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• Nelzon Mamani

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Efecto de la estabilidad sobre la confiabilidad JORGE MALDONADO V.

CONCEPTOS BASICOS DE CONFIABILIDAD 

s P( s )

Po

P1

P( 0) P( s ) M

P( s ) P( 0)  ( Is

M)

1

μ

P0





P1





P

M









1



Tm



1 Tr

Tm: tiempo medio de falla Tr: tiempo medio de reparación

Probabilidad Po de supervivencia

Probabilidad P1 de estado en falla

P (t) o

P (t) 1

 



 



Po ( 0 )

P1 ( 0 )

 



 



 exp( ( 

 exp( ( 

 ) t)

 ) t)

lim P0 ( t ) t 

lim P1 ( t ) t 

 

P



0

 

1

Tr

1

(p

q)

n

r= 0

n r  ( n

r) 

 pr  ( q ) n

r

Tm

Tm

P0=f∙Tm

Tr

f=1/T

Tr

P



P n

Tm

Tm

P1=f∙Tr

Tr

Tr

P

r

n r  ( n

Esperanza o probabilidad media de ocurrencia de una falla de un numero “x” de maquinas, usinas, etc

r) 

 pr  ( 1

n

r

xr  Pr

E

x

r n E

x

Para “n” equipos idénticos que tienen probabilidad “a priori” de falla “p” resulta , la probabilidad media “E” resulta :…………………….

p)

x= 0

E n p

x n  x  ( n

x) 

 px  ( 1

p)

n

x

Distribución binomial n>>r

n r  ( n

r) 

r

p ( 1

r

r

nr  r  p (1 r

p)

exp(-np)≈(1-p)n

r

P

p)

n

n  r p (1 r

p)

n

n

r

( n p )  P exp( n  p ) r r r

r

exp(-np)≈(1-np+(n(n-1)(-p2)+… Se define: np= λt, t: tiempo, y λ=1/Tm

( n p )  P exp( n  p ) r r r

np=t

P

r

r  ( t)

r

 exp(   t )

DISTRIBUCION DE PROBABILIDADES : confiabilidad, probabilidad de falla en “t”, tiempo medio de falla (  t )  P exp(   t ) r r r

(  t )  lim exp(   t ) x 0 x x

P

0

Probabilidad de sobrevivencia en tiempo t

R( t ) exp (   t )

Probabilidad de falla en tiempo t

Q( t ) 1 R( t )

Distribución de probabilidad : (distribución exponencial)

d R( t ) dt

f( t ) 

Tiempo medio de falla : 

Tiempo medio de falla es =1/λ 0

  t  exp(   t ) d t

E( x) 0

lim t 

x f( x) d x

exp(   t )

  exp(   t ) 

  t  exp(   t ) d t

0

(   t  exp(   t ) 

exp(   t ) )

1 

SISTEMAS SERIE Y PARALELO λs=λ1+λ2 λ2,μ2

λ1,μ1

λs,μs

Trs≈(Tr1λ1+Tr2λ2)/λs

λ1,μ1

λp≈λ1∙λ2 λp,μp

λ2,μ2

Trp≈(Tr1∙Tr2)/ Tr1+ Tr2

SISTEMAS SERIE Y PARALELO

Probabilidad de sobrevivencia para sistema serie

R

 i t

Ri exp

s

i

Probabilidad de sobrevivencia para sistema serie: Suma de probabilidades a priori por unidad de tiempo Probabilidad de sobrevivencia para sistema paralelo

i

s

i i

R

p

1

Qi i

λp=λ1∙λ2∙(Tr1+Tr2) Probabilidad de sobrevivencia para sistema paralelo: producto de probabilidades a priori por unidad de tiempo

λp=λ1∙λ2∙

ESQUEMA BASICO DE SISTEMA DE CONTROL

Control & Protección

instrumentación

λ1,μ1

Instrumentación: Termocuplas Redundancia =10 Gases calientes lubricante

λ2,μ2

λ3,μ3

Instrumentación: presostatos Redundancia =3 Lubricación, descarga compresor

Actuadores & servomotores

λ4,μ4

Instrumentación: acelerómetros Redundancia =2 vibraciones

λ5,μ5

λn,μn

Instrumentación: Presión diferencial Redundancia =2 Quemadores Filtros aire

EJEMPLO 2: aplicación de confiabilidad para selección en proyectos de generación eléctrica N

Pz

zi   N

i

N

z

zi 

z i

g)

g≡FOR= hrndispfor/(hrsev + hrndispfor) (por año)

N

25

Pu

N

g i ( 1

Pzi  0.723

10

N

i= 1

g

.05

Pz  0.277

zi

Pzi  0.401

25 i= 1

0

0  N

i

Pu

N

10

i

g

.05

i

0  N

Pz  0.599 0

0.54 0.48

0.3

0.42

Pz

Pz

0.36 0.2

0.3 0.24 0.18

0.1 0.12 0.06 9.765625 10 0

2

4

6 z

8

10

14 0

1

2

3 z

4

5

EJEMPLO 2a: aplicación de confiabilidad para selección en proyectos de generación eléctrica: “LOLP” probabilidad de perdida de carga Pzi  

LOLP

j

Pu  N

Pu  i

Lj

i LOLP N

Pu g

.05

i

0  N

zi

 3 7.16510 0.034 0.127 0.723 1

10

i

LOLP

Lj

j

25

N

200 210 220 245 250

Pu

 3 1.02810 0.012 0.086 0.401 1

25

g

.05

i

0  N

Pz  0.599

Pz  0.277

Lj

j

10

150 175 200 225 250

0

0

N

0.54

N

0.3

0.42

i= 1

0.36

i= 1

Pz

Pz

Pzi  0.723 0.2

Pzi  0.401

0.48

0.3 0.24

0.1

0.18 0.12 0.06 0

2

4

6

8

10

9.765625 10

14 0

1

2

3

z

z

4

5

distribución de fallas probables de 4 unidades con Tm=5 años, para periodo de 5 años de explotación 

4 Tm

t

5 años: periodo de operacion

r

0  10 (   t )  exp(   t ) r

Pr

r

P

r

0.2 0.19 0.17 0.16 0.15 0.13 0.12 0.11 0.093 0.08 0.067 0.053 0.04 0.027 0.013 0

1

2

3

4

5 r

6

7

8

9

10

Resultados de distintos modelos matemáticos  2

x

exp

dx

g≡FOR= hrndispfor/(hrsev + hrndispfor) (por año)

2 lolp

xj

j

2 Pu  N

xj

Lj

G

G

Pu  N  g

var

N( 1

Pz g )  g  Pu

var

i j

2.5 M W

Pu g

.05

i

0  N i

zi 

Pzi  

j

lolp 100

z

g i ( 1

N

g)

z i

2

LOLP 

zi

zi   N

i



N

N

0.677 0.796 0.884 0.941 0.973

LOLPj

Lj

0.742 0.742 0.882 0.963 0.994

240 242 244 246 248 MW

Pu  N

Lj

Pu  i

Probabilidad acumulada (LOLP) de sistemas para componentes con distintos parámetros Ejemplo: Probabilidad acumulada (LOLP) de sistemas con unidades generadoras de potencia y “g” diferentes i 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24

Pu

i

1 1 1 1 1 1 1 18 19 19 23 19 21 22 23 17.5 18 18.3 18 18 8.5 8.5 15 55 55

LOLP del sistema: Pui

gi .04 .04 .04 .04 .04 .04 .04 .04 .02 .02 .04 .05 .05 .05 .04 .015 .015 .015 .015 .04 .04 .04 .04 .02 .02



xo

2

xo

exp

i

i 

d xo

2

Efecto en el LOLP de cada unidad

LOLP

xo 2 

gi  1

 i

 ( x1)

exp

Pui

2

d x1

2 LOLP1i

Pui

g i Pui

L

i

x1i

gi Pui

i 1i

x1i 2  1i



2

gi  1

g i  Pui

2

 2

exp

x2

d x2

Pui

2 LOLP2i  j

x2i  j

x2i  j 2 

g i Pui

L

Pui

L

g i Pui

Lj

i

i 1i

g i Pui

g i  Pui

2

Probabilidad acumulada (LOLP) de sistemas con unidades generadoras de potencia Pu y (FOR) “g” diferentes

i 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24

Pu

gi

1 1 1 1 1 1 1 18 19 19 23 19 21 22 23 17.5 18 18.3 18 18 8.5 8.5 15 55 55

.04 .04 .04 .04 .04 .04 .04 .04 .02 .02 .04 .05 .05 .05 .04 .015 .015 .015 .015 .04 .04 .04 .04 .02 .02

i

Pu  402.8 MW i

i L  335

MW

0.5

0.4

0.3 LOLP 1 i

 ( x1)

exp

LOLP

Pui

2

d x1

2

0.2

LOLP1i

x1i

Pui

g i Pui

L

i

gi Pui

i 1i

x1i 2  1i



2

gi  1

g i  Pui

2

0.1

0 1

2

3

4

5

6

7

8

9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 i

Calculo de potencia “firme” Pu  402.8 MW i

i 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24

Pu

gi

1 1 1 1 1 1 1 18 19 19 23 19 21 22 23 17.5 18 18.3 18 18 8.5 8.5 15 55 55

.04 .04 .04 .04 .04 .04 .04 .04 .02 .02 .04 .05 .05 .05 .04 .015 .015 .015 .015 .04 .04 .04 .04 .02 .02

i

i L  335

MW

0.01 40

41.05

42.1

43.15

44.2

45.25

46.3

47.35

48.4

49.45

LOLP 2 23  j 3 1 10 LOLP

1 10

4 L j

 2

exp

x2

d x2

Pui

2 LOLP2i  j

x2i  j

x2i  j 2 

Pui

L

g i Pui

Lj

i

i 1i

g i Pui

50.5

Calculo de potencia “firme”

i 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24

Pu  402.8 MW

Pu

gi

1 1 1 1 1 1 1 18 19 19 23 19 21 22 23 17.5 18 18.3 18 18 8.5 8.5 15 55 55

.04 .04 .04 .04 .04 .04 .04 .04 .02 .02 .04 .05 .05 .05 .04 .015 .015 .015 .015 .04 .04 .04 .04 .02 .02

i

i

i L  335

8 10

MW

LOLP 62 10 18  j

4

4

LOLP LOLP 2 19  j 4 4 10

2 10

4

15

15.5

16

16.5 L j

17

17.5

18

18 MW g=0.04 18MW g=0.015 lolp referencial

 2

exp

x2

d x2

Pui

2 LOLP2i  j

x2i  j

x2i  j 2 

Pui

L

g i Pui

Lj

i

i 1i

g i Pui

Efecto de la demanda sobre la potencia “firme” Pu  402.8 MW



i

i L  315 i 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24

MW

Pu

gi

1 1 1 1 1 1 1 18 19 19 23 19 21 22 23 17.5 18 18.3 18 18 8.5 8.5 15 55 55

.04 .04 .04 .04 .04 .04 .04 .04 .02 .02 .04 .05 .05 .05 .04 .015 .015 .015 .015 .04 .04 .04 .04 .02 .02

i

exp

( x1)

Pui

2

d x1

x1i

2 LOLP1i

Pui

g i Pui

L

i

gi Pui

i 1i

x1i 2  1i



2

gi  1

g i  Pui

2

0.08

0.06

LOLP 1 i LOLP

0.04

0.02

0 1

2

3

4

5

6

7

8

9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 i

Efecto de la demanda sobre la potencia “firme” Pu  402.8 MW



i

i L  315 i 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24

2

Pu

gi

1 1 1 1 1 1 1 18 19 19 23 19 21 22 23 17.5 18 18.3 18 18 8.5 8.5 15 55 55

.04 .04 .04 .04 .04 .04 .04 .04 .02 .02 .04 .05 .05 .05 .04 .015 .015 .015 .015 .04 .04 .04 .04 .02 .02

i

exp

MW

x2

d x2

Pui Pui

2 x2i  j

LOLP2i  j

x2i  j

g i Pui g i Pui

L Lj

i

i 1i

2  0.01 40

1 10

41 .0 5

42 .1

43 .1 5

44 .2

45 .2 5

3

LOLP 2 23  j 4 1 10 LOLP

1 10

1 10

5

6 L j

46 .3

47 .3 5

48 .4

49 .4 5

50 .5

Pu  402.8 MW i

i L  315

Efecto de la demanda sobre la potencia “firme”  2

MW

exp

x2

d x2

Pui

2 i 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24

Pu

gi

1 1 1 1 1 1 1 18 19 19 23 19 21 22 23 17.5 18 18.3 18 18 8.5 8.5 15 55 55

.04 .04 .04 .04 .04 .04 .04 .04 .02 .02 .04 .05 .05 .05 .04 .015 .015 .015 .015 .04 .04 .04 .04 .02 .02

i

LOLP2i  j

x2i  j

x2i  j

Pui

L

i

i 1i

2 

8 10

LOLP 62 10 18  j

g i Pui

Lj

6

6

LOLP 2 19  j LOLP

4 10

2 10

6

6

15

15 .5

18 MW g=0.04 18MW g=0.015 lolp referencial

16

16 .5 L j

17

17 .5

18

g i Pui

ANALISIS DE RIESGO PARA INTERRUPCION DE LINEA 72,2GWh Zongo,.. 14,8 GWh H.BOL.

Energía total de embalse :87GWh (riesgo) R: = Severidad x P1 SEVERIDAD: Se minimiza con: •Mayor Gen. Hidro. en el A. Norte •Mayor Gen. Termo. en el A. Norte

Energía neta de embalse:67GWh por mínimo requerido de embalse

restringida por capacidad limitada de embalses. Inversión en adquisición de unidades de gen. Gasto en arrendamiento. • Operar con mayor reserva de potencia en giro con Generación Hidro A. Norte. • Mas de una línea de interconexión con Área Norte Inversión (construcción línea).



lim P0 ( t ) t 



P



0



lim P1 ( t ) t 



P



1

Tm Tm

P0=f∙Tm

Tr

f=1/T

Tr Tm

P1=f∙Tr

Tr

Probabilidades “Po” y “P1” de línea Cochabamba-Kenko: 2 fallas con apertura de línea por año, asumiendo 5 horas para la restitución del sistema norte 5 24 365

Tr

365 24

f

5

2

Tm

365 24

2

Po

f  Tm

P1

f  Tr

(p.u.)

Po  0.998858

P1  0.001142

Po  100  99.885845

P1 100  0.114155

(%)

Definición de riesgo R: = Severidad x P1 n

Probabilidades para doble terna cochabamba – Kenko:

j Pj

j 0 1 2

P

2

g

0.001142

Prob de falla de una linea

0  n j n  g ( 1 j  ( n

g)

n

j

j) 

j

0.9977173042 0.0022813917 0.0000013042

Con doble terna baja la SEVERIDAD ante la interrupción de una línea, y es menor la probabilidad de interrupción simultanea de las dos líneas reduciendo el riesgo.

Ejemplo4:GRAFICO DE GENERACION HIDROELECTRICA MINIMA en periodo seca

67 GWh 13.5GWh semana

GRAFICO DEL INFORME CNDC 18/10 CURVAS DE AVERSION AL RIESGO 2010-2013 113

108 103

Embalse (%)

98 93

2010

88

2011

83

2012

78

2013

73 68 63

58 53 48 43 38

33 28 23 18

19

21

23

25

27

29

31 Semanas

33

35

37

39

41

43

ANALISIS DE RIESGO PARA INTERRUPCION DE LINEA 72,2GWh Zongo,.. 14,8 GWh H.BOL. Igm

Planta Moxos Trinidad (riesgo) R: = Severidad x P1 SEVERIDAD: Se minimiza con: •Mayor Gen. Hidro. en el A. Norte •Mayor Gen. Termo. en el A. Norte

+Igm

Energía neta de embalse:67GWh por mínimo requerido de embalse

restringida por capacidad limitada de embalses. Inversión en adquisición de unidades de gen. Gasto en arrendamiento. • Operar con mayor reserva de potencia en giro con Generación Hidro A. Norte. • Mas de una línea de interconexión con Área Norte Inversión (construcción línea).