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Universidad Nacional Abierta y a Distancia – UNAD - Vicerrectoría Académica y de Investigación - VIACI

Escuela: Ciencias Básicas, tecnología e Ingeniería

Programa: Ingeniería Electrónica Código: 203057A_363

Curso: Calculo Multivariado

DERIVACIÓN DE FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES

INTEGRANTES: DUDLEY DEWEY MAY Cód.: .72217883 JOHN ELKIN QUINTERO ROJAS Cód.: .1102813009 RICARDO PEREIRA LAMBRA Cod.:1065007165 JAKSON ORLANDO CHAVEZ BERNAL Cód.: 3029298 ELKIN IGNACIO PEREZ AVENDAÑO

GRUPO 203057_4

JOSE FERNADO CEPEDA TUTOR

ESCUELA CIENCIAS BÁSICAS TECNOLOGÍA E INGENIERÍA CALCULO MULTIVARIADO 203057A_363 UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA-UNAD BOGOTÁ, OCTUBRE DE 2017.

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Escuela: Ciencias Básicas, tecnología e Ingeniería Curso: Calculo Multivariado

Programa: Ingeniería Electrónica Código: 203057A_363

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Contenido Introducción .................................................................................................................................. 3 Objetivos ........................................................................................................................................ 4 Desarrollo de la actividad de manera detallada ......................................................................... 5 Conclusiones ................................................................................................................................ 53 Referencias bibliográficas .......................................................................................................... 54

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Introducción Al realizar la actividad de cálculo multivariado en la fase intermedia se quiere adquirir los conocimientos en la derivación de funciones de varias variables argumentando cada uno de los ejercicios planteados y utilizando recursos digitales, fortaleciendo y analizando de modelos matemáticos para poder desarrollar la derivación de las funciones de varias variables aplicándolas en las derivadas parciales de segundo orden, luego en las derivadas direccionales de la funcion en el punto dado en la dirección de un vector, continuando con ecuaciones simétricas para la recta normal a la superficie en un punto dado, para luego poder utilizar el método de los multiplicadores de LaGrange para encontrar los extremos con una restricción dada y por ultimo encontrar la recta de mínimos cuadrados por medio de los ejercicios propuestos.

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Objetivos 

Realizar ejercicios para comprender las derivadas parciales utilizando la regla de cadena y derivación implícita



Desarrollar ejercicios con derivadas direccionales haciendo uso de los Gradientes, planos tangentes a las superficies de nivel.



Hacer uso de los máximos y mínimos, absolutos y condicionados, multiplicadores de LaGrange



Utilizar los elementos diferenciales de línea y de área, elementos de arco y de superficie en cadena cilíndrica y esférica

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Desarrollo de la actividad de manera detallada 1. Calcular las cuatro derivadas parciales de segundo orden. Observar que las derivadas parciales mixtas de segundo orden son iguales. Nombre: Ricardo Pereira Lambraño a. Nombre: Dudley Dewey May Riaño b.

⁄

Nombre: Elkin Ignacio Pérez c. Nombre: John Elkin Quintero d. Nombre: Jakson Orlando Chávez e.

√

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Solución ejercicios 1 Ejercicio Estudiante que lo realizo Calcular las cuatro derivadas parciales Ricardo Pereira Lambraño de segundo orden. Observar que las derivadas parciales mixtas de segundo orden son iguales.

a. Solución para

(

)

(

)

(

)

(

(

(

)

)

(

(

)

)

)

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(

)

(

(

(

)

)

)

para (

)

(

)

(

)

(

(

(

(

)

)

)

)

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(

)

(

(

)

)

(

)

(

)

para

(

(

)

)

(

(

(

)

)

)

(

)

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(

(

)

)

(

(

)

(

)

(

(

)

)

(

(

)

)

(

)

(

(

)

)

)

(

)

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(

)

(

)

(

)

(

)

Esto quiere decir que

Ejercicio Estudiante que lo realizo Calcular las cuatro derivadas parciales de Dudley Dewey May Riaño segundo orden. Observar que las derivadas parciales mixtas de segundo orden son iguales.

⁄

b.

Solución: Para

( (

(

)

[

]

)

) (

[ ]

)

[ ]

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(

)

[ ]

[ ]

(

(

(

)

)

)

(

( )

)

( )

[ ]

[ ])

(

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(

[

)

]

Para (

)

( (

(

(

)

)

[ ]

) )

[

[ ]

(

)

]

[ ]

(

[

])

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⁄

(

)

⁄

( (

)

(

)

⁄

(

( )

)

(

(

)

)

)

(

( )

)

[

]

(

) (

(

(

)

)

(

(

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)

(

)

)

)

( )

(

)

( )

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Ejercicio Estudiante que lo realizo Calcular las cuatro derivadas parciales de segundo orden. Observar que las derivadas Elkin Ignacio Pérez parciales mixtas de segundo orden son iguales. , , a.

Solución Luego (

(

))

Ahora es una función compuesta, Como la derivada de Donde

√

y usando

Reemplazando se tiene

(

(

))

( √ (

√

(

)

√ Por lo tanto

√

√

(

)

)

)

√

√

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(

)

√ ( √

(

)

)

Por la regla de la cadena y producto (

( √

)

)

( √

)

(( √

( √

)

(√

( √

)

(

( √

( √

) )

(√

)

(

) (√

)

Luego (

(

))

Ahora es una función compuesta, Como la derivada de Donde

)

√

y usando

Reemplazando se tiene

√

(

)

√

)

(

)

√

))

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Ejercicio Estudiante que lo realizo Calcular las cuatro derivadas parciales de segundo orden. Observar que las derivadas John Elkin Quintero parciales mixtas de segundo orden son iguales.

Solución Para proceder con el desarrollo de este ejercicio, nos apoyaremos en la siguiente notación:

Procedemos a calcular las derivadas parciales:

*( )

*

+

( )

[

+

]

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( )

*

( )

+ ( )

(

)

[

] ( )

[

]

[

]

( )

( )

[

]

((

( ) ))

( )

((

*

( ) ))

( )

*

[

+

( )

]

+

( ) *

( )

+ ( )

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*

( )

+ ( ) (

)

[

]

Ejercicio Estudiante que lo realizo Calcular las cuatro derivadas parciales de segundo orden. Observar que las derivadas Jakson Orlando Chávez parciales mixtas de segundo orden son iguales.

√

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Solución

(

(√

)) (√

(

(

(

(√

))) ))

Para resolver esta derivada parcial aplicamos regla de la cadena donde: √ Por lo tanto: √ Aplicamos nuevamente la regla de la cadena para resolver: √ Dónde:

√ √ Sustituyendo el primer u: √ Esto lo llevamos a la siguiente ecuación: √ Quedando de la siguiente manera: √ Sustituimos el primer cambio: √

√

Simplificando:

Ahora: (

)

Aplicamos la regla del cociente tomando la variable y como una constante, entonces:

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2. Calcule la derivada direccional de la función en el punto dado en la dirección del vector Nombre: Ricardo Pereira Lambraño 〈

√

a.

〉

Nombre: Dudley Dewey May Riaño 〈

b.

〉

Nombre: Elkin Ignacio Pérez c. Nombre: John Elkin Quintero d. Nombre: Jakson Orlando Chávez 〈

√

e.

〉

Solución ejercicios 2 Ejercicio Calcule la derivada direccional de la función en el punto dado en la dirección del vector v

Estudiante que lo realizo Ricardo Pereira Lambraño

√

a. 〈

〉

Solución

La derivada de √ (

√ )

√

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√ (

√ )

√

√

√

√

‖ ‖

√

‖ ‖

√

( )

√

( )

( ( ))

( (

(

)

√

√

(

(

)

(

)

))

)

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Ejercicio Calcule la derivada direccional de la función en el punto dado en la dirección del vector v 〈

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Estudiante que lo realizo Dudley Dewey May Riaño

〉

Solución Teniendo en cuenta la siguiente formula: ̂

Para desarrollar la anterior formula tenemos que encontrar primero el vector gradiente Obtenemos la derivada parcial de f con respecto a x ̂

̂

Tomamos la derivada parcial de f con respecto a x en el punto dado

y tenemos:

Obtenemos la derivada parcial de f con respecto a y

Tomamos la derivada parcial de f con respecto a x en el punto dado

Colocamos el vector gradiente en el punto dado ̂

̂

Podemos realizar la derivada direccional de la función en el punto dado ̂

Colocamos valores y tenemos 〈

̂

〉 Verificamos si es un vector unitario 〈 √ √ Como no es un vector unitario lo convertimos a unitario ‖ ‖ Remplazamos valores y tenemos un vector unitario 〈

√

√

〉

〉 √

y tenemos:

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Verificamos si es un vector unitario 〈

√

√

〉

√(

) ( ) √ √ √ Colocamos valores con el vector unitario y tenemos ̂

(̂

̂ ) (̂

(

) (

̂

̂

√ ̂

Tenemos la siguiente graficas

√

̂

√

√

√

√

√

)

)

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Ejercicio Calcule la derivada direccional de la función en el punto dado en la dirección del vector v

Estudiante que lo realizo Elkin Ignacio Pérez

Solución Calculemos el vector gradiente en el punto (2,1) ̂

̂

Entonces

̂

̂ ̂

̂

̂

̂

̂

̂

̂ ̂

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El vector unitario del vector

√

Donde

𝑣=𝑖+3𝑗 es

√

√ √

√

√

La derivada direccional es

̂

̂

( √

)

√

Desarrollando el producto punto (

)

√

( √

√

)

√ √

Ejercicio Calcule la derivada direccional de la función en el punto dado en la dirección del vector v

Estudiante que lo realizo John Elkin Quintero

Solución

Tenemos que:

Las derivadas parciales respecto a las variables son: (

)

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(

)

(

)

(

)

(

)

(

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)

Como ya obtuvimos las derivadas parciales respecto a cada variable entonces construimos el vector gradiente al punto P (1,2).

Ahora procedemos a hallar el vector unitario con dirección al vector dado: ̂

̂

‖̂‖

‖̂‖

√

√

√

√

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pág. 26 Finalmente, la derivada direccional de la función en el punto dado en la dirección del vector v está dado por: ̂

√

√

√

√

√

√

√

√

√

Racionalizamos para simplificar la respuesta: √ √

√

√ √

Ejercicio Calcule la derivada direccional de la función en el punto dado en la dirección del vector v √ 〈

〉

Estudiante que lo realizo Jakson Orlando Chávez

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Solución Lo primero es calcular un vector unitario usando el vector v dado: ‖ ‖

√

Entonces: 〈

〉

Ahora calculamos las derivadas parciales: √ Tomamos como constantes y,z : √

√ √

√

√ De manera similar resolvemos las derivadas parciales restantes: √

√

√ √

√

√ De esta manera la derivada direccional en el vector dado queda de la siguiente manera. 〈

〉 √

(

√

)

〈

√ √

√

√

√

(

√

√

)

√

(

〉 √ √

Ahora procedemos a calcular su valor en el punto dado: √

( (

√ )

(

)

(

√ √ )

) ( )

( )

)

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3. Hallar una ecuación del plano tangente y hallar una ecuación simétrica para la recta normal a la superficie en el punto dado Nombre: Ricardo Pereira Lambraño a. Nombre: Dudley Dewey May Riaño b. Nombre: Elkin Ignacio Pérez c. Nombre: John Elkin Quintero

Nombre: Jakson Orlando Chávez

Solución ejercicios 3 Ejercicio Estudiante que lo realizo Hallar una ecuación del plano tangente y hallar una ecuación simétrica para la recta normal a Ricardo Pereira Lambraño la superficie en el punto dado a. Solución Hallamos las derivadas parciales: Remplazando

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Ecuación del plano tangente:

Hallar la ecuación de la recta normal Superficie

Hallamos la gradiente:

Derivamos:

Remplazando

Recta normal

X

y

z

3

3

3

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Ejercicio Estudiante que lo realizo Hallar una ecuación del plano tangente y hallar una ecuación simétrica para la recta normal a Dudley Dewey May Riaño la superficie en el punto dado

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Solución Tenemos una función real de tres variables reales Tales que: 〈

〉

Remplazamos los componentes y obtenemos la derivada parcial de cada uno de los componentes y tenemos: 〈 〉 Si tomamos el punto dado tenemos las derivadas parciales: 〈

〉

Teniendo en cuenta la siguiente formula La ecuación del plano tangente en el punto dado es: Dividimos en 2 ambas igualdades para simplificar y tenemos Realizamos las operaciones y tenemos

Y tenemos la ecuación del plano tangente: Para hallar la ecuación simétrica para la recta normal a la superficie

Despejamos t en cada una de las ecuaciones

Ajustamos y queda

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Remplazamos valores y tenemos

El vector gradiente de la siguiente forma:

〈

〉 se puede simplificar por el vector v= (1, 2, 2) y quedaría

La grafica seria la siguiente

Ejercicio Estudiante que lo realizo Hallar una ecuación del plano tangente y hallar una ecuación simétrica para la recta normal a Elkin Ignacio Pérez la superficie en el punto dado

Solución La ecuación del plano en un punto (a, b ,c) es de la forma

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Las derivada

Evaluando en los punto Ahora a=1; b=2, c=4

0 0 0 Es la ecuación del plano Falta hallar una ecuación simétrica para la recta normal a la superficie en el punto dado es de la forma

Reemplazando

Ejercicio Estudiante que lo realizo Hallar una ecuación del plano tangente y hallar una ecuación simétrica para la recta normal a John Elkin Quintero la superficie en el punto dado

Solución Para hallar la solución a este ejercicio deberemos: a) Hallar las derivadas parciales respecto a cada variable. b) Hallar el valor de las derivadas parciales en esos puntos específicos. c) Armar la ecuación del plano tangente en el punto. d) Hallar la ecuación de la recta normal

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Solución: a) Las derivadas parciales son:

b) El valor de las derivadas parciales en el punto específico P(2,2,3) [

]

[

]

c) Armar la ecuación del plano tangente en el punto P(2,2,8): [

]

[

]

[

]

Entonces: [

]

La ecuación del plano es:

d) La ecuación de la recta normal es:

[

]

[

]

[

]

pág. 34

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Ejercicio Estudiante que lo realizo Hallar una ecuación del plano tangente y hallar una ecuación simétrica para la recta normal a Jakson Orlando Chávez la superficie en el punto dado

Solución Expresamos la superficie de la siguiente manera: Calculamos sus derivadas parciales:

Evaluando las derivadas en el punto dado:

Y la ecuación del plano queda definida por la siguiente ecuación: Simplificando:

Que es la ecuación del plano tangente en el punto pedido. Ahora para calcular la recta normal a la superficie en el punto dado usamos la siguiente ecuación:

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pág. 36

Procedemos a escribirla de manera general: {

{ { {

4. Utilice el método de los multiplicadores de Langrange para encontrar los extremos con restriciones de la función dada. Nombre: Ricardo Pereira Lambraño a.

sujeta a

Nombre: Dudley Dewey May Riaño b.

sujeta

Nombre: Elkin Ignacio Pérez c.

, sujeta a

Nombre: John Elkin Quintero d.

, sujeta

Nombre: Jakson Orlando Chávez ,

Solución ejercicios 4

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Ejercicio Utilice el método de los multiplicadores de Langrange para encontrar los extremos con restriciones de la función dada. a.

sujeta a

Solución

Dividimos entre dos en ambas igualdades

Reemplazamos en la restricción

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Estudiante que lo realizo Ricardo Pereira Lambraño

pág. 37

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√ Puntos obtenidos

Ejercicio Utilice el método de los multiplicadores de Langrange para encontrar los extremos con restriciones de la función dada.

Estudiante que lo realizo Dudley Dewey May Riaño

sujeta

Solución El método de los multiplicadores de LaGrange dice que Aplicando en nuestra ecuación tenemos ⟨

⟩

⟨

⟩ Y

Igualamos las expresiones y tenemos

La derivada parcial de f con respecto a x es: La derivada parcial de f con respecto a y es: La derivada parcial de g con respecto a x es: La derivada parcial de g con respecto a y es: Tomamos la expresión

Remplazamos valores y tenemos Simplificamos y tenemos

Sustituimos la anterior expresión en la restricción y tenemos

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Remplazamos el valor de y en Al remplazar tenemos

Verificamos en la gráfica y tenemos lo siguiente:

Ejercicio Utilice el método de los multiplicadores de Langrange para encontrar los extremos con restriciones de la función dada. , sujeta a

Solución considerando que F( , , )= calculando las derivada parciales

Estudiante que lo realizo Elkin Ignacio Pérez

pág. 39

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=0 (1)

(2) (3) Sumamos 1 y 2

Reemplazando 3

Y el valor ( ) =0 =0

Se concluye que

formando un punto (

Evaluando en la función ( ,)= (

)= ( )

(

)= ( )

(

)=

( ) ( )

)

pág. 40

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(

)=

(

)=

(

) =

Programa: Ingeniería Electrónica pág. 41

es un mínimo

Ejercicio Utilice el método de los multiplicadores de Langrange para encontrar los extremos con restriciones de la función dada. ,

Estudiante que lo realizo John Elkin Quintero

sujeta

Solución Procedemos a igualar la restricción: Ahora hallamos el gradiente:

Procedemos a hallar los multiplicadores de Lagrange:

Igualamos los gradientes:

De acuerdo a los datos encontrados podemos afirmar lo siguiente: La ecuación (a), Entonces el resultado de la ecuación (c) será Si entonces de acuerdo a la ecuación (b), de modo que la ecuación (c) tendrá como resultado . Por lo tanto, tiene posibles valores extremos en los puntos Evaluando en la restricción tenemos:

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Programa: Ingeniería Electrónica Código: 203057A_363

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Cuando:

Por lo tanto, los valores máximos y mínimos son:

Ejercicio Utilice el método de los multiplicadores de Langrange para encontrar los extremos con restriciones de la función dada.

Estudiante que lo realizo Jakson Orlando Chávez

, Solución Del método de los multiplicadores de lagrange, tenemos la siguiente ecuación:

En donde:

Hallamos las derivadas parciales de cada función y tenemos:

De donde tenemos:

√ √ √ √ Reemplazamos (√

en la restricción: )

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Tenemos los primeros puntos de los extremos: ( ( √ ) √ ) Ahora usamos en la restricción: ( √

)

Y tenemos los últimos dos puntos de los extremos: ( ( √ ) √ )

Mínimos Cuadrados 5. En un experimento se encontró la correspondencia dada en la tabla de temperatura y la viscosidad cinemática (en centistokes) de un aceite con cierto aditivo. a. Encuentre la recta de mínimos cuadrados b. Utilícela para estimar la viscosidad del aceite en 5.1 Nombre: Ricardo Pereira Lambraño 20° 40° 60° v

220

200

180

(en

80°

100°

120°

170

150

135

5.2 Nombre: Dudley Dewey May Riaño v

10°

20°

30°

40°

50°

60°

22

40

55

70

100

150

5.3 Nombre: Elkin Ignacio Pérez v

5°

10°

15°

20°

30°

40°

200

170

165

143

130

115

5.4 Nombre: John Elkin Quintero v

3°

6°

9°

12°

15°

18°

8

16

25

43

52

67

5.5 Nombre: Jakson Orlando Chávez

)

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v

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4°

8°

12°

16°

18°

pág. 44 22°

225

205

185

174

148

126

Solución ejercicios 5 Ejercicio 5.1 En un experimento se encontró la correspondencia dada en la tabla de temperatura (en ) y la viscosidad cinemática (en centistokes) de un aceite con cierto aditivo. a. Encuentre la recta de mínimos cuadrados b. Utilícela para estimar la viscosidad del aceite en Solución Hallemos la pendiente

Hallemos b

Para

Para

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v

250

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20°

40°

60°

80°

100°

120°

140°

160°

220

200

180

170

150

135

118

101

220

VISCOSIDAD DEL ACEITE

200 200

180

170 150 135

150

118 101

100

50

0 0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

TEMPERATURA

Observamos que la viscosidad del aceite es inversamente proporcional a la temperatura a mayor temperatura menor viscosidad Ejercicio 5.2 En un experimento se encontró la correspondencia dada en la tabla de temperatura (en ) y la viscosidad cinemática (en centistokes) de un aceite con cierto aditivo. a. Encuentre la recta de mínimos cuadrados b. Utilícela para estimar la viscosidad del aceite en Solución Colocamos os valores en la siguiente tabla.

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Valores dados de T y v VISCOSIDAD CINEMÁTICA

160

60; 150

140 120 100

50; 100

80

40; 70

60

30; 55

40

20; 40 10; 22

20 0 0

10

20

30

40

50

60

70

TEMPERATURA EN °C

Para encontrar la recta de mínimos cuadrados con las aproximaciones del conjunto dados Para esto se calculara la media de los valores de xy Se calcula la media de los valores de y Se suma los cuadrados de los valores de x Se suman los valores de x multiplicado por su valor correspondiente de y

n 1 2 3 4 5 6 ∑=

x (T) 10 20 30 40 50 60 210

y (v) 22 40 55 70 100 150 437

xy 220 800 1650 2800 5000 9000 19470

x^2 100 400 900 1600 2500 3600 9100

Se calcula la pendiente de la recta usando la siguiente formula donde n es el número de datos: ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ Colocaos los valores y tenemos

Se calcula la media de x y y ∑

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∑ Lo aplicamos en la formula Colocamos valores Despejamos b

Recta de mínimos cuadrados VISCOSIDAD CINEMÁTICA

160 140

y = 2,3857x - 10,667 R² = 0,9325

120

100 80 60 40 20

0 0

10

20

30

40

50

60

TEMPERATURA EN °C

La viscosidad del aceite a 140 °C es:

La viscosidad del aceite a 160 °C es

Ejercicio 5.3 En un experimento se encontró la correspondencia dada en la tabla de temperatura (en ) y la viscosidad cinemática (en centistokes) de un aceite con cierto aditivo. a. Encuentre la recta de mínimos cuadrados b. Utilícela para estimar la viscosidad del aceite en

Estudiante que lo realizo Elkin Ignacio Pérez

70

pág. 47

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Solución Para calcular el valor de b y m se usan derivada parciales y se llega al sigte resultado (∑

∑

∑

∑ ∑

) ∑

∑

Luego n=6 En este caso la variable x viene siendo la temperatura La variable y es viscosidad ∑

∑

∑ ∑

(∑

)

Reemplazando

(∑

∑

)

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Como 𝑣= 𝑇+ y reemplazando 𝑣= 𝑇+ Cuando T=140 𝑣= (140)+ 𝑣= Cuando =160 𝑣= (160)+ 𝑣= 64,3 Ejercicio 5.4 En un experimento se encontró la correspondencia dada en la tabla de temperatura (en ) y la viscosidad cinemática (en centistokes) de un aceite con cierto aditivo.

Estudiante que lo realizo John Elkin Quintero

a. Encuentre la recta de mínimos cuadrados b. Utilícela para estimar la viscosidad del aceite en Solución

T(x) V(y) T*V T2

3° 8 24 9

6° 16 96 36

Datos 9° 12° 25 43 225 516 81 144

15° 52 780 225

18° 67 1206 324

∑ 63 211 2847 819

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Hallamos la pendiente m: ∑

∑

∑

∑

∑

Hallamos b: (∑

Para T=140:

Para T=160:

∑ )

[

]

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Ejercicio 5.5 En un experimento se encontró la correspondencia dada en la tabla de temperatura (en ) y la viscosidad cinemática (en centistokes) de un aceite con cierto aditivo.

pág. 51

Estudiante que lo realizo Jakson Orlando Chávez

a. Encuentre la recta de mínimos cuadrados b. Utilícela para estimar la viscosidad del aceite en Solución La fórmula general para hallar la ecuación recta que se ajuste a los datos suministrados, se calcula a través de derivadas parciales y viene dada de la siguiente manera: (∑

∑

∑

∑ ∑

)

∑ ∑

A manera de hacer más sencilla la comprensión del cálculo de sus valores se realiza la siguiente tabla:

Total

Xi

Yi

Xi^2

Xi*Yi

4

225

16

900

8

205

64

1640

12

185

144

2220

16

174

256

2784

18

148

324

2664

22

126

484

2772

80

1063

1288

12980

6400 Reemplazamos los valores obtenidos en las formulas:

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Entonces la ecuación de la recta que se ajusta a los datos suministrados es, 𝑣= 𝑇+ :

La cual usaremos para calcular las aproximaciones pedidas 𝑇=140

Y:

𝑇=160:

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Conclusiones Se logró la resolución de diferentes tipos de ejercicios utilizando el concepto de derivadas parciales con el uso de diferentes procedimiento como lo es la regla de la cadena, comprobando de esta manera la utilidad que esta tiene en el análisis de funciones de varias variables, como la obtención de mínimos y máximo de la función, la obtención de planos tangentes y rectas normales a la superficie.

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Referencias bibliográficas Zill, D.G. (2011). Matemátocas3 Cálculo de varias variables. México: McGraw-Hill Interamericana. (pp. 138-160). Recuperado de: http://bibliotecavirtual.unad.edu.co:2053/book.aspx?i=629&opensearch=matem%C3% A1ticas%203&editoriales=&edicion=&anio García, H. A. E. (2014). Cálculo de varias variables. México: Larousse - Grupo Editorial Patria. (pp. 86-91). Recuperado de: http://bibliotecavirtual.unad.edu.co:2077/lib/unadsp/reader.action?docID=11013675 Burgos, R. J. D. (2008). Cálculo infinitesimal de varias variables (2a. ed.). España: McGrawHill España. (pp. 64-99) Recuperado de: http://bibliotecavirtual.unad.edu.co:2077/lib/unadsp/reader.action?docID=10491306 Barrera Cardozo, J. (01,12,2016). Derivadas Parciales. [Archivo de video]. Recuperado de: http://hdl.handle.net/10596/9259