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• Jenny Davila Villegas

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01 – INICIANDO CON MATLAB

Mg. Amado Malca Villalobos

I. Introducción a MATLAB

Inicio de sesión en Windows El inicio de una sesión ocurre siempre al encender el equipo. El ordenador carga el sistema de exploración de forma remota solicitando una clave personal del alumno. En caso de no conocer su clave ha de dirigirse al personal del laboratorio. Los ordenadores pueden arrancar diversos sistemas de exploración: Linux, Windows . Lo normal es que haya que usar la versión más reciente instalada de Windows, sin embargo esto no es un requisito indispensable. Dicho de otro modo, las versiones antiguas también son válidas para realizar la práctica lo cual es útil si decide realizar en su casa algún trabajo adicional. Manejo de Windows El manejo de Windows es muy simple: basta con apuntar con el ratón a los elementos que se ven en la pantalla y pulsar el botón izquierdo. La acción de apuntar y pulsar recibe el nombre abreviado de “hacer clic” o “pinchar”. La zona central (de color azul) de la pantalla recibe el nombre de escritorio. A la izquierda se encuentran unos dibujos que permiten ejecutar ciertos programas. Los dibujos son llamados “iconos” y también “accesos directos”. En la parte inferior está la barra de tareas con el botón de inicio como se muestra en la figura . En algunos equipos la barra sólo es visible cuando se apunta con el ratón a la zona inferior de la pantalla.

Si todo esto le suena raro realice alguna prueba algún día antes del inicio de la práctica hasta que se familiarice con el entorno Windows y el manejo de los programas más usuales: explorador de Windows, libreta de notas, calculadora, etc. También es importante que sepa dónde se encuentran las teclas de uso frecuente como Intro, Alt, Ctrl, Sup. El siguiente resumen puede ayudarle: • Tecla Intro. Tiene dos funciones: en primer lugar permite pasar a la siguiente l´ınea en la escritura. Además, en programas de uso interactivo sirve para dar entrada a la información tecleada anteriormente de forma que pueda ser procesada. En algunos teclados aparece el símbolo ←|, o la palabra RETURN o ENTER. • Tecla Alt. Al igual que la tecla de mayúsculas permite cambiar la función de las teclas de función. Además sirve para generar los símbolos de la tabla ASCII manteniendo la tecla pulsada mientras se introduce el código correspondiente en decimal. En muchas aplicaciones esta tecla tiene significado especial. Por ejemplo, en los entornos de ventana, sirve para activar funciones dentro de un menú tecleando ALT+inicial opción del menú. • Tecla Alt Gr. Permite obtener los signos |, [, ], } y { , u otros dependiendo del sistema. • Tecla Ctrl. Pulsada conjuntamente con algunas letras produce caracteres de control, por ejemplo Ctrl+C y Ctrl+Z para terminar la ejecución de programas. 01 MatLab básico 1

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En general cuando se ha de pulsar una tecla conjuntamente con otra se indica mediante elsigno +. Por ejemplo, una combinación de teclas especialmente útil es Ctrl+Alt+Sup que sirve para acceder al Administrador de Tareas cuando algún programa se “cuelga”. El programa MATLAB MATLAB es el nombre abreviado de “MATrix LABoratory”. MATLAB es un programa para realizar cálculos numéricos con vectores y matrices. Aquí se presenta la ventana usual que aparece al iniciar Windows, en la cual se ejecutan las operaciones básicas.

Si por alguna razón la pantalla de MatLab no fuese la indicada, basta con acceder en la barra de herramientas al menú Home, escoger la opción Layout y a continuación Default.

RECOMENDACIONES BASICAS DE TRABAJO EN MATLAB - Para teclear un comando el cursor debe estar después del símbolo „>>‟. - Una vez que se teclea el comando en el formato indicado, pulsar la tecla intro (), para ejecutar tal orden. - Con las teclas: „‟ y „‟, se pueden invocar comandos tecleados anteriormente, y ejecutarlos parcial o totalmente. - Si un comando es demasiado grande y ocupa más de una línea, se puede redistribuir en dos líneas, para lo cual al final de la primera se colocan puntos suspensivos (…), luego se pulsa la tecla intro y se continúa en la siguiente línea.

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- Las salidas en pantalla que produce la ejecución de un comando, se visualizara en la ventana de comandos. Pero si se teclea punto y coma (;) al final del comando este se ejecutara, pero ya no se visualizaran los resultados. - En una misma línea se pueden teclear varios comandos, pero separado por comas. Si se separan por punto y coma, no se visualizara el resultado. - Cuando se teclea el símbolo % al inicio de una línea, MatLab considera la línea como un comentario, lo cual significa que no se ejecutara. - Si se coloca el símbolo % seguido de un comentario, después de un comando , tampoco se ejecuta este comentario. Es decir no tiene efecto sobre el comando. - El comando clc limpia la pantalla de MatLab, solo deja en blanco la pantalla y todo lo ejecutado permanece intacto. - Para ejecutar una operación o terminar una línea en MATLAB se presiona la tecla  (enter) - La tecla Alt Gr. permite obtener los signos {,},[,] y |, u otros dependiendo del sistema. - La tecla Ctrl. Pulsada conjuntamente con algunas letras produce caracteres de control, ejemplo: Ctrl+C, Ctrl+B, Ctrl+Z. CALCULOS SIMPLES CON MATLAB MatLab puede trabajar como si fuese una calculadora científica con todas las funciones posibles. Operadores matemáticos, relacionales y lógicos Operación Asignación Relación “Menor que” Relación “Mayor que” Relación “Menor o igual que” Relación “Mayor o igual que” Relación “Igual que” Relación “Distinto que” Producto lógico (Operación “y”) Suma lógica (Operación “o”) Negacion (Operación “no”) Fin de expresión sin escritura en pantalla Fin de expresión con escritura en pantalla Potenciación Multiplicación División División inversa Suma Resta

signo = < > = == ~= & | ~ ; , ^ * / \ + -

Tecla abreviada Alt 61 Alt 60 Alt 62 Alt 60,Alt 61 Alt 60, alt 61 Alt 61, alt 61 Alt 126, alt 61 Alt 38 Alt 124 Alt 126 Alt 59 Alt 44 alt 94 alt 42 alt 47 alt 92 alt 43 alt 45

ORDEN DE PRECEDENCIA Precedencia Primero Segundo Tercero Cuarto

Operación Matemática Paréntesis Exponenciación Multiplicación y división (igual precedencia) Suma y resta

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Símbolos útiles Nombre Símbolo Paréntesis ( ) Corchete [ ] llaves { }

Código ascci Alt + 40 Alt + 41 Alt + 91 Alt + 93 Alt + 123 Alt + 125

MATLAB COMO CALCULADORA >> 4+5-8*4 >> (50+14)/4 >> sin(pi) >> sin(pi/2) >> (sin(pi/2))^2+(cos(pi/2))^2 >> sqrt(25) >> log10(1000000000) >> exp(1) >> log(exp(76)) >> i^3+3*(4-i)^2-5 >> j^3+3*(4-j)^2-5 >> abs(-4) >> 5\25 >> 2^8+26*(26+1)/2 >> 10000^1/4 >> 10000^(1/4) FORMATOS DE VISUALIZACIÓN DE NÚMEROS El usuario puede controlar la forma de cómo se presentan los números en pantalla, esto se controla con el comando format. Por defecto es el formato short. Otros formatos se pueden hallar tecleando „help format‟, en la ventana de comandos. Comando Descripción format short Punto fijo con 4 dígitos decimales. 0.001 sqrt(289)+exp(2)-abs(-20) >> log(40) >> exp(1) >> log(exp(40)) >> log10(123456) >> log10(100000000000) >> factorial(6) >> sin(pi/2)+cos(pi)-tan(pi/4) >> tan(pi/4)+cot(pi/4) FUNCIONES COMPLEJAS Números complejos Los números complejos son importantes en la ingeniería. Aqui recordaremos las operaciones básicas con números complejos.

Un número complejo se escribe . x es la parte real, y es la parte imaginaria. es la unidad imaginaria √ Forma polar de un número complejo

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( )

, donde

( )

( )

( )

(

( )

√ ( )

( ))

(

)

Son idénticos los números complejos ( ) Función abs(z) angle(z) complex(x,y) conj(z) real(z) imag(z) isreal(z)

( )

(

)

(

)

Descripción Valor absoluto o modulo si z es complejo Argumento del numero complejo z Devuelve el numero complejo: x + yi Complejo conjugado de z Parte real de z Parte imaginaria de z 1, si z es real; 0, si z tiene parte imaginaria

Operaciones con complejos >> z=3+4*i >> angulo=angle(z) >> real(z) >> imag(z) >> modulo=abs(z) Raíz cubica de un numero complejo >> n=3 >> k=0:n-1 >> z1=nthroot(abs(z),n)*exp(i*(angle(z)+2*pi*k)/n) >> Grafica de las raíces cubicas de z >> compass(z1) >> 90

2

120

60 1.5 1

150

30

0.5

180

0

210

330

240

300 270

DEFINICION DE VARIABLES y ESCALARES Una variable o dato, es un nombre compuesto por una o más letras y/o dígitos al cual se le asigna un valor numérico. A partir de ese momento ya se puede usar tal variable en cualquier operación, función o comando de MatLab. Una vez definida y asignado un valor a una variable, este valor puede ser modificado y asignado un nuevo valor para ahorrar memoria.

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Los datos se pueden almacenar en algún lugar de la memoria, asignando valores a nombres de variables 1. Los nombres de las variables deben de comenzar con una letra y pueden tener hasta 31 caracteres, que pueden ser números, letras, guión (-), subrayado (_) 2. La variable a es distinta de la variable A, MATLAB diferencia entre mayúsculas y minúsculas 3. Los nombres de las variables deben tener significado, primero se utilizan letras como a, x, y, pero cuando los programas son más complejos se llamarán posicion, velocidad, etc. 4. Los nombres de las variables no pueden coincidir con las palabras reservadas por MATLAB: sin, sqrt exp, etc 5. No están permitidos espacios entre caracteres El operador de asignación En MatLab, el símbolo = se llama operador de asignación. El asigna un valor a una variable nombre _ de _ var iable valor El valor asignado puede ser numerico, o alguna expression con la cual operar. Tambien puede ser alguna variable ya definida y compatible con la actual. >> x=5+6 % asignación >> x=2*x+8 %reasignando valor a la variable >> y=x-8 % asignación >> A=[1 2 3;4 5 6;8 4 1] >> B=x*A >> C=y+B >> a=6,b=4,c=7 >> s=a+b-c >> d=c+4; >> m=d+20 Reglas sobre el nombre de las variables: - Pueden tener una longitud de de hasta 63 caracteres. - Pueden contener letras, dígitos y el carácter de subrayado. - Deben empezar por una letra. - En MatLab se distinguen entre mayúsculas y minúsculas en las variables. - Evitar poner el nombre de funciones del sistema o variables predefinidas en MatLab. Variables predefinidas en MatLab Variable Descripción ans Esta variable contiene el resultado de la última sentencia que no ha sido asignada a un valor especifico pi Representa al numero  eps Representa la diferencia más pequeña entre dos números de máquina. Es igual a 2^(-52), que es aproximadamente 2.2204e-0.16 realmin El menor número real en MatLab realmax El mayor número real en MatLab

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inf i j

NaN

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Representa al infinito. Es la unidad imaginaria, la raíz cuadrada de -1. Equivale a i abreviatura de Not a Number(no numérico) valor indeterminado

Comandos útiles sobre variables Limpia la ventana de comandos clc Borra todas las variables de memoria clear clear x y z Borra solo las variables x, y, z Muestra un listado de variables who Muestra un listado de variables con whos sus características exist(„c‟) Chequea si la variable c existe Pwd Muestra el directorio actual cd c:\MATLAB\work Cd cambia la ruta del directorio actual Dir Lista el contenido del directorio actual save prueba Sabe almacena las variables en un archivo load prueba Load carga variables y su contenido delete prueba.mat Delete elimina archivo Quit Para terminar una sesión con MatLab Símbolos especiales en MatLab [] Para definir vectores y matrices () Para definir precedencia en expresiones y para subíndices , Para separa elementos de un vector se usa comas o espacios ; Para separara filas y para evitar mostrar contenido de variables % Para iniciar un comentario en programas y funciones … Para continuar un comando en la siguiente linea Formatos de presentación de números Número 2412.6 0.00002 20000

Mantisa-exponente 2.4126×103 2×10-5 2×104

MATLAB 2.4126e3 2e-5 2e4

Podemos representar un número como 0.00002 o bien, 2e-5 Si queremos mostrar un resultado con muchos decimales, escribimos

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>> format long >> pi ans = 3.141592653589793 Si queremos mostrar menos decimales >> format short >> pi ans = 3.1416 format short

4 decimales si 0.001≤numero≤1000 de otro modo, el formato es short e

format long

15 decimales, si 0.001≤numero≤100 de otro modo, el formato es long e

format short e

Notación científica con 4 decimales

format long e

Notación científica con 14 decimales

format short g format long g format bank

format rat

Notación científica con 5 decimales Notación científica con 15 decimales 2 decimales Operando con fracciones y el resultado es una fracción simplificada. Formato „rational‟ o „rat‟

>> 351/7 ans=50.1429 >> 35100/7 ans = 5.0143e+03 >> 351/7 ans = 50.142857142857146 >> 3510/7 ans = 5.014285714285714e+02 >> 351/7 ans = 5.0143e+001 >> 351/7 ans = 5.014285714285715e+001 >> 351/7 ans = 50.143 >> 351/7 ans = 50.1428571428571 >> 351/7 ans = 50.14 >> 351/7+36/17 ans = 6219/119

El formato por defecto (short) y otras características del entorno MATLAB se pueden cambiar en el cuadro de diálogo titulado MATLAB Command Window

Volviendo al formato por defecto >> format short >> 351/7+36/17 ans = 52.2605 AYUDA EN MATLAB Una de la funciones importantes tanto para el principiante asi como el experto, es la función de ayuda (help). Para ello basta con teclear el siguiente formato: >> help comando Conociendo la lista de funciones elementales: >> help elfun GUARDANDO UNA SESIÓN Y SUS VARIABLES Para guardar lo que uno ha escrito, tenemos básicamente dos opciones. Guardar todo lo escrito, para lo cual se usa el comando: diary(‘nombre_fecha.txt’) Hasta que se ingresa el comando: diary off Se puede seguir grabando en este mismo archivo con: diary on 01 MatLab básico 10

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Y cerrando nuevamente con:

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diary off

>> clear >> x=5 >> y=45 >> z=13 >> w=x-y >> diary('malca.txt') >> Z=x+y+z >> A=[1 2 3;5 2 8;7 4 2] >> B=[5 1 3;8 2 8;7 4 9] >> det(A) >> diary off >> B' >> A-B' >> diary on >> D=A+4*B >> E=A.*B >> diary off >> F=A/B Luego abriendo el archivo en: C:\MATLAB7\work\malca.txt

Vea bien que se grabo y que no, en el archivo malca.txt. Tenemos que también se puede guardar solo las variables con save, y luego leerlas con load. >> clear >> x1=6 >> x5=8 >> y=x1+x5 >> save('sesion 01') Ahora leemos estas variables: >> load('sesion 01') >> who

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Ejemplos de aplicación con MatLab Ejemplo 1.1: Identidad Trigonométrica Se tiene la siguiente identidad trigonométrica: sen(2 x) 2sen( x) cos( x) /3 Verificar dicha identidad para x Solución: >> x=pi/3 >> 2*sin(x)*cos(x) >> sin(2*x) >> Ejemplo 1.2: Geometría y trigonometría Se tienen cuatro circunferencias tangentes exteriormente dos a dos. B C

A D

Donde: radio de A es 16 cm, radio de B es 6,5 cm, radio de C es 12 cm y radio de D es 9,5 cm. Determinar la distancia entre los centros B y D. Solución: Por la condición de ser tangentes dos a dos tenemos que: AB = 22,5 BC = 18,5 CD = 21,5 AD = 25,5 AC = 28 B C

A D

Luego tenemos la ley de cosenos, en el triangulo ABC: BC 2 AB2 AC 2 2 AB AC cos BAC De igual modo en el triangulo ACD: CD2 AC 2 AD2 2 AC AD cos CAD Ahora en el triangulo ABD: BD2 AB2 AD2 2 AB AD cos BAD >> AB=22.5 >> BC=18.5 >> CD=21.5 >> AD=25.5 >> AC=28 >> alfa1=acos((AB^2+AC^2-BC^2)/(2*AB*AC)) % alfa1 = >> alfa2=acos((AC^2+AD^2-CD^2)/(2*AC*AD)) % alfa2 = angulo(CAD) >> alfa3=alfa1+alfa2 % alfa3 = angulo(BAD) >> BD=sqrt(AB^2+AD^2-(2*AB*AD*cos(alfa3))) >>

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Ejemplo 1.3: Transferencia de Calor Un objeto con una temperatura inicial T0, se introduce en un instante inicial t = 0 dentro de una cámara que tiene una temperatura constante Ts. Entonces, el objeto experimenta un cambio de temperatura que esta dado por la ecuación: kt

T t

Ts

T 0 Ts e

Considérese una lata de refresco de coca-cola, pero alguien se olvido en la maletera de un auto que viaja de Chiclayo a Piura, al llegar tiene una temperatura de 120ºF, y se la coloca en un congelador que esta a una temperatura de 38ºF. Calcular la temperatura de la lata después de 3 horas, considerar k = 0,45. Solución: >> T0=120 T0 = 120 >> Ts=38 Ts = 38 >> k=0.45 k = 0.450000000000000 >> t=1:5 t= 1 2 3 4 5 >> T=Ts+(T0-Ts)*exp(-k*t) T = 90.285508432985409 71.338712098729133 59.257701372963105 51.554508834170093 46.642736414072871 >> round(T) ans = 90 71 59 52 47 Ejemplo 1.4: Interés compuesto El saldo o monto M de una cuenta de ahorros después de t años cuando se deposita un capital C a una tasa de interés anual r, con n periodos de capitalización anuales, bien dado por la siguiente función:

M t

C 1

r n

nt

Si los intereses se capitalizan anualmente, el monto esta dado por la función

M t

C1 r

t

Si en una cuenta de ahorros se invierte 5000 soles durante un periodo de 17 años, con un interés compuesto con capitalización anual. En una segunda cuenta se invierten otros 5000 soles, pero esta vez con un interés compuesto con capitalización mensual. En ambas cuentas la tasa de interés es del 8,5 %. Utilizar MatLab para determinar cuánto tiempo (en años y meses) tarda el monto de la segunda cuenta en ser igual que el de la primera después del periodo de 17 años. Solución: Vamos a ver cómo evolucionan las cuentas a través de los años En la primera cuenta veremos cuál es el monto después de los 17 años. >> C=5000,r=0.085,ta=17,n=12 C= 5000 r = 0.0850 ta = 17 01 MatLab básico 13

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n = 12 >> M=C*(1+r).^ta M = 2.0011e+004 >> format long >> M=C*(1+r).^ta M = 2.001131155260091e+004 >> Ahora veremos con este monto a que tiempo equivale en la formula de capitalización mensual: >> t=(1/n)*(log(M/C))/(log(1+(r/n))) t = 16.373715243760337 >> anos=fix(t) % la letra ñ no lo acepta MatLab anos = 16 >> meses=ceil((t-anos)*12) meses = 5 >> 1 INICIANDO CON MATLAB EJERCICIOS DE VERIFICACION Resuelva los siguientes problemas utilizando la ventana de comandos de MATLAB. 1. Calcule: a)

35, 7 64 73 45 5x 2

b)

37 93 652

5 7 62 4

2. Calcule: a) 2

7

3

2732/3 2

552 3

b) 23

2733 2

73

552/3

3. Calcule: 4

37 log 76 a) 3 7 546

3

910

2

250

b) 43

e

23

45 33

4. Calcule:

5 7 sen a) cos 6 8

2

2

tan

ln 8 6 7

5 b) cos 6

2

7 sen 8

tan

6

2

7

ln 8 5 2

5. Defina la variable x como x = 13,5, y calcule: 3 a) x

5x 2

26,7 x 52

b)

14 x 3 e3 x

c) log x 2

x3

6. Defina las variables x y z como x = 9,6 y z = 8,1, y calcule: a) xz

2

2z 3x

3/5

b)

443z 2 x3

e xz x z

7. Defina las variables a, b, c y d como: a = 15,62, b = -7,08, c = 62,5 y d = 0,5(ab-c), y calcule:

a) a

ab a d c ab

2

d

b) de 2

ad 20 a a b

cd 30 b c d

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8. Calcule (escribiendo un solo comando) el radio r de una esfera de 350 cm3 de volumen. Una vez calculado r, utilice este valor para calcular el área de la superficie de la esfera. 9. Dadas las siguientes identidades trigonométricas: a) sen 2 x

2s e n x cos x

x 2

b) cos

1 cos x 2

Verifique que ambas son correctas calculando para ello cada lado de la identidad,

5 24

sustituyendo el valor de x por x

10. Dadas las siguientes identidades trigonométricas:

2 tan x 1 tan 2 x

a) tan 2 x

b) tan

x 2

1 cos x 1 cos x

Verifique que ambas son correctas calculando para ello cada lado de la identidad,

3 17

sustituyendo el valor de x por x 11. Defina dos variables:

5 9

y

7

. Utilice estas variables para demostrar que

la siguiente identidad trigonométrica es correcta. Calcule para ello ambos lados de la identidad a partir de su ecuación. cos

cos

2sen

1 2

sen

1 2

12. En el triángulo adjunto a = 11 cm y c = 21 cm. Defina las variables a y c y calcule: a) El valor b a partir del teorema de Pitágoras, utilizando una sola línea en la ventana de comandos. b) El ángulo en grados, utilizando para ello el valor b calculado anteriormente junto con la función a cos x . Hágalo empleando una sola línea de la ventana de comandos.

A

c

c

a

b

B

b

a

C

13. En el triángulo adjunto a = 18 cm, b = 35 cm y c = 50 cm. Defina a, b y c como variables y posteriormente calcule el ángulo (en grados) sustituyendo las variables en la ecuación de la regla de los cosenos. 2 (La regla o ley de los cosenos c

14. La distancia d de un punto por: d

Ax0

By0 2

A

a2

x0 , y0

b2

2ab cos

)

a una recta Ax

By

C

0 viene dada

C

B

2

Determine la distancia del punto (2,-3) a la recta 3x + 5y – 6 = 0. Primero defina las

x

y

variables A, B, C, 0 , 0 . Después calcule d . Utilice las funciones abs y sqrt. 15. Se empaquetan ramos de flores en cajas, de forma que en cada caja se introduce una docena de flores. Determinar cuántas cajas son necesarias para empaquetar 751 flores. Utilice la función ceil. 16. Defina las siguientes variables: precio_mesa = 256,95 $ precio_silla = 89,99 $

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Seguidamente cambie el formato de visualización a bank y: a) Calcule el costo de dos mesas y ocho sillas b) Calcule el costo de dos mesas y ocho sillas, pero añada un 18% de IGV c) Calcule el costo de dos mesas y ocho sillas, agregué un 18% de IGV, y redondee el total del costo al dólar más próximo. 17. Cuando se suman fracciones debe calcularse el mínimo común múltiplo para poder realizar la operación correctamente. Por ejemplo el mínimo común múltiplo de 4 y 10 es 20. Utilice la ventana de ayuda de MATLAB para encontrar una función apropiada que calcule el mínimo común múltiplo de dos números. Utilice después esa función para demostrar que el mínimo común múltiplo de: a) 4 y 10 es 20 b) 6 y 38 es 114. 18. La magnitud M de un terremoto en la escala de Richter viene dada por:

M

2 E log , donde E es la energía emitida por el terremoto y E0 3 E0

104,4 julios es

una constante (energía de un terremoto más pequeño de referencia). Determine cuantas veces más energía emite un terremoto que registra 7,2 en la Escala de Richter respecto a otro que registra 5,3.

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