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TALLER #4 SOLUCIÓN DE ECUACIONES DIFERENCIALES PARCIALES MATLAB.

CAMILA PÉREZ VELÁSQUEZ

PROFESOR: FRANCISCO MUÑOZ PABA M.SC

PROGRAMA DE INGENIERIA QUIMICA MATEMÁTICAS APLICADAS A LA INGENIERÍA QUÍMICA FACULTAD DE INGENIERIA

UNIVERSIDAD DEL ATLÁNTICO BARRANQUILLA 15 DE JULIO DE 2020.

TALLER Nº 4 Profesor Francisco Muñoz M.Sc SOLUCIÓN DE ECUACIONES DIFERENCIALES PARCIALES Fecha de entrega: Julio 15 del 2020 Resuelva para las temperaturas en estado de equilibrio en una placa cuadrada de 1 m 2 y mide 0.01 m de grosor. Los dos bordes laterales se mantienen a 0ºC, mientras desde el borde inferior se pierde calor a una razón tal que ∂ T / ∂ y =−1° C . El borde superior intercambia calor con el entorno a una razón de ∂ T /∂ y =1° C . Desde la superficie de la placa no se gana ni se pierde calor. Coloque nodos dentro de la placa (y sobre los bordes) a una distancia de 0.25 m. entre si, de modo que haya un total de 25 nodos. En su interior debe haber 9 nodos que corresponden a 4 cuadrados interiores, tal como muestra la figura 1. La ecuación que obedece esta situación es la ecuación de Laplace:

∂2 T ∂2 T + =0 ∂ x2 ∂ y2 Solución La solución de la ecuación deferencial parcial elíptica correspondiente a la ecuación de calor para la distribución de temperaturas de una placa plana, puede expresarse en como ecuación en diferencias finitas de acuerdo a la siguiente ecuación:

T i +1, j −2T i , j+T i−1 , j T i , j+ 1−2T i , j+ T i , j−1 + =0 Δ x2 Δ y2 Lo anterior, partiendo del hecho de que las segundas derivadas parciales corresponden a:

∂2 T T i+1 , j−2T i , j+T i−1 , j = ∂ x2 Δ x2 ∂2 T T i , j+1−2T i , j+T i , j−1 = ∂ y2 Δ y2 Para x y y respectivamente. Como Δ x 2= Δ y 2=0,252 las cuales se factorizas y se cancelan, lo que permite escribir la ecuación de la siguiente forma:

T i+1 , j+ T i−1 , j+ T i , j+1 +T i , j−1−4 T i , j=0(1) La cual corresponde a la ecuación en diferencias finitas para la distribución de temperaturas en una placa plana. La siguiente matriz corresponde a la forma nodal de numeración de los puntos en la placa plana.

•(0 , 4) •(0 , 3) •(0 ,2) •(0 ,1) •(0,0)

•(1 , 4) •(1 ,3) •(1 ,2) •(1 ,1) •(1 ,0)

•(2, 4 ) •(2 ,3) •(2 , 2) •(2 , 1) •(2 , 0)

•(3 , 4) •(3 , 3) •(3 , 2) •(3 , 1) •(3 , 0)

•( 4 , 4) •( 4 , 3) •(4 ,2) •(4 ,1) •( 4 , 0)

Introduciendo las condiciones de frontera en la forma nodal y corrigiendo las unidades respecto a las proporcionadas por el ejercicio de tiene:

∂T =1 ° C /m ∂y 0 •(1 , 5) •(2 , 5) •(3 , 5) 0 •(1,4) •(2,4) •(3,4) 0 •(1,3) •(2,3) •(3,3) 0 •(1,2) •(2,2) •(3,2) 0 •(1,1) •(2,1) •(3,1) 0 •(1,0) •(2,0) •(3,0) 0 •(1,−1) •(2 ,−1) •(3 ,−1)

0 0 0 0 0 0 0

∂T =−1 ° C /m ∂y La ecuación incluye condiciones de fronteas mixtas. Esto es, condiciones de frontera fija o de Dirichlet para los laterales y condiciones de frontera de Neumann para el extremo superior e inferior [1].

¿ ¿ ¿ 0° C¿ ¿ ¿ ¿

16 17 18 13 14 15 10 11 12 7 8 9 4 5 6 1 2 3 −1 −2 −3

¿ ¿ ¿ ¿0°C ¿ ¿ ¿

Donde los nodos -1,-2,-3,16,17 y 18 corresponden a nodos falsos usados en la evaluación de las temperaturas en los extremos superior e inferior bajo condiciones de frontera variable (de Neumann).

Aplicación de ecuación 1 al nodo 1 (1,0).

T 2 ,0 +T 0 ,0 +T 1 , 1+T 1 ,−1−4 T 1 ,0=0 Por la condición de frontera de Dirichlet, T 0 ,0= 0 Para la temperatura T 1 ,−1 se aplica la condición de frontera de Neumann: En diferencias finitas la primera derivada es:

∂T =−1 ° C /m ∂y

T i , j+1 −T i , j−1 =−1 2Δy Al evaluar en el nodo 1 (1,0)

T 1 ,−1=2 Δ y +T 1 ,1 Sustituyendo y rearreglando la ecuación queda:

−4 T 1 , 0+ 2T 1 ,1 +T 2 , 0=−2 Δ y

Aplicando el anterior procedimiento a los nodos del 1 al 15, se obtiene el siguiente sistema de ecuaciones:

Matriz A

T 1 T 2 T 3 T 4 T 5 T 6 T 7 T 8 T 9 T 10 T 11 T 12 T 13 T 14 T 15

−4 1 0 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 −4 1 0 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 −4 0 0 2 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 −4 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 −4 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 −4 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 −4 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 −4 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 −4 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 −4 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 −4 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 −4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 0 0 −4 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 0 1 −4

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 0 1 −4 Donde el número que acompaña a T, corresponde al nodo. Matriz B = −2 Δy ;−2 Δy ;−2 Δy ; 0 ; 0 ; 0 ; 0 ; 0 ; 0 ; 0 ; 0 ; 0 ; 2 Δy ; 2 Δy ;2 Δy Con

Δy=0,25 m

El sistema de ecuaciones se resolvió usando el software Matlab y se obtuvieron los siguientes resultados:

Programa 1 %solución de ecuaciones diferenciales parciales elípticas

%solución de la ecuación de calor para una placa plana bidimensional clear all clc format short g dy=0.25; %metros % T10 T20 T30 T11 T21 T31 T12 T22 T32 T13 T23 T33 T14 T24 T34 A =[-4 1 0 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0; 1 -4 1 0 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0; 0 1 -4 0 0 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0; 1 0 0 -4 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0; 0 1 0 1 -4 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0; 0 0 1 0 1 -4 0 0 1 0 0 0 0 0 0; 0 0 0 1 0 0 -4 1 0 1 0 0 0 0 0; 0 0 0 0 1 0 1 -4 1 0 1 0 0 0 0; 0 0 0 0 0 1 0 1 -4 0 0 1 0 0 0; 0 0 0 0 0 0 1 0 0 -4 1 0 1 0 0; 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 -4 1 0 1 0; 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 -4 0 0 1; 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 0 0 -4 1 0; 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 0 1 -4 1; 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 0 1 -4]; B=[-2*dy;-2*dy;-2*dy;0;0;0;0;0;0;0;0;0;2*dy;2*dy;2*dy]; T=A\B; for i=1:15 fprintf('\t T%2.0f = %8.5f \n',i,T(i)) end

Salida del programa Placa_plana_ecuaciones_elipticas_matematicas_aplicadas T 1 =

0.25000

T 2 =

0.31250

T 3 =

0.25000

T 4 =

0.09375

T 5 =

0.12500

T 6 =

0.09375

T 7 = -0.00000 T 8 = -0.00000 T 9 = -0.00000 T10 = -0.09375 T11 = -0.12500 T12 = -0.09375 T13 = -0.25000 T14 = -0.31250 T15 = -0.25000   >>

Programa 2 %Grafico de temmperaturas de una placa plana clear all clc A=[0 -0.25 -0.3125 -0.25 0; 0 -0.09375 -0.125 -0.09375 0; 0 0 0 0 0; 0 0.09375 0.125 0.09375 0; 0 0.25 0.3125 0.25 0]; x=linspace(0,1,5); y=linspace(0,1,5); surf(x,y,A) colormap(hot) text(0.5,1,0.36,'dT/dy= - 1') text(0.35,0,-0.31,'dT/dy=1') xlabel('X') ylabel('Y') zlabel('Temperatura de la placa [°C]') title('Distribución de Temperaturas de la placa plana')

Salida del programa

Bibliografía [1] Chapra, S., Canale, R. and Del Valle Sotelo, J., 2008. Métodos Numéricos Para Ingenieros. 6th ed. México, etc: McGraw-Hill, pp.794-801 [2] Nieves, A. and Domínguez, F. (2002). Metodos numéricos aplicados a la ingeniería. 2nd ed. México: Continental. [3] Moore, H. (2007). MATLAB para ingenieros. 1st ed. México: PEARSON EDUCACIÓN. [4] Muñoz, F. (2020). Manual de laboratorio matemáticas aplicadas a la ingeniería química. Universidad del Atlántico. [5] Muñoz, F., 2012. Módulo 9 sobre programación Matlab. [online] pabamatlab. Available at: [Accessed 12 July 2020].