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• Francisco Javier Cano

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1. Regla de la Palanca

1. DIAGRAMAS DE FASE

Regla de la Palanca Los diagramas de fases son representaciones gráficas de las fases que están presentes en un sistema de aleación a diversas temperaturas presiones y composiciones; los diagramas de fases se construyen empelando la información recopilada en la curvas de enfriamiento. Las curvas de enfriamiento son gráficos de tiempo y temperatura generados para diversas composiciones de aleaciones y brindan información sobre las temperaturas de transición de las fases. En los diagramas de fases binarios en equilibrio temperatura-composición se indican que fases están presentes a diferentes composiciones y temperaturas para condiciones de enfriamiento o calentamiento lentos que se acercan al equilibrio. 1.1.

DIAGRAMAS DE FASE BINARIOS

En los diagramas bifásicos, la composición química de cada una de las dos fases se indica por la intersección de la isoterma con los límites de fase, el fragmento en peso de cada fase en una región de dos fases puede determinarse usando la regla de la palanca a lo largo de una isoterma (línea de enlace a una temperatura particular). En estos diagramas también se relaciona la regla de las fases de Gibbs, la cual establece que en el equilibrio el número de fases más los grados de libertad es igual al número de componentes más 2, P + F = C + 2 de forma abreviada, con la presión 1atm. P + F = C + 1. 1.2.

REGLA DE LA PALANCA

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Regla de la Palanca Esta fórmula matemática consiste en encontrar las cantidades de % de sustancia en los diagramas de fases, Estas cantidades normalmente se expresan como porcentaje del peso (% peso), y es válida para cualquier diagrama de fase binario. La regla de la palanca da la conocer la composición de las fases y es un concepto comúnmente utilizado en la determinación de la composición química “real” de una aleación en equilibrio a cualquier temperatura en una región bifásica. En regiones de una sola fase, la cantidad de la fase simple es 100%. En regiones bifásicas se deberá calcular la cantidad de cada fase. Y la técnica es hacer un balance de materiales. Para calcular las cantidades de líquido y de sólido, se construye una palanca sobre la isoterma con su punto de apoyo en la composición original de la aleación (punto dado). El brazo de la palanca, opuesto a la composición de la fase cuya cantidad se calcula se divide por la longitud total de la palanca, para obtener la cantidad de dicha fase. Consideremos el siguiente diagrama bifásico:

Si como en el ejemplo del diagrama estamos a una temperatura T 1 y con una composición del sistema X1% de B tendremos una mezcla de dos fases, L y S (líquido y 2

Regla de la Palanca sólido), determinaremos la composición química de cada una y sus cantidades relativas. Así:  

Habrá en la fase L (líquido) a T1, un X2% en peso de B y (1- X2 ) % de A. La composición de la fase S (sólido) a T1 será de un X3% de B y un (1 – X3 )% de A.

Para determinar las cantidades relativas de L (líquido) y S (sólido) que hay a una temperatura y composición prefijadas usaremos la regla de la palanca: Longitud de la isoterma opuesta al líquido % de líquido = 

X3 – X1 

= Longitud total de la isoterma

X3 – X2

Para cualquier composición y temperatura % de sólido = 

Longitud de la isoterma opuesta al sólido -- Longitud total de la isoterma

=



X1 – X2 X3 – X2

Evidentemente: % de L + % de S = 100% 1.3.

DEMOSTRACIÓN DE LA REGLA DE LA PALANCA

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Regla de la Palanca Para el caso de la regla de la palanca, primero debemos trazar una “isoterma” en el punto de temperature o porcentaje de B-para nuestro caso cementita- requerido por el problema. Gramos de B en la mezcla bifásica = Gramos de b en la fase líquida + Gramos de b en la fase sólida (Fracción de peso de las mezclas de fases)(Fracción en peso promedio de B de la mezcla de las fases) = (Fracción de peso de la fase líquida)(fracción de peso de B en la fase líquida) + (Fracción de peso de la fase sólida)(Fracción de peso de B en la fase sólida). 1) 100% (Wo) = X1% (Wl) + X2% (Ws) 2) XI% + X2% = 100% 

X1 = 1 – X2

(Remplazar en 1)

3) (Wo) = (1-X2)(Wl) + X2(Ws) 4) Wo = Wl – X2(Wl) + X2(Ws) 5) Wo – Wl = X2 (Ws – Wl ) 6) ( Wo – Wl )/(Ws – Wl ) = X2 Fracción en peso de la fase sólida X2= ( Wo – Wl ) / ( Ws – Wl )

1.4.

DEDUCCIÓN DE LA REGLA DE LA PALANCA

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Regla de la Palanca Una disolución ideal a temperatura constante: sean dos líquidos B y C que forman una solución ideal. Se mantiene la temperatura fija a valor T por encima de los puntos de congelación B y C. Se representa entonces la presión P del sistema frente a X B, la fracción molar total de B en el sistema. X B= Donde nlB y n vB respectivamente.

nB ,total nl + nv = l vB Bl v n total nB + nB +n C + nC

(1)

son los números de moles de B en la fase liquida y vapor,

Entonces se obtiene: X vB X lB P¿B = ¿ X vC X lC PC ¿

¿

¿

l

P=PC + ( P B−PC ) X B

(2) disolución ideal

(3) disolución ideal (para D D´ D´´)

Sin embargo, la curva F F´ F´´ es una representación de la presión de vapor total frente a X vB , para ello debemos transformar X lB en una función de X vB empleando la Ley de Raoult. Para ello tenemos:

P❑B =X vB P=X lB P ¿B

para poder escribir

X lB=X vB P /P ¿B sustituyendo en (3)

5

Regla de la Palanca P=P¿C + ( P¿B−P¿C ) X vB P /P ¿B Despejando P de ésta ecuación tenemos: ¿

P=

¿

PB PC v

¿

(4)

¿

(5) disolución ideal

¿

X B ( P C −PB ) + PB

Esta es la ecuación que buscamos y corresponde a P frente a la curva F F´ F´´.

X vB y corresponde a

La fracción molar global de B es: X B=

nB

(6)

nl +n v

Por lo que: n B=X B nl + X B nv l

Además:

v

l

(7) v

(8)

n B=n B +n B=X B n + X B n

Igualando estas expresiones para n B se tiene: l

v

l

l

v

v

X B n + X B n =X B n + X B n

(9)

nl ( X B− X lB ) =n v (nvB −X B )

(10)

Finalmente: nl EH =n v EI

(11)

Donde EH y EI son las longitudes de los segmentos que van desde E hasta las curvas de líquido y el vapor de la figura anterior; nl y nv son el número total de moles en las fases líquido y vapor respectivamente. La ecuación 11 se conoce como la regla de la palanca. La deducción de la regla de la palanca se aplica igualmente a cualquier sistema bifásico de dos componentes, no solo al equilibrio liquido-vapor. Ahora bien si tenemos α y β que son las fases presentes, nα y n β son los números totales de moles en las fases α y β, respectivamente, y la l α y l β son las longitudes de los segmentos que pertenecen a un punto contenido en la zona de dos fases del diagrama de fases y llegan hasta las curvas de las fases α y β, entonces por analogía tenemos: α α

β β

n l =n l

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Regla de la Palanca Con frecuencia se usa la fracción en peso global de B (en vez de X B) como abscisa del diagrama de fases. En este caso las masas sustituyen a los números de moles en la deducción anterior, y la regla de la palanca pasa a ser: α α

β β

m l =m l Donde:

α

m ym

β

son las masas de las fases α y β, respectivamente.

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