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• Tamy Gueregat

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ÁLGEBRA El ÁLGEBRA es una generalización de la aritmética. Todo lo que se puede realizar con operatoria aritmética lo puedes hacer con expresiones algebraicas. Es esencial, para tener un buen manejo algebraico, el saber la equivalencia entre el lenguaje verbal cotidiano y el lenguaje algebraico. Para esto, vamos a dar un listado de palabras con su respectivo significado algebraico que es fundamental que se aprenda para su posterior aplicación, en especial, en el planteamiento de problemas verbales.

EXPRESIÓN VERBAL

EXPRESIÓN ALGEBRAICA

Más, suma, adición, agregar, añadir, aumentar

+

Menos, diferencia, disminuido, exceso, restar

-

Multiplicación, de, del, veces, producto, por, factor



División, cuociente, razón, es a

:

Igual, es, da, resulta, se obtiene, equivale a

=

Un número cualquiera

x

Antecesor de un número cualquiera

x-1

Sucesor de un número cualquiera

x+1

Cuadrado de un número cualquiera

x2

Cubo de un número cualquiera

x3

Doble de un número, duplo, dos veces, número par, múltiplo de 2 Triple de un número, triplo, 3 veces, múltiplo de 3

2x

Cuádruplo de un número

4x

Quíntuplo de un número

5x

Mitad de un número Tercera parte de un número Número impar cualquiera Semi-suma de dos números

Semi-diferencia de dos números

Números consecutivos cualesquiera Números pares consecutivos Números impares consecutivos

3x

1 x 2 1 x 3

2x+1 ó

x 2 x ó 3

ó

2x - 1

( x  y) 2 ( x  y) 2 x, x+1, x+2, x+3, x+4, ..... 2x, 2x+2, 2x+4, 2x+6, 2x+8 ..... 2x+1, 2x+3, 2x+5, 2x+7, .....

2

Múltiplos de 5 consecutivos

5x, 5x+5,

5x+10,

5x+15,

...... Múltiplos de 6 consecutivos

6x, 6x+6,

Recíproco de un número cualquiera

Número cualquiera de dos dígitos

EXPRESIÓN ALGEBRAICA

x–4 2x + 3y 5x - y x + 3y 4

6x+12, 6x+18, .....

1 x 10x + y ( por ejemplo, 73 = 7·10 + 3 )

EXPRESIÓN VERBAL La diferencia entre un número cualquiera y 4 Al doble de un número agregarle el triple de otro número El exceso del quíntuplo de un número sobre otro número cualquiera A la cuarta parte de un número agregarle el triple de otro número

(x - 3)2

El cuadrado de la diferencia entre un número cualquiera y 3

x2 – 3

La diferencia entre el cuadrado de un número y 3

2 x  3 y  4

( x  y) 2 3 x 4 (5x)2

x+

5x2 (2x)3 - 4y2

La cuarta parte de la diferencia entre el doble de un número y el triple de otro número La tercera parte del cuadrado de la suma entre dos números

A un número cualquiera añadirle su cuarta parte El cuadrado del quíntuplo de un número

El quíntuplo del cuadrado de un número

El exceso del cubo del doble de un número sobre el cuádruplo del cuadrado de otro número

3

EXPRESIONES ALGEBRAICAS.

Un polinomio es una expresión algebraica que se obtiene al expresar cualquier suma de monomios no semejantes. Son polinomios las expresiones siguientes: 2

a) 4x + 3ab – 2xc 4

3

2

b) 4x -2x + 3x - 2x + 5 En el primer caso el polinomio consta de la suma de tres monomios, cada uno de ellos es un término del polinomio, luego tiene tres términos., cada uno con varias letras, mientras que en el segundo caso el polinomio tiene 5 términos. Si un término sólo consta de un número se le llama término independiente (5 en el caso b y no existe en el primer caso)

CLASIFICACIÓN Y CONCEPTOS BÁSICOS DE LAS EXPRESIONES ALGEBRAICAS 1.-

Cuando un polinomio consta de dos monomios se denomina binomio: 2

2 3

Ejemplo: x y + 3ab y ; 2x + 3 son dos binomios. 2.- Cuando consta de tres monomios se denomina trinomio. Ejemplo: 5x + 6y + 3z. 3.- Con más de tres términos ya se denomina en general multinomio. 5

4

3

2

Ejemplo : x - 6x + 2x + 3x - 2x + 1 El grado de un término algebraico corresponde a la suma de los exponentes de la parte literal. 2

2

Ejemplo: El grado de –5x yz

es

5 que resulta de sumar los exponentes 2 + 1 + 2.

Evaluación de expresiones algebraicas Evaluar una expresión algebraica significa asignar un valor a cada variable de los términos y resolver las operaciones indicadas en la expresión para determinar su valor final. Ejemplo: 2

2

Evaluemos la expresión 3x y – 5xy + xy, 2

2

2

considerando que

x=3

e

y = -2.

2

3x y – 5xy + xy = 3·3 ·(-2) – 5·3·(-2) + 3·(-2) = -54 – 60 – 6 = -120

OPERATORIA ENTRE EXPRESIONES ALGEBRAICAS 1.-

Adición de términos algebraicos

Para sumar dos o más términos algebraicos, éstos deben ser términos semejantes, o sea tener idéntica la parte literal. Ejemplos: 1. 2. 3.

7x – 4x + 2x – x = 4x –2ab + 6ab + 4ab – 8ab – ab = - ab 2 2 2 2 x y + 5 x y – 2x y = 4x y

4

2.- Eliminación de paréntesis Tenemos dos situaciones: que al paréntesis lo anteceda un signo positivo o un signo negativo. Si es positivo, no varían los términos al eliminar el paréntesis. Si es negativo, los términos cambian al signo opuesto que tenía. Ejemplo: 1. a + (b + c) = a + b + c 2. a – (b + c) = a – b – c 3. x + (y + z) – (x – y + z) = x + y + z – x + y – z = 2y

3.- Multiplicación de términos algebraicos Se debe multiplicar cada término del primer factor por cada término del otro factor, considerando en la parte literal la regla correspondiente a la multiplicación de potencias de igual base.

Ejemplos:

CASO I : MULTIPLICACIÓN MONOMIO POR MONOMIO 2

3 2

4 4

5xy · -7x y = -35x y

Es decir, se multiplican los coeficientes numéricos y se multiplican los factores literales que n m n +m tienen la misma base, aplicando la propiedad de potencias a  a = a

CASO II : MONOMIO POR POLINOMIO 2

2

2 2

2xy·(-5x + 4y – 3xy) = -10x y + 8xy – 6x y

Es decir, se aplica la propiedad distributiva, multiplicación el monomio con cada término del polinomio.

CASO III : POLINOMIO POR POLINOMIO 2

2

2

2

1. (3x – 2y)(4x + 5y) = 12x + 15xy – 8xy – 10y = 12x + 7xy – 10y 2

2

2

2

2. (2a – 5b)(a – 2b + 5ab – 7) = 2a – 4ab + 10a b – 14a – 5ab + 10b – 25ab + 35b. Es decir, se aplica varias veces la propiedad distributiva, dependiendo del número de términos del polinomio que multiplica.

5

PRODUCTOS ALGEBRAICOS Y FACTORIZACIÓN Tanto en la multiplicación algebraica como en la aritmética se sigue un algoritmo cuyos pasos conducen al resultado. Sin embargo, existen productos algebraicos que responden a una regla cuya aplicación simplifica la obtención del resultado. Éstos productos reciben el nombre de productos notables. Se llama producto notable a un producto que puede ser obtenido sin efectuar la multiplicación tradicional, término a término. Algunos de ellos son los siguientes:

Cuadrado del Binomio Recordemos que a la expresión algebraica que consta de dos términos se le llama binomio. El producto de un binomio por sí mismo recibe el nombre de cuadrado del binomio. El desarrollo de un cuadrado de binomio siempre tiene la misma estructura. Por ejemplo, al elevar al cuadrado el binomio “a+b”, multiplicando término a término, se obtendría:

a  b2  a  b  a  b  a  a  a  b  b  a  b  b  a 2  ab  ba  b 2  a 2  2ab  b 2 pero si comparamos la expresión “ a  b  ” con el resultado de su expansión “ a podemos observar que el resultado tiene una estructura como la siguiente: 2

2

 2ab  b 2 ”

x  y 2  x2  2 xy  y 2 donde “x” representa al primer término del binomio e “y” al segundo. Si tomamos como ejemplo al binomio “a-b”, ocurre lo mismo que para a+b sólo que en la reducción de términos semejantes se conserva el signo menos delante del doble producto, o sea:

x  y 2  x2  2 xy  y 2 En ambos casos vemos que se tiene la misma estructura diferenciándose sólo en un signo. A partir de este hecho podemos presentar la fórmula para desarrollar el producto notable cuadrado del binomio: “El cuadrado de un binomio es igual al cuadrado del primer término más (o menos) el doble del producto del primer término por el segundo más el cuadrado del segundo término” La estructura que representa esta fórmula es:

x  y 2  x2  2 xy  y 2 Algunos ejemplos: i.

 p  2b2  p 2  2  p  2b  2b2  p 2  4 pb  4b 2

ii.

3m  4n2  3m2  2  3m  4n  4n2  9m 2  24mn  16n 2

iii.

5x  y 2  5x2  .2  5x  y   y 2  25x2  10xy  y 2

6

Suma por Diferencia

Consideremos el producto de la suma de dos términos “ a  b ” por su diferencia “ a  b ”. Al desarrollar el producto:

a  ba  b  a  a  a  b  b  a  b  b  a 2  b 2

Podemos observar que el resultado tiene una estructura como la siguiente:

x  y x  y   x2  y 2 Es decir, la suma de dos términos por su diferencia es equivalente a la diferencia de los cuadrados de los términos. La fórmula para el producto notable suma por diferencia se enuncia como sigue: “El producto de una suma de dos términos por su diferencia es igual al cuadrado del primer término menos el cuadrado del segundo” Algunos ejemplos son: I. II.

 x  5 x  5  x 2  25

 a  3 a  3  a  9  2 p  6q  2 p  6q   4 p 2

2

5

III.

4

4

5

4

10

 36q 8

Multiplicación de Binomios con un Término Común

Este producto notable corresponde a la multiplicación de binomios de la forma “ a  b ” por “ a  c ”. Al desarrollar el producto

a  b a  c  a 2  b  ca  bc

se observa que la estructura es la siguiente:

x  ax  b  x2  (a  b) x  ab La fórmula para el producto de BINOMIOS CON UN TÉRMINO COMÚN se enuncia como sigue: “Cuadrado del primer término, más la suma de los términos distintos multiplicada por el término común y más el producto de los términos distintos” Ejemplos:

1)

x  3  x  2  x 2  3  2x  3  2  x 2  5x  6 ,

2)

a  8  a  7  a

3)

p  9  p  12  p2   9  12 p  9  12  p2  21p  108 ,  9  12  1    9  12  108 



2

observa que

 8  7a  8  7  a  a  56 ,observa que 

2

3  5  5  3 2  6

 8 7 1    8  7  56 observa que

7

FACTORIZACIÓN Factorizar una expresión algebraica es hallar dos o más factores cuyo producto es igual a la expresión propuesta.

Factorización de un polinomio cuyos términos tienen un factor común. Por la ley distributiva de la multiplicación, se tiene: m( x - y + z ) = mx - my + mz. Para factorizar este último polinomio basta, pues, proceder a la inversa y escribir: mx - my + mz = m( x - y + z ). 2

2

4

2 3

3 4

Ejemplo: Factorizar el binomio 3a - 6ab y el trinomio 5a bx - 15ab x - 20ab x , entonces : 1)

3a - 6ab = 3a  (a - 2b).

2)

5a bx - 15ab x - 20ab x = 5abx (ax - 3b - 4b x ).

2

2

4

2 3

3 4

3

2

Observación. Se elige, como factor común, el máximo común divisor de los términos del polinomio.

Factorización de un trinomio cuadrado perfecto. Sabemos que

(a

 b)2 = a2  2ab + b2.

Luego, se tendrá inversamente que

Ejemplo: 1) 2)

a

2

 2ab + b2=(a  b)2.

Factorizar el trinomio 2

2

2

4x + 12xy + 9y = (2x + 3y) 2 2 2 25m n – 10mn + 1 = (5mn – 1)

Factorización de la diferencia de dos cuadrados. 2

2

Sabemos que (a + b)(a - b) = a - b . 2

Inversamente, se puede escribir:

2

a - b = (a + b)(a - b)

Ejemplo: Factorizar las expresiones siguientes. 2

2

2

2

9a - 16b = (3a) - (4b) = (3a + 4b)(3a - 4b).

Factorización de la suma de dos cubos. De la igualdad

2

2

3

3

(a + b)(a - ab + b ) = a + b , se deduce inversamente que 3

3

2

2

a + b = (a + b)(a - ab + b ).

8

Ejemplo. 3

Factorizar:

3

3

3

27x + 8y = (3x) + (2y) = (3x + 2y)(9x2 - 3x·2y + 4y2) = (3x + 2y)(9x2 - 6xy + 4y2).

Factorización de la diferencia de dos cubos. Al igual que para la suma de dos cubos, de la igualdad: 3

se obtiene inversamente:

Ejemplo. 3

3

2

2

3

3

(a - b)(a + ab + b ) = a - b

2

2

a - b = (a - b)(a + ab + b ).

Factorizar :

3 3

2

2 2

2

2 2

125a - b c = (5a - bc)(25a + 5a·bc +b c ) = (5a - bc)(25a + 5abc + b c ).

Factorización por agrupación.

Sea el polinomio: supone provenir del producto de dos factores binomios.

ac + ad + bc + bd, que se

1º) Agrupando los términos de dos en dos, de manera que cada grupo tenga un factor común, se puede escribir: (ac + ad) + (bc + bd). 2º)

Como se ve, el primer grupo es divisible por a, y el segundo lo es por b ; resulta por tanto: (ac + ad) + (bc + bd) = a(c + d) + b(c + d).

3º)

poniendo el binomio c + d en factor común, se tiene: a(c + d) + b(c + d) = (a + b)(c + d).

Factorización un trinomio de la forma producto de dos binomios, tales como

x2 + bx + c. Teniendo presente que el 2

(x + a)(x + b) = x + (a + b)x + ab,

Ejemplos: a)

2

Factorizar

x + 7x + 12.

1º) El producto +12 indica que los factores son del mismo signo, y la suma +7 indica que los dos son positivos. El producto 12, con factores enteros, puede obtenerse multiplicando 12 por 1, ó 6 por 2, ó 4 por 3 . Los dos últimos factores son los buscados, pues su suma es 4 + 3 = 7. 2º)

b)

2

Se tiene, por consiguiente, que: x + 7x +12 = (x + 4)(x + 3).

Factorizar

2

x - 5x - 14.

1º) El producto -14 indica que los dos factores son de signo contrario, y, puesto que su suma es negativa, el mayor en valor absoluto debe ser negativo. El producto -14 con factores enteros, puede obtenerse multiplicando -14 por 1, ó -7 por 2. La suma de estos dos últimos factores da -5; por consiguiente, los números buscados son -7 y 2. 2º)

2

Por lo tanto: x - 5x - 14 = (x - 7)(x + 2).

9

Factorización de un trinomio de la forma

ax2 + bx + c.

2

Los trinomios de la forma ax + mx + n, proviene de la multiplicación de dos binomios, como se ve en los ejemplos que siguen: 2

2

(3x + 5)(2x + 2) = 6x + 6x + 10x + 10 = 6x + 16x +10 2

Para factorizar un trinomio de la forma ax + mx + n, búsquese dos números cuya suma 2 algebraica sea igual al coeficiente de x, y su producto sea igual al coeficiente de x multiplicado por el término independiente. Una vez hallados los dos números, sustitúyase el término mx por dos términos en x cuyos coeficientes sean dichos números, y póngase luego en factor, agrupando términos. Ejemplos: 2

a)

Factorizar el trinomio: 3x + 14x + 8.

Hay que buscar dos términos cuya suma sea 14, y su producto, 8·3 = 24. El producto 24 puede resultar de 24·1, 12·2, 8·3, ó 6·4. Los únicos factores cuya suma da 14, son 12 y 2; éstos son pues los números buscados, y se puede escribir: 2 2 3x + 14x + 8 = 3x + 12x + 2x + 8 = 3x(x + 4) + 2(x + 4). Poniendo el binomio (x + 4) en factor común, resulta: 2

3x + 14x + 8 = (x + 4) (3x + 2) Comprobación: 2

2

(x + 4) (3x + 2) = 3x + 12x + 2x + 8 = 3x + 14x + 8.

2

b)

Factorizar el trinomio: 6x - 13x -5.

Deben buscarse dos números cuya suma sea -13, y su producto, 6(-5)=-30. El producto de -30 puede resultar de -30·1, -15·2, -6·5, ó -10·3. Los únicos factores cuya suma es -13 son -15 y 2; luego: 2

2

6x - 13x -5 = 6x - 15x + 2x -5 = 3x(2x - 5) +1(2x - 5), 2 6x - 13x -5 = (2x-5)(3x+1). Comprobación: 2

2

(2x - 5)(3x + 1) = 6x - 15x + 2x -5 = 6x - 13x -5.

10

TALLER DE EJERCICIOS Nº 1 1. Al eliminar los paréntesis y simplificar términos semejantes, en la expresión dada, resulta: (10a + 4) – (6 – 9a) – (3a - 7) =

A) 10a + 8 2.

B) 4a + 3

C) 16a + 5

D) 3 + 5a

E) 10a + 5

Al simplificar 30x + [ -  (10 – 5x) – 4 -  6 – (3 + 2x)  ], resulta:

A) 37x – 9

3.

B) 37x + 9

C) 9x + 37

D) 9x – 37

E) Ninguna anterior

C) 6p

D) 4q

E) 6pq

3p + q - 3(p – q) =

A) 6p – 4q

B) 6p + 4q

4. El ancho de un rectángulo es la mitad de su largo que mide t , entonces su perímetro está expresado por :

A)

2t 

5.

B) 6t

t 2

C) 4t

a + 3b - c  3b

Si a = b = 1 y c = 2, entonces

A) 0

B)

1 3

D) 3t

C)

E)

t

t 2

?

D) 2

2 3

E) Otro valor

6. Se reparten 3x cajas de leche. En cada caja hay 3y de un kilogramo. El número de cajas de un kilogramo que se repartirán en total son:

A)

xy 3

7.

3

-4

D) 3xy

E) 9xy

D) b

E) b

-2

Al operar (b : b ) : b , se obtiene:

A) b

B) b

11

8.

C) xy

xy 9

B)

Si

x = -1,

-3

C) b

3

-2

2

3

4

¿Cuál es el valor de la expresión x – x + x ?

9

11

A) -9

B) -3

C) -1

D) 1

E) 3

9. Loreto tiene 11a – 2b estampillas. Le regala a su hermana Claudia 9a – 2b y a su primo Rodrigo a – 3b. ¿Con cuántas estampillas quedó Loreto?

A) 21a – 3b 10.

A)

12. A)

C) a – 3b

D) a + 3b

El perímetro del polígono es: A) B) C) D) E)

11.

B) 19a – 7b

E) 19a + 7b

x+y

2x + 2y + 2z x+y+z 2y + 2z x+z Ninguna de las anteriores

z-x z y

a 3 x3  a 3 x  a 2 x

Al resolver

2 2 x 5

B)

a 3 x

C)

a 3x

D)

a 2x

E) Ninguna de las anteriores

2 5

D)

11

E) Ninguna de las anteriores

2 x 3 : 2 2 x se obtiene: B)

2 1

RESPUESTAS TALLER Nº 1 1. C 2. A 7. E 8. E

C)

3. 9.

D D

4. 10.

D C

5. 11.

C D

6. 12.

E A

12

TALLER DE EJERCICIOS Nº 2 1.

A)

2.

3a  2b3a  2b  9a 2  4b 2

C)

3a 2  2b 2

El área de un cuadrado de lado

2  x  es:

A) 8  4 x 3.

B)

9a 2  4b 2

4  4x  x 2

2

C)

2

E) Ninguna de las anteriores

9a 2  12ab  4b 2

D) 4  2 x

4  x2

4  4x  x 2

E)

2

2

2

B) 5a + 3b

2

2

2

C) -3a – 3b

2

2

2

D) 5a – 8ab + 3b

2

E) -3a + 3b

3w  22  22w  32w  3 

A)

w2  12w  14

B)

w2  12w  22

D)

w2  12w  13

E)

w2  12w  14

5.

D)

(a – 2b) – (b – 2a) =

A) 5a – 3b 4.

B)

C)

w2  12w  5

2 x  z 2  x  z 2  x  z x  z  

A)

2 x 2  6 xz  3z 2

B)

2x 2  z 2

D)

2 x 2  6 xz  z 2

E)

2 x 2  6 xz  z 2

C)

2x 2  z 2

6. Si al área de un cuadrado de lado (a + b) se le resta el área de un rectángulo de lados: (a + b) y (a - b), se obtiene:

A) 2ab + 2b

2

B) 2ab

2

C) a + 2ab

2

D) a

+ 2ab +

E) 2b2

2

2b 7.

Si

A) -4 8.

Si

(a – 2b)2 = a2 + kab + 4b2,

B) -2

entonces k =

C) -1

D) 2

E) 4

ab  10 y a 2  b 2  29 , entonces el valor de a  b  es… 2

13

A) 49 9.

B) 29

C) 19

D) 9

E) No se puede determinar

En la figura, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)? I) El área de ABCD es a2 + 2ab + b2. II) El área de la región achurada es (a + b)2. III) El área de AEFD es b2 + ab. A) B) C) D) E)

10.

Sólo Solo Sólo Sólo Sólo

C a

I II III I y III II y III

b b

A

E

a

B

Si al cuadrado de (x - 3) le restamos el triple de (3 - x) resulta:

2

A) x + 3x 11.

F

D

2

2

B) x + 9x

Se definen la operaciones

3  m  p  5  m # p es

2

C) x - 9x

2

D) x - 3x + 18

E) x - 3x

a  b  a  b y a # b  a 2  b 2 . El valor de la expresión 2

A)

 2m 2  8 p 2

B)

 2m 2  2 p 2

D)

 2m 2  6mp  2 p 2

E)

 2m 2

C)

 2m 2  6mp  8 p 2

12. A una lámina cuadrada de lado 8 se le cortan cuadrados iguales de lado x en sus esquinas, como se muestra en la figura. ¿Cuál es el área de la región achurada? X X A)

8  2 x 2

X

16  x 2 2 C) 64  4 x 2 D) 16  4 x 2 E) 64  x

X

B)

RESPUESTAS TALLER Nº 2 1. A 2. B 7. A 8. D

X

X X

3. 9.

E D

4. 10.

B E

5. 11.

E C

X

6. 12.

A C

14

TALLER DE EJERCICIOS Nº 3 1. El valor que se debe poner en cuadrado perfecto, es:

A) 10xy 2.

B) 8xy

2

C) 6xy

ab  bx  ac  cx

La expresión

ab  c   xb  c 

B)

ab  c   xb  c 

D)

a  xb  c

E)

a  xb  c

2x  1

A) Sólo I

A)

El área de un cuadrado es

B)

a  7b2

C) Sólo III

7.

C)

a  7ba  7b

¿Cuál es el ancho de un rectángulo cuya área es

2 p  3q

 x  5

ba  x   ca  x 

B)

B)

C) p  q

3 p  2q

D) Sólo I y II

A) Sólo I

C)

II.

B) Sólo II

8x  1 E) I, II y III

D)

4a  7b

E)

4a  7b

4 p 2  9q 2 , si su largo es 2 p  3q ?

D)

pq

E)

2 p 2  3q 2

2 x 2  7 x  15 y el largo mide 2 x  3 . ¿Cuánto mide su

x  5

x

8x 2  2 x  1?

III.

2 x  5

D)

2 x  5

¿Cuál(es) de las siguientes expresiones es (son) factor(es) de

I.

8.

2 2

E) 10x y

a 2  14ab  49b 2 , ¿cuánto mide su perímetro?

6. Si el área de un rectángulo es ancho?

A)

C)

4x  1

II.

B) Sólo II

A) a  7b 5.

2 2

D) 8x y

¿Cuál(es) de los siguientes binomios es(son) factor(es) del trinomio

I.

4.

para completa un trinomio

es equivalente a:

A)

3.

2

x - _____ + 16y

x 1 C) Sólo I y II

x 2  4x  3 ?

III.

D) Sólo II y III

¿Cuál(es) de las siguientes expresiones es (son) factor(es) de

E) x  12

x 3 E) I, II y III

16 x 4  16 x 3  4 x 2 ?

15

4x 2

I. A) Sólo I 9.

B) Sólo I y II

C) Sólo I y III 2

2x  1

III.

D) Sólo II y III

E) I, II y III

2

(x + 1) = 12 + (x – 5) es:

La solución de la ecuación

A) -3

2x  1

II.

B) -2

C) -1

D) 2

E) 3

10. Al eliminar los paréntesis y simplificar términos semejantes, en la expresión dada, resulta: (10a + 4) – (6 – 9a) – (3a - 7) =

A) 10a + 8 11.

Si

B) 4a + 3

C) 16a + 5

D) 3 + 5a

E) 10a + 5

D) 2

E) 4

x 2  y 2  2 y x  y  4 , entonces 2 x  2 y 

A) 0,25

B) 0,5

12. Al factorizar la expresión:

C) 1

3a  3b  a  b , resulta: 2

A)

a  b3  a  b

B)

a  b3  a  b

D)

a  b3  a  b

E)

3a  ba  b

RESPUESTAS TALLER Nº 3 1. B 2. E 7. D 8. B

3. 9.

D E

4. 10.

C)

D C

5. 11.

a  b3  a  b

A C

6. 12.

B B

16

TALLER DE EJERCICIOS Nº 4 1. Si el largo de un rectángulo es (3s + 2t) y su perímetro es (10s + 6t), entonces el ancho del rectángulo está representado por:

A) 2s + t

B) 7s + 4t

C) 4s + 2t

D) 3,5s + 2t

E) 2t + s

2. Si Ignacio tenía (y - 10) años hace 10 años atrás, entonces ¿qué edad tendrá dentro de 10 años con respecto a su edad actual?

A) y - 20

B) y - 10

C) y

D) y + 10

E) 10y -10

3. Si p representa un número par, ¿cuál es la expresión simbólica que corresponde a la razón entre el sucesor par y el sucesor impar de p?

A) 1

B) p

C) p + 3

D)

p 1 p2

E)

p2 p 1

4. La diferencia entre el quíntuplo del sucesor de a y el antecesor del cuadrado del doble de b corresponde a la expresión





A)

5a  1  2b  1

D)

5a  1  2 b 2  1

2





B)

5a  1  2b  1

E)

5a  1  2b 2  1

C)

2

5a  1  2b  1

2

5. Si al doble de mi edad actual le resto el triple de mi edad hace 6 años, el resultado es mi edad actual. Si designamos por x a mi edad actual, ¿con cuál de las ecuaciones siguientes se determina ella?

A) 3(x – 6) – 2x = x

B) (3x – 6) – 2x = x

D) 2x – 3x – 6 = x

E) 2x - 3x + 6 = x

6.

C) 2x – 3(x – 6)

Si se compran 16 lápices a $ t cada uno y 12 gomas a $

t cada una, ¿cuánto se pagó 2

en total?

A) $14 t

B) $20 t

C) $22 t

D) $28 t

E) $44 t

17

7. La expresión: “para que el doble de (a + c) sea igual a 18, le faltan 4 unidades”, se expresa como

A) 2a + c + 4 = 18

B) 2(a + c) – 4 = 18

D) 4 – 2(a + c) = 18

E) 2a + c – 4 = 18

C) 2(a + c) + 4 = 18

13. Hace 3 años Luisa tenía 5 años y Teresa a años. ¿Cuál será la suma de sus edades en a años más?

A) (11 + años

3a)

B) (11 + años

2a)

C) (11 + a) años

D) (8 + años

3a)

E) (5 + años

3a)

14. Jorge compró tres artículos distintos en $ (4a + b). El primero le costó $a y el segundo $(2a – b). ¿Cuánto le costó el tercero?

A) $a

B) $7a

C) $(3a – b)

D) $(3a + 2b)

E) $(a + 2b)

15. El largo de un rectángulo es 8 metros mayor que su ancho. Si el ancho del rectángulo es x metros, la expresión algebraica que representa su perímetro, en metros, es:

A) (4x + 16)

RESPUESTAS 1. A 6. C

B) (2x + 8)

2. 7.

D C

C) (2x + 16)

D) (4x + 8)

3. 8.

4. 9.

E A

A E

E) (4x + 32)

5. 10.

C A

18

EJERCICIOS PARA EJERCITAR 1. El antecesor del número natural a) 3n

3(n – 1)

b) 3n - 1

está representado por:

c) 3n - 2

d) 3n - 4

e) 3n - 6

2. ¿Cuál de las siguientes expresiones representa un número que tiene x unidades menos que el número n ? a) n – x

b) x + n

c) x - n

d) n : x

e) x : n

3. El papá de Alvaro tenía “x” años cuando él nació. Si ahora Alvaro tiene “y” años. ¿Qué edad tendrá el papá en “y” años más? a) 2y

b) x + 2y

c) 2x + y

d) x – 2y

e) 2x - y

4. Una colonia de microbios duplica su población cada tres horas. Al mediodía la colonia tenía mil millones de microbios, ¿a qué hora de ese día tenía 500 millones? a) a las 09 AM

b) a las 10 AM

c) a las 11 AM

d) a las 01 AM

e) a las 03 AM

5. Si “y” es el antecesor de “x + 2”, entonces el doble del sucesor de “y”, expresado en función de “x” es: a) 2x + 2

b) 2x + 3

c) 2x + 4

d) 2x + 6

e) 2x + 8

6. El promedio entre 5 números naturales consecutivos es k, ¿cuál es el número central? a) k + 5 7. ¿Cuál es el valor de a) 10

b) k - 5

c) 5k n

n+n +n

n+1

d) 3k

e) k/5

d) 36

e) 64

, si n = 2 ?

b) 12

c) 14

8. La expresión que representa al enunciado “el cuadrado de la diferencia entre dos números” es: a) 2x – 2y

2

b) 2x – y

c) x – y

d) (x – y)

2

2

2

e) x – y

9. “Al número h se le suma m, dicha suma se divide por k y el resultado se multiplica por p”, se representa por: a) (h + m : k) · p

b) (h + m · p) : k

10. Si el inverso multiplicativo de a) -2

b) –10

c) h : k + m · p

d) [(h + m) : k] · p

e) h · p + m : k

d) 25/6

e) –25/6

1 es –6, entonces n = n4 c) 23/6

19 11. ¿Cuál es la expresión que corresponde al enunciado: “encontrar un número x cuyo cubo es igual a

3 de 56” ? 8

3 3 x  56 8

a)

b)

x3 

3  56 8

3

c)

 3 x    ·56 8

d)

3  x   ·56  8 

3

e)

x

3 : 56 8

12. El enunciado: “el cuadrado de la suma de dos números a y b es igual al doble de la diferencia de los cuadrados de esos números”, se expresa: 2

2

2

2

2

a) a +b =2a –b

2

b) a +b =2(a-b)

2

2

2

2

2

2

c) a +b =2(a -b ) d) (a+b) =2(a-b)

2

2

2

13. Sean a, b, y c números enteros tales que a · b = c. Si a = 3 y c = 10a, entonces el cuádruplo de b es: a) 2,5

b) 4

c) 10

d) 40

e) 120

14. “El cubo del doble de la diferencia de p y q”, se representa por: 3

3

a) 2(p – q )

3

c) (2p – 2q)

3

d) [2(p – q)]

3

e) 3[2(p – q)]

2 1 y b = , entonces el aditivo inverso de a·b es: 3 2

15. Si a =

a) –

b) 2(p – q)

1 3

b)

1 3

c)

1 6

d) –

1 6

e) 3

3

16. La expresión (2x) se lee: a) El doble del cubo de un número b) El doble del triple de un número c) El cubo del doble de un número d) El cubo del cuadrado de un número e) El triple del doble de un número 17. Dentro de 10 años Juanito tendrá el triple de la edad que tiene ahora. Entonces ahora tiene: a) 2 años

b) 3 años

c) 4 años

d) 5 años

e) 6 años

18. Siendo n un número entero, el cuociente entre un número impar cualquiera y el número par que le antecede es: a)

n n 1

b)

n2 n

c)

1

2 n

d)

1

1 2n

e)

2n  1 2n  3

19. El triple de la diferencia entre 0,6 y su inverso multiplicativo es: a) 3,2

b) 32

c) –3,2 d)

45 16

2

e) (a+b) =2(a -b )

e) -3

20. Si el largo de un rectángulo se triplica y su ancho disminuye al 50%, entonces se afirma que su área:

20

I) se hace 1,5 veces mayor II) se incrementa en el 50% III) aumenta en el 150% de estas afirmaciones son verdaderas: a) Sólo I 21. En la sucesión a) 25

b) Sólo II

c) Sólo III

d) Sólo I y II

e) I, II y III

d) 256

e) 625

0, 1, 8, 27, 64, ... el término siguiente es: b) 125

c) 216

22. El doble de un número n más su cuadrado, se expresa por: 2

a) 2n

b) 2n

3

2

c) n (n+1)

d) 3n

e) n(2+n)

23. Si a = b, ¿cuál de las siguientes expresiones no está definida? a) (a-b)

2

2

2

2

2

b) (a -b ) :(a +b ) c) (a-b):(a+b)

d) (a+b):(a-b)

e) a:b

24. Un objeto que costó $n se vende perdiendo el 25% del costo. La pérdida es: a) $ n

b) $ 2,5n

c) $ 0,25n

d) $

n 25

e) $

n 75

25. Si k < 0, ¿cuál de las siguientes expresiones es mayor? a) 0,56k

b) 0,09k

c) 0,5k

d) 1,5k

e) 0,1k

26. Gasto $ 350 lo cual equivale a la cuarta parte del dinero que tengo. Me quedan: a) $ 1.400

b) $ 700

c) $ 1.050

d) $ 875

e) $ 87,50

27. ¿Cuál de los siguientes números es divisible por 2, por 3 y por 7, a la vez? a) 63

b) 120

c) 237

d) 840

e) 2.370

28. El producto de los términos de una fracción es 24 y la fracción reducida vale 2/3. El valor de la fracción es: a)

3 2

b)

4 6

c)

3 4

d)

3 8

e)

8 3

29. En un total de T candidatos a un examen de admisión; C candidatos han sido rechazados. ¿Qué porcentaje de candidatos ha sido rechazado?

a) 100CT

b)

100C T

c)

100T C

d)

T  100C T

e)

 C 1001    T

30. Un animal corre 100 m. en 0,2 minutos. ¿Cuánto se demoraría en correr 10 m.? a) 2 seg.

b) 0,01 min.

c) 1,2 seg.

2 es: 3 1 c) 33 3

d) 20 seg

e) 0,2 seg

31. La expresión en porcentaje equivalente a a) 23

b)

2 3

32. La expresión equivalente a 0,2 : 0,02:

d)

200 300

e)

66

1 3

21

a) 1

b) 2

c) 10

d) 0,1

e) 100

33. La matrícula de un colegio es de 2.000 alumnos y cierto día asisten 1.900. El porcentaje de inasistentes es: a) 100

b) 20

34. ¿Cuál es el valor de a)

3 8

c) 19

a 1 3 si a = yb=- ? b 2 4 2 3 b) c) 3 2

d) 5

e) 0,5

2 3

d) -

e) -

3 2

35. ¿Cual de los siguientes números es primo? a) 1

b) 9

36. En la proporción a)

c) 21

5 : 7 = (x + 2) : 3

1 7

b)

d) 29

e) 51

el valor de “x” es: c) 3

11 5

d) 7 e)

5 11

37. La diferencia entre el 60% de un número y 1/3 del número es 36. Entonces el número es: a) 45

b) 90

c) 120

d) 135

e) 240

38. Si el 25% de c es d y el d% de 80 es 16. Entonces el valor de c es: a) 4

b) 16

39. En la igualdad

c) 20

d) 40

e) 80

3x y = , si “x” disminuye 25% entonces “y” : 4 5

a) Disminuye 25% b) Disminuye 75% c) Aumenta 25% d) Aumenta 75% e) No varía 5

40. Si se triplica la expresión 3 se obtiene: 6

a) 3

41. Si a los

b) 3

15

5

c) 9

6

d) 9

e) 9

15

5 de un barril se agregan 36 litros, este se llena. ¿Qué capacidad tiene el barril? 9

a) 63 litros

b) 64 litros

c) 72 litros

d) 90 litros

e) 81 litros

42. Los ángulos de un triángulo son proporcionales a los números 1; 2 y 3. El valor de estos ángulos es: a) 10º, 20º y 30º

b) 20º, 40º y 60º

43. El interés de $m al

a%

c) 50º, 40º y 90º

anual en tres años es:

d) 90º, 60º y 30º

e) 80º, 40º y 60º

22

a)

3am 100

100am

b)

3

44. ¿Qué porcentaje es 0,04 de a) 20%

1 2

d)

3am

c) 0,2%

1 , luego 8

5 32

b)

100

3a 100m

e)

3m 100a

1 ? 5

b) 2%

45. La cuarta parte de “a” es a)

c)

d) 0,02%

e) 0,002%

a + 0,25a = ? c)

5 4

d)

5 128

e)

5 8

46. El 20% de un número es igual al 30% de otro número. ¿Cuántas veces el primer número es mayor que el segundo? a) 0,66 veces

b) 1,6 veces

c) 1,5 veces

d) 10 veces

e) 6 veces

47. La cuarta parte de la mitad de un número es igual a la cuarta parte de 8. El número es: a) 8

b) 2 m

m

48. Se define (a, b) = ab , a) 24

c) 16

d) 4

e) 6

d) 72

e) 144

2

entonces (3, 4) = ?

b) 36

c) 48 2

49. Los 8/9 de la mitad del 50% de un sitio son 180 m . Entonces todo el sitio mide: a) 40 m

2

b) 400 m

2

c) 810 m

2

d) 340 m

2

e) 80 m

2

50. ¿Qué número tiene 2 unidades más que “x” ?

a) 2x 51.

b) x + 2

2

c) x - 2

d) 2 - x

e) x

c) 33

d) 22

e) 11

c) 10 veces

d) 2/5 veces

e) 5/2 veces

c) 2/5

d) 9/2

e) 2

3 1 de 44 es igual a de: 4 3 a) 99

b) 44

52. ¿Cuántas veces cabe a) 2 veces 53. ¿Cuál es el doble de a) 5/2

2 en un entero? 5

b) 5 veces

1 2 ? 2 b) 5

54. El cuádruplo de (a +2) es 20. ¿Cuál es la mitad de (a+1)?

23

a) 2 55. Si

b) 4

t = -2;

3

s = t - 2,

a) 6

c) 7

d) 14

t s t

entonces el valor de

b) 4

c) -2

e) 16

es: d) -4

e) -6

56. El semiperímetro de un cuadrado es 12a. ¿Cuánto mide el 50% del área de dicho cuadrado? a) 18a 57. Una llave arroja

b) 36a

16

2

2

c) 9a

2

d) 18a

e) 36a

1 1 litros de agua en 1 minuto. ¿Cuántos litros arrojará en 45 2 2

segundos? a) 8 b)

8

1 2

c)

8

1 4

d)

4

1 2

e)

4

1 4

58. Una micra equivale a 0,001 mm. Entonces 1250 micras equivalen a:

a) 1,25 mm

b) 10,25 mm

c) 10,5 mm

d) 12,50 mm

e) 125 mm

59. Un tambor tiene 70 litros de parafina y se le extraen r veces t litros. ¿Cuántos litros se le deben extraer de nuevo para que le queden 20 litros? a) 50rt

b) rt - 50

c) 50 - rt

e) (50 – rt) : r

d) rt - 20 2

60. Si la diferencia entre el 75% y el 50% del área de un cuadrado es 16 cm , entonces el perímetro del cuadrado es: a) 8 cm

b) 16 cm

c) 32 cm

d) 64 cm

e) 128 cm

RESPUESTAS TALLER PARA EJERCITAR 1. D 11. B 21. B 31. E 41. A 51. A

2. A 12. E 22. E 32. C 42. D 52. E

3. B 13. D 23. D 33. D 43. A 53. B

4. A 14. D 24. C 34. B 44. A 54. A

5. C 15. A 25. B 35. D 45. E 55. D

6. E 16. C 26. C 36. A 46. C 56. D

7. C 17. D 27. D 37. D 47. C 57. C

8. E 18. E 28. B 38. E 48. E 58. A

9. D 19. C 29. B 39. A 49. C 59. C

10. A 20. D 30. C 40. A 50. B 60. C