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CAPITULO CA PITULO XII INTEGRACION DE FORMAS ELEMENTALES ORDINARIAS

w

.M

at

em

at

ic

a1 .c

om

126. Integración. El lector está ya aoostumLtlldo acostumbrado a las operaciones mutuamente mut.uamcn te inversas inversai! de adición y sustracción, multiplicación multipliCAción y división, elevar a una potencia y extraer diYisión, exLraer una raíz raíz.. En los ejemplos siguen,, los segundos miembros de una columna son, l'Cspcctivu~ respectivaque ¡;;iguen mente, los segundos miembros de la olra otra men te, las funciones inversas invcl"S..'l.S de 105 columna . y = X2 + 11,, x=±Vy -1 ; 1J=:r.~+ x=±v'y-l; X y == a~, x = loga y; Y a , :c= \ogaY; yy=senx, = sen x, x=nrcscny. x = arc sen y .

w

w

l::n E n el ('Al Cálculo culo llifcrCl!cial diferencial hemos aprendido u a calcular calcul~ r la derivada

fJ'I (x) de d e una función runción d~da dada ' f (x), operación npúracitín que qu e se Se indica indiCi\. por (/ d dx

f

(x) = ~ 1'(.,). l' (x) ,

o bien, bie n , si si empleamos diferenciales, pOJ' por df (x) dI

= 1'(x)dx. J' (x) rl;t,

Los problemas dependen de la operación inversa, pl'Oblemas del Cálculo integral iutegral depellden aá saber: sitlJC'r :

Hallar función f (x) cuya derivad" derivada !l"l/ar una funcián (1 ) (1

f/(x) = (x)

es conocida, conocida.

o que en el Cálculo usua l emplear U bien, puesto qne C:'¡1cu10 integrales usual clllpleal' diferencia les, podemos esc!'i escribÜ' ciHles, bir (2)

df(z) f'(x)úz ~ • (x)dx dJ (x) ~ = l' (x)dx =

como sigue: y enunciar el problema del Cálcu lo integral mmo

228

CALCULO INTEGRAL

Dada la d1ferencial de una función, hallar la función.

La función f (x) que así se obtiene se llama una integral de la expresión diferencial dada; el procedimiento de hallarla se llama integración; la operación se indica escribiendo el signo integral

*

f

delante de la expresión diferencial dada; así, (3)

J

f'(x)dx = f (x),

que se lee la integral de f' (x)dx es i gual a f (x). En general, el signo J

se lee integral o integral de. La diferencial dx indica que x

es la variable de integración. Por ejemplo, Si f(x) = x 3 , entonces J'(x)dx = 3 X2 dx, y

a)

J3

X2 dx

= x3 •

Si f (x) = sen x, entonces f' (x)dx = cos x dx, y

ic a

1. c

om

b)

= sen x.

=

arc tg x, entonces f' (x)dx = 1

.M

Si f (x)

w

c)

at

em

at

J cos x dx

y

w

w

JI

!\2'

!Xx 2

= arc tg x.

Debe hacerse hincapié en el hecho de que, según las explicaciones anteriores: La dIferenciación y la integración son operaciones inversas.

Diferenciando (3), tenemos (4 )

dJ

f'(x)dx/= f'(X)dx.

Sustituyendo en (3) el valor de f' (x )dx [ = df (x; obtenemos (5) * suma.

Jdf(X)

1 según (2),

= f(x).

Hisl Óri ramenle. ese signo es una S deformada . let ra inicial de la palabra (Véase el Articulo 155 . )

INTEGRACION

229 22.9

f ...". J"

tanto, si dd e dx se consideran como simbolos símbolos de opePor ¡anta d:¡; x ración, son inver80s inversos el uno del otro. diferenciales,J airo" O si empleamos dircrenoialcs J

d e

Jf

el uno del otro otro." son inversos cl

f, Jj '

antecede II a Cuando d anLcccd('

como en (4), ambos signos se anulan corno antecede a d, como en (5) , eso, en Antecede

mutuamente; pero c:uando cuando mut.uamente;

será cicl"t.o. cierto. La rfl.1-Ón razón la artículo Eiguicnte eiguiente , general, no scrA 10. veremos veremo::! en el ar~¡culo constante de integ ración. al dar la In definición de la la. const.nutc iott'grución" 127. Constante de integración. integración . Integral indefinida. anterior se sigue que = = 3 x! X2 dz, dx, tonemos tenemos J3 f3

por ser

d(x~) d (x 3 )

por ser d(:z:3 d (x 3 pOI'

+ 22)) == 3 Xl dx,

X2 dx = = x3J ; z!dx

f! 3x:dx=:z:a+ = + 2; fJ x~ :r. -

om

Xl tc.nC!rnos X2 dz, dx, tenemos

.c

d(x¡ d( x 3 -- 7 7)) == 3

tenemos

3 x; dx

3

X2

x

3

dx == x 3

2;

-

7

ic

a1

como

X2

Del artículo Del articulo

at

En general, como E n gelleml,

X2

at

em

+ C) = 3

dx,

.M

d (x 3

e

w

siendo C una constante cualquiera coustant.e cua lquiera,, tenemos t(liJemos

w

w

J x~(lx=:rfl++ c. f33

X2

dx

=

x3

C.

e

La constante arbitraria C se llama constante de integración inlegración y es una cantidad integración. Puesto que podecant idad independiente de la Ja. variable de inlegraci6n" [lodemos dar a C expresión e cuantos valores queramos, se sigue que si una una. exp re::ión integral,, tiene también diferencial dada ttiene iene una integral t:~m bién una infinidad in fi nidad de integrales constantes.. Por tanto, iULegmlcs que difieren sólo en constantes

J

f'(x)dx

~ [(x) f(x) + C;

=

e

y puesto puesLo que C es desconocida e indej¿nida, inde,finida , la expresión

f (x) [(x)

+e

f I (x)dx (x )dx." se llama Ilnmlt la integral indefinida indefinida. de f' Ess evidente que si q, cf> (x) es una función (x) , E [unción cuya derivada de¡"i vada es fJ (x), entonces (x) constante es igualmen te entollces cf> 4>(z) e, siendo C una con stante cualquiera, 1."5 igualmente es f (x). (x) . De aquí se deduce deduce:; una función cuya derivada es!

+

e

CALCULO INTE GRAL CI\LCULO INTEGRAL

230

Teorema. derilJ(lda. derivada.

.Si cIJIIstanle, tienen la, Si dIJ8 dos funci(mes funciones difieren en. en una constante, la misma

Sio Sin emb..'\rgo, embargo, no e:i es alivio obvio que si (z) cf> (x) es una función euya cuya deridel'ivada es fez) tcnp;3n la misma misrn:t derivada f (x) f (x),I lod(¡iS todas las funciones que tengan !jelI.n fOrmn .p(z) sean de la forma

(x) y 'I'(x) tI! (x) dos fun ciones que tengan Demostración . Sean .p(x) funciones tE!nlrd.ll la ruiíl'r~la derivada f (x). Sea misma

F (x) = = .pcf> (x) - ~'(x) tIJ (x) ; entonces, pOI' por hipótesis, F(x)

(1 )

d F'(x) =-d = Jf(x) f(x) = F' (x) ~ dx [[cf>(x) .. (x) - 'tIJ(x)] 1' (x) 1~ (x) - J (x) ~ x

o. O.

del valor medió (Alt. (Art. 116), Pero según la fórmula (D) del teorema tCOI'CIHa del valor' medio tell emos: tenemos: p(x +,;x) (0:-Yi

= 2 afx-)I:ídx b fX- 2 eldx elX - IJ ... ...

b 9 9 b

at ic

ó/

a1

vi -xx+-;-+ycxr,+C. + -----;: + T CX.f3'" + C. V

w

.M

% - x %3 )3 d x =a 2 x+-;¡a'x C) % 1:í -T 9 a% % x3 x -T+C,

SUGESTION. SU GEST10N.

w

f

(a

según (4)

En primer desarrollar el cubo del binomio. pr imer lugar. lugar, desarrolln

w

7.

-

x% c . -~ - - +e C + J3 c· %

at em

=-4 = 4 .. a

xX-1 - '

- b. b . =t - l

m

)tí

.c o

xY2 x)li

La· -y¡ -= la.

J']

+J'3 cx%dx

Solución . Esta Esu inte inlegral 13 forma form", (4). En efecto. S~ Solución. gral pu~t1c puede rcdu(iu~:;¡ reducirse a la se puefactor 2 b 22 dUp después del ssigno integral. d~lanu delante de ... x dx. de introducir el helor tlu dd igno integlJI. d ... , yY su recíproco dr/unll' delante del signo operaciones se compensan mutuareciproco sIgno integral. inlegla!. Estas ESt~5 ope roldonu 5e compenSJn mut UJmente srgun segú n ((2) 2).. (Comp;irc$~ Yl . du dI),., (Compárese con (4). vu .. = a11 2 + b~xt. b 2 x2. nn _ = Yz. = 2 b 2 xdx.)

+

f

(a Z

+b

2

X2) )12 x dx

= - l2- f (a 2 2b

_ (a"

-

+

+ b 2 x 2 »)I:í (2 b 2 x dx)

b 2 x2) % 3 b2

r

=

L

~fuy,; du

2 b2

= u%2 +C. según (4) ] 36

+ C.

estudiante que NOTA. Se previene p[~\'ico~ al tstudi~ote qu~ no debe trasladar tusladar una uoa función fuodón de la variable un lado a otro del signo integral. PUUtO puesto qu~ que eso eSo i.lteuria alteraría el var¡;1ob!~ de uo ~l valor UIOf de 1,) la iinnlegrJJ. tegra!.

CALCULO

236

INTEGRAL

7. f~=-~+c. t2 Según

Solución. Esta integral

(2)

integral se parece a (5). Si introducimos el factor 2 c2 después del signo y su recíproco delante de él. no se alterará el valor de la expresión.

(Compárese

3

Luego.

(5).

con

a

f

v

b2

=

+

C2X2• dv

=

8.

S "';-d ax x

."

= ~

+

b2

In (b2

2 c2

[-

C2X2

+

-

2 c x dx.)

+ C,

3 a f d o - 3 a In v D --;;- 2 c2

12.

f4 x2 x

13.

f( ---x22

según

14. S "';-;(3

+ C,

C2y2)

3 15. f x

X3dx X2 10. f __ = x - + -x~ x 1 2 3

+

Solución.

En primer

lugar.

-

In (x

+

16. S...;-- a dividiendo

el numerador

por

x

empleando

x+l

(1) e integrando.

obtenemos

la so-

at em

lución.

Solución.

x - 2)dx

=

+ 5 dx

=

6x x

+ bx

2( dx = -

18. f(a+bt)2dt 19. fX(2

.M

= --

2'

=JE.

+ X2)2

dx

=

(2x+3)2+C.

Dividiendo.

2 x -

l = l

2x+3

4__

y emplear

. Sustituir

(1)

20. f y (a - by2) dy = .

2x+3

etcétera.

21. St"';2t2+3dt=

La función por integrar se llama el integrando. plo 1, el integrando es x6•

Así, en el ejem-

22. 23 .

PROBLEMAS Verificar

las siguientes

1. f x' dx 2.

dx--_ x~ 6

w

dx=x-ln

dx -' -,

w

11. f 2x-1 2 x+3

2)

x"

17. S ...; ady- by

1 +1---.

co m

-

a1 .

en la integral.

x2

at ic

Sustituyendo

=

w

'•.

x+l

2"';;

el denominador.

resulta:

__x3

-

+ C.

1)

+ 5V

11. S (x ~- - 2 x/2L3

b2+C2X2

2 c2x dx

2x"';~ 3

= ---

2

x dx

- 3af - 2 c2

t

= ~5

fdx = - .!.. x· x

+ C. + c.

f x (2 x + 1)

f •

dX

S

'\.¡-; = 2 V

5·S~=3x%+c. ~-; 6.

f3 ay2dy

x

+ c.

dx

=

4 x2 dx = 8 ...;-; "';x3 +8 6 z dz (5 - 3 Z2) 2 =

5'

25. S

("';-;i - V;)2

dx

26.

f

(y-;;- "';;)2 dx Vx

2 = ay3

2

24. f integraciones.

4.

-

+ C.

27. S

"';;(y'-;;-v';:

23í

INTEGRACION

(2)

c2 después del signo de la expresión.

li

+

C.

según

J~=-~+C.

8.

S -rz:«. = 2 xV~

t2

9.

t

11. S (x'l:\ - 2 x%

J4

13.

J(x

14 . 15.

16. por el denominador,

+ 5V~ -

2 x -:. 2V~ dx

12.

(5) ]

2

3 6

-1:,-)dX

2

= 2 x2

Sv~

(3 x - 2) dx

S

~3t

6~%

+

4V~ + C.

-

C.

x

+ C.

6 x~ 5 - 4 x% 3

=

Jx3-6x+5dx=~-6x+5Inx+C. x 3

S ---+ SV v'

a

2 (a

bx dx

=

+3 bbx)

%

2v'~ = -

+ C. + C.

b

20.

Jy

21.

Stv'2t2+3dt=

ic

J x (2 +

at

19.

(a+bt)3+C. 3 b

em

J(a+bt)2dt= X2)

dx

2

at

18.

a1

.c

a _ by

=

+6X2) 3 + C.

(2

.M

la so-

= 2~% -

3)dx

dx

itu ir

y emplear

(1)

ASí, en el ejem22.

23.

w w

w

o, obtenemos

10.

+~+

= x

x"

dy

17.

+C.

3

by2) dy = _ (a - by2) 4b

(a -

t

(2t2 3)%+C.

. J x(2x+I)2dx=x +-+-+C. 4

(4x2dx

.J Vx +8

=8V~

J (5 6-I-

25. Se 3 x% 2

+ c.

y=ay3+C.

26.

z dz 3 Z2)

V a -

ev~-v'~)2dX

f

vi x

3

x2 2

+C .

= __ 1_ 2

./-)2 V

4 x3

3

3

24.

+ C.

2

x

5 - 3

dx

=

+ C.

Z2

4xv'ax ax - --3-

2

x +T + c.

= _2ev'~-v'~)3+C. 3

v2x+C.

SV2x=

om

Según

7.

d t = (3 ~

10

;% -

%

+ C.

3x

+ C.

238 28.

29.

CALCULO

'

f

. V

32. 33,

dt

+

V

r

,

f2

2

V

a

2

dz

2

+b

47. f

5

f

35.

J'(x

2

B Z

S

%

50.

+ C.

+ I)dx

V

x3

+

r

I - cos x sec ' y dy = .l. In + b tg y b

• a

51. f(2x+3)dx=2x

+c.

x+2 (x2 + 2) dx = xZ. x + 1 2

52. f

(2 x 3) dx 2 "\lx2+3x=2Vx +3x+C. 2

= 2V

+3

x"

3x

= In (1-

49. fsenxdx

+ b

t ::n)

(a+, b

+ bee

a

+

34.

= ~

48. f~=ln + c.

2

2

dx = 2(a

(y + 2)dy y2 + 4 Y

+ c.

2

= a z + 2 a:z 2

x"

= In (

x2 + 3 x

.

1 3 b (a + b t ") + C.

= -

(a + bz3)

fX"-I

46 . f.Q3-±3)dx

+C

I = - 4 b (a + bx2)

3

tZ dt (a + bt3)

¡4

2

I = - 2 b (a + by)

3

x dx (a + bx2)

+

a4

=

/4

J. (a +dy by)

30. f 31.

¡3

a4

INTEGRAL

(x + 4) dx 2 x + 3

53. f x +C.

Yíz

e2S + 1

(2+~nx)2+c.

m

f(2+I;x)dx=

at (se n x )

at em

J

cos x d x =

2

(sen x) 3

3

Determinar el valor de ea' re su 1 tados por di fereneiaeión

+ C = seno x + C -3-'

haciendo

u = se n x ,

w

(4),

w

Emplear

SUGESTION.

w

.M

=

+ b de = 2 In aee - b

ic

x cos x dx

38.

d o = cos x d x ,

n = 2.

56.

ax cos ax dx = se~2aax + C.

fsen

f

2 x dx .3/ V

6 - 5 x2

40.

41 .

cos22xdx=

-

j'tg"::,,scc2"::"dx=tgZ"::"+C 2 2

J'

cosaxdx

V

42.

J(I

43.

j'~

b

+ se n

(2

2+3x 2

x

45.

f~a + br?

2

dx

+ x"

= In (2

= In

C.

a -:--_1 _ tg x

+ + 3 x) + C

dx =

= In

+

dx

d[ _1..10 (6

Verificación.

2Vb+senax _ __--''---_c:c.c.

x

f

2'

ax •

~Ct: r

44.

eos:2x+C.

.

j'~6-5xx 2

Solución.

39. fsen2x

In (

e 55. fae

a1 .c o

37. j'sen2

2

3 54. f~=

36.

s..

=

3

+ x3) + C

3

(a

+ c. 57.

f(x3+3xZ)dx.

58.

J

59.

f(.

.

..

+ 61 + C 2

)

2 b

.

(X2

-

4) dx .

x,

+~

V5X

5

V

5

INTEGRACION

=

46. fil3-±3)dx

+ 3x

x2

47.

J

(y + 2) dy y2 4 Y

=

+

In

(x2

In

(y2

1-

50.

[SeC2ydy

. a+

+

4 y)

+ e.

b

=

cos x

+ 3 x) + e. 2

48. f~=ln(a+beO)+C. a + beo 49. Jsenxdx

239

In ( 1 -

. = -I

+

In (a

b

b tg y

+ e.

cos x )

51. J(2x+3)dx=2x-ln

b tg y )

+ e.

(x+2)

+e.

x +2 2 52. f(x +2)dx= x

53.

J

54.

J ~

+

2 x _x+3 2

I

=~_+

(x+4)dx 2x+3

51n

+ 1 = Yz

In (e2s

+

+b

2 In (aeO -

-te.

(2x+3) 4

2

+ C.

1)

+

C.

em

-3-

Determinar

b) -

0+

C.

el valor

de cada

una

de las siguientes

y verificar

integrales.

por diferenciación.

56.

2 x dx

f

w

cos x d x , n = 2.

w

w

.M

resultados

=

at

sen ' x

dO

b

-

a1

ae9

at ic

O 55. Jae

.c o

m

e~s

+C.

In (x+l)

_3/

v 6 -

Solución.

5' 2 x

fV

2xdx =--!-J(6-5x2)-X(-IOxdx} 6 - 5 x2 ) = - ~

(6 - 5 x2) %

10

d[ -~

Verificación.

10 =

57.

JCx3+3x2)dx.

58.

.

59.

f(V

[

50.

sen23c'

cos 4 •

2

d q.

dx l -cosx'

dx

I=Sé~' se n 2 x dx . cos 2 x

3

(j'

dy ctg

cse y)

+

feos

r

• f

t

V

a

dI

+ b sen

c

.

ese O et g OdO. 5 - 4 esc O ese" x ti x

V

3 - ctg x

JV5+

.

2 tg x dx. cos? x

por

246 146

CALCULO INTEGRAL

132. Demostración de las fórmulas (18) a (21). Las fórmulas fórmu las (18) corresy (20) se deducen fácilmente de las fórmulas de diferenciación correspondientes . (18).. Puesto que Demostración DemostraciÓn de (18)

(-.l

c) -.l 1 +d(~))2=

d(l..arctg.!..+C)=l. d arc tg!!.... + = a a

a a

a G

f

obtenemos

1

d ((-; )) 2 = 2+(I(1,)segÚnXXlI,Art.60 2 +dv 2' según XXII, Art. 60 +!!.... vti a a ~ a

dv 1 v -12 -= = -arctg-+ C. arctg-+C. 2

+

v +a! a

a

Demostración de (19) y (19 a). Por AIgebra, Algebra tenemos tenernos

a

lugar demoslml'emos demostraremos (19). En primer lugur

I

1

f

at ic

f

según (1)

.M

at em

1 11 dv dv dv v! a~a2 == 221aJ ti v!' v2 dv a v~ - a a -- 2 2 af a v+a a w

f

a1 .c

om

---- -1a2 - -2a'[' 1] 1I%v-a-v+a'

Por tanto,

Entonces Entonces

2a

1

w

w

1 1 =2aln (v - aa)) -- ? (v+a) ~ -2 a In (ti + a) _~ln a lo (v v - a 11 ~ -= - ln - +C. 2 a v+ IJ +a a

según (5)

, Art.. 1 Según (2) ,Art.

demostrar (19 a), por Algebra) AIgebra , Para dcmostl'3.l' 1 + _1I _ =~ 2a _1_ --+ - - = -2 ---2 a - tiv a -- 'v; '.

a + vti

resto de la anterior. El resLo la. demostración es igual que en el caso ante]'jor. NOTA.

Las i n tegrales ((19) a) utisfacfn satisfacen la relación L¡¡s intq:rale$ 19 ) y ((19 19 o)

f

u2

du -

a2

= -

f

a2

du -

u2

'

Por tanto, eo en ccualquier apl.ícarse. P or hnto. ll ~lquitr caso dado una u otra fórmula fórmul~ puede pued~ aplj cdrse . Más tHde tarde VHemos veremos qu quee en muchos ejemplos num éricos ues nc(esHio nece sa rio eltgir elegir Mis nu mhicos una u otrJ, otra .

INTEGRACION

Demostración de (20).

247

Puesto que

dv

_/

va 2

f

obtenemos

_/

dv

v a

v a

2

' por XX, Art. 94

+ e.

= arc sen -

v

2-

v2

-

Demostración de (21). Supongamos que v = a tg z, siendo z una nueva variable; diferenciando, dv = a sec 2 z dz. Luego, por sustitución, a sec 2 z dz sec 2 z dz 2 2 2 = V a tg z + a = V tg 2 Z + 1 =

5

S f

sec z dz

=

(se~ z + tg z) + c

In

por (16)

a1 ic at

dv

= In

(Y.-. + I v~ + 1) + c

Haciendo

e=

dv vv 2 + a 2

V

=

In

=

In (v

- In a +

S

\j a2

a

w

V v2 + a2

em

S

por tanto,

.M at

Y.-.. a '

w

'=>

w

Pero tO' z =

.c

om

= In (tg z + V tg 2 z + 1) +c. Según (2), Art. 2

=

+vv2 +a2

+c

a

+ Vv + a 2

Z

)

In a

-

+ c.

e I obtenemos

In (v

+ V v + a + c. 2

2

)

De la misma manera, suponiendo que v=a sec z, du=a sec z tg z dz, obtenemos dv dZ = fa sec z tg z dz-= ~cz

Svv

2

-

a 2

va sec 2

2

z-a 2

S

+ tg z) + e = In (sec z + -vi sec z z -

= In (sec z

según (16) 1) +c por (2), Art. 2

248

CALCULO

EJEMPLO.

Verificar

IN

INTEGRAL

la siguiente

integración;

f 4 x dx + 9 = -61 arc tg -2 3x +

13.

faxx

14.

f (r -

C.

-:---;:--c--:::2

Solución. Esta expresión se asemeja a (18). En efecto. sean u2 = 4 x2 y a2 = 9; entonces u = 2 x , du = 2 dx y a = 3. Luego. si multiplicamos el numerador por 2 y dividimos delante del signo integral por 2. obtenemos

f4x

2

='2I =

f (2X)2+2 dx

I

'6 arc

tg

2 x

T

(3)2

[1 f u2+a2

1

du

='2

t

=2;;arc

U

g~-

+ C.

PROBLEMAS las siguientes 1.

según

(18) ]

18.

integraciones.

dx f ---=-arctgx + 9

19.

+ C.

x

I 3

2

3

20.

J SV

5.

6. 7.

8.

9.

10.

11.

f

f

12.

om 1. c ic a

21.

du

4 -

(u

+

22. 23.

dy 9 y2 + 4'

f 4¡2+25' dt f 25 xdx 4' f 3 7+ dx7 x

24.

25.

-

26.

at

2'

em

at

S2 -

I

4

eX dx --I + e2X

f f 4-sen cosOdO z84 f a xb dx 2

-

3 x

1 I (33

'6

1-

n

1 I (2

(2

In (3 x -

TI

-

n

16) + C.

2) + C.

+2

Las fórmulas ordinarias (l grado de dos términos solan implica una expresión de seg reducir a una de dos térmi de verse en los ejemplos sigu

3 x

=-arcsen-+C. 3

-

-

S2 -

I

dx _1

dx

.L 12

v 16-9x2 9 x2

./-

6 = In (s +v

= -

f 4 - dt9

f

+2

x

.M

ds

dx 9 x2

2

(x-2)+C.

dy = arc senJL + C. 25 _ y2 5

_/ v

f

In

4

w

4.

fv f

4

w

3.

-

w

x2

+9

2

a2y2 =

dx "119 - 16 x2'

2

2. f~=~

2b

Determinar el valor de cada ur resultados por diferenciación.

17.

r Verificar

+ C

dt 2)

a =

dy

16.

+9

+ b4

S VI + SV

15.

dx

dx

4

4

EJEMPLO

l.

Verificar

1) + C .

+ 3 t ) + C.

2

Solución.

2=3t'

f

= arc tg eX + C.

c2

-

b 1 2 ac n

c) + +

(ax ax

c

5 x dx 5 ./ = - arc sen xv 1- x* 2

?

+ C.

+ 2 x-

x2

+ 2 x-l

x2

+2 x

dx

.

Esta última integral es de la a = 2; entonces du = d x . PO!

=~ln(2+sen8)+c. 2-sen8 _

dx

fx

x x + I

la si

du

fu

C

2

. EJEMPLO

e

J

2.

+a

2

f

1 = -; ar 2dx

V2+x

249

INTEGRACION

13.

fax---x +dxb

14.

dt 1 f (t_2)2+9=Tarctg

sean v2 = 4 x2 y el multiplicamos obtenemos

5vi 16.5...;

dy

15.

a

2 b2

+ay

x2 arc tg -+ b2

1 2 2 = - In (ay a

du (u+3)2

4-

C.

(

t -3-

+

v

. /

2) +C. 1 + a2y2)

=arcsen(u+ 3)+C. 2

Determinar el valor de cada una de las siguientes resultados por diferenciación.

...; 9

du y2

23.

+ 4'

f 4¡2+25' dt f 25 xdx 4' f 3 +7 dx7 x

19. 20.

2

21.

24. 25.

-

26.

V

5 5 5

ds 4

+ 5'

S2

28.

5

6 t dt 8 - 3 t2

29.

f m? +

x dx V5x2+3'

30.

f4-

31.

[7 x2 dx • 5 - x6'

2 eX d x 1 - e2X'

•

sen e de ...; 4 + co s? e

t dt Vt4-4'

V

los

dx (x + n ) 2' du (2 u -

1)

2'

at

em

at

2'

f

f

om

5

y comprobar

27.

.c

18.

f 9 y23 dy- 16'

22.

dx V9-16x2'

a1

J

integrales.

ic

17.

+ C.

.M

Las fórmulas ordinarias (18) a (21) contienen expresiones de segundo grado de dos términos solamente (v2 ± a2, a2 - v2). Si una integral implica una expresión de segundo grado de tres términos, ésta se puede reducir a una de dos términos completando el cuadrado, como puede verse en los ejemplos siguientes. w w

según (18)]

= --

4

w

e

4

EJEMPLO

l.

Verificar

la siguiente

integración:

dx = -l f --;,.--,--;:----;--; x + 2 x + 5 2

x a re tg --

2

x2 + 2 x + 5 = x2 + 2 x +

Solución.

a

Esta última integral es de la forma 2; entonces dv = dx . Por tanto.

=

f ---u dv+ a 2

EJEMPLO

2.

2

5

= -l

_/

V 2

a

+ 1+ 2

1 + 4 = (x + 1)

(18). En efecto. la integral

u arc tg - + a

e=

anterior

1 x + 1 arc tg -+ C. 2 2 1

2

+ 4.

hagamos v = x + 1 Y se convierte en

-

2 dx 2 x = 2 are se n --x - x2 3

+

C.

+ C.

250

CALCULO

Solución. es negativo.

Esta integral es de la forma (20), puesto Ahora bien,

2 + x - x2 = 2 Hagamos v = x - JIz,

f V2 +

INTEGRAL

(x2

-

=;y,;.

a

}ü

+

X

X

+

Entonces,

=

que el coeficiente

%-

}O

(x -

de x2

7,

S

9.

f

do = d x .

x - x2

2j' V%- (x-;~)

EJEMPLO

2

1

2 x -

= 2 are sen -3--

= ~ In 3

dx

3 x2

- 7

10

(x2

= 3 [ (x

+4x

+ %) 2 -

%,

si o = x +

a =

%'

2%J

2%.)

f ="3 v I

13.

S

14.

f

_

15.

S

16.

S3

a2'

at em

= _1_ In ~ - a + C = ~ In x +?~ 6a v + a 10 x + % +

% %

+ C, etc.

w

f

w

17.

PROBLEMAS

fx

dx

2

2.

+ 4x + 3

f:-_=dx:.:,,-----c= 2 x - x 10 2

3.

5.

6.

2

ln(X x

= - ~ are

3

-

+ l)+c. + 3 tg

(_X-_I) + C. 3

= arc tg (X_-_4) + f x--=-_3-::-d-",x--:-~ 8 x + 25 3 2

4.

=~

C.

-

fv'

dx

3 x - x2

-

f v dv6 v. + 5 -2

f2x

-

2

dx -

2x

+I

2

=arcsen(2x-3)+C. 1 1

4"

n

dy

y2

+3y

dx I+x+ d:

\/

+

1

d:

4 x2

x2

+4 -

dx 2

V2-:

Hallar el valor de cada resultados por diferenciació

Verificar las siguien tes integraciones: 1.

ds

v'2 as -t

S

puesto que también du = d x .

at

a2

dx

v' 2 x -

do 2

.M

-

dx 4 x - x2

12.

w

2

=

+ C.

dx

+ 2x

x2

f f

10,

según (20)

ic a

según la forma (19), Entonces, tenemos

~f~ 3 v

7

-

dx

om

2

f 3 [ (x

3

+7

+ % x - %) +%x +% _ + %) 2 - 2%J.

1. c

dx

x -

3x

- 7 = 3 (x2

= 3

f3 x

= 2 are se n .!::.. + C a

v2

-

11.

+4 x +4 x

2

Solución.

dv

V a2

+C.

f3x

3.

2f

=

dx

d:

+;

v' 15

8.

2.

2 dx

=

f

(vv --

5) 1

=arctg(2x-l)+C.

+ C.

18.

fx

19.

fx

20.

f 3-

f f 22. f

+ 2 x + 10' dx

2

21.

23.

dx

2

+2x

- 3'

dy

2

y

-

y2

3 du v' 5 - 4 u - u2 5dx

v' x2

+ 2x +

5

dx

v' x2

+4x +3

INTEGRACION

fV

el coeficientede x2 7. - H)2.

dx =arcsen 15 + 2 x - x2

8. f

dx

+ 2x

x2

f 4 x dx- x

9.

fV fV

10.

(20)

1l.

%)

-

l.

In (_x_)

4

dx 2 x - x2

=

ds 2 as

= In (s

+ S2

are se n (x -

f l+x+x2=V3arctg dx 2

f

=

x

v' l: x+x2

15.

f4x2+d;X+5

16.

f3

1)

+ C.

+ a + V 2 as + S2) + C.

1 V5

In

C

Y+3-V5) 2y + 3 +V

(2 x

+

V3

1)

etc.

+4

x2 __ d; x

=

at

~+ e,

V\I

~II)+

arc tg(~~

C.

w

.M

3

+C.

={-arctgCxt~)+c.

em at

I

5 + C.

=ln(x+-}+v'I+x+x2)+C.

ic a1

dx.

+ C.

x - 4

13.

a2' do =

=

+ C.

x+2

f y2 + dy3 y + l

14.

ambién

In (_x_)

2

12.

du

u2

l.

+C.

om

según

2

=

(X-I) --'d a0 2 ao au' a 2

at ic

2

EJEMPLO E JEMPLO 5.

at em

,

.M

D emostrarf que D emoun qu e

w

1 dl ""

w

3

w

f sec g z + ),tí sr ;:3 z d z = Yz Yi sec sec:.rz ttg y! Demostración. DcmostraciólI.

Ha g gamos H~ ~mos

1Inn (s~c (SH:.rz yy

sec .zz u ="" $fe

II

du

du = _ 5~C tg z1 dz sec z:.r tg

en ton ces entonces

+ tg t g z) d + c. C.

y

=

S2C 2 Z

dz ;

uv= tg z :.r_,

Sustituyendo Su!tit u y~ndo en rn ((A), A ),

Jfsec3zdz stc " l dz -

=

f

secz zdz. SH.z ttgzI: 2 - fsecz sec z tg Ig22 Z d1..

En I~ la nueva intt(g eg r.1!. ral. efect emos lJ la sustitución tg 2 z -= stc~ sec 2 "lz -n UCVJ ¡n efHt uuemos s us tituci ó n 19' obtenemos oblf nem os

ff

-.r

3 z dz ., sec = sec g z - f set ':.r sec:.rz ttg

sec se, 33 z dz

+ In

(sec z7. (uc

1. l . Entonces, Entonces.

+ Ig t g z) c. 7.) + C.

Traspon i endo a~Il p prrim im er miembro m i embro I~ la integral d el seg und o miembro yr d dividiendo Tusp o niendo inlc g rJl del lln do i vi di tn d u por 2, tenem os el resu l tado buscado. p012. t'nemos rUlIltado busc~do. EJ EM PLO o. 6. EjEMPLO

f

Demostrar Demonrar qu e eoxs en nx dx = cOIta sen nx -

a2

+n

n cos nx) 2

+ c.

CALCULO

272 Demostración.

Sean

u = eOX

en tonees

Il

INTEGRAL y

d o = sen nx d x ; y

du = aeUX dx

f

(2)

(A),

en la fórmula

IJ =

Integremos

por partes

Sea

u

la nueva

=

ax

= -

eax sen nx dx

el resultado e

7.

2e S y2 se n ny dy =-

se n nx

y

L:

a

xn+

xn In x dx = n

+

10.

S are sen x d x = x al

1l.

S are tg x dx = x ar

IJ=---.

(A),

según

f

(3)

eax sen nx

eax eos n x dx

n

--;;

f eaxsennxdx.

a

12. S Sustituyendo

f

en

(2),

He etg y dy

=

y a,

obtenemos 2-

= :::

eax sen nx dx

f

13 . J'are

eos 2 x dx = x

miem-

14.

•fare

see y dy = yal

del método de integración

15.

S a re cse '2 t dI = e al

16.

f

17.

.fare

18.

SX2e-X

19.

S

n eos nx

(a sen nx -

)

-

~

2

eax sen nx d x .

om

Las dos integrales de (4) son idénticas. Trasponiendo la del segundo y despejando la integral se obtiene el resultado buscado.

a1 .c

bro,

= n'"

n

Luego,

(4)

IJdv

eosnxdx;

dlJ

du = aea:>: d x

entonces

JI

9. •

y

n?

8. S xa'" dx

eax eos n x d x .

integral.

eaz

IJse

es

+ -;;-f

e~s nx

= X

S

n

Sustituyendo

3

6.

eos nx

que contienen productos,

b)

diferenciales

que contienen logaritmos,

c)

diferenciales

que contienen funciones

x are tg x dx = -x

w

w

diferenciales

w

a)

.M

at e

m

at ic

Entre las aplicaciones más importantes por partes se encuentra la integración de

triqonoméiricas

y'-;

19

dx =

inversas. dx = -

e-

PROBLEMAS

Demostrar

las siguientes

1.

.r

2.

Jlnxdx=x(lnx-l)

20. x eos x

3.

4.

5.

J

x

fx J' see" (OS

ti

2

x x+

(x+I)2

S x2 are sc n x dx =

+C. x x d x = 4 se n - - 2- x eos -

2

nx nx (I x = eos --.,n:

ti

Slnxdx

+ c. 21.

se n -

"2 (

eO

co s e de =

integraciones.

x se n x dx = sen x -

'. x

eO

d

ti

ti

tg

ti

2

+x + In

sen nx n eos

LI

+ C.

22.

SlnCx+l)dX=

V S

+C. + C.

23.

24.

x+1

xe"

dx (l+x)2=fT

Se-t

cos n r de

eX

=:.

INTEGRACIO N INTEGRACfON 6. ti.

' J y2 sen ny

f

!i!s~ nny

y2 2 cos $~n ny nlJ y~ eos cos ny n!l eos ny +1 2 !Iy sen dy = --n3- uY---n'. n ~2 n ' +C.

8 . f·VII~dX"',,~ fxa ::c dx = a'" B. 9. !).

~ u 2 - }12 u se n 6 u - 0 2 eos 6 u + c. ~LlJ-}¡2L1Scn6L1-}42cOS6L1+C.

fu se n 2 31LldLlu du = J'LlSfn

7. ,

273 '73

[~ L:

In~Q J +

e. In a -- _In 12 a ] +C.

Jxn In ln xr/x xdx =:71 :11(lnx-n~I)+C. .fx~ - ::'1 ( In x- n~ 1) +C.

far e sen.'f sen x d,r dx =- x are se n x+ 110 0.. J'HC HC sen,r+

V~ ~+

C.

+

+

+

+

11.

,)are x dx "",r = x are t g x - Yl Yz In ((11 + xX 23 ) + C. ,f He tg rg.'f ar e Ig

12. IZ.

fJ·.He

13.

fare eos 2 x dx -= x are ,falt (OS ~rt eos CO! 2 x -

14.

see y dy _= Y are Set!l see y - In (y + ,,)are f are sec!I IjOlTe

15 Hi..

re eseTdl = 1 a re ese T + 2 1n (I+Vr (1 + V 122 - 4) + C. , alfcc~c 2 c1r-r.Ht(st T +21n 4 )+C.

16. le .

f

17.

JJ~IC are ¡'Rg

18. 18 .

ffXI~-'" d~

19.

f eseo s O dO = ~ ((stn(J+coS9)+C. sen 0+ cosO) +C . fC'COS6d6-~

20.. 20 21. 2J.

22.

3re et g 1)y dI) CI & d"

=" are etg =

+ VIY.:

y H': 'Ig IJy +

2) + C . y2) In (1 ( 1 + !l

Yz V J.1 v

+

'1I - 4 xX23 + C.

,

,

a1 .c

jJ'

om

!J2=l) + + c. + v\I~) C.

t

+

_\.1 x2

1 1

at em

at ic

1

x

T

+

+ l. c.

x

2 e-·r

w

w

.M

x.,' aaro: re t[I:g .x{ e/x dx "" = --2-t g Xx -- , - - are He 111 dx =-

dx = = -

+

w

..¡-; V;

(x + + 1) are tg V; V-; --...;; V-; + C_ c. ix

e-"'(2 + XZ) x2) + C . ~ -"'(2 + 2 x +

+

+

In x dx x 'lnxtlx (x+ I )2= x+ lln x (x+ II)+C )+C . (.1'+1,,"" x -- In {x+

fj f fj ..;j + f' f

x3 X2+ 2 --.1'3 x2+2 x2~ a re sen xx ddx are se X2 + C C.. x t e un ,r -= T T He ~e nn xx + - -9- VI - JC2

+ - -,-

+

'ln (x 1)c1.{ __7 ,,;-,- -, 11 n In x+; ~ dx = 2 V x + I [ In {x+ll-l (x + 1) - 2]1 +C + C.. .~+

x+1

.\"e ~ d ;r

~ ~+ C.

23. ,

{ I+x}"

24 . 24.

e'leosJTldt =

I+ x e-I

(Jt sen Jtl - eos Jtl) + Jt 2+ 1 + C. C.

27-J.

CALCULO

Hallar resultados

el valor de cada por diferenciación.

25. .

f

de las

siguientes

x dx . x scc? 2" 2

26. ,fx

e05

36.

2 x dx .

37.

integrales.

x are tg x d x .

j'

(ex

+ 2 x)

(2

+ X2)

eosxdx.

38.

28, •[are

sc n mx d x .

39. f

T

are etg

30.

f

are eos ~

3I.

j'

are see

f

dx .

x 42. f e3'x eosTdx.

/5

'

J

3 x dx 5-2x2'

d B,

+ b)d~

3.

j

4.

fxeos2xdx.

6.

,

V

(2

_

.

x2

se n xt de.

, S .y

(4 x

x2

+ 3) dx . +4 x +8

om

43. fe-~eos2Idl.

.c ;

eos

5 - 2 x2'

'(ax

2

dq,

a1

are se n ~

X

2.

dx .

2

4I. f

dx.

r:

J

44.

ic

f

3 x dx [ ,V

1-

c4 eos

TII

dt .

.M

are sen x dx .

-45. ft e

;{ I 4

sen

4dr.

35.

w

w

w

34. fX3

at

em

33.

el valor de cada una por diferenciación.

l.

3

dx .

are ese ni di.

Hallar resultados

x2

40. fe-o

at

32. f

PROB

los

V; dx .

a re tg

dx .

J

y

y comprobar

J' .f

27. fx2

29. f 11

una

11

INTEGRAL

fxaresenxdx

VI -

46. ,fese311

x2

137. Observaciones, La integración ción más difícil que la diferenciación. sencilla en aspecto como

no se puede

calcular;

vx

d B,

es, en general, En efecto, una

una operaintegral tan 12. f(e2X-2x)2dX.

fvx

sen x dx

es decir,

no hay

ninguna

función

elemental

cuya derivada sea sen x. Para ayudar en el cálculo de integrales se han preparado tablas extensas de integrales ya resueltas. El Capítulo XX VII de este libro es una tabla de esta clase. El uso de esa tabla se explica más adelante, en el Artículo 176. Aquí basta seíialar que los métodos hasta ahora presentados son adecuados para muchos problemas. En capítulos posteriores se desarrollarán otros métodos.

14.

15.

f f

sen2

(IX

(OS

ax d x .

se n 2 ax cos? ax d.\

16. fIn

(1 -

V-:C)dx

275

INTEGRACION PROBLEMAS DIVERSOS

Hallar el valor de cada una de las siguientes inte gr ales, y comprobar los resultad os por difer e nciación.

2.

' 3 x dx JV 5 - 2

j

'53- x 2xdx

X2

18 .

2 '

3 . 5 ( ax+b)d~.

...¡ c 2

19 .

X2

-

4.

j'x cos 2 x elx .

20 .

5.

j

21.

' J

j ,

+

(4 x 3) elx x2+4x+¡)'

(a 2 _

dx X2)

x3e1x

V X2

'

+1

elx --;===0== V X2 X3

' f

x3 elx

V 1-

.

X2

'x 3 elx x - l'

J

22 . ,

23 .

%.

,

at

7. ,

f

e) 2 de.

ctg

' JV

4 x elx I - 4 x,

ic a1 .

6 .,

'(4X+3)elX x"+4x+8 '

' fV

j' (2 tg 2 e ' 4x tlx j 1-4 x. '

17.

,

co m

1.

5

6 2/ ceas 3 I dI.

w

w

w

.M

at

em

24 .

10.

f

el.\" X2 - 6 x

+ 10'

26 .

27.

14.

f f f

15 .

fs~ n 2

12.

13 .

16 .

(e 2X

-

2 X)2 elx .

28.

j j

'sen

4

O

5 de .

' (I-CSC 2

21)c!1

1"+etg2¡

SI \j

are se n x dx . 1-

X2

elx eL -

4 e - x'

sc n 2

(I X

5

In

(OS

ax d x .

ax eos 2 ax d.\".

(1 - y'-;)dx.

30.

3 1.

32.

f f f

y'

5 tlx x+ l'

X2 -

x 3 are tg

(e'

f

+ sen

d.\" .

x)

2

dx .

276

CALCULO

INTEGRAL

33. feX-COSX)2dX,

34. f

35.

36.

f

(i

+

37. fe-tsen

tg x ) 3dx.

38.

se n () «o (1 - COSO)3'

J(¡

+sent)3dt cos t

fsen

2 t dt.

2

e

cos 3 () dlJ.

39. fsen

ep se n 4 ep dsp .

40.

(1 cos 2

fcos

(1

da.

CA

138. Determinación de 1 condiciones iniciales. Como constante de integración pi conocemos el valor de la il variable. En realidad, para gración es necesario tener alg rencial que se ha de integrar EJ EMPLO. y tenga

el valor

una f unc x =

Hallar

12 cuando

w

w

w

.M

at em

at

ic a

1. c

om

CONSTAN1

Solución. Ahora

+

- 2.\

(3.\2

5)

bien.

J (3 x· - 2 x :

siendo C la constante de integra este resultado debe ser igual a 12

12 = l - 1Por

tanto,

x3

-

.\.

+

5 x

+

139. Significado geomét cado geométrico de la constr EJ punto

FMPLO

tenga

Solución.

l. Determinar de pendiente 2 .r. Puesto

c ua lqu ie r a es dy dx /

o sea,

que la pe

tenemos,

po