 2 ( 1+u ) 4

RESISTENCIA DE MATERIALES II.

UNIVERSIDAD NACIONAL DE TRUJILLO Como el problema nos pide la flecha máxima la cual se dará cuando r=0 por tanto la flecha máxima es:

w max=

5+u p . R 4 . 1+u 64. D

Problema 3 Determinar las tensiones máximas en la placa solicitada por una carga uniforme distribuida p, en el caso siguiente de apoyo de la placa: placa empotrada en su contorno. El radio de la placa es R y su espesor es h.

Como en el problema 1 la expresión de doble integración nos dio lo siguiente: 2

3

R . r−r p ϑ (r )= ¿ ) 16. D Sabemos por teoría que los momentos flectores en placas circulares se determinan por las siguientes formulas:

RESISTENCIA DE MATERIALES II.

UNIVERSIDAD NACIONAL DE TRUJILLO

M r=D(

dϑ ϑ +μ ) dr r

ϑ dϑ M t=D( + μ ) r dr Por tanto los momentos flectores son:

M r=

p 2 [R . ( 1+u )−r 2(3+u)] 16

M t=

p 2 [R . ( 1+u )−r 2 ( 1+3. u ) ] 16

Ahora por teoría sabemos que las tensiones máximas se determinan bajo las siguientes expresiones:

max

σt =

σ max r =

6 Mr h

2

6 Mt h2

Reemplazando los momentos flectores en estas expresiones no dará las tensiones máximas solicitadas: max

σr =

σ

max t

2 p R2 6 16 h2

2 μp R2 6 = 16 h2

Problema 4 Determinar las tensiones máximas en la placa solicitada por una carga uniforme distribuida p, en el caso siguiente de apoyo de la placa: placa apoyada libremente en su contorno. El radio de la placa es R y su espesor es h. RESISTENCIA DE MATERIALES II.

UNIVERSIDAD NACIONAL DE TRUJILLO

Como en el problema 2 la expresión de doble integración no dio lo siguiente:

ϑ (r )=

[

p ( 3+u ) 2 . R .r −r 3 16. D ( 1+u )

]

Sabemos por teoría que los momentos flectores en placas circulares se determinan por las siguientes formulas:

M r=D(

dϑ ϑ +μ ) dr r

ϑ dϑ M t=D( + μ ) r dr Por tanto los momentos flectores son:

M r=

p . ( 3+u ) .( R 2+r 2) 16

( 1+3. u ) 2 .r ( 3+u ) ) p M t= . ( 3+u ) . ¿ 16 R2−

Ahora por teoría sabemos que las tensiones máximas se determinan bajo las siguientes expresiones:

σ max r =

max

σt =

6 Mr h2 6 Mt h2

RESISTENCIA DE MATERIALES II.

UNIVERSIDAD NACIONAL DE TRUJILLO Reemplazando los momentos flectores en estas expresiones no dará las tensiones máximas solicitadas: max

max

σ r =σ t =

3+ μ p R2 6 16 h2

RESISTENCIA DE MATERIALES II.