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• Luisa Cruz

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EJERCICIOS PROPUESTOS

ANÁLISIS ESTRUCTURAL II

Ricardo León Bonett Díaz

1

Contenido TEMA 1. RESPUESTA A VIBRACIÓN LIBRE ........................................................................................... 3 TEMA 2. RESPUESTA A VIBRACIÓN ARMÓNICA Y PERIÓDICA ............................................................ 4 TEMA 3. FACTOR DE AMPLIFICACIÓN DINÁMICO Y TRANSMISBILIDAD ........................................... 12 TEMA 5. RESPUESTA A CARGAS ARBITRARIAS (NEWMARK) ............................................................. 15 TEMA 6. ANÁLISIS MODAL Y METODO DE LA FUERZA HORIZONTAL EQUIVALENTE ........................ 17 TEMA 7. ANALISIS MODAL ESPECTRAL ............................................................................................. 25

2

TEMA 1. RESPUESTA A VIBRACIÓN LIBRE 1. Una columna que soporta un tanque de agua en la parte superior se ve sometida a un ensayo para encontrar los parámetros dinámicos. El resultado obtenido del ensayo se muestra en la siguiente Figura 1. El peso total del tanque es de 640 kN. Determine: Los resultados en términos de desplazamiento y tiempo se muestran a continuación. a. La rigidez lateral del sistema. b. El tiempo que tarda el sistema para que el desplazamiento sea igual a 0.5 cm. c. La fracción de amortiguamiento crítico del sistema.

0.02 0.015

Desplazamiento (m)

0.01 0.005 0 0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

-0.005 -0.01 -0.015 -0.02 Tiempo

Figura 1. Respuesta: a. K=2577.941 kN/m b. ξ=0,22

2. Para el voladizo de 4.0 metros que se muestra en la Figura 2, el cual está construido de concreto reforzado con una resistencia a la compresión fc´ igual a 28 MPa, se pide determinar: a. El tamaño de la sección (b,h) para que el desplazamiento en el extremo libre del voladizo sea menor o igual a 4.0 cm. P = 10 kN h 3

b

L = 4.0 m

Figura 2. Respuesta b = 0.24 m

TEMA 2. RESPUESTA A VIBRACIÓN ARMÓNICA Y PERIÓDICA 1. Una estructura se somete a un ensayo de vibración libre y la respuesta se muestra en la siguiente Figura 3. Posteriormente se somete a una carga armónica, calcule el desplazamiento dinámico máximo que experimenta la estructura. P(t)=80Sen(8.4t). La estructura soporta una carga muerta de 500 kN.

Figura 3a.

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Análisis Estructural II Programa de Ingeniería Civil Universidad de Medellín

P(t)

Ricardo León Bonett Díaz Quiz 1 Semestre 02 - 2018

EIviga = 0

3. 0 m

6. 0 m

Figura 3b. Respuesta Ud = 0.28 m.

2. El pórtico que se muestra en la Figura 4 fue sometido a un ensayo de vibración libre y el resultado se indica en la misma Figura. Posteriormente, se le aplicó una fuerza armónica P(t)=130Sen(45t). La carga duró 10 segundos. La riostra tiene un área de 5.03*10−4 𝑚2y un módulo de elasticidad E=200000 MPa. Las columnas y la viga tienen una resistencia a la compresión f’c=21 MPa Se pide determinar las dimensiones de las columnas cuadradas que sean consistentes con el ensayo de vibración libre, considere la rigidez de la viga como infinita.

5

Figura 4.

Respuesta: b = 0.44 m 3.

En la Figura 5 se muestra la respuesta a vibración libre de un sistema de un grado de libertad que soporta un peso de 456 kN. Una vez la estructura se detiene, ésta se ve somete a una excitación armónica P(t), con una amplitud máxima de 1600kN y una frecuencia de 12.01 rad/s. Se pide determinar el desplazamiento dinámico máximo que puede experimentar la estructura y su respectivo periodo. 0.05000 0.04000

0.03000 0.02000 0.01000 0.00000 -0.01000 0

1

2

3

4

5

-0.02000 -0.03000 -0.04000 -0.05000

Figura 5. Respuesta: Ud = 0.24 m

4. Considere el pórtico plano de un solo nivel que se muestra en la Figura 6. Asuma que el peso propio y las cargas gravitacionales que debe resistir el pórtico son iguales a 1000 kN. El pórtico es de hormigón reforzado con una resistencia máxima a la compresión de 28 MPa. El módulo de elasticidad es igual a 4900 x raíz (fc´). 6

a. Se pide determinar las dimensiones de las dos columnas para que resistan una carga lateral de 200 kN y cumpla con el objetivo de diseño (Deriva menor al 1% de la altura entre piso). Se sugiere despreciar la rigidez lateral de la viga (EIviga es infinito). Respuesta: b=0.21 m. b. Para una carga periódica P(t) igual a 100 sen(1.2 t). Calcule la respuesta máxima del pórtico mostrado en la Figura. La duración de la carga es de 10 segundos. Respuesta: Ud = 0.013 m. c. Para una carga periódica P(t) igual a 100 sen(4.2 t). ¿Cuál es el desplazamiento máximo de la estructura? Suponga una fracción de amortiguamiento crítico del 5%. Análisis Estructural II Programa de Ingeniería Civil Respuesta: Ud = 0.016 Universidad de Medellín

P(t)

Ricardo León Bonett Díaz Quiz 1 Semestre 02 - 2018

m.

EIviga -> Infinito

2.4 m

5. 0 m

Figura 6. 5. Considerar el pórtico plano de un solo nivel que se muestra en la Figura 7. Asuma que el peso propio y las cargas gravitacionales que debe resistir el pórtico son iguales a 800kN. El pórtico es de hormigón reforzado con una resistencia máxima a la compresión de 21 MPa. Para una carga periódica P(t)=100 Sen (4.3t), calcule las dimensiones de las columnas para que la respuesta dinámica máxima sea un 30% mayor a la estática. Considerar la rigidez de la viga como infinita.

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P(t)

Ricardo León Bonett Díaz Quiz 1 Semestre 02 - 2018

EIviga -> Infinito

2.4 m

5. 0 m

Figura 7.

Respuesta: b1 = 0.13 m y b2 = 0.22 m.

6.

Una viga de concreto de sección cuadrada de 5 metros de luz soporta un equipo que pesa 100 kN, con una fuerza igual a 1000 kN y una frecuencia circular de 200 ciclo/minuto. E=21000 MPa, 𝜉 = 20%. La deflexión de la viga en la mitad igual a

𝑃∗𝐿3 48∗𝐸∗𝐼

. ¿Cuáles son las dimensiones de la

viga que hacen que la respuesta dinámica esté controlada por la masa de la viga y que el desplazamiento sea inferior a 12 cm? Respuesta: En este caso, las dimensiones de la viga no influyen considerablemente en la masa de la estructura, porque el peso del motor es muy superior a este valor. ¨Para lograrlo, habría que incrementar la masa en 9 kN s2/m. Considerando la densidad del concreto, esto implicaría tener una viga con un área de 7.8 m2, lo cual es inviable.

7.

Un sistema de 1 GDL es excitado por una fuerza sinusoidal. En la resonancia, la amplitud del desplazamiento fue de 2 pulgadas. En una frecuencia de excitación igual a 1/10 de la frecuencia natural del sistema, la amplitud del desplazamiento medido fue de 0.2 pulgadas. Determine la fracción de amortiguamiento crítico.

Respuesta: ξ=0.705=70.5%

8.

Un bus de 2 t viaja por el puente de la Avenida del Ferrocarril sobre el Río Medellín. El flujo plástico de los materiales ha causado una deflexión de 15 cm en el medio de cada luz. La rigidez del sistema es de 140 kN/m

8

a. ¿Cuál es la amplitud del movimiento vertical del bus, si viaja a 60 Km/h? Respuesta: U = 0.089 m. b. ¿Cuál es la velocidad que causará resonancia? Respuesta: V = 39.99 m/s c. ¿Cuál es la velocidad para la cual el desplazamiento transmitido es menor que el aplicado? Respuesta: 56.6 m/s. 9.

Una estructura metálica de un nivel soporta un peso total en la parte superior de 63 kN. La estructura se somete a una carga sísmica experimentalmente, lo cual permite obtener la relación Carga – Desplazamiento en la parte superior (F- ) del sistema desde el inicio de la carga hasta el momento en que falla el sistema (ver Figura). La altura de la columna es de 4.5 m. Se pide calcular: a. El periodo de la estructura. Respuesta: T = 0.16 s. b. Determine las dimensiones de la columna. Respuesta: b=0.63 m.

10. Determinelas dimensiones de las columnas del Pórtico que se muestra en la Figura X para que el desplazamiento estático sea menor o igual a 0.01 m. Los elementos tienen una resistencia a la compresión de 24 MPa y un módulo de elasticidad 𝐸𝑐 = 4900√𝑓′𝑐. Sobre la viga hay una carga uniformemente distribuida de 10 kN/m. Calcule la respuesta dinámica máxima para una carga armónica P(t) = 300 kN sen(4.5 t) Respuesta: La respuesta está controlada por la rigidez. Por lo tanto, esl desplazamiento dinámico es igual al estático

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Ricardo León Bonett Díaz Quiz 1 Semestre 02 - 2018

Sección Viga

P(t)

x x 4. 0 m

6. 0 m x

x 2x

2x

11. Para la viga que se muestra en la figura, determine las dimensiones de la sección transversal para que la respuesta dinámica sea igual a 1.30 veces la respuesta estática. Datos     

El área del tubo es A=9.59cm2, I= 150.55cm4. Para la viga, f’c= 21MPa, Ec= 4700 (f’c)0.5 Po= 70kN q=10KN/m w= 3 rad/seg.

Respuesta: b=0.48 m. 12. Un aire acondicionado que pesa 55kN se atornilla de dos vigas paralelas de concreto reforzado, las cuales se encuentran simplemente apoyadas en sus extremos, de acuerdo con la siguiente 10

figura. El motor funciona a 400 rpm y a esta velocidad produce una fuerza vertical de 10kN. (f'c= 32MPa, Ec= 4700 (f’c)0.5) a. Determine las dimensiones de la viga para que la respuesta de cada viga esté controlada por la rigidez Respuesta: b=0.074 m. h=0.15 m. b. Suponga un =0.05 y tome la sección transversal de las viga de 0.30m x 0.30m. Calcule la fuerza máxima transmitida en el centro de cada viga. (10 %) Respuesta: F_rmáx=10.8kN

13. El tanque de agua que se muestra en la Figura se sometió a una carga lateral armónica con una frecuencia igual a 4.6 rad/s con una amplitud máxima de 80 kN. La sección del tanque es cuadrada de 2 m de lado. La rigidez lateral de la columna es igual a 70 kN/m y su resistencia a la compresión es de 21 MPa, con un módulo de elasticidad igual a 𝐸𝑐 = 3900 √𝑓𝑐´ a.

Determine la altura del agua en el tanque para que el desplazamiento dinámico sea igual a la mitad del desplazamiento estático. Respuesta: h = 2.53 m.

b.

Determine las dimensiones de la columna que soporta el tanque. Respuesta: b=0.16 m.

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TEMA 3. FACTOR DE AMPLIFICACIÓN DINÁMICO Y TRANSMISBILIDAD 1.

Se instalará un bloque de aislamiento de vibraciones en un laboratorio para que la vibración producida por las operaciones de la fábrica que se encuentra junto no moleste a ciertos experimentos. Si el bloque de aislamiento pesa 2000 lb y el piso circundante y el cimiento vibran a 1500 ciclos por minuto, determine una rigidez del sistema de aislamiento tal que, el movimiento del bloque de aislamiento se limite a: 10% de la vibración del piso; desprecie el amortiguamiento.

Respuesta: K=2040.38 kN/m

2. Un motor pesa 100 kN, tiene una frecuencia de la carga 25 rad/s y fuerza máxima=50kN. Calcule: a. Longitud de la viga para que no haya amplificación dinámica. 𝜉 = 0.05 Respuesta: L=1.57 m. b. Máximo desplazamiento dinámico en el extremo derecho si se libera. Respuesta: Ud = 0.023 m. c. Determinar la reacción en el empotramiento si se modifica la frecuencia a 3 rad/s Respuesta: F_rmáx=50 Datos  

f’c=28Mpa Ec=4900√𝑓′𝑐 12



Sección (0.2x0.3)

3. El pórtico que se muestra en la Figura 1a se vio sometido a una carga armónica con una amplitud máxima de 150 kN y una frecuencia de 5 rad/s. El pórtico experimentó un desplazamiento máximo dinámico igual a dos veces el estático. Por lo tanto, se decidió instalar unas riostras para restringir el desplazamiento dinámico. La resistencia a la compresión de las columnas es de f’c=24 MPa, con un módulo de elasticidad 𝐸𝑐 = 4900√𝑓𝑐´. La fracción de amortiguamiento critico es del 5%. a. Determine las dimensiones de las columnas antes de instalar las riostras si se considera que la rigidez lateral de la viga es despreciable. Respuesta: K1=2530.27KN/m. b=0.16m y h=0.32m K2=859.78KN/m. b=0.12m y h=0.24m b. Cuál es el área de acero requerida para las riostras metálicas (Es = 200000 MPa) para que el desplazamiento dinámico sea igual a 0.5% de la altura total del pórtico. Respuesta: A=33.21 cm2.

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TEMA 5. RESPUESTA A CARGAS ARBITRARIAS (NEWMARK) 1. Calcule la respuesta dinámica hasta el tiempo igual a 0.2 segundos en términos de desplazamiento, velocidad y aceleración para el pórtico que se muestra en la Figura, el cual se encuentra sometido a una carga impulsiva. Considere la relación elasto-plástica de la columna. f’c= 28MPa Ec= 4700 (f´c)0.5 Carga muerta = 7kN/m2

Fs (kN)

Solución

140 120 100 80 60 40 20 0 0

0.01

0.02

0.03

0.04

u (m)

15

240 220 200

180

P(t) - kN

160 140

120 100 80

60 40 20

0 0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

t (s)

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TEMA 6. ANÁLISIS MODAL Y METODO DE LA FUERZA HORIZONTAL EQUIVALENTE 1. Determine las dimensiones de las columnas para que la deriva máxima en entre piso sea igual a 1.5%. Datos   

𝐶𝑀 = 6 𝑘𝑁 ⁄𝑚2 𝑓 ′ 𝑐 = 21𝑀𝑃𝑎 𝐸 = 4700√𝑓′𝑐

El espectro está representado por el espectro de diseño:   

Ciudad: Armenia Tipo de suelo: D Factor de importancia: I

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Respuesta: x = 0.16 m.

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2. En el edificio de dos niveles que se muestra en la figura, el cual se encuentra en la ciudad de Armenia, sobre un suelo tipo D y un grupo de uso IV. Determine las dimensiones de las columnas para que la estructura tenga una deriva máxima de 0.5% de la altura entre piso, observe la distribución de las columnas en planta y recuerde que en este caso b=0.5h. Calcule las frecuencias y los modos de vibrar. Considere diafragma rígido. La carga muerta del primer piso es 10𝑘𝑁 ∕ 𝑚2 , la carga muerta del segundo piso es 8𝑘𝑁 ∕ 𝑚2, la carga viva es igual en ambos pisos y tiene un valor de 20𝑘𝑁 ∕ 𝑚2. Datos   

𝑓 ′ 𝑐 = 28𝑀𝑃𝑎 𝐸𝑐 = 4100√𝑓′𝑐 𝐸𝑐 = 21695.161𝑀𝑃𝑎 ∗ 103

19

Respuesta: h = 0.6 m.

1 Modo 1: 𝜑1 : { } 0.6339

1 Modo 2: 𝜑2 : { } −1.367

{𝜑} = [0.07325 0.04643

0.04988 ] → Matriz modal para el pórtico evaluado, normalizado con respecto −0.0682 a la masa.

3. Estructura de acero estructural con un módulo de elasticidad de 200000MPa. La relación entre las dimensiones de las columnas es de 1:1.5, el valor de x=0.20m. Se encuentra en la ciudad de Cali sobre un suelo tipo B y un grupo de uso IV. Determine la altura de cada piso para que la estructura cumpla con la deriva máxima de 1%. Calcule las fuerzas por medio de la FHE con la altura obtenida por medio de la deriva del piso 1. La carga muerta del primer piso es de 15𝑘𝑁 ∕ 𝑚2 , la del segundo piso es de 10𝑘𝑁 ⁄𝑚2 y la del tercero es de 8𝑘𝑁 ∕ 𝑚2 . La carga viva es igual en todos los pisos y tiene un valor de 20𝑘𝑁 ∕ 𝑚2 y 𝑉𝑏𝑎𝑠𝑎𝑙 = 3276.0027 𝑘𝑁.

20

Respuesta:

4.

Para el siguiente pórtico determine a. Determinar las dimensiones de las columnas a partir del análisis modal de tal forma que el periodo del modo fundamental sea 0.4s. 21

Respuesta: b = 0.19 m b. Frecuencias y modos de vibrar. Respuesta: Modo 1 𝜑1 = { Modo 2:

1 } 0.5931

𝜑2 = {

1 } −0.843

Datos:    

𝐶𝑀 = 8.5 𝑘𝑁⁄𝑚2 𝑓 ′ 𝑐 = 21𝑀𝑃𝑎 𝐸𝑐 = 4100√𝑓 ′ 𝑐 ℎ = 2𝑏

22

5. Para la estructura que se muestra en la figura se pide: a. Determine las dimensiones de las columnas para que sean compatibles con los modos y las frecuencias de vibrar. b. Calcule las derivas entrepiso y el momento que se genera en la base del edificio. Las columnas son cuadradas, la carga muerta es de 10 kN/m^2, f’c=21 MPa, E=4700 raiz(f’c), H1=H2=2.4m. Aa=0.25, Av=0.25, Fa=1.15 y Fv=1.55, tiene una importancia de 1.0.

𝑤12 = 550

𝑟𝑎𝑑

𝑤22 = 990

𝑟𝑎𝑑

𝑠2 𝑠2

1 𝜙1 = (0.59 ) 1 𝜙2 = (−3.35 )

Respuesta: 23

Con el modo 1: b=0.3062 ó b=0.3033 Con el modo 2: b=0.1965 ó b=0.2466 Se trabaja con b=0.30, del modo fundamental.

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TEMA 7. ANALISIS MODAL ESPECTRAL Este método es mucho más preciso y considera la dinámica. Para llevar a cabo el procedimiento del AME, se deben tener los modos de vibrar NORMALIZADOS obtenidos mediante análisis modal y los periodos utilizados se obtienen de un espectro. De este método se pueden obtener: desplazamientos modales, derivas entre piso, dimensiones, cortantes máximas en cada piso, fuerzas inerciales modales, etc. 1. Para el pórtico que se muestra en la figura, se pide determinar las dimensiones de las columnas utilizando el método de análisis modal espectral para que la deriva máxima en el primer piso sea igual al 1%. La resistencia a la compresión del concreto es de 21 MPa y el módulo de elasticidad es igual a Ec=4700 raiz(21). La altura entrepiso es igual a 2.4m y la carga distribuida sobre las vigas es igual a 24 kN/m. Supongo una sección cuadrada para las columnas y los dos periodos siempre caerán en la meseta.

𝐾

𝑤12 = 0.38 𝑚

𝐾

𝑤22 = 2.61 𝑚

Donde K es la rigidez de todo un piso completo, es decir k1=k2=k. La matriz de modos se muestra a continuación, SIN NORMALIZAR con respecto a la masa. 1 1 [ ] 0.62 −1.61 25

Respuesta: x = 0.27 m.

2. Determine la dimensión de las columnas del siguiente pórtico 3D por medio de un análisis modal espectral de tal forma que el periodo del modo fundamental sea igual a 0.15 s. Calcule las frecuencias y los modos de vibración

Datos 𝐶𝑀 = 8.5

𝐾𝑁 𝑚2

𝑓 ′ 𝑐 = 21𝑀𝑝𝑎 𝐸𝑐 = 4100√𝑓 ′ 𝑐 Respuesta: b=0.31 m.

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3. Para la estructura que se muestra en la figura, localizada en Bucaramanga, sobre un suelo tipo C, grupo de uso 1, se requiere: a. Derivas entre piso b. Cortante basal máxima Datos Concreto reforzado con 𝑓 ′ 𝑐 = 24𝑀𝑃𝑎 𝐸𝑐 = 4700√𝑓′𝑐 Dimensiones 1:1.5 x=0.20m

4. Para el espectro en Cali sobre suelo tipo C y grupo de uso 2 a. Determinar las derivas entre piso b. Cortante basal máximo Datos 𝐶𝑀 = 6 𝑘𝑁⁄𝑚2 27

𝑓 ′ 𝑐 = 24𝑀𝑃𝑎 𝐸𝑐 = 4900√𝑓′𝑐 Columnas 1:1.5 x=0.24

Respuesta

Derivas Piso 2 1

𝛥𝑚𝑜𝑑1 0.081 0.4131

𝛥𝑚𝑜𝑑2 0.00579 -0.000303

𝛥𝑚𝑎𝑥 0.08121 0.4131

𝛿𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 𝑝𝑖𝑠𝑜 0.02707 0.10328 28

Cortantes: Piso 2 1

𝑉𝑚𝑜𝑑1 2179.872 6130.89

𝑉𝑚𝑜𝑑2 229.57 -45.023

𝑉𝑚𝑎𝑥 2191.927 6131.055

𝐶𝑜𝑟𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑚á𝑥𝑖𝑚𝑎 = 6131.055

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