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• JuanEstuardoNavarroCaballero

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Biografía

1 Euclides (en griego Ευκλείδης, Eukleidēs, latín Euclīdēs) fue un matemático y geómetra griego (ca. 325 a. C.-ca. 265 a. C.). Se le conoce como "El Padre de la Geometría". Proclo, el último de los grandes filósofos griegos, quien vivió alrededor del 450, escribió importantes comentarios sobre el libro I de los Elementos, dichos comentarios constituyen una valiosa fuente de información sobre la historia de la matemática griega. Así sabemos, por ejemplo, que Euclides reunió aportes de Eudoxo de Cnido en relación a la teoría de la proporción y de Teeteto sobre los poliedros regulares

2 (330 a.C. 275 a.C.) Matemático griego. Junto con Arquímedes y Apolonio de Perga, posteriores a él, Euclides fue pronto incluido en la tríada de los grandes matemáticos de la Antigüedad. Sin embargo, a la luz de la inmensa influencia que su obra ejercería a lo largo de la historia, hay que considerarlo también como uno de los más ilustres de todos los tiempos. Pese a que realizó aportaciones y correcciones de relieve, Euclides ha sido visto a veces como un mero compilador del saber matemático griego. En realidad, el gran mérito de Euclides reside en su labor de sistematización: partiendo de una serie de definiciones, postulados y axiomas, estableció por rigurosa deducción lógica todo el armonioso edificio de la geometría griega. Juzgada no sin motivo como uno de los más altos productos de la razón humana y admirada como un sistema acabado y perfecto, la geometría euclidiana mantendría su vigencia durante más de veinte siglos, hasta la aparición, ya en el siglo XIX, de las llamadas geometrías no euclidianas. Poco se conoce a ciencia cierta de la biografía de Euclides, pese a ser el matemático más famoso de la Antigüedad. Es probable que se educara en Atenas, lo que permitiría explicar su buen conocimiento de la geometría elaborada en la escuela de Platón, aunque no parece que estuviera familiarizado con las obras de Aristóteles.

Euclides

Euclides enseñó en Alejandría, donde abrió una escuela que acabaría siendo la más importante del mundo helénico, y alcanzó un gran prestigio en el ejercicio de su magisterio durante el reinado de Ptolomeo I Sóter, fundador de la dinastía ptolemaica que gobernaría Egipto desde la muerte de Alejandro Magno hasta la ocupación romana. Se cuenta que el rey lo requirió para que le mostrara un procedimiento abreviado para acceder al conocimiento de las matemáticas, a lo que Euclides repuso que no existía una vía regia para llegar a la geometría. Este epigrama, sin embargo, se atribuye también al matemático Menecmo, como réplica a una demanda similar por parte de Alejandro Magno. La tradición ha conservado una imagen de Euclides como hombre de notable amabilidad y modestia, y ha transmitido asimismo una anécdota relativa a su enseñanza, recogida por Juan Estobeo: un joven principiante en el estudio de la geometría le preguntó qué ganaría con su aprendizaje. Euclides le explicó que la adquisición de un conocimiento es siempre valiosa en sí misma; y dado que el muchacho tenía la pretensión de obtener algún provecho de sus estudios, ordenó a un sirviente que le diera unas monedas.

3 Euclides es, sin lugar a dudas, el Matemático más famoso de la antigüedad y quizás el más nombrado y conocido de la historia de las Matemáticas. Se conoce poco de la vida de Euclides, sin embargo, su obra sí es ampliamente conocida.. Sabemos que vivió en Alejandría (Egipto), al parecer en torno al año 300 a.c. Allí fundó una escuela de estudios matemáticos. Por otra parte también se dice que estudió en la escuela fundada por Platón. Su obra más importante es un tratado de geometría que recibe el título de "Los Elementos", cuyo contenido se ha estado (y aún se sigue de alguna manera) enseñando hasta el siglo XVIII, Todo lo que sabemos de su vida nos ha llegado a través de los comentarios de un historiador griego llamado Proclo cuando aparecen las geometrías no euclídeas.

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Poco y confuso es lo que se sabe de Euclides. Vivió en Alejandría alrededor del año 300 aC. Esta fecha se basa en los pasajes del libro de Proclus Comentarios del I Libro de los Elementos de Euclides. De hecho muchas de las fechas que se manejan se basan en conjeturas y opiniones de Proclus. Después de nombrar a dos estudiantes de Platón, Proclus escribe: Todas las historias que se han escrito referentes a este punto caen en la cuenta del desarrollo de esta ciencia. No mucho tiempo después de la llegada de Euclides, reunió en los Elementos la sistematización de los Teoremas de Theatetus y añadiendo las irrefutables demostraciones de las proposiciones que sus precursores no habían establecido. Él vivió en la época de Tolomeo I ya que Arquímedes que vivió después ya mencionaba a Euclides. Se dice que Tolomeo I una vez preguntó a Euclides si había un camino más corto para aprender geometría que no fuera a través de los Elementos y Euclides replicó que no había un camino real hacia la geometría. Euclides por lo tanto es posterior al grupo de Platón y anterior a Eratosthenes y Arquímedes que eran contemporáneos tal y como Eratosthenes dice en alguna ocasión. Euclides se rindió a la persuación de Platón y siguiendo su filosofía concibió los Elementos en toda su globalidad y un camino fué la construcción de los conocidos sólidos platónicos. (Proclus, ed. Friedlein, p.68, tr. Morrow). Es evidente que Proclus no tenía pruebas directas de la vida de Euclides pero lo sitúa entre los estudiantes de Platón y Arquímedes, sin demasiados miramientos alrededor del año 300 ac. Proclus vivió unos 800 años después, en el siglo V dC. Hay otros comentarios históricos sobre Euclides. Los más importantes empiezan con Pappus, siglo IV dC que ya dice que Apolonio (siglo III aC) estudió con Euclides en Alejandría. Así, prácticamente no sabemos nada de Euclides, pero tenemos más escritos de él que de ningún otro matemático de la antigüedad. A parte de los Elementos tenemos la obra Data, On Divisions of Figures, la obra Phaenomena y la obra Optics. Todas ellas están incluídas en la Obra Completa de Euclides que Heiberg y Menge tradujeron del griego al latín. Se encuentran en el listado otras traducciones. Euclides escribió también otros libros cortos que serían mencionados por escritores posteriores. Se incluyen Surface Loci, Porism, Conics y la Pseudaria (el Libro de los Errores).

5 No se sabe con certeza ni donde ni cuando nació, pero sí que vivió antes que Arquímedes, después de Eudoxo, y que fue contemporáneo del primer Ptolomeo (367-283 a. de C.). Sus ideas nos hacen pensar que estudió en Atenas con discípulos de Platón. Fue llamado desde Alejandría, y allí fundó una escuela en la que realizó su actividad científica y enseño matemáticas durante más de 20 años. Su principal obra es "Elementos de Geometría", conocida como "Los Elementos". Se trata de un extenso tratado formado por trece libros, donde recopila casi todo el saber matemático de la época. Su gran importancia se debe a la forma en que se organizan y exponen los contenidos (método axiomático). Partiendo de una serie de definiciones, nociones y postulados, va demostrando paso a paso todas y cada una de las proposiciones que aparecen en los trece libros, lo cual es un modelo ejemplar de rigor y claridad.

Casi desde el momento en que se escribió y casi hasta el presente, los "Elementos" han ejercido una continua e importante influencia en los asuntos humanos. Fue la primera fuente de razonamiento geométrico, teoremas y métodos al menos hasta la llegada de la geometría no euclídea en el siglo

XIX. Algunas veces se ha dicho, que junto con la Biblia, los "Elementos" puede ser el libro más traducido, editado y estudiado de todos los producidos en el mundo occidental. (van der Waerden) Se utilizó como texto de estudio durante casi 2000 años y seguramente nunca se podrá dejar de mirar a esta magistral obra. La primera versión impresa apareció en Venecia en 1482 y fue una traducción del árabe al latín. En 1505 se publica la primera versión en latín traducida directamente del griego. En España la primera versión se realiza en Sevilla en 1576.

"Los seis libros primeros de la Geometría de Euclides, Traduzidos por Rodrigo gamorano Astrologo y Mathematico, y Cathedratico de Cosmografia por su Magestad en la casa de Contratacio de Seuilla, 1576"

"Este maravilloso libro, con todas sus imperfecciones, que son de hecho de poca importancia si tenemos en cuenta la fecha en que se escribió, es y seguirá siendo sin duda, el más grande de los libros de matemáticas de todos los tiempos. (Heath)

6 Sobre su vida se sabe muy poco, no hay registros escritos sobre ella, pero se piensa que nació en Grecia alrededor del año 325 A.C. y que murió en la ciudad egipcia de Alejandría alrededor del año 265 A.C.; incluso se duda si fue un personaje real. Probablemente estudió en Atenas con discípulos de Platón. Enseñó geometría en Alejandría y allí fundó una escuela de matemáticas. Su obra mas famosa fue “Los Elementos de la Geometría” (que consta de 13 volúmenes); prototipo en esta rama de las matemáticas. Sin embargo pocos de los teoremas que aparecen en sus textos son propios. Lo que Euclides hizo fue, en realidad, reunir en una sola obra todos los conocimientos acumulados desde la época de Tales. El único teorema que la tradición asigna definitivamente a Euclides es el teorema de Pitágoras. Aunque la mayoría de los tratados versan sobre geometría, también prestó atención a problemas de proporciones y a lo que hoy conocemos como teoría de números. “Los Cálculos” (una colección de teoremas geométricos); “Los Fenómenos” (una descripción del firmamento); “La Óptica”, “La División del Canon” (un estudio matemático de la música) y otros libros se han atribuido durante mucho tiempo a Euclides. Sin embargo, la mayoría de los historiadores cree que alguna o todas estas obras se le han adjudicado erróneamente.

Obra

1 Su obra Elementos, es una de las producciones científicas más conocidas del mundo y era una recopilación del conocimiento impartido en el ámbito académico de entonces. En ella se presenta de manera formal, partiendo únicamente de cinco postulados, el estudio de las propiedades de líneas y planos, círculos y esferas, triángulos y conos, etc.; es decir, de las formas regulares. Probablemente ninguno de los resultados de Los elementos haya sido demostrado por primera vez por Euclides pero la organización del material y su exposición, sin duda alguna se deben a él. De hecho hay mucha evidencia de que Euclides usó libros de texto anteriores cuando escribía Los elementos ya que presenta un gran número de definiciones que no son usadas, tales como la de un oblongo, un rombo y un romboide. Los teoremas de Euclides son los que generalmente se aprenden en la escuela moderna. Por citar algunos de los más conocidos:  

La suma de los ángulos interiores de cualquier triángulo es 180°. En un triángulo rectángulo el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos, que es el famosoteorema de Pitágoras.

En los libros VII, VIII y IX de Los Elementos se estudia la teoría de la divisibilidad. La geometría de Euclides, además de ser un poderoso instrumento de razonamiento deductivo, ha sido extremadamente útil en muchos campos del conocimiento; por ejemplo, en la física, la astronomía, la química y diversas ingenierías. Desde luego, es muy útil en las matemáticas. Inspirados por la armonía de la presentación de Euclides, en el siglo IIse formuló la teoría ptolemaica del Universo, según la cual la Tierra es el centro del Universo, y los planetas, la Luna y el Sol dan vueltas a su alrededor en líneas perfectas, o sea circunferencias y combinaciones de circunferencias. Sin embargo, las ideas de Euclides constituyen una considerable abstracción de la realidad. Por ejemplo, supone que un punto no tiene tamaño; que una línea es un conjunto de puntos que no tiene ni ancho ni grueso, solamente longitud; que una superficie no tiene grosor, etcétera. En vista de que el punto, de acuerdo con Euclides, no tiene tamaño, se le asigna una dimensión nula o de cero. Una línea tiene solamente longitud, por lo que adquiere una dimensión igual a uno. Una superficie no tiene espesor, no tiene altura, por lo que tiene dimensión dos: ancho y largo. Finalmente, un cuerpo sólido, como un cubo, tiene dimensión tres: largo,ancho y alto. Euclides intentó resumir todo el saber matemático en su libro Los elementos. La geometría de Euclides fue una obra que perduró sin variaciones hasta el siglo XIX.

De los axiomas de partida, solamente el de las paralelas parecía menos evidente. Diversos matemáticos intentaron sin éxito prescindir de dicho axioma intentándolo deducir del resto de axiomas. Pretendieron presentarlo como un teorema, sin lograrlo. Finalmente, algunos autores crearon geometrías nuevas basándose en invalidar o sustituir el axioma de las paralelas, dando origen a las "geometrías no euclidianas". Dichas geometrías tienen como característica principal que al cambiar el axioma de las paralelas los ángulos de un triángulo ya no suman 180 grados.

2 Los Elementos de Euclides Euclides fue autor de diversos tratados, pero su nombre se asocia principalmente a uno de ellos, los Elementos, que rivaliza por su difusión con las obras más famosas de la literatura universal, como la Biblia o el Quijote. Se trata, en esencia, de una compilación de obras de autores anteriores (entre los que destaca Hipócrates de Quíos), a las que superó de inmediato por su plan general y la magnitud de su propósito. De los trece libros que la componen, los seis primeros corresponden a lo que se entiende todavía como geometría plana o elemental. En ellos Euclides recoge las técnicas geométricas utilizadas por los pitagóricos para resolver lo que hoy se consideran ejemplos de ecuaciones lineales y cuadráticas; se incluye también la teoría general de la proporción, atribuida tradicionalmente a Eudoxo. Los libros del séptimo al décimo tratan de cuestiones numéricas: las principales propiedades de la teoría de los números (divisibilidad, números primos), los conceptos de conmensurabilidad de segmentos a sus cuadrados y las cuestiones relacionadas con las transformaciones de los radicales dobles. Los tres restantes se ocupan de la geometría de los sólidos, hasta culminar en la construcción de los cinco poliedros regulares y sus esferas circunscritas, que habían sido ya objeto de estudio por parte de Teeteto. De las restantes obras de Euclides sólo poseemos referencias o breves resúmenes de comentaristas posteriores. Los tratados sobre los Lugares superficiales y lasCónicas ya contenían, al parecer, algunos de los resultados expuestos posteriormente por Apolonio de Perga. En los Porismas se desarrollan los teoremas geométricos denominados actualmente de tipo proyectivo; de esta obra sólo conservamos el resumen trazado por Pappo de Alejandría. En Óptica y Catóptrica se

estudiaban las leyes de la perspectiva, la propagación de la luz y los fenómenos de reflexión y refracción. Dos mil años de vigencia La influencia posterior de los Elementos de Euclides fue decisiva; tras su aparición, se adoptó de inmediato como libro de texto ejemplar en la enseñanza inicial de la matemática, con lo cual se cumplió el propósito que debió de inspirar a Euclides. Tras la caída del Imperio Romano, su obra fue preservada por los árabes y de nuevo ampliamente divulgada a partir del Renacimiento. Más allá incluso del ámbito estrictamente matemático, Euclides fue tomado como modelo, en su método y exposición, por autores como Galeno, para la medicina, o Spinoza, para la ética. Ello sin contar la multitud de filósofos y científicos de todas las épocas que, en su búsqueda de sistemas explicativos de validez universal, tuvieron en mente el admirable rigor lógico de la geometría de Euclides. De hecho, Euclides estableció lo que, a partir de su contribución, había de ser la forma clásica de una proposición matemática: un enunciado deducido lógicamente a partir de unos principios previamente aceptados. En el caso de los Elementos, los principios que se toman como punto de partida son veintitrés definiciones, cinco postulados y cinco axiomas o nociones comunes. La naturaleza y el alcance de dichos principios han sido objeto de frecuente discusión a lo largo de la historia, en especial por lo que se refiere a los postulados y, en particular, al quinto postulado, llamado de las paralelas. Según este postulado, por un punto exterior a una recta sólo puede trazarse una paralela a dicha recta. Su condición distinta respecto de los restantes postulados fue ya percibida desde la misma Antigüedad, y hubo diversas tentativas de demostrar el quinto postulado como teorema. Los esfuerzos por hallar una demostración resultaron infructuosos y prosiguieron hasta el siglo XIX, cuando algunos trabajos inéditos de Carl Friedrich Gauss (1777-1855) y las investigaciones del matemático ruso Nikolai Lobachevski (1792-1856) evidenciaron que era posible definir una geometría perfectamente consistente (la geometría hiperbólica) en la que no se cumplía el quinto postulado. Se iniciaba así el desarrollo de las geometrías no euclidianas, de entre las que destaca la geometría elíptica del matemático alemán Bernhard Riemann (18261866), juzgada por Albert Einstein como la que mejor representa el modelo de espacio-tiempo relativista.

3 LOS ELEMENTOS": "Los Elementos" ha tenido más de 1.000 ediciones desde su primera publicación en imprenta en 1482. Se puede afirmar, por tanto, que Euclides es el matemático más leído de la historia. Esta obra es importante, no tanto por la originalidad de sus contenidos, sino por la sistematización, el orden y la argumentación con la que está constituida. Euclides recopila, ordena y argumenta los conocimientos geométrico-matemáticos de su época, que ya eran muchos. Euclides construye su argumentación basándose en un conjunto de axiomas (principios o propiedades que se admiten como ciertas por ser evidentes y a partir de los cuales se deduce todo lo demás) que Euclides llamó postulados. Los famosos cinco postulados de Euclides, que ofrecemos a continuación, son:

I.- Dados dos puntos se pueden trazar una recta que los une.

II.- Cualquier segmento puede ser prolongado de forma continua en una recta ilimitada en la misma dirección.

III.- Se puede trazar una circunferencia de centro en cualquier punto y radio cualquiera.

IV.- Todos los ángulos rectos son iguales.

V.- Si una recta, al cortar a otras dos, forma los ángulos internos de un mismo lado menores que dos rectos, esas dos rectas prolongadas indefinidamente se cortan del lado en el que están los ángulos menores que dos rectos.

Este axioma es conocido con el nombre de axioma de las paralelas y también se enunció más tarde así: V-. Por un punto exterior a una recta se puede trazar una única paralela.

Este axioma, que al parecer no satisfacía al propio Euclides, ha sido el más controvertido y dio pie en los siglos XVIII y XIX al nacimiento de las geometría no-Euclídeas. "Los Elementos" consta de trece libros sobre geometría y aritmética. LIBROS del I al VI : Geometría plana. o El libro I trata de triángulos, paralelas, incluye postulados, etc. o El libro II trata del álgebra geométrica. o El libro III trata de la geometría del circulo. o El libro IV de los polígonos regulares.

o El libro V incluye una nueva teoría de las proporciones, aplicable tanto a las cantidades conmensurables (racionales) como a las inconmensurables (irracionales). o El libro VI es una aplicación de la teoría a la geometría plana. LIBROS del VII al X : o Del VII al IX :Tratan de la teoría de los números (aritmética), se discuten relaciones como números primos, (Euclides prueba ya en un teorema que no hay una cantidad finita de números primos), mínimo común múltiplo, progresiones geométricas, etc. o El libro X trata de los segmentos irracionales, es decir, de aquellos que pueden representarse por raíz cuadrada. LIBROS del XI al XIII : Geometría espacial. o En el libro XII aplica un método que abarca la medida de los círculos, esferas etc. "Los Elementos" es una verdadera reflexión teórica de y sobre matemáticas. En la práctica totalidad de su obra, que consta de 465 proposiciones, 93 problemas y 372 teoremas, ¡no aparecen números! Euclides, además, escribió sobre música y óptica, tiene una obra titulada "Sofismas" que, dice Proclo, sirve para ejercitar la inteligencia. Para acabar podemos citar un par de anécdotas que nos ilustrarán, aún más, sobre la vida y gestos de Euclides: En una ocasión, el rey Ptolomeo preguntó a Euclides si había un camino más breve que el que él utilizaba en "Los Elementos" para estudiar Geometría, él respondió que no existen caminos "reales" en la geometría. Con este juego de palabras, Euclides le vino a decir al rey que no existen privilegios en la geometría. En otra ocasión, uno de sus estudiantes preguntó a Euclides qué ganaba con lo que había aprendido de la geometría: El maestro ordenó a su esclavo que le entregase una moneda (óbolo) a aquel estudiante, para que "ganara" algo con lo que aprendía de geometría, dando a entender que aquel muchacho no había entendido nada de la grandeza de la

geometría y de lo desinteresado de ésta.

4 LOS elementos estructura

Libro I Los fundamentos de la Geometría Teoría de los triángulos, paralelas y el área Las 48 proposiciones se pueden dividir en tres bloques. Las primeras 26 tratan de las propiedades de los triángulos. De la 27 a la 32 establecen la teoría de las paralelas y demuestran que la suma de los ángulos de un triángulo suman lo mismo que dos ángulos rectos. De la 33 a la 48 tratan de los paralelogramos, triángulos, cuadrados, del Teorema de Pitágoras y su inverso. Definiciones ( 23 ) Postulados ( 5 ) Nociones comunes ( 5 ) Proposiciones ( 48 )

Libro II Álgebra geométrica Transformaciones de áreas y álgebra geométrica griega de la Escuela Pitagórica. Se establecen las equivalencias geométricas de diferentes identidades algebraicas y una generalización del Teorema de Pitágoras conocida como la ley del coseno. Parece querer ilustrar este Libro II el uso del desarrollo elemental del método de aplicación de áreas. Definiciones ( 2 ) Proposiciones ( 14 )

Libro III Teoría de la circunferencia Este volumen trata de aquellos Teoremas relativos a la circunferencia, las cuerdas, las tangentes y la medición de ángulos. Consta de 11 definiciones y 37 proposiciones, 5 de las cuales son problemas y las otras teoremas. No se puede considerar un volumen excelente por lo que se refiere al carácter sistemático deductivo. Definiciones ( 11 ) Proposiciones ( 37 )

Libro IV Figuras inscritas y circunscritas Este volumen contempla las construcciones pitagóricas, con regla y compás de los polígonos regulares de 3, 4, 5, 6 y 15 lados. Consta de 7 definiciones y 16 proposiciones que son todas problemas. Se estudian inscripciones y circunscripciones de figuras rectilíneas y círculos, y se ofrece la construcción de polígonos regulares, como el pentágono y el hexágono con el método de la duplicación de lados. Definiciones ( 7 ) Proposiciones ( 16 )

Libro V Teoría de las proporciones abstractas Este volumen contiene una exposición magistral de la teoría de la proporción aplicable a magnitudes conmensurables y inconmensurables. Se resolvió así el problema planteado por el descubrimiento pitagórico de los números irracionales. Definiciones ( 18 ) Proposiciones ( 25 )

Libro VI Figuras geométricas semejantes y proporcionales Este volumen contiene la teoría eudoxiana de la proposición a la geometría plana. Se establecen los Teoremas fundamentales de los triángulos semejantes y las construcciones de la tercera, la cuarta y la media proporcional. Se establece una solución geométrica a las ecuaciones cuádricas y la proposición de que la bisectriz interna del ángulo de un triángulo divide el lado opuesto en dos segmentos proporcionales a los otros dos lados. Definiciones ( 4 ) Proposiciones ( 33 )

Libro VII Fundamentos de la teoría de los números Junto a los Libros VIII y IX forman un bloque diferente a la estructura que se da de los volúmenes I-VI y acumula las definiciones en este Libro VII. En total comprenden 102 proposiciones y podemos decir que son investigaciones de carácter teórico con la intención, por ejemplo, de determinar la medida común máxima entre sí de dos números no primos. De hecho este volumen es una reconstrucción del legado aritmético de raíces pitagóricas. Definiciones ( 22 ) Proposiciones ( 39 )

Libro VIII Continuación de proporciones a la teoría de números Este Libro VIII se ocupa de series de números en proporción continuada y en progresión geométrica, concepto y noción que no queda definida. Proposiciones ( 27 )

Libro IX Teoría de los números Este Libro IX es una especie de miscelánia aritmética. Encontramos como primicia la moderna resolución unívoca de un número en sus factores primeros y el Teorema que establece la cantidad infinita de los números primos. Encontramos también teorías de origen pitagórico que hablan de números pares, impares y sus relaciones. Proposiciones ( 36 )

Libro X Clasificación de los inconmensurables Este volumen contiene y trata los números irracionales, es decir, de los segmentos que son inconmensurables respecto al segmento rectilíneo dado. Considerado el Libro X como un volumen complejo tanto por problemas de traducción como de interpretación. Consta de 16 definiciones repartidas en 3 grupos y 115 proposiciones. Se cree que gran parte de este volumen corresponde al trabajo de Theaetetus y que Euclides completó, ordenó y acabó. Definiciones I ( 4 ) Proposiciones 1-47 Definiciones II ( 6 ) Proposiciones 48 - 84 Definiciones III ( 6 ) Proposiciones 85-115

Libro XI Geometría de los sólidos Formando una especie de trilogía, los Libros XI-XII y XIII hablan de la geometría del espacio. Las 28 primeras definiciones en este Libro XI y ningún postulado configuran un total de 75 proposiciones, 63 de las cuales son teoremas y las demás 12 problemas, aunque estén presentadas éstas últimas como proposiciones mixtas. Definiciones ( 28 ) Proposiciones ( 39 )

Libro XII Medición de figuras Este Libro XII nutre datos básicos para el desarrollo del Libro XIII con menos cohesión y menor capacidad sistemática. Se emplea el método de exhausción comentada por Arquímedes. Proposiciones ( 18 )

Libro XIII Sólidos regulares De estructura interna sublime este excepcional Libro XIII incluye los dilectos 5 sólidos platónicos; a saber, tetraedro,hexaedro, octoedro, dodecaedro e icosaedro. Todos ellos evocando con rigor matemático sin precedentes las leyes del espacio euclideo que exorna el Timeo de Platón. Proposiciones ( 18 )

5 Los 13 libros Libro I: Teoremas relativos a congruencias, rectas paralelas. 23 definiciones; 5 postulados; 9 nociones comunes; 48 proposiciones (las p.47 y 48 son el teorema de Pitágoras) Libro II: Aritmética de la Escuela Pitagórica. 2 definiciones; 14 proposiciones. Libro III: Círculos, cuerdas, .... 11 definiciones; 37 proposiciones. Libro IV: Construcciones con regla y compás. 7 definiciones;

16 proposiciones. Libro V: Teoría de la proporción. 18 definiciones; 25 proposiciones. Libro VI: Estudio de figuras semejantes. 4 definiciones; 33 proposiciones. Libro VII: Teoría de números; 22 definiciones; 39 proposiciones. (la p.I es el algoritmo de Euclides). Libro VIII: Teoría de números; 27 proposiciones. Libro IX: Teoría de números; 36 proposiciones; (p.XX "el conjunto de números primos es infinito"). Libro X: Magnitudes; 36 proposiciones; (Se establece el método de exhaución). Libro XI: Geometría de sólidos y esfera; 39 proposiciones. Libro XII: Geometría de sólidos y esfera; 18 proposiciones. Libro XIII: Geometría de sólidos y esfera; 18 proposiciones.

Proposiciones equivalentes al 5º postulado de Euclides Se cree que incluso Euclides pensaba que su 5º postulado (también llamado postulado de las paralelas) podía demostrarse a partir de los otros axiomas de los que partía. A lo largo de la historia muchos matemáticos lo intentaron y lo único que se alcanzó fue otras proposiciones a partir de las cuales podía demostrarse este postulado. El postulado de las paralelas de Euclides afirma lo siguiente: "Si una recta corta a otras dos de forma que los dos ángulos internos que quedan a uno de los lados suman menos que dos rectos, entonces las dos rectas prolongadas por ese lado se cortan en un punto" Playfair: "Por un punto exterior a una recta, pasa una única paralela" Legendre: "Existe un triángulo en el que la suma de sus ángulos vale dos rectos" Gauss: "Si k es un entero cualquiera, siempre existe un triángulo cuya área es mayor que k"

Bolyai: "Por tres puntos no alineados pasa siempre una circunferencia" Si suponemos que la geometría de Euclides es consistente, resulta que el nacimiento de las geometrías no euclídeas en el siglo XIX, implica que la demostración del postulado de las paralelas es imposible (es una proposición indecidible) ya que quitando este postulado y poniendo otro diferente (por ejemplo, que por un punto exterior a una recta pasan infinitas paralelas), se obtiene una teoría que es consistente. Si el postulado de las paralelas pudiese demostrarse a partir de los otros axiomas, resulta que su sustitución por otro postulado no equivalente daría lugar a una teoría inconsistente, lo cual es contradictorio con lo dicho anteriormente.

El conjunto de los números primos es infinito Para demostrar esta afirmación razonemos por reducción al absurdo. Supongamos que existe solamente un número finito de primos. Sea C = { p1, p2, ... pn } el conjunto formado por todos ellos. Consideremos ahora el número M=p1xp2x ... pn+1. Como cada primo pi es mayor que 1, M es un número mayor que cualquiera de los pi; es decir, M no está en el conjunto C y por tanto es compuesto. Admitirá entonces una descomposición como producto de factores primos (por el teorema fundamental de la aritmética). Por hipótesis, estos factores sólo pueden estar entre los primos que aparecen en el conjunto C. Por tanto, existirá un primo q del conjunto C, tal que q|M y obviamente, q| p1xp2x ... pn. Por consiguiente, q divide a la diferencia M - p1xp2x ... pn (que es 1). Pero ningún número primo divide a 1, y q es un número primo que divide a 1 (Contradicción). Concluimos entonces que el conjunto de los números primos no puede ser finito (q.e.d.) También puedes ver la demostración de Euclides del teorema de Pitágoras. Y la tabla de los primeros 10.000 números primos.