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• Jose Delgado

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11

Cuerpos geométricos POLIEDROS

POLIEDROS REGULARES

PRISMAS

PIRÁMIDES

ÁREA TOTAL

ÁREA TOTAL

AT = PB ⋅ h + 2AB

AT =

PB ⋅ a P ⋅ a' + B 2 2

CUERPOS DE REVOLUCIÓN

CILINDRO

316

CONO

ESFERA

ÁREA TOTAL

ÁREA TOTAL

ÁREA TOTAL

AT = 2πrh + 2πr 2

AT = πrg + πr 2

AT = 4πr 2

El centro del universo Como a otros les ocurrió antes y a otros muchos después, Aristarco de Samos se vio irremediablemente atraído por Alejandría: una ciudad tranquila, patria adoptiva de sabios y protectora del conocimiento. La magnífica biblioteca de la ciudad le abrió sus puertas y Aristarco se empapó de los conocimientos de los sabios de otros tiempos. Después, tras años de silencioso estudio se decidió por fin a hacer públicas sus teorías y, ante un concurrido auditorio de sabios, comenzó: –Amigos, tras exhaustivos estudios puedo afirmar que la Tierra no está inmóvil: se mueve en círculo alrededor del Sol, completando un círculo cada año y, además, gira sobre sí misma, una vuelta cada día. Un murmullo de protestas se alzó en la sala, entre insultos y burlas que le decían: –Partiendo del hecho de que la Tierra es redonda, lo que ha sido probado por Aristóteles, si girara una vuelta cada día, la velocidad en la superficie sería tan elevada que nunca podríamos avanzar hacia el Este, pues la Tierra nos adelantaría. Aristarco, en vano, intentaba explicar que ellos también giraban a la misma velocidad. Incapaz de convencer al auditorio, recogió los escritos donde explicaba su teoría y abandonó la sala, diciendo: –A veces lo más necio es un hombre sabio. Señala el eje de giro y el radio de la esfera.

Eje

Radio

Cuerpos geométricos EJERCICIOS 001

Determina el nombre de los siguientes poliedros. ¿Cuántas caras tienen? ¿Y cuántas aristas? a)

b)

a) Pirámide cuadrangular: 5 caras y 8 aristas. b) Prisma triangular: 5 caras y 9 aristas. 002

Realiza el desarrollo plano de los poliedros del ejercicio anterior, indicando los pasos que sigues al hacerlo.

003

Justifica si es verdadero o falso. a) En un poliedro, todas sus caras son iguales. b) El menor número de caras de un poliedro es 4. c) En cada vértice de un poliedro concurre siempre el mismo número de aristas. a) Falso, pues las caras pueden ser diferentes, y solo son iguales en los poliedros regulares. b) Verdadero, ya que el polígono con menor número de aristas tiene 3 aristas, y como cada arista es la intersección con otra cara, son 4 caras. c) Falso, por ejemplo en los vértices de la base de las pirámides concurren 3 aristas, y en el vértice superior concurren tantas aristas como lados tiene la base.

004

Prueba que todos los poliedros regulares cumplen la fórmula de Euler. Tetraedro  → Cubo → Octaedro → Dodecaedro → Icosaedro →

318

Caras: 4, vértices: 4, aristas: 6 → Caras: 6, vértices: 8, aristas: 12  → Caras: 8, vértices: 6, aristas: 12  → Caras: 12, vértices: 20, aristas: 30 → Caras: 20, vértices: 12, aristas: 30 →

4+4=6+2 6 + 8 = 12 + 2 8 + 6 = 12 + 2 12 + 20 = 30 + 2 20 + 12 = 30 + 2

SOLUCIONARIO

005

Determina el número de caras que concurre en los vértices de cada uno de los poliedros regulares. Tetraedro: 3 caras. Cubo: 3 caras. Octaedro: 4 caras.

006

11

Dodecaedro: 3 caras. Icosaedro: 5 caras.

Dibuja un poliedro que tenga 7 vértices. ¿Cumple la fórmula de Euler? Caras: 7. Aristas: 12. Vértices: 7. C+V=A+2 7 + 7 = 12 + 2

007

¿Puede existir un poliedro regular de 3 caras? No es posible, ya que el polígono con menor número de aristas tiene 3 aristas, y como cada arista es la intersección con otra cara, al menos tendrá 4 caras.

008

Dibuja un prisma recto de base triangular y otro de base pentagonal. a) Calcula su número de caras, aristas y vértices. b) ¿Cumplen la fórmula de Euler? c) Dibuja sus desarrollos planos. a) Prisma triangular → Caras: 5, aristas: 9, vértices: 6 Prisma pentagonal → Caras: 7, aristas: 15, vértices: 10 b) Prisma triangular → 5 + 6 = 9 + 2 Prisma pentagonal → 7 + 10 = 15 + 2 c)

F

F

319

Cuerpos geométricos 009

Dibuja el desarrollo plano de un prisma oblicuo de base cuadrangular.

010

¿Qué polígono forma la base de un prisma que tiene 18 aristas? La base del prisma es un hexágono.

011

Calcula el área de un cubo cuya arista mide 2 cm.

A = 6 ⋅ AB = 6 ⋅ 22 = 24 cm2 012

Determina el área de un prisma: a) Pentagonal regular de altura 10 cm, lado de la base 4 cm y apotema 2,75 cm. b) Triangular regular de altura 8 cm, lado de la base 4 cm y altura de la base 3,46 cm.

013

a) A = P ⋅ h + 2 ⋅

P ⋅a = 20 ⋅ 10 + 20 ⋅ 2,75 = 455 cm2 2

b) A = P ⋅ h + 2 ⋅

P ⋅a = 12 ⋅ 8 + 12 ⋅ 3,46 = 140,98 cm2 2

Un prisma cuadrangular recto, con arista de la base de 3 cm, tiene un área total de 78 cm2. Calcula su altura. A = 2 ⋅ AB + P ⋅ h → 78 = 2 ⋅ 32 + 3 ⋅ 4 ⋅ h → h =

014

Halla la longitud de la arista de un cubo para que su área sea igual que la de un ortoedro de 6 cm de ancho, 3 cm de alto y 2 cm de profundidad.

A Ortoedro = 2 ⋅ 6 ⋅ 3 + 2 ⋅ 6 ⋅ 2 + 2 ⋅ 3 ⋅ 2 = 72 cm2 A Cubo = 6l2 → 6l2 = 72 → l = 12 = 3,46 cm La arista mide 3,46 cm.

320

60 = 5 cm 12

SOLUCIONARIO

015

11

Dibuja una pirámide recta de base triangular y otra de base pentagonal. a) Calcula su número de caras, aristas y vértices. b) Comprueba que ambos poliedros cumplen la fórmula de Euler. c) Dibuja sus desarrollos planos.

a) Pirámide triangular → Caras: 4, aristas: 6, vértices: 4 Pirámide pentagonal → Caras: 6, aristas: 10, vértices: 6 b) Pirámide triangular → 4 + 4 = 6 + 2 Pirámide pentagonal → 6 + 6 = 10 + 2 c)

016

Dibuja el desarrollo plano de una pirámide oblicua de base cuadrangular.

017

¿Qué polígono forma la base de una pirámide que tiene 18 aristas? ¿Y de una pirámide que tiene 9 vértices? La pirámide con 18 aristas tiene un eneágono de base. La pirámide con 9 vértices tiene un octógono de base.

321

Cuerpos geométricos 018

Calcula el área de una pirámide regular de base cuadrangular, si su arista básica mide 7 cm y la altura de sus caras laterales es 4 cm. b⋅a 7⋅4 = 4⋅ = 56 cm2 2 2 AB = l2 = 72 = 49 cm2 AT = AL + AB = 56 + 49 = 105 cm2

AL = 4 ⋅

019

Halla el área total de una pirámide cuadrangular de altura 4 cm y arista de la base 4 cm.

La altura de los triángulos laterales es:

a = 16 + 4 = 4,47 cm AT = AB + 4 ⋅ At = 4 ⋅ 4 + 4 ⋅

020

4 ⋅ 4,47 = 51,76 cm2 2

Determina el área total de la pirámide regular. La apotema del hexágono es:

4 cm

a=

021

a2 + h2 =

AT = AB +

22,75 = 4,77 cm

P ⋅ a' 18 ⋅ 2,6 18 ⋅ 4,77 = + = 66,33 cm2 2 2 2

Dibuja el desarrollo plano de un cilindro de 3 cm de radio y 7 cm de altura.

9,42 cm

7 cm

m 3c

322

27 = 2,6 cm 4

La altura de los triángulos laterales es: a' =

3 cm

3 2 l = 4

Dibuja el desarrollo plano de un cilindro cuya circunferencia de la base mide 12 cm y tiene una altura de 6 cm.

Determina los cuerpos de revolución que al girar generan estas figuras planas.

024

Calcula el área total de un cilindro de altura 10 cm y radio de la base 7 cm.

AL = 2πrh = 2π ⋅ 7 ⋅ 10 = 439,6 cm2 AB = πr 2 = π ⋅ 72 = 153,86 cm2 AT = AL + 2 ⋅ AB = 747,32 cm2 025

Luis y Ana tienen que forrar un tubo cilíndrico de 12 m de altura y 2 m de diámetro. Si el papel les cuesta 12 €/m2, ¿cuánto les costará forrar la superficie lateral del tubo?

AL = 2πrh = 2π ⋅ 1 ⋅ 12 = 75,36 m2 Les costará forrarla: 75,36 ⋅ 12 = 904,32 €. 026

Halla la superficie total de un tronco de madera cilíndrico recto, de 3 m de altura y diámetro de la base de 30 cm.

AL = 2πrh = 2π ⋅ 0,15 ⋅ 3 = 2,83 m2 AB = πr 2 = π ⋅ 0,152 = 0,07 m2 AT = AL + 2 ⋅ AB = 2,97 m2

Un botón de forma cilíndrica tiene una altura de 1 mm. Si su área total es 188,4 mm2, ¿cabe por un ojal que tiene una altura de 8 mm?

Calculamos el diámetro del botón:

A = 2πr 2 + 2πrh → 188,4 = 2π ⋅ (r 2 + r) → 30 = r 2 + r → → r 2 + r − 30 = 0

Por tanto, el diámetro es 12 mm, y no cabe por el ojal de 8 mm. Dibuja el desarrollo plano de un cono con radio de la base 4 cm y generatriz 8 cm.

Calcula la generatriz del cono.

g =

324

52 + 42 = 6,4 cm

11 030

Determina la altura de este cono.

132 = h 2 + 92 h 2 = 132 − 92 h= 031

132 − 92 = 9,38 cm

¿Un triángulo equilátero, al girar sobre cualquiera de sus lados, genera un cono? ¿Y uno obtusángulo? Solo generan conos los triángulos rectángulos al girar sobre uno de sus catetos.

032

Un cono tiene 12 cm de generatriz y 8 cm de diámetro de la base. Calcula su área total.

AL = πrg = π ⋅ 4 ⋅ 12 = 150,72 cm2 AB = πr 2 = π ⋅ 42 = 50,24 cm2 AT = AL + AB = 150,72 + 50,24 = 200,96 cm2 033

¿Cuál es el área de esta esfera?

5 cm G

034

A = 4π ⋅ 52 = 314 cm2

Se desea cubrir con lona un torreón de forma cónica de 15 m de altura y diámetro de 8 m. ¿Qué cantidad de lona se necesita?

15 m

Hallamos su generatriz: g

g =

152 + 42 =

225 + 16 =

241 = 15,5 m 2

AL = πrg = π ⋅ 4 ⋅ 15,5 = 194,98 m 4m

035

Razona si un círculo puede generar una esfera. ¿Cuántos ejes de giro puede tener? Un círculo genera una esfera al girar sobre alguno de sus diámetros, por lo que tiene infinitos ejes de giro.

325

Cuerpos geométricos ACTIVIDADES 036

HAZLO ASÍ ¿CÓMO SE CALCULAN LAS DIAGONALES

2 2 cm

DE UN ORTOEDRO CONOCIENDO SUS ARISTAS?

Calcula la longitud de las diagonales de este ortoedro.

cm

4 cm

Se identifican los tipos de diagonales que hay en el poliedro. En un ortoedro hay tres tipos de diagonales: las de sus caras laterales, las de sus bases y las situadas entre vértices de caras opuestas.

PRIMERO.

Se determinan las diagonales de las caras, que son la hipotenusa del triángulo rectángulo cuyos catetos son los lados de la cara. Se aplica el teorema de Pitágoras.

2 cm

SEGUNDO.

d 2 = 22 + 42

d

d =

2 cm

4 cm

22 + 42 = 4, 47 cm

d 2 = 22 + 22

d

d =

2 cm

22 + 22 = 2, 83 cm

Se determinan las diagonales que hay situadas entre vértices de caras opuestas. Estas diagonales son la hipotenusa del triángulo rectángulo cuyos catetos son las diagonales de las caras laterales y las aristas de la base. Se aplica el teorema de Pitágoras.

TERCERO.

4,47 cm

037 ●●

d 2 = 22 + 4,472

2 cm

d

d =

22 + 4,472 = 4,9 cm

Un cubo tiene de arista 5 cm. Calcula la longitud de la diagonal de la cara y de la diagonal del cubo. D d

5 cm

Diagonal de la cara: d

d 2 = 52 + 52 → d 2 = 50 → d = 7,07 cm 5 cm

326

Aplicamos el teorema de Pitágoras:

SOLUCIONARIO

11

Diagonal del cubo: Aparece otra vez un triángulo rectángulo: D

5 cm

D

7,07 cm 2

2

2

2

D = 5 + 7,07 → D = 74,98 → D = 8,66 cm 038 ●●

Un ortoedro tiene aristas de 5 cm, 7 cm y 9 cm. Halla la longitud de las diagonales de las caras y de la diagonal del ortoedro.

5 cm

Diagonal de la cara rectangular mayor: Aplicamos el teorema de Pitágoras:

d

d 2 = 52 + 92 → d 2 = 106 → d = 10,3 cm 9 cm

5 cm

Diagonal de la cara rectangular menor: Aplicamos el teorema de Pitágoras:

d'

d' 2 = 72 + 52 → d' 2 = 74 → d' = 8,6 cm 7 cm 7 cm

Diagonal del ortoedro: Aparece otra vez un triángulo rectángulo:

D 7 cm

D

9

cm

10,3 cm 2

2

2

5 cm 2

D = 7 + 10,3 → D = 155,09 → D = 12,45 cm 039 ●●

Un cubo tiene una diagonal de cara de 4 cm. Determina la longitud de la arista y de la diagonal del cubo.

d 2 = l2 + l2 = 2l2 → d = l 2 → l = D 2 = l2 + d 2 → D = 040 ●

42 + (2 2 )2 =

d = 2

4

= 2 2 cm

2

16 + 8 =

24 → D = 4,9 cm

Completa la tabla, sabiendo que los datos pertenecen a poliedros en los que se cumple la fórmula de Euler. N.º de caras 9 6 11 12 10

N.º de vértices 14 8 18 20 16

N.º de aristas 21 12 27 30 24

327

Cuerpos geométricos 041 ●●

Clasifica los siguientes poliedros en cóncavos o convexos. Evalúa si cumplen la fórmula de Euler. a)

c)

e)

g)

b)

d)

f)

h)

a) Convexo. Caras: 24, vértices: 14, aristas: 36 → 24 + 14 = 36 + 2 Sí cumple la fórmula de Euler. b) Cóncavo. La cumple por ser cóncavo. c) Cóncavo. La cumple por ser cóncavo. d) Convexo. Caras: 10, vértices: 16, aristas: 24 → 10 + 16 = 24 + 2 Sí cumple la fórmula de Euler. e) Cóncavo. La cumple por ser cóncavo. f) Cóncavo. La cumple por ser cóncavo. g) Convexo. Caras: 10, vértices: 16, aristas: 24 → 10 + 16 = 24 + 2 Sí cumple la fórmula de Euler. h) Convexo. Caras: 9, vértices: 13, aristas: 21 → 9 + 13 Þ 21 + 2 No cumple la fórmula de Euler.

042

Comprueba que se cumple la fórmula de Euler.

● Poliedro Tetraedro Cubo Octaedro Dodecaedro Icosaedro

043 ●●

N.º de caras 4 6 8 12 20

N.º de vértices 4 8 6 20 12

N.º de aristas 6 12 12 30 30

C+V 8 14 14 32 32

¿Qué poliedro o poliedros regulares se pueden obtener utilizando como caras triángulos equiláteros? ¿Y con pentágonos regulares? ¿Y con hexágonos regulares? Triángulos equiláteros: tetraedro, octaedro e icosaedro. Pentágonos regulares: dodecaedro. Hexágonos regulares: no se puede obtener ningún poliedro regular.

328

A+2 8 14 14 32 32

SOLUCIONARIO

044 ●

11

Dibuja estos prismas, indicando todos sus elementos. Dibuja también sus desarrollos planos. a) Prisma triangular b) Prisma cuadrangular c) Prisma pentagonal d) Prisma hexagonal a)

F

b)

F

c)

F

d)

F

045

Dibuja un prisma regular y otro irregular.

●

Regular

Irregular

329

Cuerpos geométricos 046

Dibuja un prisma recto y otro oblicuo que tengan la misma base.

●

Recto

047 ●

Oblicuo

Dibuja un prisma pentagonal regular y su desarrollo. Colorea en azul el área lateral, y en rojo, el área de las bases. ¿Cómo se calcula el área total?

F

AT = AL + 2 ⋅ AB

048 ●●

Señala qué afirmaciones son verdaderas y corrige las falsas. Justifica tu decisión. a) Un cubo es un ortoedro. b) La altura de un prisma oblicuo es la arista lateral. c) Los prismas oblicuos se clasifican en regulares e irregulares. a) Verdadera. b) Falsa.

h

c) Falsa, pues todos los prismas oblicuos son irregulares.

330

SOLUCIONARIO

049

11

Calcula el área total de estos prismas.

●●

m 2c

G

9 cm

f)

8 cm

15 cm

j)

4,25 cm

5c m

5c m

5c m

c)

6 cm

h) 6 cm

5c m

7,24 cm

6 cm

e) 8 cm

b)

8 cm

4,25 cm

5 cm

11 cm

7 cm

i) 12 cm

g) 12 cm

4 cm

d)

G

a)

G

8c m

3 cm

5 cm

5,2 cm G

6 cm

7 cm

a) A = 2 ⋅ 2 ⋅ 7 + 2 ⋅ 2 ⋅ 4 + 2 ⋅ 4 ⋅ 7 = 100 cm2 b) h =

52 − 2,52 = 4,33 cm

A = 2⋅

5 ⋅ 4,33 + 3 ⋅ 5 ⋅ 9 = 156,65 cm2 2

c) A = 2 ⋅ 6 ⋅ d) A = 2 ⋅ e) h =

6 ⋅ 5, 2 + 6 ⋅ 6 ⋅ 8 = 475,2 cm2 2

5 ⋅ 5 ⋅ 3,44 + 5 ⋅ 5 ⋅ 12 = 386 cm2 2

52 − 32 = 4 cm

A = 2⋅

6⋅4 + 8 ⋅ 5 ⋅ 3 = 144 cm2 2

f) A = 6 ⋅ 72 = 294 cm2 g) a =

82 − 42 = 6,93 cm

A = 6⋅ h) h =

8 ⋅ 6,93 + 6 ⋅ 8 ⋅ 12 = 742,32 cm2 2

4,252 − 2,52 = 3,44 cm

A = 2⋅5⋅

5 ⋅ 3,44 + 5 ⋅ 5 ⋅ 11 = 361 cm2 2

i) A = 2 ⋅ 8 ⋅

6 ⋅ 7,24 + 48 ⋅ 15 = 1.067,52 cm2 2

j) h Triángulo =

82 − 42 = 6,93 cm

h Cara Lateral = A = 2⋅

62 − 32 = 5,2 cm

8 ⋅ 6,93 + 3 ⋅ 8 ⋅ 5,2 = 180,24 cm2 2

331

Cuerpos geométricos 050

HAZLO ASÍ ¿CÓMO SE CALCULA LA ARISTA DE UN CUBO CONOCIENDO SU ÁREA? Calcula la arista de un cubo sabiendo que su área es 54 cm2. PRIMERO.

Se aplica la fórmula del área total.

l

l

AT = 6 ⋅ ACuadrado = 6 ⋅ l ⋅ l = 6l2

SEGUNDO.

Se iguala con el área conocida. 6l 2 = 54 → l 2 =

051 ●●

54 =9→l= 6

9 = 3 cm

El área total de un cubo mide 24 cm2. Calcula la arista del cubo, la diagonal de la cara y la diagonal del cubo.

A = 6l2 → 24 = 6l2 → l = 2 cm d 2 = l2 + l2 → d = l 2 = 2 2 cm D 2 = 3l2 → D = l 3 = 2 3 cm 052 ●●

Halla la diagonal de un cubo de área total 150 m2.

A = 6l2 → 150 = 6l2 → l = 5 m D d

5m

Diagonal de la cara: d

Aplicamos el teorema de Pitágoras:

d 2 = 52 + 52 → d 2 = 50 → d = 7,07 m 5m

Diagonal del cubo: Aparece otra vez un triángulo rectángulo: D

5m

D

7,07 m 2

D = 5 + 7,07 → D 2 = 74,98 → D = 8,66 m

332

2

2

SOLUCIONARIO

053

11

Calcula el área de los triángulos coloreados.

●●●

c) 5 cm

14 cm

a)

12 cm

d) 4 cm

20 cm

b)

m 8c

10 cm

m 6c

a) La diagonal de cada cara es: d = 142 + 142 = 19,8 cm. Se forma un triángulo equilátero, de lado 19,8 cm. h=

392 − 98 = 17,15 cm

19,8 ⋅ 17,15 A= = 169, 78 cm2 2 b) La diagonal de cada cara es: d = 202 + 202 = 28,28 cm. Se forma un triángulo rectángulo, de catetos 28,28 cm y 20 cm. A=

20 ⋅ 28,28 = 282,8 cm2 2

c) Las diagonales de cada cara son: d1 =

122 + 82 = 14,42 cm

d2 =

122 + 52 = 13 cm

d3 =

82 + 52 = 9,43 cm

Se forma un triángulo, de lados 14,42 cm, 13 cm y 9,43 cm.  h 2 = 132 − x 2 → 132 − x 2 = 9,432 − (14,42 − x )2 → 2 2 2 h = 9,43 − (14,42 − x )  → 169 − 89 + 208 = 28,84x → x = 9,67 cm x = 9,67

h 2 = 132 − x 2 → h 2 = 169 − 93,58 → h = 8,68 cm A=

14,42 ⋅ 8,68 = 62,58 cm2 2

d) La diagonal del lateral es: d = 16 + 36 = 7,21 cm . Se forma un triángulo rectángulo, de catetos 7,21 cm y 10 cm. A=

10 ⋅ 7,21 = 36,05 cm2 2

333

Cuerpos geométricos 054 ●

Dibuja estas pirámides y su desarrollo plano, indicando todos sus elementos. a) Pirámide triangular b) Pirámide cuadrangular

c) Pirámide pentagonal d) Pirámide hexagonal

a)

F

b)

F

c)

F

d)

F

055

Dibuja una pirámide regular y otra irregular.

●

Regular

334

Irregular

SOLUCIONARIO

056

11

Dibuja una pirámide recta y otra oblicua que tengan la misma base.

●

Recta

057 ●

Oblicua

Dibuja el desarrollo plano de una pirámide triangular regular con aristas laterales de 6 cm, y base, un triángulo equilátero de 4 cm de lado.

6 cm

4c m

F

058 ●

Identifica similitudes y diferencias entre una pirámide triangular regular y un tetraedro. El tetraedro es una pirámide triangular con la característica de que las aristas laterales miden igual que las aristas de la base, por lo que es una pirámide triangular regular.

059 ●●

Señala qué afirmaciones son verdaderas y corrige las falsas. Justifica tu decisión. a) En una pirámide regular, las caras laterales son triángulos equiláteros. b) Una pirámide es un prisma triangular. c) La altura de una pirámide es cualquiera de sus aristas laterales. d) Una pirámide regular es un tetraedro. a) Falsa, pues los triángulos son isósceles. b) Falsa, ya que la pirámide tiene caras laterales que son triángulos, y los prismas, paralelogramos. c) Falsa, porque la altura es la perpendicular que pasa por el vértice superior. d) Falsa, ya que el tetraedro es una pirámide regular en la que las aristas laterales miden igual que las aristas de la base.

335

Cuerpos geométricos 060

HAZLO ASÍ ¿CÓMO SE CALCULA EL ÁREA DE UNA PIRÁMIDE CONOCIENDO SUS ARISTAS?

25 cm

Calcula el área total de esta pirámide. PRIMERO.

a 10 cm

Se calcula la apotema de la pirámide.

Se aplica el teorema de Pitágoras al triángulo rectángulo formado por: la apotema de la pirámide, la mitad del lado de la base y la arista lateral.

25 cm

a

252 = a 2 + 52 → a =

5 cm

252 − 52 = 24, 49 cm

SEGUNDO. Se calcula la apotema de la base. Se aplica el teorema de Pitágoras al triángulo rectángulo formado por: la apotema de la base, la mitad del lado de la base y el radio de la base.

r = 10 cm

r 10 cm

F

r

102 = (a')2 + 52 → a' = TERCERO.

5 cm

102 − 52 = 8,66 cm

Se determina el área.

AT =

061

a'

PB ⋅ a P ⋅ a' (6 ⋅ 10) ⋅ 24, 49 (6 ⋅ 10) ⋅ 8, 66 + B = + = 994,5 cm2 2 2 2 2

Calcula el área total de estas pirámides.

●● 34 m

9m

5,1 m 25 m

F

6m

Pirámide cuadrangular: a=

342 − 12, 52 = 31,62 m

AT = AB + AL = 252 + 100 ⋅ 31,62 = 3.787 m2 Pirámide pentagonal: a=

92 − 32 = 8,49 m

a' =

5,12 − 32 = 4,12 m

AT = AB + AL =

336

30 ⋅ 4,12 30 ⋅ 8,49 + = 189,15 m2 2 2

11

SOLUCIONARIO

062

Halla el área total de un tetraedro de arista:

●●

a) 3 cm

b) 5 cm

c) 9 cm

a) a =

32 − 1,52 = 2,6 cm

AT = 4 ⋅ AB = 4 ⋅

3 ⋅ 2,6 = 15,6 cm2 2

b) a =

52 − 2,52 = 4,33 cm

AT = 4 ⋅ AB = 4 ⋅

5 ⋅ 4,33 = 34,3 cm2 2

c) a =

92 − 4,52 = 7,79 cm

AT = 4 ⋅ AB = 4 ⋅

9 ⋅ 7,79 = 140,22 cm2 2

d) a =

6,22 − 3,12 = 5,37 cm

AT = 4 ⋅ AB = 4 ⋅

6,2 ⋅ 5,37 = 66,59 cm2 2

063

Calcula el área total de estas pirámides.

●●

a)

8m

10 m

b)

8m

6m

a) a =

2

10 + 4

2

= 10,77 m

AT = AB + AL = 64 + b) a =

●●

32 ⋅ 10,77 = 236,32 m2 2

62 − 32 = 5,2 m

AT = AB + AL =

064

d) 6,2 cm

a' =

82 + 27 = 9,54 m

36 ⋅ 5,2 32 ⋅ 9,54 + = 265,52 m2 2 2

Determina el área total de una pirámide pentagonal que tiene un área de la base de 100 cm2 y una altura de 20 cm. l⋅ Como la base es un hexágono: AB = 6 ⋅

3 l 3 3 2 2 l . = 2 2

3 3 2 100 ⋅ 2 l = 100 → l 2 = = 38,5 → 2 3 3 3 l = 5,36 cm 2 Calculamos la apotema de la pirámide: →l=

a=

38,5 = 6,2 cm →

5,362 + 202 = 20,7 cm

6,2 ⋅ 20,7 = 385,02 cm2 . El área lateral es: AL = 6 ⋅ 2 AT = 100 + 385,02 = 485,2 cm2

l G

l 2

3 l 2

337

El área total de una pirámide cuadrangular regular es 4 cm2 y su altura mide 6 cm. Calcula la arista que tiene un cubo cuya área total es igual que la de la pirámide.

AT = 6 ⋅ AB → 4 = 6l2 → l = 0,81 cm Halla la longitud de la arista de un tetraedro, para que su área sea igual que la de una pirámide hexagonal regular, con arista básica 3 cm y apotema de sus caras laterales 10 cm. Pirámide hexagonal:

Tetraedro:

La arista del tetraedro es 8,1 cm. La altura de un cilindro es 9 cm y el diámetro de la base mide 6 cm. Dibuja su desarrollo.

Calcula el área total de estos cilindros. a)

b)

a) A = 2π ⋅ 72 + 2π ⋅ 7 ⋅ 10 = 747,32 m2 b) A = 2π ⋅ 122 + 2π ⋅ 12 ⋅ 5 = 1.281,12 m2

SOLUCIONARIO

069 ●●

Halla la altura de un cilindro de área lateral 756,6 cm2 y radio de la base 10 cm.

AL = 2πrg → 756,6 = 2π ⋅ 10 ⋅ g → g =

070 ●●

11

756,6 = 12 cm 62,8

El área total de un cilindro es 471 cm2 y su altura es el doble de su radio. Obtén la altura y el radio. 471 = 2πr 2 + 2πr h   → 471 = 2πr 2 + 2πr ⋅ 2r →  h = 2r → 471 = 6πr 2 → r = 5 cm r = 5 cm

h = 2r → h = 10 cm

071

Dibuja el desarrollo de un cono, y calcula el valor de la longitud del arco del sector correspondiente, si el radio de la base del cono es 4 cm y su generatriz 15 cm.

4 cm

15 cm

●

La longitud de arco es igual a la longitud de la circunferencia de la base: L = 2π ⋅ 4 = 25,12 cm.

072 ●

Un cono tiene 12 cm de generatriz y 8 cm de diámetro de la base. Calcula su área total.

A = 2π ⋅ 42 + 2π ⋅ 4 ⋅ 12 = 401,92 cm2

073 ●●

Halla la altura de un cono cuya generatriz mide 13 cm y el radio de la base 5 cm. h=

074 ●●

132 − 55 = 12 cm

Obtén el radio de una esfera, sabiendo que el área de su superficie es 803,84 cm2.

A = 4πr 2 → 803,84 = 4πr 2 → r = 8 cm

339

SOLUCIONARIO

079 ●●

11

Calcula el área lateral y total de un monolito en forma de pirámide hexagonal, cuyo lado del hexágono mide 10 cm y el lado de los triángulos laterales mide 25 cm. a= a' =

102 − 52 = 8,66 cm 252 − 52 = 24,49 cm

AL = 60 ⋅ 24,49 = 1.469,4 cm2 AT =

080

Determina el coste de construir este edificio, sabiendo que el metro cuadrado de ladrillos cuesta 4,35 €, y el de tejas, 9,65 €. 10 m F

G

F

●●

60 ⋅ 8,66 + 1.469,4 = 1.729,2 cm2 2

5m

G

30 m

G

15 m

30 m

10 m

m 15

Tejado de la torre: a=

102 + 52 = 11,18 m

A=

40 ⋅ 11,18 = 223,6 m2 2

Tejado de la iglesia: l=

152 + 52 = 15,81 m

A = 2 ⋅ 15,81 ⋅ 30 = 948,6 m2 Fachadas laterales: 2 ⋅ (30 ⋅ 15 + 10 ⋅ 30) = 1.500 m2 Fachadas frontales y traseras: 15 ⋅ 30 + 15 ⋅ 15 + 15 ⋅ 15 = 900 m2 Coste de las tejas: (223,6 + 948,6) ⋅ 9,65 = 11.311,73 € Coste de los ladrillos: (1.500 + 900) ⋅ 4,35 = 10.440 € Coste total: 11.311,73 + 10.440 = 21.751,73 € 081 ●●

Una tienda de campaña de forma cónica tiene una altura de 2 m y un diámetro de 1 m. ¿Cuántos metros cuadrados se necesitan para forrarla, incluyendo la base? El área total de la tienda es la superficie que hay que forrar:

A = π ⋅ 0,52 + 2π ⋅ 0,5 ⋅ 2 = 7,065 m2

341

Cuerpos geométricos 082 ●●

Una bobina de papel de forma cilíndrica tiene una altura de 1,75 m y un diámetro de la base circular de 80 cm. Calcula el área total.

A = 2π ⋅ 402 + 2π ⋅ 40 ⋅ 175 = 54.008 cm2

083 ●

084

Determina la superficie esférica de un balón que tiene 30 cm de diámetro.

A = 4π ⋅ 152 = 2.826 cm2

Obtén el área total de estas figuras.

●●

7

cm

cm

3,5 m

5m

3

2m

2,5 m

10 m

3m

Área de la casa: g Tejado =

22 + 3,52 = 4,03 m

A = π ⋅ 32 + 2π ⋅ 3 ⋅ 2,5 +

2π ⋅ 3,5 ⋅ 4,03 = 119,65 m2 2

Área del helado: A=

4π ⋅ 3 2π ⋅ 3 ⋅ 7 + = 94,2 cm2 2 2

Área de la cúpula: A=

085 ●●●

4π ⋅ 5 2 + π ⋅ 52 = 235,5 m2 2

Si consideramos C = 11, V = 11 y A = 20 se cumple la fórmula de Euler. ¿Existe algún poliedro cuyas caras, aristas y vértices coincidan con esas cantidades? En caso afirmativo, dibújalo. Sí, por ejemplo un prisma coronado por una pirámide.

342

SOLUCIONARIO

086 ●●●

11

Con 1.000 cubitos construimos un cubo que tiene 10 cubitos por arista. A continuación, pintamos las 6 caras del cubo. ¿Cuántos cubitos tienen 3 caras pintadas? ¿Cuántos cubitos tienen 2 caras pintadas? ¿Y cuántos tienen 1 cara? ¿Cuántos cubitos no tienen ninguna cara pintada? Tienen 3 caras pintadas los cubitos que forman las esquinas: 8 cubitos. Tienen 2 caras pintadas los cubitos que forman las aristas menos los que están en las esquinas: 12 ⋅ 8 = 96 cubitos. Tienen 1 cara pintada los cubitos que forman las caras exteriores menos las aristas: 81 ⋅ 6 = 486 cubitos. No tienen ninguna cara pintada: 1.000 − 486 − 96 − 8 = 810 cubitos.

087 ●●●

Ariel tiene 36 cubitos de madera para hacer construcciones. ¿Cuántos prismas diferentes puede formar utilizando todos los cubitos? Considerando que son iguales los prismas que tienen las mismas dimensiones, aunque estén en posición diferente, tenemos estos prismas con las siguientes dimensiones. 1 ⋅ 1 ⋅ 36

1⋅6⋅6

1 ⋅ 2 ⋅ 18

2⋅2⋅9

1 ⋅ 3 ⋅ 12

2⋅3⋅6

1⋅4⋅9

3⋅3⋅4

En total, se pueden formar 8 prismas diferentes.

088 ●●●

Una hormiga se desplaza desde el punto X al punto Y sobre la superficie de un cilindro.

Y

¿Cuál es la mínima distancia recorrida por la hormiga? La mínima distancia recorrida es dando menos de una vuelta. Si desarrollamos el área lateral, la distancia es la diagonal de un rectángulo de base la mitad de la circunferencia, y de altura, la altura del cilindro.

h

X

L

π⋅r

L=

h 2 + (π ⋅ r )2

343

Cuerpos geométricos EN LA VIDA COTIDIANA 089 ●●●

La empresa FACHADAS LIMPIAS se dedica al cuidado y limpieza de fachadas de edificios. El último trabajo que les han encargado consiste en limpiar las ventanas y puertas, así como pulir el mármol de la fachada de un edificio.

Para elaborar el presupuesto, un técnico se ha acercado hasta el edificio para tomar medidas.

2m

1m 1m

3m

1m

2m

5m 17 m

9m

Estas medidas se entregan en el departamento de Facturación y Presupuestos, donde se calculan los costes de la limpieza.

344

SOLUCIONARIO

11

COSTES DE LIMPIEZA En planta baja

En planta alta

Cristal

8,50 €/m2

14,30 €/m2

Mármol

19,80 €/m2

26,10 €/m2

¿Cuál es el coste de la limpieza total del edificio? Suponemos que el edificio ocupa la totalidad de la manzana y que las ventanas se reparten de manera similar por todo el edificio. El número de ventanas es: 2 ⋅ 9 ⋅ 4 + 2 ⋅ 2 ⋅ 9 = 108 ventanas, que tienen un área de: 108 ⋅ 1 ⋅ 2 = 216 m2, que es la superficie de cristal de las plantas altas. El mármol que recubre cada ventana tiene una superficie de: 3 ⋅ 4 − 1 ⋅ 2 = 10 m2, siendo 1.080 m2 la superficie de mármol en las plantas altas. En la planta baja hay una puerta con 8 cristales de: 2 ⋅ 3 = 6 m2, que hacen un total de 48 m2 de cristal en la planta baja. La superficie de mármol de la planta baja es la superficie del zócalo menos la del espacio de la puerta: (17 ⋅ 2 + 9 ⋅ 2) ⋅ 5 − 4 ⋅ 3 = 248 m2. El coste de la limpieza del edificio será: 48 ⋅ 8,50 + 216 ⋅ 14,30 + 248 ⋅ 19,80 + 1.080 ⋅ 26,10 = 36.595,20 €

090

La escultora María Cincel ha recibido un encargo del ayuntamiento de Buril.

●●● Queremos una escultura que simbolice la relación entre el ser humano y la naturaleza…, la simbiosis entre nuestras gentes y el entorno que les rodea.

345

Cuerpos geométricos La escultora ha pensado en realizar una escultura de granito, que es la piedra predominante en los alrededores, y en una estructura similar a esta. Cuando ha llamado a una cantera en la que le pueden proporcionar el granito, le han informado de que tienen estas piezas.

altura Un cono de 2,4 m de m. 1,4 de y un diámetro de Un cilindro de 0,4 m ura. alt de m 6 0, y dio ra m Una esfera de 0,5 . de radio

Para conseguir esa estructura tendrá que hacer un corte al cono y otro a la esfera. ¿A qué altura los tiene que hacer?

2,4 m

0,8 m

F

G

h

1,4 m

Como son triángulos semejantes:

1,4 0,8 = → h = 1,37 m h 2,4

El cono lo ha de cortar a 1,37 m de la base.

0, 5

h

m

0,8 m

h=

0,52 − 0,42 = 0,3 m

La esfera ha de cortarla a una distancia de 30 cm del centro o, lo que es lo mismo, a 20 cm de la superficie.

346

SOLUCIONARIO

091

11

Tenemos un trozo de corcho con esta forma.

●●●

4 cm

5

cm

Si la boca de la botella es un círculo de 314 mm2 de área, ¿a partir de qué punto podemos cortar el corcho para que sirva para tapar la botella? 314 mm2

El radio de la boca de la botella es:

A = πr 2 → 314 = πr 2 → r = 10 mm = 1 cm El diámetro es 2 cm.

5c m

H 2 cm

h

4 cm

La altura del cono es: H =

52 − 22 = 4,58 cm.

La altura del tronco de cono medirá:

4 4,58 → h = 2,29 cm. = 2 h

Hay que cortar el corcho a partir de 2,29 cm de la base.

347