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INTERVALOS DE LONGITUD

15

Los problemas que vamos a desarrollar y aprender en el presente capítulo, están relacionados con cortes, estacas y postes, pues son con estos casos con los que comprenderemos mejor los criterios que se tienen al trabajar con intervalos de longitud.

Cortes, estacas y postes Este tipo de problemas de carácter recreativo, se refiere a los cortes que en número suficiente se debe realizar a objetos de una longitud determinada, para obtener pequeños trozos (pedazos) de igual longitud. NÚMERODE CORTES Para determinar la fórmula que nos permita calcular el número de cortes, consideremos previamente a una varilla de 12 cm de longitud que se corta, para obtener piezas de 6 cm, 4 cm, 3 cm y 2 cm respectivamente..

12cm 6cm

6cm

Nº cortes 

12 1  1 6

Nº cortes 

12 1  2 4

Nº cortes 

12 1  3 3

Nº cortes 

12 1  5 2

12cm 4cm

4cm

4cm

12cm 3cm

3cm

3cm

3cm

12cm 2 Generalizando:

2

2

2

2

2

Lt = Longitud total Lu = Longitud unitaria

Lt Lu Lu

Lu

Lu Lu

Lu ...

Nº cortes 

Por lo tanto, para determinar el número de cortes, la fórmula es la siguiente: N° cortes 

Lt 1 Lu

163

(1)

Lt 1 Lu

NÚMERO DE ESTACAS Consideramos una pista de 12 m de longitud (Lt), en la cual se deben colocar estacas (  ), a las distancias de: 6 m, 4 m, 3 m y 2 m respectivamente.

12m 6m

6m 12m

4m

4m

4m

12m 3m

3m

3m

3m

12m 2

2

2

2

2

2

Nº estacas 

12 1  3 6

Nº estacas 

12 1  4 4

Nº estacas 

12 1  5 3

Nº estacas 

12 1  7 2

Generalizando tenemos:

Lt Lu

Lu

Lu

Nº estacas 

Lu

Lt 1 Lu

Por lo tanto, para determinar el número de estacas la fórmula es la siguiente: N° estacas 

Lt 1 Lu

(2)

Caso especial: Cuando se trate de calcular el número de cortes y estacas en objetos circulares (aros) o figuras cerradas, la fórmula es la siguiente: N° de cortes  N° de estacas 

Lt Lu

(3)

Ejemplo: ¿Cuántos cortes se deben dar a un aro de 80 cm para dividirlo en 4 partes iguales? 4 80  20 cm 4 Lt 80 N° cortes   4 Lu 20 Lu 

1

3 2

Pre 1

164

Resolución: Analizando el problema, deducimos que el número de cortes es igual al número de horas; entonces se debe hallar solamente la cantidad de cortes; sabiendo que:

Problemas resuelt os 1. ¿Cuántos cortes debe darse a una soga de 72 m de largo, para tener pedazos de 4 m de largo cada uno? a) 17 d) 20

b) 18 e) 21

Longitud total: Longitud unitaria:

c) 19

Lt = 392 m Lu = 14 m Nº cortes 

Resolución:



Ilustrando gráficamente el problema tenemos:

Lt 1 Lu 392 m  1  28  1 14 m

Nº cortes = 27

Lt = 72 m 4 m 4 m 4 m 4 m ...

Como el número de cortes es 27, entonces el número de horas que se emplearon es también 27.

Lu

Respuesta: a Para calcular el número de cortes que se deben realizar, aplicamos lo siguiente: (1) Nº cortes 

4. ¿Cuántos cortes debe darse a un aro de 40 metros de longitud, para tener pedazos de 5 m de longitud?

Lt 1 Lu

a) 5 d) 10

72 m  1  18  1 4m  Nº cortes = 17 

b) 7 e) 9

Resolución: Sea el diagrama siguiente:

Respuesta: a 2. En una avenida de 960 metros de longitud, se quiere colocar postes pequeños cada 8 m de distancia entre cada uno de ellos, ¿cuántos postes serán necesarios para cubrir toda la avenida? a) 116 d) 140

b) 120 e) 121

8

1

6

c) 124

2

Nº de cortes

7

5

Resolución:

3 4

Como observarás, en total se realiza ocho cortes.

Nuestros datos son: Longitud total: Lt = 960 m Longitud unitaria: Lu = 8 m

Nº cortes 

Luego, para calcular el número de postes (estacas), aplicamos lo siguiente, resultando:

Lt 40 m   8 Lu 5m

Respuesta: c 5. ¿Cuántos árboles deben colocarse a lo largo de una avenida que tiene 15 km de longitud, si los árboles se colocan cada 15 metros? (1 km = 1000 m)

Lt 1 Nº de postes  Lu 960 m  1  120  1 8m  Nº de postes = 121 

a) 1 500 d) 1 000

Respuesta: e

b) 1 100 e) 1 001

c) 1 010

Resolución:

3. En una ferretería se tiene un stock de 392 metros de alambre y cada hora cortan 14 metros. ¿En cuántas horas cortaron totalmente el alambre? a) 27 d) 32

c) 8

b) 28 e) 26

Primero calculamos la longitud total (Lt) de la avenida, en metros: Lt = 15 km = 15 (1 000 m) Lt = 15 000 m

c) 29

165

Pre 1

Como los árboles se colocan cada 15 m, entonces la longitud unitaria es: Lu = 15 m.

24m 6m

Para hallar el número de árboles, aplicamos lo siguiente: Nº de árboles



Lt 1 Lu



15 000 m 1 15 m

6m 3m

24m

Perímetro = 24 m + 6 m + 24 m + 6 m = 60 m

 1 000  1

estacas

Como se trata de una línea cerrada, entonces aplicamos:

 Nº de árboles  1 001

Nº de estacas 

Respuesta: e

Perímetro Lu

60 m  20 3m  Nº de estacas = 20 

6. Se tiene una fibra de vidrio de 84 cm de largo, que se desea dividir en trozos de 3 cm de largo cada uno. ¿Cuánto nos cobra el cortador por cada corte, si recibe en total S/. 54? a) S/. 1 d) 4

b) 2 e) 5

Respuesta: b

c) 3

Pract iquemos

Resolución: Previamente calculamos el número de cortes, resultando: Nº cortes



Lt 1 Lu



84 cm 1 3 cm

1. ¿Cuántos cortes debemos efectuar en una varilla de fierro de 60 m para obtener pedazos de 4 m de longitud cada uno? a) 12 d) 16

 28  1  27 Luego, si multiplicamos el número de cortes por lo que cobran por cada corte (n) obtenemos el costo total de S/. 54; o sea: 27 × n = S/. 54 De donde: n 

Nivel I

S / . 54  S/. 2 27

a) 90 d) 28

7. Un terreno rectangular mide 24 metros de largo por 6 m de ancho. Cada 3 m se coloca una estaca de 1,20 m. ¿Cuántas estacas se debe colocar en todo su perímetro?

a) 8 d) 10

c) 44

b) 9 e) 11

c) 4

4. ¿Cuántos cortes se debe hacer a un triángulo equilátero cuyo perímetro es 72 cm, debiendo ser cada parte de 6 cm cada una? a) 10 d) 24

c) 21

Resolución:

b) 12 e) 13

c) 11

5. ¿Cuántos cortes debemos dar a un cable de 300 metros de longitud, para obtener pedazos de 25 metros cada uno? a) 11 d) 25

Previamente calculamos el perímetro del terreno, en base al siguiente diagrama referencial: Pre 1

b) 45 e) 46

3. En un anillo, ¿cuántos cortes se deben realizar, si se desea obtener 10 partes iguales?

Respuesta: b

b) 20 e) 19

c) 15

2. Una larga soga debe ser dividida en trozos de 27 cm de largo cada uno. Si la longitud de la soga inicialmente es de 1 215 cm, ¿cuántos cortes se debe realizar?

Por lo tanto cada corte cuesta: S/. 2.

a) 18 d) 24

b) 14 e) 13

166

b) 12 e) 13

c) 15

6. A una soga de 60 metros se le hacen 11 cortes para 14.En una pista de atletismo de 320 metros de longitud se tener pedazos de 5 metros de largo. ¿Cuántos cortes quiere colocar obstáculos cada 4 metros de distancia entre deben hacerse si se tomara la mitad del largo de la sí. ¿Cuántos obstáculos serán necesarios para cubrir toda soga? la pista, si se les colocó desde el inicio hasta el final de la misma? a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 9 a) 40 b) 80 c) 81 d) 84 e) 79 7. Se desea cercar un terreno rectangular de 39 m de largo y 21 m de ancho con estacas puestas cada 3 m. ¿Cuántas 15.A un aro de 20 cm de longitud, se hacen 10 cortes para estacas se necesitarán? tener pedazos de 2 cm de largo. ¿Cuántos cortes deben hacerse si se tomará la mitad del largo del aro? a) 40 b) 50 c) 48 d) 41 e) 39 a) 6 b) 5 c) 4 d) 3 e) 7 8. La siguiente línea curva representa el borde de un lago contaminado que debe ser cercado con estacas y Nivel II alambre. ¿Cuántas estacas se deberán colocar cada 3 m sobre dicha curva, si el perímetro mide 2 100 m? 1. ¿Cuántos cortes se deben hacer en un listón de madera de dos metros de largo, si se necesitan pedazos de 8 cm de longitud? a) 24 d) 32

a) 700 d) 702

b) 701 e) 698

9. En una ferretería tienen un stock de alambre de 84 m y diario cortan 7 m. ¿En cuántos días cortarán todo el alambre? b) 14 e) 11

c) 12

a) 12 d) 30

b) 18 e) 20

c) 24

c) 28

2. Calcular el número de estacas que se requieren para plantarlas (desde el inicio hasta el final) a lo largo de una línea recta de 300 metros, si se sabe que entre cada estaca debe existir una longitud de 4 m.

c) 699

a) 15 d) 10

b) 26 e) 30

a) 70 d) 78

b) 72 e) 74

c) 76

3. ¿Cuál es la longitud total de una regla de madera, a la que se aplicó 17 cortes, obteniéndose pequeñas reglitas de 15 cm cada una? 10.¿Cuánto se tardará cortar una pieza de tela de 80 metros de largo en trozos de 4 m, si se emplean 15 segundos en hacer cada corte? a) 2 m 40 cm b) 2 m 60 cm c) 2 m 80 cm d) 2 m 90 cm a) 300 s b) 299 c) 290 e) 2 m 70 cm d) 280 e) 285 4. En una pista de salto con vallas, hay 15 de éstas, 11.¿Cuántos cortes debe darse a un aro de 24 cm de longitud separadas por una distancia de 4 m. ¿Cuál es la para tener pedazos de 1,2 cm de longitud? longitud entre la primera y última valla?

12.Una persona cercó un jardín de forma rectangular y utilizó 40 estacas. Puso 14 por cada uno de los lados más largos del jardín. ¿Cuántas puso en cada lado más corto? a) 10 d) 5

b) 8 e) 9

a) 68 m d) 52

b) 60 e) 64

c) 56

5. Un joyero cobra S/.15 por partir una barra de oro en dos pedazos. ¿Cuánto tendré que pagar si deseo partirla en ocho pedazos?

c) 6

a) 105 d) 60

b) 120 e) 80

c) 100

13.Se tiene una barra de aluminio de 8 m de longitud. Si se 6. Un electricista tiene un cable de 180 m y debe cortarlo quiere tener (n+1) partes iguales, ¿cuántos cortes debe en pedazos de 5 m. ¿Cuántos cortes debe dar? efectuarse? a) 8(n+1) d) n

b) n + 8 e) n + 2

a) 36 d) 33

c) n + 1

167

b) 35 e) 37

c) 34

Pre 1

7. Un carpintero para cortar una pieza de madera en dos 2. Para cortar una pieza de madera en dos partes cobran partes cobra S/.30. ¿Cuánto cobrará como mínimo para “N” soles. ¿Cuánto cobrarán como mínimo para cortarlo cortarla en siete partes? en nueve partes? a) S/.100 d) 210

b) 180 e) 190

c) 120

8. Una varilla de fierro ha sido seccionada en pedazos de 30 cm. Si para esto se hicieron 12 cortes, ¿cuál fue la longitud inicial de la varilla de fierro? a) 300 cm d) 400

b) 390 e) 500

a) 8 N d) 9 N

b) 5 N e) 9 + N

c) N

3. ¿Cuántos cortes debe darse a una soga de (N2 - 1) metros de largo para tener pedazos de (N - 1) metros de largo?

c) 360

a) N d) 2N

b) N - 1 e) N + 2

c) N + 1

9. Se desea efectuar cortes de ocho centímetros de 4. Un hojalatero para cortar una cinta metálica de (K2-1) longitud de arco en un aro de 120 centímetros de longitud metros de largo, cobra (K + 1) soles por cada corte que de circunferencia. ¿Cuántos cortes podremos efectuar? hace, si cada corte lo hace cada (K - 1) metros, ¿cuánto cobrará por toda la cinta? a) 15 b) 18 c) 14 d) 9 e) 10 a) S/.K(K - 1) b) K(K + 1) c) K2 d) K2 - 1 e) K2 + 1 10.Un sastre para cortar una cinta de tela de 80 metros de largo, cobra S/.15 por cada corte que hace. Si cada 5. En la siguiente figura se muestra el plano de un corral corte lo hace cada cinco metros, ¿cuánto cobrará por para caballos, ¿cuántas estacas como mínimo se toda la cinta? necesitan si se van a plantar cada 2 metros? (La zona de las puertas debe quedar libre) a) S/.200 b) 220 c) 225 40 m 50 m d) 280 e) 1 200

1. ¿Cuál es la longitud total de una viga de madera a la que se aplica 20 cortes y se obtienen pequeñas vigas de 20 cm cada una? a) 4 m 20 cm d) 3 m 50 cm

2m (Puerta)

30 m

Nivel III

b) 3 m 40 cm e) 4 m

20 m

2m (Puerta)

30 m 2m (Puerta)

92 m

20 m

c) 5 m 20 cm a) 140 d) 143

b) 141 e) 144

c) 142

Tarea domiciliaria 1. ¿Cuántos cortes se debe realizar a una varilla de fierro 4. ¿Cuántos postes debemos colocar a lo largo de una calle de 247 cm de longitud, si se desea obtener pedazos de de 60 m de largo, si entre uno y otro poste debe haber 13 cm cada uno? 4 m de distancia? 2. Se tienen 5 trozos de cadena con 4 eslabones cada uno, 5. Se ha trozado lana en madeja, logrando pedazos de 8 se desea formar una cadena continua de forma circular metros cada uno. Si para esto fue necesario realizar 20 con esos trazos. ¿Cuál es el menor número de eslabones cortes, hallar la longitud inicial de lana. que hay que abrir y cerrar? 6. Se desea efectuar cortes de 5 metros de longitud de 3. ¿Cuántas estacas se deben colocar en el borde de un arco, en un aro de 45 metros de l ongi tud de rectángulo de 20 m de largo por 10 m de ancho, si entre circunferencia. ¿Cuántos cortes se debe efectuar? estaca y estaca debe haber 3 metros de distancia? Pre 1

168

7. En una varilla de madera de 196 cm de longitud se 18.¿Cuántos cortes se deben hacer en un listón de madera colocaron 29 clavos desde el inicio hasta el final. ¿Cada de 2 m de largo, si se necesitan pedazos de 8 cm de cuántos centímetros se colocaron dichos clavos? longitud? 8. Un joyero cobra S/.25 por partir una barra de oro en 19.Calcular el número de estacas de 8 m de altura que se dos pedazos. ¿Cuánto se deberá pagar si se desea requieren para plantarlas en una línea recta de 300 m, partirla en 6 pedazos? si se sabe que entre cada estaca debe existir una longitud de 4 m. 9. Se tiene un terreno de forma cuadrada con 336 m por lado. Si deseamos cerrar el terreno con estacas 20.¿Cuál es la longitud total de una regla de madera, a la colocadas cada 8 m, ¿cuántas estacas necesitaremos? que se aplicó 17 cortes, obteniéndose pequeñas reglitas de 15 cm cada una? 10.El ancho de un terreno es de 40 m. Si en todo el perímetro se colocan 80 estacas cada 5 m, calcular el largo de 21.En un terreno cuadrado se han colocado 80 estacas en dicho terreno. todo su perímetro, las estacas están distanciadas entre sí 6 metros cada una. ¿Cuál es el perímetro del terreno? 11.Un terreno rectangular mide 40 m de largo por 14 m de ancho, necesitamos cercarlo con postes cada 6 m. Si 22.En una pista de forma exagonal se ubican en cada lado: cada poste mide 2 m, ¿cuántos postes se necesitan? 7; 8; 9; 10; 11 y 12 adornos fluorescentes, de modo que en cada vértice hay solamente un adorno. ¿Cuántos 12.Un carpintero para cortar una pieza de madera en dos adornos se colocaron en total? partes, cobra S/.15. ¿Cuánto cobrará como mínimo para cortarlo en 6 partes? 23.Una varilla de fierro ha sido seccionada en pedazos de 24 cm de largo; si para esto se hicieron 11 cortes, ¿cuál 13.Una varilla se ha partido en “n” partes iguales y a un aro es la longitud inicial de la varilla de fierro? en “m” partes iguales. Entonces el número de cortes que se ha hecho a la varilla menos el número de cortes 24.En una pista de salto con vallas hay 15 de estas que se ha hecho al aro es: separadas por una distancia de 4 m. ¿Cuál es la longitud entre la primera y última valla? 14.Se ha formado un triángulo donde en un lado hay 6 personas, en el segundo lado hay 8 personas y en el 25.Se tiene “m” tubos y a cada uno se le practicó 3 cortes. tercer lado hay 5 personas. ¿Cuántas personas hay en ¿Cuántos trozos se obtendrán? total, si en cada vértice hay una persona? 26.Si el área de un círculo es 100 cm2, ¿cuántos cortes es 15.Se va a electrificar una avenida de 3 km de largo, con la necesario dar para obtener 16 partes iguales? condición que en uno de sus lados, los postes se colocarán cada 30 m y en el otro lado 20 m. Si los postes se colocan 27. Se han hecho 37 cortes iguales y se tienen 8 pedazos desde que empieza la avenida, ¿cuántos postes se de 7 cm cada uno. ¿Cuál fue la longitud total, si el corte necesitan en total? se realizó a un cable? 16.En una pista de atletismo de 320 m de longitud se quiere 28.A un alambre de 552 cm se hacen tantos cortes como colocar estacas cada 4 m de distancia cada una de ellas. longitud tiene cada corte. ¿Cuántos cortes se han hecho ¿Cuántas estacas serán necesarias para cubrir toda la y qué longitud tiene dicho corte? pista? 29.Una varilla de oro de 96 cm de largo debe ser cortada 17. Se tiene un aro de 20 m de longitud y se hacen 10 cortes en retazos de 6 cm de longitud cada uno. Si al final se para tener pedazos de 2 m de largo. ¿Cuántos cortes paga S/.75 por todo, ¿cuánto cuesta cada corte? deben hacerse si se tomara la mitad del largo del aro, para tener pedazos de la misma longitud anterior? 30.Se tiene un terreno rectangular cuyo perímetro es 60 m. ¿Cuántos postes deberían colocarse cada 3 m, si cada uno de estos mide 2 m de longitud?

169

Pre 1

INTERVALOS DE TIEMPO

16

Objetivo - Brindar al estudiante las pautas teóricas para reconocer y resolver problemas de cronometría. - Dar a conocer al estudiante las diversas técnicas empleadas en la resolución de problemas de cronometría. - Aplicar las técnicas a situaciones propias de la vida diaria, referentes a la medición del tiempo.

Introducción

Observación 1: Como es evidente, para que golpee al extremo izquierdo y luego al derecho debe haber transcurrido sólo un intervalo de tiempo, es decir, el “número de intervalos de tiempo es uno menos que el número de campanadas”.

Los problemas de intervalos de tiempo relacionados a la vida diaria, involucran a las campanadas y pastillas. Ambas serán motivo de estudio en el presente capítulo. Aplicaremos aquí, las técnicas estudiadas en los temas de razonamiento lógico y el razonamiento deductivo, poniendo énfasis en la observación y el análisis de la información dada.

Luego en nuestro problema: 3s 3s 1

2

3

4

5

6

7

Campanadas

6s

Intervalos

3 campanadas 2 intervalos de tiempo 7 campanadas 6 intervalos de tiempo Entonces:

Cuando nos referimos a un evento que implica una acción repetitiva, como campanadas, golpes, contactos seguidos a velocidad constante, debemos considerar que el tiempo transcurri do, es propi amente el de l os peri odos comprendidos entre contacto y contacto y no la duración del contacto.

Campanadas 3 7

Intervalos Tiempo 2 6 segundos x 6

Aplicando Regla de Tres Simple:

Problemas resuelt os

2x = 6 × 6  x =

1. Un reloj de pared da tres campanadas en seis segundos. ¿Cuánto se demorará para dar siete campanadas?

36 2

= 18 segundos

Observación: Número de intervalos de tiempo es uno menos que el número de campanadas.

Resolución:

2. El campanario de una iglesia da nueve campanadas en 12 segundos. ¿Cuántas campanadas dará en 18 segundos? Resolución:

e

e

3ra

2da campanada

1era campanada

170

e

4ta

e

5ta

e

6ta

e

7ma

e

8va

9na

Aplicando Regla de Tres Simple: Campanadas Intervalos Tiempo 12 segundos 9 8 18 segundos x x-1 Aplicando Regla de Tres Simple: 1

2

4

4

1

12(x - 1) = 2 x 48 x-1=8 x=9  En dos días tomará nueve pastillas. 5. Un reloj demora dos segundos en dar cinco campanadas. ¿Cuánto se demora para dar 11 campanadas?

3

12(x - 1) = 8 18 x - 1 = 12 x = 13  En 18 segundos dará 13 campanadas.

Resolución: Campanadas 5 11

3. Una pistola automática dispara siete balas en dos segundos. ¿Cuántas balas disparará en cinco segundos?

Intervalos 4 10

Tiempo 2 segundos x

Aplicando Regla de Tres Simple: e

e

e

e

e

e

4x = 20  x = 5 segundos  Dará 11 campanadas en cinco segundos.

Resolución:

 Siete balas determinan seis intervalos.

Pract iquemos

Balas Intervalos Tiempo 2 segundos 7 6 5 segundos x x-1

Nivel I 1. Un reloj da siete campanadas en 10 segundos. ¿Cuántas campanadas dará en 15 segundos?

Aplicando Regla de Tres Simple: 15

2(x - 1) = 30 x - 1 = 15 x = 16  En cinco segundos disparará 16 balas.

a) 9 d) 12

b) 10 e) 13

c) 11

2. El campanario de una iglesia da nueve campanadas en 12 segundos. ¿En cuántos segundos dará 15 4. ¿Cuántas pastillas tomará Arturo durante los dos días campanadas? que estará en cama por una enfermedad viral, si toma una cada seis horas y empezó a tomarlas apenas empezó a) 20 s b) 19 c) 18 su reposo, hasta que culminó? d) 22 e) 21 Resolución:

3. Un reloj da 11 campanadas en cinco segundos. ¿Cuántas campanadas dará en ocho segundos?

Gráficamente: Empieza

6h

a) 15 d) 18

Culmina

6h

6h

6h

6h

6h

Primer día

6h

6h

Segundo día

Pastillas 3 x

Intervalos 2 (x-1)

Tiempo 12 horas 48 horas

c) 17

4. Todos los domingos a las ocho de la noche el sacerdote de una catedral da cuatro campanadas en cuatro segundos. ¿En cuántos segundos dará 13 campanadas?

Escogemos las tres primeras pastillas y logra tomarlas en 12 horas, todas las pastillas las tomará en: 2 días 48 horas

b) 16 e) 19

a) 16 s d) 13

b) 17 e) 14

c) 15

5. Si para que un reloj toque 16 campanadas se ha demorado 18 segundos, ¿qué tiempo demorará para que toque seis campanadas? a) 5 s d) 6

171

b) 4 e) 3

c) 7

Pre 1

6. Una ametralladora dispara 100 balas en dos minutos. ¿Cuántas balas disparará en seis minutos? a) 300 d) 297

b) 299 e) 298

15.Un paciente toma una pastilla cada 8 horas durante 14 días. Si empezó a tomar desde un comienzo hasta el final, ¿cuántas pastillas consumió?

c) 296

7. Ronaldinho patea nueve penales en tres minutos. ¿Cuántos penales pateará en seis minutos? a) 18 d) 15

b) 17 e) 14

c) 16

a) 128 d) 127

b) 129 e) 126

c) 130

a) 39 d) 44

b) 42 e) 40

c) 43

Nivel II

1. Rosaura compra un frasco cuyo contenido tiene cápsulas vitamínicas y tiene que tomarlas durante los tres días que va a hacer deportes, a razón de dos pastillas cada 8. Hollyfield (campeón mundial de boxeo) da a su tres horas. Si empezó a tomarlas apenas empezó a contrincante 17 golpes en medio minuto. ¿Cuántos golpes realizar deportes, hasta que los culminó, ¿cuántas de box le dará en cuatro minutos? cápsulas contenía el frasco?

9. Un gallo al amanecer, canta cinco veces en dos minutos. ¿Cuántas veces cantará en siete minutos? a) 15 d) 12

b) 14 e) 11

a) 50 d) 45

b) 48 e) 49

c) 52

2. Un reloj da tres campanadas cada tres minutos. ¿En cuántos minutos dará 13 campanadas?

c) 13

a) 18 d) 9

b) 15 e) 19

c) 39

10.Trilcito para escribir tres letras se ha demorado tres 3. Un campanario señala las horas con igual número de segundos. ¿Cuánto se demorará en escribir nueve campanadas. Si para indicar las 5:00 a.m. demora seis letras? segundos, ¿cuánto demorará indicar las 9:00 a.m.? a) 9 s d) 12

b) 10 e) 13

c) 11

a) 15 s d) 54

b) 12 e) 30

c) 18

11.Gildder para tocar una puerta cuatro veces ha tardado 4. Una campana da cinco campanadas en siete segundos. cinco segundos. ¿Cuánto se tardará para tocar la misma ¿Cuántos segundos tardará en tocar 25 campanadas? puerta siete veces? a) 56 b) 39 c) 21 a) 11 s b) 8 c) 9 d) 42 e) 18 d) 7 e) 10 5. Un boxeador da cinco golpes en 40 segundos. ¿Cuánto 12.Si para tocar un timbre seis veces Rommelito ha tardado se demorará para dar 17 golpes? 10 segundos, ¿cuánto tardará en tocar el mismo timbre nueve veces? a) 2 min 30 s b) 2 min 40 s c) 2 min 35 s d) 3 min 40 s e) 3 min 50 s a) 15 s b) 16 c) 17 d) 18 e) 19 6. Un boxeador da 15 golpes en cinco segundos. ¿Cuántos golpes dará en 15 segundos? 13.Si Cristina tiene que darle una pastilla cada media hora a su hijita Valeria que está enferma, ¿cuántas pastillas a) 43 b) 42 c) 36 le dará desde las 2:00 p.m. hasta las 8:00 p.m.? d) 15 e) 75 a) 10 d) 13

b) 11 e) 14

c) 12

7. Un reloj da tres campanadas en tres segundos. ¿Cuántas campanadas dará en 27 segundos?

14.¿Cuántas pastillas tomará Ricardo (que está enfermo a) 18 b) 9 c) 19 con gripe) durante una semana, si toma una cada cuatro d) 22 e) 20 horas y empezó a tomarlas apenas empezó su reposo hasta que culminó? 8. Carla toma dos pastillas cada tres horas. ¿Cuántas pastillas tomará en cuatro días? a) 41 b) 42 c) 43 d) 44 e) 45 a) 66 b) 70 c) 62 d) 64 e) 68 Pre 1

172

9. ¿Cuántas pastillas tomó un enfermo durante una semana 2. Una campana da ocho campanadas en siete segundos. que estuvo en cama, si tomaba una cada tres horas y ¿Cuántos segundos tardará en dar 20 campanadas? empezó a tomarlas apenas empezó su reposo hasta que culminó? a) 42 b) 20 c) 19 d) 21 e) 28 a) 57 b) 58 c) 56 d) 21 e) 28 3. La campana de un campanario tarda cinco segundos en dar tres campanadas. ¿Cuántas campanadas dará en 10.Una doctora escucha 80 latidos de un corazón por minuto. un tiempo de 25 segundos? ¿Cuánto demorará en escuchar 238 latidos? a) 11 b) 10 c) 14 a) 150 s b) 180 c) 170 d) 13 e) 12 d) 200 e) 250 4. Un campanario señala las horas con igual número de Nivel III campanadas. Si para indicar las 4:00 a.m. demora seis segundos, ¿cuánto demorará para indicar las 12 m? 1. Para tocar tres campanadas, el campanario tardó seis segundos. ¿Cuántas campanadas tocará en un tiempo a) 12 s b) 13 c) 21 de 15 segundos? d) 11 e) 22 a) 6 d) 10

b) 8 e) 18

c) 9

5. El campanario de un reloj demora (m + 1) segundos en tocar “m2”campanadas. ¿Cuántas campanadas tocará en cuatro segundos? a) 4m - 3 d) m + 11

b) 4m + 4 e) 4(m2 - 1)

c) 4m - 4

Tarea domiciliaria 1. Una campana en seis segundos da cuatro campanadas, ¿cuánto demora en dar 12 campanadas? 2. En 20 segundos una campana da siete campanadas, ¿en qué tiempo dará 10 campanadas?

8. Cierto boxeador golpea sobre un saco con arena, tardando cinco segundos en dar quince golpes. ¿En cuántos segundos dará ocho golpes? 9. Un gallo canta cinco veces en ocho segundos, ¿qué tiempo demora en cantar siete veces?

3. Un doctor receta a un paciente dos pastillas cada seis horas, ¿cuántas pastillas deberá comprar el paciente 10.Una enfermera aplica una inyección a un paciente cada para cinco días, si las debe tomar desde el instante en seis horas. Si debe aplicar seis inyecciones, indicar el que fue recetado? tiempo que debe transcurrir. 4. Un reloj da seis campanadas en cinco segundos, ¿en 11.¿Cuántas pastillas tomará un enfermo durante una cuántos segundos dará doce campanadas? semana que esté en cama, si toma una cada tres horas desde este instante? 5. Una campana tañe cinco veces en 12 segundos, ¿cuánto demora en tañir 10 veces? 12.Un carpintero da cinco golpes con el martillo en cinco segundos, ¿en qué tiempo dará 13 golpes? 6. Un carpintero da cuatro golpes con el martillo en 10 segundos, ¿cuántos golpes dará en 20 segundos? 13.Julio tomó dos pastillas cada ocho horas durante cuatro días, ¿cuántas pastillas tomó desde el inicio hasta el 7. Una enfermera aplica una inyección a un paciente cada final de esos cuatro días? ocho horas, ¿cuántas inyecciones aplicará en dos días, si ello ocurrirá desde el inicio hasta el final del mismo? 14.Se escuchan ocho campanadas en cinco segundos, ¿cuánto tiempo se demora en escuchar 15 campanadas?

173

Pre 1

15.Una ametralladora dispara cinco tiros por segundo, ¿cuántos disparos hace en un minuto?

24.Una enfermera le da dos pastillas a un paciente cada seis horas, ¿en cuatro días cuántas pastillas habrá tomado, si las tomó desde el inicio hasta el final del mismo? 16.Una campana tañe ocho veces en 14 segundos, ¿cuánto demorará en tañir 11 veces? 25.Un boxeador da cuatro golpes en tres segundos; en un minuto ¿cuántos golpes dará? 17. Un boxeador tira siete golpes en 30 segundos. En 50 segundos, ¿cuántos golpes dará? 26.Gisella da cinco cachetadas a su hijo en ocho segundos. 18.Un baterista de un grupo musical en determinado En medio minuto, ¿cuántas cachetadas le dió? momento golpea la tarola nueve veces por segundo. Si el "solo" duró 15 segundos, ¿cuántas veces golpeó la 27. Giselle toma dos pastillas cada ocho horas, debido a tarola? una enfermedad, durante cuatro días. Si toma las pastillas desde el inicio del primer día hasta el final del último 19.Las campanas del reloj demoran ocho segundos en día, ¿cuántas pastillas consumió? indicar las cinco horas. ¿Cuánto demoran en indicar las diez horas? 28.Pepito toma una pastilla cada cuatro horas. ¿Cuántas pastillas tomará en el mes de noviembre, si toma las 20.Una campana da siete campanadas en 24 segundos, pastillas desde el inicio del primer día hasta e final del último día? ¿en qué tiempo dará 13 campanadas? 21.Juan toma una pastilla cada cuatro horas, ¿cuántas 29.Un paciente debe tomar dos tipos de pastillas, del tipo pastillas toma desde las 6 a.m. hasta las 10 p.m.? “A”: una cada cuatro horas; otra del tipo “B”: dos cada seis horas. ¿Cuántas pastillas tomará durante una 22.Se escuchan cinco campanadas en 20 segundos, semana? ¿cuántas campanadas se escucharán en un minuto? 30.Juan tomó 39 tabletas vitamínicas en tres días y lo hacía 23.César toma una pastilla cada 15 minutos, ¿cuántas cada "n" horas. ¿Cada cuántas horas tomaba sus pastillas pastillas tomará desde las 10 a.m. hasta las 2 p.m.? y cuántas pastillas tomaba en cada dósis?

Pre 1

174

OPERACIONES ARBITRARIAS

17

Los operadores matemáticos son símbolos que se usan Veamos los ejemplos siguientes: de acuerdo a reglas previamente establecidas. De hecho, el desarrollo de la matemática se debe en gran parte al 1. Operación universal: Se le llama así porque su ley de avance en el simbolismo para representar todo tipo de definición es conocida universalmente, por ejemplo la operaci ones. Al fred North Whi tehead dice en su multiplicación. "Introducction to Mathematics" (1911): "Gracias al si mbol i smo avanz amos e n el raz onami ento casi Operandos matemáticamente, sólo con la mirada; sin él tendríamos que usar centros más especializados del cerebro. Una buena a × b = a + a + a + ... ("b" veces) notación nos libera del trabajo innecesario y nos permite concentrarnos en los aspectos más difíciles del problema". Operador Ley de definición

Concepto

Aplicación: 5 × 3 = 5 + 5 + 5 = 15 5 × 3 = 15

Una operación matemática es un conjunto de procedimientos que nos permiten transformar una o más cantidades en otra cantidad, llamada resultado, mediante 2. Operación arbitraria: Se le llama de esa manera la aplicación de ciertas reglas de cálculo previamente porque su ley de definición no está determinada establecidas. universalmente, por ejemplo la operación asterisco representada por *.

Elementos

Operandos

En forma general, toda operación matemática tiene tres elementos principales, que son los siguientes:

a * b = Operador

1. El operador matemático: Es el signo, símbolo, o disposición especial que representa una operación específica.

3a

+

5b

Ley de definición

Aplicación: 4 * 6 = 3(4) + 5(6) 4 * 6 = 12 + 30 4 * 6 = 42

2. Los operandos: Son las cantidades que van a sufrir la transformación.

3. La Ley de Definición: Es el conjunto de reglas que Consideraciones generales vamos a utilizar para llevar a cabo la transformación de los operandos en el resultado. También se le llama Ley 1. Para un mejor entendimiento de lo anteriormente de Correspondencia o Algoritmo Operativo. descrito observemos el siguiente cuadro: Universales

Clases de operaciones Las principales son: 1. Operaciones unitarias: Es cuando el operador afecta a un solo operando. Por ejemplo: 9 ; |-2|; etc. 2. Operaciones binarias: Es cuando el operador afecta a dos operandos. Por ejemplo: 8 + 3; 25 ÷ 2; etc. Además cuando un operador afecta a tres operandos, la operación recibe el nombre de ternaria y así sucesivamente.

Arbitrarias

Operación

Operador

Adición Sustracción Multiplicación División Radicación . . .

+ × ÷ . . .

Operación Asterisco Arroba Nabla Grilla Corazón . . .

Operador * @  #  . . .

2. En este capítulo haremos mayor referencia a nuevas operaciones (llamadas en algunos casos operaciones arbitrarias), pues nos permiten aplicar en forma conjunta las reglas operativas ya estudiadas o conocidas.

175

Resolución:

Problemas resuelt os

Dado: a * b podemos calcular primero: 1 * 2 haciendo: a = 1 y b = 2

1. Si: m n = m + n2 calcular " 5 3 " a) 11 d) 12

b) 10 e) 13

Recurriendo a la misma operación: a * b, podemos hallar (2 * 3) haciendo: a = 2 y b = 3. Finalmente en la expresión "E", se hace necesario aplicar otra vez: a * b, donde "a" y "b" son los dos resultados anteriores.

c) 14

Cálculo de 1 * 2:

Resolución:

a * b = a2 + 2ab + b2 

En este caso el operador es es "m + n2"

. La regla de formación

1 * 2 = 9 .......................... 1

Lo que tenemos que hacer, es hallar el valor numérico de tal regla para: m = 5 y n = 3, ya que: m

n

5

3

Cálculo de 2 * 3:



m

n = m + n2

5

3 = 5 + 32

- Primero la potenciación: 5

Cálculo de "E":

Reemplazando 1 y 2 : E = 9 * 25 = 92 + 2(9)(25) + 252 E = 81 + 2(9)(25) + 625 E = 81 + 450 + 625 = 1 156

3=5+9

3 = 14

El valor de "E" será 1 156 (Respuesta: a) Recuerda que ...

Al efectuar operaciones combinadas se procede en el siguiente orden:

Si se nos da:

a * b

y se nos pide:

1 * 2

Sólo tenemos que identificar ambas expresiones de modo tal como lo indican las flechas:

1º Potenciación o radicación 2º Multiplicación o división 3º Adición o sustracción

a=1

b=2

3. Si: x  y = x2 - 2y calcular: 4  2

2. Si: a * b = a2 + 2ab + b2 hallar el valor de la expresión "E", si:

Resolución:

E = (1 * 2) * (2 * 3)

De la condición:

c) 725

 4  2 = 12 Pre 1



E= 1 * 2

3 es 14 (Respuesta: c)

b) 618 e) 1 256

a * b = a2 + 2ab + b2 

Importante

a) 1 156 d) 846



2 * 3 = 25 ........................ 2

Efectuando operaciones combinadas:

El valor de 5

a * b = a2 + 2ab + b2 2 * 3 = 22 + 2(2)(3) + 32

Luego de identificar los valores de “m” y “n”, procedemos a reemplazarlos en la regla de formación:

- Luego la adición: 5



1 * 2 = 12 + 2(1)(2) + 22

176

x  y = x2 - 2y   4  2 = 42 - 2(2) 4  2 = 16 - 4

4. Si:

Análogamente: a * b = 3a + b2

calcular: 3 * 4

a*b=b

Resolución:

c*c=a

d*a=c

Luego:

De la condición:

a *  3 * 3 *

 3 * 4 = 25

N=

b2

b = 3a +  4 = 3(3) + 42 4 = 9 + 16

(b * a) * (a * b) b*b c = =1 (c * c) * (d * a) = a * c c N=1

Pract iquemos

5. Si: x  y= 3 x - 2 y calcular: 16  4

Nivel I

Resolución: De la condición: x  y =3 x -2 y 



16  4 = 3 16 - 2 4 16  4 = 3(4) - 2(2) 16  4 = 12 - 4

 16  4 = 8

1. Si: a * b = 4a + 5b calcular: 2 * 3 a) 21 d) 25

b b c d a

c c d a b

a a b c c

c) 19

2. Si: m # n = m2 + n2 calcular: 1 # 5 a) 21 d) 26

6. En el conjunto: M = {a; b; c; d}, se define: * a b c d

b) 23 e) 26

b) 18 e) 15

c) 12

3. Si  es un operador, de tal modo que: x  y = x2 + 5y Según esto, calcular: 2  5

d d a b c

a) 21 d) 20

Hallar: (b * a) * (a * b) N = (c * c) * (d * a)

b) 29 e) 17

c) 27

4. Si: a # b = (a + b)(a - b) calcular: 7 # 2 a) 46 d) 45

Resolución:

b) 44 e) 49

c) 42

Para hallar b * a, por ejemplo, primero debemos ubicar 5. Si: m * n = (m + n)(m2 - mn + n2) al primer elemento (b) en la columna de entrada, y al calcular: 2 * 1 segundo elemento (a) en la fila de entrada; el resultado de la operación lo encontraremos en la intersección de a) 6 b) 5 c) 18 la fila y columna correspondiente al primer y segundo d) 3 e) 9 elemento. Veamos:

Columna de entrada

Fila de entrada * a b c d

b b c d a

c c d a b

a a b c c

d d a b c

6. Si:

x

calcular: a) 8 d) 11

b*a=b

177

= 5x + 1 2 b) 3 e) 17

c) 15

Pre 1

a) 1 d) 1 ó 2

7. Sabiendo que: m = 2m + 3 hallar:

5

a) 11 d) 15

b) 13 e) 19

c) 16

b) 2 e) 2 ó 3

15.El operador "#" se define en el conjunto: A = {1; 2; 3; 4} mediante la siguiente tabla: # 1 2 3 4

8. Si se conoce que: m @ n = 5m2 - 2n3 calcular el valor de: 1 @ 0 a) 6 d) 1

b) 5 e) 0

c) 10

b) 16 e) 13

S=

a) d)

10.Sabiendo que: a = 2a + 5

a) 13 d) 16 y

c) 15

1

b)

2

1 3

1

c) 3

4

e) 2

1. Sabiendo que:

= 5y + 1

a) 17 d) 62

1

b) 16 e) 31

c) 18

b) 10 e) 9

c) 13

a) 742 d) 845

b) 901 e) 615

(-3

b) 111 e) 120

a) 47 d) 100

2) c) 118

c) 96

b) 45 e) 104

c) 94

4. Si se sabe que:

1

b) 25 e) 47

* 1 2 3

M  N = MN - 1 hallar: (3  2)  2

c) 37

14.Se define el operador "*" en el conjunto: A = {1; 2; 3} mediante la siguiente tabla: 1 3 2 1

2 1 3 2

a) 64 d) 15

b) 24 e) 35

c) 63

5. Si se sabe que:

3 2 1 3

a hallar: 5 a) 12 d) 84

Hallar: (3 * 2) * (2 * 1)

Pre 1

1)

3. Si: m H n = 5m - n hallar: (2 H1) H (-2)

13.Sabiendo que: x = 2x + 7

a) 57 d) 55

calcular: (5

a) 92 d) 114

calcular el valor de: 1 + 2

calcular:

y = x2 + y2

2. Si: a # b = (a + b)2 - (a - b)2 hallar: (2 # 1) # 3

12.Si se sabe que: z = z2 + z + 1

a) 8 d) 15

4 2 3 4 1

Nivel II

b) 18 e) 11

hallar el valor de:

3 1 2 3 4

(2#4)# (3#1) (4#3)#2

x 11.Si:

2 4 1 2 3

es:

c) 10

hallar el valor de: 3 + 1

1 3 4 1 2

el resultado de efectuar:

9. Calcular: 7 * 1 , sabiendo que: m * n = 5(m + n) - 5(m - n) a) 11 d) 18

c) 3

178

(3

b = (a + 1)(b + 2) 1) b) 48 e) 81

c) 62

6. Si: a # b = ab hallar: (1 # 0) # (2 # 1) a) 8 d) 12

b) 10 e) 0

7. Calcular: 5

1 4 8 1 2

c) 3

2 , sabiendo que: x

a) 51 d) 69

hallar:

y = (x + y)2 + (x - y)2 b) 16 e) 70

c) 58

8. Se sabe que:

a * b = 2a - b m  n = (m + 1)(n -1) hallar: (5 * 1)  (2 * 1) a) 20 d) 9

b) 26 e) 15

9. Si: pq

p q

b) 2

d) 8

e)

a) T d) C

c) 8

c) 288

T R I L C E

1. El operador “” se define en el conjunto: B = {L;A;B,Y} mediante la siguiente tabla:

hallar:

G

b) L

d) B

e) A

A

Y

A T A S C

T S C S S T A C T A

b) S e) S o C

c) A

T L C E T R I

R C E T R I L

I E T R I L C

L T R I L C E

C E R I I L L C C E E T T R

hallar el valor de "x", si sabemos que: ( I C) ( x E ) = ( R T )

Y Y A L B

a) T d) L

b) R e) C

L

c) I

5. Se defi n e l a oper aci ón " " e n el con junt o: A = {1;3;5;7} mediante la tabla adjunta:

(AB)  (BY) (YL)  (LA)

A B

a)

B L B Y A

1 2

4. Se defi ne l a op erac i ón " " en e l co njun to A = {T,R;I;L;C;E} mediante la siguiente tabla:

Nivel III

A B Y A L

c) 4

hallar "x", si: (x * A) * T = S

b) 144 e) 216

L A L B Y

C A C T S

* C A T S

2

10.Se sabe que: m # n = (m + n)2 - m2 - n2 hallar: 9 # (3 # 2)

 L A B Y

8• 11 42 24 88

(4 • 2) • 8 1• 4

a) 1

c) 12

b) 6 e) 1

a) 108 d) 208

4 2 1 8 4

3. Se define el operador “*” en el conjunto: B = {C,A,T,S} de acuerdo a la tabla que se da a continuación:

hallar: (8  2)  (3  3) a) 4 d) 2

2 8 2 4 1

c)

1 3 5 7

Y B

L

hallar "m" en: [(m 7)

2. Se define el operador “•” en el conjunto: A = {1;2;4;8} mediante la siguiente tabla:

a) 1 d) 7

179

1 1 3 5 7

3 3 5 7 1

(3 b) 3 e) 4

5 5 7 1 3 1)]

7 7 1 3 5

5=5

(7

3)

c) 5 Pre 1

Tar ea d om i c i l i a r i a 1. Sabiendo que:

m = 2m + 3

12.Si: L

hallar: 5

R

2

S =

2. Se sabe que: a = a - 1 calcular el valor de:

calcular: 7

9 3. Si: t

L+R+S L-R-S

2

= 3t - 5

5

hallar: 8 + 6

13.Se define:

4. Si “” es un operador de tal modo que: p q = p2 - q3 calcular: 3  2

x

5. Si: m

n=

hallar: 3

2

4)

12

+ n)m 14.Dos operaciones se definen de la siguiente manera:

4

a*b=a-b

6. Si: x = x 2 + 1 calcular:

x +y

hallar la siguiente expresión: (3

(m2

2

y=

y

m  n 

m n

1

calcular el valor de la expresión "P": P = (18 * 12)  (23 * 20)

3

15.Dadas las siguientes operaciones definidas como:

x

7. Sabiendo que: n = 2n + 7

y = 3x - 4y ; a

calcular:

(7 1

5 2

n=k +n

calcular: (2

0)

(1

x = (7

3 2

b

10

= 13

18.Si: m  n = 2(m + 1) + 3(n - 1) hallar el número que va en el recuadro, si se sabe que:

3 8 9 + 7 4 12 a

4)

a * b = 2a + b hallar el valor que va en el recuadro, si se sabe que:

3)

A B C = AB - C

Pre 1

b = ab + b - a

5 *

11.Si: a b = a + b hallar:

6)

17. Si se cumple que:

10.Sabiendo que:

hallar:

(9

hallar "x" en:

8. Si se sabe que: a # b = ab hallar: (2 # 3) # (1 # 2) 2

5)

16.Se define la operación: a

9. Se define: k

b = 2a + 5b

según lo anterior, hallar:

 2 = 11 19.De acuerdo a esta definición:

 a b     ad  bc  c d 

2 1

180

hallar el valor de "x" en:

25. Se definen los operadores “ ” y “ ” en el conjunto A = {2;4;6} con las tablas que se muestran a continuación:

 3 x  1   5 9      8 2   5 x  20.Si: m

2 2 6 4 4 6 2

n = 5m - n

hallar "x" en: (3

8)

m n p q

@ a b c

n p q p q m q m n m n p n p q

(m

n)

(q

p)

(q

p)

(n

n)

2 8 5 2

5 5 2 8

a b c a b c b c a c a b

# 1 2 3 4 hallar:

[(8

5) + (8 5)

2)

2] + (5

1 2 3 4

3

4

2 3 4 1

3 4 1 2

4 1 2 3

1 2 3 4

2 4 6

3)

(3

3 2 1

hallar: [(3  2)

1]  (1

1 2 3 4 1

2 3 4 1 2

3 4 1 2 3

4 1 2 3 4

2

4

6

4 2 6

2 4 6

6 4 2

29.Se defi ne el oper ador “

6)

=2

” e n el con junt o:

A = {1;2;4;8}, de acuerdo a la tabla mostrada: 4)]

1

24.Se definen los operadores “” y “ ” en el conjunto A = {1;2;3}; de acuerdo a las tablas adjuntas:  1 2 3 1 3 3 2 2 2 1 1 3 3 2 1

6)]

(c @ b) * (b @ a) (a * b) @ (c * c)

qué número falta en el recuadro: (4

calcular el valor de la expresión: M = [(2

(4

28. Se define el operador “ ” en el conjunto: A = {2;4;6} de acuerdo a la tabla adjunta:

2)

“ ” mediante la siguiente tabla: 2

[2

[3(2#3) # 2(3#3)] # [4#(3#1)]

23. En el conjunto: A={1; 2; 3; 4} se define el operador

1

4]

27. Se define el operador “#” en el conjunto: A = {1;2;3;4} de acuerdo a la siguiente tabla:

8 2 8 5

(2

2)

2 4 2 4

* c b a c b c a b a b c a c a b

P=

hallar el valor de: L =

6 4 2

4 2 6 2

según lo anteriormente definido, calcular:

22.Se define el operador " " en el conjunto: A = {2;5;8} mediante la siguiente tabla:

2 5 8

6 6 2 4

26.Se definen los operadores "@" y "*" en el conjunto A = {a;b;c} mediante las siguientes tablas:

calcular:

E=

6 6 2 4

hallar el valor de: [(6

x = 31

21. En el conjunto A={m; n; p; q} se define el operador “ ” mediante la siguiente tabla: m n p q m

4 2 4 6

3 2 1 1 1 2 1 2 3 2 3 3

1 2 4 8

1

2

4

8

4 8 1 2

8 1 2 4

1 2 4 8

2 4 8 1

qué número falta en el recuadro: (4

)

8= 2

2)

181

Pre 1

INTERPRETACIÓN DE GRÁFICOS ESTADÍSTICOS

Hoy en día, cuando la población crece con rapidez, cuando hay grandes avances científicos y muchas de las cosas que nos rodean se van desarrollando a gran velocidad, adquiere una gran importancia la Estadística. Gracias a esta disciplina podemos observar un conjunto de datos muy grande y elegir subconjuntos de éste, a partir de los cuales se pueden clasificar y representar los datos para su análisis y toma de decisiones. Luego de procesados los datos estadísticos, estos se presentan en cuadros y gráficos estadísticos. Precisamente estudiaremos algunos de estos gráficos, realizando diversos análisis que nos permitirán comprender mejor los datos ahí contenidos. Veamos a continuación algunos conceptos previos:

18

15

Natación

Voley

Futbolista

4

10

Ajedrez

13

Gráficas lineales

Gráficas Las gráficas son diagramas que muestran relación entre dos o más factores. La mayoría de las gráficas tienen dos escalas, tal como lo indican las siguientes gráficas. Ejemplo: Para conocer la preferencia de los 42 alumnos de una sección de primer año, con respecto a los deportes: fútbol, natación, voleybol y ajedrez, se ha tomado el siguiente cuestionario:

Las gráficas lineales o poligonales se llaman así porque las líneas representativas de la función son quebradas o poligonales. Generalmente se acostumbra a graficar sobre el papel milimetrado o cuadriculado. Se toma dos ejes coordenados y sobre uno de los cuales se representan los valores de una de las magnitudes y sobre el otro, los correspondientes de la otra magnitud. Se determinan los puntos y luego, uniendo estos puntos se tiene la gráfica poligonal. Gráficas de barras

Marca con una X en el cuadro correspondiente al deporte que más prefieres: Fútbol

Voleybol

Natación

Ajedrez

La gráfica de barras se utiliza mucho en el campo de los negocios, y en muchas otras actividades, para comparar hechos que no están determinadamente relacionados entre sí; en esta clase de gráficas, se utilizan barras horizontales o verticales.

Deporte preferido Fútbol Voleybol Natación Ajedrez

Preferencias

Después de llenado este cuestionario, las respuestas fueron:

Número de alumnos 15 13 4 10

15 10 5

Fútbol

Voleybol

Natación

Deportes

Estos datos obtenidos pueden representarse gráficamente de las siguientes maneras:

182

Ajedrez

Gráfico de sectores circulares

1. ¿Cuánto gastó en los tres primeros días?

En este tipo de gráficas se toma el círculo como representación de la total idad de l as canti dades consideradas, y cada sector circular es proporcional a la cantidad que se va a representar.

2. ¿Cuánto gastó en la semana? 3. ¿Cuánto más gastó el martes que el lunes? 4. ¿Qué día gastó más?

V: 13

Gráfico 3 La gráfica corresponde a las temperaturas tomadas cada hora durante un día en una ciudad.

A: 10

30

Temperatura en grado Cº

N: 4

F: 15

El objetivo en este capítulo es analizar e interpretar las gráficas anteriormente expuestas de una manera adecuada y óptima para llegar a conclusiones numéricas correctas. Antes de resolver los problemas para la clase, practiquemos los ejercicios que se proponen a continuación:

25

20

15

Gráfico 1 El siguiente gráfico muestra las personas matriculadas en un curso de Matemática en los últimos tres años:

2

4

6 a.m.

8 10 12 2 Medio día

4

6 p.m.

8 10 12 Media noche

1. ¿Cuál fue la temperatura máxima? ¿A qué hora fue?

120 90

2. ¿Cuál fue la temperatura mínima? ¿A qué hora fue?

60

2003

2004

3. ¿Cuánto subió la temperatura de las 6 de la mañana al mediodía?

Año

2005

1. ¿Cuántos alumnos llevaron el curso en los últimos tres años?

Pract iquemos

2. ¿Cuál fue el aumento en las matrículas del año 2004 respecto al 2003? 3. ¿Cuál fue el aumento en las matrículas del año 2005 respecto al 2003?

Nivel I Gráfico 1 Se encuesta a un grupo de personas sobre su entretenimiento preferido y cada una escogió una sola opción. El resultado fue el siguiente:

Gráfico 2 La gráfica muestra el gasto de un alumno en una semana: Gasto (S/.)

# personas

20

radio 45

televisión 50

cine 35

teatro 20

Responder lo siguiente:

15 12 10

1. ¿Cuántas personas fueron encuestadas?

6 Día Lun

Mar

Mie

Jue

a) 120 d) 150

Vie

183

b) 125 e) 160

c) 145

Pre 1

2. La mayoría prefiere: a) radio d) teatro

11.¿En qué periodo un hombre crece más por año?

b) televisión c) cine e) radio o teatro

a) 0 a 3 años d) 14 a 19

3. ¿En qué lugar de preferencia está el cine? a) 1º d) 4º

b) 2º e) 5º

Gráfico 3

c) 3º

El siguiente es un diagrama elaborado con las estaturas en centímetros de un grupo de estudiantes. Estudiantes

4. ¿Cuántas personas prefieren televisión? a) 10 d) 40

b) 20 e) 50

6 5

c) 30

4 3 2 1

5. ¿Cuántas personas prefieren radio o teatro? a) 55 d) 75

b) 60 e) 65

b) 3 a 9 c) 9 a 14 e) hay dos respuestas

c) 70

cm 120 130 140 150 160 170 180

12.¿Cuántos estudiantes tienen entre 140 y 150 cm?

Gráfico 2 La relación de la estatura de un hombre promedio y su edad es mostrado en el siguiente gráfico:

a) 2 d) 5

b) 3 e) 6

c) 4

13.¿Cuántos miden más de 150 cm?

Estatura (cm)

a) 7 d) 12

175 150 100

a) 20 d) 18

Edad (años) 3

9

14

19

6. ¿Cuánto mide en promedio un hombre cuando nace? b) 30 e) 80

b) 64 e) 70

a) 16 d) 14

b) 16 e) 17

b) 80 e) 90

Pre 1

b) 12 e) 17

c) 17

De un grupo de 100 alumnos han escogido los siguientes deportes: béisbol: 15

c) 15

25: fútbol atletismo: 10 golf: 5

c) 82

tenis: 5 otros

10.Si un hombre promedio midiera 130 cm, ¿qué edad tendría? a) 13 años d) 14

b) 12 e) 15

Gráfico 4

9. ¿Cuántos centímetros mide a los 6 años? a) 70 cm d) 84

c) 21

Nivel II c) 56

8. ¿A partir de qué edad la estatura de una persona permanece constante? a) 19 años d) 20

b) 24 e) 16

15.¿Cuántos estudiantes miden más de 130 cm pero menos de 170 cm?

c) 40

7. ¿Cuánto mide a los 3 años? a) 60 cm d) 58

c) 9

14.¿Cuántos estudiantes hay en total?

64 40

a) 20 cm d) 50

b) 8 e) 10

30: básquet

1. ¿Cuántos alumnos prefieren fútbol, atletismo o tenis?

c) 10

a) 35 d) 30

184

b) 40 e) 50

c) 45

2. ¿Cuántos alumnos escogieron un deporte diferente de los mencionados? a) 20 d) 30

b) 15 e) 16

8. ¿Cuántas personas pesan menos de 70 kg? a) 180 d) 165

c) 10

El siguiente es el resultado de un examen de Matemática cuya nota mínima aprobatoria es 12. N° Alumnos

a) 210 d) 220

10

a) 248 d) 260

mujeres

20

20

10 4

8

12

c) 250

b) 250 e) 280

c) 220

Nivel III

25 25

b) 270 e) 200

10.¿Cuántos de los encuestados pesan entre 52 kg y 84 kg?

hombres

25

c) 175

9. ¿Cuántos de los encuestados pesa más de 60 kg?

Gráfico 5

20

b) 160 e) 170

10 5 20

16

Gráfico 8 Nota

En la siguiente gráfica se muestra la producción de cierta industria durante los nueve primeros meses del año.

3. ¿Cuántos alumnos han obtenido 16 de nota? Toneladas métricas

a) 35 d) 30

b) 45 e) 40

c) 15

6000 5000 4000 3000 2000 1000

4. ¿Cuántos hombres aprobaron? a) 85 d) 55

b) 60 e) 75

c) 70

E

5. ¿Cuántos hombres no aprobaron? a) 35 d) 55

b) 45 e) 30

b) 5 e) 0

a) setiembre d) mayo

El siguiente gráfico muestra los pesos de un grupo de "n" profesores del colegio:

a) 1° y 2° d) 2°

60

50

70

b) 360 e) 400

b) marzo e) enero

J

A

S

c) agosto

b) 3° e) 1° y 3°

c) 1°

N° Asistentes

80

90

Parejas

500

Peso (en kg)

Hombres solos

400

100

Mujeres solas

300

7. ¿Cuál es el valor de "n"? a) 350 d) 380

J

Gráfico 9

70

20 50

M

3. ¿En cuál de los tres trimestres hay una mayor producción?

110

40

40

A

a) entre febrero y marzo b) entre mayo y junio c) entre agosto y setiembre d) entre junio y julio e) más de una es correcta

Gráfico 6

60

M

2. La producción del mes de abril representa la mitad de la producción del mes de:

c) 20

Cantidad de personas

F

1. ¿Entre qué meses se produjo el mayor decremento en la producción?

c) 85

6. ¿Cuál es la diferencia de las mujeres que aprobaron con los hombres que desaprobaron? a) 10 d) 15

Mes

200 100

c) 340

0

Viernes

Sábado

Día

Asistencia a una discoteca

185

Pre 1

4. El total de asistencia el día sábado es: a) 600 d) 1 200

b) 800 e) 1 400

5. El número de hombres que asistieron el sábado excede al número de hombres que asistieron el viernes en:

c) 1 000

a) 100 d) 250

b) 150 e) 300

c) 200

Tarea domiciliaria Gráfico 1 10.¿Cuántos alumnos pesan menos de 60 kg? La cantidad de autos vendidos por "CAR-EASY" viene mostrado en el siguiente gráfico de barras: (periodo Enero - Mayo 2006) Gráfico 3 Los gastos familiares de la familia Díaz se muestran en Autos el siguiente gráfico: 105

vendidos

90

80

70

25% Educación

55 Mes

Enero Febrero Marzo

Abril

Mayo 15% Transporte

1. ¿Cuántos autos se vendieron en el mes de abril? 2. ¿Cuántos autos más se vendieron en el mes de mayo con respecto al mes de enero?

11.¿Qué porcentaje representa los gastos en transporte?

3. ¿Cuántos autos se vendieron en los cinco meses?

12.¿Qué porcentaje representan los gastos en alimentación?

4. ¿En qué periodo de dos meses consecutivos se obtuvo la mayor venta de autos?

13.Si la mitad de sus otros gastos la familia Díaz lo designa para su recreación y entretenimiento, ¿qué porcentaje es?

5. ¿En qué mes se vendió menos? Gráfico 2 El gráfico siguiente muestra la distribución de pesos de “n” alumnos del colegio TRILCE:

Gráfico 4 El gráfico muestra los componentes de una mezcla alcohólica:

40

Número de personas

Número de litros

30

40

20

24

20

16

12 40

50

60

70

80

10

8

Grados 30º

Peso (kg)

40º

50º

60º

70º

90 100

6. ¿Cuál es el valor de "n"?

14.¿Cuántos litros tiene la mezcla en total?

7. ¿Cuántas personas pesan más de 70 kg?

15.¿Cuántos litros más hay en el componente alcohólico de 50° respecto al componente de 30°?

8. ¿Cuántas personas pesan entre 50 y 80 kg? 9. ¿Cuántos alumnos pesan más de 80 kg?

Pre 1

16.¿Cuántos litros menos hay en el componente alcohólico de 40° respecto al componente alcohólico de 70°?

186

Gráfico 5 El gráfico muestra la distribución del nivel socioeconómico de 400 familias encuestadas.

D 70 C 80

Gráfico 7 El gráfico adjunto muestra la cantidad de mujeres y hombres que aprobaron un examen de Aptitud Numérica, durante el periodo 2001 - 2005. (Cada año fueron evaluados 100 hombres y 100 mujeres)

A B 90

50

2001

2002

40

2003

hombres

80 60

60 30

17. ¿Cuántas familias más fueron encuestadas en “A” que en “C”? 18.Calcular:

90

80

160

2004

70

mujeres

50

2005

24.¿Cuántos hombres aprobaron el año 2004?

A D B-C

25.¿Cuántas mujeres desaprobaron el año 2002?

Gráfico 6 El siguiente gráfico muestra las ventas de una empresa en el periodo (1995 - 2000)

26.Desde el año 2001 hasta el año 2003, ¿cuántos son los hombres que desaprobaron la prueba? 27. ¿Cuántas mujeres aprobaron la prueba en los cinco años?

Ventas (en miles de soles)

28.¿Cuántas personas, en promedio, han aprobado el examen cada año (2001 - 2005)?

100 90 80 70 60 50 40 30 20 10

29.¿Cuántas mujeres, en promedio, han desaprobado el examen cada año (2001 - 2005)?

Año 1995

1996

1997

1998

1999

Gráfico 8 Los impuestos pagados por una empresa en 5 años consecutivos son mostrados en el siguiente gráfico:

2000

Impuestos

19.¿Cuánto dinero se recaudó en el año 2000?

13 11 10 8 6 4 2

20.Desde el año 1996 hasta el año 1999, ¿cuánto dinero se obtuvo por las ventas? 21.Hallar el promedio anual de las ventas. 22.¿En cuántos años las ventas de la empresa se incrementaron con respecto al año anterior? 23.Hasta qué año como máximo las ventas acumuladas desde el año 1995 fueron menores a S/. 230 000.

(Miles de dólares)

Año 1996

1997

1998

1999

2000

30.En promedio, ¿cuánto paga de impuestos al año? (en miles de dólares).

187

Pre 1