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• Jc Domínguez

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ESTÁTICA

Vectores Cartesianos Un vector esta definido por la suma de componentes en los respectivos ejes x, y, z y se conocen como vectores cartesianos. El vector también puede escribirse como una magnitud y una dirección dada por su vector unitario.

z

a  ax i  a y j  az k Vector cartesiano.

a

k

uˆa

j

ax i x

az y

a  a uˆa Vector, Magnitud y dirección.

ay M. en C. Emmanuel Ortega Martínez.

ESTÁTICA

Vector Unitario Un vector unitario tiene una magnitud igual a la unidad |u|=1, está definido como el vector dividido entre su propia magnitud, éste vector apunta en la misma dirección que su vector original. a

a uˆa  a

Donde:

a  ax2  a y2  az2

uˆa

a

uˆa  1

Por lo tanto las componentes del vector unitario son:

a  ax   a y uˆa     i   a a a

  az  j    a

  k  M. en C. Emmanuel Ortega Martínez.

ESTÁTICA

Ejemplos

Determine la magnitud de los siguientes vectores de fuerza y determine su dirección calculando su vector unitario.

F1  40i  20 j  30k

F2  20i  30 j  10k

dfw M. en C. Emmanuel Ortega Martínez.

ESTÁTICA

Dirección de un vector cartesiano. La dirección de un vector 3D también puede expresarse en términos de los ángulos coordenados de dirección    los cuales varían entre 0 y 180°.

z

 Es el ángulo que va desde el eje x(+)

a

 

hasta el vector.

 Es el ángulo que va desde el eje y(+)



hasta el vector.

y  Es el ángulo que va desde el eje z(+) hasta el vector

x M. en C. Emmanuel Ortega Martínez.

ESTÁTICA

Cosenos Directores. Para determinar    considere las proyecciones del vector a sobre los ejes x, y, z. Cada proyección se calcula con el coseno del ángulo, por lo tanto tenemos:

z

ax cos   a

a

 

cos  

 y

x

ay a

Cosenos Directores

az cos   a swf M. en C. Emmanuel Ortega Martínez.

ESTÁTICA

Vector unitario y los cosenos directores. Recordando la definición de vector unitario, podemos sustituir los cosenos de los ángulos   

a  ax   a y uˆa     i   a a   a ax cos   a

cos  

ay a

  az  j    a

  k 

az cos   a

Por lo tanto podemos escribir el vector unitario término de los cosenos directores.

uˆa   cos   i   cos   j   cos   k M. en C. Emmanuel Ortega Martínez.

ESTÁTICA

Ejemplos Determine los ángulos coordenados de dirección, y el vector unitario en término de los cosenos directores, de los siguientes vectores.

F1  40i  20 j  30k

F2  20i  30 j  10k

M. en C. Emmanuel Ortega Martínez.

ESTÁTICA

Identidad trigonométrica de los cosenos directores Partiendo de la definición del vector unitario ua en término de los cosenos directores, podemos obtener una relación trigonométrica útil para encontrar un ángulo coordenado desconocido.

uˆa   cos   i   cos   j   cos   k Recordando que la magnitud de un vector unitario es uno…

uˆa  cos 2   cos 2   cos 2   1 Elevando al cuadrado ambos lados de la ecuación tenemos

cos 2   cos 2   cos 2   1 M. en C. Emmanuel Ortega Martínez.

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Ejemplo 1 Exprese la fuerza F como vector cartesiano y en término de los vectores unitarios i j k 100i +100j +141.4k

M. en C. Emmanuel Ortega Martínez.

ESTÁTICA

Ejemplo 2 Determine la magnitud y los ángulos coordenados de dirección de la fuerza resultante que actúa en el anillo FR= 191lb;  =74.8°;  =102°;  =19.6°

M. en C. Emmanuel Ortega Martínez.

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Ejemplo 3

FR

z

Determine la magnitud y los ángulos directores de la fuerza resultante FR que actúa sobre el anillo, si F1= {60j +80k}lb F2 y F2= {50i -100j +100k}lb. FR=191lb;  =74.8°;  =102°;  =19.6°

F1 x-z y-z

y x-y

x

M. en C. Emmanuel Ortega Martínez.

ESTÁTICA

Ejemplo 4 Exprese la fuerza F como un vector cartesiano F= 35.4i – 35.4j + 86.6k

M. en C. Emmanuel Ortega Martínez.

ESTÁTICA

Ejemplo 5 Exprese la fuerza F1 y F2 mostrada en la figura como vectores cartesianos en términos de los vectores unitarios i, j, k. y los ángulos directores.

F1  100lb

z

F1= 35.4i – 35.4j + 86.6k; F2= 106i + 184j – 212k

60

45

y 100

z

60

z

30

y

x

45

x F2  300lb

100cos60 100cos60 45

y

x x

M. en C. Emmanuel Ortega Martínez.

ESTÁTICA

Ejemplo 6 Dos fuerzas actúan sobre el gancho, Especifique los ángulos directores de F2 de modo que la fuerza resultante FR actúe a lo largo del eje “y” positivo y tenga una magnitud de 800lb  =108°;  =21.8°;  =77.6°

M. en C. Emmanuel Ortega Martínez.