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• Daider Lara Orozco

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Análisis de Datos I Unidad 3: Distribuciones de Probabilidad

Clase: Distribuciones de probabilidad continuas

27 de enero de 2014

Unidad 3 Variables aleatorias discretas y distribuciones de probabilidad Valor esperado y varianza de una variable aleatoria discreta Distribuciones de probabilidad discreta especiales Variables aleatorias continuas y distribuciones de probabilidad Valor esperado y varianza de una variable aleatoria continua Distribuciones de probabilidad continua especiales Aproximaciones entre las distribuciones de probabilidad

Relación entre las distribuciones de Poisson y Exponencial 27 de enero de 2014

Unidad 3 Probabilidad y estadística para ingenieros y ciencias. Walpole, Myers, & Myers. Editorial Pearson. Variables aleatorias continuas y distribuciones de probabilidad Valor esperado y varianza de una variable aleatoria continua Distribuciones de probabilidad continua especiales

27 de enero de 2014

Distribuciones continuas de probabilidad • UNA VARIABLE ALEATORIA CONTINUA TIENE UNA PROBABILIDAD CERO DE TOMAR EXACTAMENTE CUALQUIERA DE SUS VALORES. • En consecuencia, su distribución de probabilidad no se puede dar en forma tabular. • Ejemplo: Considérese una variable aleatoria cuyos valores son las alturas de toda la gente mayor de 21 años. Entre dos valores cualesquiera, digamos 163.5 y 164.5 cm, o incluso entre 163.99 y 164.01 cm, hay un número infinito de alturas, una de las cuales es 164 cm. • Es remota la probabilidad de seleccionar al azar a alguien que tenga exactamente 164 cm de estatura del conjunto infinitamente grande de estaturas tan cercanas a 164 cm; por ello, asignamos una probabilidad cero a tal evento. 27 de enero de 2014

Distribuciones continuas de probabilidad • En este caso, sin embargo, si nos referimos a la probabilidad de seleccionar a una persona que, al menos mida 163 cm pero no más de 165 cm de estatura, tratamos ahora con un intervalo en vez de un valor puntual de nuestra variable aleatoria. • Trataremos el cálculo de probabilidades para varios intervalos de variables aleatorias continuas como P(a < X < b), P(W >= c), etc. • Observe que cuando X es continua,

P(a  X  b)  P(a  X  b)  P( X  b)  P(a  X  b)

• Esto sólo es cierto cuando la variable X es continua. Es decir, no importa si incluimos o no un extremo del intervalo. 27 de enero de 2014

Distribuciones continuas de probabilidad • Aunque la distribución de probabilidad de una variable aleatoria continua no se puede presentar de forma tabular, si se establece una fórmula, la cual será necesariamente una función de los valores numéricos de la variable aleatoria continua X y como tal se representa mediante la notación funcional f(x). • Al tratar con variables continuas, f(x) por lo general, se llama función de densidad de probabilidad, o simplemente función de densidad de X.

27 de enero de 2014

Distribuciones continuas de probabilidad

• Al tratar con variables continuas, f(x) por lo general, se llama función de densidad de probabilidad, o simplemente función de densidad de X.

27 de enero de 2014

Distribuciones continuas de probabilidad Para una variable aleatoria continua X, una función de densidad de probabilidad es una función tal que: 1.

f x   0 para toda x ϵ R

f(x)



2.

 f x  dx  1



3.

a

b

b

x

Pa  X  b    f  x   dx  área bajo la curva f x  de a a b. a

La función de distribución acumulada F(x) de una variable aleatoria continua X con función de densidad f(x) es

F  x   P X  x  

x

 f t  dt

Para

   x  .



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Distribuciones continuas de probabilidad Ejemplo 3.31 Suponga que el error de la temperatura de reacción, en oC, para un experimento de laboratorio controlado, es una variable aleatoria continua X, que tiene la función de densidad de probabilidad  x2 , __________ ______ 1  x  2,   3 f ( x)    0, ___ en _ cualquier_ otro _ caso.  

a) Verifique la condición 2 de la definición de f(x). b) Encuentre P(0 < X 0.86) = 1 - P(Z< 0.86) = 1- 0,80510 = 0.194894 P(Z > -1.37) = P(Z < 1.37) = 0.914657 P(-1.25 < Z < 0.37). Esta probabilidad puede encontrarse como la diferencia de dos áreas, P(Z < 0.37) – P(Z < - 1.25). Así: P(Z 13) Sea Z = (X – m / s = (13 – 10)/ 2 = 1.5 Por lo tanto: P(X>13) = P(Z>1.5) =1 – P(Z 0.9) = P(M / 0.45 > 0.9 / 0.45 = P(Z > 2) P(Z > 2) = 1 – P(Z ≤ 2) = 1 – 0.977250 = 0.022750 27 de enero de 2014

Distribución normal Determine los límites simétricos alrededor de la media que incluyan al 99% de todas las lecturas de ruido. El problema requiere encontrar x tal que P(-x < M < x) = 0.99. P(-x < M < x) = P(-x/0.45 < M/0.45 < x/0.45) = P(-x/0.45 < Z < x/0.45) = 0.99 Sabemos que 1.00 - 0.99 = 0.01; luego 0.01 / 2 = 0.005. Por la tabla normal P(-2.58 < Z < 2.58) = 0.99 Por lo tanto, para P(z) = 0.005; z = -2,58; para P(z) = 0.995; z = 2,58 x / 0.45 = 2.58 de donde x = 2.58(0.45) = 1.16 -x / 0.45 = -2.58 de donde x = -2.58(0.45) = -1.16 27 de enero de 2014

Distribución normal

Ejemplo 3.41 El diámetro de un eje en un propulsor de almacenamiento óptico, tiene una distribución normal con media 0.2508 pulgadas y una desviación estándar de 0.0005 pulgadas. Las especificaciones de los ejes son 0.2500 ± 0.0015 pulgadas. ¿Qué proporción de los ejes cumplen con las especificaciones?

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Distribución normal Solución Sea que X denote el diámetro del eje en pulgadas. La probabilidad media se muestra en la figura. 0.2515 0.2508  0.2485 0.2508 P(0.2485 X  0.2515)  P Z  0 . 0005 0 . 0005   P(0.2485 X  0.2515)  P(4.6  Z  1.4) P(0.2485 X  0.2515)  P( Z  1.4)  P( Z  4.6) P(0.2485 X  0.2515)  0.91924 0.00000 0.91924

0,2485

0,2500 27 de enero 0,2515 de 2014

Distribución normal Ejemplo 3.41 (continuación) La mayoría de los ejes que no cumplen son demasiado grandes, debido a que la media del proceso se localiza muy cerca del límite superior de especificación. Si el proceso se centra de tal modo que su media sea igual al valor especificado de 0.2500, entonces 0.2515 0.2500  0.2485 0.2500 P(0.2485 X  0.2515)  P Z   0.0005 0.0005   P(0.2485 X  0.2515)  P(3  Z  3) P(0.2485 X  0.2515)  P( Z  3)  P( Z  3) P(0.2485 X  0.2515)  0.99865 0.00135 0.9973

Al centrar nuevamente el proceso, el producto aumenta a aproximadamente 99.73%. 27 de enero de 2014

Distribución normal

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Distribución normal

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Distribución normal

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Distribución normal PROBLEMA 1: La temperatura durante septiembre está distribuida normalmente con media 28,7ºC y desviación standard 5ºC. Calcule la probabilidad de que la temperatura durante septiembre esté por debajo de 21ºC Calcule la probabilidad de que la temperatura durante septiembre esté por encima de 31ºC Calcule la probabilidad de que la temperatura durante septiembre esté entre 27 ºC hasta de 30ºC PROBLEMA 2: Tras un test de cultura general se observa que las puntuaciones obtenidas siguen una distribución una distribución N(65, 18). Se desea clasificar a los examinados en tres grupos (de baja cultura general, de cultura general aceptable, de excelente cultura general) de modo que hay en el primero un 20% la población, un 65% el segundo y un 15% en el tercero. ¿Cuáles han de ser las puntuaciones que marcan el paso de un grupo al otro?

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Distribución Exponencial 27 de enero de 2014

Distribución exponencial Relación entre Poisson y Exponencial En la exposición de la distribución de Poisson una variable aleatoria se definió como el número de imperfecciones a lo largo de un alambre de cobre. La distancia entre las imperfecciones es otra variable aleatoria que suele ser de interés. Sea que la variable aleatoria X denote la longitud desde cualquier punto inicial sobre el alambre hasta cuando se detecta una imperfección. En general la variable aleatoria N denota el número de imperfecciones en x milímetros del alambre. Si el número promedio de imperfecciones es l por milímetro, entonces N tiene una distribución de Poisson con media l x. Se supone que el alambre es más largo que el valor de x. Ahora bien 27 de enero de 2014

Distribución exponencial Relación entre Poisson y Exponencial

e  lx ( l x ) 0 P ( X  x )  P ( N  0)   e  lx 0! Por _ lo _ tanto F ( x)  P ( X  x)  1  e lx , ___ x  0 Al _ deri var_ F ( x) _ la _ función_ de _ densidad_ es : f ( x)  le lx , ___ x  0

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Distribución exponencial La variable aleatoria X que es igual a la distancia entre conteos sucesivos de un proceso de Poisson con media l>0 tiene una distribución exponencial con parámetro l. La función de densidad de probabilidad de X es

f x   l  e

l  x

para 0 ≤ x < ∞

Si la variable aleatoria X tiene una distribución exponencial Con parámetro l, entonces

EX  

1

l

V X  

1

l2

f(x)

Función de densidad de probabilidad exponencial

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Distribución exponencial

f(x)

Función de densidad de probabilidad exponencial

27 de enero de 2014

Distribución exponencial Ejemplo 3.42 En una red de computadoras de una gran corporación, el acceso del usuario al sistema puede modelarse como un proceso de Poisson con una media de 25 accesos por hora. a) ¿Cuál es la probabilidad de que no haya acceso en un intervalo de 6 minutos? Solución Sea que X denote el tiempo en horas desde el principio del intervalo hasta el primer acceso. Entonces, X tiene una distribución exponencial con l = 25 accesos por hora. Ahora, 6 minutos = 0.1 horas. 

P( X  0.1)   25e 25 x dx  e 25 x 0.1



e 25( 0.1)  0.082

0.1

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Distribución exponencial

b) ¿Cuál es la probabilidad de que el tiempo hasta el siguiente acceso esté entre 2 y 3 minutos?

P(0.033 X  0.05)  

0.05

25e25 x dx  e25 x

0.033

0.05

 0.152

0.033

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Distribución exponencial c) Determine el intervalo de tiempo tal de que la probabilidad de que no haya acceso en el intervalo sea 0.90. Se pide la longitud de tiempo x tal que P(X>x) = 0.90. Ahora bien, 

P ( X  x )   25e 25t dt   e 25t



e 25( x )  0.90

x Por lo tanto, después de sacar logaritmo natural a ambos miembros -25x ln(e) = ln(0,90) -25x = -0,1053 x = 0.00421 horas = 0.25 minutos x

Por otra parte, el tiempo promedio hasta el siguiente acceso es µ = 1/25 = 0.04 horas = 2.4 minutos La desviación estándar del tiempo hasta el siguiente acceso es s = 1/25 = 0.04 horas = 2.4 minutos

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Distribución exponencial Ejemplo 3.43 Sea que X denote el tiempo entre la detección de una partícula rara en un contador Geiger y suponga que X tiene una distribución exponencial con E(X)= 1.4 detecciones por minutos. a) ¿Cuál es la probabilidad de que se detecte una partícula en un lapso de 30 segundos después de activar el contador? Es F(X) = P(X