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1.09. TRIANGULACIÓN TOPOGRÁFICA GENERALIDADES. Para efectuar el levantamiento de grandes extensiones de terreno, la técnica que por su propia naturaleza ofrece las mejores ventajas, es la técnica de la TRIANGULACION, método mediante el cual es posible llevar el control y apoyo de todo el levantamiento planimétrico, no solamente de grandes extensiones, sino también de los terrenos de mediana extensión y en donde la poligonación resultaría antieconómica ya sea por lo accidentado del terreno como por la existencia de obstáculos que dificultarían la medición de los lados de la red u otro factor que haría casi impracticable las poligonaciones. Para formar una poligonación es necesario unir convenientemente dos o más triángulos y en la que uno o más lados son lados comunes de los triángulos adyacentes, lográndose figuras que no necesariamente han de ser triángulos, sino también: cuadriláteros, polígonos con puntos centrales o redes conformadas por tales figuras, (Fig. Nº 34, 35). En toda triangulación basta con medir uno de los lados de la figura (base de la triangulación), calculándose el resto de ellos, por relación trigonométrica siempre y cuando se conozcan los ángulos que forman cada triángulo. Cuando la precisión por alcanzar debe ser considerable se tomará una base de comprobación con el de determinar la bondad de la red. Los conceptos que seguidamente se presentan, se refieren principalmente a las triangulaciones del tipo topográfico aun cuando existen conceptos muy comunes con las triangulaciones del tipo geodésico. DEFINICION. Toda triangulación, es la red de apoyo de levantamiento planimetrito que se encuentra formada por una serie de triángulos en los cuales uno o más lados de cada triángulo, lo son también de triángulos adyacentes, (Fig N° 34, 35). TRIANGULACION TOPOGRAFICA. Es toda triangulación en la que no se tiene en cuenta el efecto de la curvatura terrestre, tanto en la medición de lados como en la medición de los ángulos. De modo general el alcance de los levantamientos por medio de las triangulaciones topográficas, puede llegar a unos 400 o más kilómetros cuadrados de extensión; siempre y cuando se lleve un adecuado control de la precisión requerida. PLANEAMIENTO DE UNA TRIANGULACION TOPOGRAFICA. La conveniencia de una triangulación como red de apoyo de levantamiento debe estimarse teniendo en consideración los siguientes aspectos: -

-

La triangulación es conveniente en terrenos de gran extensión. La triangulación resulta ventajosa ante la poligonación, principalmente en regiones accidentadas y montañosas, ya que de otro lado, la medición directa de lados sería lenta, con serias dificultades y antieconómica. La triangulación en toda extensión de terreno en donde la naturaleza de su topografía o la existencia de factores diversos hagan imposible o dificulten la técnica de la poligonación; tal como es el tráfico de vehículos en las ciudades o en terrenos tales como: cauces de ríos, lagunas, orillas de los mares en donde su propia naturaleza dificulta tremendamente la medición de los lados.

ELEMENTOS DE UNA RED DE TRIANGULACION

H 3

F

2 45

1 E 6 7 43 42

C

44 41

32 45

1 8 6 7

3 2

18

B

FIG Nº 34 Sea la Fig. Nº 34, entonces: ESTACIONES Es todo vértice de las figuras que forman la triangulación, ejemplo: estaciones: A, B, E, etc. LADOS Son las líneas que ligan o unen dos vértices de la triangulación, ejemplo: lados; AB, BC, AD, etc. ANGULOS Es la figura formada por dos lados de una triangulación y que se intersectan en un vértice de la misma, (1), (2), (41), etc. BASE DE LA TRIANGULACION Es el lado de la triangulación cuya medición de su longitud ha sido obtenida directamente en el campo, ejemplo Base AB. Existen dos tipos de bases: la de inicio de la triangulación (base de la triangulación) y la base de comprobación (base de cierre). FIGURAS: Cada una de las figuras geométricas que forman los triángulos llegando a formar la triangulación total, ejemplo. Triángulo FGH, cuadrilátero ABCD, polígono con punto central CDFG (E). En base al triángulo, las triangulaciones pueden estar conformadas de las siguientes cadenas de figuras:

CADENA DE TRIANGULOS CON BASE DE CIERRE

CADENA DE CUADRILATEROS

CADENA DE POLIGONOS CON PUNTO CENTRAL

MARAÑA DE TRIANGULOS

MARAÑA DE CUADRILATEROS

CADENA DE DIVERSAS FIGURAS

Fig. Nº 35

ELECCION DE LA CADENA PARA UNA TRIANGULACION Si bien en la práctica no es posible seguir o mantener una cadena de un solo tipo de figura, para la elección de la cadena que mejor conviene tomar, se tendrá en cuenta los siguientes aspectos: -

-

-

La triangulación formada por una cadena de triángulos es de las más sencillas por cuanto que no requiere de una medida de un elevado número de ángulos pero en cambio requiere de la medida de bases de comprobación muchas veces muy cercanas unas de otras, si es que se quiere lograr una buena precisión. La triangulación formada por una cadena de cuadriláteros requiere de un mayor número de visuales pero brinda un mejor control del levantamiento, principalmente en lo que a precisión se refiere. Este tipo de cadenas es muy adecuado para zonas largas y relativamente. La triangulación formada por una cadena de polígonos con punto central, requiere de un gran número de visuales y con las cadenas de cuadriláteros, son las adecuadas para levantamientos de gran precisión. Este tipo de cadenas es adecuado para levantamientos de zonas en que su anchura es considerable.

LABORES QUE IMPLICA UNA TRIANGULACION Las labores que son necesarias realizar para ejecutar una red de apoyo de levantamiento formada por una triangulación, en cuanto únicamente al control planimetrito se refiere, son:

TRABAJO DE CAMPO Comprende: - Reconocimiento del terreno. - Ubicación del vértice y selección de la ubicación para la base(s). - Medición de la base(s) de la triangulación. - Medición de los ángulos de la triangulación. - Medición del azimut de uno de los lados de la red. TRABAJO DE GABINETE

-

Comprende: Cálculo de la longitud y precisión de la(s) base(s) de la triangulación. Compensación de figuras. Cálculo de la resistencia de figura y selección del mejor camino de cálculo. Cálculo de azimut y rumbos del mejor camino de cálculo. Cálculo de lados de la triangulación. Cálculo de las proyecciones de los lados. Cálculo de coordenadas. Clasificación general de la triangulación ejecutada. Dibujo de la triangulación.

El fin general de una red de triangulación, no es exclusivamente contar con la red pl animétrica, sino que en base a ella se ejecuta el levantamiento de los detalles de toda la extensión que abarca la red. El levantamiento de detalles implica realizar la radiación desde todas las estaciones principales (vértices de la triangulación) así como de estaciones auxiliares de levantamiento. Implica así mismo llevar el control de una red de apoyo de levantamiento altimétrico (red o redes de circuitos de nivelación). RECONOCIMIENTO DEL TERRENO Consiste en la inspección ocular del terreno a levantarse y tiene como objetivos: planteamiento general de la triangulación estudiándose las mejores posibles ubicaciones de los vértices de la red, elección de las figuras a formar, posibles ubicaciones de las base(s). Asimismo, deberá determinarse el personal y equipo necesario como el posible costo del levantamiento. Esta etapa debe ser realizada indispensablemente por el ingeniero o tipógrafo a cargo del levantamiento, ya que la precisión, costo económico y el buen éxito del trabajo d epende en gran parte de las conclusiones a las que pudiera llegarse luego de un buen reconocimiento. Toda triangulación requiere de muchas visuales, por lo que se seleccionarán los lugres elevados para ubicación de estaciones, así mismo las zonas descubiertas y que no impidan la visibilidad.

En extensiones limitadas y para redes de baja precisión, según la experiencia del encargado del levantamiento, la etapa de reconocimiento puede ejecutarse simultáneamente con la etapa de ubicación definitiva de las estaciones. El equipo de ayuda para el reconocimiento comprenderá: podómetro, brújula, eclímetro (Nivel de Abney), jalones, wincha, binoculares y otros a fin de estimar en una primera aproximación, tanto distancias como ángulo. De ser posible, resulta muy ventajoso contar con un mapa general de todos los accidentes físicos más notables.

UBICACION DE VERTICES Toda estación o vértice de triangulación debe ubicarse en sitios difíciles de remover y que no se presten a confusiones. Para la selección de un sitio como vértice de triangulación, deberá tenerse en cuenta principalmente que la precisión de ángulo depende principalmente de la exactitud de la medición de la base así como de la precisión en la medición de los ángulos. Los lados de una triangulación por ser calculados por la formula:

ab

Sen A Sen B

(1)

determina ciertas condiciones para lograr una precisión adecuada. Así, el error que se cometerá en el calculo de dicho lado, será:

da

  Co sec B Cotg B (Sen A) b

dB

(2)

Ósea que es directamente proporcional a la función Cosec B Cota B, función que tiene variación muy acentuada para ángulos próximos a 0° y 180°¸; por lo que es recomendable que las estaciones se encuentren ubicadas de tal manera que en lo posible no formen ángulos ni muy agudos ni muy llanos. Demodé general es adecuado tener ángulos no menores de 30° ni mayores de 120°. La Fig N° 36 aclara gráficamente el concepto expuesto líneas arriba.

C1

C1

C

C

error

error A

B

A

B

C : Posición real del punto. C´ : Posición errónea del punto, por un error determinado en la medición del ángulo B. FIG N° 36

Para marcar una estación o vértice puede emplearse simples estacas de madera o dado de concreto, usándolos según la importancia y jerarquía de la red. La Fig N° 37, presenta algunos modelos.

10cm

30cm

40cm 60cm

20cm 40cm

FIG Nº 37 Las señales que se toman para visualizar las direcciones angulares, deberán ser inconfundibles, perfectamente verticales en su posición durante la operación de medida de ángulo. Según la distancia a la que se encuentren unas de otras, se utilizaran: jalones y balizas con o sin bandera, postes o las denominadas torres de observación. El pintado que se empleen para identificar las señales puede ser por medio de franjas alternadas de color rojo y blanco u otro alguno que resalte sobre el cielo o fundo que se ve la señal. Algunos modelos de señales se presentan el la Fig N° 38, siendo el ancho mínimo de las señales el dado por la formula práctica:

a  0.0004

L (3)

I a: ancho de la señal. L: distancia entre estaciones. I : aumento del anteojo del instrumento.

FIG N° 38

UBICACIÓN DE LA BASE DE TRIANGULACION. Toda base de triangulación se ubicara en terreno llano, abierto y con buena visibilidad, debiendo facilitar en todo momento la medición de la misma. Los terrenos dependiente menor al 10%, son mas adecuados pudiendo tomarse y cuando el caso lo requiere, terreno mas ligeramente mas accidentados. La longitud que debe tener una base, por razones de economía y de su misma ubicación, pueden ser hasta del 20 al 30% la longitud promedio de los lados de la red. Para bases relativamente cortas y si el terreno lo permite es preferible tener bases cuta longitud sea aproximadamente igual al promedio de los lados. L a Fig que se haya de formar para la salida de la base y ampliación de la red, preferentemente debe ser un cuadrilátero o un polígono y de lados relativamente equilibrados o aproximadamente iguales. MEDICION DE LA BASE DE TRIANGULACION La ubicación de una base depende fundamentalmente del equipo con que se cuente, así puede ser ejecutada mediante wincha de acero, barra invar. o electrónicamente. La medición a wincha no requiere de equipo muy costoso, el segundo método es de costo mediano y el tercero requiere de equipo cuyo costo es elevado empleándoselo mas bien en triangulaciones geodésicas. En toda medición de bases deberá tomarse todas las precauciones para garantizar que las medidas no adolecen de errores groseros o equivocaciones personales. MEDICION CON WINCHA DE ACERO La medición de un base por medio de una wincha de acero, consiste en: - Colocar estacas perfectamente alineadas a espacios de unos 12.5 a 15 m. e intermedias entre las estaciones extremas. Las estacas pueden ser de madera de unos 5 a 10 cm. de sección recta y unos 60 cm de longitud, debiendo clavárselas hasta lograr una posición fija. - Sobre la cabeza de las estacas se colocara placas de latón o zinc, a fin de que sobre ellas se ejecuten las marcas referenciales de las mediciones. Tales marcas se aran con un punzón de metal. - Ejecutar convenientemente la medición de todos y cada uno de los tramos de la base, registrándose su longitud, temperatura del ambiente y la atención que se tuviera en el instante de la medición. - Llevar acabo la nivelación las cabezas de las estacas.

-

El personal necesario para la medición puede ser: Dos cadeneros, uno de ellos tomara las tensiones de medición. Dos lectores de las longitudes, uno de ellos colocara las marcas en las latas de zinc o latón. Un registrador de las temperaturas de medición. Un libretista.

-

El equipo necesario es: Teodolito con su respectivo trípode. Wincha de acero. Termómetro. Tensiometro. Jalones, estacas, comba, placas de latón, punzón, clavos, tiradores, martillo, etc. Nivel de ingeniero, con su respectivo trípode y mira. Un modelo para llevar el registro de la medición propiamente dicha, es: DESCRIPCION

Tramo ……………. …………….

Apoyos …………. ………….

PRIMERA MEDICION Desnivel

Longitud m.

……………. …………….

……………… ………………

T °C ………. …………

P Kg …………. ……………

El numero de mínimo de mediciones debe ser de cuatro (4), dos de ida y dos de regreso; llegando hasta 16 en las triangulaciones de alta preedición.

La precisión de medida de una base, deberá ser la adecuada para la triangulación que se trata de plantear. Como referencia debe tomarse los valores: CLASE DE ERROR Error probable, inferior a: Error real, inferior a: Cierre de la base, después del ajuste angular

ORDEN DE LA TRIANGULACION A PLATENAR 1° 2° 3° 4° 1/1000000 1/500000 1/200000 1/20000 1/300000 1/150000 1/25000 1/6000 1/25000 1/10000 1/5000 1/3000

MEDICION DE LOS ANGULOS DE LA TRIANGULACION Las visuales que se dirijan para la medida de los ángulos deberán ser a señales perfectamente visibles, verticales e inconfundibles. Entre los métodos mas comunes puede optarse por el método de repetición o el método de reiteración u otro alguno y de precisión con que este mas acostumbrado el operador. Los ángulos a medirse no solamente ha de ser los ángulos interior de las figuras, sino también los ángulos interiores de las figuras, sino también los ángulos exteriores en cada vértice, para que posteriormente pueda ejecutarse la compensación por ecuación de vértice o cierre del horizonte. La precisión a alcanzar, según las exigencias del levantamiento estará en concordancia con la tabla: CLASE DE ERROR Cierre promedio en ángulo: Máximo error angular en cada triángulo:

1° 1” 3”

ORDEN DE LA TRIANGULACION 2° 3° 4° 3” 6” 15” 5” 10” 30”

El número de repeticiones en la medida de ángulos, será de cuatro para las triangulaciones de menor jerarquía, llegando hasta 16 en las de primer orden. Si la medición es por series se tomaran los mismos valores. MEDICIÓN DE UNO DE LOS AZIMUT DE LOS LADOS La medición del azimut de un lado de triangulación puede ser ejecutada con brújula de teodolito para las de 3° y 4° orden, para los de 1° y 2° orden debe ser por medio del azimut verdadero o geográfico. De ser posible se medirá el azimut de la base de la triangulación.

CALCULO DE LA LONGITUD Y PRECISION DE UNA BASE DE TRIANGULACION. Los datos de medición deberán estar exentos de toda posibilidad de errores groseros o equivocaciones vulgares. Los errores sistemáticos en una medición con wincha de acero son: error por dilatación de la wincha error por catenaria, error por falta de horizontalidad, error por deformaciones por tención y error por calibramiento de la wincha y que compara con un patrón que generalmente es una wincha de hilo invar.. A cada uno de estos tipos de error sistemáticos, corresponde su corrección, siendo: Corrección por temperatura:

Ct  KL ( T  T0 ) Ct: corrección por temperatura. K: coeficiente de dilatación de la wincha. L: longitud del tramo medido. T: temperatura del ambiente en el instante de la medición. To: temperatura de calibramiento.

(4)



Corrección por catenaria:

Cc   L ( w l )2 24

(5)

P

Cc: corrección por catenaria. L: longitud del tramo medido. W: peso lineal de la wincha. l : longitud entre apoyos. P: tensión de medición.

P

P

l L

FIG Nº 39 Corrección por horizontalidad.

Ch  

h2 2l



h4 8 l3

(6)

Ch: corrección por horizontalidad. H: desnivel entre estacas de apoyo. L: longitud entre apoyos. Generalmente se toma el primer termino de la formula anteriormente escrita, ya que para desniveles pequeños, a partir del segundo término, las serie va tomando valores más pequeños. El signo de la corrección por falta de horizontalidad a aplicarse a toda medición, siempre es negativo, sea el desnivel positivo o no. Corrección por tensión.

Cp 

L(PP) SE

(7)

Cp: corrección por tención. L: longitud del tramo medido. P: tención de medición. Po: tención de calibramiento. S: sección recta de la wincha. E: modulo de elasticidad del acero. Corrección por calibramiento: Este tipo de corrección se lleva acabo luego de haber efectuado las correcciones anteriores y consiste básicamente en una regla de tres simple entre las mediciones ejecutadas, la medida de la wincha patrón y la medida de la wincha utilizada en la medición en campo.

Ejemplo: Se ha realizado la medición de una base de triangulación AB. Si las características de la wincha usada son K = 0.000012/°C, To = 20ºC, W = 15.6 gr/m, Po = 5kg, S = 0.02 cm 2, E = 2.1 x 106 kg/cm2, y si al ser contrastada con una wincha patrón invar. Se observa que 49.998m de la wincha corresponden a 50 m de la wincha patrón invar.; calcular la longitud medida, corregida y calibrada para los valores de la siguiente libreta:

TRAMO

DESCRIPCIÓN APOYOS

A-2 2-4 4-6 6-8 8 - 10 10 - 12 12 - 14 14 - B TOTAL:

2–3 3-4 4–5 5-6 6–7 7-8 8–9 9 - 10 10 – 11 11 - 12 12 – 13 13 - 14 14 - B

PRIMERA MEDICIÓN LONGITUD TEMP ºC

DESNIVEL 0.33 0.25 0.28 0.40 0.37 0.31 0.26 0.18 0.24 0.36 0.34 0.23 0.40 0.28 0.29

P Kg

49.967

17.5

8.3

49.980

17.5

7.1

49.863

17.6

6.5

49.972

17.7

49.963

18.0

8.0

49.876

18.1

8.2

49.903

18.0

7.5

17.673 367.197

18.2

6.3

8.2

Los valores de los desniveles y las longitudes se encuentran en metros. Aplicando las formulas anteriores es posible calcular el siguiente cuadro: Cuadro de correcciones sistemáticas: TRAMO A-2 2–4 4–6 6–8 8 – 10 10 – 12 12 – 14 14 - B TOTALES

APOYOS A–1 1–2 2–3 3–4 4–5 5–6 6–7 7–8 8–9 9 – 10 10 – 11 11 – 12 12 – 13 13 – 14 14 - B

Longitud m.

PRIMERA MEDICION Ct mm Cc mm

49.967

-1.5

-4.6

49.980

-1.5

-6.3

49.863

-1.4

-7.4

49.972

-1.4

-4.7

49.963

-1.2

-4.9

49.876

-1.1

-4.7

49.903

-1.2

-5.6

17.673 367.197

-0.4 -9.7

-1.4 -39.6

Ch mm -2.2 -1.3 -1.6 -3.2 -2.7 -1.9 -1.4 -0.6 -1.2 -2.6 -2.3 1.1 -3.2 -1.6 -2.4 -29.3

En consecuencia: Longitud media = 367.197 m. Correcciones sistemáticas = -9.7 -39.6 -29.3 + 23.0 = - 56.6 mm. Longitud corregida = 367.197 - 0.056 = 367.141 m.

longitud coregida y calibrada 

367.141  50.00 49.998

 367.156

metros

Cp mm 3.9 2.5 1.8 3.8 3.6 3.8 3.0 0.6 23.0

De igual modo se procede con todas y cada una de las restantes mediciones de toda la base de la triangulación y con la cual se tendrá cada una de las mediciones corregidas y calibradas, estando en condiciones de poder llevar la evaluación de la precisión de la medición. PRECISION DE UNA BASE DE TRIANGULACION La mayor o menor incidencia de errores accidentales o fortuitos en una medición dá la menor o mayor precisión de medición. La estimación de los errores accidentales, en conjunto y que inciden en una medición, se realiza por formulas obtenidas por probabilidades, presentándose las que interesan a nuestro estudio. Sean: n1 , n2 , n3 , …….nn , los valores de las longitudes medidas corregidas y calibradas de una base de triangulación, entonces. VALORES MÁS PROBABLE DE LA BASE Para igualdad de condiciones de medición está dado por la fórmula:

M

m1  m2  m3  ....  mn n

(8)

n: número de mediciones ERRORES RESIDUALES O DESVIACIONES Es la diferencia entre los valores de las mediciones y de la media aritmética, así:

v1  m1  M

v3  m3  M

v2  m2  M

vn  mn  M

(9)

MEDIA DE LOS ERRORES Es la media aritmética de los errores residuales, sin tener en cuenta, su signo

t

 v

( 10 )

n ERROR CUADRATICO DE UNA MEDICION Esta dado por la expresión

em 

v

2

( 11 )

n1

ERROR MEDIO CUADRATICO DE LA MEDIA ARITMETICA Esta dado por la expresión

eM 

v n ( n 1 ) 2

 ( 12 )

ERROR MAXIMO ADMISIBLE O TOLERANCIA Denominado también error temible, esta dado por la expresión:

emax  2.5 ( em )

( 13 )

ERROR PROBABLE Se calculará por:

epm  0.6745 ( em )

( 14 )

e pm : Error medio cuadrático probable de una medición cualquiera

epM  0.6745 ( eM )

(15 )

e pM : Error medio cuadrático probable de la media aritmética

ERROR RELATIVO Existen diversos criterios en cuanto a la fórmula específica a utilizar, así:

e  r

em M

eM ;

er

M

;

e  r

epm

;

M

er 

e pM M

( 16 )

A fin de despejar posibles confusiones, se especifica la fórmula usada. Ejemplo: La medición de una base de triangulación, ha dado las siguientes mediciones corregidas calibradas: 526.178 , 526.202 , 526.194 , 526.170 , 526.199 , 526.169 y 526.165. Calcular el valor más probable de la base así como los diferentes tipos de errores accidentales, (valores). Solución: Medición 1 2 3 4 5 6 7 8 N=8

Longitud m 526.178 526.202 526.163 526.194 526.170 526.199 526.169 526.165 4,209.440

+ v. mm

-v. mm 2

22 17 14 10 19 11 15 55

55

V² mm² 4 484 289 196 100 361 121 225 1,780

M = 4,209.440 / 8 = 526.180 m.

em 

=

16 mm.

emax  2.5 (16)   40 mm. Valor máximo aceptable = 526.180 + 0.040 = 526.220 m. Valor mínimo aceptable = 526.180 – 0.040 = 526.140 m. Dado que los valores de las mediciones se encuentran comprendidos entre los valores máximos y mínimo aceptables, proseguimos con el cálculo, caso contrario debería procederse a la depuración de los valores que no se encuentran en el rango. t = 110 / 8 = 14 mm.

em   16 mm. eM 

 6 mm.



 =

  11 mm.

epm

epM   4 mm

Para los errores relativos tenemos:

ERROR REAL.

er 

0.016 1  , se te4ndrá 1 / 30000 526.180 32,886

ERROR PROBABLE:

e

0.014   526.180

1 , se tendrá 1/45000 47834

COMPENSACIÓN DE FIGURAS DE UNA TRIANGULACIÓN Antes de procederse al calculo de los lados de la red, los ángulos deben ser compensados por ecuaciones de condiciones geométricas y trigonométricas y que son propias del tipo de figura que forman toda compensación se realiza a los valores de los ángulos compensados por ecuación de vértice siempre y cuando los errores en cada triangulo, sean menores a los máximo admisibles. ECUACIONES DE ÁNGULO En toda figura geométrica cerrada, el numero de ecuación de Angulo que deben cumplir los ángulos de la misma, es:

C A n0  L  1

(17)

Donde: CA : número de ecuaciones de ángulo nº : número de ángulos medidos. L : número de líneas o lados. Ejemplos: Caso del triángulo:

CA  3  3  1  1 3

Siendo la ecuación: (1) + (2) + (3) = 180º

2

(I)

1

Caso del cuadrilátero:

45

67

32

18

CA  8  6  1  3

Siendo las siguientes ecuaciones (1)+ (2) + (3) + (4) + (5) + (6) + (7) + (8) = 360º (1) + (2) = (5) + (6) (3) + (4) = (7) + (8)

(I) (II) (III)

Caso de un polígono con punto central: (para uno de cuatro lados exteriores)

45

67 CA  12  8  1  5

43 42 44 41 32

1 8

Siendo las siguientes ecuaciones: (41)+ (42) + (43) + (44) = 360º (1) + (2) + (41) = 180º (3) + (4) + (42) = 180º (5) + (6) + (43) = 180º (7) + (8) + (44) = 180º

(I) ( II ) ( III ) ( IV ) (V)

ECUACIONES DE CONDICON DE LADO En toda figura geométrica cerrada, el número de ecuaciones de condición de lado que deben cumplir los ángulos de la misma, es:

CL  L  2S  3

(18)

Donde: CL : número de ecuaciones de lado L : número de líneas o lados S : número de estaciones o vértices. Ejemplo:

Triángulo:

CL  3  6  3  0 Es decir no tiene, siempre y cuando sea un triángulo independiente, por esta razón cuando se plantea triangulaciones formadas exclusivamente por cadenas de triángulos, para llevar un adecuado control de levantamiento debe tomarse una base de comprobación y con la cual es posible plantear la ecuación de lado (condición trigonométrica).

3

1

2

Cuadrilátero:

CL  6  8  3  1 45

3 2

67

Siendo lo siguiente:

8 1

Log Sen (1) + Log Sen (3) +Log Sen (5) + Log Sen (7) – Log Sen (2) – Log Sen (4) LogSen(6) – LogSen(8) =

0

Polígono con punto central (caso de uno de cuatro lados)

45

CL  8  10  3  1 Siendo lo siguiente

67

43 42 44 41

Log Sen (1) + Log Sen (3) +Log Sen(5) + Log Sen (7) – Log Sen (2) – Log Sen (4) Log Sen (6) – Log Sen(8) =

8 1

3 2

0

Para un cuadrado de triángulos con base de comprobación: H

D

B

B4

A2

B2 C1

F

C3

A4

A6 B6

C5 b1

b B A

AB = b GH = b1

1

A C2 B 1

3

C

C

6

4

A3 B5 E

C A5

G

Base de triangulación Base de comprobación.

Log b + Log Sen (B1) + Log Sen (B2) + Log Sen (B3) + Log Sen (B4) + Log Sen (B5) + Log Sen (B6) Log b`- Log Sen (A1) - Log Sen (A2) - Log Sen (A3) - Log Sen (A4) - Log Sen (A5) - Log Sen (A6) = 0 METODO DE COMPENSACION DE LOS ANGULOS DE LAS FIGURAS DE UNA TRIANGULACION Entre los métodos se tiene: Método aproximado o método de aproximaciones sucesivas. Método de los mínimos cuadrados De los dos métodos, estudiaremos con detalle el de las aproximaciones sucesivas y que es el que se emplea para las triangulaciones topográficas, el método de los mínimos cuadrados se emplea con más propiedad para las triangulaciones geodésicas (1º y 2º orden). METODO APROXIMADO DE COMPESACION Es el método más empleado para la compensación de triangulaciones topográficas ( 3º y 4º orden ), ya que por su sencillez no requiere de mucho cálculos. Una de las ventajas es su rapidez de cálculo, así como que los valores de los resultados dan la precisión deseada para este tipo de triangulaciones sin entrar en métodos de compensación muy refinados. Los principios en los que se basa son: 1º- De modo general, las correcciones deben ser de signo contrario al error 2º- Las correcciones parciales por aplicar a los valores de los ángulos que intervienen en una determinada ecuación, se logra por un reparto equitativo de la corrección total. 3º- Toda corrección que se ejecute deberá realizarse sin desequilibrar las compensaciones ejecutadas anteriormente. 4º- La corrección de los ángulos por ecuación de lado se realiza luego de haber compensado por ecuaciones de ángulo.

Ejemplo Habiéndose medido los ángulos de la triangulación de la Fig. Nº 40, si los ángulos compensados por ecuaciones de vértice son los que se indican, ejecutar la compensación de los ángulos por el método de las aproximaciones. Determinar las coordenadas de las estaciones, azimut AB = 103º 20`14”; AB = 356.503 m.

H

Ángulos del cuadrilátero A B C D (1) = 45º12`10” (2) = 37º 51`08” (3) = 51º 04`06” (4) = 45º 52`50” (5) = 36º 19`21” (6) = 46º 44`05” (7) = 45º 50`20” (8) = 49º 06`24”

3

E

42

Ángulos del polígono C D E F ( G ) (1) = 33º 43`58” (2) = 36º 40`10” (3) = 49º 23`08” (4) = 41º 28`04” (5) = 55º 17`38” (6) = 56º 00`03” (7) = 42º 11`57” (8) = 45º 15`26” (41)= 109º 35`57” (42) = 89º 08`50” (43) = 68º 42`06 (44) = 92º 32`51”

1 F 6 7

2 4 5 43 44 G 41

3 2 C

3 A

18 6 D 7

45

2

18B FIG Nº 40

Ángulos del triángulo E F H (1) = 62º 27`15” (2) = 57º 31`42” (3) = 60º 00`48”

Solución El procedimiento de compensación de un cuadrilátero por el método de las aproximaciones es Compensación de cuadrilátero A B C D El procedimiento de compensación de un cuadrilátero por el método de las aproximaciones es. Compensación por ecuaciones de ángulo: son tres: 1º- Se compensan los ángulos del cuadrilátero de modo que su suma de todos ellos de el valor 360º. La compensación total se reparte por igual entre los 8 ángulos de la figura, en caso de que la división no fuera exacta, se toma valores lo más aproximadamente posible. 2º- Con los valores compensados con el paso anterior, se encuentra la diferencia entre la suma de los ángulos: (1) + (2) y (5) + (6), dividiéndola luego entre 4, que será la corrección para cada uno de estos ángulos, siendo positiva para aquellos cuya suma fue de menor valor numérico y negativa para los ángulos cuya suma f ue mayor. 3º- Con los valores de los ángulos: (3) , (4) y (7) , (8) , se procede de manera similar al paso anterior. 4º- Se calcula los valores de los ángulos compensados por ecuaciones de condición de ángulo.

Cuadro de cálculo para el ejemplo

ANGULO

VALOR

1 2 3 4 5 6 7 8 Sumas

45º 12`10” 37º 51`08” 51º 04`06” 45º 52`50” 36º 19`21” 46º 44`05” 47º 50`20” 49º 06`24” 360º 00`24”

CI - 3” - 3” - 3” - 3” - 3” - 3” - 3” - 3” - 24”

COMPENSACION POR ECUACION DE ANGULO Angulo Angulo C II C III corregido compensado 45º 12`07” + 2” 45º 12`09” 37º 51`05” +2” 37º 51`07” 51º 04`03” - 3” 51º 04`00” 45º 52`47” - 3” 45º 52`44” 36º 19`18” - 2” 36º 19`16” 46º 44`02” - 2” 46º 44`00” 47º 50`17” + 3” 47º 50`20” 49º 06`21” + 3” 49º 06`24” 360º 00´00” 00” 00” 360º 00`00”

(1) = 45º 12`07” (2) = 37º 51`05” 83º 03`12”

(5) = 36º 19`18” (6) = 46º 44`02” 83º 03`20”

Diferencia = 20 – 12 = 8”

(3) = 51º 04`03” (4) = 45º 52`47” 96º 56`50”

(7) = 47º 50`17” (8) = 49º 06`21” 96º 56`38”

Diferencia = 50 – 38 = 12”

C II = 8”/4 = 2”

C III = 12”/4 = 3”

Compensación por ecuación de lado: Solo una ecuación 1°.- Con los valores de los ángulos compensados por las ecuaciones de ángulo se calcula los valores de los Logaritmos Senos de los ángulos, obteniéndose luego de suma de ellos, de acuerdo a la condición de lado. 2°.- Se calcula la diferencia de valores en la suma anteriormente encontrada. 3º.- Recalcula la suma de las diferencias tabulares en el logaritmo seno 1” para los valores de los ángulos. 4º.- La corrección se obtiene por división del valor de la diferencia de las sumas de longitud seno, entre el valor de la diferencias tabulares; siendo positiva para los ángulos cuya suma de logaritmos seno fue menor y siendo negativa para los ángulos cuya suma de logaritmo fue mayor.

Cuadro de cálculo para el ejemplo: ANGULOS

VALOR

(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) SUMAS

45º 12`09” 37º 51`07” 51º 04`00” 45º 52`44” 36º 19`16” 46º 44`00” 47º 50`20” 49º 06`24” 360º 00`00”

LOGARITMOS SENOS + - 1.851014 - 1.787902 -1.890911 - 1.856046 - 1.772549 - 1.862234 - 1.869971 - 1.878481 -1.384445 - 1.384663

D 1”

C IV

2.08 2.70 1.70 2.03 2.87 1.98 1.90 1.82 17.08

+ 13” - 13” + 13” - 13” + 13” - 13” + 13” - 13 0”

ANGULOS COMENSADOS 45º 12`22” 37º 50`54” 51º 04`13” 45º 52`31” 36º 19`29” 46º 43`47” 47º 50`33” 49º 06`11” 360º 00`00”

Diferencia en sumas Log Sen = 663 – 445 = 218 (unidades del 6º orden decimal) C IV = 218 / 17.08 = 12.8” , adoptaremos 13”, los que deben ser positivos en los ángulos: (1), (3) , (5) , (7) y negativos en los ángulos: (2) , (4) , (6) , (8).

Compensación del polígono C D E F (G): Cinco Ecuaciones. El procedimiento de compensación de un polígono con punto Central es el siguiente: 1º.- Se chequea si los ángulos en el punto central cumplen la ecuación de condición de vértice, de no ser ello, se compensa los ángulos repartiendo la corrección total entre el número de ángulos en el punto central, valor que será la corrección por ecuación de vértice. 2º.- Con los valores corregidos por el paso anterior y los valores los restantes ángulos de cada uno de los triángulos que conforman el polígono, se determina el valor de la corrección total que corresponde aplicar en cada triangulo. 3º.- Se procede a calcular la corrección para los ángulos en el punto central en su primer tanteo. Para ello se divide la corrección total de cada triangulo entre 3, obteniéndose luego la sumatoria algebraica de estas correcciones. Si la sumatoria algebraicas de las correcciones centrales en su primer tanteo no da un valor cero (0), se procede a corregir estos valores. 4º.- Para efectuar la corrección al primer tanteo, el valor de la suma anteriormente hallada se divide entre el número de ángulos en el punto central luego de haberse ejecutado el cambio de signo. 5º.- Se obtiene la suma algebraica de las correcciones obtenidas por los dos últimos pasos, valor que será la corrección para los ángulos en el punto central y por condición de ángulos. 6º.- Se calcula las correcciones para los restantes ángulos de cada triángulo, dividiendo la corrección que falta completar entre dos (2). 7º.- Se obtiene los ángulos compensados por ecuaciones de ángulo. Cálculos para el ejemplo en desarrollo. (41) = 109º 35`57” + 4” = 109º 36`01” (42) = 89º 08`50” + 4” = 89º 08`54” (43) = 68º 42`06” + 4” = 68º 48`10” (44) = 92º 32`51” + 4” = 92º 32`55” 359º 59`44” +16” = 360º 00`00” Corrección total = - 9” (1) = 33º 43`58” - 4” = 33º 43`54” (2) = 36º 40`10” - 4” = 36º 40`06” (41) = 109º 59`44” - 1” = 109º 36`00” 180º 00`09” 180º 00`00” Corrección total = - 6” (3) = 49º 23`08” - 3” = 49º 23`05” (4) = 41º 28`04” - 3” = 41º 28`01” (42) = 89º 08`54” 0 = 89º 08`542 180º 00`06” 180º 00`00” Corrección total = + 9” (5) = 55º 17`38” + 2” = 55º 17`40” (6) = 56º 00`03” + 2” = 56º 00`05” (43) = 68º 42`10” + 5” = 68º 42`15” 179º 59`09” 180º 00`00” Corrección total = - 18” (7) = 42º 11`57” - 7” = 42º 11`50” (8) = 45º 15`26” - 7” = 45º 15` 19” (44) = 92º 32`55” - 4” = 92º 32` 51” 180º 00`18” 180º 00`00”

Corrección total en triángulo TI TII TIII TIV Sumas

- 9” - 6” + 9” - 18”

Corrección central 1º tanteo 41: - 3” 42: - 2” 43: + 3” 44: - 6” - 8”

Compensación al 1º tanteo 41: 42: 43: 44:

CORRECCION FINAL POR ECUACIONES DE ANGULO 41:

+ 2”

42:

+ 2”

43:

+ 2”

44:

+ 2” + 8”

- 1” 0“ + 5” - 4” 0”

1: 3: 5: 7:

2:

- 4”

4:

- 3”

6:

+ 2”

8:

- 7”

- 4” - 3” + 2” - 7”

Estas correcciones finales se suman algebraicamente a los valores de los ángulos con lo que se tendrá los ángulos compensados por ecuaciones de condición de ángulo. Compensación por ecuación de lado: Una ecuación. Esta compensación se ejecuta por el mismo procedimiento empleado para el caso de la compensación por ecuación de lado para un cuadrilátero. Cálculos para el ejemplo.

(+) (-)

ANGULOS

VALOR

(1) (2) (41) (3) (4) (42) (5) (6) (43) (7) (8) Sumas

33º 43`54” 36º 40`06” 109º 36`00” 49º 23`05” 41º 28`01” 89º 08`54” 55º 17`40” 56º 00`05” 68º 42`15” 42º 11`50” 45º 15`19”

LOGARITMOS SENOS + - 1.744531 - 1.776107

D 1”

CORRECCION

3.15 2.82

+ 9” - 9”

- 1.880298 - 1.820981

1.80 2.38

+ 9” - 9”

- 1.918581

1.47 1.42

+ 9” - 9”

2.33 2.08

+ 9” - 9” 0”

- 1.914919

- 1.827166 - 1.366914

- 1.851411 - 1.367080

Diferencia de Log Sen: 1.366914 – 1.367080 = 166 (1), (3), (5), (7) (2), (4), (6), (8)

Corrección

ANGULOS COMPENSADOS 33º 44`03” 36º 39`57” 109º 36`00” 49º 23`14” 41º 27`52” 89º 08`54” 55º 17`49” 55º 59`56” 68º 42`15” 42º 11`59” 45º 15`10”

166/18.05 = 9.19 = 9

Ecuación de ángulo = uno (1) lado = 0

Compensación del triángulo E F H : La compensación de u triángulo independiente, se realiza repartiendo por igual la corrección total por aplicarse entre los tres (3) ángulos que forman el triangulo.

Entonces, para el ejemplo. (1) = 62º 27`15” + 5” = 62º 27`20” (2) = 57º 31`42” + 5” = 57º 31`47” (3) = 60º 00`48” + 5” = 60º 00`53” 179º 59`45” 180º 00`00”

RESISTENCIA O CONSISTENCIA DE FIGURAS: El parámetro que valora la bondad de precisión de las figuras de una triangulación es el coeficiente denominado Resistencia de Figura, cuanto menor sea el valor de la resistencia, la figura es de mejor precisión. La fórmula para calcular la resistencia de figura es:

DC R

D

( d

2 A

2

 d A dB  dB )

( 19 )

En donde: R: Resistencia de figura D: Número de nuevas direcciones observadas en la figura o red. C. Número total de ecuaciones de condición ( C = CA + C1) dA: Diferencia tabular de logaritmo seno 1” del ángulo opuesto al lado conocido, expresada en unidades de 6º orden decimal. dB: Diferencia tabular del logaritmo seno 1º del ángulo opuesto al lado por calcular, expresada en unidade4s de 6º orden decimal. El factor:

 (d

2 A

2  d d  d B ) , Sirve además para realizar la selección del mejor camino de A

B

calculo de la triangulación, tomándose aquel cuyo valor es el menor. VALORES MAXIMOS RECOMENDADOS PARA LA RESISTENCIA DE FIGURAS DESCRIPCION 1º ORDEN 2º ORDEN 3º ORDEN Figura simple independiente Deseable 15 25 25 Máximo 25 40 50 Red entre bases Deseable 80 100 125 Máximo 110 130 175 Ejemplo: Para la triangulación Fig Nº 40, llevar a cabo la evaluación de resistencia de figuras, así como indicar cual debe ser el camino de cálculo de lados y proyecciones. Solución: Cálculo de los factores:

DC D

Cuadrilátero: D = 5 x 2 = 10

:

DC  0.60 D

C=3+1=4 Polígono:

DC D = 7 x 2 = 14

:

 0.57

D

C=5+1= 6

Triángulo:

D=2x2=4 C= 1

= 1

:

DC 0.75 D



Triangulación total: D = 14 x 2 = 28

DC  0.61 D

:

C = 4 + 6 + 1 = 11 Cálculo de los factores:

( d

2 A

2  d A dB  dB )

Cuadrilátero: En todo cuadrilátero con dos diagonales, existe la posibilidad de ejecutar el cálculo de los lados mediante cuatro (4) caminos de cálculo, siendo: Camino I 2 2  d45º53` d88º55`  d 85º55`07"  d 45º53`

( 2.03 )2 + ( 2.03 x 0.03 ) + ( 0.03)2

D

C 6+7

4

= 4.18

2 2  d94º34` d49º06`  d 49º06`11" d 94º34`20" 

8 3+2

( - 0.17 )2 – ( 0.17 x 1.82 ) + ( 1.82 )2 = 3.03 7.21 Camino II

d 47º51`  d 47º51 d94º19`  d 94º19`  2

A

B A

C 4+5

D

2

7

( 1.90 )2 – ( 1.90 x 0.15 ) + ( 0.15)2 = 3.35

d2

d

82º12`

 d2

d 82º12`

51º04`

3



51º04`

1+8

A

B

( 0.28)2 + ( 0.28 x 1.70 ) + ( 1.70 )2 = 3.44 6.79 Camino III

d

2 45º53`

 d45º53` d45º12`  d

C 2 45º12`

6



4

( 2.03 )2 + ( 2.03 x 2.08 ) + ( 2.08)2 = 12.65

d

2 46º 44``

 d46º44` d51º04`  d

2 51º04`



( 1.98 )2 + ( 1.98 x 1.70 ) + ( 1.70)2 = 10.18 22.83

d

 d47º51` d37º51`  d

1 B

A

C

Camino IV 2 47º51``

3

2 37º51`



5 7

2

8B

( 1.90 )2 + ( 1.90 x 2.70 ) + ( 2.70)2 = 16.03 2 2   d36º19` d49º06`  d 49º06` d 36º19`

( 2.87 )2 – ( 2.87 x 1.82 ) + ( 1.82)2 = 16.77 32.80

En consecuencia el mejor camino de cálculo en el cuadrilátero A B C D, será el camino II. AB – AD - CD El camino IV, es el camino mas desfavorable para el cálculo de los lados. Polígono: En todo polígono con punto central existe la posibilidad de cálculo por dos caminos, en uno y otro sentido respecto del vértice central, para el caso que nos ocupa se tiene: Camino I: 2 2  d109º36` d33º 44`  d 33º d109º36` 44` 

E

6

4 ( - 0.75 )2 – ( 0.75 x 3.15 ) + ( 3.15)2 = 8.12

43

2 2 d 49º 23`  d49º 23` d41º 28`  d 41º 21` 

G 41

2

2

( 1.80 ) + ( 1.80 x 2.38 ) + ( 2.38) = 13.19 2 2  d68º42` d56º00`  d 56º00` d 68º42` 

3 1 D

C

( 0.82 )2 + ( 0.82 x 1.42 ) + ( 1.42)2 = 3.85 25.16

Camino II: 2 2  d109º36`  d106º36` d 36º 40`  d 36º 40`

E

F

5 7

( - 0.75 )2 – ( 0.75 x 2.82 ) + ( 2.82)2 = 6.40

43

2 2  d42º12` d45º15`  d 45º15`  d 42º12`

41

( 2.33 )2 + ( 2.33 x 2.08 ) + ( 2.08)2 = 14.60 2 2  d55º18` d68º 42`  d 68º d 55º18` 42` 

8 2

2

2

( 1.47) + ( 1.47 x 0.82 ) + ( 0.82) = 4.04 25.04

C

D

En conclusión el camino II, es el mejor camino de cálculo, aunque el camino I podría ser como camino de cálculo ya que los valores no difieren sustancialmente en nada. Triángulo:

H

Camino I:

3

2 2  d 60º01` d 62º  27`  d 62º 27` d 60º01` 2

2

(1.10) + (1.10 x 1.22) + (1.22) = 4.04

E

1

F

Camino II 2 2 d 60º01`  d 60º01` d57º32`  d 57º32` 

H 3

(1.22)2 + (1.22 x 1.33) + (1.33)2 = 4.88

E

2

F

El mejor camino es el I.

Triangulación total:

(d A2  d A d B d B2 ) mínimo  6.79  25.04  4.04  35.87 (d 2  d d d 2 ) A

A

B

 32.80  25.16  4.88  62.84

B máximo

En conclusión los valores mínimos y máximos de la resistencia de figuras, es: Cuadrilátero A B C D:

Rmínimo  0.60  6.79  4.10 Rmáximo  0.60  32.80  19.70 Polígono C D E F (G):

Rmínimo  0.57  25.04  14.30 Rmáximo  0.57  25.16  14.30 Triángulo E F H:

Rmínimo  0.75  4.04  3.00 Rmáximo  0.75  4.88  3.70 Triangulación total:

Rmínimo  0.61  35.87  21.50 Rmáximo  0.61  62.84  38.30 El mejor camino de cálculo es:

AB , AD , DC , DG , GF , FE , EH. CALCULO DE AZINUT Y RUMBOS DEL MEJOR CAMINO DE CÁLCULO DE LA TRIÁNGULACIÓN. Con los valore de los ángulos corregidos por ecuaciones de condición de ángulo y lado y según el mejor camino de cálculo para la triangulación, se procede al cálculo de los azimut y rumbos de dicho camino. Ejemplo: Calcular los azimut y rumbos del mejor camino de cálculo para la triangulación de la figura Nº 40, si el azimut del lado AB = 103º 20` 14”.

Solución Z AB = 103º 20` 14” + R AB = S 76º 39` 46” E. Con el valor de Z AB y los ángulos compensados se tendrá que ejecutar el cálculo según el mejor camino de cálculo. Z

AB (2) AD

= = =

Z

DA (6) DC (1) DG

= = = = =

Z

(44) GF

= =

Z

(6) FE

= =

Z

(2) EH

= =

Z Z Z

103º 20’ 14” 37º 50’ 54” 65º 29’ 20” 180º 245º 29’ 20” 46º 43’ 47” 292º 13’ 07” 33º 44’ 03” 325º 57’ 10” 180º 145º 57’ 10” 92º 32’ 51” 53º 24’ 19” 180º 233º 24’ 19” 55º 59’ 56” 289º 24’ 15” 180º 109º 24’ 15” 57º 31’ 47” 51º 52’ 28”

-

R

AB

=

S 76º 39’ 46” E

+

R

AD

=

N 65º 29’ 20” E

+

R

DC

=

N 67º 46’ 53” O

-

R

DG

=

N 34º 02’ 50” O

R

GF

=

N 53º 24’ 19” E

R

FE

=

N 70º 35’ 45” O

R

EH

=

N 51º 52’ 28” E

+

+ + -

CÁLCULO DE LAS LONGITUDES DE LOS LADOS DEL MEJOR CAMINO DE CÁLCULO. El cálculo las longitudes se realiza aplicando la formuela de la ley de senos para un triángulo. Ejemplo: Calcular los lados del mejor camino de cálculo en la triangulación en estudio. AB AD DC DG GF FE EH

= = = = = = =

356.503 m. 356.503 (Sen 94º 18`33” / Sen 47º 50` 33”) 479.555 (Sen 51º 04`13” / Sen 82º 12` 00”) 376.538 (Sen 36º 39`57” / Sen 109º 36`00”) 238.678 (Sen 45º 15´10” / Sen 42º 11`59”) 252.359 (Sen 68º 42`06” / Sen 55º 17`49”) 285.998 (Sen 62º 27`20” / Sen 60º 00`53” )

= = = = = =

479.555 m. 376.538 m. 238.678 m. 252.359 m. 285.998 m. 292.766 m.

CALCULOS DE LAS PROYECCIONES DE LOS LADOS DE LA TRIANGULACION. Conocidos los valores de las longitudes de los lados, así como los valores de los rumbos de cada uno de ellos se procede al cálculo de proyecciones empleándose la formula conocida: Proyección en eje X = Lado x Seno Rumbo. Proyección en eje Y = Lado x Coseno Rumbo.

Lado AB AD DC DG GF FE EH

Longitud (m.) 356.503 479.555 376.538 328.678 252.359 285.992 292.766

Rumbo Lado S 76º 39`46” E N 65º 29`20” E N 67º 46`53” O N 34º02`50” O N 53º 24`19” E N 70º 35`45” O N 51º 52`28” E

Proyección X + 346.888 + 436.338 - 348.579 - 133.630 + 202.612 - 269.753 + 230.307

Proyección Y - 82.239 + 198.953 + 142.385 + 197.763 + 150.444 + 95.017 + 180.750

CALCULO DE LAS CORDENAS DE LOS VERTICES DE LA TRIANGULACION. El cálculo de las coordenadas de los vértices se obtienen por la suma algebraica de las proyecciones, así para nuestro caso es: Vértice A B A D C D G F E H

Abscisa (m)

Ordenada (m)

8 134.601 346.888 8 481.489

+

7 267.924 82.239 7 185.685

-

8 134.601 436.338 8 570.939 348.579 8 222.360

+

7 267.924 198.953 7 466.877 142.385 7 609.262

+

8 570.939 133.630 8 437.309 202.612 8 639.921 269.753 8 370.168 230.307 8 600.475

-

7 466.877 197.763 7 664.640 150.444 7 815.084 95.017 7 910.101 180.750 8 090.851

+

-

+ +

(Datos)

+

+ + +

CLASIFICACION GENERAL DE LA TRIANGULACION. De acuerdo a las precisiones obtenidas y sus respectivas clasificaciones, tanto para la medición de la base, medición de los ángulos y resistencia de figura, se procede a la clasificación general de la triangulación, clasificación que en todo momento debe encontrarse acorde con las exigencias del trabajo para el cual se ejecuta la red.

DIBUJO DE LA TRIANGULACION. El dibujo de los vértices de la red se realiza con los valores de las coordenadas calculadas. Previa selección adecuada de la escala del plano.

RECOMENDACIONES ATENERSE PRESENTE EN EL CÁLCULO DE TRIANGULACIONES 1º.- Siempre que sea posible, cheque los cálculos realizados. 2º.- Los cálculos deben realizarse hasta mismo orden o agrado de precisión con que se midieron los datos de campo. En caso que se estimo calcular una cifra decimal inferior, siempre deberá de efectuarse el redondeamiento de cifras en el momento de consolidar valores. 3º.- En el cálculo de azimuts, realizo la comprobación de los cálculos. 4º.- Siga siempre un proceso adecuado de cálculo así como un orden lógico. 5º.- Siempre que sea posible, emplee tablas o cuadro de cálculos que vaya realizando. 6º.- Si es necesario chequear íntegramente el cálculo de una triangulación, ejecute por separado otro cálculo y luego proceda a comparar valores y conclusiones.

RECOMENDACIONES A TENERSE PRESENTE PARA EL DIBUJO DE LA TRIANGULACION 1º.- Seleccione una escala adecuada de dibujo para el plano. 2º.- Trace correctamente el sistema de coordenadas. 3º.- No es necesario ejecutar el trazo de toda la cuadricula del sistema de coordenadas, basta con que se señalen las intersecciones de la cuadricula mediante unas pequeñas cruces. 4º.- Enumere correctamente los valores del sistema de coordenadas, tal enumeración sólo debe realizarse en la parte perimétrica de la lámina de dibujo. 5º.- Empleo la simbología específica para cada caso. 6º.- Todo plano debe llevar indicando, tanto la escala numérica como la gráfica, las mismas que deberán encontrarse juntas.

TRILATERACION PLANTEAMIENTO GEOMÉTRICO La trilateración es una técnica geométrica para determinar la posición de un objeto conociendo su distancia a tres puntos de referencia. A diferencia de la más conocida técnica de triangulación, en la que se miden ángulos y distancias, en la trilateración se utilizan sólo distancias como se muestra en la Figura 1.

Planteamiento geométrico

escala

Planteamiento analítico

Figura 1. Planteamientos geométrico y analítico de la trilateración. El objetivo es localizar el punto (x,y) conociendo su distancia a tres puntos cuya localización se conoce.

Veamos primero el planteamiento geométrico. Si solamente conocemos la distancia del objeto al punto (x1,y1), el objeto se podría encontrar en cualquier lugar alrededor del círculo de radio d1. Si ahora consideramos que también se sabe la distancia del objeto al punto (x2,y2) entonces las cosas empiezan a mejorar. El objeto podría encontrarse ya no en cualquier lugar alrededor del primer círculo. Tampoco podría encontrarse en cualquier lugar alrededor del segundo círculo. Solamente hay dos puntos en los dos círculos que cumplen con las dos condiciones de distancia. Estos dos puntos están definidos por las intersecciones del los círculos. Uno de los puntos debe ser la posición del objeto, pero no hay manera de saber cuál de los dos es el verdadero. Para determinar cuál es el verdadero necesitamos más información. Otro círculo que nos diga a qué distancia está el objeto de un tercer punto nos permitirá escoger entre las dos posibilidades. El tercer círculo centrado en (x3,y3) no puede sino interceptar a los otros dos en la posición del objeto, porque este punto es el único que está en los tres círculos y por lo tanto cumple con las tres condiciones de distancia.

TRILATERACIÓN: PLANTEAMIENTO ANALÍTICO Los argumentos geométricos anteriores eran conocidos por los antiguos griegos hace más de dos mil años. Para resolverlos sólo necesitaban regla y compás. No fue sino hasta el siglo XVII cuando René Descartes descubrió la manera de resolver este tipo de problemas con fórmulas de álgebra y así fundó la geometría analítica. Descartes inventó los ejes de coordenadas y mostró cómo las fórmulas de álgebra podían representar figuras geométricas como rectas, círculos, etc., así como encontrar sin hacer dibujos dónde se interceptan. En el caso que nos ocupa se trata de tres ecuaciones simultáneas según se muestra en la Figura 1 como planteamiento analítico. Cada una es la representación de uno de los círculos mostrados en la parte de arriba. Resolviendo el sistema de ecuaciones se encuentra el mismo punto donde se cruzan los tres círculos. Los cálculos necesarios se pueden realizar en una fracción de segundo en cualquier computadora, teléfono celular o receptor de GPS. Sin la geometría analítica de Descartes serían impensables las aplicaciones modernas de la trilateración. Sin embargo, las bases geométricas del método son más intuitivas y más fáciles de comprender y aplicar. En el examen tendrán la oportunidad de localizar con el método geométrico un teléfono celular, un receptor GPS, un sismo, y hasta un rayo. El planteamiento analítico lo dejaremos para otra ocasión.

TRILATERACIÓN: LA CLAVE SON LAS DISTANCIAS Tanto el método geométrico como el analítico requieren de dos cosas para poder aplicarse. Primero, se necesitan las posiciones de los tres puntos de referencia. En un mapa estos tres puntos se representan simplemente como eso, como tres puntos en un mapa, como en la Figura 1. Si se va a utilizar el método analítico se necesitan las coordenadas (x1,y1), (x2,y2) y (x3,y3). Sin embargo, como dijimos anteriormente no utilizaremos el método analítico en esta ocasión. De cualquier forma, estos puntos de referencia se conocen muy bien. En el caso de teléfonos celulares estos puntos corresponden a las localizaciones de las antenas que se comunican con los celulares. En el caso de los receptores de GPS los puntos de referencia son las posiciones en el espacio de los satélites diseñados para tal fin. Por su parte, para la localización de sismos los puntos son las localizaciones de las estaciones sismológicas que registran los movimientos telúricos. En el último ejemplo que veremos, el de los rayos, las referencias son también estaciones o equipos especializados que reciben señales de los rayos. En todos los casos los tres puntos de referencia están muy bien localizados porque se sabe donde se instalaron. La otra cosa que se necesita para localizar un objeto mediante trilateración es conocer la distancia a cada uno de los puntos de referencia. ¿Cómo se calculan estas distancias? La respuesta es variada. En el caso de las antenas para celulares y de los satélites del GPS se utilizan señales que envían las antenas mismas y los satélites. Antenas y satélites envían una señal desde tres puntos diferentes y en el receptor se calcula la posición. En los otros dos casos, en el de los sismos y los rayos, la situación es al revés. El objeto que se desea localizar es el que envía la señal y los puntos de referencia son los que la reciben. En estos casos los puntos de referencia son los que calculan la posición del objeto, ya sea un sismo o un rayo. En lo que sigue veremos cada caso en particular en lo relativo a cómo se calculan las distancias, y cómo se han superado algunas dificultades para que las localizaciones sean confiables.