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8

Razonamiento Lógico

Tema: Razonamiento Lógico II

Cortes, Estacas y Pastillas

LU :

Longitud unitaria o distancia entre postes

Se trata de resolver problemas, donde debemos obtener el número de cortes que se pueden hacer a una soga, alambre, madera, etc; O también obtener el número de postes, estacas o árboles que se puedan plantar en una cierta longitud o perímetro.

SEGUNDO CASO: Figuras cerradas (aros, terrenos, triangulares, cuadrangulares, rectangulares, circulares, etc.).

DEFINICIÓN

L Perímetro MATEMÁTICA Nº de cortes = T = Lu Lu LA

PROBABILIDAD.

Para obtener el número de pastillas: Nº de pastillas =

L Nº cortes = T - 1 Lu

Número de estacas, postes o árboles:

Partes iguales:

Tt +1 It

Donde: Tt : Tiempo total en que debe tomar las pastillas el paciente.

de

Nº de estacas =

DE

Si “A” es un evento L Perímetro Nº de estacas = T = de un espacio LU LU

PRIMER CASO: Figuras abiertas o sea que tengan los extremos separados pueden ser: (sogas, maderas, alambres, piezas metálicas, avenidas, pasajes, etc.) Número cortes:

observaciones de situaciones de las cuales no estamos absolutamente seguros de lo que va ha suceder, pero que expresan ciertas características de predicción. La aplicación del cálculo de probabilidades es diversa.

LT +1 Lu

It :

Intervalo

de

tiempo entre cada pastilla o el tiempo que va a tomar cada pastilla.

muestral () , la probabilidad de ocurrencia de A se denota por P(A) y está dada por:

La probabilidad de un suceso se define LT como la relación Nº partes iguales = Lu entre el número de casos favorables y el Donde: número de casos posibles. LT : Longitud El estudio de total probabilidades nos permite hacer

2. ¿Cuál es la probabilidad de obtener un “as” al extraer una carta de una baraja de 52 cartas?

Resolución: Como la baraja tiene 4 ases. Probabilidad de obtener 1 “as”: 4/52 =1/13 Rpta.

Propiedades. 1. Si “A” es un evento definido en  , entonces:

0  P(A)  1 * Si: P(A) =0  # casos favorables Pr obabilidad = A= # total de casos A: es un evento imposible Entonces:  Si : P(A)=1  n(A) P(A) = ; 0 �P(A) �1 A= ; A � n( ) A: es un evento seguro

Ejemplos aplicación:

de

1. Encontrar la probabilidad que al lanzar un dado se obtenga un valor par.

Resolución

Probabilidades

3 1 � P(A) = 6 2 1/2 =0,5 =50% Rpta. P(A) =

Experimento aleatorio : lanzar un dado. = { 1 ; 5;6}

2; 3;4;

Casos favorables: A= {2 ; 4 ; 6 }  n() = 6 n(A) = 3

2. Eventos:

 Evento seguro. Es el que de todas maneras debe ocurrir.  Evento imposible. Es el que no va a ocurrir.

 Eventos complement arios. si uno ocurre y el otro no.

Razonamiento Lógico

10

 Eventos mutuamente excluyentes Si la ocurrencia de uno de ellos, anula ocurrencia de los demás.

 Eventos independiente s. Cuando no tienen ninguna relación entre sí ; si la ocurrencia de uno de ellos no influye en la ocurrencia del otro.

espacio muestral , entonces: P(A) = 1- P(A’) 6. Si A y B son sucesos independientes, entonces: P(AB) = P(A) x P(B) AyB 7. Probabilidad condicional: P(A / B) =

P(B �A) P(A)

3. A y B son sucesos mutuamente excluyentes, es decir que A  B=

A P(A  B) = P(A)+ P(B) A ó B 4. Si: A y B son sucesos no excluyentes, es decir AB 

A

A

 P(B/A) :Probabilidad de B que ocurra el evento B, dado que el evento A ha ocurrido. 8. Si los eventos A y B son dependientes, entonces la ocurrencia simultánea de los eventos es:

B P(AB ) = P(A) . P(B)

P(AB) = P(A) +P(B) – P(AB) AóB 5. Sea “A” un suceso definido en el

Ejercicios Desarrollados

Cortes Estacas Pastillas 1. Carlos compra 5 varillas de acero de 8 metros de longitud cada una. De las dos primeras desea obtener trozos de 32 cm de longitud y de los tres últimos trozos de 25 cm de longitud. el B Hallar número total de cortes que debe realizar. a) 141 b) 146 c) 151 d) 134 e) 172 Resolución

de longitud que quiere cortar en trozos de 2 metros; si necesita 6 segundos para hacer cada corte. ¿Cuánto tarda en cortar toda la pieza? a) 4 min 18 s b) 4 min 30 s c) 4 min 12 s d) 4 min 24 s e) 4 min 6 s Resolución

90 -1 2 Tiempo que tarda = 4

Nº de cortes =

= 4 min 24 s

Rpta.

3. Un reloj da 4 campanadas Dos primeras en 15 varillas: segundos. ¿En cuánto tiempo �800 cm � nc = � -1 � �2 = 24 �2dará cortes = 48 cortes 12 �32 cm � campanadas? a) 40 Tres últimas: segundos b) 45 �800 cm � nc = � - 1� �3 = 31�3segundos cortes = 93 cortes �25 cm � Nº de cortes = c) 55 segundos 141 Rpta. d) 50 segundos 2. Un comerciante e) 1 minuto tiene una Resolución pieza de paño de 90 metros

Razonamiento Lógico

11  3 4 camp.  15 intervalos segundos 12 camp.   11 intervalos  x donde: x = 55 segundos R pta.

4. Jazmín toma 2 pastillas cada 8 horas. ¿Cuántas pastillas tomará en 5 días? a) 32 b) 40 c) 48

c) 650 d) 750 e) 840

Además:

L circunferencia = 2R 2

R = 484

R = 22

Resolución 400 45º 400

Solo: AB+AC=60

L total = 2(22)

400 2

2

L total = 44 44 Nº cortes = = 22 2 400

3

+1

# Estacas=

Recuerde:

45º

260

 # Estacas=

21 Rpta. Nº de cortes = Nº de pedazos 400

30º

30º

Nº de 8. Un médico le pedazos: receta a un 1600 m 1600 m 22 Rpta. Nº estacas = = paciente 200 cm 2m analgésicos que d) 36 e) 80 7. ¿Cuántas debe tomar estacas se Nº estacas = durante 8 días Resolución necesitaran 800 Rpta. cada 6 horas. Si para cercar cada pastilla tiempo total los lados AB cuesta S/. 1,50 y Nº pastillas = +1 y AC de un intervalo de tiempo en la farmacia terreno que paga con un 6. Por los tiene la billete de cumpleaños 5x24 Nº pastillas =  + 1  2 de Mariela su forma de la S/. 100,00.  8  siguiente ¿Cuánto de mamá le figura; si vuelto recibe? regaló una Nº pastillas = estas se a) S/. 50,50 torta circular estacan cada 32 Rpta. b) S/. de un área 3m? 33,00 de 484 cm. a) 36 c)B S/. 49,50 Si ella desea 5. Se desea d) S/. 52,00 partir cada cercar un terreno e) S/. 51,50 2  cm . b) 29 de forma 20 3 ¿Cuántos cuadrada cuya Resolución pedazos diagonal mide c) 32 obtendrá? metros. 400 2 a) 20 b) 19 C8d = 8 �24 A Determinar el c) 18 d) 30 número de 6h 6h 6h 6h 6h estacas d) 22 e) 23 e) 21 necesarias para 8 T.T. Nº pastillas = +1= cercar dicho Resolución T.U. terreno. Si cada Resolución estaca se coloca Recuerda: B 33 � 1,5 = 49,5 a 200 cm. una L total de la otra. Nº cortes = a) 800 L unitaria 40 b) 700 20 3 = 3 k k = 20 60º A 20 C

Razonamiento Lógico

12

d) 10

100 - 49,5 =

9. Se desea cercar un terreno en forma de triángulo equilátero de lado 35m. Hallar cuántos se necesita si la longitud de estaca a estaca es de 7m. a) 10 b) 16 c) 15 d) 5 e) 6 Resolución

]

Para una soga de 12m. 1º Corte

Figura cerrada Longitud total

= 35 + 35 + 35 = 105m

Long. Total 105 = Long. Unitario 7 =

Rpta.

10.¿Cuántos cortes deben darse a una soga de 48 metros de largo para tener pedazos de 6 metros de largo? a) 6 b) 7 c) 9

6m

6m 12m

48 m

longitud para tener pedazos de 1ºCorte 2ºCorte 3ºCorte 4ºCorte 5m 5m 5m 5m 5 metros de5m longitud? 1,5m a) 6 b) 7 25m c) 9 Se realiza Por fórmula: d) ] 10 1 cortee) 12 Longitu

Nº de cortes =

Resolución 5m

Para una soga de 18m.

1

6

5m

Nº de cortes = 42 Rpta.

Longitud

25 -1 = 5

13.¿Cuántos árboles Se realiza 3 ] 5 2 cortes pueden 6m 6m 6m 5m 5m colocarse a lo 18m 4 largo de una avenida que Fórmula: tiene 1,5km de longitud, Longitud total Del análisis Nº de cortes necesarios= Longitud unitariase los árboles que hemos colocan cada realizado, 15 metros? obtenemos Nota: Está fórmula se a) 68 cumple para "figuras que: b) 79 cerradas". Luego: c) 90 Longitud total Nº de partes iguales = d) 100 Longitud unitaria 30 m e) 101 # de cortes = = 1º Corte

para nuestro problema:

2º Corte

6 cortes

Rpta.5 m

12.Un hojalatero tiene una

5m

Por fórmula: Nro. estacas

15

Analizamos el problema por partes, obtenemos: Para una soga de 6m.

6m

plancha de =8 aluminio de 25m 6m de largo por Nº de cortes necesarios = # de partes iguales - 1 1,5m de ancho, Para nuestro diario corta 5m problema: de largo por Nº cortes necesarios =1,5m 8-1= de ancho. 7 Rpta ¿En cuántos días habrá cortado íntegramente la 11.¿Cuántos plancha? cortes deben No se realiza darse a un aro Resolución ningún corte de 30 metros de Nº de partes =

Resolución

S/. 50,5 Rpta.

=

e) 12

5m

Vuelto:

Resolución

Razonamiento Lógico

13

Antes de pasar a resolver el problema, veamos algunos:

3m

plantarlas a lo largo de un terreno, las estacas se plantan cada 15 metros, el largo del terreno es de 6 # 600 de árboles = + 1= 3 metros?

De la figura:

Resolución

Perímetro = 4 x 18 = 72 metros Longitud unitaria = 9 metros Se deduce que:

18 m

3

3m

18 m

18 m

6m

3m

3m 9m

# detipo árboles Para este de 9 problema, = + 1 =no 4 3 nos interesa 3m saber la altura del árbol.

Nº =

de

Para este tipo de problemas, se aplicará la siguiente fórmula: Nº de pastillas=

T Intervalo pas

perimetro estacas 1 sem longitud unitaria Nº de pastillas =

Por fórmula: Generalizamos :

Longitud Total del terreno Nº de estacas = +1 La fórmula se Longitud que separa de aplica, Longitud Total de la avenida estaca a estacapor ser # de árboles = +1 Longitud que separa de línea cerrada. estaca a estaca 600 metros ¡Ojo! Nº de estacas = + 1 = Longitud 41 15 metros Total o Luego, para el Perímetro. problema,  tenemos que: Sustituyendo los Nº de estacas = datos 1,5 km41 Rpta. Nº de árboles = +1 mencionados 15 m 15.¿Cuántas Convertimos estacas se los "km" a "m" necesitan para  cerrar un terreno 1,5 ( 1000m en ) forma de Nº de árboles = +1 cuadrado cuyo 15 m lado es de 18 101 Rpta. metros, si las estacas se 14.¿Cuántas colocan cada 9 estacas de 2 metros? metros de altura, se Resolución necesitan si se trata, de

tomarlas apenas empezó su reposo hasta que culminó? 18 m Resolución

72 Nº de Estacas = = 98 Rpta. 16. ¿Cuántas pastillas tomará un enfermo durante una semana que está en cama, si toma una cada 3 horas y empezó a

3 ho

Recuerda que:

1 semana = 7 días 1 semana = 7( 24 hora Nº de pastillas =

7( 24 h 3 ho

 Nº de pastillas = 57

Rpta.

12. La campana de mi pueblo anuncia la hora tal que en tres campanadas transcurren 4 segundos. ¿Cuánto tiempo más tarda en anunciar las 9 de la noche

Razonamiento Lógico

14

que anunciar seis de tarde? a) 6 s b) 2 s c) 3 s d) 5 s e) 8 s

en las la

Casos favorables:  2; 3; 5 = A

B: 1º +2º = 5 n(B) = 4

n(A) = 3

n(A  B) = 4

Probabilidad: n(A) 3 = = 1 2 n() 6 Rpta. 2. Si se lanzan Resolución dos dados simultáneament Como: e. ¿cuál es la Nº de intervalos = Nº de campanadas - 1 probabilidad de * A las 6 a.m. obtener una (3 - 1)  4s suma igual a un número primo o (6 - 1)  x que la suma sea  x = 10 s 5? * A las 9 p.m. 1 1 a) b) (3 - 1)  4s

2

(9 - 1)  x 

x = 16 s

* La diferencia: 16 - 10 = 6 s R pta.

1. Al lanzar un dado. ¿Cuál es la probabilidad de obtener un número primo? 1 2

d)

1 6

1 3

b) c) e)

1 4 1 5

Resolución Casos totales:  1; 2; 3; 4; 5; 6

n() = 6

e)

1 3

1 4

1

Probabilidad =

C C S S

5 4

C S C S

2

piden:

1

P(SS) =

Eventos: A:

1º +2º = Nº primo  n(A) = 12

4

5

6

5. Se lanza 2 dados legales simultáneame nte. ¿Cuál es la probabilidad de obtener 8 puntos ó la diferencia de ambos dados sea 3?

� Nos

a)

11 36

b)

1 1er. Dado 4

4. Al lanzar una moneda y un dado, ¿cuál es la probabilidad de obtener en número mayor

1 � = 6 2

1 Rpta. 4

4

3

3 2

Espacio muestral:

un

n() = 36

C; S

P(#  3) y P(cara)

Resolución

3

1/2

1; 2; 3; 4; 5; 6

3. Al lanzar 2 monedas juntas, ¿cuál es la probabilidad de obtener en ambas, sello? a) 1/4 b) 1/3 c) 2/5 d) 3/4 e) 1/2

6

2

1/3 2/3

Rpta.

2do. Dado

1

y

12 4 4 + 36 36 36 Resolución

P(A  B) =

Resolución Elaboramos diagrama:

Probabilidades

a)

d)

4 9

P(A  B) =

3 2 3

c)

que 3 “cara”? a) b) c) 1/4 d) e) 3/4



c) d)

2 9

e) 6

13 36

Resolución  o o

5 4

1 3 9 11

 

o

3



o

2

o



5

6

o

1 1

2

3

4

Razonamiento Lógico

15

P ( A ) = 50% Rpta.

10. lanzan A = página que termina enSe cero

7.Al lanzar tres monedas al aire. ¿Cuál es la probabilidad de que las tres sean iguales?

n() = 36 A : 8 puntos  n(A)=5 () 1 B : Diferencia 3  n(B)=6 a) 2(o)

n(A  B) = 0 5 6  P(A  B)= + = 36 36 11 36

Rpta.

6. Encontrar la probabilidad que al lanzar un dado se obtenga un valor impar. a) 20% b) 40% c) 50% d) 30% e) n.a. Resolución: Experimento aleatorio: lanzar un dado Espacio muestral:  =  1,2,3,4,5,6

n(  ) = 6 Casos favorables: A =  1,3,5

n( A ) = 3 P( A) =

n( A ) 3 = = 0,5 n(  ) 6

1

1

b) 4 c)

  dados A =  10,20,30,.......,100dos n ( A ) = al 10 aire simultáneament A ' = pagina que no termina en cero e. ¿Cuál es la probabilidad de Entonces: obtener 8 puntos? P ( A ') = 1 - P ( A ) 10 5 P ( A ') = 1 a) b) 5 100 4 c) 36 9 1 ( A') = P 5 10 d) e) 6 Rpta. 26 n.a.

5 8

1

d) 3 e) 5 Resolución:

9.Una casa está conformado   =  CCC;CCS;CSC;SCC;SSS;SSC;SCS;CSS er por 11 1 niños y 6 dado De donde: 7 niñas, si se 5 n(  ) = 8 escoge 4 4 al A =  CCC,SSS  n ( estudiantes A) = 2 azar .¿Cual es 3 la probabilidad 2 2 P( A) = = 1 que todos 1 4 8 sean niños? Rpta. 8.Al abrir un folleto de 100 páginas, calcular la probabilidad que al observar ésta página no termine en cero.

a) 11 50

b) 11 c) 102

11

d) 100 n.a.

e)

Resolución      do

1 2 3 4 5 6 2 dado

n(

11 40) 

= 36 ; n ( A ) = 5

P ( 8 puntos) = 5 36

Rpta.

11.Para una rifa se venden 20 cupones; Mario 11 dos 9 C4 (#compra casos fav.) a) 9 b) 9 Probabilidad = cupones, si se 10 5 6 18 c) C4 (# Total casosdos fav.) ofrecen premios. ¿Cuál d) 9 e) es 11  10  9  8la n.a.4 Probabilidad = probabilidad de 18  17  16  15 que obtenga solo Resolución uno de los Probabilidad = premios?  =  1 , 2 , 3 , 4 ........ 11 , 100 9 102 Rpta. a) b) 9 De donde: 5 10 c) n (  ) = 100 Resolución

9 4

9 8

Razonamiento Lógico

16

d) e) n.a. Resolución

Probabilidad =

10 C2 20 C2

Probabilidad = 9 10

Rpta.

12.Se tiene una caja con 3 bolas rojas, 5 bolas blancas y 4 bolas verdes. Determinar cuál es la probabilidad de que se extraiga una bola roja ó blanca. a) 2

b) 5 9 c)

13.En una urna se tiene 418 bolas de 19  color rojo, 6 2 = 20 bolas  19 de color verde y8 2 bolas de color azul. ¿Cuál es la probabilidad de que al extraer una bola sea de color verde o azul? a) 7 9

d) 7 n.a.8

b) 7 c) 2 e)

d) 15 13 n.a.

Resolución

6 4 4 4 4CASOS 44 7POSIBLES 4 4 4 4 4 48 1 2 ....... 14 15 ....... 20 1 44 2 4 43

6

n ( A ) = P410 permutación con repetición 7 A) 5

6! n( = = 15 4!2! n ( A ) 15 P( A) = = n(  ) 64 15 64

15.En una caja hay 20 bolas Total de bolas: 1 7 n (  ) = 4 + 6 + 8 = 18 numeradas del 1 d) e) al 20, se extrae 3 9 al azar una bola Verde ó azul Resolución ¿Cuál es la n ( A ) = 6 + 8 = 14 probabilidad que 14 F 3 el numero de la P ( verde ó azul ) = P ( 1 rojo ) = = 18 bola extraída sea T 12 mayor a 14? F 5 P ( verde ó azul ) = P ( 1 blanca ) = = a) 15% 7 T 12 b) 30% 9 Rpta. c) Piden: 20% P ( 1 roja ó 1 blanca ) d) 36% e) 14.Se arrojan 6 P ( 1 roja ) + P ( 1 blanca ) 24% monedas. ¿Cuál 3 5 8 es la + = = 12 12 12 probabilidad de 2 obtener 4 caras Resolución 3 y dos sellos? Rpta. 15 a) 15 b) 15 Del 64 31enunciado. c) 16 3

9

CASOS PROBABLES

Para cada Luego: P( A ) moneda se tiene donde A es sacar dos una bola cuyo probabilidades. sea n (  ) = 2 2 2 2 2 2 =número 64 mayor a 14 se A = obtener 4 caras y 2tendrá. sellos

P( A) = Rpta. Resolución 4

e)

P( A ) =

casosfaborab

casosdesfaborab

P( A ) = 0,3 = 30%

Rpta.

16.Ocho amigos juegan al golf, 5 jóvenes y 3 adultos. Si los jóvenes tienen la mitad de habilidad de los adultos ¿Cuál es la probabilidad que un joven gane? a) 5/8 b) 5/11 c) 5/9 d) 5/13 e) 1/2 Resolución Sea la habilidad de los jóvenes como 1 entonces la habilidad de los adultos será como si fueran 2

Razonamiento Lógico

17

personas jóvenes. Entonces se podría decir que en vez de considerar 3 adultos, estos fueran: 3( 2) = 6J óvenes

El total de formas de sentarse 6 personas alrededor de un centro está dada por.

36 = 120 0,3 Rpta.

26

P( A ) =

P=

P=

P( A ) =

5 5 = 5 + 6 11 5 11

Rpta. 17.Seis personas se sientan al azar, alrededor de una fogata ¿Cuál es la probabilidad que 3 personas ocupen lugares continuos? a) 0,3 b) 0,4 c) 0,7 d) 0,9 e) 0,6 Resolución

PC ( 4 ) = 3! = 6formas

Pero cada una de estas formas cambiara según se altere la forma como las tres personas se sientan, y esto será:

P3 = 3! = 6formas

Habrá entonces

6 �6 = 36formas diferentes, para que se cumpla el evento “A” Luego:

1625 4998

=

1625 4998

19. Se escogen al azar 3 relojes de 15, de los cuales 6 son defectuosos, señale la probabilidad de que se haya escogido 2 relojes defectuosos. 14 a) 40 17/19 b) 27/91 c) 37/43 d) 17/43 e) 30/17

6 J OVENES

P( A ) =

C

52 5

Rpta.

18.De una baraja de 52 PC ( 6 ) = 5! = 120formas cartas se extraen al azar Luego: Pero 5 cartas. Sea A: deseando que Determine la Probabilidad se cumpla el probabilidad de de que gane evento que 3 de ellas un joven. A: 3 personas sean negras y ocupan las otras no. lugares jóvenes casosfaborables solohay5 P( A ) = = a) 13 b) 1625 continuos. casosposibles 5 jóvenes + 3adultos 40 14 2 43 c) 4998 Se consideró que las 3 personas forman un solo elemento, lo que indicaría que hay 4 elementos a permutar circularmente.

26

C 3 �C 2

d) 25

e) 111

60

117

Resolución De los 15 relojes se deben escoger 3, el número de formas de escoger será:

Resolución De las cartas: 26 son negras 26 son rojas Luego, elegir 5 cartas de 52 se tendría.

15

C3 =

15 �14 �13 =4 1�2�3

52

C2

Formas diferentes ahora. Escoger 3 cartas negras: Escoger 3 cartas rojas:

26

C3

Pero de estas formas encontremos aquellos en que haya 2 defectuosos.

26

C2

26

26

El total de C3 �C 2 formas será: 3relojes Donde: 1 4 42 4 43 1 4 42 4 43 2DEFECTUOSOS SE EJ IGE DE 6



UNO NO ES DEFECTUOSO DE 9

Razonamiento Lógico

18

blanca, celeste y amarilla respectivame nte se tendrá. El total de formas será:

P( B ) =

Formasdeextraerunabolablanca Formasdeextraer unabola

(

6 �5 � �9 � 6 9 5 C 2 �C 1 = � �� � � � P=( B 135 = = 0,5 Probabilidaddeque ) 1 � 2 1 seablanca � �� � 10

)

Finalmente:

135 27 P= = � 455 91 27

P = 91 Rpta. 20.Una caja contiene, 5 bolas blancas, 3 bolas celestes, 2 amarillas; se extrae aleatoriament e una bola. Determine la probabilidad de que sea blanca o amarilla. a) 1,2 b) 0,9 c) 1,1 d) 0,7 e) 1,0 Resolución Señalamos como B, C y A los eventos de extraer una bola

Además: E: extraer una bola blanca o una amarilla (no ambas) E = B �A Pero solo se puede extraer una bola blanca o una amarilla (no ambas) Son mutuamente excluyentes, luego:

P( E ) = P( B�A ) = P( B ) + P( A ) Hallando: 2 P( A ) = = 0,2 10 Reemplazando:

P( P�C ) = 0,5 + 0,2 = 0,7

( Probabilidaddequeseablancaoamarilla ) Finalmente: 0,5 + 0,7 = 1,2 Rpta.