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19 Diagramas de control para fracción defectuosa (diagrama p)

UN DIAGRAMA/? muestra variaciones en la fracción defectuosa de la producción^La linea central del diagrama es una estimación dé la fracción defectuosa del proceso, y los límites de control superior e inferior son por lo general límites 3 sigma. Si p' es la fracción defectuosa del proceso, en el supuesto de que el proceso está bajo control, entonces a'pes / p (l - p ) pnr tanto, los límites de control serán constantes únicamente cuando n sea constante. En la figura 18.3' aparece una representación de un diagrama/»' para una n constante. En este capítulo se mostrará cómo se traza un diagrama/?, analizando a continuación su empleo para lograr control y para detectar las desviaciones subsecuentes que se produzcan en relación con dicho control. 1. TRAZADO DE UN DIAGRAMA/) CON n CONSTANTE

Estudiemos el trazado de un diagrama/? con referencia a la producción de armazones laterales para carros de ferrocarril. Supongamos que estas armazones se encuentran en producción continua en una fundición, y que se toman e inspeccionan 50 como una muestra aleatoria de 50 de la producción diaria. Digamos que los resultados de los 28 días de operación anterior son los siguientes:2. (Ver tabla pág. 428). Nuestra tarea consiste en trazar un diagrama de control que controle la fracción defectuosa de las armaduras laterales de carros de ferrocarril. Debemos comenzar por ver si el proceso ya se encuentra bajo control. Para hacer esto trazaremos un diagrama preliminar, basado en los datos dados. Nuestra primera tnrea consisíe en estimar la fracción defectuosa promedio del proceso estimado existente. Véase la pág. 412 Estos y los datos que siguen han sido adaptados de un diagrama presentado por William M. Armstrong en Industrial Quality Control, mayo 1946, pág. 15. J

2

427

428

Control de calidad y estadística industrial

Fecha

Número rechazado

Abril 27 28 29 30

4 9

10 U 13 30 ^ 26 13 8 23 34 25 18 !2

2 3 4 5 6 7

8 9 .... 10 . . . .

Fecha

N utilero rechazatío 4

12 14 .. 15 ;

16 17

18 19 21 22 23 . 24 25 . 26

..

3 11 8 14 21 21 18 10

8 1? 19

4 8

Esto se lleva a cabo encontrando el número tptal.de partes defectuosas durante el periodo para el cual e! análisis preliminar se va a realizar, dividiendo entre el número total de las- inspecciones realizadas. En el caso de los datos anteriores, tenemos/? = 407/1 400 0.291. 3íerpr0ceso~est¿ bajo control, este 0.291 pasa a convertirse en la estimación de la fracción defectuosa del procesop', y se toma como línea central de nuestro diagrama de control. Seguiremos el procedimiento estándar, y situaremos límites^signia, Usando/i = 0.291 como estimación de/?', podemos tomar como estimación de o¡, la cantidad 3 (19.1)

(Tp

(0.291)(0.709) = 0.064 50

En ese caso 3ap = 0.192. Sumando y restando esto de 0.291 obtenemos 0.483 corno limite superior y 0.099 como límite inferior de nuestro diagrama. El diagrama de control, con su línea central y sus límites de control superior e inferior aparece en la figura 19.1, junto con los resultados ya obtenidos situados como fracciones defectuosas. Se observará que hay cinco puntos fuera de los límites en el lado superior y cuatro en el lado inferior. Evidentemente el proceso no está bajo control. ¿Cuál será nuestro siguiente paso? Nuestro objetivo final es situar a este proceso bajo control. Para llevar a cabo esto debemos, a medida que avance el trabajo, investigarjospuntps que se encuentren fuera de control, de manera que se puedan eliminar o prevenir contra cualesquiera causas dé mala calidad, continuando si es posible, las causas especiales de una real calidad elevada. En este caso supongamos que la investigación revela lo siguienle. En los días 2 y 7 de mayo se agregaron algunos trabajadores nuevos a la fuerza de trabajo, y el capataz atribuye las fracciones defectuosas elevadas correspondientes a los días 2, 3, 7 y 8 de mayo, a la capacitación de dichos hombres. Igualmente una comprobación posterior indica que la ci fra correcta para et 12 de mayo fue 7 y no 3, atribuyéndose esta última a un error al copiar los informes originales. No se encontraron causas atribuibles en relación con los demás puntos situados fuera de 3

La colocación de u n " encima de n indica que se trata de un valor eslimado.

iística industria/

429

Sec. I. Cap. 19. Diagramas de control parafracción defectuosa FIGURA 19.1 Diagrama p para el análisis de datos anteriores

'uñero reclut'atlv

1! 8 14 2t 25 18 10

0.7-

UCL preliminar

8 18 19 4

8

inte el periodo ro total de las 407/1 400 = estimación de íestro diagraiiíes 3 sigma. icíón de o,,' la

LCL 1 /preliminar LCL £ revisado 19

21

26

Mayo

los límites de control. Como consecuencia de esta investigación se decidió que todos los hombres de nuevo ingreso recibieran un curso de entrenamiento especial antes de comenzar a trabajar. Igualmente se decidió que la totalidad de la fuerza de trabajo legraría beneficios con un entrenamiento extra, y se creó un programa para iniciarse el 28 de mayo. Entre tanto se analizan de nuevo los datos para obtener una base que nos sirva para trazar un diagrama de control que gobierne la producción futura. El primer paso es eliminar todas las causas atribuibles que se hayan encontrado, corrigiendo la cifra correspondiente al 12 de mayo. Entonces p, UCL y LCL, se calculan con base en los datos revisados. Los resultados son los siguientes:

.483 como lí•ama de cone e n l a figura 'ectuosa-s. Se latroenella-

_ = 296 = 0.247 1200

este proceso tajo, invesiin eliminar o posible, las jelainvestirabajadores sas elevadas xs hombres. í 2 de mayo Bínales. No ¡os fuera de

p

UCL = 0.247

Cuando trazamos los nuevos límites de control observamos que todos los puntos se encuentran dentro de los límites, excepto los correspondientes a! 6 y 18 de mayo. Esto indica que sigue existiendo alguna falta de control, pero antes de tomar nuevas decisiones examinemos el nuevo diagrama en relación con las tandas o corridas. En total hay 24 puntos; 14 por debajo y 10 por encima de la línea central. Hay 5 tandas por debajo de la línea y 4 por encima, o sea un total de 9 tandas por encima o por debajo de la línea central. Parar = lOys = 14, el límite 0.05 con el número detandas ^

430

Control de calidad y estadística industrial

es 8 y el límite 0.005 es de 6 (véanse las tablas NI y N2 del apéndice II). De aquí se deduce que el número total de tandas por arriba y por abajo del promedio se encuentra claramente dentro de los límites de posibilidad. Por otra parte, hay 11 tandas arriba y abajo.Parar = 9ys = 13, estose encuentra aún mejor dentro de los límites esperados por las posibilidades (véanse las tablas NI y N2). La mediana de los 24 casos es 0.22, habiendo dos casos que tienen este valor. Se asigna el primero de éstos al g"rupo de casos situados sobre la mediana y el segundo al grupo situado por debajo. Un examen muestra que no hay tandas largas por encima o por debajo de la mediana. De nuevo no hay indicación de fuerzas no aleatorias (véase la tabla P en el apéndice II). Finalmente, se observa que la tanda más larga arriba o abajo en el total de la serie de 24 puntos es una tanda de 4. Para n = 24, la tabla Q del apéndice II indica que una tanda de 4 no está fuera de los límites de posibilidad. (Para n = 20 la probabilidad de una tanda arriba o abajo de 4 o más es mayor de 0.0567.) Cualquiera que sea la forma en que analicemos los 24 puntos en relación con tandas, no encontramos evidencia de influencias no aleatorias. Con sólo dos puntos más allá de los nuevos límites de control y sin la evidencia de influencias no aleatorias dentro de los límites, es innecesario llevar a cabo mayor refinamiento. Tomemos entonces la línea central y los límites de control superior e inferior del diagrama revisado como estándar para controlar la producción en el mes siguiente. Para que el diagrama/? controle la producción actual tendremos en esta forma los siguientes valores estándar:? p" = 0.247 UCL = 0.430 LCL = 0.064 Lo anterior constituye una solución de un problema particular, en el cual las causas atribuibles encontradas como causantes de los puntos situados fuera délos límites de control afectaban únicamente a dichos puntos. Sin embargo, es posible que las causas atribuibles, descubiertas mediante la investigación, pudieran haber afectado razonablemente otros puntos no situados fuera de los límites de control. Por ejemplo, un trabajador sustituto pudiera haber sido empleado durante una semana entera. Durante esta semana sólo la producción de un día se encontró fuera de los límites de control; pero como aquel trabajador estuvo empleado en los otros días igualmente, la fracción defectuosa del proceso en estos días fue probablemente más elevada de lo que hubiera debido ser. En consecuencia, al recalcuIar/J hubiera sido mejor rescatar los datos correspondientes al total de la semana. Es posible también que una causa atribuible puede afectar la totalidad de la última parte de los datos. Por ejemplo, supongamos que se ha utilizado una materia prima nueva durante las dos últimas semanas, lo que ha dado lugar a que uno o más de los puntos durante aquel periodo se sitúen por debajo del límite inferior de control. Si esta misma materia prima es la que se va a utilizar durante el mes siguiente, entonces p, UCL y LCL para el diagrama de control del mes siguiente, deberá basarse en las operaciones * Un símbolo con dobleprima se refiere a un valor estándar. Por contraste, p' es e] valor reaJ del proceso yp e! valor de lamuestra.

'stica industrial

Sec.2. Cap. 19. Diagramas de control para fracción defectuosa

aquísededuncuentra cíaarriba yabasperados por

correspondientes a las dos semanas últimas, en lugar de hacerlo en las operaciones de las semanas precedentes. El objeto al trazar el diagrama para el mes próximo consiste en determinar los límites dentro de los cuales se podrá esperar que caigan los resultados si el proceso trabaja en forma aleatoria. Esto significa que la línea central se debe situar lo más cerca posible del nivel en el cual operará realmente el proceso si éste no opera de manera aleatoria.5 Al terminar esta sección se deberá tomar nota especial de la figura 19.3, un dispositivo gráfico para calcular los límites 3 sigma, dados p', p", o p. Con ayuda de este diagrama ya no necesitamos calcular mediante fórmula el valor de 3 sigma. Necesitamos únicamente situar la abscisa de la escala de la figura 19.3 con el valor de n, siguiendo verticalmente hasta que alcanzamos la linea para la cualp' es igual a su valor dado, o al valor estimado de p, leyendo a continuación 3 sigma en la escala de la derecha.

;ste valor. Se ;I segundo al x>r encima o lorias (véase tal de la serie dica que una babilidad de :ióncontansvidenciade mayor refior e inferior ;s siguiente, ormalos si-

2. OPERACIÓN Y REVISIÓN DEL DIAGRAMA/;

Para el resto de mayo y la totalidad de junio las operaciones de la fundidora son las siguientes:

Armazones defectuosas en muestras de 50

Fecha

14 5 8

Mayo 28 ... 30 ... 3) . .

8

el cual las ra de los liüosible que ber afecta>ntrol. Por semana envíos límites malmente, elevada de orrescatar i de la últieria prima más de los rol. SÍ esta :es p, UCL oraciones real del pro-

431

3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

... ... ... ... ... ... ... ' ... ....

9 7. ...

•. ...

4 8 4 10 6 5 9 7 4 2

Fecha

Armazones defectuosas en muestras de SO

15 16 18

19 20 :, 21 22 .. . 23 25 26 27 28 29 30 . .

.

4 5 2 3 5 5 4 5 4

6 6 3 6 7 5

En la figura 19.2 aparecen situados estos resultados en el diagrama de control que se trazó al principio del nuevo periodo.6 Lo sorprendente es el nuevo nivel alrededor del cual fluctúa ahora evidentemente la fracción defectuosa. Que algo ocurrió para cambiar el proceso queda en claro por completo el 13 de junio, en cuya fecha uno de los puntos cae debajo del límite inferior de control. Que la fracción defectuosa promes Si la gerencia no está satisfecha con el nivel obtenido mediante el proceso, será probablemente mejor revisar la totalidad de éste en lugar de situar artificialmente un estándar inferior y tratar a continuación de forzar el proceso hacia abajo al nivel de dicho estándar, investigando cada punto situado por encima d.el limite superior artificialmente determinado. Según la teoría este procedimiento no tiene probabilidades de obtener éxito. 6 Véase inmediatamente abajo.

432

Control de calidad y estadística industrial

dio había cambiado a un nivel más bajo fue sugerido antes de ello por la larga tanda de puntos situados por debajo de la línea central del diagrama de control. Supongamos que la investigación correspondiente al 13 de junio, a continuación de la ocurrencia de un punto por fuera del límite inferior de control, indica que sólo apareció, como cambio evidente en el proceso, la actitud y el interés de los operadores. Durante varios días posteriores al 28 de mayo todos los operadores habían recibido entrenamiento extra, habiéndose explicado el nuevo sistema de control de calidad, a la vez que se colocaron en el taller de fundición unas cartas en las que aparecía la fracción defectuosa correspondiente a cada día. El interés en aumento de los hombres en cuanto a la calidad de producción, además de su conocimiento aumentado en cuanto a la realización del proceso, pareció ser la única causa atribuible del cambio favorable en la fracción defectuosa del proceso. FIGURA 19.2 Diagrama p en operación mostrando tos límites original y revisado Fracción defectuosa de lo muestra p 0.5 -

UCL revisado

0.4 -

0.1 -

28 30 Mayo

Hacia fines de junio se decidió revisar el diagrama de control La fecha del lo. de junio parecía ser el punto lógico, para iniciar la revisión, ya que se pensaba que era la fecha en que el nuevo programa de educación y orientación habría producido ya su efecto pleno. Del lo. al 30 de junio la fracción defectuosa promedio fue de 146/1.350 = 0.108. Esto se toma en forma tentativa como el nuevo/?" Con base en la figura 19.3, se calcula el 3apt y se determina un límite de control superior con base en la fórmula - ' ~ -

,

UCL =p + 3ap = 0.108

'

+ 0.132 = 0.240

Ya no hay LCL, ya que aplicación de la fórmula 3ap da un resultado negativo. Se sitúan en el diagrama las nuevas líneas para ver cómo se explican los resultados del mes de junio (véase la figura 19.2). Se observa que no hay puntos que caigan fuera de los nuevos límites. En total se tomaron 27 muestras en el mes de junio; 11 de ellas tenían una fracción defectuosa mayor que el nuevo/?" y 16 una fracción defectuosa menor que el nuevo/?". El número total de tandas por encima y por debajo del promedio es de 12, lo que está por encima del límite de posibilidad 0.05 para r = 11 y s = 16 (véase la tabla NI, apéndice II). La mediana de los 27 puntos es 0.10, y hay 6 puntos con este mismo valor. Si estos 6 puntos se asignan en forma conservadora a las clases de puntos situadas por encima y por debajo de la mediana, no habrá tandas largas por encima o por debajo de la mediana. Tampoco hay tandas largas arriba o abajo.

iísíica industrial larga tanda de

Sec. 2. Cap. 19. Diagromasde control parafracción defectuosa

433

FIGURA 19.3 Nomograma para calcular sigma o 3 sígma dados p' ,p" o p

3, a continuaol, indica que •es de los opeadores habían de control de :as en las que s en aumento conocimiento :a causa atri-

200

300 «o 500

roo

ooo

21X0

3000

B.OOO

* La ¡inea de rayas indica el [amaño de ¡a muestra para e! cual el limile inferior será cero. Reproducido con permiso de "Aids ForComputingLimits forp-Chans" de John M. Howell, Industrial Quality Control, julio 1949, págs. 20-23. El diagrama original de Howell es mayor y liene más lineas de guía que el de la figura 19.3. Esta úllima permite únicamente una interpolación aproximada entre las marcas de la escala. Deberá utilizar el original cuando se desee una mayor exactitud.

hadel Jo.de ba que era la Jucido ya su 146/1.350 = gura 19.3, se "órmula tivo. i los resuha5 que caigan junio; 11 de :ción defecr debajo del ara r = 11 y .10, y hay 6 Dadora a las i tandas laribaoabajo.

Por tanto, desde todos los puntos de vista el proceso parece estar bajo control en el nuevo nivel. Los valores p" = O.lOSyUCL = 0.240 se adoptan, por tanto, como valores estándar para propósitos de control durante julio. Los resultados correspondientes a julio son los siguientes: Número de piezas defectuosas en muestras de 50

Fecha Julio

] 2 3 4 5 6 7 10 11

7 8 .. ... . .

7

...

4 4 3 4 2

8 3 3

6

12 13 . . 14 ... 17

2

Fecha Julio 18 19 20 . . . . 21 . . . . 23 ' . . . 24 .... 25 26 27 28 29 . . . . 30 31

Número de piezas defectuosas en muestras de 50 1 3 4 7 2 7 4 4 7 7

0 5 6

La figura 19.4 muestra ia forma en que aparecen estos resultados en el diagrama de control trazado a principios del mes.

434

Control de calidad y estadística industrial

Se observará que ninguno de los puntos de la figura 19.4 cae más arriba del límite superior de control. De aquí se puede deducir que no ocurrió nada, durante el periodo, que aumentase la fracción defectuosa. El diagrama no tiene límite inferior, de manera que tenemos que recurrir a otros procedimientos para determinar si algunas causas atribuibles han ocasionado en algún momento unas fracciones defectuosas excepcionalmente bajas. Por incidencia esta dificultad se pudiera haber evitado al principio del mes tomando una muéstralo suficientemente grande para que nos diera un límite inferior en el diagrama. FIGURA 19.4 Un diagrama p en operación: continuación de i;i figura 19.2

7 10

14 17

2123

31

Julio

De acuerdo con la regla 77 la tanda larga situada por debajo de la línea central que comienza el 10 de julio sugiere que ha sucedido probablemente algo, alrededor de aquel tiempo, para hacer bajar la fracción defectuosa. Si seguimos una regla práctica buscaremos una causa atribuible que se inicieel I9de julio. Sin embargo, al final de la discusión, veamos si hubiéramos podido llegar a la misma conclusión aplicando la teoría aceptada de las tandas. Al emprender este estudio se deberá observar que la teoría diseñada en el capítulo 18 refiere la longitud de las tandas a la mediana, y no a la línea central del diagrama. Es también lógico en este caso incluir en nuestro análisis no sólo los datos correspondientes a julio, sino también los de junio, ya que la hipótesis que estamos comprobando es la de que las operaciones en julio son realmente las mismas que las de junio. La mediana de las 53 muestras tomadas en junio y julio es de 0.10. Por conveniencia para el análisis consideremos todas las muestras con fracción defectuosa igual a 0.10 como situadas por encima de la mediana, excepto la del 9 de j unió, que puede ser ignorada por el momento. (Hay 26 casos por debajo de 0.10 y 27 iguales o superiores a 7

Véase capítulo 18, sección 7.3, para un examen de esta regla.

•tica industrial

Sec. 3. Cap. 19. Diagramas de control para fracción defectuosa

iba del límite e el periodo, DF, de mane;unas causas josas excep: al principio sra un límite

0.10, en total 53 casos. Una de las muestras de 0.10 se puede tomar como muestra mediana, y el resto puede ser situada en la clase por encima de la mediana. Aquí tomamos la muestra para el 9 de junio como muestra mediana, ya que su omisión no produciría ninguna tanda larga ni afectaría el número total de tandas.) Con este ajuste se observará que hay una tanda larga de 9 por debajo de la mediana comenzando el 10 de julio. Sin embargo, el límite 0.05 para n - 50, es una tanda de 10, de manera que incluso esta tanda farga por debajo de la mediana no es suficiente para indicar una causa atribuible. Con respecto al número total de tandas por encima y por debajo de la mediana, tendremos lo siguiente: en total hay 27 tandas por encima y por debajo de la mediana. Parar = s = 26, los valores limitadores de 0.005 y 0.05 son 17 y 20 (véase la tabla N3, apéndice II), los cuales son muy inferiores al número obtenido. Por tanto, en general la teoría de las tandas no sugiere laexístencia de causas atribuibles que produzcan una variación no aleatoria. En este caso no se comprueba la conclusión obtenida al aplicar la regla de 7. El lector puede discutir que aunque la teoría de las tandas no da una razón para sospechar la existencia de causas atribuibles, sigue siendo cierto que el nivel de puntos en julio es menor que el de junio. Por supuesto, la pregunta verdadera resulta si es significativamente menor, esto es, si la diferencia en niveles en los dos meses puede ser razonablemente consecuencia de la posibilidad. Hasta este momento no estamos preparados para dar respuesta a esta pregunta. Sin embargo, se observa más adelante, en el capítulo 26, que hay una probabilidad razonable de que la diferencia observada pueda haber ocurrido por casualidad. Aunque la regla 7 y posiblemente la impresión general del lector sugiera que hay algo que está originando la fracción defectuosa más baja, las pruebas estadísticas estándar no dan apoyo a esta conclusión. Si nos atenemos a la última, en este caso no revisaríamos el diagrama de control al final de julio con base únicamente en las cifras correspondientes al propio julio. Si deseamos podemos combinar las cifras de junio y de julio, y determinar el valor de Abasado en las operaciones de los dos meses. Hagamos esto o no sería aconsejable recomendar, por lo menos para el próximo mes, que el tamaño de la muestra aumente de 50 a 100, de manera que el diagrama/? tenga un límite inferior (véase la figura 19.2).

3. central que dor de aquel tica buscarela discusión, ría aceptada •n el capítulo ¡agrama. Es respondienprobando es io. . Por conve/tuosa igual ue puede ser superiores a

435

3. DIAGRAMAS p CON n VARIABLE El análisis de las secciones I y 2 se simplificó considerablemente porque tomamos una muestra constante de 50 armazones. En muchos casos el diagrama de control por fracción defectuosa se basa en la inspección al 100% de la producción, y esta última varía de un día a otro. En este caso podemos proceder de una de las tres maneras siguientes. El procedimiento más recto consiste en calcular límites de control separados para cada resultado de muestra. Con límites 3 sigma, a'p varía inversamente con V«- Por ello con un n diferente tendremos límites distintos. Como a'p varía inversamente con V«, cuanto mayor sea n menor será Q'P y más estrechos los límites. Por otra parte cuanto menor sea n mayor será a'p y más amplios los límites. La figura 19.5 muestra un diagrama/? con límites variables. En este caso no hay límite inferior, de manera que sólo aparece el límite superior.

Control de calidad y estadística industrial

436

FIGURA 19.5 Un diagrama p con muestras de distintos lámanos 1

Orden de los embarques * Esios dalos corresponden a la fracción defeci uosa de los adaptadores de balería ut ¡lízados en !os aparatos de mano para intercomunicación. Véase "Fraction Defective of Battery Adapter Used in Handie-Talkie", de F. A. Palumbo y Edward S. Slrltgala, Industrial Qnality Control, noviembre 1945. págs. 6-8.

FIGURA 19.6 Ilustración de una hoja de trabajo para un diagrama p cuando n varía* (p" = 0.042 y 3 V P "(1 - P") = 0.6015; para el resto de los datos véase la figura 19.5)

20 .

3Vp"(I - P") en julio

20 21 23 24 25 — 26 27 28 30

la muestra

.....

. ...

90 105 105 -155 155 155 210 155 155

de rechazos

de la muestra

0

0

4 8 2

0 038 0 052 0 013

4 7 5

0 020 0 045 0 032

o o

o

o

Fecha en julio

UCLt

^ 0 063 0 0*^9 0 059 0 048 0 048

0 105 0 101 0 101 0 090 0 090

0 048

0 090

* Esios datos corresponden a l a fracción defectuosa de los adaptadores de batería. Véase "Fraciion Defective of Battery Adapter Used in Handie-Talkie", de F. A. Palumbo y Edward S. Stntgala, Industrial Qua/ity Comrol, noviembre 1945, pág. 8. t UCL = p" + 3Vp"0 -~pT/ñ = 0.042 + 0.60Í5A/ÍÍ.

Un segundo procedimiento consiste en expresar nuestra variable en unidades de desviación estándar. En otras palabras, en lugar de situar la fracción defectuosa de la P-P' muestra en cada caso, calculamos P-P" .. -. Esto' 'estabiliza'' o bien

'"(1 -p"}

la variable y el diagrama resultante se llama diagrama/) estabilizado. Por supuesto, en este diagrama los límites son constantes y ocurren en -3 y +3. La figura 19.7 muestra la figura 19.5 en forma estabilizada. El tercer procedimiento consiste en basar nuestros límites en una producción promedio. Esto dará límites constantes, lo que en la mayor parte de los casos se acercará razonablemente a los límites exactos para cada muestra. Si la variación en el tamaño de la muestra es especialmente grande en un caso dado, o si una muestra cae muy próxima

23 24 25 26 27 28 30

Sec. 3..

lísíica industrial

437

Cap. 19. Diagramas de control parafracción defectuosa FIGURA 19.7 Diagrama p estabilizado (datos iguales a los de la figura 19.5)

p

UCL

2

-

0 -1 -2 . - • 1

os aparatos demano . A. Palumbo y Ed-

• .•

j vy v 7*

v

^

LCL

Orden de los embarques

•'

FKil'RA 19.8 Ilustración de una hoja de trabajo para un diagramap estabilizado* (p " =•-- 0.042; Vp "(!-/> 0=0.2005; UCL = 3.0; LCL = -3.0.) .. -r

Fecha en julio

"FT UCLf

0.105 0.101 0.101 0.090 0.090 0.090 0.084 0.090 0.090 action Defective of Control, noviembre

ti unidades de fectuosadela .biliza" o bien *or supuesto, a figura 19.7 a producción os se acercará el tamaño de nuy próxima

20 21 23 . 24

2526 :;;::::::;: 27 2S_ 30

.,-

,

f

/ P

¡a muesira n

de rechazos c

de la muestra p = c/n

90 105 105 155 155 155 210 155: 155"

0 0 4 8 2 0 4 7 5

0 0 0.038 0.052 O.OÍ3 0 0.020 0.045 0.032

U

~

P

P -P" = a¡l

-" p —p

0.021 0.020 0.020 0.016 0.016 0.016 0.014 0.016 0.016

-0.042 -0.042 -0.004 + 0.010 -0.029 -0.042 -0.022 + 0.003 -0.010

O P"

-2.0 -2.1 -0.2 +-0.6 -1.8 -2.6 -í.6 +0.2 -0.6

* liasaiioo i la tluLiru 19.6. Véase también e| capítulo 23. sección 4, para un examen acerca cié cómo usare! pape! de hró habí miad binun ia! al ira/ar un diagrama /) e^abüixaclo.

a los limites a] >roximados, de manera que necesitemos conocer los límites precisos para determinar si el punto está o no bajo control, podemos tomarnos la molestia de calcular límites exa ctos para aquel caso particular. La figura 1 9.9 ¡lustra este tercer procedimiento. Corm ) este ú l t i m o procedimiento es el que supone menos trabajo, éste es el que se aplica en fe rma más habitual. FIGI RA 19.9 rama p con 1 ( 1 basado en un tamaño promedio de muestra (misi nos dalos que en la figura 19.5)

P 0.10 0.05

0

S

, / \y^

f\-

v

Orden de les embarques

v

UCL

Sec. 5.

'ística industrial

439

Cap. 19. Diagramas de control para fracción defectuosa

rticular acerca na/?; ya que si ectuosa de la " = 0.10, una os puntos por esultado de la mestra consta :rá4vecesmatción estándar i. En tanto en nda muestra, • y 16 de las fibilizado unas i la probabilias mejor estu•a varía.8

5. LA CURVA ARL PARA UN DIAGRAMA p DE UN SOLO LÍMITE EMPLEADO PARA CONTROLAR LA PRODUCCIÓN EN CURSO

ONTROLAR

En la sección 7.4 del capítulo 18 se demostró que si un diagrama p tiene solamente un UCL y si los resultados de la muestra indicados en el diagrama son independientes entre sí, el número de muestras en promedio que han de tomarse antes de qu_e dicho diagrama detecte un promedio mayor está dado por 1/(1 — Pa), donde Pg es la probabilidad de que un solo resultado de la muestra sea menor que o igual al UCL. La gráfica de estas ARL en función de los promedios aumentados correspondientes daría una curva ARL para el diagrama. En el caso del diagrama p de la figura 19.4, cuya línea central cae en 0.108 y el UCL en 0.240, los puntos seleccionados de la curva ARL se calculan en la figura 19.14. La curva se muestra en la figura 19.15. Esto indica que si el promedio del proceso persiste en el nivel de la línea central del diagrama, habrá tandas largas, por ejemplo, de 600 a 700 muestras en promedio, sin ningunas falsas alarmas. Para un corrimiento hacia arriba relativamente pequeño, digamos de 0.15, la ARL será aproximadamente de 27 muestras. Si la fracción defectuosa promedio sube a 0.24 o más, el diagrama captará el cambio, por lo común en la primera o segunda muestras to-

xión en curso ; límites cuan-

FIGURA 19.11 Ilustración de una hoja de trabajo para deducir la curva CO para un diagrama p con doble limite (UCL = 0.430; LCL = 0.064; n = 50) Para/?' < 0. 10 uülícese'la distribución de Poisson.

urva CO para i diagrama de CO para un •va CO se ob; curvas CO se

p'

— •

e simple (UCL = :ríbución normal) obabitidad de :ión defectuosa Tines ira < 0.240

-

1.000 0.99856 0.9625 0.7612 0.5000 0.2643 OJ76? 0.0515 0.0104

íeson J. Duncan,

-di "-

o

0 01

"

*

p'n

Prob. (c < 0.43n) - Prob. (c < 0.064n)

o

0 0.002 0.02 0.07 0.14 0.24 0.35 0.57 0.73

0.5

0 02 0.03 0.04

! .0 1.5 2.0

0.05 0.06 0 08

2.5 3.0 4.0

0.10

5.0

Parap' > 0.10 utilícese la disiribución normal.

P (I - P ) 0.430 - p' n

P'

Vp'u - P')

0.15 0.25 0.30 0.35 0.40 0.43 0.50 0.55 0.60

0.357 0.433 0.458 0.477 0.490

0.0505 0.0612 0.0648 0.0675 • 0.0693

0.500 0;498 0.490 *

0.0707 0.0704 0.0693

0.064 — p'

aP

°P

5.54 2.94 2.01 1.19 0.43 0 -0.99 -1.70 -2.45

-1.70 -3.04 -3.64

Prob. \4 - p'

L

°P 0.430 - p']

.- -; J 0,95 0.997 0.98 0.88 0.67 0.50 0.16 0.04 0.01

FIGURA 19.12 Curva característica de operación para un diagrama/; con límite simple: UCL = 0.240, n = 50 (véase la figura 19.4) 1.0

0.9

0.8

p' = Fracción defectuosa del proceso p = Probabilidad de que las resultados de la muestra caigan dentro de los límites de control

0.7

0.6 0.5 0.4 0.3

0.20.) O

O

0.10

0.20

0.30

0.40

0.50

PJ

FIGURA 19.13 Curva característica de operación para un diagrama p con límite doble: LCL = 0.064, f/Q, = 0.430, n = 50 (véase la figura 19.2) fts

0.60

n = 50

Sec. 6. Cap. 19. Diagramas de control para fracción defectuosa FIGURA 19.14 Ilustración de una hoja de trabajo para deducir la curva ARL de un diagrama p (los datos corresponden a la figura 19.4 para p = 0.108, UCL = 0.240 y n = 50)

p'

(Probabilidad (Pa) de una fracción defectuosa £ 0.240

/-P

ARL = l/(¡ -P B )

1.000 0.99856 0.9625 0.7612 0.5000 0.2643 0.1762 0.0515 0.0104

0 0.00144 0.0375 0.2388 0.5000 0.7357 0.8238 0.9485 0.9896

— 694.44 26.67 4.19 2.00 1.36 1.21 1.05 1.01

0

0.10 0.15 0.20 0.24 0.28 0.30 0.35 0.40

441

De la figura 19.10

madas después de que ocurrió este último. Si la gerencia estima que es mejor detectar más rápidamente cambios menores, el tamaño n de la muestra debe aumentarse, lo cual reducirá el UCL. El diseño económico general de un diagrama p se describe en la' siguiente sección. 6. TAMAÑO DE LA MUESTRA Y FRECUENCIA DEL MUESTREO PARA CONTROL EN CURSO

UCL = 0.430,

Como se indica en el capítulo anterior muchos diagramas de control por fracciones defectuosas se basan en la inspección al 100% de la producción, y la fracción defectuosa para la producción de cada hora, día o semana se anota en el diagrama. En este caso no son necesarias decisiones separadas en relación con la frecuencia del muestreo, ya que éste se basará lo más probablemente en conveniencias administrativas y en el ritmo general de la producción. Cuando el diagrama/? está basado en una muestra de la producción total durante un periodo dado, el ingeniero de control de calidad tendrá que decidir tanto el tamaño de la muestra y la frecuencia del muestreo, como los mejores límites a utilizar. Los estudios teóricos que sugieren algunas de las mejores respuestas se examinan más adelante. Sin embargo, en primer lugar consideremos ciertos aspectos prácticos. Sip' es pequeño, n deberá ser lo suficientemente grande para que tenga una buena posibilidad de alcanzar algunos elementos defectuosos en nuestra muestra. De otra manera nos encontraríamos en una situación en la cual la ocurrencia de sólo un elemento defectuoso indicaría falta de control. Un autor 9 ha sugerido que n sea lo bastan te grande para obtener uno o más elementos defectuosos por muestra, por lo menos 90 de cada 100 ve3.60 p'

9 Control Charts in Factory Management de William B. Rice (Nueva Yorkí John Wiley & Sons, Inc., 1947),pág.82.

——

442

Control de calidad y estadística industrial FIGURA 19.15 Curva ARL para el diagrama p de un solo h'mite mostrado en la figura 19.14 (dalos de la figura 19.14).

ees. Por ejemplo, sip' = 0.01, en tal caso si la posibilidad de c > 1 ha de ser igual 0.90 [es decir, P(c< 1) = 0.10], habríamos detenerp'/j = 2.3,íoquesignificaque«habría de ser igual a 230. Otro procedimiento para determinar el tamaño de la muestra consiste en razonar como sigue: Por ejemplo, supongamos que decidimos que el diagrama de control deba ser tal que dé una posibilidad de 0.50 o más de alcanzar en una muestra simple un aumento en la fracción defectuosa del proceso de por ejemplo 0.05. Por ejemplo, si/>" = 0.07, desearemos tener una posibilidad de 0.50 o más de alcanzar en una muestra simple un cambio a un proceso de fracción defectuosa de/?' = 0.12omás.Si/7'n > 5,

ística industrial

Sec. 6. Cap. 19. Diagramas de control parafracción defectuoso

443

como se da frecuentemente, podemos utilizar la curva normal para calcular las probabilidades. Esto significa que n deberá ser tal que el límite superior de control sea igual a p" más el aumento en el promedio del proceso en que deseamos una posibilidad de 0.50 de detectar en una muestra simple (porque cuandop' = UCL habrá una posibilidad de 0.50 de que un punto se encuentre sobre el UCL si la distribución de p es normal). Por ello e_n este caso podemos deducir n de la relación 3

- P")

= d, en donde rf es

el aumento en p' que deseamos con una posibilidad de 0.50 de alcanzar en una muestra simple. Así en el ejemplo anterior tendríamos 3 ^J —'•-'•— = 0.05, lo que da n = 234. Si/?'« resulta ser menor de 5, podremos hacer algunos ajustes con ayuda de la distribución de Poisson o la propia distribución binomial (véase el capítulo 21, Sec. 8). Si se desea que el diagrama tenga una probabilidad de 0.90 de captar en una sola muestra un incremento d en p entonces n estaría dado por la relación (1.282 + 3) i"(l -p") — = d puesto que la probabilidad es justo 0.90 de una variable normal n estandarizada que caiga arriba de -1.282. En el ejemplo se tendría (1.282 + 3) = 0.05, de donde n = 478,

ser igual 0.90 i que «habría ' e en razonar Control deba ¡imple un aunpío,sij9" = una muestra

Los estudios teóricos mencionados antes se basan en e! trazado de un diagrama, tal que minjmice los costos y las pérdidas implícitas en e! funcionamiento del diagrama. Si los costos pertirienies pueden ser estimados, un procedimiento relativamente simple se puede obtener probablemente diseñando un diagrama específico que sea aproximadamente el óptimo."1 Los estudios realizados por el autor sugieren algunas conclusiones de tipo general. A menos que el costo de actuar con base en falsas alarmas sea muy elevado en relación con el costo unitario de inspección, digamos por ejemplo 500 veces o más, los límites de control deberán ser tales que dos o más elementos defectuosos en una muestra indiquen una falta de control. Incluso cuando este costo es elevado los números de aceptación son por lo general bajos, digamos 3-5. Los tamaños de las muestras vienen en general determinados por el grado de desplazamiento que se espera en el proceso. El autor encontró que para un diagrama trazado para sorprender un cambio en el promedio del proceso de 0.01 a 0.06, los tamaños demuestras de aproximadamente 30 a 70 resultaron los óptimos, produciéndose los tamaños mayores cuando el número de aceptación era 2 ó 3 contra 1 . Para sorprender un cambio de 0.01 a 0.02, los tamaños de muestras con un número de aceptación de 1 pasan a ser aproximadamente de 80 a 120. Para un número de aceptación de 5, los tamaños de las muestras estaban en las cercanías de 300. Con un nivel inicial superior aO. 05 y un cambio a 0.07 los tamaños óptimos de muestras pueden ser aproximadamente de 30 a 50, con un número de aceptación de 1. Con «determinado en buena medida por el tamaño del cambio a detectar, los ajustes en variación en el ritmo de pérdidasy en los costos de inspección vienen en buena medida determinados por la variación en la frecuencia del 1(1 Compárese con el méiodo desarrollado por W.K. Chiu y G.B. Wetherill para diagramas X en "A Simplified Scheme for the Economic Design of A'-charts", Journal of Quality Technology, Vol. 6, abril 1974, págs. 63-69.

.. -

444

Control de calidad y estadística industrial

FIGURA 19.16 Curvas características de operación para diagramas p correspondientes a datos anteriores* (el diagrama da la probabilidad de fallar en la delección de un so\o cambio a partir de un estado de control al nivel/»,', al nivelpí:g = 20, n = 50) Probabilidad de aceptar ta hipótesis de control

.20 = 0.05 -10

* Véase Olds (B '56) en la Lista General de Obras de Consulta.

muestreo. Con un alto nivel de pérdida, consecuencia de operar en un estado fuera de control, el intervalo entre muestras deberá ser pequeño; con costos de inspección elevados este intervalo deberá ser grande. 7. LA FUNCIÓN CO PARA UN DIAGRAMA p UTILIZADO PARA ANALIZAR DATOS ANTERIORES

El profesor Edwin G. Olds'1 ha realizado un amplio estudio del valor de un diagrama/? utilizado para estudiar datos anteriores. Se ha preocupado en particular con la situación siguiente. Supone que para g — 1 ocasiones, en las cuales el proceso ha sido muestreado, se ha encontrado en control al nivel /?,', pero en una ocasión estaba operando a un nivel más elevado p2'. En el caso que acabamos de examinar Olds ha determinado la probabilidad de que la muestra tomada en la ocasión en que/?' = p2' dé una fracción defectuosa p que caiga por encima del límite de control 3 sigma calculado para todos los subgrupos g. Para 20 subgrupos de 50 piezas cada uno, por ejemplo para g = 20 y n = 50, la probabilidad de dejar de detectar tal desplazamiento simple (que es igual a uno menos la probabilidad de detectarlo) aparece en la figura 19.14 para valores de/?,' = 0.01, 0.03 y 0.05. El propio diagrama expresa la probabilidad de aceptación como función de/? 2 '. Se observará que las curvas dependen de valores específicos de/?,' yp,', y no simpíe11

Véase Olds (B '56) en la Lista Genera! de Obras de Consull a.

•tica industrial ••'•' U-1 diagrama >l al nivel/r,', al

Sec. 8. Cap. 19. Diagramas de control para fracción defectuosa

445

FIGURA 19.17 Limites superior e inferior correspondientes al riesgo de que un solo punto caipa más alta del limite de control superior ? sigma en un diagrama p, cuando el proceso se encontraba bajo control al nivel p' en cada mues(reo:,íf = 20. n = 5(1* Límites superior e inferior para a.

•-

0=20 n=50

i

i

i

i

i

i

i

• * Véase Olds (B '56) en la Lisia General de Obras de Consulta.

ido fuera de pección ele-

/alor de un i particular proceso ha sión estaba abilidad de :uosapque bgrupos¿?. ), la probamos la proi.Ol, 0.03 y : ; ón de/? 2 '. •¡o simple-

mente de su diferencia. El estudio realizado por Olds muestra que para un número determinado g de subgrupos, la probabilidad de dejar de detectar el desplazamiento disminuye directamente con el aumento en el tamaño n de la muestra. Indica también que para un n dado disminuye con un aumento en g. El riesgo de encontrar un punto por encima del límite de control superior 3 sigma y resolver equivocadamente que hay una falta de control, cuando en realidad el proceso se encuentra bajo control al nivel/?' ~ p{ para todas las muestras g, se puede llamar un riesgo o- asociado con un diagrama/? particular y un nivel específicop{. Los límites superior e inferior para este riesgo, cuando g = 20, n - 50, aparecen en la figura 19.15 como función de/?'. Para un g dado este riesgo disminuye a medida que n aumenta, pero para un n dado aumenta cuando g aumenta. Olds indica que para un total de 200 elementos de muestra un g de 10 y un n de 20 es mejor que ung de 20 y un n de 10, por razón de que en el segundo caso el riesgo a es más bajo, en tanto que la fuerza del diagrama para detectar las diferencias es mayor. Sin embargo, para que la comparación sea válida los intervalos de producción habrán de ser iguales para los dos diagramas. 8. DIAGRAMAS p Y PRUEB AS x1 Al analizar un conjunto de muestras anteriores en busca de falta de control es posible, como alternativa al diagrama/7, situar los datos en la forma de una tabla de contingencias 2 x n, y llevar a cabo una prueba x 2 de homogeneidad. Este procedimiento alternativo se examina en el capitulo 28. La diferencia entre un análisis de datos anteriores mediante diagrama p y mediante prueba x 2 , radica principalmente en el tipo de desviación que lleve al rechazo de la hipótesis del control o la homogeneidad. En el primero una simple desviación marcada llevará al rechazo, en tanto que en el último el rechazo se basa fundamentalmente en las separaciones promedio de las expectaciones hipotéticas. Las curvas CO para los dos análisis ponen de relieve esta diferencia. El análisis de Olds en la sección 6 expresó la probabilidad de aceptación como función de la diferencia entre un nivel de control general p{ y un simple desplazamiento a/? 2 '. La curva CO para una prueba x 2 actúa,en .- ....-, TVi .^.-,-..-..--,. ..

Control de calidad y estadística industrial

446

función de las diferencias al cuadrado entre unp' común hipotético y una alternativa p¡, que puede ser diferente para cada muestra. En la industria estamos en general más interesados en un desplazamiento simple marcado que en una diferencia promedio general. 9. PROBLEMAS

See.9. Cap. 19,

c

c 19.3. 1 e b

0

19.1. Utilizando los datos siguientes, trácese un diagrama/; para el control de la producción durante el próximo mes. Supóngase que las causas atribuibles han sido encontradas en el caso de todos los puntos situados fuera de los límites del diagrama de control. Trácese la curva CO para este diagrama;?. Deduzca la curva ARL que indicará la efectividad del diagrama a usar el siguiente mes para un incremento en el promedio. Día del mes

Número inspeccionado

Número defectuoso

1 2 4 5 6 7 8 10 11 12

200 200 200 200 200 200 200 200 200 200

6 6 6 5 O O 6" 14 4 O

13 14 15

200 200 200

1 8 - 2

17

200

4

18

:

200

7

19 20 21 22 24

200 200 200 200 200 '

1 3 I 4 O

25 26 27 28 ..

200 200 200 200

4 15 4 1

19.2. Supóngase que las fracciones defectuosas del problema 3.3£7(iii) están todas basadas en una muestra de 180. Considérese que las primeras 24 de estas cifras representan la producción durante el mes anterior, y pásese a determinar los límites de control para controlar la producción del mes siguiente. (Supongamos que se han encontrado las causas atribuibles en el caso de cada uno de los puntos situados fuera de ios límites del diagrama inicial.) Consideremos los datos restantes como la producción para el próximo mes, y situémoslos en el diagrama trazado para dicho mes. ¿Se encuentra la producción del segundo mes bajo

19.4. L d

George V.

450

Control de calidad y estadística industrial

0.50 de ser advertido en la primera muestra después del cambio. ¿Qué tamaño deberá tener su muestra diaria para los fines del diagrama de control? 19.11. El promedio del proceso ha resultado ser de 0.07. Usted desea un cambio a un promedio del proceso de 0.10, que tenga aproximadamente una posibilidad de 0.50 de ser advertido en la primera muestra después del cambio. ¿Qué tamaño deberá tener su muestra diaria para los propósitos del diagrama de control? 10. REFERENCIAS SELECCIONADAS* American Society for Quality Control (B: ANSI/ASQC Stds, Zl. 1, Zl .2 y Zl .3 1985 y P '46-), American Society for Testing Materials (B '76), Armstrong (P '46), Burr (B '76), Cowden (B '57), Duncan (P '78), Gibra (P '78 y P '81), Grant y Leavenworth (B '80), Kennedy (B '48), Knowler (P *46), Nelson (P '83), Olds (B '56), Palumbo y Strugala (P '45), Peach (B '47), Reynolds (P '71), Rice (B '47), Schrock (B '50), Simón (B '41), Smith, E. S. (B '47), U.S. War Production Board, Office of Production Research and Development (OPRD), Quality ControlReporís, 1945-, y Williams, Looney y Peters (P '85). * Las letras "B" y "P". se refieren a las secciones de Libros (Books) y Publicaciones (Periodicals) respectivamente, de la Lista General de Obras de Consulta del apéndice V.

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