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Evaluación unidad 10 Introducción al concepto de límite CRITERIOS DE EVALUACIÓN 3. Calcular límites finitos e infinitos de una función en un punto o en el infinito para estimar las tendencias. (**)

Descriptores/ Indicadores

3.1. Calcula límites finitos e infinitos de una función en un punto o en el infinito para estimar las tendencias de una función. (**)

Calcula el límite de una función en un punto.

analiza y 4.1. Examina, determina la continuidad de la función en un punto para extraer conclusiones en situaciones reales. (**)

Resuelve indeterminaciones del 0 tipo . 0

B.4. Funciones

4. Conocer el concepto de continuidad y estudiar la continuidad en un punto en funciones polinómicas, racionales, logarítmicas y exponenciales. (**)

ESTÁNDARES

1

ACTIVIDADES

2

3

4



5 

Calcula límites infinitos.





Calcula límites en el infinito.







Resuelve indeterminaciones del ∞ . tipo ∞





Estudia la continuidad de una función y clasifica sus discontinuidades.



Determina los valores de un parámetro para que una función sea continua.





Halla el límite de sucesiones y funciones



∞

del tipo 1 . Puntuación

Unidad 10 | Introducción al concepto de límite

2

2

1,5 1,5

3

Matemáticas 4.º ESO

Evaluación unidad 10 Introducción al concepto de límite SOLUCIONES e x e2 = = −e 2 x − 5 −1 x +3 4 x +3 lim = ⇒ lim− 2 =− ∞ x →1− x 2 − 1 x →1 x − 1 ↑ 0 +

1. a) lim

x →4

b)

−

5x 0 5x 5 = ⇒ lim = − c) lim 3 x → 0 x − 2x x → 0 x ⋅ ( x 2 − 2) 0 2 d) 2. a) b)

x 2 + 4x + 3 0 ( x + 1) ⋅ ( x + 3) 2 = ⇒ lim = x →−1 ( x + 1) ⋅ ( x 2 − x + 1) x3 + 1 0 3

lim

x →−1

lim − x 5 + 4x 3 − 6x + 1 = +∞

x →−∞

lim

x →−∞

x 2 − 5x + 1 = +∞

x 2 + 7x + 15 1 = − x →+∞ 10x − 3x 2 3  3x 2 − x 3 4  1 d) lim  + = 3 x →+∞ x 5  4 − 5x lim

c)

3.

 3n − 1  lim    3n + 4 

n →+∞

5n

 3n + 4 − 4 − 1  lim  =  n →+∞ 3n + 4  

5n

   1 = lim   1 + n →+∞  n 3 +4    5 − 

−5   lim  1 + =  n →+∞ 3n + 4  

    

 3n + 4  −  5  

     

5n

  1 lim  1 + = n →+∞ 3n + 4   −5

    

5   3n + 4   5n ⋅  −  ⋅ −  5   3n + 4  

5   5n ⋅  −   3n + 4  −

25

= e 3

4. a) El único punto donde no es continua es donde se anula el denominador, que es x = –1. x2 − 1 ( x + 1) ⋅ ( x − 1) = lim = −1 , se trata de una discontinuidad evitable. Como lim x →−1 2x + 2 x →−1 2 ⋅ ( x + 1) b) Los dos trozos de la función son continuos en los dominios donde se han definido. Hay que analizar el caso x = 0. lim− f ( x )= 1= lim+ f ( x )= f (0) . Luego es continua en x = 0, con lo que f es continua en . x →0

x →0

c) En la zona x < –1 no hay problema de continuidad. En la otra zona hay un problema en x = 0, donde se produce una discontinuidad de salto infinito. Se analiza lo que ocurre en x = –1. lim− f ( x ) =e ≠ lim+ f ( x ) =−1 =f (−1) , luego no es continua en x = –1 y por lo tanto f es continua en  − {−1,0} x →−1

x →−1

5. a) C b)

c) I. II.

lim f ( x ) = −1

x →1−

lim f ( x ) = 3

x →1+

III. lim f ( x ) = 19 x →3

IV: lim f ( x ) = +∞ x →−∞

Unidad 10 | Introducción al concepto de límite

Matemáticas 4.º ESO