• Author / Uploaded
• radutari

Citation preview

... .- ~

< :::

:

'~N

~~~ ·~~ ~~

~ti)

~~ Q)~

S§

~

$Q) Q)

ti)

~

,

1

I

-

~

·'.

e ·,.

~

u... •_t"_

~

-~

.'

. .

b(J - t

' ....

.

~~::t:--~~ . "

.

•J.~: . ..

.,.

,J'.

.:;

-~

e

..:

('

~ '-1 .....

-.......

~

11:

'::t

r~

-

.J

-.r

'11. 270.326, Berlín, 1884. '•Ober arablsche Tradition der Elemente Euklld'u, Z1itschr. f. Math. und. Ph11s., pjp. 1-22, Lelpzls, 1114. • Sobre el estado en que 101 jrabe& conocieron los El1m1ntos, el mismo orie11. talista antea citado, KLAMllOTH, publicó, tambiln en Ztitschr., vol. XLI, &>'&. 419, 1117. un nuevo trabalo: 10ber die AuszU1e der srlechischen Schrlstellern bel al- Jac'qQbl •, de Interesante lectura; y para completar este tema pueden consultarse 101 1i1uientes estudios, que citamos por orden de publicación: GAatz: De intrrprdibus 1r nplanatoribu1 Euclidi1 arabicis schediasmata historicum, Halle. l 123; WENIUCH: Dr auctorum graecorum versionibu1 et commentariis s11 • riaci1. arahich, ptrJicilque commentatio, Leipzig, 1842; WUSTENFELD: •Die 01.ier~ctzungcn arabischer Wcrke in das lateinische1, Abh. d. k. Ges. d. Wiss .. XXII, Gounga, 1877; STEINSCHNUDEll: • Euklid bei den Arabern•, Zdrsch . f. Math. u. P/11¡1 .• pjgs. 81· 110, y Sun11 : • Dcr V Band der arabischcn Büchcr der vice . koniglischen . Bibliothck in Kairo•, en la misma revista, 893, págs. 1·24 y 42-57.

•

• •

(f

. ~

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ L

•

'

695

En la introducción aduierte el editor que 1/a dificultad de impn"m1r tieuras ha impedido hasta ahora hacer libros de Geomelrla; pero este obstdculo acaba de ser saluado por grandes artistas, y hoy se pueden dar las figuras con tanta facilidad como los caracteres impresosa, y, en efecto, la edición tiene figuras marginales que, a primera vista, parecen gra badas en madera, pero un examen mds atento demuestra que son en metal. lncluye los libros XIV y XV y omite dieciocl10 proposiciones, dando, tn cambio, treinta que no son de Euclides. Esta uersión estd hecl1a del vabe, como lo denuncian ciertas palabras, tales como hclmuaym, rombo; ldmu.aripbe, trap«io, 11 otros. la segunda edición, en caracteres romanos, Venecia, 1491, fol ., es ama reproducción de lq princcps. La tercera, tambiln en caracteres romanos, contiene, ademds de los Elementos, las dos Opticas, con el nombre de Spccularia y Perspectiva, y los Datos, con un prefacio de Marino . La portada dice asi: Euclidis Mega riensis, philosophi Platonici 11 , malhemalicarum disciplinarum junitoris Opera, Zamberto Vcneto interprete, y el colofón advierte: lmpressum Vcnctis . .. in edibus Joannis..._Tamini, M.D .V.VIll. Ka len das novembris . Tiene un largo prefacio de Zamberto--en el que a( in11a que ha hecho la versión Je/ griego--y una biografía de Euclides. La cuarta fdición fue preparada por Luca Pacioli 12 y lleva el sig"ienlt titulo: Euclidis Megariensis, philosophi acutissimi, mathematicorum om nium sine controversia principis Opera . Es la traducción de Athelard de Bath, y Pacioli cita el comentario de Campano, al que agrega algo de su

11 Aquí &e comete el error de confundir al autor de los Elementos con su homónimo el de Mepra, filósofo contemporáneo de Platón, que floreció, por unto, un 1iglo antes que el geómetra alejandrino. E51• advertencia no u Inútil, pues que Valerlo Máximo Identificó a los dos personajes tomando como punto de partida un pasaje de Plutarco, del que también se hizo eco Bocelo, quien transmitió el error a Petrarca y este a Regiomontano primero, a Tartaglia dcspuis y a otros varios editores de Euclides, que trabajaron sobre la base de 111 invesrlgaciones de Campano y de Zamberto, hasta que a fines del siglo XVI, Commandino, 1572, y Clavio, 1574, deshicieron el error y se puso en claro la distinta personalidad de los dos Euclides. 12 Famoso monje italiano (1445 -1514), que escribió una Summa de Aritl1me 1ica, Geometría, Proportioni et Proporlionalita, publicada en 1494, en le cual rstán resumidos los conocimientos matemáticos de la l!poca, y a pesar de su ucaso mérito intrlnscco, tuvo un éxito extraordinario.

''JtJ

Lll

r...

111 I L IJ!:>

l , l

lu ~ h)

EUCLIDES . - - BIBI IOGRA FIA

l

d h ' thÍ1111i11au J¡, Cu,t1g11Jur . Al libru \ l'''"'•·J., d rl'luto Je 11w ,·u11fae11< ·ia que ltabia JaJo sobre este libro e11 il!ll'si11 dl' Ve11eáa I JI J,. agosto de 1508. La 1¡1ii11ta e) 1111a traducciú11 libre· J,• Faber St.1p1d1·11s:s 11 • impresa e 11 >orís, 15 J6, fol . Otras edicio11es del siglo XVI so11 las de Comma11di110 : Euclidis elencntorum libri XV una cum scholis antiquis, Pisa, 1572, y Clavio 1•: : uclidis elementorum libri XV Accesit XVI de regulari solidorum com1aratione, Roma, 1574. . El texto griego con el co111e11tario de Proclo lo publicó por primera •t: el teólogo sui::o Simon Grynt, Basilea, 1531; y respecto a las edicio'l LIULGOS . ·· IUMO 1

EUCLIDES . - lilBLIOGRAF l A

lus ,,.,,:.-riormos en el mismo ladQ de una misma recta no se enCHt>nlran en dos puntos distintos . Constrúyanse, si se puede, sobre la misma recta AB (Fig. 7) los dos e; segmentos AD y BD iguales respectivamente a las rectas AG y BG, de manera que · queden determinados dos puntos distintos G y D teniendo dichos segmentos los mismos extremos en el mismo lado de AB y, por tanto, GA serj igual a DA con A como extremo común, y BG igual BD con el extremo común B, y trjcue la GD. B Puesto que AG es igual a AD, los 4nguf1G- 7. los AGD y ADG serin iguales, y, por tanto, el ADG mayor que el DGB, y con mayor razón el CDB será mayor que el DGB, y como GB es iguafa DB, serán iguales los ángulos GDB y DGB; pero como se acaba de demostrar que uno de ellos es mayor que el otro, resulta un imposible; luego si sobre una misma recta se construyen dos segmentos respectivamente iguales a otros dos con los mismos extremos en el mismo lado de dicha recta, no determinarán puntos distintos, l.q.q.d. • . 8. Si dos tridn,ulos tienen dos lodos "'' uno ;,uoies " los lados "'' otro ' icuoles los bases, terulrdn iiual•s los comprendHlos por los llu:los i1uol•s. , Sean los dos triingulm ABG y DEZ con los lados AB y AG respecti-

'"'"'º•

debe a Arist6tela. medÍllnte el tri,n&ulo curvilíaco formado ,O.. ua arco de ciraanferenda 1 n cuerda. ' • Esta a la primera •a que aparece en loa Elem•nlos d mitodo clemostradYO por reducción al absurdo que formularon tknicamute Jos estoico¡ 1 que ,. •tilbd Ari1t6tela. •Como en la proposkión 6, Euclides emplea también en la 7 el método de reducción al · absurdo, pero ahora sin risor lósico, porque la duisualdad de los jn¡ulo1 ADG y DGB depende de cómo se dibuje la fisura ' absurda, de modo que si el punto D es interior al triánsulo ABG o el G al ABD, sería preciso apoyarse en la isualdad de los jnsulos situados debajo de la base pua cada uno de los dos trifosulos isósceles ACD y BGD.

..

7 ll

vamentc iguales a DE y DZ e iguales sus bases BC y ZE (Fig . 8). Digo que tambifo son iguales los ángulos BAG y EDZ . Aplicando el triángulo ABG sobre el H D DEZ de manera que el punto B se coloque A sobre el E y la base BG sobre la EZ , el pun 10 G quedará aplicado sobre el Z por ser iguales estas bases y tambifo se aplicarán e; BA y GA sobre ED y DZ, porque si no se aplicaran y cayesen fuera, como las EH y HZ , dos segmentos respectivamente iguales a otros dos con los extremos en el mismo lado de E una misma recta se encontrarlan en dos pun B tos distintos: luego no puede ocurrir que en FtG. l . el caso de aplicarse congruentemente la base BG sobre la EZ no sean congruentes los lados BA y AG con los ED y DZ, y, por tanto, se aplicarán congruente A mente y el ángulo BAG se aplicará congruente mente sobre el EDZ y los dos serán igualu, l.q.q .d . JO. 9. nioidir en dos un d11gu/o rectilíneo dado JI. Si el ángulo rcctllíneo daáo es el BAG (Fig. 9), tómese sobre el lado AB un punto cualquiera D; réstese de AG el segmento AE igual al AD; únase D con E; constrúyase sobre DE el trifogulo equihltero DEZ y tr~cese la recta AZ. Digo que el ángulo BAG está dividido en doe partes iguales por la recta AZ porque siendo AD G igual a AE, Ja base DZ igual a la EZ y AZ co· B Z mún, el jngulo comprendido DAZ seri igual al ftC. t. EAZ y, por tanto, el rectiHneo dado BAG ha quedado dividido en dos partes iguales, 1.q.q .h .

z

-··

r 1

IC

...

,

•• 1

l

JO Lo mismo que en la proposición 4--primer caso moderno de igualdad de triángulos-, en la 8-terccr caso---el geómetra alejandrino empica la super· posición como criterio de congruencia; y, en cambio, el sesundo caso--que no ntudia hasta la proposición 26- lo demuestra por reducción al absurdo, no ha· biéndolo Incluido entre los otros dos porque n.o le hada falta pana conrinuu la exposición lógica de los Elementos . Vid . infra, nota 40. 11 Vid. supra, nota 8.

712

Ul1' 111 ILOS

GRl~. GOS .--·10MO

1

EUCLIDES.-ELEMENlOS DE G EOMETRIA

H'g111e11to dado e11 dos partes. Sea A B el segmento dado (fig. 10). ConsG trúyase sobre él un triángulo equilátero ABG y divídase en dos el ángulo ACB por medio de la recta GD. Digo que el segmento AB queda dividido en dos por el punto D porque siendo AG igual a CB y CD común, resultan iguales los segmentos AG y CD a los BG y CD, asl corno los ángulos 'AGD y BCD y las bases AD y BD; luego D es el punto medio AB, l.q.q.h. A B 11. Desde un punto ciado en una recta Ftc. 10. dada, trazar una recta que forme dngulos rectos. Sea AB la recta dada y C el punto dado en ella (Fig. 11 ). Tórnese sobre la recta AC un punto cualquiera D; hágase que GE sea igual a CD; constrúyase sobre DE el triángulo equilátero ZDE y trácese la recta ZG. Digo que l.'Sta rcct;i ZG forma ángulos rectos porque siendo DC igual a G GE y .CZ común, los segmentos A o E B DZ y DE serán iguales, el ánFtG. 11. gulo DCZ igual al ECZ y corno son contiguos, serán rectos, y, por consiguiente, la recta ZG trazada sobre la dada AB desde el punto dado G forma con ella ángulos rectos, l.q .q .h. 12. Dada una recta indefinida, trazarle desde un punto que G no estl sobre ella una recta per11e11dicular. Sea AB la recta dada y G el A B punto dado que no está sobre ella (Fig. 12). Tómese al otro lado de Ftc. 12. la recta un punto cualquiera D ; con centro en G y radio CD dcscríbase el circulo EZH; divida!>e en dos la recta EH por el punto T 10.

Dit•idir

11n

·• l

..

o

z

\;

1. 1 1

1

1' 1

!1 ¡' 1 1

z

713

y trácense las rectas CH, CT y GE. Digo que la GT es la perpendi cular pedida porque siendo HT igual a TE y GT común , es Gil igual a GE, el ángulo GTH igual al GTE y corno son continuos serán rectos y la recta GT perpendicular a AB, l.q .q .h. u. 13. Si u11a recta levantada sobre otra forma dngulos , serdn rect os o igual a dos rectos " · Sea AB la recta levantada sobre la CD con la que forma los ángulos GBA y ABD (Fig. 13). Digo que estos ángulos son rectos o iguales a do s rectos, porque si son iguales son rectos, y si no es así, trácese por él p unto B sobre la recta GD la perpendicular BE y E serán rectos los ángulos GBE y EBD, y puesA to que el GBE es igual a los dos ángulos GBA y ABE, añádase a los dos el mismo ángulo común EBD y entonces los dos ángulos GBE y EBD serán iguales a los tres GBA, ABE y EBD.

1

l ,. 1 1 1 1

-· ,i.

Por ser el ángulo DBA igual a los dos DBE e; B y EBA, añádase a ambos el mismo ángulo ABG O y entonces los dos ángulos DBA y ABG serán F1c . ll . iguales a los tres DBE, EBA y ABG. Pero se demostró que los ángulos GBE y EBD son t ambifo iguales a los mismos tres ángulos, y corno cosas iguales a una m isma cosa son igua les entre si, los ángulos GBE y EBD serán iguales a los DBA y ABG y por ser dos rectos los GBE y EBD también serán dos rectos los DBA y ABG, l.q .q .d. 14. Si respecto de una recta cualquiera 1f en un punto de ella, do• rectas no situadas en el mismo lado de ella forman dngulos contiguos iguales a dos rectos, las dos rectas estdn sobre la misma recta. Sea AB una recta cualquiera y B un punto de ella (Flg. 14); BG y BD dos rectas no situadas en el mismo lado de la AB, que forman con ella los ángulos contiguos ABG y ABD iguales a dos rectos M, Digo que BD está en la ,misma recta que GB porque si no estuviera, estarla la BE, y

JJ Según Proclo, este· p roblema fue resue lto por Enópides de Q uío, que floreció en el siglo v a . de J.C. n Se sobrentiende igual a dos rectos la s uma de los d os án gu los. l4 Véase nota anterior.

1

l

--·---·-----------

;14

EUCLIDES .-· ELEMl:NTOS DE GEOMI: TRIA

CIENlll'ICOS GRILGOS .-· TOMO 1

pueslo que la AB eslá levan1ada sobre la GBt., los ángulos ABG y ABE son igual a dos rectos; pero también lo son los ABG y ABD; lui;go GBA y ABE son iguales a G~A y ABD. A Si se resta el ángulo común GBA,

~

E

"ABE'"'''"'',, Ano."

d ABG+AGB, o sea, sumando a los dos mlembroa de una desicualdad la misma magnitud, en virtud de Ja noción común 4, rosulla una desigualdad del mismo sentido. l7 Como " advierte en seguida, esta proposición es un corolario de la an 1crior y ambas se pueden establecer rápidamente apoyándose en la propiedad de ser igual a dos rectos la suma de los tres ángulos de un triángulo, que Éuclides no solo no antepuso a aquellas, sino que retrasó su demostración hut• la proposición 32, que, como veremos después, no difiere de la que se h•cc

•

716

CILS I Hl< .lb G l

O

.'•111 .'

ji T Fu;. SS.

L

z

•

hágue una figura doble según el método dicho. Pues10 que GB es igual a BD y a HK, Y BD igual a KN, será HK igual a KN, y por la misma razón PR igual a RO, y como BG es igual a BD y HI\. igual a KN , serán equivalentes los rectángulos GK y KD y los H R y RN . Pero el GK es equivalente al RN por ser complementos del paralelogramo GO; luego el KD equivale al RH y los cuatro DK, GK, H R y RN serán equivalentes enter sf, y, por tanto, los cuatro son el cuádruple del GK. -

•

Puesto que GB es Igual a BD y BD a BK, es decir: a Gii, y GB igual 11 llK, es decir: a HP, serán iguales CH y HP, y como PR es igual a RO, los rectángulos AH y MP senin equivalentes, y tambil!n los PL y RZ. Pero el MP equivale al PL por ser complementos del paralelogramo ML; luego tambil!n el Ali equivaldri al RZ, de modo que los cuatro Ali, MP, PL y RZ son equivalentes entre si, y, por tanto, los cuatro son cuádruple del AH. Pero quedó demostrado que los cual ro DK, GK , H R y RN son el cuá -

'

1

1

11

Algcbnicamenle,

druple del GK; luego los ocho que comprenden el gnomon STU equiva len al cuádruple del AK. Ahora bien: puesto que AK es el rectángulo comprendido por AB y BD porque BK es igual a BD, el cuádruple del comprendido por A B y BD será equivalente al cuádruple del AK, y como quedó demostrado que el gnomon STU equivale al cuádruple del rectángulo AK, resulta que el cuá druple del comprendido por AB y BD equivale al gnomon STU; y si r;e añade el común XT, que es igual al cuadrado de AG. el cuádruple del rectángulo comprendido por . las rectas AB y BD más el cuadrado de la A G equivalen al gnomon STU más el cuadrado XT. Pero el gnomon STU y el cuadrado XT, en junto, equivalen al cua drado AEZD, que es el construido sobre la recta AD; luego el cuádruple del comprendido por AB y BD más el cuadrado de AG e~uivalen al cua drado de AD, o sea: el cuadrado formado por las rectas AB y BG como 5j fueran una sola; y por ser BD igual a BG, el ~u:idruple del compren · dido por AB y BG más el cuadrado de AG equivale al cuad r ado de AD. l.q .q .d. 9. Si se dit·ide una recta en partes iguales y des iguales, lo s cuadrados de las partes desiguales de la recta entera son doble del de la mitad de la recta e"tera, mds el cuadrado de la difere11cia e11tre las dos clases de cortes 12 • Divídase la recta AB (Fig. 56) en partes iguales por el punto G y en partes desiguales por el D. Digo que los cuadrados de AD y DB son doble de los de AG y GD. Levántese en el punto G la GE perpendicular a la AB y tómesela igual a cada una de las AG y GB; trácense las EA y EB; por los . puntos D y Z las DZ y ZH paralelas a las EG y AB, respectivamente, y únase A con Z. Puesto que AG es igual a GE, también serán Iguales los ángulos EAG y AEG, y como el alngulo junto a G es recto, los ángulos restantes EAG y AGE Sfrán rectos e Iguales¡ luego cada uno de los CEA y GAE ~ la mitad de un recto. Por el mismo razonamiento se demuestra que cada uno de los ángulos GEB y EBG es también la mitad de un recto¡ luego el ángulo entero AEB es un recto.

..

U Algebr;~icamente,

1

1

-t(a+b)a+bl~ [(a+b) +ap

1

L

74)

a1+b1~2

(ª -b)1]

[ ( -a+b)J 2 + - 2.

744

Ji

. ~

··./ 1'

11

:11 : 1 •

1

••

1

C IENTIFI COS GRIEG OS . -TOMO 1

EUCLIDES .-ELE MENTOS DE GEOM ETRIA

Pueslo que el ángulo HEZ es la mitad de un rec to, y el EHZ es recto por ser igual al interno y opuesto ECB, el ángulo restante EZH será la milad de un recto ; luego el HEZ es igual al EZH, y el lado EH será igual al HZ. Pero el ángulo interno junto a B es la mitad de un recto y el ZDB C5 recio por ser igual al interno y opuesto ECB; luego el ángulo restante BZD será la mitad de un recto y, por tanto, el ángulo junto a B será igual al DZB y el lado ZD igual al DB, y como AC y GE son iguales, también serán iguales los cuadrados de AG y GE, y estos cuadrados dobles del AG. Pero el cuadrado de EA equivale a los cuadrados de AG y GE, juntos, porque el ángulo AGE es recto; lueE go el cuadrado de EA es doble del de AG u. Puesto que el lado EH es igual al HZ, también serán iguales los cuadrados de EH y HZ, y, por t:tnto, sus cuadrados doble del de HZ, y como el cuadrado de EZ equivale a los cua drados de EH y HZ juntos, es doA ble del de HZ, y por ser el lado HZ igual al CD, el cuadrado de EZ es F1G. 56. doble del de CD. También el cuadrado de EA es doble del de AG; luego los cuadrados de AE y EZ son doble de los de AG y GD, y como el ~ AZ equivale a los de AD y DZ porque el ángulo junto a D es recto, los cuadrados de AD y DZ son doble de los de AG y CD, y como el lado DZ es Igual al DB, los cuadrados de AD y DB son doble de los de AG y GD, l.q.q.d. 10. Si H divide una recta en dos &f se I• añad• •n lfn•a recta otra recta, el cuadrado d• la recta entera mds la añadida ¡, •l de la añadida, juntos, son dobl• d•l cuadrado construido sobr• la recta mitad mds •l cuadrado de la formada por la mitad ¡, por la añadida "· Divldase la recta AB (Flg. 57) en dos por el punto G y aftádasele la u Esta aplicación del teorema de Pit,goras al trifogulo rect•nsulo Isósceles ;.EG equivale a representar .¡2 por la hipotenusa ÁE, y, por tanto, como ha hecho observar Zeuthen, la demostración euclídea de eue teorema 9 sirve para determinar .¡2 por medio del Algcbra geométrica. 14 Algcbraicamentc

...

..

(2a -t b)l +bl ~ 2[a +(a+ b)lj

l

745

BD. Digo que los cuadrados de las AD y DB son doble de los d e AG y GD. Trácese por el punto G la recta GE perpendic ular a la A 8 ; tómesela igual a cada una de las AG y GB; trácen5e las EA y EB; por el pun to E la EZ paralela a Ja AD y por el D la ZD paralela a la G E. Puesto que Ja recta EZ incide sobre las paralelas EG y DZ, los ángu los GEZ y EZD, juntos, serán dos rectos, de modo que los Z EB y EZD serán, juntos, menor que dos rectos. Pero rectas que forman án gulos menores que dos recios, prolongadas, se encuentran; luego las EB y ZD prolongadas se encontranin . Prolónguense hasta su encuenlro en H y trácese la AH. Puesto q ue AG es igual a GE, el ángulo EAG será igual al A EG; pero el án gulo junto a G es ~c to ; luego cada uno de los ángulos EAG y A EG será la mitad de un recto ; y por la misma razón E z cada uno de los GEB y EBG s erá también la mitad de un recto ; lucio el AEB es recio, y puesto que el EBG es la mitad de un recto , el DBH será la mitad de un rec to . Pero el BDH es rec to porque A"'-:::: ,!. ~' 1O es igual al DCE por alternos; luego el ángulo restante DHB será la mitad de un recto, y, por tanH to, los DI/ 8 y DBH son iguales y F1G. S7. los lados BD y HD tambic!n serán iguales. Puesto que el ángulo EHZ es la m itad de un r ecto y el ángµl o jun to a Z es recto, porque es igual al opuesto junto a G, el ángulo res tante ZEH será la mitad de un recto y los EHZ y ZEH iguales. Tambifo serán iguales los lados HZ y EZ, y como lo son EG y GA, sus cuadrados serán Iguales, y, por tanto, dobles del cuadrado d e GA ; pero el de EA eq uivale a los cuadrados de EG y GA, y, por consiguien te, es doble del de AG. Puesto que los lados ZH y EZ son iguales, también i;erán iguales sus cuadrados, de modo que será n doble del cuadrado de EZ ; pero el de EH equivale a los cuadrados de H Z y ZE ; luego es doble del de EZ, y como los lados EZ y GD son iguales, el cuadrado de EJI es doble del de GD. Pero q uedó demostrado que el cuadrado de EA es doble del de AG;

746

CIENl I F ICOS GRIEGOS . - TOMO 1

EUCLIOES.-

luego los cuadrados de AE y EH son doble del de AG y del de CD, y como el de AH es igual al de AE más el de EH. el de AH es doble del de AG y de CD, y fOmo el cuadrado de AH equivale a los de AD y DH, el de AD más el de DH es doble del de AG más el de GD; pero Jos lados DH y DB son iguales ; luego los cuadrados de AD y DB son doble de los de AG y CD, l.q .q .d. 11. Diuidir una rtcta en dos partu de modo que el rtctd11gulo com prendido por la rtcla tnlera 1f por una de sus partu sea equivalente al cuadrado de la otra parte 15 • Sobre la recta dada AB (Fig. 58) constrúyase el cuadrado ABDG: di vldase la AG en dos por el punto E; trácese la BE; prolónguese la GA huta Z; tómese EZ igual a EB; descrlbase sobre la recta AZ el cuadra -

.

(a-b)I . 2

Esta cuestión la resucitó a fines del siglo xv LUCA PACIOLI en au tratado Diuina proportion•; o,wra a tulli 1l'in1t'1ni pt'rspicaci • curiod n•cessaria, Venecia, 1509, fechada en Milfo el 14 de diciembre de 1497, en la cual dedica }) folios, es decir, 66 pJalnas, a dicho problema, con una Introducción en seis capltulos, despul!a de IOI cuales explica los •fl•cti de la famoaa división, a la que da loa m'• inverosfmllea calificativos, para terminar llam,ndola di11i11a de1pu4!s de una justificación (7) de car•cter teolóalco. · Alrededor de este problema 1e ha derrochado dem11iada literatura por las relaciones que tiene con la Naturaleza y el Arte; por ejemplo, si el segmento es l;i unidad, el mayor de los dos que 5C obtienen al dividirlo en media y U · trema razón es

747

do ZT; y prolónguese la HT hasta el punto K . Digo que la recta AB está cortada por el punto T de modo que el rectángulo comprendido por AB y BT es ~quivalente al cuadrado de AT. Puesto que la recta AG está cortada en dos por el punto E y se le ha anadido la ZA, el rectángulo comprendido por GZ y ZA más el cuadrado AE equivalen al cua H drado de EZ, y como EZ es igual a EB, el rectán gulo comprendido por GZ y ZA más el cuadrado de AB equivalen al cuadrado de EB . Pero los cuadrados de AB y AE, juntos, equi AJ IT ..,,8 \'alen al cuadrado de EB porque el ángulo en A es recto; luego el comprendido por GZ y ZA más el cuadrado de AE equivale a los cuadrados de AB y AE. Réste.se el cuadrado común AE, y entonces el rectángul(\ . ·r~stante, comprendido por GZ y ZA, es equivalente al cuadrado de AD; pero ese G K rectángulo es el ZK porque AZ y ZH son iguales y el cuadrado de AB es el AD; luego el rec F1c . sa. tángulo ZK equivale al cuadrado AD. Réstese .a hora el AK común y el restante ZT será equivalen re al TD ; pero este TD es el comprendido por AB y BT porque AB es igual a BD, y el ZT es el cuadrado de AT: luego el rectángulo comprendido por AB y BT es equivalente al cuadrado de AT, l.q.q .d . 12. En los triángulos obtusdngulos, el cuadrado del lado que subtiende el dngulo obtuso es mayor que los cuadrados de los lados que lo comprenden en el doble del rectdngulo comprendido por aquel de los la-

z

1i Esta proposición-que Euclides repite en VI, 3G--equivale ·al problema de dividir un segmento rectilíneo en media y extrema razón, que ya conocían los pi1agóricos por ne ~ esiur resolverlo rara construir el pentolgono regular, puesto que el estrellado, o triple triángulo, era el signo esot4!rico que utiliza. ban los af iliados a la secta para reconocuse. Para encontrar el segmento que ll3maron d11rro recurrían al gnomon, que les permitía dividir el segmento en otros dos que formen un rectángulo de ;irca dada, problema ligado al de la cons1rucci•' n de una figura congruente con 01ra dada y semejante a una ter cera-un cuadrado en particular- que condu ce a la ecuación cuadr~tica

zl•ab• ( a+b)I 2

ELEMENTOS DE GEOMETRIA

y desarrollando este irracional cuadr,tico en fracción continua, l -1 l + -- 1 l+ - - ... l+ ,.

•

- 1+15

~~~~~~~~~~~~~~~~~~~]~~·~~~~~~~~~~~~~~~~· ~·

curas diada y que El

D••

reducidas son : l, 1/2, 2/1 , 1/5, 5/8, ... , que forman Ja sucesión estu · por el geómc1ra francés Gabriel lamé (1795 -1870), cuyo nombre lleva, dan la dispos ición de las hojas de las ramas de las brácteas de la pilla . lector a quien in1erese este lema puede consultar la obra de TIMEIWING

c.1~

•• •••••• •••••. ''''

H 748

CIENTIFICOS GlllEGOS . -TOMO 1

dos del d11gulo obtuso sobre el que cae la perpendicular 11 por la recta uUrior que queda entre la perpendicular y el dngulo obtuso. · Sea ABG (Fig. 59) el triángulo que tiene el ángulo ·obtuso BAG y trácese desde B la BD perpendicular a la GA prolongada. Digo que el cuadrado de BG es mayor que los cuadrados de AB y AG en el doble del recUngulo comprendido por AG y AD . B Puesto que la recta GD está dividida por el punto A,' su cuadrado es igual a los cuadrados de AG y AD m's el doble del iectángulo comprendido por AG : y AD. Al\lidase el cuadrado co'mún BD, y entonces los cuadrados GB o t y DB equivaldrán a los de GA, AD y DB más el doble del recUnflG. 59. gulo comprendido por .AG y AD. Pero el cuadrado de GB equivale a los de GD y DB porque el fogulo junto a D es recto y además el cuadrado de AB equivale a los de AD y BD; luego el de GB equivale a Jos de AG y AB más el doble del rectángulo de AG y AD, y, por tanto, es mayor que los cuadrados de AG y AB en el doble del rectángulo comprendido por AG y AD, l.q .q.d. IJ. En los tridngulos acutdngulos el cuadrado del lado que subtiende un dngulo agudo es menor que los cuadrados de los lados que lo comprenden en el doble del rectdngulo comprendido por el lado sobre el que cae la perpendicular y por la recta interior que queda entre la ,,.rpendicular 11 el dngido agudo 16• Sea ABG (Fig. 60) el tri,ngulo acutánguló con un 'ngulo agudo en B, y trkese desde A la recta AD perpendicular a la BG. Digo que el cuadrado de AG es menor que los cuadrados de GB y BA en el doble del rectángulo comprendido por GB y BD. Puesto que la recta GB está dividida por el punto D, los cuadrados de GB y BD equivaldrán al doble del rectángulo comprendido por GB y BD más el cuadrado de DG.

1

~i!

..

~ll

.,

:11 !

"Esta proposición )' la anterior generalizan el leorema de Pit,¡oras para los triángulos acutángulos y obtusángulos. respectivamente. El rectángulo que interviene en los enunciados es el definido por uno de los lados del ángulo considerado--obturn o agudcr-y la proyección del otro sobre ~l.

r

EUCLIDES.-ELlMENlOS DE GEOMETRIA

•

•

1

Ja fi-vd, ·/d .

--r1 ;::; 1

l •

749

Añádase el cuadrado común DA, y enlonces los cuadrados de GB, /ID y DA serjn doble del rectángulo de GB y BD más los cuadrados de A[) y DG; pero el cuadrado de AB equi\·ale a los de BD y DA porque el án gulo junto a D es recto; luego el A md,.do do AG •qu;,.10 • lo• do ~ AD y DG, de modo que los cuadrados de GB y BA equivalen al de AG más el doble del rectángulo compreniiido por GB y DB. Por tanto, el cuadrado de AG. B D G tomado aparte, equivale a los cua f1 G. 60 . drados de GA y BA menos el do ble del rectángulo comprendido por GB y DB, l.q .q .d . 14 . Construir un cuadrado eq11ipa/e111e a 1111a rcgiti11 rectilí11ea dada 11 . Sea la región rectilínea A (Fig . 61). Constrúyase el paralelogramo rectángulo BD equi\'alcnte a la región dada . Si el lado BE es igual a ED se ha brá cons~guido L; propósilo 11 por que quedará construido un cuadrado BD equi\'alenle a la región rec tilínea A, y si no, una de las rectas BE o ED será la mayor. Sea BE la mayor. Prolónguesela hasta ªI H, · IE •z el punto Z; tómese la EZ igual a la ED; divldase la BZ por el pun · lJ'----~o to H en dos partes iguales; con flG. 61. centro en H y radio igual a una cualquiera de las rectas HB o llZ descrlbase el semicirculo BHZ; prolónguese la DE hasta el punto T y trácese la HT. Pueste que la recta BZ está dividida en partes iguales por el punto H y en partes desiguales por el E, el rectángulo comprendido por las rectas BE y EZ más el cuadrado de EH St:rá equivalente al cuadrado de HZ.

C>

11 Con este problema, que pone término al libro ll de los Elementos , enseña Euclides a cuadrar cualquier figura poligonal, y, al mi smo tiempo, csiablecc la posibilidad de tralar las figuras poligonales como magnitudes, es de ci r, como cosas. en d sentido que da a esta palabra en las nociones comunes . Vid . i11fra ,

VI. 13 . 11 J.iteralmentc, yEyovo~ civ 1i11 rn f':uw;r:úEV .

750

JI

CIENl IFICOS GRIF.GOS. -

EUCLIDES.-ELEMENTOS DE GEOMETRIA

TOMO I

751

7. Angulo de un segmento es el limitado por una recta y por la peri · feria del circulo. 8. Angulo en el segmento es el limitado por las rectas trazadas des· de un punto de la periferia del segmento a los extremos de la recta que es la base del segmento 4• 9. Si los lados del ángulo comprenden el arco, se dice que el ángulo ¡¡¡barca él arco. 10. Sector circular es la figura formada por las rectas que limitan el ángulo construido en el centro y por la periferia comprendida por ellas . l l. Segmentos circulares semejantes son los que abarcan ángulos igua · les o son iguales los ángulos en ellos.

Pero la recta HZ es igual a la llT; luego el rectángulo comprendido por DE y EZ más el cuadrado de HE equivalen al cuadudo de HT, y como Jos cuadrados de TE y HE, juntos. equivalen al cuadrado de HT, el rectángu. lo comprendido por BE y EZ más el cuadrado de HE equivalen a los cuadrados de TE y EH. Réstese el cuadrado común HE, y entonces el rectángulo comprendido por BE y EZ será equivalente al cuadrado de ET¡ pero ese rectángulo es el BD porque el EZ es igual al ED ¡ luego el paralelogramo BD es equivalen· te al cuadrado de TE; y como equivale a la región rectillnea•A, esta región es equivalente al cuadrado que se puede construir a partir del lado ET"· 1.q.q.h .

11 LIBRO

111 PROPOSICIONES

•

DEFINICIO:-IES

Jt

. l. Círculos iguales son los que tienen iguales sus diámetros o cuyas - -líneas desde el centro son iguales 1• 2. Se dice que una recta es tangente al círculo cuando Jo toca y pro· longada no lo corta. ). Se dice que dos drculos son mutuamente tangentes cuando se tocan mutuamente y no se cortan J. 4. Se dice· que dos rectas distan Igualmente del centro cuando las perpendiculares trazadas a ellas desde el centro son Iguales • .. ·5. Se dice que dista más aquella sobre la cual cae la perpendicular mayor. 6. Segmento de circulo es la figura limitada por una recta y por la periferia del drculo 1• 19 civayc¡acpr¡ooµevljl, civay11acpt'(oó1.evov . 1 Vid. supra, I, nota l 3. En realidad, esta definición no es tal, sino un teorema que habría que demostrar por superposición. l La palabra •circulo• tiene aqu{ el mismo sentido que hoy. Euclides se refie re al jrea y no a la periferia, es decir, a la circunferencia . Vid. SUJ'l'O, l. nota 7. l las pal;ibras •arco• y •Cuerda• fueron empleadas por primera vez en el comentario de Campano a la edición pnnc.úy~ : razón, era tambiin huta Euclides lo upreuble y representable num4!ricamente por comparación con una maanitud tomada como unidad, y de aquf que la palabra racio nal tensa hQY un sentido preciso, mientras que es variable para Euclldt1, pues que en I• del. l del lib. X considera como racionales a loa Irracionales cuadr,ticos. •Esta definición complementa la anterior y es, en el fondo, la enunciación Imprecisa del postulado de Arqufmecies, que, én realidad, es de Eudoalo de Cnido : •Dadas dos ma1nitudes desiguales, ae pt:ede alcanzar y auperar la mayor repitiendo la menor un número suficiente de veceu, lo cual supone la ·' txistencia de ma1nitudes tan ar•ndea o tan pequel'las como se qulera'i con objeto de embridar al infinito, incompatible con la Matemjtlca grieaa. l.a definición euclldca no tiene otro alcance que ti . de advertir que 5iempre que ae '.i' ' hable de l1ualdad o deslaualdad de rnbnea se sobrentienda que el par de ma1nitudes que ·ae comparan cumplen tal condición, a I• que Eucllde1 bito explicito llamamiento para demostrar m•a adelar.te que si es a > b, ea ·1iernprt e : o .0010.ol'ov,~tropezó con 1randes dificultades huta el Renacimiento, y el propio Galileo empleu la tercera jornad• de sus Discorsi ' di· mostrozioni moumoticht intomo et dut ""º"' 1ci,nu, Leiden, 1618, definiendo el movimiento uniforme como • •quel en que los Hpacios recorridos por un

r

788

CIE.NTIFICOS GRIEGOS,-

6.

TOMO 1

EUCLIDES .-ELEMENTOS DE GEOMETlllA

l.u magnitudes que tienen la misma razón se llaman proporcio-

1101'1 .

•

7. Si entre magnitudes igualmente multiplicadas el múltiplo de la primera supera al de la segunda, pero el de la tercera no supera al de la cuarta , se dice que la razón de la primera a la segunda es mayor que la de la tercera a la cuarta 1• 8. Una proporción tiene, por lo menos, tru t~rminos distintos'·

,, \

..

~·

móvil en tiempos iauales cualesquiera son laualcs entre sr., definición que aclara diciendo: ··H• crefdo conveniente aareaar a la antlaua dcfinlclón--{que llama simplemente mo•lmlento uniforme al que recorre espacios lauales en tiempos l1uales)-l1 palabra 1cualcsquier11 (q11ib111c11mq11•], u decir, en tiempos l1u1lea c11ol'lq11i•ro, porque puede ocurrir que el móvil recorra espacios isuales en tiempos l1ualea y, sin cmbar10, no sean lsuales los éapaclos recorridos en 1l1un11 fracciones mis peque/las, aunque l1uales entre ah, y en la quinta jornada-la dictada en sua úllimos dfas a Vlvlanl, au disclpulo predilecto, y alladida en ediciones poateriores 1 la princ•p1 de Leiden-trata precisamente de entender el q11ib111cumq111 de Euclides cuando, &)osando au teoría de las ma1nitude1, • LQuh!n ser,-dic~l feliz insenio que tenia la segu ridad de que cuando las m11nitudes 5on proporcionales concordar'n siempre los. equimúltiplos7 SI el lector sabe ya qu~ ea tia proporcionalidad de magnhudea, le ser' muy dificil entender que el comportamiento de la primera ma1nitud con la ae111nda es an,1010 al de la tercera con la cuarta cuando los equimdltlploa de la primera y tercera concuerden Indefectiblemente con los de la 1e1unda y cuarta en ser alempre mayores, l1u1lea o menores. Sea de ello lo que fuere, creo que la definición de Euclides ea m'• bien un teorema que hay que demostrar.a · ,. . . Un positivo pro1reao de la teorfa de m11nhud11 proporcional., para caminar hacia la del nlimero real se debe a BoaaLLI (1601-167P), quien, an 1u Eucli"•• r11tit11to, Parla, 1658, 11 propuso perfeccionar el lib. V de loa El•m1nto1, que tanto habla preocupado a Galileo; pero la ellmlnac16a de les pell1ro111 Intuiciones 1eomftrlcu no 11 realizó huta medladoa del 11&10 xm. · : 1 Con eJ 1imbollamo moderno, ea a: b > c/J al M pueden' encontrar dos mimeroa enteros m y n tales que siendo ma > nb, sea mc4'ncl. ''.A"°loylo M lv 'lQ,olv 5Qou; '1oxiou1 lo1'v, 1e1dn la lección de Helberg. la palabra 5'101: tfrmlno, empleada aquí en un sentido diferente del lib. I, .lfrmino, confin, limite o mojón, hace pensar a 1l1uno1 comentaristas que no debla figurar en el texto original, y no falta quien crh que toda la definición ha sido interpolada posteriormente porque es superflua. Se trata · de la proporción ll1m1d1 continua, que tiene la forma a :b=b :c, para dl1tln1ylrla · de la discrera. que consta de cuauo tfrminos; pero Euclides no usa las ' palabras ouvrxfi~ y 1

¡

989

9. Si tres magnitudes están en proporción [continua], se dice que la primera tiene con la tercera una razón duplicada de la que tiene con la Hgunda •.

10. Si cuatro magnitudes esllin en proporción (continua), H dlg1 'JUI Ja primera tiene con la cuarta una ru6a trlpllc1d1 de 11 4u1 ll1n1 coa la segunda 11 • 11. · Se dicen magnitudes correspondientes u en antecedentes entre s( y los consecuentes entre si. 12. Allernar una proporción es tomar los antecedentes y los conse cuentes u.

ll. Invertir una proporción es comparar cada consecuente con 1u anlecedente 14• 14. Componer una razón es tomar el antecedente junto con su con secuente para el mismo consecuente"· IS. · Separar una razón es tomar el exceso de) antecedente sobre 1u consecuente para el mismo consecuente " · 16. Convertir una razón es tomar el exceso del antecedente sobre su consecuente para el mismo anteceden te 11.

17.

Se dice razón igual o por equidad

11

de varias magnitudes, pro-

6111o'liihri, respectivamente, que aparecen en la Etica a Nicdmaco, V, 6 y 7,

de Ariuótelea.

10 Loa 1eómetr11 1rle1oa llamaban razón duplicada : 6ud.óo1~ lóy~ . de otra a la que ea l1ual al cuadrado de esta, de modo que al la proporción continua ca a:b .... b:c, de donde cr:c-(a:b)Z, la razón cr:c u duplicada de Ja (a:b)1. u De la laualdad ·a:b•b:c•c:d, ae deduce que es a:d=(a:b)', 7 ' Já ·r&n triplicada: ioud.001of).6y°', equivale, puu, a aer el cubo de otra.. .,.'· ·. 1 ~: : U 6ji6loydl;, homdlo101; pero hemoa preferido la palabra co1n1pondi•nl• por creerla mili adecuada en este caso, aunque amba1 aeao matem•tlcamente sinónlmu. Según MAX SIMON: Euc/id 11nd di• uchs planimdrúchm Bikh•r, ~g. 111, Lelpzl1, 1901, el tl!rmlno t~cnlco homóloso no es el adjetivo 61'6Aoy°' ni significa •correspondientu, sino anallo10 respecto de la proporción: lhnliclt in Bnu1 · 011/ das V •rhlltniu. 11 Es decir, de la proporción o :bs:c:d, se deduce a :c=b : d. 14 O sea, escribir la proporción a : b =e : d bajo la forma b: a= d: c. u De a:b se deduce, componiendo, (o+b) : b. 16 De a : b=c:d se deduce, separando, (o - b):b. 11 De o :b=c : d se deduce, convirliendo, a:(o-b). 11 6í foov . Vid. supra. lib. J, núm. 14.

-

r

porcionales de dos en dos a otras magnitudes, cuando las rázones de la primera a la última de cada grupo de magnitudes son Iguales 1'. 18. Una magnitud se dict; perturbada» cuando, dados dos grupos de ues magnitudes, el antecedente y el consecuente de las primeras magnitudts son como el antecedente y el consecuente de las segundas, y el consec\lente es a la tercera de las primeras magnitudes como el primer antecedente de las segundas a su consecuente 11 •

,,

11

lft

PROPOSICIONES

19'

1

l . Dadas varias ma&nitudn cualesquiera reJpectiuame11te equimaílti· p/as de otras magnitudes cualesquiera, las 1>ecu que una d• ellas sea múltipla de otra lo serdn todas las demd1 n . Si AB y GD (Fig. 118) son magnitudes cualesquiera múltiplas de otras E y Z, tantas veces esti E contenida en AB como Z en GD, de modp que dividiendo AB en magnitudes AH y HB iguales a E y GD en magnitudes GT y TD Iguales a Z, el n\\mero de las AH y H B seri igual al A H B.~~~--r semejante al KT y ambos esltn atravesados por la misma diago. nal , sus complementarios GZ y A K B ZE son equivalentes, y agreg,n Faa. 171. doles el BZ, el total GT serll equi valente al total KB, y por ser equivalentes GT y GH puesto que AG es Igual a · GB, el paralelogramo GH seri equivalente al KE y agregllodoJes el GZ resulta el paralelogramo AZ equivalente al gnomon LMN y, por tanto, el paralelogramo BD o el AD es mayor que el AZ, l.q.q .d.

~~

"Diremos que un paralelogramo AD es dtficimt• de otro AO cuando est-' construido sobre una parte de la base de este con los mismos -'ngulos y entre las mismas paralelas: y el paralelogramo, GO, que, !unto con el deficiente AD, completa el AO, es el defeclo del deficiente. llamaremos •excedente• de un paralelogramo al paralelogramo construid o sobre la base prolongada de este con los mismos ¡fogulos y entre las mi smas paralelas, y el que, junio con 4!1, completa el que se considera es el u ceso del excedenle. En la misma figura , AE es el pualelogramo excedente del AO y l\..E. su exceso.

------- - --

824

EUCLIDl!S.-ELEMENTOS DE GEOMETlllA

CIENTIFICOS GlllEGOS.-TOMO 1

28. Aplicar a una recia dada un paralelogramo equiualerrte a una figura rectillnea dada 11 deficiente de otro paralelogramo semejante a amo dado. Es preciso que la figura rectillnea dada no sea mayor que el paralelogramo construido sobre la mitad de la recta dada y semejante al defecto del deficiente. Sea AB la recta dada (Fig. 172); G la figura rectillnea equivalente a un paralelogramo no mayor que el construido sobre la mitad de AB y semejante a un paralelogramo dado D, al cual debe ser semejante el defecto; sea E el punto medio de AB y EBZH el paralelogramo construido sobre AB semejante al D y semejantemente dispuesto. Si se completa el paralelogra· i\ mo EZ y resulta AH equivalen\ ---\-.---t' \ te a G se ha hecho lo que se quería porque se ha aplicado a F10. 172. la recta AB un paralelogramo AH equivalente a la figura rectillnea G y deficiente de un paralelogramo EZ somejante al D; pero si AH no es equivalente a D, ser' mayor que esta figura, y como AH equivale a EZ, es EZ mayor que G. Constrúyase .un paralelogramo KLMN equivalente al exceso de EZ sobre G y semejante a D, y entonces por ser D semejante a EZ, el paralelogramo KM tambifo ser' semejante al EZ y la recta KL homóloga de la HE y la LM de la HZ. Puesto que EZ es equivalente a G y KM juntos, es mayor que KM; luego tambl&l HE ea mayor que KL y HZ mayor que LM. Tomando HO Igual a KL y HP Igual a LM y completando el paralelogramo OHPQ, este paralelogramo ser' equivalente y semejante al KM y como tambl6n ea semejante el EZ, tendré ambos Ja misma diagonal HB. Puesto que EZ ea equivalente a G y KM juntos, y OP equivalente a KM, el remanente, o sea: el gnomon UWV, ser' equivalente al remanen· te G, y por ser PR equivalente a OS, agregándoles QB, el total PB ser' equivalente al total 08, y como 08 es equivalente a IE y el lado AE Igual al EB, será IE equivalente a PB y agregándoles OS, el total IS será equivalente al gnomon VWU, el cual se ha demostrado que es equivalente a G; luego IS también es equivalente a G, y, por tanto, se ha aplicado a la recta AB el paralelogramo SI equivalente a la figura rectlllnea G y de-

ficiente de un paralelogramo RS semejante a uno D, puesto que RS es semejante al PO, l.q .q.b. 16 • 29. Aplicar a una recta dada un paralelogramo equivalente a una figu ra "ctilfnea dada 11 que exceda de otro paralelogramo semejante a uno dado . Sea AB la recta dada (Fig. l 7l), G la figura rectilínea equivalente al paralelogramo que hay que aplicar a AB, semejante al D, y E el punto medio de AB. Constrúyase sobre EB el para lelogramo BZ semejante al D y semejantemente dispuesto, y el HT equivalente al BZ y a G, tambi6n ' J . semejante a D y semejantemente dispuesto, de modo que la recta KT " ser• homóloga de la ZL y la KH flG . 17). de la ZE. Puesto que HT es mayor que ZB, será KT mayor que ZL y KH mayor que ZE, de modo que tomando ZLM igual a KT y ZEN igual a KH

-.&//7 L/

~·. .' . 9'n u .

'

825

.

\_jN

·• • r

, .

1' El diorisma: 6ioe1oµó~. o condición que impone Euclides para que este problema 1ea posible, demuestra la profundidad de su pensamiento anal!tico, tanto m's sorprendente cuanto que carecía del simbolismo adecuado. Empleando nuestro actual lenguaje algebraico, si ponemos AB - o, AS - x y llamamos h a la altura del paralelogramo IS equivalente a la figura rectilínea G, y b y e a la base y altura del RS construido 1obre SB -o - x, 1e tiene ;

G-xh,

----. o-x

b

h

e

y eliminando h entre eaw do1 ecuacionu:

bG

(o-.r)x---, e ecuación de segundo grado, cuya1 rafees ur•o reales 11 ea ole

P• Es un corolario del teorema anterior. Si Euclides lo hubiera hecho seguir inmediatamente despu~s de la descomposición de un número en factores primos, habría simplificado muchas demostraciones ulteriores.

.

.....

841

. , Pero t 1' mide a A con las unidades M; luego T multiplicado por M da A, y, por la misma razón, E multiplicado por D da A; luego los pro. duetos de E por D y de T por M son Iguales, y, por tanto , E es a T como · M a D; pero E es mayor que M; luego M senl tambil!n mayor que D y mide a A, B y G, lo cual es imposible porque, por hipótesis, D es la mayor _m edida común de A, B y G y, por consiguiente, no hay números menores que E, Z y H que tengan la misma razón con A , B y G, l.q .q .d. 34. Dados dos números, •ncontrar el menor que estd medido por ellos . Sean A y B los nllmeros dados, los cuales sen1n primos entre si o no. Si lo son, y su producto es G, entonces A y B miden a G, y G es el menor porque si hubiera otro más pequetlo D, las veces E que A mide a D y 111 Z que B mide a D, dan los productos de A por E y de B por Z igua les por ser ambos D; luego A es a B como Z a E; pero por ser A y 8 primos. entre sí, son los menores que tienen la misma razón, y puesto que A por B es G y por E es D, seril B a E como G a D y entonces, por medir B a E medirá G a D; es decir: el mayor al menor, lo cual es imposible; , luego G es el menor número que estil medido por A y B. SI A y B no son primos entre sí y son Z y E los menores que tienen la misma razón que ellos, el producto de A por E ser4 igual al de B por Z, y al el de A por E es G, tambi~n ser• G el de B por Z; luego A y B miden a G. Digo, además, que G es el menor que esti medido por A y B porque al hubiera otro mú pequel\o D, razonando como antes 40, se llega a la miami conclusión.

35. Si dos núm•ros miden a otro, lambiln m•dird a •si• la mayor m•dida común d• aqu•llos 41• 36. Encontrar •I menor número qu• •sttl m•dido por tr•1 números dado14J.

'

..

40 A partir de aqul, Euclides emplea las mlamaa palabr11 qua en el caso anterior, aln otro cambio qua escribir ahora H y r en vez de B y Z, reapecdvamente. El nu!todo de los Elnn•nto1 para determinar el m.c.m. de los númeroa o y b no primos entre 1( 1e reduce a encontrar lo1 dos menores número• rn y n tales que sea o: b - m: n y el m.c.m. (a, b) es an - brn. 41 En len¡uaje moderno: SI dos números dividen a un tercero, tambifo lo dividir• su m.c.d. 4J Para resolver este problema, Euclides- lo mismo que hacemos hoy- deiermina el m.c.m. de dos de los números a y b y luego el ti de esie m.c.m. y el

CIEHTIFICOS GRIEGOS. -

842

37 . Si 1111 número estd medido por otro, •I número que mide será la ' misma parte que el número medido. 38. Si un número es una parte cualquiera de otro, estard medido por ti mismo número de partes 0 . 39. E11contrar el menor número que tenga varias partes dadas 44 •

LIBRO

EUCLIDES .-ELEMENTOS DE GEOMETRIA

TOMO 1

.

#

VIII

PROPOSICIONES

l. Si varios números estdn en proporción continua 1 y los extremos son primos entre si, dichos números son los menores que tienen entre sf

la misma razón. Sean A, B, G y D varios números en proporción continua, cuyos extremos A y D son primos entre si. Si no fueran los menores que tienen con ellos la misma razón, sino los E. Z, T y H. serla A a D como E a H; pero A y D son los menores por ser primos entre si, y como los menores que tienen la misma razón que otros dos son equimúltiplos de estos, E serla múltiplo de A y T de D; lo cual es imposible. 2. Encontrar los menores números que estln en proporción conti-

~\' '.

nua stgún una razón dada. · Dada la razón de A a B, sea G el producto de A por si mismo y D su producto por B; el de B pot si mismo sea E y los de A por G, D y B sean Z, H y T, respectivamente, y K el de B por E 2• Puesto que A por 1f mismo es G y por B es D, ser6 A a B como G a D, tercer número e, y diatingue dos casos, según que e sea o no sea mwtiplo de d, estudl,ndolos por reducción al absurdo. u Loa teoremll 37 y )8 100 dos ma'ner11 Igualmente embrollad11 de decir que si un número b es dlvlsor de otro a, el número n- a/b tamblto es divisor de 11, pues si se tiene b•q/n•l/n·a, por aer 1-n/n, los números J, n, b y a a11isfaccn tu condiciones de la proposición 15 y, por consiguiente, n es la b-sim1 parte de a. 44 Es el mismo problema que el de encontrar el m.c.m. de varios números . •• • 1 i~ií~ ovo>.oyov, o sea, nuestra progresión geomttrica. 1

y puesto que B por sf mismo es E y por A es D, será A a 8 como D a E; luego G es a D como D a E. . , Pero A , por G y D es Z y H, respectivamente; luego G es a D como Z a H, y por ser G a D como A a B, senl A a B como Z a H, y por un razonamiento an.tlogo es A a B como T a K; luego A es a 8 como Z a H , como 11 a T y como T a K, y, por tanto, G, D, E y Z, H, T, K son pro· porcionafes según la razón de A a B. Digo, además, que son los menores porque si A y 8 son los menores que . tienen con ellos la misma razón, A y B senin primos entre si y como los productos de A y B por ellos mismos son G y E, respectivameD · te, y por G y E son Z y K, los números G y E, Z y K son primos entre si; luego en virtud de la proposición anterior, los números G, D y E 'ºº los menores que están con Z, H, T y K en la raz.ón de A a B , l.q.q.d . Corolario. Si tres números están en proporción continua &egún una razón dada y son los menores, los extremos serán cuadrados, y si &on cuatro, serán cubos >. J. Si varios números estdn en proporció11 co11tinua y son los m e nores que tienen entre si la misma razón, los extremos son primos entre sl. Dados los números A, B, G y D en proporción continua siendo los menores que tienen entre sf una misma razón, &i E y Z son los dos nu· meros menores que tienen la misma razón con A, B, G y_ D y otros tres H, T y K con igual propiedad y asl sucesivamente hasta tener tantos ndmeros como los A, B, G y D, sean L, M, N y O. Puesto que E y Z son lo& menores de ellos que tienen entre si la misma razón, son primos entre sf, y puesto que multiplicados por ellos mismos dan H y K, respectivamente, y estos L y O, los par~s H, K y L, O son primos entre sf, y como A, B, G y D son los menores que tJenen coa ellos la misma raz.ón; L, M, N y O los menores que tienen la misma ra· &6n con A, B, G y D y en el conjunto A, B, G, D hay tantos números J

Se tiene, pues,

oJ

alb

alb - abl -

crbl

--,;l'

y, en general, la progresión geom~trlca flf',

K = BE-8 ·8>:81.

al

crb

-;;¡;----,;-·

Es decir, Z=AG=A - A>= Al;

80

de razón a/b.

"" - lb, a" - Jbl, ... , ab" - 1, b",

--

EUCLIDES.-ELEMENTOS DE GEOMETRIA

844

I

como en el L, M, N, O, es A igual a L y D a O; luego L y O, y, por tanto, A y D, son primos entre si, 1.q.q.d. 4. Dados varios n~meros con razones mlnimas, 1ncontrar otros números tn proporción cónrinua qui· tengan con tilos las mismas ra:onts 11

•

"

sean los menores 4 • 5. Los mimeros planos tientn entre si la razón compuuta dt las ra:onu de sus lados. Sean A y 8 dos números planos de lados G, D y E, Z, respecti\·amente; H, T y K los menores en proporción continua según las razones de G a E y de D a Z, de modo que G es a E corno H a T y D a Z como T a Iy, pot ·tanto, Des a G como A a 8; luego entre A y B tamblin hay dos medios t>roporcionales, y por ser A cubo, tambiin lo es B, 1.q.q.d. 6. SI el producto de un núm•ro por si mismo es un cubo, 11 número •s lombiln un cubo z, 7. El producto d1 un número compuesto por un núm1ro cualquiera es. un número sdlido. e li•. Si . A es un número compuesto, ser4 divisible por algún número D y 'c;entonc:es . tantas veces como D mida a A, estu4 medido por unidades E · ,e'/ el producto. de E por D ser4 A: pero el producto de A por un número ; .lr;tl · G; lue10 el D por E multiplicado por B tambi~n es G, y G es ~~ntonces ut\ número sólido cuyos lados aon D, E y B, l.q.q.d. ~ t r •. Si IVOrio1 naimero1 •mpnando por la unidad estdn en proporci6re , continuo, •I .tercero " cuadrado y los 1ucesivo1 iuprimierulo de uno •n ,: uno: el cuarlo •1 cubo y 101 sucesivos 1uprimi•ndo de do1 en dos, •l ,,,. timo •• e1 la vez cuadrado y cubo fl 101 sucHfooi suprimiendo de cinco

-

...

a..

•n cinco•. y habiendo· dos medios proporcionales entre 1 y o2 y entre o2 y oJ•oJ es ol·ol

un cubo por •rlo e'. a SI • es un nllmero cuyo cuadrado ol u cubo, de 1 :o-a:aJ-oJ:oJ

se deduce que entre al y al hay dos medios proporclonalea, y como a' ea cubo, tambl~n a es cubo. 'Es detlr, en la progresión geom~trlca 1, a, at,

ª'• o4, as, a6, a1, at, a', ª'º· ...

los tfrminos 3.•-aZ, 5.•-a4, 7. 0 -a6, ... , son cuadrados; los 4.•-al, 7.•-at ;

l : a' .. al : al. al;

•

1 .1

!

850

EUCLIDES .-ELl!MENTOS

CIENTIFICOS GRIEGOS . -TOMO 1

Sean los números en proporción continua l, A, 8, G, D, E. Z . Pues10 que la unidad mide a A el mismo número de veces que A mide a B, el número ,A mide al B ¡cgún las unidades de A; luego el producto de A por si mismo es B y, por ' tanto, B es un cuadrado; y como B, G y D eslán en proporción continua, D es un cuadrado por serlo 8 y por la misma razón tambi~n Z es un cuadrado; y an'1ogamtnte se demuestra que son cuadrados los números sucesiYos suprimiendo de uno en uno. Pueslo que la unidad mide a A el mismo número de veces que B a G y A multiplicado por 8 da G, el número 8 mide al G tantas veces como la unidad a A, y entonces A multiplicado por s( mismo da B y multlpllcado por 8 da G; luego G es un cubo, y como G, D, E, Z est'n en proporción continua, Z es cubo por serlo G, y como se demostró que era cuadrado, el s~ptimo número es cuadrado y cubo a la vez, l.q.q.d. 9. Si varios núm1ros 1mp1zando por la unidad 1stdn •n proporción continua y 11 número qu• sigu• a la unidad ts cuadrado, todos los d•mds urdn cuadrados, IJ si cubo, cubos. Sean los números en proporción continua 1, A, 8, G, D. E, Z, siendo A cuadrado. Como acabamos de demostrar que el te rcero 8 es cuadrado y A, B, G estin en proporción continua, tambi~n G es cuadrado, y como B. G, D están en proporción continua y 8 es cuadrado, tambl~n lo es D. y lo mismo se demuestra que son cuadrados todos los números restantes. Si A es cubo, como hemos demostrado que el cuarto G es cubo y la unidad es A como A a B, el número A mide al B tantas veces como la unidad a A; luego A multiplicado por s( mismo da B; pero A es cubo y el producto de un cubo por sl mismo es cubo; luego B es cubo; y puesto que los cuatro números A, 8, G,· D esún en proporción continua y A es cubo, tambi~n es cubo D, y por la misma razón es cubo E y lo mismo ae demuestra que los números restantes son cubos. \O. Si varios núm•ros, 1mpnando por la unidad, 1stdn '" proporción continua y el s1gundo nP ts cuadrado, ninguno Strd cuadrado uc•p· to 11 11rc•ro 11 los sucesivos suprimitndo d• uno •n uno, 11 si •I s1gundo 110 n cubo, ninguno serd cubo ucepto el terc1ro y los sucnivos supri-

.

1

1. 1!

miendo d• dos •n dos•. \O.•-a•, .. . , son cubos, y los 7.•-a6, ll•atJ, . .. , son cuadrados y cubos a

la \•O ºU. su, en la progresión geom~lrica, l. a , a1, al, .. ., si a no es cuadrado, solo son cuadrados los t~rminos a1, a4, . ... y si a no es cubo, solo son cubos a\ a6, a•, .. ., teorema dernosuado en los E/tmtntos por reducción al absurdo.

.

·

DE

GEOMETRIA

851

11. Si varios números, •mpezando por la unidad, tSldn en proporción continua, el menor mide al mayor según alguno de los intermedios . Sean los números en proporción continua 1, A, 8, G, D, E, siendo A el menor y E el mayor. Puesto que la unidad es a A como D a E, el número A mide al B el mismo número de veces que D a E y alternando, A mide a D el mismo número de veces que 8 a E, pero A mide a D según la unidad, luego B mide a E según D, y como 8 es el menor y E el mayor y D un Intermedio, el menor mide al mayor según un intermedio, l.q .q.d. Corolario. De aqu( se deduce que el producto de dos t~rminos que equidistan de la unidad y del último es igual al último. 12. Si varios números, empezando por la unidad, estdn en proporción contin11a, los números primos que dividen al mayor, miden tambi'n al que sigue a la unidad 5• 13. Si varios núm1ros, empezando por la unidad, estdn en proporción contin11a y el que sigui a la unidad es primo, al mayor solam1nte lo dividen los niimeros d1 la proporción. Dada la proporción continua l , A, B, G, D, siendo A un número pri· mo, digo que a D no lo divide ningún número excepto A, B, G. Si dividiera a D un número E distinto de los A, B, G este número ser(a compuesto porque si fuera primo dividirla a A. lo cu .ll es imposible; luego tiene un divisor primo que no puede ser otro que A , y entonces A dividira D según un número Z que no puede ser ninguno de los A, B, G porque sl lo fuera, serla E uno de ellos, lo cual es contra la hipótesis, y dividiendo A a Z, es Z un número compuesto, l.q .q .d. •. 14. El m1nor número que .std medido por varios números primos no ti•ne otros divisores primos que estos.

' Dada la progresión aeomitrlca }, O,

at, as, .. .,

11",

11 el número primo p divide a ti" y no a a y son p y a primos entre 1(, y por ser tt"-mp, H a: p-m: a"-•, y como a y p son primos entre 1(, tiene que ser p divisor de ...,- 1, y por la misma razón es divisor de a"- J, Cl"-1, ... , y, finalmente, de a, lo cual es contra la hipótesis; luego a y p son primos entre af, y, por tanlo, tienen un factor primo común que no puede ser otro que p por ser primo ; luego p divide a a, l .q.q.d. 6 El razonamienlo conlinúa en la misma forma hasta demostrar que los únicos divisores de D son A, 8 y G .

-------EUCLIDES.-

CIEHTIFICOS Glll.lf.GOS,-TOMO l

852

Si A es el menor número medido por los números primos B, G, D y estuviera medido por un número primo E distinto de estos, serla A el producto de E por algún número Z, y com~ A est' medido por los números primos 8, G, D y cuando un número primo mide a un producto, divide " uno de los factores, 8, G, D miden a E o a Z; pero ninguno mide a E, luego alguno medir4 a Z que es menor que A, lo cual es imposible porque, por hipótesis, es A el menor que est4 medido por B, G, D, y, por tanto, no hay ningún número primo que mida a A excepto B, G, D, l.q .q.d. 15. Si tns números •stdn tn proporcidn continua, 11 son los mtnorts qut titnen la misma razdn, uno dt -.11os u primo con los otros dos

juntos l. 16. Si dos números son primos tntrt J(, ti Jtgundo no Hrd a ningú11 número como ti primtro al stgundo •. Si los números A y B son primos entre si y fuera posible que A sea a 8 como B a G, puesto que los menores números que tienen la misma razón qué otros son equidivlsores suyos, A dividirla a B, lo cual es ab. surdo; luego no puede ser B a G como A a B, 1.q.q.d . 17. Si varios números estdn tn proporción continua 11 los txtrtmos son primos entre si, ti último no serd a ningún número como ti prime·

•

#

'~

;1

•

ro al seg1111do ' · 7 Si los tres números o, b, e, forman una progresión geomt!trlca y son 101 menores que tienen la rat.ón común m : n, siendo m y n primos entre 1(, la

progresión ser'

4

"

mJ, mn, nZ.

Ahora bien : la suma m + n ea prima coa m y con n; luego el producto (m+n)m-mn+ml

u primo con n y tambit!n con n2, y, por tanto, la suma a+b u prima con e, y anilogamente, la suma mn+nJ es prima con ml; luego la suma b+c lo u con o y o+c con b. •Ea decir, entre dos números primos entre 11 no existe . tercero propor-

cional. •La hipótesis es casi absurda ; pero el razonamiento es correcto, pues que u reduce a decir que si o, b, e, .. ., 1 es una progrniólt geomt!trica, siendo o ) / primos entre si, y se verificase a : b- I : r, y, por tanto, a : I• b : r , el nü · mtro o medirla a b, y por la misma razón b a e y, por consiguiente o a e, y así siguiendo, a a 1, lo cual es contra la hipótesis.

ELEMENTOS

DE

GEOMETIUA

851

18. Dados do1 núm•ros, a11'rigua,. si H posible qut tentan un l•r· ctro proporcional. Si los ndmeros dados A y 8 son primos entre si, hemos demostrado que no tienen tercero proporcional, y si no son primos entre si y es G el . producto de B por si mismo, A mide a G o no lo mide. Si lo mide según un ndmero D, el producto de A por D es G y como el de B por si mismo tamblin es G, el de A por D es el cuadrado de B; luego A es a B como B a D, y se ha encontrado un ndmero D tercero proporcional entre A y B. Si A no mide a G, digo que no hay tercero proporcional entre A y B porque si hubiera ttno D, el producto de A por D serla igual al cuadrado de B y como el cuadrado de B ea G, el producto de A por D es G y A medirla a G según D, lo cual es contra la hipótesis "· 19. Dados tn1 números averiguar si •s posibl• que t•nian un cuar-

to proporcional 11 , 20. Hay mds números primos qu• cualquier conjunto d• núm•ro1 primos. Dados los números primos A , 8 y G (Fig. 181), sea ED el menor mimero que ·esti medido por ellos, Y o..... z agrEguesele la unidad DZ. Enton- • ce& DZ es un ndmero primo o no lo 1 - - . e.a. SI lo es, se tienen los ndmeros e . primos A, B, G y EZ que son mlfs ~ o que A, By G. Si EZ no es primo estari medido por algún núniero prlP10. 111. mo H, que no es ninguno de 101 A, B o G, porque si lo fuera, como A, B y G por medir a EZ medirla a la diferencia DZ, que es la unidad, lo cual ea absurdo: luego H no e.a ninguno de IO Ea declr, la condición necuarla y suficiente pera que entre dos n1imcr09 f>I 1ea dlvl1lbla por • por ser

• y b haya un tercero proporcional 11 ea que

•-bl:o. 11 Dados 101 números o, b y e, para encontrar el número dlstln1ue cuatro casos : o b e a b e ----- ; -~-rh-- . b e ir b e ir

ir•

be: o, Euclid11

5Íendo y no siendo o y e primos entre lf; y lue10 de embrollados razonamientos, que aclararon C1.Av10 y Bolll!LU en sus respectivas ediciones de los Elr-

854

CIENTIFICOS GlllEGOS.-TOMO 1 EUCLIDES .-ELEMESTOS

los números A, 8 o G y como por hipótesis es primo, ha de ser mayor que ellos, l.q .q.d. n. 21. Si se suman varios númtros pares, el conjunto ts par. Si AB, BG, GD y DE (Fig.' J 82) son varios números pares y se suman, el conjunto AE es par, porque A B G O ~ por ser par cada uno de los núme. ros dados, tienen mitad; luego el F•l lc:>n&lhad tamblfn lo ion en potencia; pero no todas 111 conmensunblea en polencla lo son en lon<ud; todu 111 Inconmensurables en potencia, t1mblú ~· lo 'lon necedrlJmente en lon<ud; pero no tod11 111 lnconmensurablea en lon1I · ~. tud lo son en potencia, y una recta no solo ea conmensureble en lon11tud con una recta racional, sino que una recta es racional cuando es Inconmensurable con una recta racional 1010 en potencia, de modo que al r es una recta racional, m/n•r, siendo m/n una fracción irreducible, es tambifo racional, as( como r./ m/n que, para nosotros, es irracional, de modo que si V es conmensurable con LJl, es L conmensurable en potencia con U.

pero

"'"º

116!

C ILNTIFICOS GllllGOS . - TOMO 1

EUCLIDES. - ELEMENTOS

su 1111taJ y se repite conti11uame11te este p1·oceso , quedard una 111ag11it11d

m.,11vr que la menor de las magnitudu dadas 4• Sean AB y G dos magnitudes desiguales (Fig . 186), siendo AB la mayor . Multiplicando G llegani a ser mayor que AB. Si DE es un múltiplo de G mayor que AB divídase en B > - -(',- - - t partes DZ, ZH y HE iguales a G. .\ K T De AB r~stese BT mayor que su mitad; de A T la TK mayor que H E z o su mitad y repltase este proceso hasta tener en AB tantas divisioFtG. 186. nes AK, KT y TB como en DE las DZ, ZH y HE, y puesto que DE es mayor que AB, si de DE se resta EH. menor que su mitad, y de AB la BT, mayor que su mitad, el resto DH será mayor que el TA, y puesto que H D es mayor que TA, si de HD se resta HZ, que es su mitad, y de TA se resta TK, mayor que su mitad, el resto DZ será mayor que el AK,- y como DZ es igual a G, esta magnitud G es mayor que AK, y, por tanto, AK menor que G, l.q .q .d . El teorema se puede demostrar analogamente si las partes restadas son mitades. 2. Dadas dos 111agnit11des desiguales, si de la mayor se resta repetida-

DE

GEOMETRIA

861

mente la menor, el resto no medird nunca a la magnitud que le precede 11 las dos magnitudes serdn inconmensurables . Si AB y GD son las dos magnitudes dadas y no son inconmensurables, alguna magnitud común E las medirá (Fig. 187). llevando sucesivamente la menor AB hasta el punto Z tal que la magnitud que quede ZG sea menor que A B; haciendo lo misf;J mo con AB y ZG hasta que AH sea ._!,__... ~ menor que ZG y con ZG y AH Z O hasta que quede · una magnitud me- G nor que E, resulta entonces que por FtG. 187. medir E a AB y AB a DZ mide E a DZ, y como tamblbi mide al total GD, medirá al resto GZ: pero GZ mide a 811: luego tambit!n E mide a BH, y, por tanto, al total AB, y, consiguientemente, al resto AH , lo cual es imposible por ser AH menor que E; lue~o las magnitudes AB y GD son Inconmensurables, l.q.q.d . 5• l. Encontrar la mayor medida comú11 de dos rnagllitudes conmerrsurables dadas . 4. Enc°'1trar la mayor medida común de tres magnitudes co,,mens11rables dadas •. 5. Las magnitudes conmensurables tienen entre si la razón de un número a otro número. Si A y B son dos magnitudes conmensurables, tendrán una medida común G, y tantas veces como G mida a A tendrá de unidades D y tantas como G mida a B tendr• de unidades E, y midiendo entonces G a A según las unidades D y G a B seglln las unidades E, la unidad mide al número D tantas veces como G a A y al húmero E tantas como G a B: luego A es a G como Da 1 y 8 a G como E a l y, por equidad, A es a B como el número D al número E, l.q.q .d.

•

4 Este teorema establece el' mt!todo de exhaución-Vid. supra, Estudio ¡1relimi,.ar, IV-, equivalente al postulado de Arquímedes-Vid. supra, lib. V, def. 4-, que este enunció expl!citamente entre los que preceden a su tratado Sobre la esfera 1f el cilindro. Euclides lo aplica para demostrar que las 'reas de dos drculos son proporcionales a los cuadrados de sus di,metros: XII, 2, y los volúmenes de las pin1mides triangulares de Igual altura proporcionales a 1u1 bases: XII, 5, y Arqulmedes reconoce en la carta nuncupatoria de su tratado De la cuadratura de la pardbola que fue empleado por geómetras anteriores a il. la demostración euclldea tiene el mismo ritmo que el argumento dicotómi co de Zenón, a cuya dialt!ctlca discursiva hablan intentado los geómetras alejandrinos adaptar las proposiciones en que aparecla tlmidamente el concepto de infinito ante el cual experimentaban una especie de terror supersticioso. l.a demostración de Euclides es defectuosa, porque contiene la petición de p1 incipio introducida como def. 4 del lib. V, cuya Importancia en la estructura de la Geometrla destacó Hilbert al establecer el axioma de continuidad en sus bmosus Grudlugcn, pág. 24, Leipzig, 1899. Apo} .indose en el postulado de Dedek ind, demostró Stolz el de Arqufme · des, tema que ba desarrollado V1TALI en las Quesrioni rii:11arda111i le Mate111a 11d1 !> • mensurables en longitud con EZ. 1

o

e n

c.

1

TI

IM

KI

1~

E

A

FtG. 197 .

DE

FtG. 198.

bles solo en potencia (fig. 198). Constrúyanse sobre estas rectas los cuadrados AD y RE, que serán mediales, y apliquese sobre una recta racional Zll el rectángulo HT equivalente a AD, sobre TM en MK equivalente al AG y sobre KN el NL equivalente el BE, cuyos lados FH, TK • y K L qucdar forman un rt>cldngulo medial, el total es una rt!cla irracional qui! si! llama st>gunda bimedial 21 • Si A B y BG son las rectas dadas (Fig. 207); DE una recta racional y DZ un rectángulo equivalente al A B G cuadrado de AG, que , aplicado a DE, da el otro lado DH, el cuadraT H o do de AG equivale a los cuadrados de AB y BG juntos con el doble del rectángulo de AB y BG, y si ET equivale a los cuadrados de z AB y DG y se aplica a DE, el reE manente TZ equivaldrá al doble flG . 207 . del rectángulo de AB y BG, y por

EUCLIOES . - ELUIENTOS

.

.

.------r-~--.

1

r

l

.' .

DE

GEOMETRIA

885

ser mediales, por hipótesis, las rectas ' AB y BG, los cuadrados construi dos sobre ellas tambi~n lo serán y como por hipótesis, el doble del recttlngulo de AB y BG tambifo es medial y ET equivale a los cuadrados de AB y BG y TZ al doble del rectángulo de AB y BG, los rectángulos ET y TZ tambiln son mediales, y, habifodose aplicado a la recta racional DE, las rectas DT y TH son racionales e inconmensurables con el rectángulo de AB y BG. Ahora bien: la suma de los cuadrados de AB y BG es inconmensura ble con el cuadrado de AB y el doble del rectángulo de AB y BG es con mensurable con el rectángulo de A 8 y BG; luego la suma de los cuadra dos de AB y BG es inconmensurable con el doble del rectángulo de AB y BG, y como ET equivale a los cuadrados de AB y BG y TZ al doble del rectalngulo de AB y BG, es ET inconmensurable con TZ, y, por tanto, DT será inconmensurable en longitud con TH; luego DT y TH son rectas racionales y conmensurables solo en potencia y, por consiguiente, DH es irracional, y como DE es racional y el rectalngulo formado por una recta racional y otra irracional es irracional, el DZ es irracional e irra cional tambiln el lado AG del cuadrado equivalente, l.q .q.d. 14• 39. Si se juntan dos rectas i11conme11s11rablt!s solo en pott>ncia cuya suma de cuadrados es racional y el rectd11g11lo que forman medial, el to tal dt las dos rectas es un irrac ional que se llama mayor"· rafz positiva de la ecuación

es el llamado binomial y su c:onjugado

a+m (a-m)J r4 - 2 - - - r2x1+ r1=0. .¡(i a

AB - BG•r(l - Ja)

es el apótomo : nnoto1•11. del prefijo lno, lejos de, y t6110tr¡ . Siendo AB ~ r~ñ. nG- r~ . su suma r( fi + ~) es la primera bimcdial ). rl 11pótomo correspondiente r( ~a ~Qi) es la rah: positiva de la ecuación 21

¡•I' !

-

_.... _ 2 ./a(I + n)rl . :rl +a( 1 - a)l. r4~ O. 11 i 1.

cuya suma AG es la segunda bimedial y la diferencia el segundo apótomo, rafz positiva de la ecuación

11,·.,, 11 , n''" ll11•tiQn. cuya expres ión analítica es r

- .¡-;;;-) ( ~a+ ~a ,

a+b (a - b)1 r4 - 2 - - r2 · x1 + r4- O. .¡(i a 1~ las rt•clas son, en es1e caso,

r

An '

\ / - - - - -;; - -

i2

1 + --:1-r~~~ ·

r

ne -

.iT

v------a--·-.¡-,-:, ai 1 -·

Si A B y BG son las rectas dadas, A G es irracional porque siendo medial el rectángulo que forman, su doble y los cuadrados de las rectas, juntos, es decir, el cuadrado de AG los de las rectas, juntos, son G B A inconmensurables; luego el cuadrado de AG es irracional, y, por FIG 208 . tJnto, A(;, l.q .q.d . 40. Si se j11111a11 dos rtctas i11co11111e11s11rables en potencia !J talf'S que la srmw de sus cuadrados ua medial, !/ el rectdrrgulo que forman racional, el total de las dos rectas serd irracio11al !/ se llama lado del cuadrado equivalente!• a la suma de un área racional y otra medial n.

'f'i 1

EIJLLIOES .--E U : MENTOS

CIF. NTIFICOS GRIEGOS .·- TOMO 1

886

"

y

./l:a?--+

vl - Jla+a~·

J~ [ y.:=;lª+;i- -·V--J.~al] · l

1\

y

ambos son las rafees positivas de la ecuación al

x4 - 2r2. rl + - - r4 =o. l +a?

1

1\1 .,

2' ;,

10 7.WQlov 6u"ol'lv'I ·

n Puestas las rectas bajo la forma AB~

11

·~

rJ ,/f+-;;J+a ./2(1 +al)

'¡; BG-

!,

1

!

cuyo menor correspondiente : Hooow'" , definido en X. 76, es

1

• 1

..

es el lado de un cuadrado equivalente a la suma de un área racional y otn medial : ~l]tOV xoí tlioov 6u ..aµh'I\, rah: positiva de la ecuación

,J.;i+aLa

2

1

al

..-4- - - - - rl · r1+ J 1 +al

J -2(1 +al)

~- ( '\ j JI.+ a ::-+'\jJ1+aLa1 JW +al) V V

887

Puesto que la suma de los cuadrados de las dos rectas AB y BG es medial y el doble del rectángulo que forman racional, dicha suma, que es el cuadrado de AG, es irracional y, por tanto, AG también será irra cional, l.q.q .d. 41. Si se juntan dos rectas incomnerrsurables en pocencia !/ tales q11e la suma de sus cuadrados sea medial asf como el rectdngulo que for e ínco11111n1surable con la suma de los cuaK T drados, el total de las rectas es un irracional que u llama lado del cuadrado equivalente a la suma dt dos dreas mediales 11 • Aplicando a una recta racional DE (Fig. 209) el rectángulo DZ equivalente a la suma de los cuadrados de las rectas dadas AB y BG y el H 1 (z rectángulo HT equivalenle al doble del de AB y BG, el total DT equivale al cuadrado de AG, y puesto que la suma de los cuadrados de AB y BG es medial y equivalente a DZ, también DZ será medial , y por estar aplicado a la recta racional DE, es DH racional e inconmensurable en longitud con DE. D E Por la misma razón HK también es racional e inconmensurable en longitud con HZ, es A B G decir, con DE, y puesto que los cuadrados de flG . 209. A B y BG son inconmensurables con el doble del rectángulo de AB y BG es DZ inconmensurable con HT, o sea: DH inconmensurable con HK, y por ser racionales, son conmensurables solo en potencia, y, por tanto, DK es un irracional binomial. Por ser DE racional, DT es irracional, así como

1;

'' irracional

GEOMElRIA

man

>. '' irracional mayor : 11i1~"'"• ts

AG =;2-l\fi+

OE

(1

+ al)J

r4~0.

Poniendo r :¡ ,..

AB =

Ji

~v-;·~-~j~a:a:~

r~m

BG =~2 -

v----·--a-1-

CIENllFICOS GIUFGOS . -TOMO 1

888

1 llC LID ~. S .-· Ll.lM F. NlOS

el lado del cuadrado equivalente, y como este lado es AG. es AG irra cional. l.q .q .d . LEMA . Dividiendo una recta dada A B en dos partes desiguales por lo s puntos C y D y sÓponiendo AG mayor que DB, digo que los cuadrados dt A B y BG, juntos son mayores que los de AD y DB juntos. Bisecando All por el punto, E (Fig. 210), por ser AG mayor que DB, si se quita DG de ambos, el reA O E C. B manente AD será mayor que el re · manente GB, y como AE es igual a EB, es DE menor que EG; luego F1c. 210. los puntos G y D no equidistan del de bisección E; y puesto que el rectángulo de AG y GB junto con el cuadrado de fG, equivale al cuadrado de EB y el rectángulo de AD y DB junto con el cuadrado de DE tambifo equivale al cuadra · do de EB , el rectángulo de AG y GB junto con el cuadrado de EG equivaldrá al rectángulo de AD y DB junto con el cuadrado de DE; y como este cuadrado es menor que el de EG, el remanente rectángulo de AG y C8 es también menor que el de AD y DB y, por tanto, el doble del de AG y GB menor también que el doble del de AD y DB; luego los remanentes : suma de los cuadrados de AG y GB, mayores que la suma de los cuadrados de AD y DB, l.q.q .d . · 42. U11a recta binomial solo u puede dividir en sus partes 29 [racio· nales conmensurables solo en potencia] por un punto :io. la recl3 irracional 1

.\

AG -

~

r

[

\1

l

+

-+ \ / l -

0

a

l

es el lado dtl cuadrado equivalente a la suma de dos llreas mediales: i¡ &úo 11ioa &úvo11lv1¡, ra!z positiva de la ecuación -

r' - 2v'm·rl+m -

al

r4-0. 1 +al

-.

..

nr

GI O M [ IRIA

Sea AB (ffg. 211) una rec ta bino mial dividid a por el punto G en las partes AG y ne racionales conmensura bles solo en pote n c ia . Di go que no hay otro punto D que d iv ida as{ a AR, porq ue s i lo h ubie ra , p o r n o ser AG igual l! DB, serla AD igual a GB y AG a GB como BD a AD y A B estaría di viA O G B dida por el punto D lo mi smo que por e l G, lo que es contra la hipótesis; luego AG no fl G. 211. es igual ¡¡ RD y, por tanto, lo s puntos G y D no equid ist an del de bisecc ió n y los cuadrados de AG y GB difieren d e los de AD y DB y el doble d el rectángul o de AG y G B d ifi e re t am bifo dol doble del de AD y DB porque los cuad rados de AG y GB jun tos co n el doble del reclfol!ulo de AG y GB y los de AD y DB junt o s con el d oble del rt'cUngulo de AD y DB son ambos eq ui\' a le nles al c uad r ado d e AR; pero los cuadrados de AG y GB d ifieren d e los de AD y DB en u n área racional por ser racionales ; luego el d o ble del rectángulo d e AD y DB también füfiere del doble del de AG y G B en un área ra cional , a u nque son m ediales , lo cual es abs u rd o por q ue un ár ea med ia l n o excede d e otra med ial en una ra c ion a l ; luego un a recta b ino mi a l n o se puede di vidir por \'a r ios puntos, l.q .q .d.

43 . Una recta primera himeclial solo se puede di11idir en sus part es por 1111 p1111to. Sea AB (Fig. 212) una r ecta bimedial d ividida por el pu nto G en las partes AG y GB mediales c o nmensurables s olo en potencia y for m ;i11do un rectángulo raci o n al. Digo que no h ay otro A D G B punto D que di vi da as{ a AB, porque si lo t------i-+----t hubit'ra las rectas AD y DB ta mbién sef1c . 212.

rían mediales conmensurables s olo en poten c ia y formando un rectángulo ra cional; y puesto que, entonces, el doble del rectángulo de AD y DB d ifi ere del doble del de AG y GB y los cuadrados de AG y CB difieren de los cuadra· d05 de AD y DB, la diferencia serla racional, lo cual es absurdo porque son racionales; luego una recta primera bimed ial no se puede d ividi r por varios puntos, l.q.q .d.

1' c1VoJHl ta5 c s so 11 im••·rsa111e11fe pr