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RESOLVER TRIÁNGULOS OBLICUÁNGULOS USANDO LAS LEYES DE SENO Y COSENO G.FG.11.5.1 J. Pomales Marzo 2010

UNIDAD II: FUNCIONES CIRCULARES Y TRIGONOMÉTRICAS

Introducción • No todos los triángulos poseen un ángulo recto (90º) • Aquellos triángulos que no poseen un ángulo recto se les llama:

TRIÁNGULOS OBLICUÁNGULOS

EJEMPLOS DE TRIÁNGULOS OBLICUÁNGULOS •

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Ninguno de ellos posee ángulos rectos

¿Qué es resolver triángulos? • Calcular la medida de todos sus lados y ángulos. • Anteriormente utilizamos SOHCAHTOA cuando eran triángulos rectángulos. • Ahora utilizaremos la ley de senos y cosenos para resolver cualquier tipo de triángulos.

Y E L

E D

L

S O

N E S

S O

¿Qué establece la ley de los senos? • En cualquier triángulo la relación de cualquiera de sus lados al seno del ángulo opuesto es constante. • Así que, esta ley aplica mayormente cuando tenemos ángulo-lado-ángulo (ALA) ángulo-ángulo-lado (AAL) lado-lado-ángulo (LLA)

¿Qué establece la ley de los senos? • En cualquier triángulo la relación de cualquiera de sus lados al seno del ángulo opuesto es constante.

a b c = = sen A sen B sen C Esta ley se puede utilizar de esta forma y ofrece el mismo resultado final

sen A sen B sen C = = a b c

Ejemplo 1 para ALA • Resuelve el triángulo de la derecha si el mismo posee las siguientes medidas: Estrategia de solución Primero buscamos el tercer ángulo (el que falta) Luego los otros lados utilizando la ley de los senos.

∠A = 180 − (54 + 72) ∠A = 180 − 126 ∠A = 54



Cuidado: No siempre el ángulo que falta será igual a uno de los que aparezca en el triángulo

Ejemplo 1 para ALA • Resuelve el triángulo de la derecha si el mismo posee las siguientes medidas:

=54º

a c = sen A sen C Ahora calculamos los 15 x otros lados utilizando la = sen 54 sen 72 ley de los senos. 15( sen 72) = x( sen 54) 15( sen 72) =x ( sen 54) 17.63 ≈ x

Estrategia de solución

Ejemplo 1 para ALA • Resuelve el triángulo de la derecha si el mismo posee las siguientes medidas: a = sen A Ahora calculamos el 15 lado que falta utilizando = sen 54 la ley de los senos. 15( sen 54) = 15( sen 54) = ( sen 54) 15 =

Estrategia de solución

x

≈

1

63 . 7

m

=54º b sen B y sen 54 y ( sen 54) y y

Ejemplo 1 para ALA • Resuelve el triángulo de la derecha si el mismo posee las siguientes medidas:

x

≈

1

63 . 7

m

=54º y = 15 m

Una vez tengas todas las medidas de los lados y ángulos el problema terminó. Para el caso AAL se puede trabajar de forma similar a ALA.

Ejemplo 2 para LLA • Resuelve el triángulo de la derecha: 23 cm

47 cm

Estrategia de solución c b a = senβ senα 23 47 = sen β sen 123 23( sen 123) = 47( sen β ) 23( sen 123) = sen β 47  23( sen 123)  sen −1  =β 47   24 ≈ β

Primero buscamos el ángulo β con la ley de senos Segundo, buscamos el tercer ángulo que falta. Finalmente, calculamos el lado que falta utilizando la ley de los senos.

Ejemplo 2 para LLA • Resuelve el triángulo de la derecha: 23 cm

47 cm

Estrategia de solución Segundo, buscamos el tercer ángulo que falta.

θ = 180 − β + α θ = 180 − (24 + 123) θ = 180 − 147 θ ≈ 33



c a c Por último, = senα senθ buscamos 47 c el lado que = falta por la sen 123 sen 33 ley de 47( sen 33) = c( sen 123) senos. 47( sen 33) =c

sen 123 31 cm ≈ c

Ejemplo 3 Para medir la longitud d de un lago, se estableció y se midió una línea de base AB de 125 metros. Los ángulos A y B son 41.6º y 124.3º, respectivamente. ¿Qué tan largo es el lago?

Como nos dan la medida de un lado deberíamos conocer el ángulo en C para luego utilizar la ley de senos y encontrar d.

125 m

Estrategia de solución:

Ejemplo 3 Para medir la longitud d de un lago, se estableció y se midió una línea de base AB de 125 metros. Los ángulos A y B son 41.6º y 124.3º, respectivamente. ¿Qué tan largo es el lago?

∠C = 14.1 Ahora usamos la ley de senos para encontrar d

125 m

∠C = 180 − (∠A + ∠B) ∠C = 180 − (41.6 + 124.3) ∠C = 180 − 165.9

Ejemplo 3 Para medir la longitud d de un lago, se estableció y se midió una línea de base AB de 125 metros. Los ángulos A y B son 41.6º y 124.3º, respectivamente. ¿Qué tan largo es el lago?

125( sen 41.6) =d sen 14.1 340.66 ≈ d

125 m

c a = sen C sen A 125 d = sen 14.1 sen 41.6 125( sen 41.6) = d ( sen 14.1)

14.1º

El largo del lago es aproximadamente 340.66 m.

S O L S E D NO Y E E L OS C

¿Qué establece la ley de los cosenos? • Cuando no se tiene entre los datos un par de elementos opuestos la ley de senos no es suficiente. • Así que, esta ley aplica mayormente cuando tenemos lado-ángulo-lado (LAL) lado-lado-lado (LLL)

¿Qué establece la ley de los cosenos? Estas tres ecuaciones plantean en esencia lo mismo.

2

2

2

2

2

2

2

2

2

a = b + c − 2bc cos A b = a + c − 2ac cos B c = a + b − 2ab cos C

Estrategia para resolver casos LAL con ley de cosenos Paso

Encuentre 1 El lado opuesto al ángulo dado

Método Ley de cosenos

2 Segundo ángulo

Ley de senos

(Encuentre el ángulo opuesto al más corto de los dos lados dados; siempre será agudo)

3 Tercer ángulo

180 menos la suma de los otros 2 ángulos

Ejemplo 4 para LAL • Resuelve el triángulo de la derecha Paso 1: Utiliza la ley de cosenos para despejar b. 2

2

2

b = a + c − 2ac cos B 2

2

b = a + c − 2ac cos B b = (10.3) 2 + (6.45) 2 − 2(10.3)(6.45) cos 32.4 b ≈ 5.96 cm

Ejemplo 4 para LAL • Resuelve el triángulo de la derecha Paso 2: Utiliza la ley de senos para encontrar θ . Puesto que el lado c es más corto que el lado a, θ debe ser agudo.

c b = sen θ sen β b( sen θ ) = c( sen β ) c( sen β ) sen θ = b −1  6.45( sen 32.4)  θ = sen   5.96  

θ ≈ 35.44

Ejemplo 4 para LAL • Resuelve el triángulo de la derecha Paso 3: Calcular el tercer ángulo

α = 180 − ( β + θ ) α = 180 − (32.4 + 35.44) α ≈ 112.16



Estrategia para resolver casos LLL con ley de cosenos Paso

Encuentre Método 1 El ángulo opuesto al Ley de lado más largo (hay que tener cosenos cuidado si el ángulo es obtuso)

2 De los ángulos restantes, cuál será agudo (¿Por qué?)

Ley de senos

3 Tercer ángulo

180 menos la suma de los otros 2 ángulos

Ejemplo 5 para LLL • Resuelve el triángulo con a = 27.3 m, b = 17.8 m y c = 35.2 m Paso 1: Utiliza la ley de cosenos para encontrar el ángulo θ , que está opuesto al lado más largo.

c 2 = a 2 + b 2 − 2ab cos θ c 2 − a 2 − b 2 = −2ab cos θ c2 − a2 − b2 = cos θ − 2ab 2 2 2  ( 35 . 2 ) − ( 27 . 3 ) − ( 17 . 8 )  θ = cos −1  − 2(27.3)(17.8)  

θ ≈ 100.49

Ejemplo 5 para LLL • Resuelve el triángulo con a = 27.3 m, b = 17.8 m y c = 35.2 m Paso 2: Utiliza la ley de senos para encontrar el ángulo α o β. Calculemos α.

a c = sen α sen θ c( sen α ) = a( sen θ ) a( sen θ ) sen α = c −1  27.3( sen 100.49)  α = sen   35.2  

α ≈ 49.69

Ejemplo 5 para LLL • Resuelve el triángulo con a = 27.3 m, b = 17.8 m y c = 35.2 m Paso 3: Calcular el tercer ángulo, β.

β = 180 − (α + θ ) β = 180 − (100.49 + 49.69) β ≈ 29.82



E D

S O A I C IC I C T R C E Á J E PR

Resuelva cada triángulo 1) α = 73º β = 28º c = 42 pies 2) α = 122º θ = 18º b = 12 km 3) β = 112º θ = 19º c = 23 yds 4) α = 52º θ = 47º a = 13 cm 5) Dos faros, A y B (con 10 millas de separación), se colocan en una costa para vigilar barcos ilegales que traspasen el límite de 3 millas. Si el faro A reporta un barco S en el ángulo BAS = 37º y el faro B reporta el mismo barco en el ángulo ABS = 20º. ¿A qué distancia está el barco del faro A? ¿A qué distancia está de la costa? (Suponga que la costa está a lo largo de la línea que une a los faros.)

Resuelva cada triángulo

6) α = 72.1º b = 5.32 yds c = 5.03 yds 7) θ = 120º a = 5.73 mm b = 10.2 mm 8) β = 104.5º a = 17.2 pulg c = 11.7 pulg 9) α = 57.2º θ = 112º c = 24.8 m 10) β = 38.4º a = 11.5 pulg b = 14 pulg

Referencia • PRECÁLCULO, FUNCIONES Y GRÁFICAS. Barnett, Ziegler, Byleen, McGraw Hill

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