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CONFIABILIDAD 1. CONFIABILIDAD, es la probabilidad de que un componente o sistema desempeñe de manera satisfactoria la función para la que fue creado, durante un periodo establecido y bajo condiciones de operación específicos. En un estudio de confiabilidad se analiza la vida de un producto medida en unidades de tiempo (minutos, horas, días) o unidades relacionadas como el número de ciclos, distancian recorrida, piezas producidas, etc.

Conceptos fundamentales: Falla Es cuando un producto, componente o sistema deja de funcionar o no realiza de manera satisfactoria la función para la que fue creado. Tiempo de falla Es el tiempo que transcurre hasta que el producto deja de funcionar. Por lo tanto, es el tiempo de vida del producto.

2. CARACTERÍSTICAS DE LOS ESTUDIOS DE CONFIABILIDAD La variable de respuesta o característica de calidad de interés en los estudios de confiabilidad es el tiempo a la falla, un aspecto que hace que estos estudios tengan las siguientes características especiales: A. Los tiempos a la falla son valores no negativos que suelen tener un comportamiento asimétrico con sesgo positivo. Esto hace que el variable aleatorio tiempo a la falla tenga comportamientos diferentes al modelo normal. Por ello, las distribuciones de probabilidad más frecuentes para modelar tiempos de vida no son la normal ni la t de Student, sino distribuciones que toman valores positivos como la Weibull, lognormal, exponencial y gama, por mencionar algunas. B. En muchas de las aplicaciones de la estadística lo que interesa es la media y la desviación estándar de la población objeto de estudio, ya que estos parámetros determinan la distribución de la población en el caso normal. Sin embargo, en confiabilidad, las cantidades de mayor interés son los cuartiles, tp, de la población objeto de estudio. C. Para tener datos es necesario observar fallas. Suele ser costoso generar fallas en el laboratorio, pero puede ser más caro que ocurran en campo, lo cual también afecta la imagen del negocio. Los componentes o dispositivos que fallan muchas veces se convierten en desperdicio impactando el costo del estudio. D. Para tener un tiempo de vida o tiempo a la falla exacta se tendría que observar el componente de manera continua y en ocasiones por mucho tiempo, pero con frecuencia estos aspectos son imposibles. Este hecho da lugar a observaciones censuradas. Es decir, no se tiene el tiempo a la falla de ciertas unidades, pero se sabe que: a) en el tiempo tc cuando acabo el estudio no habían fallado (censura por la derecha) b) fallaron antes del tiempo tc (censura por la izquierda) c) se sabe que fallaron en cierto intervalo de tiempo (censura por intervalo). La consideración de datos censurados es importante para hacer viable los estudios de confiabilidad (en tiempo y costo). Los datos censurados aportan información, por lo que estos deben considerarse adecuadamente para estimar de manera más precisa el comportamiento del tiempo a la falla. E. Como se menciona en el punto 2, es necesario observar fallas, pero cuando el producto es muy durable podría necesitar meses y hasta años para tener el suficiente número de fallas trabajando en condiciones normales. En estos casos, un estudio de confiabilidad en condiciones normales de operación no tiene sentido. Sin embargo, es posible acelerar el deterioro del producto si se utiliza en condiciones aceleradas o estresantes: un tiempo pequeño de vida en condiciones aceleradas equivale a un tiempo largo de vida en condiciones normales. De aquí la utilidad de las llamadas pruebas de vida acelerada (véase Nelson, 1990) para observar fallas en un tiempo razonable, y luego extrapolar este comportamiento a lo que sería la vida del producto operando en condiciones normales.

3. CENSURA: Observaciones o Datos censurados: Cuando no se conocen los tiempos de falla de las unidades de manera exacta, sino sólo intervalos donde las fallas ocurrieron o hubieran ocurrido. Es información parcial sobre los tiempos de falla. Se distinguen varios tipos de censura. TIPOS DE CENSURA EN CONFIABILIDAD: a) Censura por la derecha tipo I: Es cuando los datos censurados resultan de unidades que no fallaron en un tiempo de prueba especificado. También se conoce como censura por tiempo. b) Censura por la derecha tipo II Surge cuando el estudio de confiabilidad dura hasta que cierta cantidad de las unidades falla. El tiempo de duración del estudio no se conoce de antemano. También se conoce como censura por número de fallas. c) Censura por la izquierda Es cuando sólo se sabe que la unidad en prueba falló en algún momento antes del primer tiempo de inspección. d) Censura por intervalo Se sabe que la unidad falló en algún momento dentro de un intervalo. Ocurre cuando no es posible hacer una inspección continua. e) Censura múltiple Cuando en el mismo estudio de confiabilidad se tienen unidades con diferentes tiempos de censura.

Explicación del gráfico: Los tiempos de vida se representan por medio de líneas horizontales a partir de un tiempo inicial. Usando este tipo de representación de la vida de cuatro unidades, en la figura se distinguen los diferentes tipos de censura. En esta, el símbolo X representa un tiempo de falla, el círculo representa un tiempo de inspección donde la unidad no ha fallado y el círculo con X adentro representa el tiempo de inspección donde la unidad se encontró fallada. La línea solida corresponde al tiempo en el cual se sabe que la unidad funcionaba y la línea punteada representa intervalos donde ocurrió la falla o donde la unidad eventualmente fallaría con el tiempo. Así, tenemos que para la unidad A se observó un tiempo de falla exacto, para la unidad B se tiene censura por la izquierda, para la unidad C se tiene censura por la derecha y para la unidad D censura por intervalo. El signo de interrogación enfatiza la incertidumbre de no conocer el tiempo de falla exacto, sino solo el intervalo donde la falla ocurrió. EJEMPLOS EXPLICATIVOS: Vida de balatas: Un fabricante de balatas para el sistema de frenado de automóviles le da seguimiento al tiempo de falla de las mismas. El seguimiento lo hace con distribuidores de automóviles nuevos de cierto modelo. El tiempo de falla lo mide en los kilómetros recorridos. El número de unidades en que se evaluó el tiempo de falla fue de 55. Después de cierto tiempo no todas las balatas habían fallado, pero con base en el desgaste se estimó el tiempo de falla. Los datos obtenidos para los 55 productos se muestran a continuación:

Se quiere estimar la distribución del tiempo de falla de las balatas y con ella calcular su confiabilidad. El fabricante también quiere saber si el tiempo de garantía de 10 000 kilómetros que otorga es razonable, considerando que no está dispuesto a reemplazar más de 2% de las balatas que vende. Vida de conexiones con dos modos de falla. Los datos de la siguiente tabla son esfuerzos de ruptura de 20 conexiones de alambre, con un extremo soldado sobre un semiconductor y el otro soldado sobre un poste terminal. Cada falla consiste en el rompimiento del alambre (modo de falla 1 = A) o de una soldadura (modo de falla 2 = S). Aquí el esfuerzo hace las veces de tiempo de falla. Interesa estudiar la distribución del esfuerzo de las conexiones, considerando que se requiere que menos de 1% debe tener un esfuerzo menor de 500 mg. Es decir, se desea que al menos 99% de las conexiones resista un esfuerzo mayor a 500 mg. También se quiere estimar el esfuerzo que resultaría de eliminar uno de los dos modos de falla.

4. FUNCIONES EN CONFIABILIDAD a) Función de densidad La función f(t) es función de densidad (continua) si cumple que:

Es decir, es una función no negativa cuya integral, sobre todo su rango posible, es igual a 1, con lo que el área total bajo la curva es igual a 1. Lo anterior significa que el área bajo la curva entre dos valores es la probabilidad de observar fallas en ese intervalo. Por ejemplo, para la distribución exponencial, la función de densidad está dada por:

b) Función de distribución acumulada Con esta función, denotada con F(t), se obtiene la probabilidad de que un producto falle antes del tiempo t, con lo que F(t) = P(T ≤ t). De esta manera, si nos limitamos a funciones de densidad de probabilidades definidas en el intervalo de cero a infinito, entonces F(t) se obtiene integrando la función de densidad f (t) de la siguiente manera:

Por ejemplo en el caso de la función exponencial:

c) La Función de confiabilidad, C (t), Es la probabilidad de sobrevivir al tiempo t. Con esta función, denotada con C(t) y también conocida como función de supervivencia, se obtiene la probabilidad de que el producto no haya fallado (sobreviva) en el tiempo t. Con lo que C (t) = P (T > t) = 1 − F (t). Por ejemplo, para la distribución exponencial se tiene que:

Veamos la siguiente figura: Note que la probabilidad de observar fallas en un intervalo [t0, t1] se obtiene de restar los respectivos valores, ya sea de F (t) o de C (t).

d) Función de riesgo Tasa de falla instantánea o tasa de riesgo, h(t), es la propensión a fallar al tiempo t; es decir, dado que se sobrevive hasta el tiempo t, es la probabilidad de fallar justo en el siguiente instante. Por ello a h(t) también se le conoce como tasa de falla instantánea o tasa de riesgo. En términos matemáticos h(t) se define como:

Se puede probar que es el resultado del siguiente límite:

Por ejemplo, en el caso exponencial la función de riesgo está dada por:

Lo cual indica que el riesgo de falla es constante. Esto significa que si el tiempo de falla de un producto tiene una distribución exponencial, la propensión a fallar de este es la misma independientemente del tiempo transcurrido. No siempre es constante depende del tipo de distribución.

LO QUE SE EXPLICA A CONTINUACIÓN AYUDA A ENTENDER MEJOR EL SIGNIFICADO DE h(t).

Ciclo de vida de un producto En muchos productos se distinguen tres periodos diferentes en cuanto a su tasa o función de riesgo (véase figura ): la mortalidad infantil o fallas tempranas que ocurren al inicio de la vida del producto (riesgo decreciente); la vida útil o fallas aleatorias que marcan el periodo donde el producto cumple con bajo riesgo (constante) la función para la que fue diseñado; y el envejecimiento o fallas por desgaste, que se distingue por el incremento en la propensión a fallar del producto (riesgo creciente). La función de riesgo de la figura, debido a su forma, se conoce como curva de bañera. Por ejemplo, la vida humana tiene este comportamiento: es mayor el riesgo de morir en los primeros cinco o seis años de vida, y al pasar esta edad, dicho riesgo se mantiene constante aproximadamente hasta los 45 años, a partir de los cuales el riesgo comienza a incrementarse, pero ahora debido al envejecimiento. Por supuesto que durante la vida útil también ocurren muertes (fallas), el riesgo de que éstas ocurran es menor. Los dos puntos de inflexión (figura) que separan las tres etapas de la vida son de interés en el estudio de la confiabilidad del producto: el primero tiene relación directa con la determinación del tiempo de quemado o burn-in,1 y el segundo se relaciona con el tiempo al cual la unidad debe sustituirse por una nueva, o bien, cuando se le debe dar un mantenimiento mayor para alargar su vida útil.

Aclaraciones: Mortalidad infantil Periodo inicial del ciclo de vida de un producto. Para algunos productos la tasa de riesgo de falla en este periodo es alta. Vida útil Periodo intermedio del ciclo de vida de un producto, donde las fallas ocurren de manera aleatoria por razones extrínsecas al mismo. Envejecimiento Último periodo de la vida de un componente o sistema en el cual su propensión a fallar se incrementa debido al desgaste. Curva de bañera Es una forma típica de la tasa de riesgo que distingue las tres etapas del ciclo de vida de muchos productos. Tiempo de quemado Periodo que deben trabajar las unidades nuevas antes de enviarlas al mercado. En este periodo se detectan y eliminan aquellas unidades que fallarían tempranamente. Nota: La mayoría de los estudios de confiabilidad se enfocan en estudiar uno de los lados de la tina de baño, ya sean las fallas tempranas o aquellas por envejecimiento. El fin último es mejorar la confiabilidad del producto. e) Función de riesgo acumulado Esta función acumula el riesgo de falla que ha tenido un producto hasta el tiempo t, y se obtiene con:

La utilidad de H(t) resulta de que la función de confiabilidad se puede obtener como:

De aquí es posible deducir que el riesgo acumulado siempre tiende a infinito cuando el tiempo tiende a infinito, lo cual indica que a la larga todos los productos fallan aunque la tasa de riesgo sea decreciente.

Vida media o tiempo medio a la falla La vida media es el valor esperado o media de la variable T, es decir, Es el valor que en promedio dura la vida del producto.

Por ejemplo, la vida media para un modelo exponencial está dada por:

Note que, en este caso, la vida media es el inverso de la tasa de riesgo. Es importante comentar que la vida media no es muy útil cuando la distribución de los tiempos de vida es sumamente asimétrica. Por ello, es más recomendable calcular la vida mediana definida como el cuartil 50.

Función cuantil En temas anteriores se definieron de manera general los cuantil y percentiles, que son medidas de localización que se emplean para describir un conjunto de datos. Estas medidas de localización son de particular utilidad en confiabilidad. En este contexto el cuartil p es el tiempo tp al cual falla una proporción p de las unidades. Este se puede definir en términos de la función de distribución acumulada como:

Donde

es la función inversa de F(t).

Por ejemplo, en el caso exponencial y la función inversa resulta de despejar t en esta ecuación, de modo que la función cuantil está dada por

La función cuantil es útil en confiabilidad porque contesta de manera directa la pregunta acerca del tiempo al cual falla una fracción deseada de las unidades. Por lo general interesa estimar el tiempo al cual falla un porcentaje bajo de las unidades (1, 5, 10, 15%). En la figura siguiente se presentan las funciones de densidad f(t), de distribución acumulada F(t), de confiabilidad C(t) y de riesgo h(t) para una distribución exponencial con parámetro λ = 1/133.43. Si usa la otra parametrizacion del modelo exponencial, entonces θ = 133.43= 1/λ, es valor que corresponde a la vida media. Cada una de las funciones mencionadas caracteriza la distribución de probabilidades a la que pertenece, lo cual hace posible que, dada una de ellas, sea posible deducir todas las demás. Nota: Cuantil p es el tiempo al cual se espera falle una fracción o proporción p de las unidades.

Ejemplo A: Suponga que 20 componentes son sometidos a una prueba de vida, y que las horas transcurridas hasta la falla fueron las siguientes: 3.70, 3.75, 12.18, 28.55, 29.37, 31.61, 36.78, 51.14, 108.71, 125.21, 125.35, 131.76, 158.61, 172.96, 177.12, 185.37, 212.98, 280.40, 351.28, 441.79. Si las horas a la falla siguen la distribución exponencial, interesa estimar las funciones de densidad, de distribución acumulada, de confiabilidad y de riesgo. Más adelante se verá que cuando no hay censuras, el estimador del parámetro λ está dado simplemente por el inverso de la media de las observaciones, de modo que λ = 1/133.43 = 0.0075. Entonces, la función de densidad estimada para los datos es: f (t) = 0.0075e^(−0.0075t) ; t ≥ 0 De aquí se tiene que las funciones de distribución acumulada, confiabilidad y de riesgo están dadas por F (t) =1-e^ (-0.0075t), C (t) = e^ (-0.0075t) y h (t) = 0.0075. En la figura A) se representan de manera gráfica estas cuatro funciones. Con ellas es posible contestar las preguntas de interés con respecto a la vida en horas de los componentes. Como por ejemplo, la probabilidad de que los componentes fallen antes de las 20 horas; P (T < 20)= F (20) = 1 – e^ (−0.0075 × 20 )= 0.139. Por lo tanto, se espera que 13.9% de los componentes fallen antes de 20 horas.

A A

5. MODELOS (DISTRIBUCIONES) PARA EL TIEMPO DE FALLA Existe una gran variedad de distribuciones de probabilidad, algunas son de particular utilidad como modelos de tiempo de falla; por ejemplo, las distribuciones exponenciales, Weibull, valor extremo, normal y lognormal. En seguida se dan las expresiones para f(t), F(t), C(t), h(t), vida media y la función cuantil para cada una de estas distribuciones. Para cada modelo se menciona la teoría que motiva su posible aplicación a un producto dado, pero en la práctica, además de lo anterior, es importante verificar que un modelo se ajuste a los datos observados. DISTRIBUCIÓN EXPONENCIAL Modelo de probabilidad para datos de vida con riesgo constante. Sirve para componentes de alta calidad que “no envejecen” durante su vida útil. Es importante considerar que una de las características distintivas de la distribución exponencial es que su función de riesgo es constante. Esto significa que los productos cuyo tiempo de falla siguen una distribución exponencial, “no envejecen” o “no se fatigan”. Pero esto no significa que no fallen, más bien, implica que su tasa de riesgo o propensión a fallar se mantiene constante en el tiempo. Esta propiedad se conoce como falta de memoria, en el sentido de que los productos cuya vida es exponencial no registran en su tasa de riesgo el tiempo transcurrido: sin importar que el producto tenga mucho tiempo funcionando, su riesgo de fallar es el mismo que cuando estaba nuevo. Si bien la propiedad de falta de memoria parece irreal, en la práctica existen productos cuya vida se puede modelar bien con esta distribución. Por ejemplo, se ha utilizado para describir la vida de componentes electrónicos de alta calidad que generalmente fallan por causas ajenas o extrínsecas al propio producto, y estas fallas ocurren de manera aleatoria en el tiempo. Sin embargo, la distribución exponencial no es útil para modelar la vida de productos sujetos a desgaste o fatiga de algún tipo, por ejemplo, piezas metálicas como balatas, baleros, bisagras, etc., ya que en estos productos la tasa de riesgo se incrementa con el tiempo. DISTRIBUCIÓN WEIBULL

Modelo muy versátil debido a que su función de riesgo puede ser decreciente, constante o creciente, dependiendo del valor de su parámetro de forma. Dada su flexibilidad, la distribución Weibull es de las más utilizadas para describir la vida de productos, ya que permite modelar productos con tasas de riesgo creciente, constante y decreciente (figura b). La función de densidad Weibull está dada por:

Con t > 0, > 0, η > 0. Como se observa, esta distribución es determinada por dos parámetros: el de forma (β) y el de escala η. Como sus nombres lo indican, el primero tiene efecto sobre la forma que toma la distribución (figura a) y el segundo afecta la escala del tiempo de vida. La distribución acumulada está dada por:

Mientras que las funciones de confiabilidad y riesgo son,

La vida media de la distribución Weibull es E (t) = ηΓ (1 + 1/β) y la función cuantil está dada por,

Donde Γ(x) es la función gamma. En la figura a se presentan tres posibles formas de la distribución Weibull, dependiendo del valor del parámetro de forma, β, mientras se mantiene fijo el parámetro de escala en el valor η = 1. En general, para valores de 0 < β < 1, la función de riesgo es decreciente y para valores de β > 1 la función de riesgo es creciente. Se puede verificar de la función de densidad que cuando β = 1, la distribución Weibull se reduce a la distribución exponencial (tasa de riesgo constante). La distribución Weibull es un modelo apropiado para modelar tiempos de falla de productos compuestos por muchas partes con distribuciones de vida comparables, donde el producto falla cuando una de las partes falla. Es decir, el tiempo de falla del producto es igual al tiempo de falla mínimo de las partes

que lo conforman (falla de eslabona mas débil). Por ejemplo, la vida de un capacitor está determinada por la porción de su dieléctrico con la vida más corta. Ejemplo: Se sabe que el tiempo de falla de un producto tiene una distribución Weibull, cuya función de riesgo está dada por h(t) = (0.5/1 000)(t/1 000)^−0.5, con t expresado en años. Interesa encontrar el tiempo al cual sobrevive 90% de los productos e investigar el efecto que se tendría en el tiempo de vida del producto si se implementa un periodo de quemado (burn-in) de seis meses. Primero, de la función de riesgo se deduce que los parámetros de la distribución Weibull son (β = 0.5, η = 1 000). Por lo tanto, la función cuantil está dada por

De acuerdo con el planteamiento inicial interesa el cuantil 0.10, que está dado por

Por lo que 90% de las unidades tendrá una duración o tiempo de falla mayor a 11.1 años. En la práctica esto respalda la idea de que el producto se pueda garantizar por 11.1 años. Por otro lado, si se implementa un periodo de quemado de seis meses (tb = 0.5 años), la confiabilidad de las unidades sobrevivientes está dada por la confiabilidad condicional:

Si esta función se iguala a 0.90, se resuelve para t y se obtiene t = 15.8 años. Esto es, el periodo de quemado por seis meses elimina unidades débiles que fallarían pronto, y el resultado es que 90% de las unidades sobrevivientes duran más de 15.8 años. Por lo tanto, al aplicar el burn-in se gana 15.8 − 11.1 = 4.7 años en la confiabilidad de 90% de las unidades. El buen resultado del tiempo de quemado se debe a que la función de riesgo h(t) es decreciente.