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(1968), siendo necesario conocer el peso del bloque. Este método se basa en la representación estereográfica de las direcciones de las fuerzas que actúan sobre la cuna y los planos que la forman, con la finalidad de conocer los ángulos entre las diferentes fuerzas resultantes que permitan calcular el factor de seguridad. El método se describe a continuación, definiéndose algunos conceptos necesarios para el desarrollo del mismo (Ferrer, 1992). ANALISIS DE LA ESTABILIDAD DE UNA CUNA POR PROYECCION ESTEREOGRAFICA. METODO DE JOHN Concepto de cono de fricción El peso del bloque de la Figura 9.41a) se puede descomponer en las componentes normal y tangencial al plano de deslizamiento: N = W cos α y S = W sen α. Si no existe cohesión sobre el plano, la fuerza que se opone

al deslizamiento del bloque es 𝑅𝛷 = Ntg ∅ y el movimiento tendrá lugar cuando S > 𝑅𝛷 , es decir, cuando α >∅; el coeficiente de seguridad vendrá dado por: F = R J S = (Wcos α tg ∅ )/ (Wsen α) O F = tg ∅ tg α La fuerza resistente 𝑅𝛷 actúa uniformemente en la superficie entre el bloque y el plano, y si la fricción es la misma en cualquier dirección, se puede construir un ≪cono de fricción≫ alrededor de la fuerza normal N (Figura 9.41a), cuya base es un circulo de radio 𝑅𝛷 y su altura es N. La condición para deslizar, a >∅, se cumple cuando el vector peso W cae fuera de este cono de fricción. En proyección estereográfica, la representación del cono de fricción es la de la Figura 9.4Id). Si existe cohesión entre el bloque y el plano, la fuerza resistente debida a la cohesión, Rc, se suma a la

Fuerza friccional. La base del nuevo cono de friccion, o ≪cono de friccion aparente≫, tendra un radio igual a R. + Rc y una altura N (Figura 9.41b). La ≪friccion o rozamiento aparente≫, 0 ap, puede ser calculada: y el coeficiente de seguridad:

Siendo A el área de la base del bloque. La condicion para que ocurra deslizamiento en estas nuevas condiciones sera: S > R. + Rc 6 a > 0 ap. Si se considera la influencia de una fuerza externa, esta puede ser favorable o contraria al deslizamiento. Para analizar el equilibrio del bloque debe calcularse la resultante, We, entre el peso W y la fuerza extema T, con la que se realiza el cálculo de igual forma que para los casos anteriores. Segun este nuevo vector caiga dentro o fuera del cono de friccion, elbloque sera estable o inestable (Figura 9.41c). El coeficiente de seguridad para este caso es:

Siendo t el angulo entre el vector Ne y el vector We. — Cono de friccion para el caso de una cuna Para el caso de una cuna deben considerarse los angulos de rozamiento correspondientes a los dos planos de discontinuidad (Figura 9.42a). La fuerza resistente en el plano de cuna A es la resultante Qa de la fuerza normal Na y la fuerza resistente Ra que actua paralela a la linea de interseccion de ambos planos. De igual forma, para el plano B la resultante será Qb. En caso de que la cohesión sea nula, Ra y Rb representan los radios de la base de los conos de fricción de la cuna sobre los planos A y B respectivamente. Las dos fuerzas y Qb se pueden componer en un plano que contiene a la línea de intersección, dando lugar a la resultante Q!. El plano PQ contiene a Q,, Qa y Qb. De igual forma, si en la Figura 9.42a) se dibuja la resultante de los vectores Na y Nb en un plano paralelo a la linea de intersección, se obtiene N!, vector comprendido en el plano PN que a su vez contiene a Na y a Nb. Los vectores N. y Q! y el vector peso W representan la fuerza resistente R (vector R!) y la fuerza desestabilizad ora S debida al peso (vector W-N!) que actuan sobre la cuna. Su proyección estereográfica

Sobre la línea de intersección de la cuna se presenta en la Figura 9.42b) (W se representa en el centro del estereograma). El coeficiente de seguridad sera, pues, la relacion entre las magnitudes de estos vectores, o la relacion entre las tangentes de los angulos 0. (Formado por los vectores Nr Q!) y x! (formado por los vectores NrW): Calculo del coeficiente de seguridad de la cuna Los datos necesarios para resolver el problema son: — Direccion y buzamiento de los dos planos de cuna. — Areas de los planos. — Peso de la cuna. — Valores de la friccion y cohesión de cada plano. — Valores de los esfuerzos hidrostáticos que actúan normalmente sobre cada plano de la cuna.

En caso de cohesion nula en los dos planos de cuna, los pasos a seguir se describen a continuacion. En el Recuadro 9.6 y en las Figuras 9.43 y 9.44 se incluye un ejemplo del procedimiento, con el desarrollo de todos los pasos. 1. Se representan en el estereograma los planos A y B y sus polos correspondientes, Na y Nb, y se dibuja la línea de intersección entre los dos planos.

2. Se trazan dos circulos maximos desde el punto de interseccion de los dos planos hasta el polo de cada uno de ellos, Na y Nb (Figura 9.43a). 3. Se dibujan los conos de friccion de cada plano alrededor de su polo correspondiente (marcando los grados correspondientes a (!>a y (f>b en todas direcciones alrededor de Na y Nb respectivamente, y siempre segun circulos maximos). 4. Los puntos donde se cortan los conos de friccion con los circulos maximos trazados en 2) definen los puntos a y b (Figura 9.43a). 5. Se traza un circulo maximo que pase por los puntos a y b. Este círculo representa al plano PQ que contiene a los vectores Qa, Qb y Q!, que quedan representados en el estereograma, respectivamente, por O-a, Ob y O-i, siendo i el punto donde este círculo maximo corta a la linea de interseccion de los dos planos A y B, y siendo O el centro del estereograma, donde queda proyectado el peso W del bloque. 6. Se traza un circulo maximo que una los polos Na y Nb, el corte de este plano con la linea de interseccion determina el punto N! (punto de aplicacion del vector N., resultante de las normales Na y Nb sobre la linea de interseccion), y este círculo representa al plano PN que contiene a Na, Nb y N!, quedando representados estos tres vectores en el estereograma por 0-Na, 0-Nb y 0-Nr Una vez dibujados los puntos N. e i, se puede medir el angulo de rozamiento aparente correspondiente a la cuna, i y x! los grados, medidos segun círculos maximos, entre — i y entre W - N! respectivamente. Si sobre los planos A y B actuan fuerzas de friccion y cohesion, el metodo para hallar el factor de seguridad es el mismo que en el caso anterior hasta al punto 3, donde deben dibujarse los nuevos conos de friccion aparente sobre cada uno de los planos, correspondientes a R# + El nuevo valor del angulo de friccion aparente (fiup para los planos A y B se calcula:

Construcciones auxiliares para cálculo de magnitud y dirección de las fuerzas actuantes correspondientes al ejemplo del Recuadro 9.6. De igual modo:

Siendo a el Angulo de la linea de interseccion con la horizontal y O el angulo entre N! - Na o entre N! – Nb respectivamente (Figura 9.42a); es necesario conocer el área de los dos planos que forman la cuna. Los valores de < ^(a) y