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UNIVERSIDAD NACIONAL HERMILIO VALDIZAN FACULTAD E INGENIERIA CIVIL EAP: INGENIERIA CIVIL

ANALISIS ESTRUCTURAL II DOCENTE: ING. ANTONIO DOMIGUEZ MAGINO AUTOR: OWNER HABACUC SALVADOR SALAZAR

Obteniendo los desplazamientos encontraremos las fuerzas en las barras

Obteniendo los desplazamientos encontraremos las reacciones

AR=ARS+ARDD

El Método nos propone que el vector ADS incluye : -El efecto de cargas -Temperatura -Deformación Previa - Desplazamiento de los apoyos

ADS=ADL+ADT+ADP+ADR Del mismo modo Ams y ARS representan acciones en la estructura fija debidas a todas las causas:

AMS=AML+AMT+AMP+AMR ARS=ARL+ART+ARP+ARR

MARCO PLANO

MARCO TRIDIMENSIONAL

Se supone que las fuerzas aplicadas en el marco están en el plano de la estructura (x-y).

Las cargas pueden ser de cualquier tipo y orientación (x-y-z)

Se enumeran los nudos y miembros de la estructura

Se enumeran nudos y miembros del mismo modo que en sistemas planos.

Existe la posibilidad de que hayan 03 desplazamientos independientes en cada nudo. Translaciones en las direcciones x-y y giros en el sentido z.

Existe la posibilidad de que hayan 06 desplazamientos independientes en cada nudo; translaciones en x-y-z y las rotaciones en los sentidos x-y-z.

MARCO PLANO

MARCO TRIDIMENSIONAL

El número n de grados de libertad se calcula:

El número n de grados de libertad se calcula:

n=3nj-nr

n=6nj-nr

RIGIDECES DE MIEMBROS DE MARCOS EN EL ESPACIO Este es el caso mas general para el análisis de estructuras. Parte del principio de 6 movimientos (giros y desplazamientos) en cada extremo de las barras que componen la estructura ;para conseguir la rigidez relativa producida debido a dicho movimientos.

Ejemplo de calculo de matriz de rigidez

SM: matriz de rigidez de miembro en la posición normal indicada en la figura anterior

SMD: matriz de rigidez de miembro para los ejes de la estructura, es lo mismo que la matriz SM x la matriz de rotación de ejes R

SMD = SM*R MARCO EN EL ESPACIO i: miembro típico con cosenos directores positivos

k Y

i j

J, k: extremos del miembro. X Z

El calculo de la matriz de rotación

R dependerá de la orientación de los miembros

11

10

8 k

5

i

2 1 4

7 9 12

j

3 Y

11

6 10

X Z

k

5

1

9

i

12 2

4

j

6

3

Y X Z

8

7

OBTENCION DE LA MATRIZ R Yγ YM α

γ

ROTACION DE EJES PARA UN MIEMBRO EN EL ESPACIO

YS Yβ XM ,Xγ j

Zβ,Zγ

α

β

respecto al eje yS

k

i

γ: rotación de xβ y yβ

XS

γ β

respecto al eje zβ α: rotación de zγ y yγ

Xβ ZS

β: rotación de XS y zs

respecto al eje xγ

YM Y ZM coinciden con ZM

los ejes principales de la sección transversal

OBTENCION DE LA MATRIZ Rβ YS Yβ

Rβ= k

i j

Zβ

β

0 sin β

0

1 0

-sinβ

0 cosβ

XS

γ β

Son los cosenos directores

Xβ ZS

cos β

de los ejes β (xβ, yβ, zβ ) con respecto a los ejes (xs, ys, zs )

Sean los cosenos directores del miembro (i): cos (ix)=cx , cos(iy)=cy, cos(iz)=cz cos β=cx/√(cx^2+cz^2) sin β=cz/√(cx^2+cz^2)

OBTENCION DE LA MATRIZ Rγ Yγ

γ

Yβ

cosγ sinγ 0

XM , Xγ

Rβ= i j

-sinγ cosγ 0 0

k

0

1

γ

Zβ, Zγ

Lo anterior muestra los cosenos directores de los

Xβ

ejes γ (xγ, yγ, zγ ) con respecto a los ejes (xβ, yβ, zβ )

Sean los cosenos directores del miembro (i): cos (ix)=cx , cos(iy)=cy, cos(iz)=cz y para este caso cos γ=√(cx^2+cy^2) sin γ=cy

OBTENCION DE LA MATRIZ Rα YM

Yβ Ypγ α

Ypγ

Rα=

1

0

0

0

cosα sinα

0

-sinα cosα

Zγ α

zM

Lo anterior muestra los cosenos directores de los ejes finales (xM, yM, zM ) con respecto a los ejes

y ROTACION DE UN MIEMBRO DE UN MARCO EN EL ESPACIO RESPECTO AL EJE XM

Luego R = Rα* Rγ* Rβ, remplazando los datos respectivamente y operando se obtiene la siguiente matriz

-cx

R=

Cy

Cz

(cx*cy cosα-czsinα)/ √(cx^2+cz^2)cosα (-cz*cycosα+cxsinα)/ √(cx^2+cz^2) √(cx^2+cz^2)

(cx*cy sinα-czcosα)/ √(cx^2+cz^2)sinα (cz*cysinα+cxcosα)/ √(cx^2+cz^2) √(cx^2+cz^2)

Los cosenos directores de la anterior matriz cx, cy, cz se obtienen fácilmente dependiendo de las características espaciales de los marcos y α siempre debe ser dato del problema. Luego la matriz de rotación transformada será:

RT=

R

0

0

0

0

R

0

0

0

0

R

0

0

0

0

R

FINALMENTE:

SMD = RT’*SM*RT

Siendo P un punto arbitrario e el plano XM - YM

YS

YM

P (XP, YP, ZP)

i j

k

YPS XS

(Xj, Yj, Zj) ZPS XPS ZS

ZM

XM

XPS=XP-Xj YPS=YP-Yj ZPS=ZP-Zj Luego:

XPY YPY ZPY

= RY*Rβ*

XPS YPS ZPS

LUEGO RELACIONANDO ESTOS DATOS GEOMETRICAMENTE Sinα= zpy/√(ypy^2+zpy^2) cosα= ypy/√(ypy^2+zpy^2)

RVERT =

0

Cy 0

-cy*cosα

0

sinα

-cy*sinα

0

cosα

Sinα= zps/√(xps^2+zps^2) cosα= -zps/√(xps^2+zps^2)

a.-ingresamos las coordenadas de los nudos

a.-ingresamos otros datos adicionales

c.-Designaciones de miembro, propiedades y orientaciones

d.-Restricciones de nudo

b.-acciones aplicadas a los nudos a.- datos de carga

NUDO 1

NUDO 1

PARA LAS CARACTERISTICAS DEL EJERCICIO

DESPLAZAMINIENTOS DE NUDOS DESCONOCIDOS

Por lo que nos resta calcular ADL (acciones de extremo en la estructura fija correspondiente a los desplazamientos desconocidos y debido a todas las Cargas, excepto aquellos que corresponden a los desplazamientos desconocidos )

a.- hallamos la matriz de rotación transformada Rt (barra 1)

Donde R=matriz de rotación

luego

b.- hallamos la matriz de rotación transformada Rt (barra 2)

Donde R=matriz de rotación

luego

C.- hallamos la matriz de rotación transformada Rt (barra 3)

Donde R=matriz de rotación

luego

NUDO 1

SMD1= NUDO 2

NUDO 3

SMD2= NUDO 1

NUDO 3

SMD3= NUDO 1

AD=ADS+SD (AD-ADS)=SD (S^-1)(AD-ADS)=D

Donde: D{d,1}

=

Matriz de Desplazamientos Desconocidos.

AD{d,1}

=

Matriz de Cargas en la estructura Original asociado a los “Di”.

ADL{d,1} =

Matriz de Cargas en la Estructura Fija asociado a los “Di”.

S{d,d} = debidos a

Acciones en la estructura Fija correspondientes a los desplazamientos y valores unitarios de los desplazamientos (COEFICIENTES DE RIGIDEZ)

AM{m,1} =

Acciones de extremo de los miembros de la estructura real. m: número de acciones de extremo

AML{m,1}=

Acciones de extremo de miembro en la estructura fija debida a las cargas menos a los correspondientes a los desplazamientos “Di”.

AMD{m,d}= de nudo.

Acciones de extremos debidas a los valores unitarios de los desplazamientos

AR{r,1}

Reacciones en los apoyos de la estructura real.

=

ARL{r,1} = correspondientes

Reacciones en la estructura fija debidas a todas las cargas menos a los a los desplazamientos “Di”.

ARD{r,d} = nudo D.

Reacciones de apoyo debidas a los valores unitarios de los desplazamientos de