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• Celia Gomez

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CAPiTULO

" DE RECURSOS ADMINISTRACION

E

n los capftulos anteriores se ha supuesto que los recursos (es decir, trabajadores, maquinas, dinero) estan disponibles en cantidades ilimitadas. Dado que esta suposicion en general no es cierta, los administradores de proyectos deben saber como administrar recursos limitados; de hecho, administrar recursos limitados puede ser el mayor reto para un administrador de proyectos. En este capitulo se estudian los problemas relacionados con recursos limitados. Como motivacion del tema comenzamos por presentar el "pequefio caso", el dilema de la cita. El caso del dilema de la cita esta disefiado para ilustrar algunos puntos importantes relacionados con la definicion de las tareas y con el hecho de que un proyecto puede tener "restricciones de recursos". En el caso del dilema de la cita, el recurso Iimitado es Jim y es claro que el es el iinico disponible. Observe que hay otros recursos en este caso, pero no estan restringidos; por ejemplo, se supone que Jim dispone de tantos homos como necesite.Los recursos agregan restricciones de precedencia a un proyecto; como Jim solo puede realizar uya tarea a la vez, las tareas asignadas a Jim deben realizarse en secuencia. Este caso ilustra el imp~ante punto de que el concepto de la ruta critica, como se estudi6 en el capitulo 4, debe modificar e de manera significativa cuando se tienen en cuenta los recursos. Existen dos problemas generales asociados con la a rninistracion de recursos: 1) el problema de nivelaci6n de recursos y 2) el problema de asignaci6n e recursos. El problema de nivelacion de recursos se refiere a la programacion de actividades no criticas de manera que se minimicen los picos de requerimientos de recursos y se suavice 0 balancee la utilizaci6n de recursos durante la vida del proyecto. Por otro lado, el problema de asignaci6n de recursos se refiere al caso en que existen recursos suficientes para terminar un proyecto dentro del tiempo crftico. Suponiendo que no se dispone de recursos adicionales, el administrador del proyecto desea encontrar el tiempo (0 costo) minimo necesario para terminar el proyecto dentro de sus restricciones de recursos.

EL PROBLEMA

DE NIVELACION

DE RECURSOS

Para ilustrar el problema de nivelaci6n de recursos, considere el problema representado por la red de precedencias AON en la figura 8.1. Como se indica, la ruta crftica es INICIO-A-D-G-FIN con un tiempo de ejecucion del proyecto (definido por la ruta crftica) igual a 13 semanas. Este ejemplo considera solo un recurso, denotado de manera generica por "trabajadores"; sin embargo, este analisis puede extenderse con facilidad a multiples recursos repitiendo el enfoque para cada recurso. En el problema de nivelacion de recursos, el administrador desea programar las tareas no criticas para minimizar el rnimero maximo de trabajadores que la compafiia debe contratar durante el proyecto (es obvio que las tareas crfticas no se pueden atrasar sin retrasar el proyecto). Para entender mejor c6mo programar las tareas no criticas, se puede examinar primero que ocurre si la administradora programa todas las tareas no criticas para que inicien en su tiempo de inicio mas cercano. La figura 8.2 presenta una hoja de calculo que indica el mimero de trabajadores necesarios cada semana para el programa de inicios cercanos, con el histograma que se obtiene. Observe que las tareas A, D Y G son crfticas.

175

176

CAPiTULO

8

ADMINISTRACION

DE RECURSOS

• Jim Gantt no esta poniendo atencion a su c\ase de contadurfa; esta pensando en su cita de esta noche. Va a preparar una cena para alguien especial en su departamento y esta preocupado con la idea de que tal vez no tenga suficiente tiempo para dejar todo listo esa noche. Su c\ase de contaduna dura hastaIi!! 5:30 PM y su invitada llegara alas 7:00 PM en punto; su invitada es muy puntual y Ie disgu ta que 10 dernas lIeguen tarde. Jim sabe que necesitara 8 minutos para caminar hasta su casa y a1rededor de I horn 20 minutos para lavar su ropa y ve tirse. Fuera de eso, espera poder hacer todas las otras tareas antesde las siete. Jim hace una lista de 10 que tendra que hacer hasta las siete y del tiempo que piensa Ie loman! cada una. La lista de Jim es la siguiente: Caminar hasta la casa Lavar la ropa Limpiar el pi 0 del comedor Pedir a su amigo el album de los Beatles Hacer la cama Ir por el vino Ir por helado Descongelar el pastel de queso Homear la papas Preparar y cocinar el salmon Preparar y calentar los pane Hacer la ensalada Poner la mesa

TOTAL

8 minutos 1 hora 20 minutos 35 minutes 5 minutos 2 minutos 10 minutos 3 minutes 42 minutes 55 minutos 24 minutos 15 minutos 10 minutos 5 minutos 4 horas 54 minutos

Jim e da cuenta de que no necesitara casi cinco horas para preparar todo, ya que algunas actividades tienen tiempos de espera que pueden hacerse productivos. Sin embargo, duda que casi cinco horas puedan condensarse a 90 minutos. Lavar la ropa Ie lie va 5 minutos para juntarla y lIevarla aJ cuarto de Javado de su edificio, 25 mrnutos lavarla, 3 minutos pasarla a la secadora, 40 secarla y 7 recogeria, doblarla y vestir e. Jim cree que necesitara 5 minutos para pasar por el departamento de su amigo para que Ie preste el album de los Beatles si 10 hace al regresar del cuarto de lavado (si no, Ie tornara mas tiempo). Tarnbien cree que sera mejor ir por el vi no y el helado en un solo viaje aJ centro comercial, para ahorrar tiernpo y gasolina. Para el piso del comedor necesitara 10 minutos de limpieza y 25 para que se seque. De congelar cI pastel Je llevara 40 minutes, J minute mas para sacarlo del congelador y otro para ponerlo en el refrigerador. Dentro de Jos 55 minutes para cocer Jas papas, Jim deja 4 para Javarlas y untarlas con mantequilla. Como compr6 eJ salm6n entero, piensa que necesitara 9 minutos para lavarlo, cortarlo en filetes y sazonarlo con especias, y otros 15 minutos para cocerlo. Necesitara 5 rni nutos para untar mantequilla al pan, sazonarlo y envolverlo en papel alurninio, y 10 minutos para calentarlo. Como quiere servir la cena alas 7 en punto, Jim quiere que toda la comida caliente este lista justa antes de que su invitada lIegue (Jim deja dos minuto mas para retirar toda la cornida caliente de la estufa y coJocarla en platones). Fuera de e to, toda la cornida debe prepararse tan tarde como sea POSIble. A Jim no Ie preocupa salir de su departamento mientras la comida se cocina. Jim sabe que tiene uficiente espacio de homo y homillas en la cocina, de manera que los tiempos de cocimiento se pueden traslapar, pero no puede poner la mesa mientras el piso del cornedor este hiimedo. Son las 4:20 y Jim e ta pensando dejar la clase en Ja pausa que habra en diez minutes, Aunquc considera u cita de esta noche mucho mas importante que su cJase de contadurfa, se acuerda de 10 mal que sali6 en el examen anterior. De ser posible, Jim quisiera quedarse toda la cJase y terminar todo 10 que tiene que hacer antes de su cita de las siete. (colltimia) *Este caso fue escrito par Jack Eisenhauer.

EL PROBLEMA

DE NIVELACI6N

DE RECURSOS

177

Preguntas

1. i,Debe Jim dejar la clase en la pausa? Si no, i,tendni suficiente tiempo para todas las tareas que debe hacer antes de las siete? 2. Dibuje un diagrama de la red que describa el orden en que Jim podra realizar todas sus tareas en el menor tiempo total. i,Cwiles son [as actividades criticas? 3. Prepare un diagrama de Gantt que i1ustre el tiempo de holgura de cada actividad. 4. i,Puede pensar en una formulaci6n blema de Jim?

de programaci6n

maternarica

que ayude a resolver el pro-

6 trabajadores

5 trabajadores FIGURA 8.1

Ejemplo

de nivelaci6n

de recursos

Como se indica, tanto en la hoja de calculo como en el histograma, el mayor ruimero de trabajadores necesarios en una semana es 21 (semana 4). En las semanas 3 y 5, el mimero de trabajadores necesarios se reduce a 16. El histograma de frecuencias generado por Microsoft Project para el problema de programaci6n con los tiempos mas cercanos se da en la figura 8.3. Observe la linea punteada que indica el dia/hora actual y la linea horizontal que indica la restricci6n en el mimero de trabajadore disponibles. (,Que pasa si el administrador del proyecto programa todas las tareas no crfticas en su tiempo de inicio mas lejano? El resultado de esta programaci6n se muestra en la figura 8.4; como se ve, el mimero maximo de trabajadores necesarios en una semana se reduce ahora a 16. En otras palabras, el programa que usa los tiempos de inicio mas lejanos representa una mejor utilizaci6n de los trabajadores desde la perspectiva de reducir los requerimientos maximos (picos).

178

CAPITULO

8

ADMINISTRACI6N

DE RECURSOS

Semana

2

3 7

Tarea A

7

7

Tarea B

3

3

Tarea C Tarea 0

4

5

6

7

8

9

10

11

12

2 10

2 10

2 10

2 10

2 10

2

2

2

2

4

6

6

6

6

6

8

8

8

8

6

Tarea E

4

4

Tarea F

5

5

Tarea G Total de trabajadores requeridos cada semana

10

10

21

16

12

12

16

Programa II)

12

13

de inicio cercano

25

0

'0 'I: ell

::I

20

tT

e II)

~ 0

-I

-

15

'0 III

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4

5

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-

-

-

~

-

6

7

8

-

-

2

3

Tarea G Tarea F

•

Tarea E

•

Tarea B TareaA

o

-

'----

•

o Tarea 0 o Tarea C

-

-

o

9

10

11

12

13

Semana

FIGURA 8.2

Programaci6n

mas cercana

de las tareas

no criticas

del ejemplo

Observe que la cantidad total de semanas-trabajador necesarias en la programaci6n con fechas de inicio mas cercanas 0 mas lejanas es 147 semanas-trabajador (se encuentra sumando el mimero de trabajadores necesarios cada semana durante la vida del proyecto). EI mirnero de semanas-trabajador es el rnismo, independientemente de la programaci6n de las tareas no criticas, l.Existe otro programa que reduzca a menos de 16 el mimero maximo de trabajadores necesarios en una semana? Para investigar esta posibilidad, un administrador de proyectos puede reprogramar las tareas no criticas en los tiempos que se encuentran entre sus respectivos tiempos de inicio mas cercano y mas lejano. Si empieza con el programa de inicios mas cercanos de la figura 8.2, es claro que s610 debe reprogramar las tareas C, E Y F (como la tarea D es critica, no puede retrasarse sin retrasar la terminaci6n del proyecto). La tare a F tiene la holgura total mas grande (12 - 3 = 9 semanas), ya que puede iniciar hasta la semana 12. Sin embargo, el requerirniento de 16 trabajadores es el resultado de programar las tareas C, DyE en paralelo; un analisis cuidadoso de este problema indica que estas tareas deben traslaparse por 10 menos una semana. Entonces, parece que el administrador de proyectos no puede reducir a menos de 16 el requerimiento maximo de trabajadores sin retrasar la terminaci6n del proyecto despues de la semana 13. Los histogramas de frecuencia presentados en las figuras 8.2, 8.3 y 8.4 se conocen tambien como perfiles de recursos 0 perfiles del horizonte. Cuando se comparan con la utilizaci6n real de

EL PROBLEMA

I

Dic 17. '00

Dic 24, '00

25 --

I:

I: I: 20

~

DE RECURSOS

M

M 2

L

_

:

,

,

,

,

: :,

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-+----~I------------~;------------------~-------------------'~------,

15

I I

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10

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10

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10

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,,

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5 ---------

I-

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10 ---------

179

Ene 7, '01

Dic 31, '00

s ________________________

DE NIVELACI6N

10 10 10 10 10

~ 10

10

16

16

,

16

'- '- '16

16

21

21

21

Trabajadores Sobreasignados Asignados

FIGURA 8_3

( \

_ _

Histograma

de frecuencias

de Microsoft

Project (programa

de inicios

mas cercanos)

recursos, pueden ser utiles como dispositivos de comunicacion y control, y tambien como herramientas de planeacion. Casi todos los paquetes de software para administracion de proyectos (AP) disponen de estos histograrnas. El problema de la nivelacion de recursos es importante por muchas razones. Un requerimiento de trabajadores "nivelado" puede minimizar los costos de contratacion y de despido, que pueden ser sustanciales. Un presupuesto "nivelado" puede maximizar la ganancia de intereses sobre el dinero no gastado. EI problema de nivelar recursos es especialmente importante en entomos de manufactura repetitiva. Por ejemplo, considere un caso en el que el proyecto de la figura 8.1 representa el ensarnble de un producto que debe fabricarse en una linea de ensarnble especializada, digamos, en ciclos de 13 semanas. En este caso, los trabajadores representan el mimero de personas necesario en esa linea. Si el administrador del proyecto usa el prograrna de inicios cercanos, tendra que contratar un equipo de 21 personas; por otro lado, si usa el programa de inicios lejanos debera contratar solo 16 personas. Comprender la naturaleza del problema de nivelar recursos puede permitir al administrador de proyectos visualizar un esquema que con men os de 16 personas (por ejemplo, contratando trabajadores de tiempo parcial 0 traslapando el trabajo en copias multiples del producto). Esto se vera con mas detalle en el problema para estudio 8.2 al final del capitulo. El problema de nivelar recursos suele ser complicado, por supuesto, debido a la existencia de varios recursos que se deben nivelar al mismo tiempo. Como es de esperarse, programar las tare as

180

CAPITULO

8

ADMINISTRACION

DE RECURSOS

Semana

7

Tarea A

2

3

7

7

Tarea B

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

3

3 2

2

2

2

2

2

2

2

2

10 4

10 4

10 4 6

6

6

5 6

5 6

8

8

8

13

13

Tarea C Tarea 0

10

10

Tarea E Tarea F Tarea G Total de trabajadores necesarios cada semana

7

7

7

13

15

Programa

II> 0 'I:

18

'"

16

II>

Q)

I: II>

14

•..

12

"'"

10

Q)

0

'Cij' .0

..'•.." Q)

"2 Q)

E

'::1 Z

8 64 -

16

16

mas lejano

~_-:I=I ••

Q)

u

16

r-e-

2-

f---

r-

r+-

-

f--

-

c---

-

f--

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-

-

f---

-

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-

f---

-

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-

f---

-

f--

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f--

I---

f--

-

-

e---l:'

3

4

I

II

0 2

-

Tarea G

• o Tarea F • Tarea E o Tarea 0 ] o Tarea C Cj

5

6

7

8

9

10

11

12

Tarea B

o TareaA

13

Semana FIGURA 8,4

Proqrarnacion

mas lejana

de las tareas

no criticas

en el ejemplo

no criticas para nivelar un recurso "desnivela" algiin otro recurso. Aunque algunos investigadores han sugerido modelos de programacion maternatica para resolver este problema, en general estos modelos no son practices para problemas de tamafio razonable y es raro que se apliquen. Asi, los administradores de proyectos se apoyan general mente en heuristicas (reglas cortas) para encontrar una solucion aceptable.

PROBLEMA

DE ASIGNACION

DE RECURSOS

EI problema de asignacion de recursos se ocupa de asignar los recursos limitados alas tareas para cumplir ciertas metas (como terminar el proyecto tan pronto como sea posible, minimizar el costa total 0 maximizar el valor presente neto del proyecto). Se supone que estos recursos (que pueden ser trabajadores, equipo 0 dinero) estan limitados en cantidad, en tasa 0 en ambos. De hecho, los problemas de asignacion se pueden distinguir segiin el tipo de recursos presentes en el problema. En general se definen dos tipos de recursos: •

Recursos renovables. Limite en la tasa de utilizacion de los recursos (como mimero maximo de trabajadores por dia).

PROBLEMA

•

DE ASIGNACI6N

DE RECURSOS

181

Recursos no renovables. Limite en el consumo total del recurso durante la vida del proyecto (limite en el presupuesto).

Los recursos renovables, lirnitados en la tasa a la que pueden utilizarse por periodo, se llaman "renovables" debido a que se renuevan cada periodo. Por ejemplo, si se tienen diez trabajadores para un proyecto, cada manana se renuevan los diez trabajadores y se pueden reasignar si es necesario (por supuesto, suponiendo que ninguno renuncia 0 se enferma). Los recursos no renovables son recursos lirnitados en su consumo total; por ejernplo, los dolares (0 libras, marcos 0 euros) son recursos no renovables si hay una restriccion en el presupuesto total, pero no hay Iimite en la tasa de gasto diario. Por ultimo, los recursos restringidos tanto en la tasa como en el consumo total se conocen como recursos doblemente restringidos. Por ejemplo, si hay limite tanto en el presupuesto total como en la tasa de gastos, el dinero es un recurso doblemente restringido. Muchos de 10s problemas de asignacion de recursos (aunque no todos) son muy diffciles de resolver. Sin embargo, se ha estado trabajando mucho para encontrar metodos de optirnizacion para problemas de tarnafio razonable (un ejemplo de un modelo de optimizacion real bas ado en hoja de calculo, que se uso para asignar administradores a un proyecto de construccion, se puede encontrar en LeBlanc et al., 2000). Las funciones objetivo comprenden 1) tiempo de ejecucion del proyecto, 2) de mora (es decir, el tiempo despues de la fecha de entrega) 3) tardanza (es decir, el tiempo antes y despues de la fecha de entrega), 4) costa total, 5) carga de trabajo balanceada, 6) valor presente neto. Demeulemeester y Herroelen (1992) desarrollaron un procedimiento relativamente eficiente para minimizar el tiempo de ejecucion del proyecto, basado en ramificacion y acotarniento (un analis is mas amplio se encuentra en Sprecher y Drexl, 1999). Se han considerado otras variaciones, Talbot (1982) desarrollo un algoritmo de optirnizacion para minimizar el costa del proyecto, que combina el problema de los recursos renovables y el trueque tiempo-costo. En su trabajo, Talbot model a cada tarea usando un trueque tiempo-costo discreto (como se indica en la figura 5.7c) y coloca limites a la tasa de utilizacion de los recursos y al consumo total de los mismos. Para obtener mas informacion yea Ozdamar y Ulusoy (l995), Brucker et al. (1999), Herrolen et al. (1998), Talbot y Patterson (1978) y Demuelemeester y Harroelen (2002). Dada la dificultad para resolver problemas de asignacion de recursos renovables, no es de sorprender que las tecnicas heuristicas se apliquen ampliamente. Se considerara un pequefio ejemplo para ilustrar dos metodos heuristicos que minimizan la duracion de un proyecto cuando se tiene restriccion en los recursos renovables. A pesar de la sencillez de estos enfoques, el analisis ilustra algunos puntos importantes acerca del problema de asignacion de recursos, incluyendo el concepto de ."cadena critica" introducido por Goldratt (1997). El ejemplo consiste en cinco tare as que usan un solo recurso generico denotado por "trabajadores"; se supone que no se dispone de mas de 9 trabajadores por semana. Dado un maximo de 9 trabajadores disponibles cada semana, interesan las siguientes preguntas que pueden ser relevantes para un administrador de proyectos: •

L,Puede terminar el proyecto en 12 semanas (la longitud de la ruta crftica) con no mas de 9 trabajadores?

•

Si el proyecto no puede terminar en 12 semanas, L,cuantos trabajadores sarios para cumplir con este plazo?

•

Si el administrador no puede contratar mas de 9 trabajadores, L,cuaI es el retraso minimo del proyecto en que incurrira?

mas seran nece-

Para contestar estas preguntas, se ernpezara con un enfoque sencillo sugerido por Baker (1974), para encontrar una cota inferior para el ruimero mfnimo de trabajadores necesario para terminar el proyecto en 12 semanas 0 el mirnero rninimo de semanas necesario para terminar el proyecto con 9 trabajadores. Estas cotas pueden no ser estrechas, pero es facil caIcularlas y con frecuencia proporcionan informacion util al administrador del proyecto en la etapa de planeacion. Aunque este metodo se ilustra con un ejemplo que tiene un solo tipo de recurso, un administrador de proyectos solo repe-

182

CAPITULO 8 ADMINISTRACI6N DE RECURSOS

FIGURA 8.5

Ejemplo

3 trabajadores

6 trabajadores

5 trabajadores

8 trabajadores

de asiqnacion

de recursos

renovables

tin! e te analisis con cada tipo de recursos, si se estan considerando varios tipos, y u ani la mayor cota inferior encontrada para todos los recursos. Para definir estas cotas inferiore , se consideran primero el program a de inicio mas cercano y el programa de inicio mas lejano. La figura 8.6 representa el programa de inicio mas cercano usando la notacion de AOA; cada tarea se denota par una tlecha cuya longitud indica su duraci6n (por ejemplo, la tarea B necesita 3 semanas). Observe que el mimero de trabajadores disponibles se excede la primera vez en la semana 4, que necesita 11 trabajadores. Como se indica en la figura 8.6, se necesitan en total 101 sernanas-trabajador para completar este proyecto en 12 semanas (que es la suma del ruimero de trabajadores necesarios cada semana). Esta cantidad total de sernanas-trabajador es constante para cualquier programacion de las tareas no criticas, como en la figura 8.7 que muestra el programa con el tiempo de inicio mas lejano. Parece, segun los programas tie inicios mas cercanos y mas lejanos, que este proyecto no puede terrninar en 12 seman as con solo 9 trabajadores (ya que ambos program as necesitan mas de 9 por 10 menos en una de las semanas). Sin embargo, esta informacion puede lIevar a errore; quiza el adrninistrador pueda reprogramar las tareas no critic as entre sus tiempos de inicio mas cercanos y mas lejanos, y crear un programa que no requiere mas de 9 trabajadores todas las semanas. l,Es posible elaborar un program a que terrnine el proyecto en 12 semanas, sin emplear mas de 9 trabajadores en cualquier semana? Para ver si es posible (sin resolver real mente el problema), Baker (1974) sugiere una elegante prueba que todo administrador puede calcular, empleando iinicamente papel y lapiz. Para ilustrar el enfoque de Baker, el mirnero total de sernanas-trabajador se denota por W (en este problema Wes igual a 101 semanas-trabajador). Sea ReI numero de trabajadores disponibles (por semana), tal que R = 9 trabajadores en este ejemplo, y D el tiempo meta de terrninaci6n del proyecto (en este ejempJo D = 12 semanas). Como se tiene un maximo de (9 trabajadores) x (12 semanas) = 108 semanas-trabajador disponibles durante el proyecto, se sabe que para que un program a sea factible,

W:::;DR Como W = 101 sernanas-trabajador, ya que 101 :::; 108.

parece que un programa de 12 semanas puede ser factible

PROBLEMA

Programa

area ( bajad res

~

~

~

~

INICIO

K i'-....r--......

DE RECURSOS

con inicios cercanos

area l3 tr bajad

DE ASIGNACION

,,

,,

,,

,,

,

I'

area E 5 tr bajad bres

,,

,,

,,

-..--

FIN

~

~

area E 7 tr bajad res

area [ 8 tr bajad res

Semana

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

Nurn, de trab./sem.

8

8

8

11

14

8

8

8

7

7

7

7

Trab. acumulados

8

16

24

35

49

57

65

73

80

87

94

101

1

1

1

-

-

-

-

-

-

-

-

-

Trab. "desperdiciados" FIGURA

8.6

Programa

INICIO

con inicios

cercanos

-- ----

para el ejemplo

de asiqnacion

Programa

con inicios lejanos

-----"

Tare A trabaj dores

........ --

~

R (el mimero de trabajadores disponibles). En este ejemplo, Tc = 4.

2.

Para cada valor de t = 1, ..., Tc - 1, el mirnero de semanas-trabajador igual a [R - rc(t)].

3.

Se suman las semanas-trabajador

desperdiciadas

desperdiciadas

es

(que en este ejemplo es igual a 3).

Los calculos para encontrar las semanas-trabajador desperdiciadas para el program a con inicios cercanos se resumen en la hoja de calculo de la figura 8.6. El procedimiento es similar para el programa con inicios mas lejanos, excepto que el administrador del proyecto empieza con la ultima semana y trabaja hacia arras hasta la primera semana. Por ejemplo, en el program a con inicios mas lejanos de la figura 8.7 solo se emplean 7 trabajadores en la semana 12; entonces, se desperdician 9 - 7 = 2 trabajadores y, dado que las tareas en el programa con inicios lejanos se recorren a la derecha 10 mas posible, no se pueden emplear. Los calculos para encontrar el numero de semanas-trabajador desperdiciadas con el programa de inicios lejanos se resumen en la ecuacion siguiente. En este caso, rL(t) denota el mimero de unidades del recurso usadas en cad a periodo t del programa de inicios lejanos, y TL denota el mayor valor de t tal que rL(t) > R. En el ejemplo de la figura 8.6, TL = 8, ya que rL(8) = 14. Entonces el mimero de semanas-trabajador desperdiciadas con el program a de inicios mas lejanos se puede calcular como sigue:

= mayor

valor de t tal que rL(t) > R. En este ejemplo, TL

1.

Sea TL

2.

Para cada valor de t = D, D - 1, ..., TL + 1, encuentre [R - rL(t)].

3.

Sume las semanas-trabajador

desperdiciadas

= 8.

(en este ejemplo, 2 + 2 + 2 + 2 = 8).

Observe que el calculo de las semana -trabajador desperdiciadas segiin el programa con inicios lejanos se resume en el tercer renglon de la hoja de calculo de la figura 8.7. Previamente se indico que el proyecto nece itaria 101 semanas-trabajador para terminar, independientemente de la prograrnacion. Pero ahora sabemos que el proyecto tiene en total 3 + 8 semanas-trabajador desperdiciadas que es imposible utilizar con cualquiera de los programas. Por 10 tanto, el administrador debe reducir en 11 las semanas-trabajador disponibles para reflejar estos recursos desperdiciados. La relacion basica sera ahora:

'c-I W ~ DR-

L [R-rc(t)]-

11=1

D

L II=TL

[R-rL(t)] +1

SOLUCIONES

FACTIBLES

PARA EL PROBLEMA

DE ASIGNACI6N

DE RECURSOS

RENOVABLES

185

Como (D R - 3 - 8) = (108 - 11) = 97, 10 que es cJaramente men or que W (= 101), se sabe ahora que no se puede crear un programa factible, que termine en 12 semanas 0 menos, usando s610 9 trabajadores (es decir, e1 administrador tendria que retrasar el proyecto 0 aumentar el mimero de trabajadores disponibles). Suponga que el administrador no desea contratar mas de 9 trabajadores. l,Que se puede decir de la duraci6n minima factible del proyecto con 9 trabajadores? Con los calculos anteriores, es facil obtener un limite inferior para la duraci6n del proyecto. En este caso se conoce el mirnero de trabajadores disponibles (R = 9), pero no se conoce la duraci6n del proyecto, D. Entonces, la relaci6n basica se convierte en 101 semanas-trabajador

:::;9 D - 11 semanas-trabajador 9 D ~ 112 D ~ 112/9 = 12.44 semanas

"desperdiciadas"

Si el administrador requiere un ruimero entero de semanas, entonces el proyecto no puede terminar en menos de 13 semanas, a menos que contrate mas de 9 trabajadores. EI rnetodo de Baker, adernas de proporcionar a los administradores de proyecto informaci6n valiosa respecto a la duraci6n minima del proyecto, les da un mejor punto de partida en la biisqueda de un programa factible. De manera similar, se puede buscar un limite inferior para el mimero de trabajadores necesarios para terminar el proyecto en 12 seman as (suponiendo que este sea ahora el requerimiento). En este caso, D = 12 seman as y el mimero de recursos R es desconocido; la relaci6n basica sera 101 + 11