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CICLO PRE UNIVERSITARIO 2006-I SEMINARIO Nº 06

D) 5.

GEOMETRIA 1.

En la base de un cilindro recto de revolución se inscribe una región rectangular de área S. Halle el volumen del mayor cilindro recto en donde la generatriz es igual al doble del diámetro de la base. 3 S S C) 4 S 5 A)  S 2S B) D)  S 3S

2.

4  5 D) 

2  1 E) 

B)

3 E) 2V

C)

3 

CEPRE-UNI

3

6 3  2 6 D) 

A1 A2

2

2

3 3  3 2 E) 

B)

C)

4 3 

En un hexaedro regular ABCD– EFGH, AB=a, halle el volumen del cilindro cuyas bases están inscritas en las secciones EBD y FHC.  a3 3  a3 3  a3 3 A) B) C) 12  a3 2 D) 12

8.

6

En un prisma regular de área lateral A1 se inscribe un cilindro de área

A)

7.

Halle el volumen del cilindro de revolución inscrito en un octaedro regular de arista a, de modo que las bases del cilindro se encuentran contenidas en dos caras opuestas del octaedro. a3 a3 a3 3 A) B) C) 2

6 3 a3 3 E) 8

lateral A2. Halle

Un octoedro regular de volumen V esta inscrito en un cilindro de revolución de modo que 2 vértices opuestos se encuentran en los centros de las bases. Halle el volumen del cilindro. V 2V 3V A) B) C) 3 D) V

4.

6.

E) a3 2

De todos los cilindros circulares 2 rectos de área total igual a 2 a , halle el volumen del cilindro de máximo volumen. 2 a3 3  a3 3  a3 2 A) B) C) 9 2 a3 2 D) 9

Halle la relación entre los volúmenes de un hexaedro regular y un cilindro de revolución inscrito de tal manera que ambas bases están inscritas en caras opuestas del hexaedro. A)

3.

2 S 5 E) 2

a3 3 6 6

9

E)

a

2

8

3

9

En un cilindro de revolución se traza la recta L que intercepta al punto medio B de una generatriz y a un punto A de la circunferencia de su base de manera que AB sea máxima, la mediatriz de AB intercepta a la base en un punto C de manera que la mACB  90 , si AB=10. Halle el volumen máximo del cilindro. A) 2 7 D)

5 6 3

B) 3 7 E)

C)

5 7 4

3 2

GEOMETRIA

1

CICLO PRE UNIVERSITARIO 2006-I SEMINARIO Nº 06

9.

Un cilindro circular tiene a sus bases inscritas en dos caras opuestas de un cubo de arista a. Un plano diagonal del cubo intercepta al cilindro determinando una sección transversal cuya área se pide calcular.  a2 2  a2 2 2 a 2 2 A) B) C) 2

D) 3  a 2 2 2

10.

11.

3

12.

Indique el valor de verdad de las siguientes proposiciones: I) En un tronco de cilindro de revolución cualquier sección plana es una región elíptica o un círculo. II) El eje de cualquier tronco de cilindro de revolución es igual a la semisuma de dos generatrices diametralmente opuestas. III) Dado un cilindro de revolución de eje AB entonces cualquier plano secante que pase por el punto medio de AB e intercepta a todas las generatrices determinado dos troncos de cilindro equivalentes. A) FVV B) VVV C) VVF D) FFF E) FFV

13.

Dado un tronco de cilindro de revolución cuyo radio de base mide R, con generatriz mayor y menor de 3R y R respectivamente; se inscribe un cono de revolución donde su vértice es el centro de la base de radio R del tronco de cilindro. Halle el volumen del cono.  R3 2 R 3 2 R 3 A) B) C)

3

E)  a 2 2 4

En un tronco de cilindro recto de base circular, AD y BC son las generatrices mínima y máxima respectivamente, (A y B en la base tronco). Si P es un punto de la circunferencia de la base, además AD=3u, BC=5u y PC2+PD2=50u2, entonces el volumen de dicho tronco es (en u3): A) 12  B) 15  C)16  D) 18  E) 21  Si AA ' // BB ' y paralelos a las generatrices. Halle la intersección entre la recta AB y el tronco de cilindro. A

3  R3 D) 4

14. B B’ A’

5 2 R 3 E) 7

3

Se muestra un tronco de cilindro de revolución, en el cual la base superior y la base inferior forman un ángulo diedro de medida 30°. Si el radio de la base mide 2. Calcule el volumen del tronco de prisma triangular regular inscrito en el tronco del cilindro, sabiendo que una de las aristas laterales coincide con la generatriz mayor AB. B

CEPRE-UNI

C GEOMETRIA

A2

CICLO PRE UNIVERSITARIO 2006-I SEMINARIO Nº 06

A) 4 D) 5 2

B) 5 E) 6 3

C) 6

18.

15.

Un tetraedro regular de arista a se inscribe en un tronco de cilindro recto de base circular tal que su vértice coincide con el centro de la cara superior. Calcule el volumen del tronco de cilindro.  a3 6  a3 6  a3 6 A) B) C) 6  a3 2 D) 3

16.

6  a3 6 E) 8

En la figura ABCD es un paralelogramo AB= 6u, AD=10u. Calcule la relación entre los volúmenes de los cilindros que se obtienen al girar los rectángulos DMFC y BHEC alrededor de FM y HE respectivamente. F

9

Si el cilindro mostrado, está inscrito en un cubo de arista a, entonces su área lateral es: A

H

2 3 7 D) 4

A)

A) 2.5  a 2 D)  a 2 17.

C

B M

B) 1.5  a 2  a2 E)

C)2  a 2

2

Una cuña cilíndrica está definida por un ángulo diedro de 60°, el radio de su base r y generatriz g. Halle el área total. rg    6 3 rg C)    7 3

A)

CEPRE-UNI

rg    5 3 rg D)    4 3

B)

19.

E

D

B) E)

5 3

C)

7 3

9 4

Un cilindro circular recto de altura 15 cm. y radio igual 3 cm es cortado por 2 planos paralelos que forman un ángulo de 30° con el eje del cilindro; cada uno de los planos intercepta a sólo una de las bases en un único punto. El área lateral de la parte del cilindro comprendida entre estos dos planos es (en cm2): A)  3 B) 3 3 C) 6 3 D) 12 3 E) 18 3

GEOMETRIA

3

CICLO PRE UNIVERSITARIO 2006-I SEMINARIO Nº 06

20.

En un cono de revolución se corta una cuña cónica de ángulo central 30°. El área de la base del cono es Bu2 y el área de la sección que determina un plano axial es Au2. Calcule el volumen del sólido que queda. 11 2  A B A) 36 11 A B C) 36 11 A B E) 36

21.

Se tiene un hexaedro regular ABCD–EFGH de arista L. Halle el volumen de cono que se encuentra en el interior del hexaedro, con vértice en el punto A y base circular inscrita en el triángulo GHC.  L3   L3   32 2 3  2 2 A) B) 3  L3  6  2 3 D) 2

Al desarrollar la superficie lateral de un cono de revolución, se obtiene un semicírculo. Halle la medida del ángulo que forman dos generatrices diametralmente opuestas. A) 30 B) 45 C) 60 D)90 E) 120

25.

Dos rectángulos congruentes de lados a y 3a tienen un lado común que mide a y forman un diedro de 30°. En uno de los rectángulos reposa la base de un cono circular, la cual es tangente a los lados mayores. Calcule el volumen de este cono, si su vértice se encuentra en el lado menor del otro rectángulo. 2 a3  a3  a3 A) B) B) 15  a3 D) 4

3

A +

1

CEPRE-UNI

+ 2

3  1 2 D) a 2 b  a  b  3

24.

Si 1 y 2 pertenecen al plano de la base y la recta AB está incluida en el plano (123). Halle la intersección de la recta AB con el cono truncado.

B

En un cono de revolución de vértice O, se traza la altura OH y luego HJ perpendicular a una generatriz OA, siendo AJ=a y JC=b. Halle el volumen del cono. 3  3  1 A)  a  b  B) ab 2  a  b  2 3  2 C)  a  b   a  b  3  a2  b  a E) 3

11 B A B) 36 11 B A D) 36

6  L3  3  6 2 C) 6  L3  6  3 E) 2

22.

23.

26.

9  a3 E) 2

8

En un cono de revolución, la cuerda AB de la base y la distancia del vértice del cono a AB mide 10 2 . Si AB=8u y el área lateral es 48 6  , Entonces el volumen del sólido limitado por el cono es. GEOMETRIA

4

CICLO PRE UNIVERSITARIO 2006-I SEMINARIO Nº 06 128 38 125 38 A) B) 3 3 116 34 116 34 C) E) 9 3 E) 40 38

27.

28.

En un cono de revolución de vértice V, por el centro O en su base se traza el diámetro AB y se ubica un punto P  B en la circunferencia de la base, halle los valores enteros del ángulo OPB para que la m  VPB sea mínima. A) 79° y 36° B) 26° y 45° C) 25 y 89° D) 59° y 61° E) 1° y 89° Un cono de revolución de área de su base SB y área SA de la región triangular comprendida entre dos generatrices diametralmente opuestas, es cortada para retirarse una cuña cónica de ángulo central 30° entonces el volumen del sólido que queda es: 11 2  SASB 36 11  SA SB C) 36 13 SB  SA E) 36

A)

30.

Halle el volumen del sólido limitado por un cono recto de revolución de dos hojas cuyos radios de las bases miden R y r, las bases distan H. H  2 2 R  r  2Rr  A) B) C) D) E)

31.

11 SB  SA 36 11 SA  SB D) 36

B)

En un tronco de cono de revolución se traza un plano por el centro de la base menor y paralelo a una generatriz determinando una sección trapezoidal cuyas bases miden 2 y 2 3 . Si la altura del tronco de cono mide 10 y el radio de la base mayor mide 2. Halle el área de la sección aproximada. A) 25,6 B) 26,3 C) 27, 4 D) 28,5

6 H  2 2 R  r  Rr  3 H  2 R  2r 2  3 H  2 2 R  r  Rr  3 H  2 2 R  r  Rr  6

En un cono oblicuo su altura es trisecada por dos planos paralelos a la base. Calcule la relación entre el volumen del sólido comprendido entre los planos paralelos y del sólido comprendido entre la base y el inmediato plano paralelo. 5 19 9 D) 19

A)

29.

32.

C)

7 19

Los radios de las bases de un tronco de cono miden a y b (a>b). ¿Cuánto mide el radio de la sección paralela a las bases que determina dos sólidos equivalentes?. A)

3

a3  b3 3

B)

3

a 3  b3 6

C)

3

a 3  b3 2

D)

3

a3  b3

E)

CEPRE-UNI

1 3 1 E) 2

B)

3

a3  b3 2

GEOMETRIA

5

CICLO PRE UNIVERSITARIO 2006-I SEMINARIO Nº 06

33.

El radio de la base de un cono de revolución es R y su altura es H, se inscribe un cilindro recto de área lateral máxima. Calcule la altura y el radio del cilindro. H R , 2 3 2H 2R , D) 3 3

H R , 3 2 H R E) , 2 2

A)

34.

B)

2 2 g 3 1 2 E)  g 2

D)

5 2 g 2

C)

2Rr Rr Rr D) Rr

CEPRE-UNI

D) 38.

2Rr 5 R  r  Rr E)  2 Rr

B)

32 5

C)

32 3

¿En que porcentaje aumenta el volumen de una esfera, si el área de

C)

%? A) 0,275% D) 0,475%

3Rr 5 R  r 

1 4

B) 0,375% C)0,45% E) 0,50%

39.

El área de la superficie total de un cono es igual a 25 veces el área de la superficie esférica inscrita en el cono. Si el volumen del cono es 175u 3. Calcule el volumen de la esfera(en u3). A) 4 B) 5 C) 7 D) 9 E) 15

40.

En un cono equilátero se encuentra inscrita una esfera. El plano que contiene a los puntos de tangencia de la superficie lateral y la esfera determina dos casquetes esféricos. Halle :

3 2 g 2

Halle la altura del tronco de cono cuyos radios básicos son R y r, si la suma de las áreas de las bases es igual a la área lateral del tronco. A)

64 3 32 E) 7

B)

su superficie esférica aumenta en

La generatriz (g) de un tronco de cono recto de revolución forma un ángulo de 60° con la base inferior, y es perpendicular a la recta que une su extremo superior con el extremo inferior de la generatriz opuesta. Halle el área lateral del tronco de cono. B)

Se tiene una esfera de radio R y de centro O. Se traza un plano secante que contiene al punto O. Halle la relación entre los volúmenes de la esfera de centro O y aquella esfera tangente interior a la primera y al plano secante.

A) 64

3 AR E) 6

A)  g 2

36.

H R , 4 4

Un tronco de cono de revolución de área total A, esta circunscrita a una esfera de radio R. Halle el volumen del tronco.  AR  2 A) B) R A C)RA 3 AR D) 3

35.

C)

37.

E 1 2 1 D) 5

A)

Area del menor casquete esférico Area del mayor casquete esférico 1 1 B) C) 3 4 2 E) 3 GEOMETRIA

6

CICLO PRE UNIVERSITARIO 2006-I SEMINARIO Nº 06

41.

42.

En un tetraedro O–MNP, trirectángulo en O, si las aristas OM , ON y OP miden 16, 8 y 16 respectivamente, entonces el área de la superficie esférica circunscrita es: A) 597  B) 507  C) 547    D) 567 E) 576 El área de la superficie total de un cono recto circunscrito a una esfera es 25 veces el área de la superficie de dicha esfera. Si el volumen del cono es V, entonces el volumen de la esfera es: V A) 24 V D) 25

43.

V B) 27 V E) 26

V C) 28

Halle el radio de la esfera inscrita en el tetraedro trirectángulo S–ABC de aristas : SA=12, SB=24. y SC=36. A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

46.

Halle el volumen de una semiesfera inscrita en un tronco de cilindro si la generatriz máxima y mínima tiene por longitud 6 y 4 respectivamente. A) 24 6 B) 32 6 C) 24 3 D) 36 6 E) 24 6

47.

Esferas de radio r tienen sus centros ubicados en los vértices de un tetraedro de arista 2r. Una esfera de radio R contiene a las 4 esferas y es tangente a cada una de ellas, calcule R r .

Con centro en los vértices de un tetraedro regular de arista a, se trazan a esferas de radios ; sea una esfera 2

A)

2 1

B)

de radio R que contiene a las 4 esferas y es tangente con cada una,

D)

3 1

E)

a R A) 2 6  4 D) 3  1

halle:

44.

45.

48. B) 2  2 E) 2  1

C) 3  3

Una esfera sólida de metal de radio R, es utilizada para construir una pirámide triangular sólida cuyas caras laterales son regiones triangulares equiláteras. Halle la altura de la pirámide.

4 3 R 3 4 3 3 D) R  3

A)

CEPRE-UNI

4 R 3

B)

3

E)

2R 3 3 4 3

C)

4R 3 3 3

C) 2 3  1

Una esfera sólida de latón y radio r, es fundida para construir una pirámide triangular sólida cuyos ángulos poliedros son congruentes, calcule la altura de la pirámide.

43 3 3 4 3R 3  C) 3 4 3R E) 3

A)

49.

6 2 2 6 2 2

4 3 R  3 2 3 3 4 R D) 3

B)

En que relación se encuentran los volúmenes de las esferas inscrita y

GEOMETRIA

7

CICLO PRE UNIVERSITARIO 2006-I SEMINARIO Nº 06

tangente a las aristas en un tetraedro regular. 3 18 3 D) 72

A)

50.

C)

3 3 25

Halle el radio de la menor esfera que en su interior puede contener cuatro esferas congruentes de radio a. a 3  2 6 3 a C)  3  6  3 a E)  3  3  3

A)

51.

3 3 74 3 3 E) 75

B)

3  3  2 2 3

C)

3  5  2 3 3

E)

3  4  3 3

5 1127 29 5 1131 C) 29

54.

a 3  6 3 a D)  3  3  3

B) D)

Una superficie esférica es tangente a las aristas AB, AD y AE y a la cara EFGH del hexaedro regular ABCD– EFGH de arista  2  1 de longitud . Halle la longitud del radio de la superficie esférica. A) 1 B) 2 C) 3 D) 2 E) 2,5 Una superficie esférica de radio 10u está inscrita en un cono de revolución. Un plano tangente a la superficie esférica es perpendicular a la generatriz del cono, cuyo vértice dista de dicho plano 9u. Halle el diámetro

CEPRE-UNI

Si la generatriz de un cono de revolución y el diámetro de su base son congruentes entre si ¿Cuántas veces mayor es el área lateral del cono respecto a la superficie de la esfera inscrita en el cono? 1 2 7 D) 2

55.

3 2 9 E) 2

B)

25  3 32  D) 3

56.

C)

5 2

Un cono de revolución esta inscrito en una esfera de radio 3u. Halle el volumen máximo del cono (en u3). 28  3 34  E) 3

A)

52.

53.

B)

A)

3  4  2 3 3 3  5  3 3

5 1129 29 5 1132 D) 29

A)

B)

El centro de una esfera pertenece al de la base de un tetraedro regular y es tangente a las aristas de la base de longitud 6. Determine la altura del segmento esférico exterior a las caras laterales del tetraedro.

A)

menor de la sección que determina el plano (en u).

B)

C)

31  3

Si en una esfera se inscribe un cilindro equilátero y un cono equilátero. Demostrar que volumen del cilindro es media proporcional entre los volúmenes de la esfera y el cono.

57.

Una esfera es tangente a las aristas de un octaedro regular. Halle el área de todas las zonas esféricas que se determinan en cada cara del octaedro, la arista mide a. 4 2  a2  6  6 A) B)  a  6  6  6  a2  6  6 C) 3  a2  2 3 E) 3

3

a D) 4

2

GEOMETRIA

6

8

3

CICLO PRE UNIVERSITARIO 2006-I SEMINARIO Nº 06

58.

En un cono de revolución, se inscribe una esfera de radio “R”. Halle el volumen mínimo del cono.

62. 59.

60.

Una superficie esférica esta inscrita en un huso esférico y dos semicírculos máximos de una esfera, si el área del huso esférico es 24u2 y su radio es 6u entonces el área de la superficie esférica máxima inscrita es (en u2): A) 12  B) 14  C) 16    D) 18 E) 20 En un octaedro regular cuya arista miden a. Se ubica una esfera tangente a las aristas. Calcule el área de uno de los casquetes que se determinan sobre una las caras del octaedro.  a2  a2  3  2 A) B) 2  a2  2 3 C) 6  a2  5  2 E) 4

7  a2  3  6 D) 6

61.

Se tiene una cuña esférica cuyo ángulo mide 60° y con radio R. Se traza un plano perpendicular al diámetro AB por su punto medio O. Interceptando a los semicírculos máximos que limitan la cuña en los segmentos OM y ON . Halle la razón entre el área del huso esférico que limita a la cuña descrita y el área total del poliedro ABMN. 4 2 4 A) B) C) 12  3 7 4 D) 12  7 3

73 2 4 E)  3

73 2

Se traza un plano secante a una superficie esférica determinando dos casquetes esféricos de áreas A1 y A2 (A1R calcule su volumen. A)  R 3sen B)  R 2a C)  Ra 2 3 E)  R 2asen D)  R cos

4 a2  2  2a 2  b  a   1 4  b  a2     2 2  b  a 3 b 3  b   b a

9 3 a 2 9 3 D)  a 5

A)

92.

9 3 a 4 7 3 E)  a 2

B)

C)

1 3 a 2

Un rectángulo descansa sobre la recta L, se inclina el rectángulo con un ángulo que mide 60. si la diagonal determina con el lado mayor un ángulo que mide 30 y además el mayor lado mide a. Calcule el volumen del sólido generado al rotar alrededor de L.

B

60°

L A

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GEOMETRIA C

14

CICLO PRE UNIVERSITARIO 2006-I SEMINARIO Nº 06 2 3 3 3  3 a a A) B) C) a 3 4 3 2 3 D)  a E)  a3 5

93.

Calcule el peso del volante de fundición que se genera al gira la sección mostrada alrededor del eje L. Dato: Densidad de la fundición es 7, 2. L

20 80

40

100

40

20

En mm.

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GEOMETRIA

15