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Clase 03 : Medidas de Tendencia Central Germán Elías Pomachagua Pérez

[email protected] Material de Clases © Germán Pomachagua Perez 21-May.-19

MEDIDAS DE RESUMEN • Entre las medidas que permiten resumir información proveniente de una población, podemos considerar las medidas de posición, medidas de dispersión y medidas de forma, como se resume en el siguiente diagrama. Material de Clases © Germán Pomachagua Perez 21-May.-19

MEDIDAS DE RESUMEN

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MEDIDAS DE RESUMEN

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Medidas de Tendencia Central • • •

Estas medidas tienden a ubicarse en el centro del conjunto. Proporcionan un valor simple y representativo, que resume un gra volumen de información. Las mas importantes son: • Media Aritmética • Promedio Ponderado • Media Armónica

• Moda • Mediana

Se le denomina también media y comúnmente se le conoce como promedio. Se denota: n xi  X  i 1 media muestral n N



x i 1

N

i

media poblacional

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Media Aritmética 

x

población x



x

x  muestra x n

N

N

x  x  ...  x   N N i

i 1

x n

1

2

N

x

i

i 1

n

x  x  ...  x  n 1

2

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n

Procedimiento de Calculo I. Datos sin agrupar Ejemplo1: Los siguientes datos corresponden a las notas de 6 alumnos de un curso de matemáticas x1 x2 x3 x4 x5 x6

6

7

8

x

12

15

17

n

x

i

i 1

n

x

x x x x x x  n 1

2

3

4

5

6

n

x

i

i 1

n

6  7  8  12  15  17 65    10.83 6 6 Material de Clases © Germán Pomachagua Perez 21-May.-19

Procedimiento de Cálculo Ejemplo 2: Sea el tiempo en minutos que se demoran en instalar un software un grupo de 10 estudiantes 1.7 2.8 3.2 3.4 5.3 5.9 6.2 7.2 9.3 83 • La media aritmética 10

n

x 

x i 1

n

i

x

x i 1

i

10 128 x  12.8 10

Los estudiantes se demoran en promedio12.8 minutos en instalar un software Material de Clases © Germán Pomachagua Perez 21-May.-19

Procedimiento de Cálculo II. DATOS AGRUPADOS a) Sin intervalos x

m

x i 1

i

fi

n

EJEMPLO1: Cantidad de cigarrillos consumidos por un fumador durante una semana

m

x

x f

i i

i 1

n

140   20 7

Interpretación: La persona fuma en promedio 20 cigarrillos por día

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En SPSS ir a Datos / Ponderar casos.. Luego a Analizar /Estadísticas descriptivas / Frecuencias

En Estadísticos elegir Media Resultando

cantidad

Estadísticos cantidad N Válidos Perdidos Media

Válidos

7 0 20,00

18 19 20 21 22 Total

Frecuencia 1 2 1 2 1 7

Porcentaje 14,3 28,6 14,3 28,6 14,3 100,0

Porcentaje válido 14,3 28,6 14,3 28,6 14,3 100,0

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Porcentaje acumulado 14,3 42,9 57,1 85,7 100,0

Procedimiento de Cálculo m

b) Con intervalos Li [39

[160 - 180> [180 - 200>

Ingresos $ [60 - 90> [90 - 120> [120 - 150> [150 - 180> [180 - 210> [210 - 240> [240 - 270>

Luego

SECCION A Frecuencia fi 30 80 40 10 4 1 165

X´i 90 110 130 150 170 190

SECCION B Frecuencia fi X´i 10 75 20 105 50 135 20 165 15 195 10 225 4 255 129

X 

X´i*fi 2700 8800 5200 1500 680 190 19070 X´i*fi 750 2100 6750 3300 2925 2250 1020 19095

19070 XA   115.57 165

19095 XB   148.02 129

165(115.57)  129(148.02)  129.81 165  129

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Ejemplo2: Suponga que en el año 2014 los empleados de una empresa industrial tienen salario promedio de $2,500 y para el año 2015 se les hizo un aumento de 15 %. Además se les da una bonificación mensual de $50 por aniversario de la empresa. ¿Cuál es el salario promedio del año 2015? Solución: Suponga que X es la variable salario del año 2014, luego el salario promedio se denota por X  2,500

Ahora sea el salario del año 2015 dado por la variable Y que es el resultado de la transformación de la variable Yi=Xi+0.15Xi+50=1.15Xi+50

Y  1.15 X  50 Y  1.15(2,500)  50 Y  2,875  50  2,925 Material de Clases © Germán Pomachagua Perez 21-May.-19

Ejemplo3: Consideremos que el salario promedio pagados en Setiembre por la empresa C a sus 4 trabajadores es 15 soles. Suponga que a partir del mes de Octubre, estos trabajadores recibirán un aumento. Se dan las siguientes alternativas:

a) Un aumento de 1.50 soles b) Un aumento de 12% c) Un aumento de 25% y un descuento (aporte a su gremio) de 1.10 soles ¿Cuál de las tres alternativas conviene a los trabajadores? ¿Cuál es el monto adicional que desembolsará la empresa? Solución: Sea X el salario en Setiembre con X  15 Y salario de Octubre entonces

a) Yi  X i  1.50

Y  X  1.50  15  1.50  16.50

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b) Yi  X i  12% X i  X i  0.12 X i  1.12 X i Y  1.12 X  1.12(15)  16.8

c) Yi  ( X i  25% X i )  1.10  1.25 X i  1.10

Y  1.25 X  1.10  1.25(15)  1.10  17.65

 La alternativa que conviene a los trabajadores es la tercera donde el salario promedio es S/. 17.65

 El monto adicional que pagará la empresa a partir de octubre es (17.65-15)=2.65. es decir 2.65*4 = S/. 10.60 Material de Clases © Germán Pomachagua Perez 21-May.-19

MEDIA GEOMETRICA

La media geométrica (MG) de un conjunto de n números positivos se define como la ra n-ésima del producto de los n valores. Su fórmula es:

𝑮=

𝒏

𝒙𝟏 𝒙𝟐 𝒙𝟑 … 𝒙𝒏

La media geométrica se usa para encontrar el promedio de porcentajes, razones, índic o tasas de crecimiento. Tiene la ventaja de que no es tan sensible como la media a lo valores extremos

Ej1: Las utilidades obtenidas por una compañía constructora en cuatro proyecto fueron de 3, 2, 4 y 6%, respectivamente. ¿Cual es la media geométrica de la ganancias?

𝑮=

𝟒

𝟑 𝟐 𝟒 𝟔 = 𝟑. 𝟒𝟔𝟒 = 𝟑. 𝟒𝟔%

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Media Armónica (H)

𝒏 𝑯= 𝟏 𝟏 𝟏 + +⋯ 𝒙𝟏 𝒙𝟐 𝒙𝒏

Suele utilizarse principalmente para calcular la media de velocidades, tiempos o e electrónica

Un tren realiza un trayecto de 400km. La vía tiene en mal estado que no permitía correr. Los primeros 100 km los recorre a 120km/h, los siguientes 100km la vía está e mal estado y va a 20km/h, los terceros a 100km/h y los 100 últimos a 130km/h. Pa calcular el promedio de velocidades, calculamos la media armónica

4

4𝑥7800 H= = = 52.611 1 1 1 1 593 + + + 120 20 100 130 Material de Clases © Germán Pomachagua Perez 21-May.-19

MEDIANA (Me):

• Sea x1, x2, ....xn un conjunto de n datos ordenados la mediana es aquel valor que divide en dos parte al total de observaciones. x1 ≤x2≤…....≤xn I.

Mediana para datos no agrupados

si n es impar  X n 1  2  Me   X n  X n 1  2 2 si n es par  2 Material de Clases © Germán Pomachagua Perez 21-May.-19

Procedimientos de Cálculo • Sean las edades: 10, 18, 25, 32, 12, 5, 7, 7 Solución: • Ordenando los datos de menor a mayor 5 7 7 10 12 18 25 32 • Como n = 8, que es un número par, utilizamos la expresión X X Me 

n 2

n 1 2

2



10  12  11 2

Esto significa que el 50% de las personas tiene entre 5 y 11 años y el 50% restante tiene entre 11 y 32 años. Material de Clases © Germán Pomachagua Perez 21-May.-19

NOTA 1. Los valores extremos no tienen efecto importante sobre la mediana, lo que si ocurre con la media aritmética. Ejemplo: Sean los datos 4,5,6,7,8 luego, la media aritmética y la mediana son X M 6 e

Pero si en lugar de 8 fuera 80 entonces la media sería Me =6 pero la media aritmética

X  20.4

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Ejemplo: Hallar la mediana de las siguientes datos xi 1 2 5 7 10 13

fi 3 4 9 10 7 2

Fi 3 7 16 26 33 35

Como n=35 es impar

M e  X n 1  X 18  7 2

n = 35

xi 1 2 5 7 10

fi 3 4 9 10 6 n= 32

Fi 3 7 16 26 32

Como n=32 es par Xn  Xn Me 

2

2

2

1

X 16  X 17 5  7   6 2 2

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II. Mediana datos agrupados n   F  i 1   Me  Li  Ci  2 fi     

/

n  Fi 1 2

Donde: Li n/2 Fi-1 Ci fi

= Limite Inferior del intervalo central = Mitad de la muestra = Frecuencia Acumulada anterior a la posición del intervalo central. = Amplitud del Intervalo central. = Frecuencia Absoluta de la posición del Intervalo Central.

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Calcular la mediana Me de la siguiente distribución: